Phương trình không mẫu mực-toán ôn thi đại học

PH NG TRÌNH KHÔNG M U M CƯƠ Ẫ Ự
PH NG TRÌNH KHÔNG M U M CƯƠ Ẫ Ự
L I GI I THI UỜ Ớ Ệ
L I GI I THI UỜ Ớ Ệ
rong quá trình h c toán, các b n h c sinh có th g p đây đó mà đ u đ có vọ ạ ọ ể ặ ầ ề ẻ
“l ” , nh ng bài toán này không th tr c ti p áp d ng nh ng quy t c quenạ ữ ể ự ế ụ ữ ắ
thu c. Nh ng bài toán nh v y th ng đ c g i “không m u m c” (non –ộ ữ ư ậ ườ ượ ọ ẫ ự
standard problems), có tác d ng không nh trong vi c rèn luy n t duy toán h c vàụ ỏ ệ ệ ư ọ
th ng là th thách c a sinh trong nh ng kì thi h c sinh gi i , thi vào các l p chuyênườ ử ủ ữ ọ ỏ ớ
toán , thi vào đ i h c.ạ ọ
T
Đ các ph ng trình và h ph ng trình “không m u m c” d n tr thành “quenể ươ ệ ươ ẫ ự ầ ở
thu c” v i mình, chúng tôi xin gi i thi u v i các b n h c sinh yêu toán m t chuyên độ ớ ớ ệ ớ ạ ọ ộ ề
v v n d trên .ề ấ ề
Trong lúc biên so n ch n không th không sai sót, r t mong đ c s góp ý c a cácạ ắ ể ấ ượ ự ủ
đ c gi .ộ ả
Nguy n Lê Anh Khoaễ
Nguy n Lê Anh Khoaễ
Thái H u Đăng Khangữ
Thái H u Đăng Khangữ
Nguy n Kh c Thiên Ch ngễ ắ ươ
Nguy n Kh c Thiên Ch ngễ ắ ươ
Nguy n Minh Hùng.ễ
Nguy n Minh Hùng.ễ
1
M c l c:ụ ụ
PH NG TRÌNHƯƠ
PH NG TRÌNHƯƠ
I. Ph ng pháp th ng v n d ngươ ườ ậ ụ
1. Đ a v ph ng trình tíchư ề ươ
2. Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ

3. Ch ng minh nghi m duy nh tứ ệ ấ
4. Đ a v h ph ng trìnhư ề ệ ươ
II.Bài t p v n d ngậ ậ ụ
1. Đ bàiề
2. H ng d n gi iướ ẫ ả
2
PH NG TRÌNHƯƠ
I.PH NG PHÁP TH NG V N D NG:ƯƠ ƯỜ Ậ Ụ
1. Đ a v ph ng trình tíchư ề ươ
a) Các b cướ
 Tìm t p xác đ nh c a ph ng trình.ậ ị ủ ươ
 Dùng các phép bi n đ i đ i s , đ a ph ng trình d ng f(x) . g(x) … h(x) = 0ế ổ ạ ố ư ươ ạ
(g i là ph ng trình tích). T đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; … ; h(x) = , là nh ngọ ươ ừ ữ
ph ng trình quen thu c. Nghi m c a ph ng trình là t p h p các nghi m c aươ ộ ệ ủ ươ ậ ợ ệ ủ
các ph ng trình f(x)=0; g(x) = 0; … ;h(x) = 0 thu c t p xác đ nh.ươ ộ ậ ị
 Đôi khi dùng n ph thay th cho m t bi u th c ch a n, đ a v d ng tíchẩ ụ ế ộ ể ứ ứ ẩ ư ề ạ
(v i n ph ). Gi i ph ng trình v i n ph , t đó tìm nghi m c a ph ngớ ẩ ụ ả ươ ớ ẩ ụ ừ ệ ủ ươ
trình đã cho.
 Dùng cách nhóm s h ng, ho c tách các s h ng … đ đ a ph ng trình vố ạ ặ ố ạ ể ư ươ ề
d ng quen thu c mà ta đã bi t cách gi iạ ộ ế ả
b) Thí dụ
1.Gi i ph ng trình:ả ươ
2
10 21 3 3 2 7 6x x x x
+ + = + + + −
(1)
Gi iả
(1)
⇔
( 3)( 7) 3 3 2 7 6 0x x x x+ + − + − + + =

⇔
3( 7 3) 2( 7 3) 0x x x+ + − − + − =
⇔
( 7 3)( 3 2) 0x x+ − + − =
⇔
3 2 0
7 3 0
x
x

+ − =

+ − =


⇔
7 9
3 4
x
x
+ =


+ =

⇔
2
1
x
x

=


=

Đs: 2 ; 1
2.Gi i ph ng trình:ả ươ
3 3 2 3
( 3 2) ( 1) (2 3) 0x x x x x− + + − + + + − =
(2)
Gi iả
Áp d ng h ng đ ng th cụ ằ ẳ ứ : (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
3
V i : ớ
2
2
1
2 3
4
a x x
b x
c x x
= − −
= −

= + −
Đs:
1 5 3
2;1; ;
2 2
±
4
3.Gi i ph ng trình:ả ươ
5 4 3 2
2x x x x x
= + + + +
(3)
Gi iả
Đs: 2
4. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
(4)
Gi iả
1 1 1 1
(4)
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18x x x x x x
⇔ + + =
+ + + + + +
(đi u ki n x ≠ -4 ,-5, -6, -7) ề ệ
2
1 1 1 1 1 1 1

(4)
4 5 5 6 6 7 18
1 1 1
4 7 18
11 26 0
( 13)( 2) 0
x x x x x x
x x
x x
x x
⇔ − + − + − =
+ + + + + +
⇔ − =
+ +
⇔ + − =
⇔ + − =
Đs: -13; 2
5. Gi i ph ng trình:ả ươ
294 296 298 300
4
1700 1698 1696 1694
x x x x
− − − −
+ + + =
(5)
Gi iả
( )
294 296 298 300
(5) 1 1 1 1 0
1700 1698 1696 1694

1 1 1 1
1994 0
1700 1698 1696 1694
1994 0
x x x x
x
x
− − − −
       
⇔ − + − + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
⇔ − =
Do
1 1 1 1
0
1700 1698 1696 1694
+ + + 〉
Đs: 1994
6. Gi i ph ng trình:ả ươ
1 1 1
1
3 2 2 1 1x x x x x x
+ + =
+ + + + + + + +
(6)

Gi iả
Đi u ki n:ề ệ x ≥ 0
( ) ( ) ( )
(6) 3 2 2 1 1 1
3 1
1
x x x x x x
x x
x
⇔ + − + + + − + + + − =
⇔ + − =
⇔ =
Đs:1
5
5 4 3 2
4 3 2
(3) ( 1) ( 1)
( 2)( 1) 0
x x x x x
x x x x x
⇔ − − + + + +
⇔ − + + + + =
7. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( ) ( )
4 3
4 2 2 13 50 2 13x x x
+ = + + +
(7)
Gi iả
Đ t ặ

2 3 5
4
2 2
x
y x y
+
= ⇒ + = −
4
3
5
(7) 16 100
2
y y y
 
⇔ − = +
 ÷
 

4
2
5 25
16 0
2 4
y y y
   
⇔ − − + =
 ÷  ÷
   
(*)
Ta có

2
2 2
25 5
5
4 2
y y y
 
+ = − +
 ÷
 
nên(*)đ c vi t là:ượ ế
4 2
2 2
5 5
16 80 0
2 2
y y y y
   
− − − − =
 ÷  ÷
   
(**)
Đ t ặ
2
5
2
t y
 
= −
 ÷

 
(**) tr thành :ở
( ) ( )
2 2
16 80 0
4 20 0
t yt y
t y t y
− − =
⇔ + − =
Gi i ra ta đ cả ượ Đs:
10 6 1 10 6 1
;
4 4
− − −
8. Gi i ph ng trình:ả ươ
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
(8)
(câu 3 d 52 b tuy n sinh đ i h c 1993)ề ộ ể ạ ọ
Gi iả
Đ t ặ
(
)
2 3

x
y = −
(y > 0)
Đs: 2 ; -2
9. Gi i ph ng trình:ả ươ
( )
( )
2 2
4 1 1 2 1 2 1x x x x− + = + + −
(9)
(Trích câu 2 đ 78 b d thi tuy n sinh đ i h c 1993)ề ộ ề ể ạ ọ
Gi iả
6
( )
2
2
1 2
1
(8) 4
1 4
2 3
3 2 ; 2 3
y
y
y y
y
y y
⇔ + =
⇔ + =
⇔ − =

⇔ = + = −
Đ t: ặ
2
1 ; 1y x y= + ≥
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
(9) 4 1 2 2 1
2 4 1 2 1 0
2 4 2 2 1 0
2 1 2 1 0
x y y x
y x y x
y xy y y x
y x y
⇔ − = + −
⇔ − − + − =
⇔ − + − − + =
⇔ − + − =
Đs:
4
0 ;
3
2. Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ
a) Các b cướ

 Bi n đ i ph ng trình v d ng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là h ng s )ế ổ ươ ề ạ ằ ố
Nghi m c a ph ng trình là các giá tr x th a mãn đ ng th i f(x) = a và g(x) = aệ ủ ươ ị ỏ ồ ờ
 Bi n đ i ph ng trình v d ng h(x) = m (m là h ng s )mà ta luôn có h(x) ≥ mế ổ ươ ề ạ ằ ố
ho c h(x) ≤ m thì nghi m c a h là các giá tr x làm cho d u đ ng th c x y ra.ặ ệ ủ ệ ị ấ ẳ ứ ả
 Áp d ng các b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ
 Cauchy, Bunhiac pki,…ố
b) Thí dụ
1. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
13 3 6 2 7 5 12 33x x x x x x
 
− + + − + = − +
 
 
Gi iả
Áp d ng b t đ ng th c Bunhiac pki cho 4 s :ụ ấ ẳ ứ ố ố
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
a b c d ac bd+ + ≥ +
D u “=” x y ra khi ấ ả
a b
c d
=
V iớ
2 2
2; 3; 3 6; 2 7a b c x x d x x= = = − + = − +

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 6 2 7 2 3 6 3 2 7 5 12 33x x x x x x x x x x
 
 
+ − + + − + ≥ − + + − + = − +
 
 
 
Do đó:
( ) ( )
2 2
2
3 3 6 2 2 7
5 4 0
x x x x
x x
− + = − +
⇔ − + =
Đs: 1; 4
2. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( )
2 2 2
3 3.5 2 2 4 5x x x x x x
− + = − + − +
Gi i:ả

Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
2
2 2 1 1 0
4 5 2 1 0
2 2 4 5
3 3.5
2
x x x
x x x
x x x x
x x
− + = − + 〉
− + = − + 〉
− + + − +
− + =
7
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 2 s d ng ụ ấ ẳ ứ ố ươ
( )
2
2 2x x− +
và
( )

2
4 5x x− +
Đs:
3
2
3. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x
− + + − + + − + = +
(3)
Gi i:ả
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
(3) 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = +
(*)
Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = +
Nên (*) x y ra khi và ch khi ả ỉ
( )
( )
2
2
3 0
2 0
x

x

− =


− =


Đi u này không th có đ c. V y ph ngề ể ượ ậ ươ
trình v nghi mộ ệ
4. Gi i ph ng trình:ả ươ
2
2
2
6 15
6 18
6 11
x x
x x
x x
− +
= − +
− +
(4)
Gi i:ả
( )
( )
2
2
4

(4) 1 3 9
3 2
x
x
⇔ + = − +
− +
Mà
( )
2
4 4
1 1 3
2
3 2x
+ ≤ + =
− +

( )
2
3 9 3x − + ≥
Do đó ta có:
( )
2
3 0 3x x− = ⇔ =
Đs:x = 3
5. Gi i ph ng trình:ả ươ
6
4
2 2
1 1 3 2
19 5 95 3

x x x x
− − − +
+ + =
Gi i:ả
*Đi u ki n:ề ệ
2
2
1 0
1 0
3 2 0
x
x
x x
− ≥


− ≥


− + ≥

*Ta có:
6
4
2 2
1 1 3 2 0 0 0
19 5 95 19 5 95 3
x x x x
− − − +
+ + ≥ + + =

Nên
2 2
1 0 ; 1 0 ; 3 2 0x x x x− = − = − + =
Đs: 1
3. Ch ng minh nghi m duy nh tứ ệ ấ
a) Các b cướ
m t s ph ng trình ta có th th tr c ti p đ th y nghi m c a chúng, r iỞ ộ ố ươ ể ử ự ế ể ấ ệ ủ ồ
tìm cách ch ng minh r ng ngoài nghi m này ra không còn nghi m nào khác n a.ứ ằ ệ ệ ữ
8
b) Thí dụ
1. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2
3
2 3 9
x x
+
+ =
(1)
Gi i:ả
 x = 0 là m t nghi m (1)ộ ệ
 N u x ≠ 0 ta có ế
2 2
3 0 3 0
2 3 2 3 9
x x
+ +
+ 〉 + 〉
Do đó x ≠ 0 không th là nghi m c a (1)ể ệ ủ Đs: 0
2. Gi i ph ng trình:ả ươ
( )

2 3 1
x
x
= +
(2)
Gi i:ả
* D th y x = 2 không ph i là nghi m c a (2)ễ ấ ả ệ ủ
* Xét x > 2.Ta có:
2
2
3 1 3 1
1
2 2 2 2
x
x
   
   
+ 〈 + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
x < 2. Ta có:
2
2
3 1 3 1
1
2 2 2 2
x

x
   
   
+ 〉 + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Đs: 2
3. Gi i ph ng trình:ả ươ
1 1 1
2 3 5 2 3 5
x x x x x x− − − −
+ + = + +
(3)
Gi i:ả
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1 2 1
(3) 2 2 1 3 3 1 5 5 1 0
x x x x x x
− − − − − −
⇔ − + − + − =
*
1
2
x =
là nghi m c a (3)ệ ủ
* Xét
1

2
x〉
=>
2 1 2 1 2 1
2 1 ; 3 1; 5 1
x x x− − −
〉 〉 〉 ⇒
v trái c a (*) l n h n 0ế ủ ớ ơ
* Xét
1
2
x〈
. T ng t v i lý lu n trên ươ ự ớ ậ
⇒
v trái c a (*) nh h n 0.ế ủ ỏ ơ Đs:
1
2
4. Gi i ph ng trình:ả ươ
5 2 3 2
28 2 23 1 2 9x x x x
+ + + + − + = +
Gi i:ả
 x = 2 là nghi m c a (3)ệ ủ
 Xét
1 2 à x 2 x v≤ 〈 〉
không th a (3)ỏ Đs: 2
5. Gi i ph ng trình:ả ươ
1994 1995
3 4 1x x
− + − =

Gi i:ả
 x = 3 và x = 4 là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
 Xét
3 ; 4 ; 3 4x x x〈 〉 〈 〈
Đs: 3 ; 4
9
6. Gi i ph ng trình:ả ươ
4 2 4 2 4 2
8 17 8 18 8 16
19 5 94 45
x x x x x x− + − + − +
+ + =
(6)
Gi i:ả
*Ta có:
( )
( )
( )
2
4 2 2
2
4 2 2
2
4 2 2
8 17 4 1 0
8 18 4 2 0
8 16 4 0
x x x
x x x
x x x

− + = − + 〉
− + = − + 〉
− + = − ≥
Nh n th y: x = ± 2 là nghi m c a ph ng trình (6)ậ ấ ệ ủ ươ
* Xét x ≠ ± 2: không là nghi m c a ph ng trình (5)ệ ủ ươ
Đs: ±2
4. Đ a v h ph ng trìnhư ề ệ ươ
a) Các b cướ
 Tìm đi u ki n t n t i c a ph ng trìnhề ệ ồ ạ ủ ươ
 Bi n đ i ph ng trình đ xu t hi n nhân t chungế ổ ươ ể ấ ệ ử
 Đ t n ph thích h p đ đ a vi c gi i ph ng trình v vi c gi i h ph ngặ ẩ ụ ợ ể ư ệ ả ươ ề ệ ả ệ ươ
trình quen thu cộ
b) Thí dụ
1. Gi i ph ng trình:ả ươ
3 3
1x a x b+ − + =
Gi i:ả
Đ t: ặ
3
u x a= +
và
3
v x b= +
Ta có:
3 3
1u v
u v
− =



−

⇔
1
1
.
3
u v
a b
u v
− =


− −

=


⇔
( )
( )
1
1
.
3
u v
a b
u v

+ − =



− + +
− =


u, -v là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2
1
0
3
a b
y y
− + +
− + =
⇔
2
3 3 1 0y y a b− − + + =
( )
3 4 4 1a b∆ = − −
 N u ế
1
4
a b− 〈
thì
0∆〈
: ph ng trình vô nghi mươ ệ
 N u ế
1
4

a b− =
thì
0
∆ =
:
suy ra
3 1
2.3 2
u v= − = =
10
do đó
3
3
1
2
1
2
x a
x b

+ =




+ = −



⇒

1
8
x b= − −
 N u ế
1
4
a b− 〉
thì
0∆〉
( )
1
3 3 4 4 1
6
a b
y
+ − −
=
;
( )
2
3 3 4 4 1
6
a b
y
− − −
=

( )
3 3 4 4 1
6

a b
u
+ − −
=

⇒

( )
3 3 4 4 1
6
a b
v
− − − −
=
⇒
( )
3
3 3 4 4 1
6
a b
x b
 
− − − −
 ÷
= −
 ÷
 

( )
3 3 4 4 1

6
a b
u
− − −
=
⇒
( )
3 3 4 4 1
6
a b
v
− + − −
=
⇒
( )
3
3 3 4 4 1
6
a b
x b
 
− + − −
 ÷
= −
 ÷
 
2. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( )
2 2
2

3 3
3 1 3 1 9 1 1x x x
+ + − + − =
(6)
Gi i:ả
Đ t: ặ
3
3 1u x= +
và
3
3 1v x= −
(6) tr thành: ở
2 2
3 3
. 1
2
u v u v
u v

+ + =


− =


2 2u v u v
⇒ − = ⇒ = +
Do đó:
( ) ( )
2

2
2 2 1v v v v+ + + + =
( )
2
2
3 6 3 0
3 1 0
1 1
v v
v
v u
⇔ + + =
⇔ + =
⇔ = − ⇒ =
V y ta có: ậ
3
3
3 1 1
0
3 1 1
u x
x
v x

= + =

⇒ =

= − = −



Đs: 0
3. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( )
1 1 1 1 2x x x+ − − + =
Gi i:ả
Đi u ki n: ề ệ
1 1x− ≤ ≤
Đ t: ặ
1 x u+ =

( )
0 2u≤ ≤
11
Suy ra:
2
1x u= −
Ph ng trình tr thành: ươ ở
( )
(
)
( )
2 2
1 2 1 2 1u u u− − + = −
( )
(
)
( )
(
)

( )
2
2
1 2 1 2 1 0
1 0
2 1 2 1 0
u u u
u
u u
 
⇔ − − + − + =
 
 
− =


⇔
− + − + =


a)
1 0 1u u− = ⇒ =
(th a ỏ
0u ≥
)
suy ra
0x
=
b)
(

)
( )
2
2 1 2 1u u− + = +
2
2 2 1u u⇔ − = +
( )
2
2
2 2 1
2 1 0 ( ng v 0)
u u
uđúì u

− = +

⇔

+ ≥ ≥


2
5 4 1 0 ( 0)u u a b c⇔ + − = − + =
1
1u = −
;
2
1
5
u =

(lo i ạ
1
1u = −
vì -1<0)
Ta có:
2
2
2
1 24
1 1
5 25
x u
 
= − = − = −
 ÷
 
Đs: 0 ;
24
25
−
II.Bài t p v n d ngậ ậ ụ
Đ bài:ề
Bài 1:Gi s xả ử
1
,x
2
,x
3
là nghi m c a PT:ệ ủ
CM:

Bài 2: Gi s xả ử
1
,x
2
,x
3
là nghi m c a PT:ệ ủ
CM:
Bài 3:Gi i PT:ả
Bài 4:CM: là s vô tố ỉ
Bài 5:CM: là s vô tố ỉ
B ài 6:C ó bao nhi êu PT d ng:ạ
c ó 3 nghi m a;b;c?ệ
12
B ài 7: T ìm m sao cho PT c ó nghi m duyệ
nh tấ
B ài 8:Gi i c ác PT sau:ả
a)
b)
c)
B ài 9:Gi i PT:ả

B ài 10:Gi i PTả
B ài 11:Gi i PT:ả
B ài 12:Gi i PT:ả
B ài 13: Gi i PT:ả
Bài 14: Gi i PT:ả
Bài 15: Gi i PT:ả
Bài 16: Gi i PT:ả
Bài 17: Gi i các PT sau:ả

a)
b)
c)
d)
Bài 18: Gi i các PT sau:ả
13
a)
b)
c) (3)
d)
e)
f) (6)
g)
Bài 19:Gi i PT:ả
Bài 20:Gi i PT:ả
Bài 21: Gi i PTả
Bài 22: Gi i PT:ả
Bài 23: Gi i PT:ả
Bài 24: Gi i PT:ả
Bài25: Gi i PT:ả
Bài 26: Gi i PT:ả
Bài 27:
Bài 28:
Bài 29:
Bài 30:
14
Bài 31:
Bài 32:
Bài 33: Gi i PT:ả
Bi t r ng:ế ằ

B ài 34:
B ài 35:
B ài 36:
Bài 37:
Gi i ph ng trình:ả ươ
38.
2 8
3
2
8
x x= +
39.
3
1 2 5x x+ + + =
40.
4 4 2 4 2
8 8 4 11 11 6 19 2x x x x x x x x+ + + + + + + + + =
41.
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
42.
3 33 2 3 2
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + +
43.
2
1 2 1
2
x
x x− − = −
44.

2 2
8 816 10 267 2003x x x x− + + + + =
45.
10 6
5 5
27 5 864 0x x− + =
46.
2005 2006 2007 2008 2x x x y− + − + − + − =
47. ( x – 3 )
2
+ x
4
= -y
2
+6y – 4
48.
4 9 1
11
12
x yz x y z xy z
xyz
− + − + −
=
15
49.
2 2 2
3 2 1
20 11 2006 10127
x y z+ + +
+ + =

50.
2005 2004 2
2004 4009 2005
x y
x y y x z
+ + + =
+ + +
51.
( )
10 10
2
16 16 2 2
2 2
2 4 1 10
x y
x y x y
y x
 
+ + + = + −
 ÷
 
52.
( ) ( ) ( )
4 4 4 2 2 2
16 1 1 1 32
n n n n n n
x y z x y z+ + + =
( n là tham s nguyên d ng)ố ươ
H ng d n gi iướ ẫ ả
Bài 1:

G i ý: S d ng đ nh lý Viet b c 3ợ ử ụ ị ậ
B ài 2:
G i ý :ợ Đ t:ặ
Sau đó l p PT b c 3 nh n ậ ậ ậ làm 3 nghi mệ
+HD: Ta c ó:
(**) N u t o đ c PT b c 3 có nghi m =1ế ạ ượ ậ ệ

⇒
T ng các h s c a PT có ch a p,q=0ổ ệ ố ủ ứ
Có th d n t i đpcmể ẫ ớ
T (*)&(**) ta đ t:ừ ặ
Gi i:ả
Đ t:ặ
Áp d ng đ nh lý Viet cho PT(1); ta có:ụ ị
16
Xét 3 s a,b,c ta có:ố
+Thay a,b,c b i ở
+Thay a,b,c b i ở
Theo h th c Viet ệ ứ là nghi m c a PT:ệ ủ
⇔
⇔
⇒
B ài 3: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 4:
+HD: Bình ph ng s đã cho là nghi m c a PT:ươ ố ệ ủ
⇒
s đã cho là s vô tố ố ỉ
Bài 5:
*L u ý: Không dùng cách c a bài 4 do bình ph ng s đã cho là 1 s h u t ư ủ ươ ố ố ữ ỉ
⇒

Không
th k t lu n.ể ế ậ
+HD: Gi s ả ử là s h u t ;Đ t :ố ữ ỉ ặ
Bi n đ i ế ổ
⇒
là s vô tố ỉ
Bài 6: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 7:
Gi i: 2 v c a PT là hàm s ch n c a x ả ế ủ ố ẵ ủ
Do PT có nghi m duy nh tệ ấ
⇒
x=0
⇒
m=0
V i m = 0(*) ớ
⇔
ĐK:
⇒
⇒
V ph i ≤ v tráiế ả ế
⇒
PT(*) có nghi m ệ
⇔
Bài 8:
17
+HD:
a) Đ t ặ
(*)
⇔
⇒

Gi i h PTả ệ
b) Đ t :ặ
c) Đ t :ặ
B ài 9:
Gi i: Đ t x = costả ặ
(*)
⇔
⇒
VP
≤
1
(*)có nghi mệ
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 10: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 11:
G i ý: ĐK:ợ ; Đ t x = costặ
Gi i PTả
⇒
Bài 12:Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 13: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 14:
G i ý:ợ
S d ng BĐT B-C-S ử ụ
⇒
đpcm
Bài 15:
G i ý:ợ

Đ t ặ
Ta có h :ệ
*L u ý:Chúng ta nên linh ho t trong vi c c ng tr các n s phư ạ ệ ộ ừ ẩ ố ụ
Bài 16:
18
G i ý: Dùng BĐT Côsiợ
Bài 17:
+HD:
a)
b) C1:(2)
⇔
⇔
C2:(2)
⇔
⇔
c)
d)
Bài 18:
+HD:
a)(1)
⇔

⇔
⇔
b)(2)
c)(3)
d)(4)
f)(6)
g)
Bài 19:

+HD:
C1: chuy n v bình ph ngể ế ươ
C2: ĐK:
Ta th y PT có 1 nghi m = 1ấ ệ
Xét x
⇔
Làm t ng t cho x<1ươ ự
Bài 20:
19
+HD: đ tặ
Bài 21:
+HD: Đ tặ
x = a
Ta có h ệ
Bài 22:
+HD:chia 2 v cho 3ế
Bài 23:
+HD: Áp d ng BĐT Cô-siụ
Bai 24: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 25: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 26:
+HD: C ng 2 vào 2 v ộ ế
⇒
x=2007
Bài 27: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 28:
+HD:chia t và m u c a m i phân s cho xử ẫ ủ ỗ ố
Đ t :ặ
Bài 29:
+HD:VT>0

Bài 30:
+HD:Nhân l ng liên hi pượ ệ
Bài 31:
+HD:
B ài 32:
Áp d ng B ĐT C ô-si:ụ
B ài 33:
+HD: Áp d ng BĐT ụ
20
⇒
PT có nghi m ệ
⇔
⇔
Bài 34:
+HD: Đ t:ặ
Đ tặ
Bài 35:
+HD:Ta có :
Bài 36:
+HD:Ta c ó:
Bài 37:
+HD:Ta có :
Làm t ng t ươ ự
Tr c m i bài toán c n ph i đ t đi u ki nướ ọ ầ ả ặ ề ệ
38)
39)
40)


41)

21
(
)
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
. 2 1. 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1x x x x x x x x x
 
+ + − ≤ + + + − = + + + −
 
 
8 8 4
4 4 2
1 1
2 2 2 .
8 8
1 1
2 .
4 4
x x x
x x x
+ ≥ =
+ ≥ =
3
3
x 7 1 2 5
2 x 7 1 2 5
x x

x x
> ⇔ + + + >
− ≤ < ⇔ + + + <
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
4 2 2
2 2
4 2 2
8 2 1 3 3 1 4
8 3 4
x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + + +
≥ + + + + +
(
)
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
. 2 1. 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1x x x x x x x x x
 
+ + − ≤ + + + − = + + + −
 

 
6
5
4
5
6
4 4 4
5
6 6
Chia hai ve Cho x 0
32.27
27 5
1 1 1
5
3 3 3 27
x
x
x x x
x x
≠
⇔ + =
⇔ + + + + ≥
42)Xét :
Ta ch ng minh hàm f(t) đ ng bi n trên Rứ ồ ế
43)
( )
( )
2
2 2
1 1 2

1. 1 2 1 1
2 2 2
x x
x x
x x x
+ − −
+ − − ≤ + = − ≤
44)
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
: +tCMR x y z t x z y+ + + ≥ + +
D u b ng x y ra khi và chấ ằ ả ỉ
khi x.t = y.z
( )
( )
( )
( )
: 4
20 2
5
11 2
Thay x x
y
x z
t
− =
=
+ =

=
45)
46)
2005 2006 2007 2008 2005 0 2007 0 2x x x y x x− + − + − + − ≥ − + + − + =
47)
( )
( )
2
2
2
1 3 1 5 5x x− + − + ≥

( )
2
3 5 5y− − + ≤
48)
9
4 1 4 4 9 9 1 1 11
2 .2 3 .2 .2 12
y
x z x y z
x y z x y z
−
− − − + − + − +
+ + ≤ + + =
49)
2 2 2
3 3, 2 2, 1 1x y z+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2
3 2 1 3 2 1

20 11 2006 20 11 2006 10127
x y z+ + +
⇒ + + ≥ + + =
50)
Áp d ng: ụ
( )
2
1 4
ab
a b
≥
+
51)
10 10
2 2
2 2
1 1 4
x y
x y
y x
+ + + ≥
( )
10 10
2
16 16 2 2
2 2
2 4 1 10
x y
x y x y
y x

 
⇒ + + + ≥ + −
 ÷
 
52)
4 2
16 1 8 0
n n
x x+ ≥ ≥
T ng t cho n y, z.ươ ự ẩ
22
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2005 2004 2

2004 4009 2005 2008
2007 2006 2006 2007.5003
2
2007 2006 5003 2008
x y
x y y x z
x x y y x y
x y x y z
+ + + =
+ + + −
+ + + + +
⇔ + =
+ + + −

( )
( ) ( )
3
3 2
1
2 3 1
f t t t
f x x f x
= + +
− = +