một vài mở rộng của nguyên lý biến phân ekeland

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
Vũ Minh Thư
MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà
Hà Nội - 2012

Mục lục
Mở đầu 4
1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 6
1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . 6
1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric 10
1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . 17
1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của
không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . 18
2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke 21
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke . . . . . . . . . . . 27
2
2.3. Điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự
dương của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39
3
Lời mở đầu
Một kết quả cổ điển trong giải tích chỉ ra rằng, một hàm f nửa liên
tục dưới trên một tập compact X thì đạt cực tiểu trên tập đó. Nếu bỏ giả
thiết X compact thì kết luận trên có thể không còn đúng nữa.
Năm 1974, I.Ekeland phát biểu một nguyên lý gọi là nguyên lý biến
phân Ekeland chỉ ra rằng nếu hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới
trong không gian metric đủ ta luôn tìm được một hàm nhiễu của hàm ban
đầu sao cho hàm nhiễu này có cực tiểu toàn cục.
Nếu hàm f là khả vi Gateaux và bị chặn dưới trong không gian Banach
thì đạo hàm của f có thể làm nhỏ tùy ý. Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều
kiện Palais-Smale thì f có cực tiểu.
Nguyên lý biến phân Ekeland mở ra hướng nghiên cứu mới cho toán
học và là một công cụ mạnh được ứng dụng hiệu quả trong các lĩnh vực:
lý thuyết tối ưu, giải tích phi tuyến, giải tích đa trị, Ngày nay, nguyên
lý vẫn được rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và mở rộng
theo nhiều hướng: các ánh xạ đơn trị hoặc đa trị trong không gian lồi địa
phương, trong không gian vectơ, trong không gian Banach
Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách có hệ thống một số
kết quả liên quan tới nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong [2], [4],
[10] và một vài mở rộng của nguyên lý này cho ánh xạ đa trị theo [5]. Đối
với ánh xạ đa trị chúng ta sẽ dùng đối đạo hàm Clarke định nghĩa thông
qua nón pháp tuyến Clarke được giới thiệu trong bài báo [8].
4
Luận văn gồm 2 chương
Chương 1. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển. Chương này bao
gồm một số kết quả cổ điển của giải tích về các điều kiện để hàm nửa
liên tục dưới đạt cực tiểu, nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và
một số ứng dụng của nguyên lý này.

Chương 2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke. Đây là nội dung chính
của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số mở rộng
của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong không gian
Banach có sử dụng nón pháp tuyến, đối đạo hàm Clarke và một số
điều kiện đủ để ánh xạ đa trị có cực tiểu yếu, cực tiểu thực sự dương.
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Trương Xuân Đức Hà. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Cô.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, các
thầy cô và Trung tâm đào tạo sau đại học của Viện đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp khoa Khoa
học cơ bản - Cao đẳng công nghệ Hà Nội, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ
tôi rất nhiều trong quá trình học tập của mình.
Hà Nội, tháng 8 năm 2011
Tác giả
5
Chương 1
Nguyên lý biến phân Ekeland cổ
điển
Trong chương này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland
cổ điển được giới thiệu trong bài báo [4], nguyên lý Ekeland trong không
gian hữu hạn chiều theo [10] và một số ứng dụng của nguyên lý theo [2].
1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới
Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại về lớp hàm nửa liên tục dưới và một
số tính chất của nó. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R∪{+∞}
Kí hiệu :
domf = {x ∈ X|f(x) < +∞},
epif = {(x, a) ∈ X × R|f(x) ≤ a}.

Với mỗi a ∈ R, kí hiệu tập mức của f là
L
a
f = {x ∈ X|f(x) ≤ a}.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian topo, hàm f : X → R ∪{+∞}
được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x
0
khi và chỉ khi
lim inf
x→x
0
f(x) ≥ f(x
0
).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại
mọi điểm của X.
Nhận xét 1.1.1. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x
0
khi và chỉ khi ∀ε > 0
tồn tại lân cận U của x
0
sao cho ∀x ∈ U ta đều có f(x) ≥ f(x
0
) − ε.
Ta xét ví dụ sau để minh họa cho định nghĩa trên.
Ví dụ 1.1.1. Cho hàm số f : R → R xác định bởi
f(x) =

6x
2

− 1 nếu x = 1
0 nếu x = 1
Ta thấy f liên tục trên R \ {1} và gián đoạn tại x = 1. Nhưng f nửa
liên tục dưới tại x = 1 vì lim inf
x→1
f(x) = 5 ≥ f(1). Vậy f nửa liên tục dưới
trên R.
Sau đây là một số tính chất của hàm nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪{+∞}.
Các khẳng định sau là tương đương
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X.
(ii) epif là tập đóng trong X ×R.
(iii) ∀a ∈ R thì tập mức L
a
f là tập đóng trong X.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử f là nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy
dãy {(x
n
, a
n
)} ⊂ epif sao cho lim
n→∞
(x
n
, a
n
) = (x
0
, a
0

). Ta cần chỉ ra
(x
0
, a
0
) ∈ epif. Thật vậy, lim
n→∞
x
n
= x
0
, lim
n→∞
a
n
= a
0
và hàm f là nửa
7
liên tục dưới tại x
0
nên lim
n→∞
inf f(x
n
) ≥ f(x
0
). Mà {(x
n
, a

n
)} ⊂ epif nên
f(x
n
) ≤ a
n
, n ∈ N. Do đó lim
n→∞
inf f(x
n
) ≤ lim
n→∞
a
n
. Suy ra
f(x
0
) ≤ lim
n→∞
inf f(x
n
) ≤ lim
n→∞
a
n
= a
0
.
Điều này chứng tỏ (x
0

, a
0
) ∈ epif.
(ii) ⇒ (iii). Giả sử epif là tập đóng trong X × R.∀a ∈ R giả sử L
a
f =
{x ∈ X|f(x) ≤ a} là tập mức bất kì của f. Ta sẽ chứng minh L
a
f đóng
trong X. Lấy dãy {x
n
} ⊂ L
a
f thỏa mãn lim
n→∞
x
n
= x
0
. Ta có f(x
n
) ≤ a
do {x
n
} ⊂ L
a
f . Suy ra (x
n
, a) ∈ epif, ∀n ∈ N. Hơn nữa, lim
n→∞

x
n
= x
0
nên lim
n→∞
(x
n
, a) = (x
0
, a).
Mặt khác, epif đóng trong X ×R nên (x
0
, a) ∈ epif vì vậy x
0
∈ L
a
f
hay L
a
f là tập đóng ∀a ∈ R.
(iii) ⇒ (i). Giả sử L
a
f đóng trong X, ∀a ∈ R. Ta phải chứng minh f là
hàm nửa liên tục dưới trên X. Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục
dưới tại x
0
∈ X khi đó tồn tại dãy x
n
⊂ X sao cho lim

n→∞
x
n
= x
0
và
lim
n→∞
inf f(x
n
) < f(x
0
).
Chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho có k ∈ N để f(x
n
) ≤ f(x
0
) − ε(∀n > k).
Xét tập mức L = {x ∈ X|f(x) ≤ f(x
0
) − ε}.
Ta thấy x
n
∈ N, ∀n > k. Mặt khác, do L đóng và lim
n→∞
x
n
= x
0
nên x

0
∈ L
do đó f(x
0
) ≤ f(x
0
) − ε (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại hai định lý trong giải tích về sự tồn
tại điểm cực tiểu của hàm nửa liên tục dưới.
Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X → R∪{+∞}
đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại x ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
Sau đây, ta cùng xem lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu
của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X.
8
Mệnh đề 1.1.2. [10] Cho hàm f : X → R ∪{+ ∞} là hàm nửa liên tục
dưới trên tập compact X trong không gian topo. Khi đó f đạt cực tiểu trên
X.
Chứng minh. Đặt a = inf{f(x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy x
n
⊂ X sao
cho lim
n→∞
f(x
n
) = a. Do X là tập compact, không mất tính tổng quát ta
có thể coi x
n
là dãy hội tụ đến x ∈ X. Ta sẽ chứng minh f(x) = a. Thật
vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nên lim
n→∞

inf f(x
n
) ≥ f(x) kết hợp
với lim
n→∞
f(x
n
) = a ta suy ra f(x) ≤ a.
Mặt khác theo định nghĩa của a thì f(x) ≥ a. Vậy f(x) = a và x là
điểm cực tiểu của f trên X.
Nhận xét 1.1.2. Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực
tiểu.
Ta xét ví dụ sau để minh họa cho nhận xét trên.
Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số f : X = R × R\{(0, 1)} → R
x = (x
1
, x
2
) → f(x) = x
2
1
+ (x
2
− 1)
4
.
Ta thấy f là liên tục trên X và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X. Hơn nữa inf
X
f = 0.
Tuy nhiên không tồn tại x ∈ X để f(x) = 0. Thật vậy, giả sử rằng có

x
0
∈ X sao cho f(x
0
) = 0 thì ta suy ra x
0
= (0, 1) ∈ X (mâu thuẫn với
cách xác định X). Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X.
Khi giả thiết compact của X không còn thì hàm f có thể không
đạt cực trị. Dưới đây là một điều kiện để hàm nửa liên tục dưới đạt cực
trị trên tập đóng.
Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là bức trên tập X khác rỗng nếu
f(x) → +∞ khi x ∈ X, x → +∞.
9
Mệnh đề 1.1.3. [10] Một hàm f : X → R∪{+∞} nửa liên tục dưới trên
một tập đóng X khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều và bức trên X
thì f phải có cực tiểu trên X.
Chứng minh. Lấy a ∈ X. Do f là nửa liên tục dưới nên từ Mệnh đề 1.1.1
ta suy ra tập C = {x ∈ X|f(x) ≤ f(a)} là tập đóng .
Giả sử rằng C là tập không bị chặn vậy tồn tại {x
k
} ⊂ C sao cho
f(x
k
) ≤ f(a),


x
k



→ +∞. Do f thỏa mãn điều kiện bức nên f(x
k
) →
+∞ (mâu thuẫn vì f(x
n
) ≤ f(a)).
Vậy C là tập đóng và bị chặn ta suy ra C compact.
Theo Mệnh đề 1.1.2 thì f đạt cực tiểu trên C và cực tiểu này cũng là
cực tiểu trên X của f.
1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển
Trong mục này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ
điển trong không gian metric đủ và không gian hữu hạn chiều.
1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric
Nếu X không compact và f không là bức trên X thì hàm f có thể không
đạt cực tiểu trên X. Khi đó, ta xét khái niệm điểm ε−xấp xỉ cực tiểu như
sau: Với ε > 0 cho trước, một điểm x
ε
∈ X gọi là ε−xấp xỉ cực tiểu của
f(x) trên X nếu
inf
X
f ≤ f(x
ε
) ≤ inf
X
f + ε.
Điểm ε− xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Hơn
nữa, khi X là không gian metric đủ thì nguyên lý Ekeland phát biểu rằng
ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X. Sau

10
đây ta xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trên không gian metric
đủ (X, d).
Định lý 1.2.1. [4] [Nguyên lý biến phân Ekeland ] Cho (X, d) là không
gian metric đủ và hàm f : X → R ∪ { + ∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị
chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X thỏa mãn
f(x
ε
) < inf
X
f + ε.
Khi đó với λ > 0 bất kỳ thì tồn tại x ∈ X sao cho:
(i) d(x, x
ε
) ≤ λ.
(ii) f(x) +
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ f(x
ε
).
(iii) f(x) +
ε
λ
d(x, x) > f(x), ∀x ∈ X\{x}.
Để chứng minh Định lý trên, trước hết ta định nghĩa một quan hệ thứ tự


≤

trên tích X ×R như sau, với mỗi α > 0, với (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
) ∈ X ×R
ta có
(x
1
, y
1
) ≤ (x
2
, y
2
) ⇔ y
2
− y
1
+ αd(x
1
, x
2
) ≤ 0.

Ta chứng minh quan hệ

≤

có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Tính phản xạ : dễ thấy từ định nghĩa quan hệ

≤

.
Tính phản đối xứng : giả sử rằng (x
1
, y
1
) ≤ (x
2
, y
2
) và (x
2
, y
2
) ≤
(x
1
, y
1
). Ta cần chứng minh (x
1
, y

1
) = (x
2
, y
2
). Thật vậy, do cách định
nghĩa quan hệ thứ tự và giả thiết trên ta có:
(x
1
, y
1
) ≤ (x
2
, y
2
) ⇔ d(x
1
, x
2
) ≤
y
1
− y
2
α
.
(x
2
, y
2

) ≤ (x
1
, y
1
) ⇔ d(x
2
, x
1
) ≤
y
2
− y
1
α
.
Suy ra 2d(x
1
, x
2
) ≤ 0. Vì vậy x
1
= x
2
. Do đó (x
1
, y
1
) = (x
2
, y

2
).
Tính bắc cầu : giả sử rằng (x
1
, y
1
) ≤ (x
2
, y
2
) và (x
2
, y
2
) ≤ (x
3
, y
3
).
11
Khi đó
d(x
1
, x
2
) ≤
y
1
− y
2

α
và d(x
2
, x
3
) ≤
y
2
− y
3
α
.
Ta suy ra
d(x
1
, x
2
) + d(x
2
, x
3
) ≤
y
1
− y
3
α
.
Mặt khác
d(x

1
, x
3
) ≤ d(x
1
, x
2
) + d(x
2
, x
3
).
Vậy ta suy ra
d(x
1
, x
3
) ≤
y
1
− y
3
α
hay(x
1
, y
1
) ≤ (x
3
, y

3
).
Bổ đề sau sẽ được dùng để chứng minh Định lý 1.2.1.
Bổ đề 1.2.1. [4] Cho S là tập đóng trong X ×R thỏa mãn tồn tại m ∈ R
sao cho nếu (x, a) ∈ S thì a ≥ m. Khi đó, với mỗi phần tử (x
1
, a
1
) ∈ S
luôn có phần tử (x, a) ∈ S sao cho (x
1
, a
1
) ≤ (x, a) và (x, a) là phần tử
cực đại trong S theo nghĩa
(x, a)  (x, a), ∀(x, a) ∈ S và (x, a) = (x, a).
Chứng minh. Ta xây dựng dãy (x
n
, a
n
) ⊂ S bằng quy nạp như sau, bắt
đầu với (x
1
, a
1
) ∈ S cho trước. Giả sử rằng (x
n
, a
n
) đã biết. Ký hiệu

S
n
= {(x, a) ∈ S|(x
n
, a
n
) < (x, a)},
m
n
= inf {a ∈ R|(x, a) ∈ S
n
}.
Ta có S
n
là các tập đóng và S
n
khác rỗng khi đó ta lấy (x
n+1
, a
n+1
) ∈ S
n
sao cho
a
n
− a
n+1
≥
a
n

− m
n
2
. (1.1)
Do quan hệ

≤

có tính bắc cầu nên S
n+1
⊂ S
n
suy ra m
n
≤ m
n+1
.
Như vậy, S
n
là dãy các tập đóng giảm dần trong S, m
n
là dãy giảm dần
12
trong R và bị chặn dưới, vậy (1.1) có thể viết thành
a
n
− m
n
2
≥ a

n+1
− m
n
≥ a
n+1
− m
n+1
≥ 0.
Tiếp tục quá trình này ta thu được
a
n+1
− m
n+1
≤
a
n
− m
n
2
≤ . . . ≤
a
1
− m
2
n
.
Mặt khác (x
n+1
, a
n+1

) < (x, a) nên ta có
d(x
n+1
, x) ≤
a
n+1
− a
α
≤
a
1
− m
2
n
α
(α > 0).
Vậy đường kính của S
n
tiến dần về 0. Suy ra dãy S
n
là dãy các tập
đóng lồng nhau thắt dần và có đường kính tiến dần về 0 trong X × R,
theo Định lý Cantor tồn tại (x, a) ∈ S thoả mãn
{(
x, a)} =
∩
n∈N
S
n
. (1.2)

Ta sẽ chứng minh (x, a) là phần tử cực đại cần tìm. Thật vậy, từ định
nghĩa (x, a) và (x
n
, a
n
) ≤ (x, a), ∀n ∈ N do đó (x
1
, a
1
) ≤ (x, a). Giả sử có
(x, a) > (x, a) với (x, a) ∈ S và (x, a) = (x, a). Khi đó (x, a) ∈ S, ∀n ∈ N
Vì vậy (x, a) ∈
∩
n∈N
S
n
điều này mâu thuẫn với (1.2). Như vậy (x, a) là
phần tử cực đại trong S thỏa mãn yêu cầu Bổ đề.
Ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland trong Định lý 1.2.1.
Chứng minh. Đặt S = epif = {(x, a) ∈ X × R|f(x) ≤ a}. Dễ thấy,
(x
ε
, f(x
ε
)) ∈ S. Do f là nửa liên tục dưới nên theo Mệnh đề 1.1.1 thì S
là tập đóng trong X ×R.
Áp dụng Bổ đề 1.2.1 với α =
ε
λ
và phần tử (x

ε
, f(x
ε
)), luôn tìm được
(x, a) sao cho (x
ε
, f(x
ε
)) ≤ (x, a) và (x, a) là phần tử cực đại trong S.
Từ định nghĩa của epif ta luôn có (x, f(x)) ∈ S, ∀x ∈ X. Mặt khác
f(x) ≤ a nên
−f(x) + a +
ε
λ
d(x, x) ≥ 0.
13
mà (x, a) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có f(x) = a. Vậy (x, f(x))
là phần tử lớn nhất trong S.
Ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy, theo Bổ đề 1.2.1 ta có
(x
ε
, f(x
ε
)) ≤ (x, f(x)) tức là
f(x) +
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ f(x

ε
).
Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.
Mặt khác, từ f(x) − f(x
ε
) +
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ 0, ta có
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ f(x
ε
) − f(x).
Hơn nữa, f(x
ε
) ≤ inf
X
f + ε nên f(x
ε
) − f(x) ≤ ε. Do đó
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ ε hay d(x, x

ε
) ≤ λ.
Ta suy ra (i) đúng.
Ta chứng minh (iii). Theo phần trên (x, f(x)) là phần tử lớn nhất
trong S nên ∀(x, f(x)) ∈ S thì (x, f(x))  (x, f(x)), ∀x = x. Do đó
f(x) +
ε
λ
d(x, x) > f(x), ∀x = x.
Nhận xét 1.2.3. Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu
f(x) +
ε
λ
d(x, x). Nếu λ nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của x so với
điểm x
ε
xấp xỉ ban đầu, nhưng khi đó hàm nhiễu f(x) +
ε
λ
d(x, x) lại có
sự sai khác lớn so với f(x). Ngược lại, nếu λ lớn thì ta không biết nhiều
về vị trí điểm x, nhưng hàm f(x) +
ε
λ
d(x, x) có thể sai khác rất ít so với
hàm f(x) ban đầu.
Hằng số λ trong Định lý trên được chọn rất linh hoạt. Nếu chọn
λ =
√
ε ta có kết quả sau.

14
Định lý 1.2.2. [2] Cho (X, d) là không gian metric đủ và hàm f : X →
R∪{+∞} là hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X
thỏa mãn
f(x
ε
) < inf
X
f + ε.
Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho:
(i) d(x, x
ε
) ≤
√
ε.
(ii) f(x) +
√
εd(x, x
ε
) ≤ f(x
ε
).
(iii) f(x) +
√
εd(x, x) > f(x), ∀x ∈ X\{x}.
1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn
chiều
Trong mục trên, ta đã phát biểu và chứng minh nguyên lý biến phân

Ekeland cho một không gian metric đủ tổng quát với hàm f là nửa liên
tục dưới và bị chặn dưới. Trong không gian hữu hạn chiều, ta có một cách
chứng minh ngắn gọn Định lý trên sử dụng điều kiện bức được trình bày
trong [10] của GS.Hoàng Tụy.
Định lý 1.2.3. [10] Cho f : R
n
→ R ∪{+ ∞} là hàm nửa liên tục dưới,
bị chặn dưới, λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X thỏa mãn
f(x
ε
) < inf
R
n
f + ε.
Khi đó tồn tại x ∈ R
n
sao cho:
(i) x
ε
− x < λ.
(ii) f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p

≤ f(x
ε
).
(iii)f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
≥ f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
, ∀x ∈ R
n
.
15
Chứng minh. Xét hàm g(x) = f(x)+
ε
λ
p
x − x
ε


p
. Do f nửa liên tục dưới
và bị chặn dưới nên g cũng là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Mặt khác,
ta thấy rằng g thỏa mãn điều kiện bức tức là lim
x→+∞
g(x) = +∞.
Lấy a ∈ R
n
xét tập L
g(a)
g = {x ∈ R
n
|g(x) ≤ g(a)}, do g là nửa liên tục
dưới theo Mệnh đề 1.1.1 thì L
g(a)
g là đóng trong R
n
.
Ta chứng minh tập L
g(a)
g là bị chặn trong R
n
. Thật vậy giả sử
L
g(a)
g không bị chặn trong R
n
, lúc đó tồn tại dãy {x
n
} ⊂ L

g(a)
g sao cho
x
n
 → +∞. Theo chứng minh trên g thỏa mãn điều kiện bức trên R
n
nên lim
n→+∞
g(x
n
) = +∞. Mặt khác x
n
∈ L
g(a)
g nên g(x
n
) ≤ g(a), ∀n ∈ N.
Ta suy ra
lim
n→∞
g(x
n
) ≤ g(a), ∀n ∈ N (mâu thuẫn với lim
n→+∞
g(x
n
) = +∞).
Vậy tập L
g(a)
g là đóng và bị chặn trong R

n
hay L
g(a)
g là compact. Khi đó
g là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact L
g(a)
g. Từ đó theo Mệnh đề
1.1.2 tồn tại điểm cực tiểu x của g trên L
g(a)
g.
Ta sẽ chứng minh x là điểm cực tiểu của g trên R
n
. Ta có với x /∈ L
g(a)
g
thì g(x) > g(a) ≥ g(x) nghĩa là x là điểm cực tiểu của g trên R
n
.
Bây giờ ta chứng minh x thỏa mãn các kết luận của định lý. Thật vậy,
do x là điểm cực tiểu của g trên R
n
nên
f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p

≤ f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
, ∀x ∈ R
n
.
Vậy (iii) được thỏa mãn. Ta cho x = x
ε
ta có: f(x)+
ε
λ
p
x − x
ε

p
≤ f(x
ε
).
Ta chứng minh được (ii) và có f(x) ≤ f(x
ε
).
Đồng thời theo chứng minh trên và định nghĩa của x
ε
thì

inf
R
n
f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
≤ f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
≤ f(x
ε
) ≤ inf
R
n
f(x) + ε.
Nghĩa là x − x
ε
 < λ, ta chứng minh được (i).
16
1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland

Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lý biến phân Ekeland là tương
đương với tính đủ của không gian metric. Tiếp theo, chúng ta vận dụng
nguyên lý biến phân Ekeland để đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực
tiểu.
1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không
gian metric
Định lý sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian metric đầy đủ.
Định lý 1.3.4. [2] Cho (X, d) là không gian metric. Khi đó X là đầy đủ khi
và chỉ khi với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X → R∪{+∞}
và với mọi ε > 0, tồn tại một điểm x ∈ X thỏa mãn
(i) f(x)) < inf
X
f + ε.
(ii) f(x) + εd(x, x) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
Chứng minh. Chiều thuận của định lý trên ta suy ra từ Định lý 1.2.1 với
λ = 1.
Ngược lại, giả sử với mọi hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới f : X →
R ∪ { + ∞}, và với mọi ε > 0 ,tồn tại một điểm x ∈ X thỏa mãn (i) và
(ii). Ta phải chứng minh (X, d) là không gian metric đủ.
Thật vậy, cố định x ∈ X và xét dãy {x
n
} ⊂ X là dãy Cauchy ta cần chỉ
ra {x
n
} hội tụ trong X. Từ đánh giá
|d(x
m
, x) − d(x
n
, x)| ≤ d(x

m
, x
n
), ∀m, n ∈ N.
Ta suy ra {d(x
n
, x)} là dãy Cauchy trong R
+
(là không gian metric đủ)
nên dãy này hội tụ trong R
+
. Xét hàm f(x) = lim
n→∞
d(x
n
, x). Do hàm
17
khoảng cách là lipschitz với x nên ta có f(x) là hàm liên tục. Hơn nữa dãy
x
n
là dãy Cauchy nên f(x
n
) → 0 khi n → ∞. Ta suy ra inf
X
f = 0.
Với ε ∈ (0, 1), ta tìm được x ∈ X sao cho f(x) ≤ inf
X
f + ε và
f(x) + εd(x, x) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
Cho x = x

n
thay vào biểu thức trên và chuyển qua giới hạn n → ∞ta được
f(x) ≤ εf(x) suy ra f(x) = 0. Điều này chứng tỏ rằng lim
n→∞
x
n
= x.
1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu
Chúng ta biết rằng nếu hàm f : U → R ∪ { + ∞} là khả vi trên U với
tập U mở, U ⊂ R và f đạt cực trị tại c ∈ U thì f

(c) = 0. Đó là kết quả
của Định lý Fermat. Vấn đề đặt ra là với những hàm không đạt cực trị
thì đạo hàm của chúng ra sao? Liệu có thể đánh giá đạo hàm tại những
điểm ε - xấp xỉ cực tiểu không? Định lý sau sẽ trả lời những câu hỏi đó.
Trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về sự khả vi của hàm f
trên không gian Banach.
Định nghĩa 1.3.2. [1] Cho X là không gian Banach và X
∗
là không gian
đối ngẫu của X. Hàm f : X → R ∪ { + ∞} được gọi là khả vi Gateaux
tại x
0
∈ X(f(x
0
) < +∞) nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f

(x
0
) ∈ X

∗
sao cho ∀x ∈ X
lim
t→0
f(x
0
+ tu) − f(x
0
)
t
= f

(x
0
)(u), ∀u ∈ X.
Hàm f được gọi là khả vi Gateaux trên X nếu f khả vi Gateaux tại mọi
điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.3.3. [1] Cho X là không gian Banach và X
∗
là không gian
đối ngẫu của X. Hàm f : X → R ∪ { + ∞} được gọi là khả vi Frechet
18
tại x
0
∈ X(f(x
0
) < +∞) nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f

(x
0

) ∈ X
∗
thỏa mãn
lim
u→0
f(x
0
+ x) − f(x
0
) − f

(x
0
)(u)
u
= 0, ∀u ∈ X.
Hàm f được gọi là khả vi Frechet trên X nếu f khả vi Frechet tại mọi
điểm x ∈ X. Ánh xạ tuyến tính f

(x
0
) ∈ X
∗
được gọi là đạo hàm của f
tại x
0
.
Nhận xét 1.3.4. Ta chứng minh được rằng nếu f khả vi Frechet trên X
thì f cũng khả vi Gateaux trên X.
Định lý 1.3.5. [4] Cho X là không gian Banach và hàm nửa liên tục

dưới, bị chặn dưới f : X → R ∪ { + ∞} là khả vi Gateaux trên X. Giả
sử với ε > 0 ta có inf
X
f > f(x
ε
) − ε. Khi đó với bất kỳ λ > 0 tồn tại
x
∗
∈ B(x
ε
, λ) sao cho đạo hàm Gateaux của f tại x
∗
thỏa mãn:
f

(x
∗
) ≤
ε
λ
.
Điểm x
∗
thỏa mãn kết luận của định lý được gọi là điểm xấp xỉ tới hạn.
Chứng minh. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f ta tìm
được x
∗
∈ B(x
ε
, λ) thỏa mãn

f(x) ≥ f(x
∗
) −
ε
λ
x − x
∗
, ∀x ∈ X. (1.3)
Thay x = x
∗
+ tu(u ∈ X, t ∈ R) vào (1.3) ta có
f(x
∗
+ tu) ≥ f(x
∗
) −
ε
λ
tu.
Từ đó ta có
f(x
∗
+ tu) − f(x
∗
)
|t|
≥ −
ε
λ
u, ∀u ∈ X. (1.4)

Vì f khả vi Gateaux trên X nên ta cho t → 0
−
trong (1.4) ta có
f

(x
∗
)(u) = lim
t→0
−
f(x
∗
+ tu) − f(x
∗
)
t
≤
ε
λ
u. (1.5)
19
Tiếp theo ta cho t → 0
+
trong (1.4) ta có
f

(x
∗
)(u) = lim
t→0

+
f(x
∗
+ tu) − f(x
∗
)
t
≥ −
ε
λ
u. (1.6)
Kết hợp (1.5) và (1.6) ta được
−
ε
λ
u ≤ f

(x
∗
)(u) ≤
ε
λ
u, ∀u ∈ X.
Vậy ta có f

(x
∗
) ≤
ε
λ

.
Như vậy, có thể nói chuẩn của đạo hàm tại những điểm ε - xấp xỉ cực
tiểu có thể làm bé tùy ý theo ε. Người ta đã chứng minh rằng nếu ánh xạ
đơn trị thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.3.5 và thỏa mãn thêm điều
kiện Palais - Smale luôn có cực trị. Chúng tôi sẽ trình bày mở rộng của
kết quả này cho ánh xạ đa trị trong chương sau của luận văn.
20
Chương 2
Nguyên lý biến phân Ekeland cho
ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp
tuyến và đối đạo hàm Clarke
Trong chương này, chúng tôi trình bày hai dạng của nguyên lý biến
phân Ekeland cho ánh xạ đa trị có sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo
hàm Clarke và từ đó chứng minh điều kiện đủ để ánh xạ này có cực tiểu
yếu và cực tiểu thực sự dương khi nó thỏa mãn điều kiện Palais - Smale.
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, tính chất, định lý có liên
quan về nón pháp tuyến Clarke, đối đạo hàm Clarke và một vài kết quả
của tối ưu vectơ. Những kiến thức trên được giới thiệu và chứng minh khá
đầy đủ trong các bài báo [3], [7], [8], [9] của các tác giả F.Clarke, D.T.Luc,
B.S.Mordukhovich, R.T.Rockafellar nên chúng tôi coi đây là các kết quả
đã biết và không chứng minh.
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 2.1.4. [11] Cho X, Y là 2 tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y
là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói F là
ánh xạ đa trị từ X vào Y và kí hiệu F : X ⇒ Y .
21
Trên đây là định nghĩa tổng quát của ánh xạ đa trị, tuy nhiên trong
khuôn khổ chương này chúng tôi coi X, Y là các không gian Banach với
X
∗

, Y
∗
là các không gian đối ngẫu tương ứng và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa
trị từ X vào Y với tập giá trị khác rỗng. Ta kí hiệu:
F (X) =
∪
x∈X
F (x),
domF = {x ∈ X|F (x) = ∅},
grF = {(x, y) ∈ X ×Y |y ∈ F(X)}.
Định nghĩa 2.1.5. [11] Ánh xạ F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu
với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F(x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x
sao cho
F (x) ⊂ U, ∀x ∈ X.
Nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa
liên tục trên trong X.
Định nghĩa 2.1.6. Cho Y là không gian Banach và tập K ⊂ Y là tập
khác rỗng. Một tập K gọi là nón nếu x ∈ K, λ ≥ 0 kéo theo λx ∈ K.
Nón K được gọi là nón nhọn nếu K ∩(−K) = {0}.
Cho K ⊂ Y là một nón lồi, nhọn. Ta xác định một quan hệ thứ tự bộ
phận



trong Y như sau với y
1
, y
2
∈ Y thì
y

1
 y
2
nếu y
2
− y
1
∈ K.
Dễ thấy rằng quan hệ  thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng
và bắc cầu.
Quan hệ thứ tự này phù hợp với cấu trúc vectơ trong Y tức là ∀x, y ∈ Y
ta có
(i) x  y suy ra x + z  y + z, ∀z ∈ Y.
22
(ii) x  y suy ra αx  αy, ∀α ≥ 0.
Ví dụ 2.1.3. a) Trong C
[a,b]
: không gian các hàm số liên tục trên [a, b] thì
tập
K
1
=

f ∈ C
[a,b]
|f(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]

,
là nón lồi, đóng, nhọn.
Xét nón K

1
, cho f, g ∈ C
[a,b]
thì ta có
f  g ⇔ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b].
b) Trong R
n
, tập
K
2
= {x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
|x
i
≥ 0, ∀i = 1, , n}
là nón lồi, nhọn, đóng.
Xét nón K
2
, cho x, y ∈ R
n
ta có
x  y ⇔ x
i
≤ y
i
, ∀i = 1, , n.

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về nón tiếp tuyến Clarke,
nón pháp tuyến Clarke và từ đó xây dựng khái niệm dưới vi phân, đối đạo
hàm Clarke.
Định nghĩa 2.1.7. Cho X là không gian Banach và tập Ω khác rỗng với
Ω ⊂ X thì nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω kí hiệu T(x, Ω) được
xác định bởi
T (x, Ω) = {u ∈ X|∀{t
k
} ⊂ R
+
\{0}, t
k
→ 0, ∀{x
k
} ⊂ Ω, x
k
→ x
∃u
k
→ u, x
k
+ t
k
u
k
∈ Ω, ∀k ∈ N}.
Nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω kí hiệu là N(x, Ω) được xác định
bởi
N(x, Ω) = {u
∗

∈ X
∗
|u
∗
, u ≤ 0, ∀u ∈ T (x, Ω)},
trong đó u
∗
, u là giá trị của phiếm hàm u
∗
tại u.
23
Định nghĩa 2.1.8. [9] Cho hàm g : X → R ∪ { + ∞}, g hữu hạn tại x
thì dưới vi phân Clarke của g tại x kí hiệu ∂g(x) được cho bởi
∂g(x) = {x
∗
∈ X
∗
: (x
∗
, −1) ∈ N((x, g(x)), epig)}.
Sau đây là một số tính chất của dưới vi phân Clarke.
Mệnh đề 2.1.4. [3]
(i) Khi g là hàm lồi thì dưới vi phân Clarke trùng với dưới vi phân của g
trong giải tich lồi nghĩa là
∂g(x
0
) = {x
∗
∈ X
∗

|g(x) − g(x
0
) ≥ x
∗
, x − x
0
, ∀x ∈ X}.
(ii) ∂(sg)(x) = s∂g(x), ∀s ∈ R.
(iii) g xác định tại x và g(x

) ≥ g(x), ∀x

thuộc một lân cận của x thì
0 ∈ ∂g(x).
(iv) (Định lý Rockafellar) Cho g
1
, g
2
: X → R ∪ { + ∞}, giả sử rằng g
1
hữu hạn tại x , g
2
lipschitz tại x thì ta có
∂(g
1
+ g
2
)(x) ⊆ ∂g
1
(x) + ∂g

2
(x).
(v) Cho Ω  X, Ω = ∅. Hàm chỉ của Ω được định nghĩa
χ
Ω
(x) =

0 nếu x ∈ Ω
+∞ nếu x /∈ Ω.
Khi đó x ∈ Ω thì ∂χ
Ω
(x) = N(x, Ω).
(vi) Với chuẩn xác định trong X thì ∂ (0) = B
∗
X
, trong đó B
∗
X
hình
cầu đơn vị đóng trong X.
Ví dụ 2.1.4. Cho các hàm số g(x) = −|x| và f(x) = |x|, ∀x ∈ R với
x
0
= 0.
24