NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NGUYỄN THỊ HỒNG
CÁC LỚP BERNSTEIN VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC
HÀ NỘI, NĂM 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
PHẠM THỊ THU
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO
Chuyên ngành: Giải tích hàm
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: TS Lê Anh Dũng
HÀ NỘI, NĂM 2013
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy
cô trong khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung và các
thầy cô ở bộ môn Giải Tích nói riêng đã tạo điều kiện cho tôi học tập
và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê
Anh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn PGS. TSKH Đỗ Hồng Tân và TS.
Nguyễn Thị Thanh Hà đã đọc khóa luận và có những ý kiến quý báu giúp
tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi rất mong các thầy cô và các bạn học
viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản khoá luận này được hoàn thiện và
phát triển hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2013
Phạm Thị Thu
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co . . . . . . . . . . . 6
1.2 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland . . 7
1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . 11
1.4 Ánh xạ Lipschitz và một số kết quả khởi đầu của
ánh xạ Lipschitz đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH
XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE 13
2.1 Không gian gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland và định lý Caristi
trong không gian gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Dạng tổng quát của định lý cánh hoa và định lý giọt
nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Điều kiện "hướng vào" tổng quát . . . . . . . . . . . . 34
3 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM
SỐ LIPSCHITZ 41
3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
MỤC LỤC
Kết luận 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1974, Ekeland đã chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm cực
tiểu "xấp xỉ" của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian mêtric đầy
đủ. Đặc biệt, định lý này cho ta thấy nhiều kết quả "tương đương" về các
cách nhìn khác nhau như: Định lý Caristi, định lý cánh hoa, định lý giọt
nước, Vì ý nghĩa quan trọng của nó nên người ta thường gọi là nguyên

lý biến phân Ekeland. Nguyên lý này đã đạt được nhiều kết quả đối với
các loại ánh xạ: ánh xạ co, ánh xạ co đa trị, ánh xạ Lipschitz, , cũng như
trong các không gian khác nhau: không gian lồi địa phương, không gian
mêtric, không gian gauge, Bởi vai trò quan trọng của nguyên lý này, tôi
chọn đề tài cho luận văn của mình là: Nguyên lý biến phân Ekeland đối
với ánh xạ dạng co.
Nội dung luận văn gồm ba chương và được viết dựa trên kết quả trong
các bài báo [3], [4], [7].
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này giới thiệu các định lý điểm bất động liên quan đến
ánh xạ co: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Caristi và định lý Nadler.
Tiếp đó là các kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn và các cấu trúc
hình học của không gian Banach, và các định lý điểm bất động của ánh
xạ không giãn đơn trị, đa trị và ánh xạ Lipschitz đều.
Chương II: Nguyên lý biến phân Ekeland đối với ánh xạ dạng co trong
không gian gauge.
Chương này đề cập tới không gian gauge, có thể xem như không gian
mêtric "Frechet" và cũng là trường hợp tổng quát hơn của không gian
mêtric. Các kết quả chính của chương đề cập đến nguyên lý biến phân
Ekeland và các dạng hình học của nó như định lý cánh hoa, định lý giọt
4
MỤC LỤC
nước trong không gian gauge. Ngoài ra, ta đạt được một số hệ quả là các
định lý về điểm bất động cho ánh xạ dạng co đa trị.
Chương III: Nguyên lý biến phân Ekeland với ánh xạ Lipschitz.
Chương này ta đề cập đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu đối
với ánh xạ Lipschitz trong không gian mêtric đầy đủ.
Tóm lại, nội dung chính của luận văn là chương II và chương III. Các
kết quả chính đạt được là các kết quả "tương tự" của nguyên lý biến phân
Ekeland đối với ánh xạ dang co trong các lớp không gian "mêtric" đủ.

Ngoài ra, ta đạt được các dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland
như: định lý cánh hoa, định lý giọt nước và các định lý điểm bất động với
điều kiện "hướng vào" dạng cánh hoa, giọt nước trong không gian mêtric.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn nhiều
hạn chế, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bản
luận văn này hoàn chỉnh hơn.
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nhắc lại một số kết quả khởi đầu về
sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dang co. Trước hết ta nhắc lại khái
niệm ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không gian
mêtric (Z, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1) sao cho
ρ (T x, T y) ≤ kd (x, y) với mọi x, y ∈ X.
Định lí 1.1.2. ([12]) (Nguyên lý ánh xạ co Banach, 1922) Cho (X, d) là
không gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X. Khi đó, tồn
tại duy nhất x
∗
∈ X sao cho T x
∗
= x
∗
. Ngoài ra, với mọi x
◦
∈ X ta có
T
n

x
◦
→ x
∗
khi n → ∞.
Định nghĩa dưới đây là trường hợp riêng của định nghĩa 1.1.1
Định nghĩa 1.1.3. Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ đơn trị T từ
X vào X được gọi là co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1) sao cho
d (T x, T y)  kd (x, y) .
Định nghĩa 1.1.4. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Ta ký hiệu
CB (X) là họ mọi tập con đóng, bị chặn, không rỗng trong X. Khi đó,
6
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A, B ∈ CB (X) được định nghĩa
như sau
D (A, B) = max

sup
x∈A
inf
y∈B
d(x, y), sup
y∈B
inf
x∈A
d(x, y)

.
Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ đa trị T từ tập hợp X vào tập hợp Y là một
phép gán cho mỗi x ∈ X một tập hợp con T x của Y .

Định nghĩa 1.1.6. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Ánh xạ đa trị
T từ X vào CB (X) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1)
sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
D (Tx, Ty) ≤ kd (x, y) .
Định lí 1.1.7. ([12]) (Nadler, 1969) Cho (X, d) là một không gian mêtric
đầy đủ, T từ X vào CB (X) là một ánh xạ co. Khi đó tồn tại x
∗
∈ X mà
x
∗
∈ T x
∗
.
1.2 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland
Trước hết, chúng tôi nêu lại khái niệm hàm liên tục dưới và liên tục
trên trong không gian tô pô.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian tô pô. Hàm f : X →
(−∞ + ∞] được gọi là nửa liên tục dưới tại x
◦
∈ X nếu với mọi ε > 0,
tồn tại lân cận U
x
◦
sao cho với mọi x ∈ U
x
◦
ta có
f (x) − f (x
◦
) > −ε.

Hàm f được gọi là liên tục dưới nếu f liên tục tại mọi x
◦
∈ X.
Định nghĩa 1.2.2. Cho X là một không gian tô pô. Hàm f : X →
[−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên tại x
◦
∈ X nếu với mọi ε > 0,
7
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
tồn tại lân cận U
x
◦
sao cho với mọi x ∈ U
x
◦
ta có
f (x) − f (x
◦
) < ε.
Hàm f được gọi là liên tục trên nếu f liên tục tại mọi x
◦
∈ X.
Nhận xét 1.2.1. Cho X là một không gian tô pô.
Hàm f : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới nếu nó thỏa mãn một
trong hai điều kiện sau tương đương sau đây:
(i) Tập {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X với mọi α ∈ R.
(ii) Lim
x→x
◦
inf f (x) ≥ f (x

◦
), với mọi x
◦
∈ X.
Hàm f : X → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên nếu nó thỏa mãn một trong
hai điều kiện sau tương đương sau đây:
(i) Tập {x ∈ X : f (x) ≥ α} là tập đóng trong X với mọi α ∈ R.
(ii) Lim
x→x
◦
sup f (x) ≤ f (x
◦
), với mọi x
◦
∈ X.
Định lí 1.2.3. ([6]) (Caristi, 1976) Cho (X, d) là một không gian mêtric
đầy đủ và hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới và bị chặn
dưới. Cho ánh xạ T trong X thỏa mãn điều kiện
d (x, Tx) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x) , ∀x ∈ X.
Khi đó, T có điểm bất động trong X.
Định lí 1.2.4. ([5]) (Ekeland, 1972) Cho M là một không gian mêtric đầy
đủ và ϕ : M → R

{∞} là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn
dưới. Với mỗi c > 0, δ > 0 và x
◦
∈ M thỏa mãn φ (x
◦
) ≤ inf φ (M) + cδ,
thì tồn tại x

∗
∈ M sao cho
(i) φ (x
∗
) ≤ φ (x
◦
);
8
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
(ii) d (x
◦
, x
∗
) ≤ δ;
(iii) φ (x
∗
) < φ (x) + cd (x, x
∗
), với mọi x = x
∗
.
Định lý dưới đây là một dạng tương đương của định lý Caristi và
xem như một cầu nối giữa lý thuyết điểm bất động và lý thuyết tối ưu
hóa.
Định lí 1.2.5. (Ekeland, 1974) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy
đủ và hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.
Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại x
ε
∈ X sao cho với mọi y ∈ X và khác x
ε

ta có
ϕ (x
ε
) − εd (x
ε,
y) < ϕ (y) .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử có ε > 0 để với
mọi x ∈ X đều tồn tại y = x sao cho ϕ (x) − εd (x, y) ≥ ϕ (y) . Đặt
T x = y, ta nhận được một ánh xạ T trong X thỏa mãn:
T x = x, ϕ (x) − εd (x, T x) ≥ ϕ (T x) , ∀x ∈ X.
Đặt ψ =
1
ε
ϕ ta nhận được một hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới trên
X thỏa mãn
d (x, Tx) ≤ ψ (x) − ψ (T x) .
Theo định lý điểm bất động Caristi, T phải có điểm bất động trong X.
Điều này trái với cách xây dựng ánh xạ T . Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.2.2. Cách chứng minh trên cho thấy định lý Caristi kéo theo
định lý Ekeland.
Nhận xét 1.2.3. Định lý Ekeland kéo theo định lý Caristi.
9
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử tồn tại hàm ϕ nửa
liên tục dưới và bị chặn dưới trên X và một ánh xạ T trong X thỏa mãn
d (x, Tx) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x)
với mọi x và T không có điểm bất động, nghĩa là Tx = x với mọi x. Khi
đó ta có
ϕ (x) − d (x, Tx) ≥ ϕ (T x) ,
mâu thuẫn với định lý Ekeland áp dụng cho trường hợp ε = 1 và y =

T x.
Tiếp theo, ta đề cập đến một số dạng hình học của nguyên lý biến
phân Ekeland như: định lý giọt nước, định lý cánh hoa.
Định nghĩa 1.2.6. Cho X là không gian Banach, A là tập lồi trong X
và x ∈ X. Ta ký hiệu
K (x, A) = Co (A, {x}) = {(1 − θ) x + θy : θ ∈ [0, 1] , y ∈ A}
và gọi là giọt nước liên kết giữa A với x.
Định lí 1.2.7. ([7]) (Định lý giọt nước, 1985) Cho E là một không gian
Banach, A là một tập con đóng của E và B là tập con lồi, đóng, bị chặn của
E với d (A, B) > 0. Khi đó, với mỗi x
◦
∈ A thì tồn tại x
∗
∈ A

K (x
◦
, B)
sao cho A

K (x
∗
, B) = {x
∗
}.
Định nghĩa 1.2.8. Cho (X, d) là một không gian mêtric và x, y ∈ X. Ký
hiệu
P
δ
(x, y) = {u ∈ X : d (u, y) + δd (u, x) ≤ d (x, y)}

và gọi là cánh hoa liên kết giữa δ ∈ (0, +∞) với x, y ∈ X.
10
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Định lí 1.2.9. ([13]) (định lý cánh hoa, 1986) Cho A là tập con đầy đủ
của không gian mêtric X, x
◦
∈ A và b ∈ X\ {x
◦
}. Khi đó, với mỗi δ > 0
thì tồn tại x
∗
∈ P
δ
(x
◦
, b) sao cho P
δ
(x
∗
, b)

A = {x
∗
}.
1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.3.1. Cho (M, d) là không gian mêtric và D ⊂ M. Một ánh
xạ T : D → M được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x, y ∈ D ta có
d (T x, T y)  d (x, y) .
Định lí 1.3.2. ([10]) (Kirk, 1965) Cho C là tập hợp lồi, compac yếu, có
cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : C → C là một

ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm bất động trong C.
Định lí 1.3.3. ([4, 9]) (Browder-Gohde, 1965) Cho C là tập hợp lồi, đóng,
bị chặn trong không gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ không
giãn. Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.
1.4 Ánh xạ Lipschitz và một số kết quả khởi đầu của ánh xạ
Lipschitz đều.
Định nghĩa 1.4.1. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Một ánh xạ
T : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại một số k không âm
sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d (T x, T y) ≤ kd (x, y) (1.1)
số k nhỏ nhất thỏa (1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh xạ T .
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là một không gian mêtric. Ánh xạ T : X → X
được gọi là ánh xạ Lipschitz đều (hay ánh xạ k − Lipschitz đều) nếu tồn
11
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
tại một số k không âm sao cho với mọi x, y ∈ X, mọi n ∈ N
∗
ta có
d (T
n
x, T
n
y)  kd (x, y) .
Sau đây, chúng tôi nhắc lại một số kết quả khởi đầu về sự tồn tại
điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều.
Định lí 1.4.3. ([8]) (Goebel-Kirk, 1973) Cho C là tập hợp lồi, đóng, bị
chặn trong không gian Banach X với ε
◦
(X) < 1 và cho T : C → C là
một ánh xạ k-Lipschitz đều với k < γ

◦
(X). Khi đó T có điểm bất động
trong C.
Trong đó, ε
◦
(X) là môđun lồi của không gian X, γ
◦
(X) là hằng số Gohde-
Kirk của không gian X.
Định lí 1.4.4. ([11]) (Lifschitz, 1975) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy
đủ và bị chặn, T : X → X là một ánh xạ k-Lipschitz đều với k < k (X).
Khi đó T có điểm bất động trong X.
Trong đó, k (X) là hằng số Lifschitz của không gian X.
Định lí 1.4.5. ([5]) (Casini-Maluta, 1985) Cho X là không gian Banach
và N (X) < 1, C là tập lồi, đóng, bị chặn trong X và T : C → C là một
ánh xạ k-Lipschitz đều với k <

N(X)
−1
. Khi đó T có điểm bất động
trong C.
Trong đó, N (X) là hệ số cấu trúc chuẩn tắc đều của không gian X.
12
Chương 2
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ
DẠNG CO TRONG KHÔNG
GIAN GAUGE
2.1 Không gian gauge
Định nghĩa 2.1.1. X được gọi là một không gian gauge nếu trên X có

một dãy tăng các hàm khoảng cách {d
n
: n ∈ N} , nghĩa là
d
1
(x, y) ≤ d
2
(x, y) (2.1)
với mọi x, y ∈ X và X là không gian đầy đủ với tô pô trên X xác định bởi
họ khoảng cách {d
n
} .
Nhận xét: Không gian mêtric đầy đủ là không gian gauge.
Định nghĩa 2.1.2. Cho X là không gian gauge và các tập A, B ⊂ X. Với
x ∈ X, ta định nghĩa
d
n
(x, B) = inf
y∈B
d
n
(x, y) , d
n
(A, B) = inf
x∈A
d
n
(x, B) ,
ρ
n

(x, B) = sup
y∈B
d
n
(x, y) , ρ
n
(A, B) = sup
x∈A
ρ
n
(x, B) ,
D
n
(A, B) = max

inf
x∈A
ρ
n
(x, B) , inf
y∈B
ρ
n
(y, A)

.
13
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Định nghĩa 2.1.3. Cho (X, d

n
) là một không gian gauge. Ánh xạ đơn trị
T từ X vào X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một dãy số dương
{k
n
} ⊂ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d
n
(T x, T y)  k
n
d
n
(x, y) .
Định nghĩa 2.1.4. Cho (X, d
n
) là một không gian gauge. Ánh xạ đa trị
T từ X vào CB (X) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một dãy số dương
{k
n
} ⊂ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có D
n
(T x, T y)  k
n
d
n
(x, y) .
2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland và định lý Caristi trong
không gian gauge
Trước hết chúng tôi nhắc lại định lý Bishop-Phelps trong không gian
mêtric.

Định lí 2.2.1. ([3]) (Bishop-Phelps, 1963,) Cho X là một không gian
mêtric đầy đủ, φ : M → R là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, cho
c > 0. Khi đó với mọi x
◦
∈ M, thì tồn tại x
∗
∈ M sao cho
(i) φ (x
∗
) + cd (x
◦
, x
∗
) ≤ φ (x
◦
);
(ii) φ (x
∗
) < φ (x) + cd (x, x
∗
), ∀x = x
∗
.
Tiếp theo, chúng tôi đề cập định lý Bishop-Phelps trong không gian
gauge.
Định lí 2.2.2. Cho X là không gian gauge. Với mỗi n ∈ N, cho c
n
> 0 và
φ
n

: X → R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Khi đó với mỗi x
◦
∈ X
thì tồn tại x
∗
∈ X sao cho
(i) φ
n
(x
∗
) + c
n
d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) với mọi n ∈ N;
14
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
(ii) Với mọi x = x
∗
thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ

n
(x
∗
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
)
.
Chứng minh. Với x ∈ X, ta ký hiệu
S (x) =
∩
n∈N
{y ∈ X : φ
n
(y) + c
n
d
n
(y, x) ≤ φ
n
(x)} .
Do x ∈ S (x) nên S (x) là tập không rỗng. Bởi φ
n
là nửa liên tục dưới nên
S (x) là tập đóng. Bằng quy nạp ta chứng minh được tồn tại x

n
∈ S (x
n−1
)
sao cho φ
n
(x
n
) ≤
c
n
n
+ inf φ
n
(S (x
n−1
)) . Rõ ràng
S (x
◦
) ⊃ S (x
1
) ⊃
Với x ∈ S (x
n
) ta có
φ
n
(x) + c
n
d

n
(x, x
n
) ≤ φ
n
(x
n
) ≤
c
n
n
+ inf φ
n
(S (x
n−1
)) ≤
c
n
n
+ φ
n
(x) .
Do đó
d
n
(x, x
n
) ≤
1
n

, ∀x ∈ S (x
n
) .
Vì vậy, với k < n < p,
d
k
(x
p
, x
n
) ≤ d
n
(x
p
, x
n
) ≤
1
n
.
Điều này suy ra {x
n
} là dãy Cauchy và giả sử x
∗
= lim
n→∞
x
n
. Do S (x
n

)
đóng nên ta có
x
∗
∈
∩
n≥0
S (x
n
) .
Vậy điều kiện (i) được chứng minh.
Ta chứng minh điều kiện (ii) bằng phản chứng.
Thật vậy, giả sử tồn tại x = x
∗
sao cho φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) ≤ φ
n
(x
∗
) với
15
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE

mọi n ∈ N. Khi đó với mọi k ∈ N,
φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
k
) ≤ φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) + c
n
d
n
(x
∗
, x
k
)
≤ φ
n
(x
∗

) + c
n
d
n
(x
∗
, x
k
)
≤ φ
n
(x
k
) ;
từ đây suy ra x ∈ S (x
k
) với k ∈ N.
Theo chứng minh ở trên ta có
d
k
(x, x
∗
) ≤ d
n
(x, x
∗
) ≤ d
n
(x, x
n

) + d
n
(x
n
, x
∗
) ≤
2
n
, ∀n ≥ k.
Cho n → ∞ ta được d
k
(x, x
∗
) = 0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với
x = x
∗
. Định lý được chứng minh.
Dựa vào định lý Bishop-Phelps trong không gian gauge, ta đạt được
nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian gauge.
Định lí 2.2.3. Cho X là không gian gauge. Với mỗi n ∈ N, cho φ
n
:
X → (−∞, +∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Với
mỗi x
◦
∈ X và mỗi dãy các số dương {c
n
} và {δ
n

} thỏa mãn φ
n
(x
◦
) ≤
inf φ
n
(X) + c
n
δ
n
thì tồn tại x
∗
∈ X sao cho
(i) φ
n
(x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) với mọi n ∈ N;
(ii) d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ δ

n
với mọi n ∈ N;
(iii) Với mọi x = x
∗
thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) .
Chứng minh.
Từ giả thiết φ
n
(x
◦
) ≤ inf φ
n
(X) + c
n
δ
n
ta suy ra φ

n
(x
◦
) < ∞ với mọi
n ∈ N.
16
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Đặt
Y =
∩
n∈N
{y ∈ X : φ
n
(y) ≤ φ
n
(x
◦
)} .
Khi đó φ
n
: Y → R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Theo định lý
Bishop-Phelps tồn tại x
∗
∈ Y sao cho
φ
n
(x
∗
) + c

n
d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
)
với mọi n ∈ N và (iii) của định lý thỏa mãn với mọi x ∈ Y .
Do x
∗
∈ Y nên (i) của định lý thỏa mãn.
Mặt khác với mọi n ∈ N ta có.
φ
n
(x
∗
) + c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
) ≤ φ

n
(x
◦
) ≤ c
n
δ
n
+ inf φ
n
(X) ,
c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
) ≤ c
n
δ
n
,
d
n
(x
∗
, x
◦
) ≤ δ

n
.
Suy ra (ii) của định lý thỏa mãn.
Bây giờ, ta chứng minh (iii) của định lý thỏa mãn với x ∈ X.
Lấy x ∈ X\Y hay x /∈ Y , khi đó tồn tại n ∈ N sao cho φ
n
(x
◦
) < φ
n
(x).
Ta có
φ
n
(x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) < φ
n
(x) ≤ φ
n
(x) + c
n
d
n
(x
∗

, x
◦
)
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
) .
Vậy (iii) của định lý thỏa mãn với x ∈ X.
Bây giờ, áp dụng định lý Bishop-Phelps để đưa ra định lý điểm bất
động Caristi trong không gian gauge.
Định lí 2.2.4. Cho X là không gian gauge và f : X → X. Với mỗi n ∈ N,
cho φ
n
: X → R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới thỏa mãn
d
n
(x, f (x)) ≤ φ
n
(x) − φ

n
(f (x)) , ∀x ∈ X.
Khi đó f có điểm bất động.
17
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Chứng minh. Lấy x
◦
∈ X, theo định lý Bishop-Phelps tồn tại x
∗
∈ X sao
cho
φ
n
(x
∗
) + d
n
(x
∗
, x
◦
)  φ
n
(x
◦
)
với mọi n ∈ N. Chọn c
n
= 1, với x = x

∗
thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x
◦
) + d
n
(x
∗
, x
◦
) .
Ta chứng minh x
∗
là điểm bất động của f tức là chứng minh f (x
∗
) = x
∗
.
Giả sử trái lại f (x
∗
) = x
∗
. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho
φ

n
(x
∗
) < φ
n
(f (x
∗
)) + d
n
(x
∗
, f (x
∗
))
φ
n
(x
∗
) − φ
n
(f (x
∗
)) ≤ d
n
(x
∗
, f (x
∗
)) .
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy f (x

∗
) = x
∗
.
Bổ đề 2.2.5. Các định lý: Bishop-Phelps, Caristi và nguyên lý biến phân
Ekeland trong không gian gauge là tương đương.
Chứng minh. Rõ ràng định lý Bishop-Phelps suy ra định lý Caristi và
nguyên lý biến phân Ekeland .
Bây giờ, ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland suy ra định lý
Bishop-Phelps.
Thật vậy, đặt
Y = {x ∈ X : φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
◦
) ≤ φ
n
(x
◦
) , ∀n ∈ N} .
Khi đó φ
n
: Y → (−∞ + ∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn
dưới. Theo nguyên lý biến phân Ekeland, với mỗi x
◦
∈ Y và mỗi dãy các

số dương {c
n
} và {δ
n
} thỏa φ
n
(x
◦
) ≤ inf φ
n
(Y ) +c
n
δ
n
, thì tồn tại x
∗
∈ Y
sao cho
(1) φ
n
(x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) với mọi n ∈ N;
18
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE

(2) d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ δ
n
với mọi n ∈ N;
(3)Với mọi x = x
∗
, thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) .
Do x
∗
∈ Y nên (i) của định lý Bishop-Phelps thỏa mãn.
Từ (3) ta có (ii) của định lý Bishop-Phelps thỏa mãn với mọi x ∈ Y,
x = x

∗
. Bây giờ, ta sẽ chứng minh nó đúng với mọi x ∈ X, x = x
∗
.
Lấy x ∈ X\Y hay x /∈ Y , khi đó tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
◦
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
◦
) .
Vì x
∗
∈ Y nên với n ∈ N ta có
φ
n
(x
∗
) + c
n
d
n
(x

∗
, x
◦
) ≤ φ
n
(x
◦
)
φ
n
(x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) − c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
)
< φ
n
(x) + c
n
d

n
(x, x
◦
) − c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
)
= φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) .
Vậy có điều cần chứng minh.
Cuối cùng ta chứng minh định lý Caristi suy ra định lý Bishop-Phelps.
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử trái lại tồn tại dãy hàm {φ
n
} nửa liên tục dưới và bị chặn dưới
trên X và một ánh xạ f trong X thỏa mãn
d
n

(x, f (x)) ≤ φ
n
(x) − φ
n
(f (x))
với mọi x và f không có điểm bất động, tức là f (x) = x với mọi x.
Khi đó ta có
φ
n
(x) ≥ φ
n
(f (x)) + d
n
(x, f (x)) ,
19
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
mâu thuẫn với nguyên lý biến phân Ekeland áp dụng cho trường hợp
c
n
= 1.
Vậy bổ đề được chứng minh.
2.3 Dạng tổng quát của định lý cánh hoa và định lý giọt nước
Trước hết, chúng tôi nêu các khái niệm của cánh hoa và giọt nước tổng
quát.
Định nghĩa 2.3.1. Cho x ∈ X, B ⊂ X là tập đóng, bị chặn, không rỗng,
và cho α = (α
1
, α
2

, ) ∈ [0, 1]
N
.
(i) Với γ = (γ
1
, γ
2
, ) ∈ [0, 1]
N
, ta định nghĩa cánh hoa tổng quát là
P
α,γ
(x, B) = {u ∈ X : ∀n ∈ N ta có α
n
d
n
(u, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(u, B)+γ
n
d
n
(x, u)
≤ α
n
d
n
(x, B) + (1 − α

n
) ρ
n
(x, B)} .
(ii) Với σ = (ω, µ, ν) ∈ [0, ∞]
N
× [0, ∞]
N
× R
N
, ta định nghĩa giọt nước
tổng quát là
D
α,σ
(x, B) ={u ∈ X : ∀n ∈ N, ∃θ
n
≥ 0 sao cho d
n
(x, u) ≤ θ
n
ω
n
ρ
n
(x, B) và
α
n
d
n
(u, B) + (1 − α

n
) ρ
n
(u, B)
≤ (α
n
− θ
n
µ
n
) d
n
(x, B) + (1 − α
n
+ θ
n
ν
n
) ρ
n
(x, B)} .
Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến hai kết quả, các kết quả này cho thấy
sự tồn tại x
∗
là phần tử duy nhất của A∩ P
α,γ
(x
∗
, B) và A ∩ D
α,σ

(x
∗
, B).
Kết quả đầu tiên là định lý cánh hoa trong không gian gauge.
Định lí 2.3.2. Cho A là một tập con đóng, không rỗng của không gian
gauge X và B là một tập con đóng, bị chặn, không rỗng của X. Khi đó với
mỗi α ∈ [0, 1]
N
và γ ∈ [0, 1]
N
, tồn tại x
∗
∈ A sao cho A ∩ P
α,γ
(x
∗
, B) =
{x
∗
}.
20
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Chứng minh. Với mỗi n ∈ N, ta xác định φ
n
: A → R bởi
φ
n
(x) = α
n

d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) .
Khi đó ánh xạ φ
n
là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Lấy x
◦
∈ A. Theo
định lý Bishop-Phelps, thì tồn tại x
∗
∈ A sao cho
(1)φ
n
(x
∗
) + γ
n
d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ φ
n
(x

◦
) , chọn c
n
= γ
n
;
(2) Với x = x
∗
thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x) + γ
n
d
n
(x, x
∗
) .
Ta chứng minh A ∩ P
α,γ
(x
∗
, B) = {x
∗
} bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại x ∈ A ∩ P

α,γ
(x
∗
, B) mà x = x
∗
. Khi đó, x ∈ A và x ∈
P
α,γ
(x
∗
, B). Tức là x ∈ A và
α
n
d
n
(x, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(x, B)+γ
n
d
n
(x, x
∗
) ≤ α
n
d
n
(x

∗
, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(x
∗
, B) .
Do x = x
∗
nên theo (2) tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x) + γ
n
d
n
(x, x
∗
)
= α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n

) ρ
n
(x, B) + γ
n
d
n
(x, x
∗
)
≤ α
n
d
n
(x
∗
, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x
∗
, B) = φ
n
(x
∗
) .
Tóm lại, ta được φ
n
(x
∗

) < φ
n
(x
∗
), điều này mâu thuẫn.
Vậy định lý được chứng minh.
Sau đây là định lý giọt nước trong không gian gauge.
Định lí 2.3.3. Cho A là một tập con đóng, không rỗng của không gian
gauge X và B là một tập con đóng, bị chặn, không rỗng của X. Cho
σ = (ω, µ, ν) ∈ [0, ∞]
N
× [0, ∞]
N
× R
N
. Giả sử với mọi n ∈ N,
ν
n
∈ [−∞, µ
n
d
n
(A, B)/ρ
n
(A, B)] .
21
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Khi đó với mỗi α ∈ [0, 1]
N

thì tồn tại x
∗
∈ A sao cho
A ∩ D
α,σ
(x
∗
, B) = {x
∗
} .
Chứng minh. Với n ∈ N, nếu ν
n
< 0, chọn γ
n
∈

0, min

1, −
ν
n
ω
n

. Nếu
µ
n
> 0, d
n
(A, B) > 0, ρ

n
(A, B) < ∞, ta chọn γ
n
∈ [0, 1] sao cho
(ν
n
+ γ
n
ω
n
) ρ
n
(A, B) ≤ µ
n
d
n
(A, B) .
Ta sẽ chứng minh D
α,σ
(A, B) ⊂ P
α,γ
(A, B) với mọi x ∈ A.
Lấy x ∈ A và u ∈ D
α,σ
(A, B) bất kỳ. Khi đó với mọi n ∈ N, tồn tại
θ
n
> 0 sao cho d
n
(x, u) ≤ θ

n
ω
n
ρ
n
(x, B) và
α
n
d
n
(u, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(u, B) ≤ (α
n
− θ
n
µ
n
) d
n
(x, B)+(1 − α
n
+ θ
n
ν
n
) ρ
n

(x, B) .
Ta chứng minh u ∈ P
α,γ
(x, B).
Ta có
α
n
d
n
(u, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(u, B) + γ
n
d
n
(x, u)
≤ α
n
d
n
(x, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(x, B)+θ
n
((ν
n

+ γ
n
ω
n
) ρ
n
(x, B) − µ
n
d
n
(x, B))
≤ α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) .
Vậy u ∈ P
α,γ
(x, B) .
Kết hợp định lý cánh hoa với D
α,σ
(A, B) ⊂ P
α,γ
(A, B), ta có điều phải
chứng minh.
Bổ đề 2.3.4. Định lý cánh hoa và định lý giọt nước trong không gian gauge

là tương đương.
Chứng minh. Theo cách chứng minh ở trên, ta thấy định lý cánh hoa kéo
theo định lý giọt nước. Bây giờ, ta chứng minh điều ngược lại là đúng.
Giả sử ta có giả thiết là định lý giọt nước. Ta sẽ chứng minh P
α,γ
(x, B) ⊂
D
α,σ
(x, B) với mọi x ∈ A.
22
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Thật vậy, lấy x ∈ A và u ∈ P
α,γ
(x, B) bất kỳ. Khi đó, với mọi n ∈ N, ta
có
α
n
d
n
(u, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(u, B)+γ
n
d
n
(x, u) ≤ α
n

d
n
(x, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(x, B) .
Ta chứng minh u ∈ D
α,σ
(x, B).
Chọn θ
n
∈ [0, 1] sao cho
d
n
(x, u) =
θ
n
γ
n
(α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B))
≤

θ
n
γ
n
(α
n
ρ
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B))
=
θ
n
γ
n
ρ
n
(x, B) = θ
n
1
γ
n
ρ
n
(x, B) .
Ta có
α

n
d
n
(u, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(u, B)
≤ α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) − γ
n
d
n
(x, u)
= α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) − θ

n
α
n
d
n
(x, B) − θ
n
(1 − α
n
) ρ
n
(x, B)
= (α
n
− θ
n
α
n
) d
n
(x, B) + (1 − α
n
+ θ
n
(α
n
− 1)) ρ
n
(x, B) .
Vậy u ∈ D

α,σ
(x, B) với σ =

1
γ
, α, α − 1

.
Kết hợp giả thiết với P
α,γ
(x, B) ⊂ D
α,σ
(x, B), định lý được chứng minh.
Sự tương đương giữa hai định lý trên với các định lý Caristi, Bishop-
Phelps và nguyên lý biến phân Ekeland được thể hiện ở bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.5. Hai định lý 2.3.2, 2.3.3 và các định lý Caristi, Bishop-Phelps,
nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương.
Chứng minh. Ta có các định lý Caristi, Bishop-Phelps và nguyên lý biến
phân là tương đương, định lý cánh hoa và định lý giọt nước trong không
23