- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
Bài tập ma trận có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (331.94 KB, 47 trang )
LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2
Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một
số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn
giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt
BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài 1:
Tính hạng của ma trận:
1)
A =
2 −4 3 1 0
1 −2 1 −4 2
0 1 −1 3 1
1 −7 4 −4 5
η1↔ η2
→
1 −2 1 −4 2
2 −4 3 1 0
0 1 −1 3 1
1 −7 4 −4 5
h1(−2)+η2
η1(−1)+η4
→
1 −2 1 −4 2
0 0 1 9 −4
0 1 −1 3 1
0 −5 3 0 3
η
2↔
η
3
→
1 −2 1 −4 2
0 1 −1 3 1
0 0 1 9 −4
0 −5 3 0 3
η2(5)+η4
→
1 −2 1 −4 2
0 1 −1 3 1
0 0 1 9 −4
0 0 −2 15 8
η
3(2)+
η
4
→
1 −2 1 −4 2
0 1 −1 3 1
0 0 1 9 −4
0 0 0 33 0
⇒
ρ Α
( )
= 4
2)
A =
0 2 −4
−1 −4 5
3 1 7
0 5 −10
2 3 0
η
1↔
η
2
→
−1 −4 5
0 2 −4
3 1 7
0 5 −10
2 3 0
η
1 3
( )
+
η
3
η
1 2
( )
+
η
4
→
−1 −4 5
0 2 −4
0 −11 22
0 5 −10
0 −5 10
η
2
1
2
→
−1 −4 5
0 1 −2
0 −11 22
0 5 −10
0 −5 10
η
2 11
( )
+
η
3
η
2 −5
( )
+
η
4
η
2 5
( )
+
η
5
→
−1 −4 5
0 1 −2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⇒
ρ Α
( )
= 2
1
2)
A =
2 −1 3 −2 4
4 −2 5 1 7
2 −1 1 8 2
η1(−2)+η2
η1(−1)+η3
→
2 −1 3 −2 4
0 0 −1 5 −1
0 0 −2 10 −2
h2(-2)+η3
→
2 −1 3 −2 4
0 0 −1 5 −1
0 0 0 0 0
⇒
ρ Α
( )
= 2
3)
A =
1 3 5 −1
2 −1 −5 4
5 1 1 7
7 7 9 −1
η1 −2
( )
+η2
η1 −5
( )
+η3
η1 −7
( )
+η4
→
1 3 5 −1
0 −7 −15 6
0 −14 −24 12
0 −14 −26 6
η2 −2
( )
+η3
η2 −2
( )
+η4
→
1 3 5 −1
0 −7 −15 6
0 0 6 0
0 0 4 −6
η3
1
6
→
1 3 5 −1
0 −7 −15 6
0 0 1 0
0 0 4 −6
η4 −4
( )
+η4
→
1 3 5 −1
0 −7 −15 6
0 0 1 0
0 0 0 −6
⇒
ρ Α
( )
= 4
4)
A =
3 −1 3 2 5
5 −3 2 3 4
1 −3 −5 0 7
7 −5 1 4 1
η1↔ η3
→
1 −3 −5 0 7
5 −3 2 3 4
3 −1 3 2 5
7 −5 1 4 1
η1 −5
( )
+η2
η1 −3
( )
+η3
η1 −7
( )
+η4
→
1 −3 −5 0 7
0 12 27 3 −31
0 8 18 2 −16
0 16 36 4 −48
η3
1
2
↔ η2
→
1 −3 −5 0 7
0 4 9 1 −8
0 12 27 3 −31
0 16 36 4 −48
η2 −3
( )
+η3
η2 −4
( )
+η4
→
1 −3 −5 0 7
0 4 9 1 −8
0 0 0 0 −7
0 0 0 0 −16
η3 −
16
7
+ η4
→
1 −3 −5 0 7
0 4 9 1 −8
0 0 0 0 −7
0 0 0 0 0
⇒
ρ Α
( )
= 3
5)
2
A =
2 2 1 5 −1
1 0 4 −2 1
2 1 5 −2 1
−1 −2 2 −6 1
−3 −1 −8 1 −1
1 2 −3 7 −2
η
1↔
η
2
→
1 0 4 −2 1
2 2 1 5 −1
2 1 5 −2 1
−1 −2 2 −6 1
−3 −1 −8 1 −1
1 2 −3 7 −2
η
1(−2)+
η
2
η
1(−2)+
η
3
η
1+
η
4
η
1(3)+
η
5
η
1(−1)+
η
6
→
1 0 4 −2 1
0 2 −7 9 −3
0 1 −3 2 −1
0 −2 6 −8 2
0 −1 4 −5 2
0 2 −7 9 −3
η
2↔
η
3
→
1 0 4 −2 1
0 1 −3 2 −1
0 2 −7 9 −3
0 −2 6 −8 2
0 −1 4 −5 2
0 2 −7 9 −3
η
2(−2)+
η
3
η
2(2)+
η
4
η
2+
η
5
η
2(−2)+
η
6
→
1 0 4 −2 1
0 1 −3 2 −1
0 0 −1 3 −1
0 0 0 −4 0
0 0 1 −3 1
0 0 −1 3 −1
η
3+
η
5
η
3(−1)+
η
6
→
1 0 4 −2 1
0 1 −3 2 −1
0 0 −1 3 −1
0 0 0 −4 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⇒
ρ Α
( )
= 4
6)
A =
1 −1 2 3 4
2 1 −1 2 0
−1 2 1 1 3
1 5 −8 −5 −12
3 −7 8 9 13
η
1(−2)+
η
2
η
1+
η
3
η
1(−1)+
η
4
η
1(−3)+
η
5
→
1 −1 2 3 4
0 3 −5 −4 −8
0 1 1 3 7
0 6 −10 −8 −16
0 −4 2 0 1
η
2↔
η
3
→
1 −1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 3 −5 −4 −8
0 6 −10 −8 −16
0 −4 2 0 1
η
2(−3)+
η
3
η
2(−6)+
η
4
η
2(4)+
η
5
→
1 −1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 −8 −13 −29
0 0 −16 −26 −58
0 0 6 12 29
h3(−1)+
η
4
η
3+
η
5
→
1 −1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 −8 −13 −29
0 0 0 0 0
0 0 −2 −1 0
η
5(−4)+
η
3
→
1 −1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 0 −9 −29
0 0 0 0 0
0 0 −2 −1 0
3
h5↔
η
4↔
η
3
→
1 −1 2 3 4
0 1 1 3 7
0 0 −2 −1 0
0 0 0 −9 −29
0 0 0 0 0
⇒
ρ
(
Α
) = 4
7)
A =
−3 2 −7 8
−1 0 5 −8
4 −2 2 0
1 0 3 7
η
1↔
η
2
→
−1 0 5 −8
−3 2 −7 8
4 −2 2 0
1 0 3 7
η
1(−3)+
η
2
η
1(4)+
η
3
η
1+
η
4
→
−1 0 5 −8
0 2 −22 32
0 −2 22 −32
0 0 8 −1
η
2(−1)+
η
3
→
−1 0 5 −8
0 2 −22 32
0 0 0 0
0 0 8 −1
η
3↔
η
4
→
−1 0 5 −8
0 2 −22 32
0 0 8 −1
0 0 0 0
⇒
ρ
(
Α
) = 3
8)
A =
−1 3 3 −4
4 −7 −2 1
−3 5 1 0
−2 3 0 1
η
1(4)+
η
2
η
1(−3)+
η
3
η
1(−2)+
η
4
→
−1 3 3 −4
0 5 10 −15
0 −4 −8 12
0 −3 −6 9
η
2
1
5
η
3
1
4
η
4
1
3
→
−1 3 3 −4
0 1 2 −3
0 −1 −2 3
0 −1 −2 3
η
2+
η
3
η
2+
η
4
→
−1 3 3 −4
0 1 2 −3
0 0 0 0
0 0 0 0
⇒
ρ
(
Α
) = 2
9)
A =
1 3 −1 6
7 1 −3 10
17 1 −7 22
3 4 −2 10
η
1(−7)+
η
2
η
1(−17)+
η
3
η
1(−3)+
η
4
→
1 3 −1 6
0 −20 4 −32
0 −50 10 −80
0 −5 1 −8
η
2
1
4
η
3
1
10
→
1 3 −1 6
0 −5 1 −8
0 −5 1 −8
0 −5 1 −8
η
2(−1)+
η
3
η
2(−1)
η
4
→
1 3 −1 6
0 −5 1 −8
0 0 0 0
0 0 0 0
⇒
ρ
(
Α
) = 2
10)
4
A =
0 1 10 3
2 0 4 −1
16 4 52 9
8 −1 6 −7
η
1↔
η
2
→
2 0 4 −1
0 1 10 3
16 4 52 9
8 −1 6 −7
η
1 −8
( )
+
η
3
η
1 −4
( )
+
η
4
→
2 0 4 −1
0 1 10 3
0 4 20 17
0 −1 −10 −3
η
2 −4
( )
+
η
3
η
2+
η
4
→
2 0 4 −1
0 1 10 3
0 0 −20 5
0 0 0 0
⇒
ρ
(
Α
) = 3
Bài 2:
Biện luận theo tham số
λ
hạng của các ma trận:
1)
A =
3 1 1 4
λ
4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 1
η2↔η4
→
3 1 1 4
2 2 4 1
1 7 17 3
λ
4 10 1
χ1↔
χ
4
→
4 1 1 3
1 2 4 2
3 7 17 1
1 4 10
λ
h1↔ η2
→
1 2 4 2
4 1 1 3
3 7 17 1
1 4 10
λ
η1 −4
( )
+η2
η1 −3
( )
+η3
η1 −1
( )
+η4
→
1 2 4 2
0 −7 −15 −5
0 1 5 −5
0 2 6
λ
− 2
η2↔η3
→
1 2 4 2
0 1 5 −5
0 −7 −15 −5
0 2 6
λ
− 2
η2 7
( )
+η3
η2 −2
( )
+η4
→
1 2 4 2
0 1 5 −5
0 0 20 −40
0 0 −4
λ
+8
η3
1
5
+ η4
→
1 2 4 2
0 1 5 −5
0 0 20 −40
0 0 0
λ
Vậy :
- Nếu
λ
= 0 thì r(A) = 3
- Nếu
λ
≠
0 thì r(A) = 4
2)
A =
3 1 1 4
λ
4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3
η2↔η4
→
3 1 1 4
2 2 4 3
1 7 17 3
λ
4 10 1
χ1↔
χ
4
→
4 1 1 3
3 2 4 2
3 7 17 1
1 4 10
λ
5
c1↔
χ
2
→
1 4 1 3
2 3 4 2
7 3 17 1
4 1 10
λ
η1 −2
( )
+η2
η1 −7
( )
+η3
η1 −4
( )
+η4
→
1 4 1 3
0 −5 2 −4
0 −25 10 −20
0 −15 6
λ
−12
η2 −5
( )
+η3
η2 −3
( )
+η4
→
1 4 1 3
0 −5 2 −4
0 0 0 0
0 0 0
λ
η3↔ η4
→
1 4 1 3
0 −5 2 −4
0 0 0
λ
0 0 0 0
Vậy:
- Nếu
λ
= 0 thì r(A) = 2
- Nếu
λ
≠
0 thì r(A) = 3
3)
A =
4 1 3 3
0 6 10 2
1 4 7 2
6
λ
−8 2
Χ2↔Χ4
→
4 3 3 1
0 2 10 6
1 2 7 4
6 2 −8
λ
η1↔ η3
→
1 2 7 4
0 2 10 6
4 3 3 1
6 2 −8
λ
h1 −4
( )
+η3
η1 −6
( )
+η4
→
1 2 7 4
0 2 10 6
0 −5 −25 −15
0 −10 −50
λ
− 24
η2
1
2
→
1 2 7 4
0 1 5 3
0 −5 −25 −15
0 −10 −50
λ
− 24
η
2 5
( )
+
η
3
η
2 10
( )
+
η
4
→
1 2 7 4
0 1 5 3
0 0 0 0
0 0 0
λ
+ 6
η3↔ η4
→
1 2 7 4
0 −1 −5 −3
0 0 0
λ
+ 6
0 0 0 0
Vậy:
- Khi
λ
+ 6 = 0 ⇔
λ
= −6
thì r(A) = 2
- Khi
λ
+ 6 ≠ 0 ⇔
λ
≠ −6
thì r(A) = 3
4)
A =
−3 9 14 1
0 6 10 2
1 4 7 2
3
λ
1 2
Χ2↔Χ4
→
−3 1 14 9
0 2 10 6
1 2 7 4
3 2 1
λ
η1↔ η3
→
1 2 7 4
0 2 10 6
−3 1 14 9
3 2 1
λ
h1 3
( )
+η3
η1 −3
( )
+η4
→
1 2 7 4
0 2 10 6
0 7 35 21
0 −4 −20
λ
−12
η2
1
2
→
1 2 7 4
0 1 5 3
0 7 35 21
0 −4 −20
λ
−12
6
h2 −7
( )
+η3
η2 4
( )
+η4
→
1 2 7 4
0 1 5 3
0 0 0 0
0 0 0
λ
η3↔ η4
→
1 2 7 4
0 1 5 3
0 0 0
λ
0 0 0 0
Vậy :
- Nếu
λ
= 0 thì r(A) = 2
- Nếu
λ
≠
0 thì r(A) = 3
7
BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Bài 1:
Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:
1)
A =
3 4
5 7
Ta có:
A I
( )
=
3 4 1 0
5 7 0 1
η1 −
5
3
+ η2
→
3 4 1 0
0
1
3
−
5
3
1
η
1
1
3
η
2 3
( )
→
1
4
3
1
3
0
0 1 −5 3
η
2 −
4
3
+
η
1
→
1 0 7 −4
0 1 −5 3
⇒
Α
−1
=
7 −4
−5 3
2)
A =
1 −2
4 −9
Ta có:
A
−1
=
1 −2
4 −9
−1
=
1
αδ
−
βχ
δ
−
β
−
χ α
=
1
1.(−9)− (−2).4
−9 2
−4 1
=
9 −2
4 −1
3)
A =
3 −4 5
2 −3 1
3 −5 −1
Ta có:
A I
( )
=
3 −4 5 1 0 0
2 −3 1 0 1 0
3 −5 −1 0 0 1
η2(−1)+
η
1
→
1 −1 4 1 −1 0
2 −3 1 0 1 0
3 −5 −1 0 0 1
η1 −2
( )
+η2
η1 −3
( )
+η3
→
1 −1 4 1 −1 0
0 −1 −7 −2 3 0
0 −2 −13 −3 3 1
η2(−2)+
η
3
→
1 −1 4 1 −1 0
0 −1 −7 −2 3 0
0 0 1 1 −3 1
η2(−1)
→
1 −1 4 1 −1 0
0 1 7 2 −3 0
0 0 1 1 −3 1
η3 −7
( )
+η2
η3 −4
( )
+η1
→
1 −1 0 −3 11 −4
0 1 0 −5 18 −7
0 0 1 1 −3 1
η2+η1
→
1 0 0 −8 29 −11
0 1 0 −5 18 −7
0 0 1 1 −3 1
8
Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A
-1
=
−
−−
−−
131
7185
11298
4)
A =
2 7 3
3 9 4
1 5 3
Ta có:
A I
( )
=
2 7 3 1 0 0
3 9 4 0 1 0
1 5 3 0 0 1
η3↔η1
→
1 5 3 0 0 1
3 9 4 0 1 0
2 7 3 1 0 0
η1 −3
( )
+η2
η1 −2
( )
+η3
→
1 5 3 0 0 1
0 −6 −5 0 1 −3
0 −3 −3 1 0 −2
η3↔η2
→
1 5 3 0 0 1
0 −3 −3 1 0 −2
0 −6 −5 0 1 −3
h2(-2)+η3
→
1 5 3 0 0 1
0 −3 −3 1 0 −2
0 0 1 −2 1 1
η2 −
1
3
→
1 5 3 0 0 1
0 1 1 −
1
3
0
2
3
0 0 1 −2 1 1
h3 −1
( )
+η2
η3 −3
( )
+η1
→
1 5 0 6 −3 −2
0 1 0
5
3
−1 −
1
3
0 0 1 −2 1 1
η2(−5)+η1
→
1 0 0 −
7
3
2 −
1
3
0 1 0
5
3
−1 −
1
3
0 0 1 −2 1 1
⇒
Α
−1
=
−
7
3
2 −
1
3
5
3
−1 −
1
3
−2 1 1
5)
A =
1 2 2
2 1 −2
2 −2 1
Ta có:
9
( )
( )
( )
1 2 2
1 2 3
1
2
3
1
3
2 2 3
9
1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0
2 1 2 0 1 0 0 3 6 2 1 0
2 2 1 0 0 1 0 6 3 2 0 1
1 2 2 1 0 0
1 2 2 1 0 0
2 1
0 3 6 2 1 0 0 1 2 0
3 3
0 0 9 2 2 1
2 2 1
0 0 1
9 9 9
h h
h h
h
h
h h
A
− +
− +
−
÷
÷
− +
÷ ÷
= − → − − −
÷ ÷
÷ ÷
− − − −
÷
÷
÷
÷
→ − − − → −
÷
÷
÷
−
÷
÷
−
( )
( ) ( )
3 2 2
3 2 1 2 2 1
5 4 2 1 2 2
1 2 0 1 0 0
9 9 9 9 9 9
2 1 2 2 1 2
0 1 0 0 1 0
9 9 9 9 9 9
2 2 1 2 2 1
0 0 1 0 0 1
9 9 9 9 9 9
h h
h h h h
− +
− + − +
−
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
→ − → −
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
− −
÷ ÷
1
1 2 2
9 9 9
2 1 2
9 9 9
2 2 1
9 9 9
A
−
÷
÷
÷
⇒ = −
÷
÷
÷
−
÷
Bài 2
Giải các phương trình ma trận sau
1)
1 2 3 5
3 4 5 9
X
=
÷ ÷
Đặt
1 2 3 5
;
3 4 5 9
A B
= =
÷ ÷
Ta có:
1
AX B X A B
−
= ⇔ =
1
1
2 1
1 2 4 2
1 1
3 1
3 4 3 1
1.4 2.3
2 2
2 1
3 5 1 1
3 1
5 9 2 3
2 2
d b
A
c a
ad bc
X
−
−
−
− −
÷
= = = =
−
÷ ÷ ÷
÷
− −
− −
−
− −
÷
⇒ = =
−
÷ ÷
÷
2)
3 2 1 2
5 4 5 6
X
− −
=
÷ ÷
− −
10
Đặt
3 2 1 2
;
5 4 5 6
A B
− −
= =
÷ ÷
− −
Ta có:
1
XA B X BA
−
= ⇔ =
1
1
2 1
3 2 4 2
1 1
5 3
5 4 5 3
3.( 4) 5.( 2)
2 2
2 1
1 2 3 2
5 3
5 6 5 4
2 2
d b
A
c a
ad bc
X
−
−
−
− − −
÷
= = = =
÷ ÷ ÷
÷
− − −
− − − −
−
−
− −
÷
⇒ = =
÷ ÷
÷
− −
−
3)
1 2 3 1 3 0
3 2 4 10 2 7
2 1 0 10 7 8
X
− −
÷ ÷
− =
÷ ÷
÷ ÷
−
Giải:
Đặt
1 2 3 1 3 0
3 2 4 ; 10 2 7
2 1 0 10 7 8
A B
− −
÷ ÷
= − =
÷ ÷
÷ ÷
−
Ta có:
1
AX B X A B
−
= ⇔ =
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:
1
4 3 2
8 6 5
7 5 4
A
−
− −
÷
= − −
÷
÷
− −
Suy ra:
4 3 2 1 3 0 6 4 5
8 6 5 10 2 7 2 1 2
7 5 4 10 7 8 3 3 3
X
− − −
÷ ÷ ÷
= − − =
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− −
4)
5 3 1 8 3 0
1 3 2 5 9 0
5 2 1 2 15 0
X
−
÷ ÷
− − = −
÷ ÷
÷ ÷
− −
Đặt
5 3 1 8 3 0
1 3 2 ; 5 9 0
5 2 1 2 15 0
A B
−
÷ ÷
= − − = −
÷ ÷
÷ ÷
− −
Ta có:
1
XA B X BA
−
= ⇔ =
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:
11
1
1 1 3
19 19 19
9 10 11
19 19 19
13 25 18
19 19 19
A
−
− −
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
− − −
÷
Suy ra:
1
1 1 3
19 19 19
8 3 0 1 2 3
9 10 11
5 9 0 4 5 6
19 19 19
2 15 0 7 8 9
13 25 18
19 19 19
X BA A
−
− −
÷
−
÷
÷ ÷
÷
= = = − =
÷ ÷
÷
÷ ÷
−
÷
÷
− − −
÷
5)
3 1 5 6 14 16
5 2 7 8 9 10
X
−
=
÷ ÷ ÷
−
Đặt
3 1 5 6 14 16
; ;
5 2 7 8 9 10
A B C
−
= = =
÷ ÷ ÷
−
Ta có:
1 1
AXB C X A CB
− −
= ⇔ =
1
1
1
1
3 1 2 1
5 2 5 3
4 3
5 6
7 5
7 8
2 2
A
B
−
−
−
−
− −
= =
÷ ÷
− −
−
÷
= =
÷
÷
−
Suy ra:
4 3 4 3
2 1 14 16 19 22 1 2
7 5 7 5
5 3 9 10 43 50 3 4
2 2 2 2
X
− −
−
÷ ÷
= = =
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷
−
− −
12
BÀI TẬP VỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 2 3 15
5 3 2 15
10 11 5 36
x x x
x x x
x x x
+ + =
− + =
− + =
Giải:
Ta có:
( )
2( 1) 1 1( 2) 2
2( 2) 3
1 2 1( 2) 2 3
7 2 3 15 2 5 1 0 2 5 1 0
5 3 2 15 5 3 2 15 1 13 0 15
10 11 5 36 0 5 1 6 0 5 1 6
1 13 0 15 1 13 0 15
2 5 1 0 0 31 1 30
0 5 1 6 0 5 1 6
h h h h
h h
h h h h h
A B
− + − +
− +
↔ − +
÷ ÷ ÷
= − → − → −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− − −
− −
÷ ÷
→ → −
÷ ÷
÷ ÷
− −
(6) 2
2(5) 3
1 13 0 15
0 1 7 6
0 5 1 6
1 13 0 15
0 1 7 6
0 0 36 36
h
h h
+
+
−
÷
→
÷
÷
−
−
÷
→
÷
÷
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 1
2 3 2
3
3
13 15 2
7 6 1
1
36 36
x x x
x x x
x
x
− = =
+ = ⇔ = −
=
=
2)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 10
3 2 2 1
5 4 3 4
x x x
x x x
x x x
+ − =
+ + =
+ + =
Giải:
Ta có:
( )
1( 1) 2
1( 2) 3 1 2
1( 2) 2
1( 1) 2 2 3
2 1 2 10 2 1 2 10 1 1 4 9
3 2 2 1 1 1 4 9 2 1 2 10
5 4 3 4 1 2 7 16 1 2 7 16
1 1 4 9 1 1 4 9
0 1 10 28 0 1 10 28
0 1 3 7 0 0 7 21
h h
h h h h
h h
h h h h
A B
− +
− + ↔
− +
− + +
− − −
÷ ÷ ÷
= → − → −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− −
− −
÷ ÷
→ − − → − −
÷
÷
− −
÷
÷
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
13
1 2 3
1
2 3 2
3
3
4 9
1
10 28 2
3
7 21
x x x
x
x x x
x
x
+ + = −
=
− − = ⇔ =
= −
− =
3)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
2 5 4 5
3 4 2 12
x x x
x x x
x x x
+ − =
+ − =
+ + =
Giải:
Ta có:
( )
1( 2) 2 2(2) 3
1( 3) 3
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
2 5 4 5 0 1 2 1 0 1 2 1
3 4 2 12 0 2 5 3 0 0 1 1
h h h h
h h
A B
− + +
− +
− − −
÷ ÷ ÷
= − → − − → − −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
−
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 3
1
2 3 2
3
3
2 3
2
2 1 1
1
1
x x x
x
x x x
x
x
+ − =
=
− = − ⇔ =
=
=
4)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
5 2 6 5
3 4 7
x x x
x x x
x x x
+ − =
+ − =
− − =
Giải:
Ta có:
( )
3( 1) 1 1( 1) 2
3( 2) 2 1(3) 3
2( 2) 3 2 3
2 1 3 1 1 2 1 6 1 2 1 6
5 2 6 5 1 4 2 9 0 2 1 3
3 1 4 7 3 1 4 7 0 5 1 11
1 2 1 6 1 2 1 6
0 2 1 3 0 1 3 5
0 1 3 5 0 2 1 3
h h h h
h h h h
h h h h
A B
− + − +
− + +
− + ↔
− − − − −
÷ ÷ ÷
= − → − − → −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− − − − − −
− − − −
÷
→ − → − −
÷
÷
− − −
2( 2) 3
1 2 1 6
0 1 3 5
0 0 7 7
h h− +
− −
÷ ÷
→ − −
÷ ÷
÷ ÷
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 3
1
2 3 2
3
3
2 6
3
3 5 2
1
7 7
x x x
x
x x x
x
x
− + + = −
=
− = − ⇔ = −
=
=
5)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 8
3 2 4 15
5 4 1
x x x
x x x
x x x
+ − =
+ − =
+ − =
14
Giải:
Ta có:
( )
2( 1) 1 1(3) 2
2( 2) 3 1( 1) 3
2 3
2 1 2 8 1 1 2 7 1 1 2 7
3 2 4 15 3 2 4 15 0 1 2 6
5 4 1 1 1 0 7 29 0 1 5 22
1 1 2 7
0 1 2 6
0 0 7 28
h h h h
h h h h
h h
A B
− + +
− + − +
+
− − − − − − −
÷ ÷ ÷
= − → − → − −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− − − −
− − −
÷
→ − −
÷
÷
−
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 3
1
2 3 2
3
3
2 7
1
2 6 2
4
7 28
x x x
x
x x x
x
x
− − + = −
=
− + = − ⇔ = −
= −
= −
6)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
2 5 8 4
3 8 13 7
x x x
x x x
x x x
+ − =
+ − =
+ − =
Giải:
Ta có:
( )
1( 2) 2 2( 2) 3
1( 3) 3
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
2 5 8 4 0 1 2 2 0 1 2 2
3 8 13 7 0 2 4 4 0 0 0 0
h h h h
h h
A B
− + − +
− +
− − −
÷ ÷ ÷
= − → − → −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− −
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
( )
1 3
1
1 2 3
2 3 2
2 3
3
3
3
3
2 3 1
2 2 2 2
2 2
ý
x x
x t
x x x
x x x t t R
x x
x t
x
= − −
= − −
+ − =
⇔ = + ⇔ = + ∈
− =
=
tuøy
Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4
4 3 2 6
8 5 3 4 12
3 3 2 2 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
+ − + =
+ − + =
+ − + =
Giải:
Ta có:
15
( )
( )
( )
h1 2 h2
h1 4 h3
3
h1 h4
2
h2( 3) h3 h3( 1/4) h4
2 2 1 1 4 2 2 1 1 4
4 3 1 2 6 0 1 1 0 2
8 5 3 4 12 0 3 1 0 4
3 3 2 2 6 0 0 1/ 2 1/ 2 0
2 2 1 1 4 2 2 1 1 4
0 1 1 0 2 0 1 1 0 2
0 0 2 0 2 0
0 0 1/ 2 1/ 2 0
A B
− +
− +
− +
÷
− + − +
− −
÷ ÷
− − −
÷ ÷
= →
÷ ÷
− − −
÷ ÷
− −
− −
÷
− − − −
÷
→ →
÷
−
÷
−
0 2 0 2
0 0 0 1/ 2 1/ 2
÷
÷
÷
−
÷
−
Khi đó (1)
⇔
( )
( )
( )
( )
1 2 3 4
2 3
3
4
2 2 4 1
2 2
2 2 3
1 1
4
2 2
x x x x
x x
x
x
+ − + =
− + = −
− = −
= −
Từ (4)
4
1x⇒ = −
Thế
4
1x = −
vào (3)
3
1x⇒ = −
Thế x
3
vào (2) ta được:
2
1x =
Thế x
3,
x
2,
x
4
vào (1) ta được:
1
1x =
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
1
2
3
4
1
1
1
1
x
x
x
x
=
=
= −
= −
hay (1, 1, -1, -1)
2)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 11 5 2
5 2 1
2 3 2 3
3 4 3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + = −
+ + + = −
Giải:
Ta có:
( )
h1 h2
2 3 11 5 2 1 1 5 2 1
1 1 5 2 1 2 3 11 5 2
/
2 1 3 2 3 2 1 3 2 3
1 1 3 4 3 1 1 3 4 3
A B
↔
÷ ÷
÷ ÷
= →
÷ ÷
− −
÷ ÷
− −
16
( )
( )
( )
h1 2 h2
h1 2 h3
h1 1 h4
h2 h3 h3 h4
h3(-3) h4
1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 7 2 5 0 0 6 1 5 0 0 2 2 4
0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 6 1 5
1 1 5 2 1
0 1 1 1 0
0 0 2 2 4
0 0 0 7 7
− +
− +
− +
+ ↔
+
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
→ → →
÷ ÷ ÷
− − − − − − − − −
÷ ÷ ÷
− − − − − − −
→
− −
−
÷
÷
÷
÷
Suy ra: (2)
⇔
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
5 2 1 (1)
0 (2)
2 2 4 (3)
7 7 (4)
x x x x
x x x
x x
x
+ + + =
+ + =
− + = −
− =
Từ (4)
4
1x⇒ = −
Thế
4
1x = −
vào (3)
3
1x⇒ =
Thế x
3
, x
4
vào (2) ta được:
2
0x =
Thế x
3,
x
2,
x
4
vào (1) ta được:
1
2x = −
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
−=
=
=
−=
1x
1x
0x
2x
4
3
2
1
hay (-2, 0, 1, -1)
3)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 3 6
3 5 2 2 4
9 4 7 2
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
( )
h2(-1) h1
2 7 3 1 6 1 2 1 1 2
/ 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4
9 4 1 7 2 9 4 1 7 2
A B
+
− −
÷ ÷
= →
÷ ÷
÷ ÷
h1(3)+h2
h1(3)+h3
h2(-2) h3
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
0 11 5 1 10 0 11 5 1 10
0 22 10 2 20 0 0 0 0 0
+
− − − −
÷ ÷
→ − → −
÷ ÷
÷ ÷
−
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình:
17
( )
1 2 3 4
2 3 4
4 2 3
1 2 3 2 3 1 2 3
2 2 (1)
11 5 10 (2)
(2) : 11 5 10
(1) 2 11 5 10 2 9 4 8
x x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x
− + + − =
+ − =
= + −
⇔ − + + − + − = ⇔ = − − +
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
1 2 3
2
2
4 2 3
9 4 8
11 5 10
x x x
x
x
x x x
=− − +
= + −
tuøy yù
tuøy yù
hay
( )
1
2
3
4
-9 - 4 8
,
11 5 10
x t s
x t
t s R
x s
x t s
= +
=
∀ ∈
=
= + −
4)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 2 4 2
7 4 3 5
5 7 4 6 3
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + + =
+ − − =
Ta có:
( )
( )
( )
( )
h1(-2) h2
1 3 2
1 5 3
1 2
2 1 3
3 5 2 4 2 3 5 2 4 2
/ 7 4 1 3 5 1 6 3 5 1
5 7 4 6 3 5 7 4 6 3
1 6 3 5 1 1 6 3 5 1
3 5 2 4 2 0 23 11 19 1
5 7 4 6 3 0 23 11 19 2
1 6 3 5 1
0 23 11 19 1
h h
h h
h h
h h
A B
+
− +
− +
↔
− +
− −
÷ ÷
= − → − −
÷ ÷
÷ ÷
− − − −
− − − −
÷ ÷
→ − → − −
÷ ÷
÷ ÷
− − − −
− −
→ − −
0 0 0 0 1
÷
÷
÷
−
Suy ra: (4)
⇔
1 2 3 4
2 3 4
6 3 5 0
23 11 19 1
0 1
x x x x
x x x
+ − − =
− + + = −
= −
⇒
hệ vô nghiệm
5)
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
1 2 3 4
2 1
2 3 2
3 3
3 2 2 5 6
x x x x
x x x
x x x
x x x x
− + − =
− − =
− + = −
+ − + = −
18
( )
2( 1) 3
2( 1) 4
2( 1) 1
1 3 1( 2) 2
2 1 1 1 1 0 0 1 2 1
2 1 0 3 2 2 1 0 3 2
3 0 1 1 3 1 1 1 4 5
3 2 2 5 6 0 3 2 8 8
1 1 1 4 5 1 1 1 4
2 1 0 3 2 0 3 2 11
0 0 1 2 1 0 0 1 2
0 3 2 8 8 0 3
h h
h h
h h
h h h h
A B
+
+
+
+
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
2 4
5
12
1
2 8 8
1 1 1 4 5
0 3 2 11 12
0 0 1 2 1
0 0 0 3 4
h h+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
4 5
2
3 2 11 12
5 4
5
0,2, ,
2 1
3 3
3
4
3 4
3
x
x x x x
x
x x x
hay
x
x x
x
x
=
+ + =
=
+ =
=
ữ
+ =
=
=
6)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 11
2 3 4 12
3 4 2 13
4 2 3 14
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Giaỷi
( )
1( 2) 2
1( 3) 3
1( 4) 4
2( 2) 3 3 4
2( 7) 4
1 2 3 4 11 1 2 3 4 11
2 3 4 1 12 0 1 2 7 10
3 4 1 2 13 0 2 8 10 20
4 1 2 3 14 0 7 10 13 30
1 2 3 4 11
0 1 2 7 10
0 0 4 4 0
0 0 4 36 40
h h
h h
h h
h h h h
h h
A B
+
+
+
+ +
+
ữ ữ
ữ ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
1 2 3 4 11
0 1 2 7 10
0 0 4 4 0
0 0 0 40 40
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
19
( )
1 2 3 4
1
2 3 4 2
3
3 4
4
4
2 3 4 11
2
2 7 10 1
2,1,1,1
1
4 4 0
1
40 40
x x x x
x
x x x x
hay
x
x x
x
x
+ + + =
=
− − − = − =
⇔
=
− + =
=
=
7)
1 2 3 4
2 3 4
1 2 4
2 3 4
2 3 4 4
+ 3
3 3 1
7 3 3
x x x x
x x x
x x x
x x x
− + − =
− = −
+ − =
− + + = −
Giải
( )
1( 1) 3
2( 5) 3 3(2) 4
2(7) 4
1 2 3 4 4 1 2 3 4 4
0 1 1 1 3 0 1 1 1 3
1 3 0 3 1 0 5 3 1 3
0 7 3 1 3 0 7 3 1 3
1 2 3 4 4 1 2 3 4 4
0 1 1 1 3 0 1 1 1
0 0 2 4 12 0 0 2 4
0 0 4 8 24 0 0 0 0
h h
h h h h
h h
A B
− +
− + +
+
− − − −
÷ ÷
− − − −
÷ ÷
= →
÷ ÷
− − −
÷ ÷
÷ ÷
− − − −
− − − −
÷
− − − −
÷
→ →
÷
− −
÷
÷
− −
3
12
0
÷
÷
÷
÷
÷
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
( )
1 1
1 2 3 4
2 4 2
2 3 4
3 4 3
3 4
4 4
8 8
2 3 4 4
3 3
3
2 6 2 6
2 4 12
x x
x x x x
x x x t
x x x t R
x x x t
x x
x x t
= − = −
− + − =
= + = +
− + = − ⇔ ⇔ ∈
= + = +
− =
=
tùy ý
8)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 2 3
6 8 2 5 7
9 12 3 10 13
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Giải
( )
1( 2) 2 2( 4) 3
1( 3) 3
3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3
6 8 2 5 7 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
9 12 3 10 13 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0
h h h h
h h
A B
− + − +
− +
÷ ÷ ÷
= → →
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
20
( )
1
3 1 2
1 2 3 4 2
4
3
4
1 2
4
1 3 4
1 3 4
3 4 2 3
1 ,
1
1
x t s
x x x
x x x x x t
x t s R
x s
x
x
x
= − −
= − −
+ + + = =
⇔ = ⇔ ∈
=
=
=
,x tùy ý
9)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9 3 5 6 4
6 2 3 4 5
3 3 14 8
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + + =
− + + = −
Giải
( )
3 1 1( 2) 2
1( 3) 3
1
2
3 4
3
1
3
4
9 3 5 6 4 3 1 3 14 8 3 1 3 14 8
6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 0 0 3 24 21
3 1 3 14 8 9 3 5 6 4 0 0 4 36 28
3 1 3 14 8 3 1 3
0 0 1 8 7
0 0 1 9 7
h h h h
h h
h
h h
h
A B
↔ − +
− +
−
÷
+
÷
− − − − −
÷ ÷ ÷
= − → − → − −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
− − − − −
− − −
÷
→ − →
÷
÷
− −
14 8
0 0 1 8 7
0 0 0 1 0
−
÷
−
÷
÷
−
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
( )
1 2 1
1 2 3 4
2 2
3 4
3 3
4
4 4
1 13 1 13
3 3 14 8
3 3 3 3
8 7
7 7
0
0 0
x x x t
x x x x
x t
x x t R
x x
x
x x
= + = +
− + + = −
=
+ = − ⇔ ⇔ ∈
= − = −
=
= =
x tùy ý
10)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
3 2 5 3
2 3 5 3
2 4 3
4 9 22
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
− − + =
− + + = −
+ − = −
− − + =
Giải
( )
1 3
1( 2) 2
1( 3) 3 3( 1) 2
1( 1) 4 3( 1) 4
3 2 5 1 3 1 2 0 4 3
2 3 1 5 3 2 3 1 5 3
1 2 0 4 3 3 2 5 1 3
1 1 4 9 22 1 1 4 9 22
1 2 0 4 3 1
0 7 1 13 3
0 8 5 13 12
0 3 4 13 25
h h
h h
h h h h
h h h h
A B
↔
− +
− + − +
− + − +
− − − −
÷ ÷
− − − −
÷ ÷
= →
÷ ÷
− − − −
÷ ÷
÷ ÷
− − − −
− −
÷
−
÷
→ →
÷
− −
÷
÷
− −
2 0 4 3
0 1 6 0 9
0 8 5 13 12
0 5 1 0 13
− −
÷
−
÷
÷
− −
÷
÷
21
1
4 3
2(8) 3
29
2( 5) 4
1 2 0 4 3 1 2 0 4 3
0 1 6 0 9 0 1 6 0 9
0 0 43 13 60 0 0 1 0 2
0 0 29 0 58 0 0 43 13 60
h h
h h
h h
ữ
+
+
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
3(43) 4
1 2 0 4 3
0 1 6 0 9
0 0 1 0 2
0 0 0 13 26
h h+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1 2 4 1
2 3
2
33
44
2 4 3 1
6 9
3
22
213 26
x x x x
x x
x
xx
xx
= =
+ =
=
= =
==
11)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
6 4 6
3 6 4 2
2 3 9 2 6
3 2 3 7
x x x x
x x x x
x x x x
x x x mx
+ =
=
+ + + =
+ + + =
Giaỷi
( )
1( 3) 2
1( 2) 3
1( 3) 4
1
2
2 3
4
2( 1) 4
1 1 6 4 6 1 1 6 4 6
3 1 6 4 2 0 4 12 8 16
2 3 9 2 6 0 1 21 10 6
3 2 3 8 7 0 1 21 20 25
1 1 6 4 6
0 1 3 2 4
0 1 21 10 6
0 1 21 20 25
h h
h h
h h
h
h h
h h
A B
+
+
+
ữ
+
+
ữ ữ
ữ ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
1 1
4 3
3( 2) 4
3 2
1 1 6 4 6
0 1 3 2 4
0 0 24 12 10
0 0 18 18 21
1 1 6 4 6 1 1 6 4 6
0 1 3 2 4 0 1 3 2 4
0 0 6 6 7 0 0 6 6 7
0 0 12 6 5 0 0 0 6 9
h h
h h
ữ ữ
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
22
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
6 4 3
2
3 2 4
1
6 6 7
3
3
6 9
2
x
x x x x
x
x x x
x
x x
x
x
=
+ =
=
+ + =
=
+ =
=
=
12)
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
1 2 3 4
2 1
2 3 2
3 3
2 2 2 5 6
x x x x
x x x
x x x
x x x x
+ =
=
+ =
+ + =
Giaỷi
( )
( )
1
1( 1) 2
1( 1) 3
1( 1) 4
2 2
1 3
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 0 3 2 0 0 1 2 1
3 0 1 1 3 1 1 2 2 4
2 2 2 5 6 0 3 3 6 7
1 1 2 2 4 1 1 2 2
0 0 1 2 1 0 0 1 2
2 1 1 1 1 0 3 5 5
0 3 3 6 7 0
h h
h h
h h
h h
h h
A B
+
+
+
+
ữ ữ
ữ ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
( )
3 4 2 3
3 2 4
4
1
9
3 3 6 7
1 1 2 2 4 1 1 2 2 4
0 0 1 2 1 0 3 5 5 9
0 3 5 5 9 0 0 1 2 1
0 0 2 1 2 0 0 2 1 2
1 1 2 2 4
0 3 5 5 9
0 0 1 2 1
0 0 0 3 4
h h h h
h h
+
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
2 2 4
2
3 5 5 9
5
2 1
3
4
3 4
3
x
x x x x
x
x x x
x
x x
x
x
=
+ + =
=
+ =
=
=
=
=
23
13)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 3 2 12
4 2 5 3 27
7 8 5 40
6 4 5 3 41
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + =
+ + =
+ + =
+ + + =
Giaỷi
( )
1( 1) 2
1( 2) 3
1( 2) 4
1 3 1( 1) 2
1( 3) 3
3 5 3 2 12 3 5 3 2 12
4 2 5 3 27 1 7 8 1 15
7 8 1 5 40 1 2 5 1 16
6 4 5 3 41 0 6 11 117
1 2 5 1 16 1 2 5
1 7 8 1 15
3 5 3 2 12
0 6 11 117
h h
h h
h h
h h h h
h h
A B
+
+
+
+
+
ữ ữ
ữ ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
2(2) 3 2 4
2( 1) 4
2 3
2( 5) 4
1 16
0 5 3 0 1
0 11 18 1 36
0 6 11 1 17
1 2 5 1 16 1 2 5 1 16
0 5 3 0 1 0 1 8 1 18
0 1 12 1 38 0 1 12 1 38
0 1 8 1 18 0 5 3 0 1
1 2 5 1
0 1 8 1
0 0
h h h h
h h
h h
h h
+
+
+
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
( )
1
3
2
3 18 4
3 4
16 1 2 5 1 16
18 0 1 8 1 18
4 2 20 0 0 2 1 10
0 0 37 5 91 0 0 37 5 91
1 2 5 1 16 1 2 5 1 16
0 1 8 1 18 0 1 8 1 18
0 0 2 1 10 0 0 1 23 89
0 0 1 23 89 0 0 2 1 10
h
h h
h h
h
ữ
+
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
3(2) 4
1 2 5 1 16
0 1 8 1 18
0 0 1 23 89
0 0 0 47 188
h+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1 2 3 4
1
2 3 4 2
3
3 4
4
4
2 5 16
1
8 18 2
3
23 89
4
47 188
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
x
+ + =
=
+ = =
=
+ =
=
=
24
14)
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3
2 3
4 4 5 5 0
2 3 10
5 10
3 2 1
x x x x
x x x
x x x
x x
+ + + =
+ =
+ =
+ =
Giaỷi
Ta coự:
( )
1 3
1( 2) 2 4 2
1( 4) 3
4 4 5 5 0 1 1 5 0 10
2 0 3 1 10 2 0 3 1 10
1 1 5 0 10 4 4 5 5 0
0 3 2 0 1 0 3 2 0 1
1 1 5 0 10 1 1 5 0 10
0 2 13 1 30 0 1 15 1 31
0 0 25 5 40 0 0 25 5 40
0 3 2 0 1 0 3 2 0 1
h h
h h h h
h h
A B
+ +
+
ữ ữ
ữ ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
1
3
2( 3) 4
5
1
4 3
3(9) 4
2
1 1 5 0 10 1 1 5 0 10
0 1 15 1 31 0 1 15 1 31
0 0 25 5 40 0 0 5 1 8
0 0 43 3 92 0 0 43 3 92
1 1 5 0 10 1
0 1 15 1 31
0 0 5 1 8
0 0 2 12 20
h
h h
h h
h h
ữ
+
ữ
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
3( 5) 4
1 5 0 10
0 1 15 1 31
0 0 1 6 10
0 0 5 1 8
1 1 5 0 10
0 1 15 1 31
0 0 1 6 10
0 0 0 29 58
h h +
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1 2 3
1
2 3 4 2
3
3 4
4
4
5 10
1
15 31 1
2
6 10
2
29 58
x x x
x
x x x x
x
x x
x
x
+ =
=
+ = =
=
+ =
=
=
25
