Phân dạng các bài tập tích phân có lời giải chi tiết

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUN HÀM

Bài 1. Tính các tích phân sau :
2

∫(x

a.

2

1

2

+ 2 x + 1) dx

2

d.

x
∫1 x 2 + 2 dx
−
2

g.

∫(

−1

)(

1

∫

e.

(x

4

)

∫( x

h.

+ 4)
x

−2
2

x + 1 x − x + 1 dx

2

 2 3 3 x +1 
∫  x + x + e ÷dx

1

b.

2

2

∫

c.

1

2

e

1
2


+ x 2 ÷dx


4

)

+ x x + 3 x dx

i.

∫(

)

x + 2 3 x − 4 4 x dx

1

e2

x2 − 2x
k. ∫
dx
x3
1

1

1

1

2



∫ x + x + x


f.

dx

x −1
dx
x2

8

2 x + 5 − 7x
l. ∫
dx
x
1

m.



∫  4x − 3

1


÷dx
x2 

1
3

GIẢI
2

∫(x

a.

2

1

1
2  8
 1
 19
+ 2 x + 1) dx =  x 3 + x 2 + x ÷ =  + 4 + 2 ÷−  + 1 + 1÷ =
3
1  3
 3
 3
2

2

3
1
1  1
e7 − 3e4


1
 8
 7
b. ∫  x 2 + + e3 x +1 ÷dx =  x 3 + 3ln x + e3 x +1 ÷ =  + 3ln 2 + e7 ÷−  + e 4 ÷ = + 3ln 2 +
x
3
3  3
3

3
1  3
 3
1
2

2

2

x −1
1
1
1

1 1 

c. ∫ 2 dx = ∫  − 2 ÷dx =  ln x + ÷ = ln 2 + − 1 = ln 2 −
x
x x 
x 1
2
2

1
1

2
2
2
x
1 d ( x + 2) 1
1
1
1
d. ∫ 2
dx = ∫
= ln ( x 2 + 2 ) = ln 6 − ln 3 = ln 2
2
−1
x +2
2 −1 x + 2
2
2
2

2
−1
2

−1

e.

∫

(x

4

+ 4)

2

x2

−2

−1

−1

−1

x8 + 8 x 4 + 16
16 


1

dx = ∫
dx = ∫  x 6 + 8 x 2 + 2 ÷dx =  x 7 + 4 x 3 + 16 ln x ÷ =
2
x
x 
7
 −2
−2
−2 
e

e

1 1
1 1 
e3 1 2



x + + 2 + x 2 ÷dx =  x 2 + ln x − + x 3 ÷ = e 2 + − +
∫ x x
x 3 1
3 e 3


1

f.

2

g.

∫(

)(

h.

∫(
1

4

i.

∫(
1

2

)

x + 1 x − x + 1 dx = ∫

1

2

2

1

(

2

)

2 5
 8 2 +3
x + 1 dx =  x 2 + x ÷ =
5
5
1
3

2

1
3
 2

1 3 2 5 3 4 
71 8 2 9 3 3
2
3

2
3
x + x x + x dx = ∫  x + x + x ÷dx =  x + x + x ÷ =
+
+
5
4 1 60
5
4

3
1
2

2

)

3

4

1
1
 1

2 3
3 4 16 5 
x + 2 x − 4 x dx = ∫  x 2 + 2 x 3 − 4 x 4 ÷dx =  x 2 + 2. x 3 − x 4 ÷ =
4

5

3
1
1
3

4

2

)

4

2

x2 − 2x
2
1 2 

k. ∫
dx = ∫  − 2 ÷dx =  ln x + ÷ = ln 2 − 3
3
x
x x 
x

1
11 

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

1


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
e2

e

e
2 x + 5 − 7x
 2 5

dx = ∫ 
+ − 7 ÷dx = 4 x + 5ln x − 7 x = 4 e − 7e + 8
1
x
x x

1
1
8
8


 2 1 1
1 
1 −2 

3
m. ∫  4 x −
÷dx = ∫  4 x − x ÷dx =  2 x − x 3 ÷ = 125
3
3 
3 3 x2 


1
1

l.

∫

(

)

Bài 2. Tính các tích phân sau
2

a.

5

∫

x + 1dx

∫

xdx

1
2

d.

2
2

1− x

0

∫

e.

2

x2
3

x

2
( x + 1)
3

3
2
2
1

0

2

dx
x+2 − x−2

∫

b.

c.

2

)

+ x x + 3 x dx

1
4

dx

3

∫( x
∫x

f.

x 2 + 9dx

0

GIẢI
2

2

1
2

∫

x + 1dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) =

5

a.

dx
1
=∫

x+2 − x−2 2 4

1

b.

1

5

∫
2

2

c.

∫(
1

∫
0

2

) (

)

)

) (
)
1+ x
1
∫ x x + 9dx = ∫ ( x + 9 ) d ( x + 9 ) = 3 ( x + 9 )

∫

(

2

2

)

3

2

x2

3

0

3

dx = ∫ 3 1 + x 3 d

4

f.

)

3
3
1 2
1

x + 2) 2 + ( x − 2) 2  = 7 7 + 3 3 − 8
(
43

2 6

1
3


1
2 5 3 4 7 7 8 2 33
x + x x + x dx = ∫  x 2 + x 2 + x 3 ÷dx =  x 3 + x 2 + x 3 ÷ = − +
+
2
3
5
4 1 3 20

5
2


1
1
1
xdx
= −∫ d 1 − x2 = − 1 − x2 = 1
2
0
1− x
0

2

e.

)
5

x + 2 + x − 2 dx =

(

1

d.

(

(

2
3 3−2 2
3

=

0

(

3

1 + x3 =

1
2

3

1 + x3

22
0

=

4

2

0

2

2

2

0

3

34
0

9 −1
2
=

2
3

Bài 3. Tính các tích phân sau
π
2

π

π

a. ∫ sin  2 x + ÷dx
6

0
π
4

d.

∫
0

π
2

g.

t anx
dx
cos 2 x
dx

∫ 1 + s inx
0

π
3

k.

∫ ( t anx-cotx ) dx

−

2

π
6

b.

∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx

π
3
π
3

e.

h.

c.

∫ ( sin 3x + cos2x ) dx
0

∫ 3 tan

π
4
π
2

π
6

2

π
4

xdx

1 − cosx

∫ 1+cosx dx

π
6
π
2

i.

0

π

sin  − x ÷
4
 dx
l. ∫
π

π
+ x÷
− sin 
2
4


∫ sin

2

2

x + 5 ) dx

x cos 2 xdx

0

π
2

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

∫ ( 2 cot

f.

π
3

m.

∫ cos xdx
0

4


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
GIẢI
π

π

a.

π
1
π
1



∫ sin  2 x + 6 ÷dx = − 2 cos  2 x + 6 ÷0 = − 2




0

(

)

3− 3 =0

π
2

π

1 2
3 3 π2

b. ∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx =  −2 cos x + 3sin x + x 2 ÷ = 6 −
+
2 π
2
18

π
3

3
π
6

π

1
 1
6 2 + 3
c. ∫ ( sin 3x + cos2x ) dx =  − cos3x+ sin 2 x ÷ =
2
4
 3
0
0
π
4

d.

∫

0
π
3

e.

π

4

1
3π
t anx
2
2
dx = ∫ ( t anx ) 2 d ( t anx ) = ( t anx ) 2 04 =
2
cos x
3
3
0

π
3

π
π
 1

3
3 tan 2 xdx = 3∫ 
− 1÷dx = 3 ( t anx-x ) π = 3 3 − 3 −
2
∫
4

π
π  cos x

4
4

4

π
4
π
6

2

π
4

6

∫ ( 2 cot

f.

π
4

6

π
  1
−2 
π

 

4
x + 5 ) dx = ∫  2  2 − 1÷+ 5 ÷dx = ∫  3 − 2 ÷dx = ( 3 x − cot x ) π = + 3 − 1
sin x 
4
 
π   sin x
π 
6
π


2

÷
dx
1
x
2

g. ∫
=∫
.d  tan ÷ = − 
=1
2
x÷
1 + s inx 0 
2
x 

0
 1 + t an ÷
1 + t an ÷

2 0
2

π
2

π
2

π
π 

2 x
π
2 2sin
2
 1
÷
1 − cosx
x

2 4 −π
2 dx =
h. ∫
dx = ∫
∫  2 x − 1÷dx =  2 tan 2 − x ÷0 = 2

1+cosx
2 x


0
0 2 cos
0  cos
÷
2

2 
π
2

π
2

π
2

π
2

π

1
1  1 − cos4x 
1
1
2 1  π 1 

i. ∫ sin x cos xdx = ∫ sin 2 2 xdx = ∫ 
dx =  x − sin 4 x ÷ =  + ÷
÷
40
4 0
2
8
4

0 8  2 4 
0
2

2

π
3

k.

π
3

2cos2x
∫π ( t anx-cotx ) dx = ∫π − sin 2 x dx =

−

−

6

6

π
3

∫

−

π
6

π
− d ( sin 2 x )
= − ln sin 2 x 3π =0
−
sin 2 x
6

π
π
π

sin  − x ÷
π
2
2
d ( cosx+sinx )

cosx-sinx 
4
 dx = 
l. ∫
dx = ∫
= ln cosx+sinx 2π = − ln 2
∫π  cosx+sinx ÷
−
cosx+sinx
π



π
π
2
+ x÷
− sin 
−
−
2
2
2
4

π
2

π
3

π

π

14
1
1
1 1
 4 1  3π
m. ∫ cos 4 xdx = ∫ ( 3 + 4 cos 2 x + cos4x ) dx =  3 x + 2sin 2 x + sin 4 x ÷ = 
+ 2 − ÷ = ( 3π + 7 )
80
8
4
4  32
0 8  4
0

Bài 4. Tính các tích phân sau :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

3


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

d ( e + e− x )
e −e
e2 + 1

x
−x 1
a. ∫ x − x dx = ∫ x − x = ln e + e
= ln
0
e +e
e +e
2e
0
0
1

−x

x

x

1

x +1
2
2
x +1
x dx = d ( x + ln x ) = ln x + ln x = ln ( 2 + ln 2 )
b. ∫ 2
dx = ∫
∫ x + ln x
x + x ln x
x + ln x

1
1
1
1
2

2

1
( e x − 2 ) ( e x + 2 ) dx = 1 e x − 2 dx = e x − 2 x 1 = e − 3
e2 x − 4
c. ∫ x
dx = ∫
) (
)0
∫(
e +2
ex + 2
0
0
0
1

ln 2

ex
dx =
ex + 1

∫

d.

0

 e− x
e x 1 −
∫  x
1

∫

e +1
x

0

= ln e x + 1

ln 2
0

= ln 3 − ln 2

2
2

1

dx = ∫  e x − ÷dx = ( e x − ln x ) = e 2 − e − ln 2

÷
1
x

1

2

e.

d ( e x + 1)

ln 2

1

x
1
 e  x 
ex
e
e
f . ∫ x dx = ∫  ÷ dx =  ÷  = − 1
2
2
2
 2  
0
0



1

0

π
2

π
2

0

0

π

cosx
cosx
cosx
∫ e s inxdx=-∫ e d ( cosx ) = − ( e ) 2 = e − 1

g.

4

∫

h.

1

e

x

x

4

( ) = 2( e )

dx = ∫ 2d e
1

x

x

4
1

= 2 ( e2 − e )

e

∫

i.

e

0

1
e

1
3
1 + ln x
2
2
e
dx = ∫ ( 1 + ln x ) 2 d ( ln x + 1) = ( 1 + ln x ) 21 = 2 2 − 1
x
3
3
1

(

)

e

e
ln x
1
1
k. ∫

dx = ∫ ln xd ( ln x ) = ( ln 2 x ) =
1
x
2
2
1
1
1

x
∫ xe dx =

l.

2

0

( )

1 x2
e
2

1
0

=

1

( e − 1)
2

1
( 1 + e x − e x ) dx = 1 1 − e x  dx = x − ln 1 + e x 1 =1 − ln 1 + e + ln 2 = 1 + ln 2
1
m. ∫
dx = ∫
( )
∫  1+ ex ÷
0
1 + ex
1 + ex
1+ e

0
0
0
1

II. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Dạng 1.( Đặt ẩn phụ )
Bài 1. Tính các tích phân sau
1

1

b. ∫
0

4

1

1

1 1
1
19
 1 20 1 21 
19
∫ x ( 1 − x ) dx = ∫ x ( 1 − x ) dx =  20 x − 21 x ÷0 = 20 − 21 = 420


0
0

a.

x3

1

(1+ x )

2 3

dx . Đặt : t = 1 + x ⇒ dt = 2 xdx ⇔ ∫
2

0

x 2 xdx

(1+ x )

2 3

1 ( t − 1)
1 1 1 
7
= ∫ 3 dt =  + 2 ÷ = −
21 t
2  t 2t 1
16
2

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

2


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1

c.

x

1

5

∫ 1+ x
0

1

d.

x xdx
2
2
. Đặt :
( t − 1) dt = 2 1  t − 2 + 1  dt = 1  1 t 2 − 2t + ln t 2 = 2 ln 2 − 1
2
x +1
⇔∫
÷

÷
∫ 2
2t
t
22
4

1
1
1

dx = ∫

2

x 2 + 1 = t ⇒ dt = 2 xdx; x 2 = t − 1.

4

0

xdx
1
t 2 −1
dx ∨ x =
.x = 1 → t = 1; x = 1 → t = 3
. Đặt : t = 2 x + 1 ⇒ dt =
2x +1
2
2x +1

∫
0

1

∫

Do đó : d .

3

xdx
=
2x +1

0

∫

(t

2

− 1)

2

1

3

11
1

dt =  t 3 − t ÷ =
23
3
1

1

e.

∫x

1 − x 2 dx . Đặt : t = 1 − x 2 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇔ xdx = −tdt ; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 0

0

1

0

1

1

1 3 1
2
2
2
∫ x 1 − x dx = −∫ t dt = ∫ t dt =  3 t ÷0 = 3


0
1
0

Do đó : e.

1

∫x

f.

1 − x 2 dx . Đặt : t = 1 − x 2 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇔ xdx = −tdt ; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 0

3

0

1

Vậy :
2 3

∫

g.

5

1

0

1

1

1 2 1 4 1
3
2
2
2
2
3
∫ x 1 − x dx = ∫ x 1 − x xdx = −∫ ( 1 − t ) tdt = ∫ ( t − t ) dt =  2 t − 4 t ÷0 = 4


0
0
1
0
2 3

dx
x x2 + 4

xdx

∫

=

x2 x2 + 4

5

. Đặt :

t = x 2 + 4 ⇒ x 2 = t 2 − 4; ⇔ xdx = tdt ; x = 5 → t = 3; x = 2 3 → t = 4
2 3

∫

Vậy :
h.

x5 + 2 x3

∫

1 + x2

0

3

∫

Vậy :
ln 2

i.

∫
0

∫

( e x + 1)

e

dx =

3

0

ln 2

∫

d ( 1+ ex )
1+ ex

0

∫ (e
0

∫

x 2 ( x 2 + 2 ) xdx

x

+ 1)

−

1
2

1 + x2

2

=∫
1

= ln 1 + e x

ln 2
0

(t

2

− 1) ( t 2 + 1)
t

2

2

1

1
 15
dt = ∫  t 3 − ÷dt =  t 4 − ln t ÷ = − ln 2
t
4
1 4
1

= ln 3 − ln 2
ln 3

1


x
d ( e + 1) =  2 ( e + 1) 2  = 4 − 2 2

0
x

2 + ln x
dx
dx . Đặt : t = 2 + ln x → t 2 − 2 = ln x; ⇒ 2tdt = ; x = 1 → t = 2, x = e → t = 3
2x
x

∫
1

e

Vậy :

∫
1

e

m.

3

ln 3

e x dx

0

l.

1 + x2

ex
dx =¬
1 + ex

ln 3

k.

dx . Đặt : t = 1 + x 2 → x 2 = t 2 − 1; ∨ xdx = tdt.x = 0 → t = 1; x = 3 → t = 2

x5 + 2 x3

0

4

4

tdt
1 1
1 
1 t −1
1 3
2 1 9
=∫ 
−
=  ln − ln ÷ = ln
÷dt = ln
2
2  t −1 t +1 
2 t +1 3 2  5
3  2 10
3 ( t − 1) t
3

=∫

x2 x2 + 4

5

3

4

xdx

∫
1

2 + ln x
dx =
2x

3

3

3 3−2 2
1 3
∫ t.tdt =  3 t ÷ 2 = 3


2

1 + 3ln x

3dx
ln xdx . Đặt : t = 1 + 3ln x ↔ t 2 − 1 = 3ln x; 2tdt =
; x = 1 → t = 1; x = e → t = 2
x
x

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

5


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
e

Vậy :

e

∫
1

π
2

n.

∫
0

Vậy :

2

2

2

1 + 3ln x
dx
t 2 −1 2
2
21
1  116
ln xdx = ∫ ln x. 1 + 3ln x . = ∫
t tdt = ∫ ( t 4 − t 2 ) dt =  t 5 − t 3 ÷ =
x
x 1 3 3
91
95
3 1 135
1

t = cos 2 x + 4sin 2 x ⇒ t 2 = cos 2 x + 4sin 2 x; ⇔ 2tdt = 3sin 2 xdx; x = 0
sin 2 x
dx . Đặt :
π
2
→ x = 0; x = → t = 2
cos x + 4sin 2 x
2

π
2

2

2

2

2
1 2
4
2 
dx = ∫ tdt. = ∫ dt =  t ÷ =
3
t 31
 3 0 3
cos 2 x + 4sin 2 x
0
sin 2 x

∫
0

π
2

cosxsin 3 x . Đặt : t = 1 + sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx;sin 2 x = t − 1; x = 0 → t = 1; x = π → t = 2
o. ∫
dx

2
1 + sin 2 x
0
π
2

π
2

2
Vậy : ∫ cosxsin x dx = 1 ∫ sin x.sin22 xdx = 1 ∫ ( t − 1) dt = 1 ∫ 1 − 1  dt = 1 ( t − ln t ) = 1 − ln 2

÷
1 + sin 2 x
2 0 1 + sin x
21
t
21 t
2
2
0
1
3

2

2

2

π
6

π
5
sin 2 xdx
. Đặt : t = 2sin 2 x + cos 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx; x = 0 → t = 1; x = → t =
∫ 2sin 2 x + cos 2 x
6
4
0

p.

Vậy :

π
6

5
4

5
sin 2 xdx
dt
5
= ∫ = ln t 14 = ln
∫ 2sin 2 x + cos2 x 1 t
4
0

2.Dạng 2.
Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp dổi biến số dạng 2
1
2

a.

∫
0

dx
1 − x2

1
2

π
6

. Đặt : x = sin t ⇒ dx = costdt;x=0 → t=0;x= → t = ; 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cost .( Do
π
6

1
2

π
6

π
dx
costdt
π
 π
t ∈ 0;  ⇔ ∫
=∫
= ∫ dt = ( t ) 06 = .
6
 6
1 − x 2 0 cost
0
0
1
x3
b. ∫
dx
4 − x2
0

π
6

Đặt : x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt ; x = 0 → t = 0; x = 1 → t = ; 4 − x 2 = 2 cos t
1

⇔∫
0

π

6

π

π

π

( 2sin t ) .2 cos tdt = 8 6 sin 2 t sin tdt = 8 6 1 − cos 2t d −cost = 8  1 cos3t − cos t  6 = 2 − 3 3
x
dx = ∫
) 
) (
÷
∫
∫(
2 cos t
3
0 3
4 − x2
0
0
0
3

3

2

c.

∫x
1

2

4 − x 2 dx .

π
6

π
2

2
• Đặt : x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt ; x = 1 → t = ; x = 2 → t = ; 4 − x = 2 cos t

6

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Vậy :
2

∫x

2

1

π
2

π
2

d.

∫x

π

1
3

 2 2π
4 − x dx = ∫ 4sin t.2 cos t.2 cos tdt = ∫ 4sin 2tdt = ∫ 2 ( 1 − cos4t ) dt =  2t − sin 4t ữ =

2
3
2





2

2

6
3


2

2

6

6

6

dx
+3

2

0

ã t : x = 3 tan t ⇒ dx = 3

1
π
dt; x = 0 → t = 0; x = 3 → t = ; x 2 + 3 = 3 ( 1 + tan 2 t )
2

cos t
3

π
3

π
3

π
3

 3 
dx
3dt
3
π 3
=∫
=∫
dt = 
2
2
 3 t÷ = 9
÷
+ 3 0 cos t 3 ( 1 + tan t ) 0 3
0

0
1
1

dx
1 
 1
e. ∫ 2
= ∫ 2
− 2
÷dx = I − J ( 1)
2
x +1 x + 2 
0 ( x + 1) ( x + 2 )
0
3

•

∫x

2

1

dx
. Đặt :
x +1
0
1
π
x = tan t ⇒ dx =
dt ; x = 0 → t = 0, x = 1 → t = ;1 + x 2 = 1 + tan 2 t
2

cos t
4

• Tính : I = ∫

2

π
4

π
4

π
dt
π
dt = ∫ dt = ( t ) 04 =
2
2
4
0 cos t ( 1 + tan t )
0

⇒J =∫

1

dx
dt
π

• Tính : J = ∫ x 2 + 3 . Đặt : x = 3 tan t ⇒ dx = 3 2 .x = 0 → t = 0; x = 3 → t =
cos t

0

π
3

π
3

3

π

 3 3 π 3
dx
3dt
3
• Vậy : I = ∫ 2 = ∫ 2
=∫
dt = 
 3 t÷ = 9
÷
x + 3 0 cos t 3 ( 1 + tan 2 t ) 0 3
0

0
1

• Do đó : I-J=
1

f.

∫x
0

4

π π 3
−
4
9

xdx
.
+ x2 + 1
1

1

xdx
1
dt
1
• Đặt : x = t ⇒ dt = 2 xdx; x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 1 ⇒ ∫ x 4 + x 2 + 1 = 2 ∫ t 2 + t + 1 = 2 I
0
0
2

1

ã Tớnh :

I =
0

1
2

1 3
ữ
t + ữ + 
 2  2 
2

dt

1
2

. Đặt : t + =

3
3
tan u ⇒ dt =
du
2
2cos 2u

2

•

2
3
π
π
 1  3
2
⇔ t + ÷ + 
 2 ÷ = 4 ( 1 + tan u ) ; t = 0 → u = 6 ; t = 1 → u = 3
÷
 2 


Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

7


CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
π
3

•
0

∫

g.

π
3

π

 2 3 3 π 3
2 3
I=∫
du =
du = 
∫  3 u ÷π = 9
÷
3
3 π
2
π 2cos 2 u


( 1 + tan u )
6
6
6
4
dx
3

x2 + 2x + 2

−1

.

2
• Ta có : x + 2 x + 2 = ( x + 1) + 1 ⇒ x + 1 = tan t → dx =
2

0

dx

∫

• Vậy :

π
4

−1

x2 + 2x + 2

=∫
0

dt
cos 2t 1 + tan 2 t

π
4

dt
π
; x = −1 → t = 0; x = 0 → t =
2
cos t
4
π
4

1
1
dt = ∫
cost
0
0  1 − tan 2



=∫

dt
t
2 t
÷ cos 2
2

π

4
π
t


tan + 1
tan + 1

÷ 
1
1
t
π
8
2
⇔ −2 ∫ 
−
= 2 ln
= 2 ln tan = 0
÷d  tan ÷ = 2 ln
t
t
t
π
2
4
0  tan
− 1 tan + 1 ÷ 
tan − 1

tan − 1

2
2 
2
8
0

π
4

•
2

x2 − 1
dx
x3

∫

h.

1

π

x =1 → t = 2
1
cost
cost

π π 
; x2 −1 =
• Đặt : x = sin t ⇒ dx = − sin 2t dt → 
. t ∈  4 ; 2  ⇒ sin t , cost>0
sint


x = 2 → t = π


4
2

∫

• Vậy :
1

i.

1

π
2

π
2

dx

∫

( 1+ x )

2 3

0

x = 0 → t = 0
dt
;
• Đặt : x = tan t → dx = cos 2t → 
x = 1 → t = π

4
1

• ⇒∫
0

2
3

k.

π

x −1
cost
1

cost
1 + cos2t
1 1
2 π + 2
dx = ∫
.
. − 2 dt = − ∫
dt = −  t − sin 2t ÷ =
3
3
x
sin t
2
2 2
8
π
π sint  1 
π
3

÷
4
4
 sin t 
2

∫x
2

π

4

dx

( 1+ x )

2 3

(1+ x )

2 3

=

1
cos 3t

π

4
π
dt
1
2
=∫
.
= ∫ costdt = ( sin t ) 04 =
2
cos t 1
2

0
0
cos3t

dx
x2 −1

π

x = 2 → t = 6
1
cost
cost
; x2 −1 =
• Đặt : x = sin t → dx = − sin 2t dt ; → 
sint
x = 2 → t = π

3
3


8

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2
3

∫

• Vậy :
2
2

l.

x2

∫

1− x

0

2

2

π
3

π

π
3
cost
π

π π 
3
=∫
− 2 dt = − ∫ dt = ( −t ) π = −  − ÷ = −
6
3 6
x x 2 − 1 π 1 . cost sin t
π
6
6 sin t sint
6

dx

1

dx .

 x=0 → t=0

• Đặt : x = sin t ⇒ dx = costdt ⇔ 
2
π;
x=
→t =


2
4
2

2

• Vậy :

∫
0

2

m.

π
4

1 − x 2 = cost

π
4

π

sin t
1 − cos2t
1 1
4 π − 2
dx = ∫
costdt= ∫
dt =  t − sin 2t ÷ =
cost
2

2 2
8
0
1 − x2
0
0
x

2

2

2

2 x − x dx = ∫ x 1 − ( x − 1) dx

∫x

2

2

0

0

π

x = 0 → t = − 2
 x = 1 + sin t

→ 2 x − x 2 = cost
• Đặt : x − 1 = sin t ⇒  dx = costdt ; ⇔ 

x = 2 → t = π


2

•
2

π
2

π
2

π

2
1
2
 1 + cos2t
 1  1
2
3 

∫ x 1 − ( x − 1) dx = ∫π ( 1 + sin t ) cost.costdt= ∫  2 − cos td ( cost ) ÷ 2  t + 2 sin 2t − 3 cos t ÷ −π = 3



π 
0
−
2

2

2

2

III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1. Tính các tích phân sau
π
4

a.

∫ x sin 2 xdx

π
2

b.

0

∫

xcos x dx

e.

∫ xe dx

h.

0

π
2

k.

∫e

3x

sin 5 xdx

o.

∫x
1

∫ x tan

xdx

l.

ln xdx

p.

2x

dx

0

3

i.

∫e

m.

∫ ln ( x

2

2

− x ) dx

e

cosx

sin 2 xdx

ln x
∫ x 2 dx
1
e

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

∫ ln

3

xdx

1

e

2

∫ ( x − 2) e

f.

0

3

2

1

2

∫ x ln xdx

1
π
2

0

e

∫ x cosxdx
0

π
4
e

ln 2

x

c.

0

0

g.

2

π
3

π2
4

d.

∫ ( x + sin x ) cosxdx

2π

0

q.

∫ x( e

−1

2x

)

+ 3 x + 1 dx

9


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
GIẢI
π
4

∫ x sin 2 xdx

a.

0

• Đặt :
π

π

π 4
u = x → du = dx
π
4
1
1
1
1


→ ∫ x sin 2 xdx = − xcos2x 4 + ∫ cos2xdx= sin 2 x 04 =
1
 dv = sin 2 xdx → v = − cos2x
2
2
4
4
0
0 0

2
π
2

π
2

π
2

π
1 3
1
b. ∫ ( x + sin x ) cosxdx = ∫ x cos xdx + ∫ sin xcosxdx=I+ sin x 2 = I + ( 1)
3
3
0
0
0

0
2

π
2

2

π
2

π

π 2
π
π
π
Ta có : I = ∫ x cos xdx = ∫ xd ( s inx ) = x sin x 2 − ∫ s inxdx= + cosx 2 = − 1
2
2
0
0
0 0
0

Thay vào (1) :

π
2

π

1

π

2

∫ ( x + sin x ) cosxdx = 2 − 1 + 3 = 2 − 3
2

0

2π

∫ x cosxdx
2

c.

0

2π

∫

x 2 cosxdx =

0

2π

∫

2π


2π 2π
2π 2π
− ∫ 2 x sin xdx = 2 ∫ xd ( cosx ) = 2  x cos x
− ∫ cosxdx 
0 0
0 0


0



x 2 d ( sinx ) = x 2 s inx

0


2π 
= 2  2π − s inx
 = 2 [ 2π − 0 ] = 4π
0

π2

4

d.

∫

xcos x dx

0

• Đặt : t = x → dt =

1
2 x

dx → 2tdt = dx.x = 0 → t = 0; x =

π2
π
→t =
4
2

• Vậy :
π2
4

∫
0

π
2

π
2

π

π 2
π2
π
π2
2
2
2
xcos x dx = ∫ 2t costdt= ∫ 2t d ( sin t ) = 2t sin t 2 − ∫ 4t sin tdt =
sin − J =
− J (1)
2
2
2
0
0
0
0

π


π


π 2

π
2




0 + sin t 2  = −4
• Tính : J = ∫ 4t sin tdt = −4  ∫ td ( cost )  = −4 t cos t 2 + ∫ costdt  = −4 

0


0 0
0
0








π
2

• Vậy thay vào (1) ta có :

π2
4

∫
0

10

xcos x dx =

π2
+4
2

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
π
3

e.

∫ x tan

2

xdx

π
4

π π
3
u = x → du = dx
3π
3
→ ∫ x tan 2 xdx = x ( t anx-x ) − ∫ ( t anx-x ) dx =
− J (1)
• Đặt : 
2
π π
4
 dv = tan xdx → v = t anx-x π
4
4 4
π π
π
π
π
π
3
3
3
3
d ( cosx ) 1 2 3
3
• Tính ∫ ( t anx-x ) dx = ∫ t anxdx- ∫ xdx = x tan x π − ∫ − cosx − 2 x π
π

π
π
π
4
4
4
4 4
4
π
2
2
π 1π π 
π π2 1
3
=π 3− − 
− ÷+ ln ( cosx ) = π 3 − −
+ ln 2
π
4 2 3
4 
4 24 2
4
π
3

π
3


3π 

π π2 1
Vậy thay vào (1) thì : ∫ x tan xdx = −  π 3 − − + ln 2 ÷
4 
4 24 2
π

2

4

 1
1 1
1
1
1
1
x − 2 ) d ( e 2 x ) = ( x − 2 ) e 2 x − ∫ e 2 x dx  =  2 − e −2 − e 2 x 
∫(
0 0
0
20
2
2
 2
0


1 1
5 1 e2
= 1 − 2 − ( e 2 − 1) = − 2 −

2e 4
4 2e
4
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
g. ∫ xe x dx = ∫ xd ( e x ) = xe x
− ∫ e x dx = 2 ln 2 − e x
= 2 ln 2 − 2 + 1 = 2 ln 2 − 1
0
0
0
0
0
1

f.

2x
∫ ( x − 2 ) e dx =

e

h.

∫ x ln xdx =
1

π
2

k.

∫e

3x

1

e
e e 1  1
1
1
1
ln xd ( x 2 ) =  x 2 ln x − ∫ x 2 dx  = e 2 − x 2
∫
1 1 x  2
21
2
2



e  e2 + 1
=
1
4

sin 5 xdx

0

π

π
u = e3 x → du = 3e3 x
1
3 2 3x
1
3x

→ I = − cos5x.e 2 + ∫ e cos5x= + J (1)
• Đặt : 
1
5
50
5
dv = sin 5 xdx → v = − cos5x
0

5

π

π
u ' = e3 x → du ' = 3e 3 x
1 3x
32

1 3π

→ J = e sin 5 x 2 − ∫ e3 x sin 5 xdx = e 2 − I (2)
• Đặt : 
1
5
50
5
dv ' = cos5 xdx → v ' = sin 5 x
0

5

1

π
3
I − J = 5
e 2 +1

→I =
• Từ (1) và (2) ta có hệ : 
10
1 3π
I + J = e 2

5


Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

11


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
π
2

l.

∫e

cosx

0

π
2

sin 2 xdx = 2 ∫ e cosx s inx.cosxdx
0

π

π
π
2
u = cosx → du = − s inxdx
cosx
cosx

cosx
→ I = −2e cosx 2 − 2 ∫ sinxe dx = 2e + 2e
2 =2
• Đặt : 
cosx
cosx
 dv = e s inxdx → v = −e
0
0
0
e

m.

∫ ln

3

xdx

1


3ln 2 x
e e
u = ln 3 x → du =
dx

→ I = x ln 3 x − 3∫ ln 2 xdx = e − 3J (1)
x

• Đặt : 
1 1
 dv = dx → v = x

2 ln x

2
e
u ' = ln x → du ' = x dx J = x ln 2 x e − 2 ln xdx = e − 2 K (2)
• Đặt : 
1 ∫
1
dv ' = dx → v ' = x

dx

e
u '' = ln x → u '' = x → K = x ln x e − dx = e − x e = 1
• Đặt : 
1 ∫
1
1
dv '' = dx → v '' = x


• Thay các kết quả vào (1) ta có : I = e − 3 ( e − 2.1) = 6 − 2e
e

o.

∫x

3

ln 2 xdx

1

2 ln x

2
u = ln x → du = x dx
e 1e
1
e4 1
→ I = x 4 ln 2 x − ∫ x 3 ln xdx = − J (1)

• Đặt :
1 21
4
4 2
 dv = x 3dx → v = 1 x 4


4

• Đặt :
dx

u ' = ln x → du ' = x

e 1e 3
1 4
e4 1 1 e e4 1
3e 4 + 1
→ J = x ln x − ∫ x dx = − . x 4 = − ( e 4 − 1) =

1 41
4
4 4 4 1 4 16
16
 dv ' = x 3dx → v ' = 1 x 4


4
e 4 1  3e 4 + 1  e 4 − 1
• Thay các kết quả vào (1) ta có : I = 4 − 2  16 ÷ = 32


e

p.

ln x
dx
2
1 x

∫
e

dx

e e
e
u = ln x → du = x
1
1
2
1  1
→ I = − ln x 1 − ∫ − 2 dx = + e ữ 1 =
ã t : 
x
x
e
e  x
 dv = dx → v = − 1
1
e
e
2

x
x

0

q.

∫ x( e

−1

12

2x

)

0

0

+ x + 1 dx = ∫ xe dx + ∫ x 3 x + 1dx = I + K (1)
3

2x

−1

−1

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Đặt :

u = x → u = dx
0

0
1 2x 0 1 2x
1 1
1 1
1
e2 + 1

− ∫ e dx = − 2 − e2 x
= − 2 − 1 − 2 ÷ = −
( 2)
1 2 x → I = xe
 dv = e2 x dx → v = e
−1 2 −1
−1
2
2e 4
2e 4  e 
4

2
 x = t3 −1
3
x +1 = t → t3 = x +1 → 
; x = −1 → t = 0; x = 0 → t = 1
• Đặt :
2
 dx = 3t dt
1

1

1

 7


6
3
4
• Vậy : I = ∫ ( t − 1) t.3t dt = 3∫ ( t − t ) dt = 3  7 t − 4 t ÷ 0 = 3  7 − 4 ÷ = − 28
3

1

2

0

1



0



1

1



9



IV. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1. Tính các tích phân sau
2

a.

∫

2

x − 2 dx

b.

0

∫x

2

− 1 dx

e.

x − 6 x + 9dx
2

h.

∫ ( x + 2 − x − 2 ) dx

∫

x − 4 x + 4dx
3

2

0

1

2

+ 2 x − 3 dx

0

3

∫2

f.

−2
3

4

∫

∫x

5

−3

g.

c.

0

3

d.

∫

2

x 3 − x dx

x

− 4 dx

0

1

i.

∫

4 − x dx

−1

GIẢI
Bài 1.
2

a.

∫ x − 2 dx . Do :

x ∈ [ 0; 2] ⇒ x − 2 < 0, ⇔ x − 2 = 2 − x

0

2

2


2
• Vậy : I = ∫ ( 2 − x ) dx =  2 x − 2 x ÷ 0 = 4 − 2 = 2
1



0

2

b.

∫x

3

0



− x dx . Do : f ( x ) = x 3 − x = x ( x 2 − 1) = 0 ↔ x = 0, x = −1; x = 1

• ⇒ f ( x) > 0∀x ∈ [ 1; 2] ; f ( x) < 0∀x ∈ [ 0;1]
2
1 2 1 4 1 1 4 1  2 5
• Vậy : I = ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx =  2 x − 4 x ÷ 0 +  4 x − 2 ÷ 1 = 2



0
1


1

2

3

2

c.

∫x

2

3

+ 2 x − 3 dx . Vì : f ( x) = x 2 + 2 x − 3 = 0 → x = 1, x = −3 ⇒ f ( x) > 0∀x ∈ [ 1; 2] ; f ( x) < 0∀x ∈ [ 0;1]

0

1

2

1

2

0

1

0

1

⇒ I = ∫ − f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = ∫ ( 3 − 2 x − x 2 ) dx + ∫ ( x 2 + 2 x − 3 ) dx
1  1 1
1   8

2 
 1

=  3 x − x 2 − x 3 ÷ +  x 3 + x 2 − 3x ÷ =  3 − 1 − ÷+  + 4 − 6 ÷−  + 1 − 3 ÷ = 5
3  0 3
3   3

1 
 3


Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

13

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3

d.

∫x

− 1 dx .

2

−3

2
- Vì : f ( x) = x − 1 = 0 → x = −1; x = 1 ⇒ f ( x ) > 0∀x ∈ [ −3; −1] ∪ [ 1;3] ; f ( x) < 0∀x ∈ [ −1;1]
−1

1

3

−1 
1  1 1
3
+  x − x3 ÷ +  x3 − x ÷ =
3  −1  3
 −3 
1

 3


2
- Vậy : I = ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( 1 − x ) dx + ∫ ( x − 1) dx =  x − x ÷
2

1
3

2

−3

−1

1

20 4 16 40
+ + =
3 3 3
3

⇒I=
5

e.

∫ ( x + 2 − x − 2 ) dx .

−2

- Lập bảng xét dấu : f ( x) = 4∀x ∈ [ −2; 2] ; f ( x) = 2 x∀x ∈ [ 2;5]
5

∫

-Vậy :

−2

2

f ( x)dx = ∫ 4dx + ¬
−2

5

2

∫ 2 xdx = 4 x −2 + x
2

2

5
= 16 + 32 − 4 = 44
2

3

∫2

f.

x

− 4 dx

0

x
- Nhận xét : 2 − 4 > 0 ⇔ x > 2. ⇒ f ( x) > 0∀x ∈ [ 2;3] ; f ( x) < 0∀x ∈ [ 0; 2]
- Vậy :
2

3

1 x2  1 x
3   4
1

3 

I = ∫ ( 4 − 2 ) dx + ∫ ( 2 x − 4 ) dx =  4 x −
2 ÷ +
2 − 4x ÷ = 8 −
− 4 ÷= 4 +
÷+ 
ln 2  0  ln 2
ln 2   ln 2
ln 2


2 

0
2
x

4

g.

∫
1

4

x 2 − 6 x + 9dx = ∫ x − 3 dx
1

- Ta có : x − 3 > 0∀x ∈ [ 3; 4] ; x − 3 < 0∀x ∈ [ 1;3]
3
4
1 3 1
1 5

4
I = ∫ ( 3 − x ) dx + ∫ ( x − 3) sx =  3x − x 2 ÷ +  x 2 − 3x ÷ = 2 + =
-Vậy :
2 1 2
2 2


3
1
3
3

h.

∫
0

3

x − 4 x + 4 xdx = ∫ x − 2
3

2

xdx

0

-Vì : f ( x) > 0∀x ∈ [ 2;3] ; f ( x), < 0∀x ∈ [ 0; 2]
2

3

0

2

- ⇒ I = ∫ ( 2 − x ) xdx + ∫ ( x − 2 ) xdx =
( 2 − t 2 ) t 2tdt = ( 4t 2 − 2t 4 ) dt
 x = 0 → t = 0; x = 2 → t = 2
t = x → t = x ⇔ dx = 2tdt ; 
⇒ f ( x)dx = 
( 2t 4 − 4t 2 ) dt
x = 3 → t = 3


2

2

- Vậy : I =

∫ ( 4t

2

0

1

i.

∫

−1

3

∫ ( 2t
2

0

4 − x dx =

− 2t 4 ) dt +

∫

−1

4

2  2 2 5

 3 18 3 16 2
− 4t 2 ) dt =  2t 2 − t 5 ÷
+  t − 2t 2 ÷
=
−
+2
5  0 5
5
5

 2

1

4 + xdx + ∫ 4 − xdx = J + K (1)
0

0

- Tính : J = ∫ 4 + xdx; Đặt : t = 4 + x → t 2 = 4 + x, ↔ dx = 2tdt; x = −1 → t = 3, x = 0 → t = 2
−1

14

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2

2

1
3

2
3
- Vậy : J = ∫ t.2tdt = 2 ∫ t dt = 2 t
3

3

0
3

= −2 3 .

1

- Tính : K = ∫ 4 − xdx . Đặt : t = 4 − x → t 2 = 4 − x ⇔ 2tdt = − dx.x = 1 → t = 3; x = 0 → t = 2.
0

3

2

2
3

2
3
Vậy : K = − ∫ t.2tdt = ∫ 2t dt = t

2

=

16
− 3
3

3
16
16
Do đó : I = J + K = −2 3 + − 3 = − 3 3
3
3
2

3

Bài 2. Tính các tích phân sau
2π

a.

∫

π

1 − cos2x dx

b.

0

∫

2π

1 − s inx dx

∫

e.

−π

c.

1 + cos2x dx

∫

π
3

tan 2 x + cot 2 x − 2dx

∫

h.

π
6

∫

π
−
2

π

f.

0

π
3

g.

1 − sin 2 xdx

0

π

d.

∫

π
2

∫

s inx dx

1 + cos2x dx

0

2π

cosx cosx-cos 3 xdx

π
−
2

i.

∫

1 + s inx dx

0

GIẢI
Bài 2.
2π

a.

∫

1 − cos2x dx =

0

2π

∫
0

2π

2sin xdx = 2 ∫ s inx dx
2

0

-Do : x ∈ [ 0; π ] → sinx>0. ⇒ sinx =sinx ;x ∈ [ π ;2π ] → sinx<0 ⇒ sinx =-sinx
2π

π

π
2π 
I = 2  ∫ s inxdx+ ∫ − s inxdx ÷ = 2  −cosx + cosx
÷ = 2 ( 1 + 1 + 1 + 1) = 4 2
Vậy :

0
π ÷
π
0




π
π
π
π
2
 π
b. ∫ 1 − sin 2 xdx = ∫ ( cosx-sinx ) dx = ∫ cosx-sinx dx = 2 ∫ cos  x+ ÷ dx
4

0
0
0
0
π
π π
π
π
π π
π


Do : cos  x + ÷ > 0 ⇔ x + > → π > x > . cos  x + ÷ < 0 ⇔ x + < + kπ → 0 < x <
4
4 2
4
4
4 2
4



π
4


π
π
π
 π
 π 

 − sin  x + π  + s in  x+ π   = −2 2
⇔ I = 2  ∫ −cos  x+ ÷+ ∫ cos  x+ ÷ dx = 2

÷4

÷π

4
4
4 
 4 π



0
0



4




4


π
2

c.

∫

s inx dx

π
−
2

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

15


π

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
π






- Do : s inx<0 ⇔ x ∈ - ;0  ;s inx>0 ⇔ x ∈ 0; 
 2 
 2
π
2

0
π
- Vậy : I = ∫ − s inxdx+ ∫ s inxdx=cosx π − cosx 2 = 1 − 0 − ( 0 − 1) = 2
π
0
0
−
2
2
0

π

d.

∫

1 − s inx dx

−π
2

x
x

x π
Vì : 1 − s inx=  cos -sin ÷ ⇒ 1 − s inx = 2 cos  + ÷
2
2

2 4
x π π
x π
π
x π 
Mặt khác : cos  + ÷ > 0 ⇔ + > + kπ ⇒ > + kπ ; ⇔ x > + k 2π
2 4 2
2 4
2
2 4

Vậy :
π
2

I =−∫

−π

2π

e.

∫

π
π
π
x π 
x π 
x π
x π
2cos  + ÷dx + ∫ 2cos  + ÷dx = −2 2 sin  + ÷ 2 + 2 2 sin  + ÷ π = − 4 2
2 4
2 4
 2 4  −π
2 4
π
2
2
1 + cos2x dx

0

Vì : 1 + cos2x=2cos 2 x ⇒ 1 + cos2x = 2 cosx ;
π
2

3

π

2

0

π
2

2π

Do đó : ⇒ I = ∫ 2cosxdx+ ∫ − 2cosxdx+ ∫
π

f.

∫
0

π
3

g.

∫

3

π
2

π


π
2

÷
1 + cos2x dx = 2  ∫ cosxdx- ∫ cosxdx ÷ =
π
0
÷

2




π
π
2π 
3

2cosxdx= 2 s inx 2 − s inx 2 + s inx π  = 4 2
π
3 

0
2

2




π
π
 s inx − s inx ÷ = 2 2
2
2
π÷

0
2÷



tan 2 x + cot 2 x − 2dx

π
6

4 cos 2 2 x
cos2x
π π 
π π 
⇒ tan 2 x + cot 2 x − 2 = 2
; x ∈  ;  ⇒ 2x ∈  ; 2 
- Vì : tan x + cot x − 2 =
2
sin 2 x
sin2x
6 3
3 3

2

2

π
π

3
4
2 cos 2 x
2 cos 2 x

÷
⇒ I =∫
dx − ∫
dx = ÷ = ln sin 2 x
π sin 2 x
 π sin 2 x
÷
4
6

π
3

h.

∫ cosx

−

16

π
2

π
4 − ln sin 2 x
π
6

π
3 = ln 3 = ln 3 − 2 ln 2
π
4
4

cosx-cos 3 xdx

Vì : cos x − cos3 x = cosx ( 1-cos 2 x ) = cosxsin 2 x ⇒ cos x − cos3 x = s inx cosx
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
0

⇒I=

∫ − s inxcosx

π
−
2

π
2

cosx dx + ∫ s inxcosx cosx dx =J + K
0

t = cosx → t 2 = cosx ⇒ 2tdt=-sinxdx
* Tính J: Đặt :  π
 x=- → t = 0; x = 0 → t = 1; x = π → t = 0


2
2
1
1
2 51 2
2
4
Do đó : J = ∫ t t.2tdt = 2∫ t dt = 5 t 0 = 5
0
0

* Tính K. Giống như trên ,ta có :
0
1
2 1

2
K = ∫ 2t 5 dt = −2∫ t 5 dt = − t 5 = − ⇒ I = J + K = 0
5 0
5
1
0

V. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ
* Trước khi làm bài tập , tổng hợp cho HS các phương pháp phân tích đã hướng dẫn .
Bài 1. Tính các tích phân sau
3

a.

∫
1
1

1

dx
x + x3

b.

dx
∫ x2 − 5x + 6
0
3

x

∫ ( 1− x)

4

g.

∫ ( 1+ 2x)

x 2 dx

0

d.

1

dx
3

e.

3

c.

x 3 dx
∫ x2 + 2 x + 1
0

4

9

2

2

dx
∫ x ( x − 1)
2

h.

∫
0

0

1

( 4 x + 11) dx
x2 + 5x + 6

1

i.

3x 2 + 3x + 3
l. ∫ 3

dx
x − 3x + 2
2

x3 + x + 1
∫ x + 1 dx
0
1

3

2 x3 − 6 x 2 + 9 x + 9
k. ∫
dx
x 2 − 3x + 2
−1

dx

∫ x ( 1+ x)

f.

m.

x2

∫ ( 3x + 1)

3

dx

0

GIẢI
3

a.

dx

∫ x+x

3

1

2
1
1
A Bx + C ( A + B ) x + Cx + A
f ( x) =
=
= +
=
• Phân tích :
x + x3 x ( 1 + x 2 ) x 1 + x 2
x ( 1 + x2 )

A + B = 0 A =1
1
x


• Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : C = 0 ⇒  B = −1 ⇔ f ( x) = x − 1 + x 2
A =1
C = 0


3

• ⇔

∫
1

3

f ( x )dx =

1

x

∫  x − 1+ x

1

2

1
3 ln 3 − ln 2


2 
=
÷dx =  ln x − ln ( 1 + x ) ÷
2
2


 1

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

17


CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1

b.

∫x

2

0

dx
− 5x + 6
1

1

1

1

• Phân tích : f ( x) = x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3) = x − 3 − x − 2
1

• Vậy :
3

c.

∫x
0

1

0

0

 1

1

1 

∫ f ( x)dx = ∫  x − 3 − x − 2 ÷dx = ( ln x − 3 − ln x − 2 ) 0 = 2 ln 2 − ln 3



3

2

x dx
.
+ 2x +1

x3
5x + 2
5  2x + 2 
3
f ( x) = 2
= x2+ 2
= x2+ 2
ữ
ã Phõn tích :
x + 2x + 1
x + 2x +1
2  x + 2 x + 1  ( x + 1) 2
3

3

0

0




ữdx
2
( x + 1) ữ


2x + 2



ã Vy : I = ∫ f ( x)dx = ∫  x − 2 + 2  x 2 + 2 x + 1 ữ

5



3

3

2

ã = 2 x 2 x + 2 ln ( x + 1) + x + 1 0 = − 4 − 10 ln 2


1

1

d.

x

∫ ( 1+ 2x)

3

5

3

2

3

dx .

0

• Phân tích : f ( x) =

e.

x

( 1+ 2x)

3

=

A

( 1 + 2x )

3

+

B

( 1 + 2x )

2

4Cx 2 + ( 2 B + 4C ) x + A + B + C
C
+
=
3
1+ 2x

( 1 + 2x )

1

A = − 2
 4C = 0

1
1
1


+
• Đồng nhất hệ số hai tử số : 2 B + 4C = 1 ⇔  B = 2 ⇒ f ( x) = −
3
2
2 ( 1 + 2x )
2 ( 1+ 2x)
A + B + C = 0


C = 0


1
1


1
1

1
1 1 1
+

ữdx =
ữ =
ã Vy : I = f ( x)dx = ∫  −
3
2
2
 2 ( 1+ 2x )

2(1 + 2 x ÷ 0 9
2 ( 1 + 2x ) ÷
0
0

 4 ( 1 + 2x )

3
2
x dx

∫ ( 1− x)

9

.

2

• Phân tích : f ( x) =

x2

( 1− x)

9

=

1 − ( 1 − x2 )

( 1− x)

9

=

1

( 1− x)

9

3
3
1
2
1

I = ∫ f ( x)dx = ∫ 
−
+
• Vậy :
9
8
7

( 1− x) ( 1− x)
2
2  ( 1− x)
4
dx
f. ∫ 2
.
x ( 1+ x)
1

−

1+ x

(1− x)

8

=

1

(1− x)

9

−

2 − ( 1− x)
8



3
1
2
1
+
−
÷dx = 
÷ =
8
7
6
÷
 8( 1− x)
7 (1− x)
6( 1− x) ÷ 2




( A + C ) x2 + ( A + B ) x + B
1
Ax+B
C
• Phân tích : f ( x) = x 2 1 + x = x 2 + 1 + x =
x2 ( 1 + x )
(
)

18

( 1− x)

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
 A + C = 0  A = −1
−x +1
1
1 1
1


• Đồng nhất hệ số hai tử số :  A + B = 0 ⇒  B = 1 ⇔ f ( x) = x 2 + 1 + x = − x + x 2 + 1 + x
B = 1
C = 1


4

4

4





• Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫  − x + x 2 + 1 + x ÷dx =  − ln x − x + ln 1 + x ÷ 1 = ln 5 − 3ln 2 + 4



1
1
1

1

1

1

3

4

4
dx
1

x −1 4
3
 1
g. ∫
= ∫
− ÷dx = ln
= ln = ln 3 − ln 2
x ( x − 1) 2  x − 1 x 
x 2
2
2
1
( 4 x + 11) dx
h. ∫ 2
.
x + 5x + 6
0

2 ( 2 x + 5) + 1

4 x + 11

2x + 5

1

• Phân tích : f ( x) = x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 5 x + 6 = 2 x 2 + 5 x + 6 + x + 2 x + 3
(
)(
)

1

1

2x + 5

x+2 1 1



2
• Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫  2 x 2 + 5 x + 6 + x + 2 − x + 3 ÷dx = 2 ln x + 5 x + 6 + ln x + 3 0 = 2 ln 2

0
0
1

1

1

i.

x3 + x + 1
∫ x + 1 dx .
0
x3 + 1 + x
x
1
1

= ( x 2 − x + 1) +
= ( x 2 − x + 1) + 1 −
= ( x2 − x + 2) −
x +1
x +1
x +1
x +1
1
1 

1 3 1 2
 1 11
f ( x)dx = ∫  x 2 − x + 2 −
÷dx =  x − x + 2 x − ln x + 1 ÷ 0 = − ln 2
x +1 
2
6
3

0

• Phân tích : f ( x) =
1

• Vậy : I = ∫
0

0

k.

2x − 6x + 9x + 9
dx .
x 2 − 3x + 2
−1

∫

3

2

2 x3 − 6 x 2 + 9 x + 9
5x + 9
5x + 9
• Phân tích : f(x)= x 2 − 3x + 2 = 2 x + x 2 − 3x + 2 = 2 x + x − 1 x − 2
(
)(
)
5x + 9

A

B

• Phân tích : x − 1 x − 2 = x − 1 + x − 2 =
(
)(
)
A + B = 5

( A + B) x − B − 2A
( x − 1) ( x − 2 )
 A = −14

19

14

• Đồng nhất hệ số hai tử số : − B − 2 A = 9 ⇔  B = 19 ⇒ f ( x) = 2 x + x − 2 − x − 1


• Vậy :
0

0
0
19
14 

2
f ( x)dx = ∫  2 x +
−
÷dx = ( x + 19 ln x − 2 − 14 ln x − 1 ) −1 =32 ln 2 + 19 ln 3 − 1
∫1
x − 2 x −1 
−
−1 
3
2

3x + 3x + 3
l. ∫ 3
dx .
x − 3x + 2
2

I=

3x 2 + 3x + 3
3x 2 + 3x + 3
A
B
C
f ( x) = 3
=
=
+
+
=
2
2
• Phân tích :
x − 3 x + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1)
( x − 1) x + 2

( B + C ) x 2 + ( B − 2C + A) x + 2 A − 2 B + C
•
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :
2
( x − 1) ( x + 2 )

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

19


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
B + C = 3
A = 3
3
2
1


+
+
 A + B − 2C = 3 ⇔  B = 2 ⇒ f ( x) =
2
( x − 1) ( x − 1) x + 2
 2 A − 2 B + C = 3 C = 1



•

3



2

3

 ( x − 1)

• Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ 

2

1

m.

x2

∫ ( 3x + 1)

3

3
2

2
1 
 3
3 3
+
+ 2 ln x − 1 + ln x + 2 ÷ = + ln 5
÷dx =  −
( x − 1) x + 2 ÷  x − 1
2 2



+

dx .

0

• Phân tích : f ( x) =
•

x2

( 3x + 1)

3

9Cx 2 + ( 3B + 6C ) x + A + B + C

( 3x + 1)

A

=

3

( 3x + 1)

3

+

B

( 3x + 1)

2

+

C
=
3x + 1

. Đồng nhất hệ số hai tử số :

1

A = 9
9C = 1

2
1
2
1


−
+

• 3B + 6C = 0 ⇔  B = − 9 ⇒ f ( x) =
3
2
9 ( 3 x + 1)
9 ( 3x + 1)
9 ( 3x + 1)
A + B + C = 0


1

C = 9

1
1

1
2
1
I = f ( x)dx =

+
ữdx
ã Vy :
3
2

9 ( 3x + 1) ÷
9 ( 3 x + 1)
0

0  9 ( 3 x + 1)

 1
1 2
3
2 3
1
1
+
+ ln 3 x + 1 ữ = ln 2
ã =  − 18
2

÷0 9
96
( 3x + 1) 9 ( 3x + 1) 9



Bài 2. Tính các tích phân sau :
2

a.

3

1
∫ x 2 − 2 x + 2 dx
0
1

b.

∫
0

( 3x

2

+ 2)

x2 + 1

2

dx

x3 + x + 1
∫ x 2 + 1 dx
0

2

2

1
g. ∫
dx
4

1 x (1+ x )

2

dx

e.

1 − x 2008
h. ∫
dx
2008
)
1 x (1+ x

2

k.

1
∫ 4 + x 2 dx
0

1 − x2
∫ 1 + x 4 dx
1

∫x
0

20

2

1
dx
− 2x + 2

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

∫x

f.

4

0

3

i.

∫
2

(x
1

2

l.

GIẢI
2

a.

1

2

1

∫ ( x + 2 ) ( x + 3)

x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
dx
∫
x2 + 4
0

1

0

d.

c.

m.

x
dx
+1

x4
2

− 1)

2

dx

2 − x4
∫ 1 + x 2 dx
0


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1

 dx = cos 2t dt
1
1
⇒ x − 1 = tan t → 
• Phân tích : f ( x) = x 2 − 2 x + 2 =
2
( x − 1) + 1
x = 0 → t = − π , x = 2 → t = π



4
4

π
dt
π
= ∫ dt = t 4 =
• Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫
2
2
π 2
π cos t ( 1 + tan t )
π
0
−
−
−
4
4
4
2
3
( 3x + 2 ) dx
b. ∫
.
x2 + 1
0
π

4

2

π
4

3x 2 + 2
1
= 3− 2
2
x +1
x +1
3
3
dx
3
f ( x)dx = ∫ 3dx − ∫
= 3x
− J = 3 3 − J (1)
2
1+ x
0
0
0

• Phân tích : f ( x) =
3

• Vậy : I =

∫
0

1

 dx = cos 2t dt
dx
• Tính : J = ∫
. Đặt : x = tan t ⇒ 
1 + x2
 x = 0 → t = 0, x = 3 → t = π
0

3

3

π
3

π
3

π
dx
1
π
π
=∫

dt = ∫ dt = t 3 = ⇒ I = 3 3 −
• Do đó : J = ∫
2
2
2
1+ x
3
3
0
0 cos t ( 1 + tan t )
0
0
3

2

c.

x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
dx .
∫
x2 + 4
0
x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
1
= x+ 2+ 2
2
x +4
x +4
2

1 

1 2
2
f ( x)dx = ∫  x + 2 + 2
÷dx =  x + 2 x ÷ 0 + J = 6 + J (1)
x +4
2

0

• Phân tích : f ( x) =
2

• Vậy : I = ∫
0

2

 dx = cos 2t dt
1
• Tính : J = ∫ x 2 + 4 dx . Đặt : x = 2 tan t ⇒ 
0
 x = 0 → t = 0, x = 2 → t = π


4
π
π
π

4
π
1
14
1
π
dt = ∫ dt = t 4 = . Thay vào (1) : I = 6 +
• ⇒J =∫ 2
2
16
40
4
16
0 cos t .4 ( 1 + tan t )
0
2

1

d.

1

∫ ( x + 2 ) ( x + 3)
2

2

dx .

0

• Phân tích :
f ( x) =

1

( x + 2 ) ( x + 3)
2

2

=

( x + 3) − ( x + 2 ) =
1
1
−
2
2
2
2
( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 3)

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

= J −K

21

CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1

1
A
B
C
J=
=
+
+
2 . Phân tích :
2
2
• Tính :
( x + 3) ( x + 2 )
( x + 3) ( x + 2 ) x + 3 x + 2 ( x + 2 )

•

g ( x) =

1

( x + 3) ( x + 2 )

2

=

( A + B ) x 2 + ( 4 A + 5B + C ) x + 4 A + 6 B + 3C
A
B
C
+
+
=
2
x + 3 x + 2 ( x + 2) 2
( x + 3) ( x + 2 )

A + B = 0
A =1
1
1
1


• Đồng nhất hệ số hai tử số : 4 A + 5B + C = 0 ⇔  B = −1 ⇒ g ( x) = x + 3 − x + 2 +
2
( x + 2)
 4 A + 6 B + 3C = 1 C = 1



• Vậy :

1
1

1
1
1 
1 1
2

J = ∫ g ( x)dx = ∫ 
−
+
÷dx =  ln x + 3 − ln x + 2 −
÷ 0 =3ln 2 − 2 ln 3 −
2
 x + 3 x + 2 ( x + 2) ÷
x+2
3

0
0

1
1
dx
Tính : K = ∫
2
0 ( x + 2 ) ( x + 3)

• Phân tích :
h( x ) =

1

( x + 2 ) ( x + 3)

2

=

( A + B ) x 2 + ( 6 A + 5B + C ) c + 9 A + 6 B + 2C
A
B
C
+
+
=
2
x + 2 ( x + 3) ( x + 3) 2
( x + 2 ) ( x + 3)

• Đồng nhất hệ số hai tử số :

A + B = 0
A =1
1
1
1


−
−
6 A + 5 B + C = 0 ⇔  B = −1 ⇒ h ( x ) =

x + 2 ( x + 3) ( x + 3) 2
9 A + 6 B + 2C = 1 C = −1



•

1
1
1
1
1 
1 1
1

K = ∫ h( x)dx = ∫ 
−
−
÷dx =  ln x + 2 − ln x + 3 +
÷ 0 = 2 ln 3 − 3ln 2 −
2
 x + 2 ( x + 3 ) ( x + 3) ÷
x+3
12

0
0

2
1

7
Do đó : I= 3ln 2 − 2 ln 3 − -( 2 ln 3 − 3ln 2 − )= −
3
12
12
1 3
x + x +1
e. ∫ 2
dx .
x +1
0

x3 + x + 1
1
= x+ 2
2
x +1
x +1
1
1 
1 1
1

f ( x)dx = ∫  x +
dx = x 2 − J = − J (1)
2 ữ
1+ x
2 0
2
0

ã Phõn tớch : f ( x) =
1

• Do đó : I = ∫
0

1

dx =
dt

dx
cos 2t
• Tính : J = ∫ 1 + x 2 . Đặt : x = tan t ⇒ 
0
 x = 0 → t = 0, x = 1 → t = π


4
π
π
π
1
4
4
dx
1
π
1 π

=∫
dt = ∫ dt = t 4 = ⇒ I = −
• Do đó : J = ∫
2
2
2
1+ x
4
2 3
0
0 cos t ( 1 + tan t )
0
0
1

22

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1

∫x

f.

4

0

x
dx .
+1

1

 xdx = 2 cos 2 t dt
2
• Đặt : x = tan t ⇒ 
 x = 0 → t = 0; x = 1 → t = π


4
π
4

π
4

π
x
1
1
1
π
dt = ∫ dt = t 4 =
• Vậy : ∫ 4 dx = ∫
2
2

x +1
20
2
8
0
0 2 cos t ( 1 + tan t )
0
1

2

g.

1

∫ x ( 1 + x ) dx .
4

1

4
1
x 3dx
1 d ( 1+ x )
dx = 4
=
• Phân tích : f ( x)dx =
x ( 1 + x4 )
x ( 1 + x4 ) 4 x4 ( 1 + x4 )

 dt = 4 x 3 dx
dt
t = 1 + x4 ⇒ 
⇔ f ( x)dx =
• Do đó : Đặt :
4 ( t − 1) t
 x = 1 → t = 2, x = 2 → t = 5
2
5
5
dt
1  1 1
1  t − 1  5 3ln 2 − ln 5
⇒ I = ∫ f ( x) dx =
=
ữdt = ln
=
ã
4t ( t − 1) 4 2  t − 1 t
4
t ữ2
4

1
2
2

1 x 2008
h.
dx

2008
) .
1 x (1+ x

ã Phân tích : f ( x) =
2

• Vậy : I = ∫
1

2

Tính : J = ∫
1

1 − x 2008
1
x 2008
x 2007
x 2007
=
−
= 2008
−
x ( 1 + x 2008 ) x ( 1 + x 2008 ) x ( 1 + x 2008 ) x ( 1 + x 2008 ) ( 1 + x 2008 )

2
2
x 2007
x 2007

1
x 2007
1
2008 2
dx − ∫
dx =J −
2008
∫ 1 + x 2008 dx = = J − 2007 ln 1 + x 1 =
2008
2008
1+ x
2007 1
x (1+ x )
1

x 2007
dx
x 2008 ( 1 + x 2008 )

• Đặt : t = x

2008

 dt = 2008 x 2007 dx
1
dt
1 1 1 
⇒
⇔ f ( x)dx =
=

 −
÷dt
8
2008 t ( t + 1) 2008  t t + 1 
 x = 1 → t = 1, x = 2 → t = 2

1 1 1 
1 
t  28 9 ln 2 − ln ( 1 + 2
J=

dt =
ln
=
ã Vy :

ữ
2008 t t + 1 
2008  t + 1 ÷ 1
2008


1
28

Cho nên : I =
3

i.

∫
2

(x

x
2

9 ln 2 − ln ( 1 + 28 )
2008

−

8

)

ln ( 1 + 28 ) + ln 2
2007

4

− 1)

2

dx

• Phân tích :

f ( x) =

x4

( x 2 − 1)

2

=

x4 −1 + 1

( x 2 − 1)

2

=

x2 +1
1
2
+
= 1+ 2
+
2
2
x − 1 ( x 2 − 1)
x −1

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

1
1 

x 1 − 2 ÷
 x 

= J+K

2

23


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3

1
1 

x −1  3
−
=1 + ln 2 + ln 3
÷dx =  x + ln
x −1 x +1 
x +1 ÷ 2


2
3

1
Tính : K = ∫ 2 2 dx
2 ( x − 1)


Tính J = ∫ 1 +

• Phân tích :
g ( x) =

(x

1

− 1)

=

1

=

 1
1
1
1
−
= ( h( x ) − p ( x ) )

2

2
2  ( x + 1) ( x − 1)
( x − 1) ( x + 1)  2



( x − 1) ( x + 1)
( A + B ) x 2 + ( C − 2 A) x + A + C − B
A
B
C
h( x ) =
+
+
=
•
2
x + 1 x − 1 ( x − 1) 2
( x + 1) ( x − 1)
2

2

2

2

• Đồng nhất hệ số hai tử số :
1


A = 4
A + B = 0

1
1
1
1


−
+
C − 2 A = 0 ⇒  B = − ↔ h( x ) =
4
4 ( x + 1) 4 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2
A + C − B =1 

1

C = 2

3
3 

1
1
1
1
1
1 1 3
h( x)dx = ∫ 

−
+
dx =  ln x + 1 − ln x − 1 −
 =
• Vậy : ∫
2
4
4
2 ( x − 1)  2
 4 ( x + 1) 4 ( x − 1) 2 ( x − 1) 
2
2 


3
ln 2 − ln 3 + 1
Cho nên : ∫ h( x)dx =
4
2

•

p ( x) =

( A + B ) x2 + ( C + 2 A) x + A − C − B
A
B
C
+
+

=
2
x + 1 x − 1 ( x + 1) 2
( x + 1) ( x − 1)

• Đồng nhất hệ số hai tử số :

•

1

A = 4
A + B = 0

1
1
1
1


−
−
C + 2 A = 0 ⇒  B = − ↔ h( x ) =
4
4 ( x + 1) 4 ( x − 1) 2 ( x + 1) 2
A − C − B =1 

1

C = − 2


3
3 

1
1
1
1
1
1 1 3
p ( x)dx = ∫ 
−
−
 dx =  ln x + 1 − ln x − 1 +
 =
2
∫
4
2 ( x + 1)  2
2
2  (
4
 4 x + 1) 4 ( x − 1) 2 ( x + 1) 

3

Cho nên : ∫ p( x)dx =
2

ln 2 − ln 3 1

−
4
12

1  ln 2 − ln 3 + 1  ln 2 − ln 3 1   1
−
− ÷÷ =
4
4
12   3



Vậy : I = 
2
2

k.

1

∫ 4+ x

2

dx

0

24

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608


CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1

 dx = 2 cos 2t dt
2dt
1
⇒ f ( x) dx =
= dt
• Đặt : x = 2 tan t → 
2
2
cos t.4 ( 1 + tan t ) 2
 x = 0 → t = 0, x = 2 → t = π


4
π
4

π
1
1
π
f ( x)dx = ∫ dt = 4 =
2
2

8
0
0

2

• Vậy : I = ∫
0

2

l.

1 − x2
∫ 1 + x 4 dx
1
 1

2 1ữdx
1 x
x

ã Phõn tớch : f ( x)dx = 1 + x 4 dx =
 2 1
x + 2 ữ
x

2

ã t :

1
1

2
2
dt =  1 − x 2 ÷dx; t = x + x 2 + 2
1
dt
1  1
1 


t = x+ ⇒
⇔ f ( x)dx = 2
=
−
dt

x
t −2 2 2 t− 2 t+ 2 ÷
5


 x = 1 → t = 2, x = 2 → t = 2

5
5
6+ 2 

1 2 1
1 
1  t− 2 
1
• Vậy : I =
∫  t − 2 − t + 2 ÷dt = 2 2  ln t + 2 ÷ 2 = 2 2 ln  6 − 2 ÷

÷

÷
2 2 2




2
1

m.

2 − x4
∫ 1 + x 2 dx
0
2 − x4 1 + 1 − x4
1
=
=
+ 1 − x2
2
2

2
1+ x
1+ x
1+ x
1
1
1
1 3 1
2

2
• Vậy : I = ∫ 1 + x 2 dx + ∫ ( 1 − x ) dx = J +  x − 3 x ÷ 0 = J + 3


0
0

• Phân tích : f ( x) =

1

 dx = cos 2t dt
dx
• Tính : J = ∫ 1 + x 2 . Đặt : x = tan t ⇒ 
0
 x = 0 → t = 0, x = 1 → t = π


4
1

π
4

π
4

π
dx
1
π
π 2
=∫
dt = ∫ dt = t 4 = ⇒ I = +
• Do đó : J = ∫
2
2
2
1+ x
4
4 3
0
0 cos t ( 1 + tan t )
0
0
1

VI. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Nhắc nhở học sinh :
• Thuộc cơng thức lượng giác : Cơng thức cộng góc ,nhân đơi ,nhân ba ,hạ bậc

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608

25