tài liệu ôn thi cao học môn hình học

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN HỌC









Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN
Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh
sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An


Học phần

MẶT TRONG KHÔNG GIAN
3
¡

Tp. Hồ chí minh – 8/2008

2


MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Mặt tham số.
Cho
U
là tập mở trong
2
¡
, hàm véctơ
( ) ( )
3
:
, ,
r U
u v r u v
®
¡

a
là mặt tham số nếu
r
là ánh xạ khả vi
trên
U
. Khi đó
(
)
r U
là giá của mặt tham số.
Hai mặt tham số
~
~
3 3
: , :r U r U® ®
¡ ¡
là tương đương nếu tồn tại vi phôi
~
:
U U
j
®
sao cho
~
0
r r
j
=
, ký hiệu

~
r r
:
. Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau.
2. Mặt đơn.
Cho mặt
(
)
S
có tham số hóa
r
, nếu
r
đơn ánh thì
(
)
S
là mặt đơn.
3. Mặt chính qui.
Cho mặt
(
)
S
có tham số hóa
( ) ( )
3
:
, ,
r U
u v r u v

®
¡
a
. Khi đó
(
)
0 0
,
M r u v
= là điểm chính qui của
mặt
(
)
S
nếu hai véctơ
(
)
(
)
0 0 0 0
' , , ' ,
u v
r u v r u v
độc lập tuyến tính. Nếu mặt
(
)
S
chính qui tại mọi
điểm
(

)
,
M r u v
= , với
(
)
,
u v U
Î
thì
(
)
S
là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị.
Tính chính qui của mặt
(
)
S
không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh).
Nếu tại điểm
(
)
0 0
,
M r u v
= là điểm chính qui của mặt
(
)
S
thì phương trình mặt phẳng tiếp

xúc hay tiếp diện tại điểm
(
)
0 0 0
, ,
M x y z
nhận
(
)
(
)
0 0 0 0
' , , ' ,
u v
r u v r u v
làm cặp véctơ chỉ phương có
dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -

=
.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm
(
)
0 0
,
M r u v
=
là pháp tuyến có
phương trình
0 0 0
x x y y z z
a b c
- - -
= =
với
, ,
a b c
được tính bởi
(
)
(
)
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u

v v
y u v z u v
a
y u v z u v
=
,
(
)
(
)
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
z u v x u v
b
z u v x u v
=
,
(
)
(
)
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,

' , ' ,
u u
v v
x u v y u v
c
x u v y u v
=
, hơn nữa không gian sinh bởi
(
)
(
)
0 0 0 0
' , , ' ,
u v
r u v r u v
tại điểm
(
)
0 0
,
M r u v
= là không gian tiếp xúc với mặt
(
)
S
tại điểm
M
,
ký hiệu

(
)
M
T S
. Khi đó
(
)
(
)
( )
M
M S
T S T S
Î
=
U
là tập tất cả các không gian tiếp xúc.
4. Đường trên mặt.
Phaàn 1


3

Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )
3

:
, ,
r U
u v r u v
®
¡
a
và
(
)
x
là đường trong
U
có tham số
(
)
( )
u u t
v v t
ì =
ï
í
=
ï
î
,
t I
Î
qua
r

cho ta đường cong
(
)
(
)
S
x
Ì
có
( ) ( ) ( )
( )
3
:
,
I
t t r u t v t
j
j
®
=
¡
a
.
Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau.
Trường hợp 1.
0
v v
=
tương ứng với đường
(

)
( )
0
r
u u t
v v
x
ì =
ï
¾¾®
í
=
ï
î
có
(
)
(
)
(
)
0
,
t u t v
j
= . Ta nói
đây là họ tham số thứ nhất trên mặt
(
)
S

. Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là
(
)
' ,
u
r u v
.
Trường hợp 2.
0
u u
=
tương ứng với đường
( )
( )
0
r
u u
v v t
x
=
ì
ï
¾¾®
í
=
ï
î
có
(
)

(
)
(
)
0
,
t u v t
j
=
. Ta nói
đây là họ tham số thứ hai trên mặt
(
)
S
. Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là
(
)
' ,
v
r u v
.
5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng.
Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )
3
:

, ,
r U
u v r u v
®
¡
a
, theo trên hai mặt tham số hóa gọi là
tương đương nếu tồn tại vi phôi
~
:
U U
j
®
sao cho
~
0
r r
j
=
. Như ta đã biết
~ ~
~ ~
~
~
~ ~
' ' ' '
u v
u v
J
d u d v

du dv
r r r r
d u d v
dv du
Ù = Ù
14243
, nếu
0
J
>
thì
(
)
S
là mặt định hướng được.
Cho mặt
(
)
S
định hướng ta luôn có
~ ~
~ ~
' ' ' '
' '
' '
u v u v
u v
u v
r r r r
r r

r r
Ù Ù
=
Ù
Ù
. Tại mọi điểm
(
)
,
M r u v
=
ta luôn có
một véctơ đơn vị
( )
' '
,
' '
u v
u v
r r
n u v
r r
Ù
=
Ù
là véctơ pháp tuyến đơn vị của
(
)
S
.

6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất.
Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )
3
:
, ,
r U
u v r u v
®
¡
a
. Xét dạng toàn phương
(
)
( )
:
,
M
I T S
a I a a a
®
=
¡
a
. Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng

4

(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
I a E a Fa a G a
= + + với
, ,
E F G
được xác định bởi
( )
(
)
2
' ,
u
E r u v
= ,
(
)
(
)
' , . ' ,
u v

F r u v r u v
=
,
( )
(
)
2
' ,
v
G r u v
=
.
Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
I a E du Fdudv G dv
= + + .
7. Công thức tính độ dài cung trên mặt.
Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )

3
:
, ,
r U
u v r u v
®
¡
a
và đường cong
(
)
x
có tham số
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
, , ,
t r u t v t t a b
j
= Î
. Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là
( ) ( )
2 2

' 2 ' ' '
b
t t t t
a
l E u Fu v G v dt
= + +
ò
, với
, ,
E F G
được xác định như trên.
8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt.
Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )
3
:
, ,
r U
u v r u v
®
¡
a
và hai đường cong
(
)
1

x
có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1 1 1 1 1
, , ' ' ' ' '
u v
t r u t v t t r u r v
j j
= = +

(
)
2
x
có
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2 2
, , ' ' ' ' '
u v
t r u t v t t r u r v
j j
= = +

(
1 2 1 2
, , ,
u u v v
đều lấy đạo hàm theo biến
t
).
Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong
(
)
1
x
và
(
)
2
x

là
·
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2
1, 2
2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' '
os
' 2 ' ' ' ' 2 ' ' '
Eu u F u v u v Gv v
c
E u Fu v G v E u Fu v G v
x x
+ + +
=
+ + + +
.
Trong trường hợp đặc biệt.
Nếu
(
)
1
x
có
(
)

(
)
(
)
1 0
,
t r u t v
j
=
,
(
)
2
x
có
(
)
(
)
(
)
2 0
,
t r u v t
j
=
thì
(
)
1

' ' '
u t
t r u
j
= ,
(
)
2
' ' '
v t
t r v
j
= . Khi đó
·
(
)
1, 2
os
F
c
EG
x x
= .
9. Ánh xạ Weingarten.
Xét ánh xạ
(
)
(
)
:

M M
h T S T S
®
thỏa mãn
(
)
( )
' ' '
' ' '
h
u u u
h
v v v
r h r n
r h r n
ì
¾¾® = -
ï
í
¾¾® = -
ï
î

và
( )
(
)
(
)
: ' ' ' ' ' '

h
u u v v u u v v u u v v
M S
a T a a r a r a a n a n a n a n
Î = + ¾¾® = - + - = - -
.
ta gọi ánh xạ
h
được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của
(
)
S
). Khi đó
[
]
det
h
là độ cong Gauss của
(
)
S
và các giá trị riêng của ma trận
[
]
h
gọi là độ cong chính.
Nhận xét.
h
là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính
h

không phụ thuộc vào
tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
h
là ma trận cấp 2,
l
là giá trị riêng của ma trận
h
nếu
0
A I
l
- =
. Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp.

5

10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai.
Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )
3
:
, ,
r U
u v r u v
®
¡

a

Ánh xạ
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
:
, , . .
M M
II T S T S
a b I a b h a b a h b
®
= =
a
là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó
(
)
(
)
(
)
, . .
II a a a h a h a a
= =
là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng
(
)
(

)
(
)
2 2
2
u u v v
II a L a Ma a N a
= + + , với
, ,
L M N
được tính bởi
(
)
(
)
' , ' ,
u u
L n u v r u v
= - ,
(
)
(
)
(
)
(
)
' , ' , ' , ' ,
u v v u
M n u v r u v n u v r u v

= - = - ,
(
)
(
)
' , ' ,
v v
N n u v r u v
= - .
Nếu mặt
(
)
S
có tham số hóa dạng
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , , , ,
r u v x u v y u v z u v
=
thì
, ,
L M N

được tính

2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
uu uu uu
u u u
v v v
x y z
L x y z
EG F
x y z
=
-
,
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
uv uv uv
u u u
v v v
x y z
M x y z
EG F
x y z
=

-
,
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
vv vv vv
u u u
v v v
x y z
N x y z
EG F
x y z
=
-

11. Độ cong pháp dạng.
Lấy
(
)
: ' '
M u u v v
a T S a a r a r
Î = +
. Độ cong pháp dạng của
(
)
S
tại điểm

M
theo phương
a

được ký hiệu
(
)
M
K a
và
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
u u v v
M
u u v v
L a Ma a N a
II a
K a
I a
E a Fa a G a
+ +
= =
+ +

.
Lưu ý.
(
)
(
)
M M
K a K a
l
=
12. Phương chính.
Giả sử
h
là ánh xạ Weingarten của mặt
(
)
S
,
(
)
, 0
M
a T S a
Î ¹
. Ta nói
a
là phương chính của
mặt
(
)

S
nếu
a
là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính
h
hay
(
)
h a a
l
=
với
l
là độ cong
chính.
Thấy rằng
(
)
(
)
(
)
: ' , ' ,
M u u v v
a T S a a r u v a r u v
Î = +
ta sẽ xác định
,
u v
a a

dựa vào định thức
2 2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-
=
.
Khi đó
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
là độ cong Gauss,
( )
2
2
2
EN GL FM
H
EG F
+ -
=
-

là độ cong trung bình.

6

Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt
(
)
S
ta có thể dựa vào phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 0
EG F EN LG MF LN M
l l
- - + - + - =
để ý rằng
1 2
1 2
. ,
2
K H
l l
l l
+
= = .

13. Phân loại điểm trên mặt.
Cho mặt
(
)
S
chính qui có tham số hóa
( ) ( )
3
:
, ,
r U
u v r u v
®
¡
a
và độ cong Gauss tại điểm
(
)
(
)
,
A r u v S
= Î
có công thức
2
2
LN M
K
EG F
-

=
-
, độ cong chính tương ứng là
1 2
,
l l
.
Nếu
0
K
>
thì
A
là điểm Eliptic. Nếu
0
K
<
thì
A
là điểm Hyperbolic. Nếu
0
K
=
thì
A
là
điểm Parabolic.
Nếu
1 2
l l

=
thì
A
là điểm rốn. Nếu
1 2
0
l l
= ¹
thì
A
là điểm cầu. Nếu
1 2
0
l l
= =
thì
A
là
điểm dẹt.

BÀI TẬP MINH HỌA


Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong
3
¡
.
a) Mặt Elipxoit tròn xoay.
b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay.
c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay.

d) Mặt Paraboloit tròn xoay.
Giải.
a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục
(
)
0
x
có dạng
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b b
+ + =
.
Đặt
2 2
2
2 2
2
2
2
cos
sin
x y
u
a b
z
u
b

ì
= +
ï
ï
í
ï
=
ï
î
. Khi đó ta được
.cos .cos
.cos .sin
.sin
x a u v
y b u v
z b u
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
.
Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục
(
)
0
x

là
(
)
(
)
, .cos .cos , .cos .cos , .sin
r u v a u v b u v b u
= .
Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục
(
)
0
y
có dạng
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b a
+ + =
. Tương
tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục
(
)
0
y
là
(
)
(

)
, .cos .cos , .cos .cos , .sin
r u v a u v b u v a u
=
.
b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b a
- + =
.
Phaàn
2


7

Đặt
2 2
2
2 2
2
2
2
os
sin
x y
c u

a b
z
u
a
ì
= -
ï
ï
í
ï
=
ï
î
. Khi đó ta được
.cos .
. os.
.sin
x a u chv
y b c shv
z a u
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
. Do vậy phương trình tham số hóa
của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là

(
)
(
)
, .cos . , .cos . , .sin
r u v a u chv b u shv a u
=
.
c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b b
- - =
.
Đặt
2 2
2
2 2
2
2
2
x y
ch u
a b
z
sh u
a
ì

= -
ï
ï
í
ï
=
ï
î
. Khi đó ta được
. .
. .
.
x a chu chv
y b chu shv
z b shu
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
. Do vậy phương trình tham số hóa của
Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là
(
)
(
)
, . . , . . , .

r u v a chu chv b chu shv a shu
= .
d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng
2 2
2
x y pz
+ =
.
Đặt
2
1
2
os
.c
.sin
y u
z u
p
x u
v
v
ì
ï
ï
ï
í
ï
=
=
î

=
ï
ï
. Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là
( )
2
1
.c , sin ,,
2
os .r u v u v u
v u
p
æ ö
=
ç ÷
è ø
.
Bài 2. Cho
[
]
[
]
0,2 0,2
U
p p
= ´ và hai hàm véctơ
~
~
3 3
: , :r U I r U U® Ì = ®

¡ ¡
xác định bởi
công thức
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
~ ~ ~ ~
~ ~
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
r u v u v u v u
r u v v u v u v
ì
= + +
ï
í
æ ö
æ ö æ ö
= + +
ï
ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø è ø
è ø

î

a) Chứng minh rằng
r
và
~
r
là các mặt tham số hóa và
( )
~
~
r U r U
æ ö
=
ç ÷
è ø
.
b)
r
và
~
r
có tương đương không? Vì sao?

Giải.
a) Dễ dàng kiểm tra được
r
,
~
r

là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm
os, sin
c u
là các hàm số sơ cấp.
Do
~
U U
=
nên
( )
~
~
r U r U
æ ö
=
ç ÷
è ø
.

8

b) Gi s
r
v
~
r
tng ng tc l tn ti phộp bin i tham s
~
:
U U

j
đ
sao cho
~
0
r r
j
= .
Khi ú
j
l vi phụi bo ton hng t
~
U
lờn
U
tc l
det 0
J
j
>
vi
1 1
2 2
~ ~
~ ~
u v
J
u v
j
j j

j j
ổ ử
ả ả
ỗ ữ
ả ả
ỗ ữ
=
ỗ ữ
ả ả
ỗ ữ
ả ả
ố ứ
.
Ta li cú
( )
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ 1 2
0
, , , , , ,
r u v r u v r u v r u v u v
j j j
ổ ử
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
= =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ố ứ

~ ~

~ ~ ~ ~
1 2
~ ~
~ ~ ~ ~
1 2
~
~ ~
1
2 cos cos 2 os , os ,
2 cos sin 2 os , sin ,
sin sin ,
v u c u v c u v
v u c u v u v
u u v
j j
j j
j
ỡ
ổ ử
ổ ử ổ ử ổ ử
+ = +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ù
ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
ố ứ
ù
ù
ổ ử
ù

ổ ử ổ ử ổ ử
+ = +
ớ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
ố ứ
ù
ù
ổ ử
=
ù
ỗ ữ
ố ứ
ù
ợ
. Suy ra
~ ~ ~
1
~ ~ ~
2
,
,
u v v
u v u
j
j
ỡ
ổ ử
=

ỗ ữ
ù
ù ố ứ
ớ
ổ ử
ù
=
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ

Do ú
1 1
1 0
J
j
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
cú
det 1 0
J
j
= - <
(mõu thun).
Vy ta cú iu cn chng minh.

Bi 3. Cho

U
m trong
Ă
, mt
(
)
S
cú
3
:
r U
đ
Ă
xỏc nh bi
(
)
(
)
2 2
, , ,
r u v u v u v
= - , vi mi
(
)
,
u v U
ẻ
.
a) Chng minh
r

l tham s húa chớnh qui.
b) Tỡm giao tuyn gia mt phng tip xỳc
(
)
p
ti im
(
)
0,1
A r
=
vi mt
(
)
S
.
Gii.
a) Xột ti im tựy ý
(
)
,
A r u v U
= ẻ
.
Ly o hm theo bin
,
u v
cho ta
(
)

(
)
(
)
(
)
' , 1,0,2 , ' , 0,1, 2
u v
r u v u r u v v
= = - .
Suy ra
(
)
(
)
(
)
' ' , 2 ,2 ,1
u v
r r u v u v
= -
Theo trờn ta li c
( )
( ) ( )
2 2
' ' , 4 4 1 0, ,
u v
r r u v u v u v U
= + + ạ " ẻ
.

Do ú 2 vộct
(
)
(
)
' , , ' ,
u v
r u v r u v
c lp tuyn tớnh.
Vy
r
l tham s húa chớnh qui hay
(
)
S
l mt chớnh qui.
b) Phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
ti
(
)
(
)
0,1
A r S
= ẻ
cú dng l
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
0 0 0
' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 0
' 0,1 ' 0,1 ' 0,1
u u u
v v v
x x y y z z
x y z
x y z
- - -
=
(3.1), trong ú
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0,1 , , 0,1, 1
' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0
' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2
u u u
v v v
A r x y z
x y z
x y z
ỡ

= = = -
ù
= = =
ớ
ù
= = = -
ợ
.

9

Thế vào (3.1) ta được
1 1
1 0 0 0
0 1 2
x y z- +
=
-
hay
2 1 0
y z
+ - =
.
Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc
(
)
p
là
2 1 0
y z

+ - =
.
Lấy
( ) ( )
2 2
, , ,
x u
M x y z r u v y v
z u v
ì
=
ï
Î Û =
í
ï
= -
î
. Khi đó mặt
(
)
2 2
:
S z x y
= -
.
Từ đó cho ta
2 2
2 1 0
z x y
y z

ì
= -
í
+ - =
î
suy ra
1 0
2 1 0
1 0
2 1 0
x y
y z
x y
y z
é
+ - =
ì
í
ê
+ - =
î
ê
ê
- + =
ì
ê
í
+ - =
ê
î

ë

Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc
(
)
p
với
(
)
S
là cặp đường thẳng có phương trình
1 0
2 1 0
1 0
2 1 0
x y
y z
x y
y z
é
+ - =
ì
í
ê
+ - =
î
ê
ê
- + =
ì

ê
í
+ - =
ê
î
ë
.
Bài 4. Trong
3
¡
với mục tiêu trực chuẩn
0
xyz
cho
(
)
2
: 0,
P y z ax
= =
a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi
(
)
P
quay quanh trục
0
z
.
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay.
Giải.

a) Quay
( )
2
1
:
0
x z
P
a
y
ì
=
ï
í
ï
=
î
quanh trục
0
z
cho ta mặt tròn xoay
(
)
S
có phương trình
2 2
1
x y z
a
+ =

.
b) Phương trình tham số hóa của mặt
(
)
S
là
(
)
(
)
2
, cos , sin ,
r u v u v u v au
=
.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc
(
)
p
tại điểm
(
)
(
)
0 0
,
A r u v S
= Î có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
=
(4.1).
Với
(
)
(
)
(
)
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, , , cos , sin ,
A r u v x y z u v u v au
= = =

(
)
(
)

(
)
0 0 0 0 0
' , ' , ' , ' cos ,sin ,2
u u u u
r u v x y z v v au
= =
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , ' sin , cos ,0
v v v v
r u v x y z u v u v= = - .
Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng
(
)
p
là
(
)
(
)
2 2 3
0 0 0 0 0 0
2 cos 2 sin 0
au v x au v y u z au

+ - - =
.

10

Bi 5. Cho
f
l hm trn trờn tp m
2
U
è
Ă
v mt
(
)
S
cú tham s húa
3
:
r U
đ
Ă
xỏc nh
bi
(
)
(
)
(
)

, , , ,
r u v u v f u v
=
, vi mi
(
)
,
u v U
ẻ
.
a) Tỡm dng c bn th nht, th hai ca
r
.
b) Tớnh cong Gauss
K
ca
(
)
S
ti mt im tựy ý.
Gii.
a) Dng c bn th nht ca
r
cú dng
(
)
(
)
(
)

2 2
2
u u v v
I a E a Fa a G a
= + + (5.1)
Vi
( )
(
)
( )
2
2
' , 1 '
u u
E r u v f= = +
,
(
)
(
)
' , ' , ' . '
u v u v
F r u v r u v f f
= =
( )
(
)
( )
2
2

' , 1 '
v v
G r u v f= = + .
Th vo (5.1) ta c
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 ' 2 ' ' 1 '
u u u v u v v v
I a f a f f a a f a
ộ ự ộ ự
= + + + +
ở ỷ ở ỷ
.
Dng c bn th hai ca
r
cú dng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
II a L a Ma a N a
= + + (5.2).
Vi
( ) ( )

2 2 2
'' '' ''
''
1
' ' '
1 ' '
' ' '
uu uu uu
u
u u u
u v
v v v
x y z
f
L x y z
EG F
f f
x y z
= =
-
+ +

( ) ( )
2 2 2
'' '' ''
''
1
' ' '
1 ' '
' ' '

uv uv uv
uv
u u u
u v
v v v
x y z
f
M x y z
EG F
f f
x y z
= =
-
+ +

( ) ( )
2 2 2
'' '' ''
''
1
' ' '
1 ' '
' ' '
vv vv vv
vv
u u u
u v
v v v
x y z
f

N x y z
EG F
f f
x y z
= =
-
+ +

Th vo (5.2) ta c
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
2 2
2 2
1
'' 2 '' ''
1 ' '
u u uv u v v v
u v
II a f a f a a f a
f f
= + +
+ +
.
b) cong Gauss ti mt im tựy ý c tớnh theo cụng thc
2
2
LN M

K
EG F
-
=
-
theo cõu a) ta
c
( )
( ) ( )
2
2 2
'' '' ''
1 ' '
u v uv
u v
f f f
K
f f
-
=
+ +
.
Bi 6. Cho
[
]
[
]
0,2 0,2
U
p p

= v mt xuyn
(
)
S
cú
3
:
r U
đ
Ă
xỏc nh bi cụng thc
(
)
(
)
(
)
(
)
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
r u v u v u v u
= + +

a) Xỏc nh cỏc ng ta
(
)
(
)
0 0
, , ,

r u v r u v
ca
r
.
b) Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc mt phng tip xỳc ti 2 im
( )
0,0 , ,0
2
A r B r
p
ổ ử
= =
ỗ ữ
ố ứ
.
Gii.

11

a) Với
0
v v
=
tương ứng với đường
(
)
( )
0
r
u u t

v v
x
ì =
ï
¾¾®
í
=
ï
î
. Với mọi điểm
(
)
M
x
Î cho ta
(
)
( )
0
0 0
0
2 cos cos
sin cos 0
2 cos sin suy ra
sin 0
sin
x u v
x v y v
y u v
z u

z u
ì = +
- =
ï
ì
= +
í í
- =
î
ï
=
î

Do vậy họ tham số
0
v v
=
là những đường thẳng có phương trình
0 0
sin cos 0
sin 0
x v y v
z u
- =
ì
í
- =
î
. Khi
0

v
thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất.
Với
0
u u
=
tương ứng với đường
( )
( )
0
r
u u
v v t
x
=
ì
ï
¾¾®
í
=
ï
î
. Với mọi điểm
(
)
M
x
Î
cho ta
(

)
( )
0
0
0
2 cos cos
2 cos sin
sin
x u v
y u v
z u
ì
= +
ï
= +
í
ï
=
î
suy ra
( )
2
2 2
0
0
2 cos
sin 0
x y u
z u
ì

+ = +
ï
í
- =
ï
î
. Do vậy họ tham số
0
u u
=
là những
đường tròn giao giữa mặt phẳng
0
sin 0
z u
- =
và mặt trụ. Khi
0
u
thay đổi các đường thẳng
này tạo thành lưới tọa độ thứ hai.
b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc
(
)
A
p
tại điểm
(
)
(

)
0,0
A r S
= Î có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
' 0,0 ' 0,0 ' 0,0 0
' 0,0 ' 0,0 ' 0,0
u u u
v v v
x x y y z z
x y z
x y z
- - -
=
(6.1) với
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
, , 3,0,0
' 0,0 0,0,1
' 0,0 0,3,0
u
v
x y z

r
r
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
.
Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là
3 0
x
- =
.
Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc
(
)
B
p
tại điểm
( )
,0
2
B r S
p
æ ö
= Î
ç ÷

è ø
là
3 0
x z
+ - =
.
Bài 7. Cho
[
]
[
]
2
0,2 0,2U
p p
= ´ Ì
¡
và mặt giả cầu
(
)
S
có
3
:
r U
®
¡
xác định bởi công thức
( )
, sin cos , sin sin , cos lntan
2

u
r u v a u v a u v a u
æ ö
æ ö
= +
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
.
a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt
(
)
S
.
b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của
(
)
S
.
c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của
(
)
S
.
Giải.
a) Dạng cơ bản nhất của mặt
(
)
S

có dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
I a E a Fa a G a
= + +
(7.1).
Với
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
2 2 2 2
' , cot , ' , ' , 0, ' , sin
u u v v
E r u v a an u F r u v r u v G r u v a u
= = = = = =
.

12

Thế vào (7.1) cho ta
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
cot sin
u v
I a a an u a a u a
= + .
Dạng cơ bản thứ hai của mặt
(
)
S
có dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
II a L a Ma a N a
= + + (7.2).
Với

(
)
(
)
(
)
(
)
' , ' , cotan , ' , ' , 0
u u u v
L n u v r u v a u M n u v r u v
= - = - = - =

( ) ( )
1
' , ' , sin 2
2
v v
N n u v r u v a u
= - =
.
Thế vào (7.2) cho ta
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
cotan sin2
2
u v
II a a u a a u a

æ ö
= - +
ç ÷
è ø
.
b) Độ cong Gauss được tính theo công thức
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
theo câu a) ta tính được
1
K
a
= -
.
Độ cong trung bình được tính theo công thức
( )
2
2
EN LG FM
H
EG F
+ -
=
-

theo câu a) ta tính được
1
cotan sin 2
2 2
a
H u u
æ ö
= - +
ç ÷
è ø
.
Độ cong chính
l
của mặt
(
)
S
tại một điểm tùy ý là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 0
EG F EN LG MF LN M
l l
- - + - + - =
(7.3) theo câu a) ta thế vào (7.3) cho

ta phương trình
(
)
2 2
os sin cos cotan os 0
a c u a u u u c u
l l
- - - =
điều kiện
cos 0
u
¹
.
Với
2
2
0
sin
a
u
D = >
khi
,2
0,
u
p p
¹
cho ta 2 nghiệm
( )
( )

1
2
2
2
sin cos cotan
sin
2 cos
sin cos cotan
sin
2 cos
a
a u u u
u
a u
a
a u u u
u
a u
l
l
é
- +
ê
ê
=
ê
ê
- -
ê
ê

=
ê
ë

Vậy độ cong chính của mặt là
( )
( )
1
2
2
2
sin cos cotan
sin
2 cos
sin cos cotan
sin
2 cos
a
a u u u
u
a u
a
a u u u
u
a u
l
l
é
- +
ê

ê
=
ê
ê
- -
ê
ê
=
ê
ë
khi
0, ,
3
2
2
, ,2
u
p p
p p
¹
.
c) Vì
1
0
K
a
= - <
với mọi
(
)

,
u v U
Î
nên điểm nào của mặt
(
)
S
luôn là điểm Hyperbolic.
Bài 8. Cho mặt tròn xoay
(
)
S
có tham số hóa
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, cos , cos ,
r u v u v u u u
j j x
=
, với
,
j x

là
các hàm một biến trơn thỏa
(
)
(
)
2 2
0, ' ' 0
j j x
> + ¹
.
a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của
(
)
S
.
b) Tính độ cong Gauss tại điểm tùy ý của
(
)
S
.

13

Giải.
a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng
(
)
(
)

(
)
2 2
2
u u v v
I a E a Fa a G a
= + + (8.1).
Ta lại có
(
)
(
)
(
)
' , 'cos , 'cos sin , '
u
r u v v u u u
j j j x
= - ,
(
)
(
)
(
)
' , sin ,0,0
u
r u v u v
j
= -

Suy ra
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2
2 2
' , 'cos 'cos sin '
u
E r u v v u u u
j j j x
= = + - +

(
)
(
)
(
)
' , ' , ' sin cos
u v
F r u v r u v u v v
j j
= = -
,
( )
(

)
( )
(
)
2 2
' , sin
v
G r u v u v
j
= =

Thế vào (8.1) ta được
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
'cos 'cos sin '
u
I a v u u v a
j j j x
é ù
= + - + +
ë û

(
)
(

)
2 ' sin cos
u v
u v v a a
j j
-
( )
(
)
( )
2
2
sin
v
u v a
j
+
Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
II a L a Ma a N a
= + + (8.2).
Hơn nữa

(
)
(
)
(
)
(
)
'' , ''cos , ''cos ' sin cos cos , ''
u
r u v v u u u u u
j j j j x
= - + -

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'' , 'sin ,0,0 , '' , sin ,0,0
uv v
r u v v r u v u v
j j
= - = -
Suy ra

0, 0
M N
= =
thế vào (8.2) cho ta
(
)
(
)
2
u
II a L a
= , với
L
được tính như trên.
b) Độ cong Gauss được tính theo công thức
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
theo câu a) ta được
0
K
=
.
Bài 9. Cho
[

]
[
]
2
0,2 0,2U
p p
= ´ Ì
¡
và mặt xuyến
(
)
S
có
3
:
r U
®
¡
xác định bởi công thức
(
)
(
)
(
)
(
)
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
r u v u v u v u
= + + , với mọi

(
)
,
u v U
Î
.
a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của
(
)
S
.
b) Tìm phương chính, độ cong Gauss và độ cong chính của
(
)
S
.
c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của
(
)
S
.
d) Trên
(
)
S
có điểm rốn không? Tại sao?
Giải.
a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng
(
)

(
)
(
)
2 2
2
u u v v
I a E a Fa a G a
= + + (9.1).
Với
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
2 2
2
' , 1, ' , ' , 0, ' , 2 cos
u u v v
E r u v F r u v r u v G r u v u
= = = = = = +
.
Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng cơ bản thứ nhất là
(
)
(
)
(

)
(
)
2 2
2
2 os
u v
I a a c u a
= + + .
Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
II a L a Ma a N a
= + +
(9.2)
Với
(
)
(
)
(
)
(

)
'' , cos cos , cos sin , sin , '' , sin sin , sin cos ,0
u uv
r u v u v u v u r u v u v u v
= - - - = -

(
)
(
)
(
)
(
)
'' , 2 cos cos , 2 cos sin ,0
v
r u v u v u v
= - + - +
nên theo công thức tính
, ,
L M N
cho ta
2
1, 0, 2cos cos
L M N u u
= = = +
.
Thế vào (9.2) ta công thức dạng cơ bản thứ hai là
(
)

(
)
(
)
(
)
2 2
2
2cos os
u v
II a a u c u a
= + +
.

14

b) Độ cong Gauss được tính theo công thức
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
theo kết quả câu a) ta được
cos
K u
=
.

Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt
(
)
S
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 0
EG F EN LG MF LN M
l l
- - + - + - =
theo kết quả câu a) cho ta phương
trình
(
)
(
)
2
2 cos 2cos 2 cos 0
u u u
l l
+ - + + =
suy ra
1
cos

2 cos
u
u
l
l
=
é
ê
ê
=
+
ë
. Do vậy độ cong chính
của mặt
(
)
S
tại điểm bất kỳ là
1
cos
2 cos
u
u
l
l
=
é
ê
ê
=

+
ë
.
Gọi phương chính của mặt
(
)
S
tại điểm bất kỳ là
(
)
(
)
' , ' ,
u u v v
a a r u v a r u v
= +
(9.3).
Dựa vào
( ) ( )
2 2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-
=
và kết quả câu a) ta được
0
u v

a a
=
.
Trường hợp 1.
0
u
a
=
suy ra
(
)
(
)
(
)
2 cos sin , 2 cos cos ,0
v v
a a u v a u v
= - + +
nên ta có thể
chọn phương chính tại điểm bất kỳ là
(
)
(
)
(
)
2 cos sin , 2 cos cos ,0
a u v u v
= - + +

.
Trường hợp 2.
0
v
a
=
suy ra
(
)
sin cos , sin sin , cos
u u u
a a u v a u v a u
= - - nên ta có thể chọn
phương chính tại điểm bất ký là
(
)
sin cos , sin sin ,cos
a u v u v u
= - -
.
c) Nếu
0 cos 0 ,
2 2
K u u
p p
æ ö
> Û > Û Î -
ç ÷
è ø
thì tại mọi điểm

(
)
,
A r u v
=
thỏa
,
2 2
u
p p
æ ö
Î -
ç ÷
è ø
là
điểm Eliptic.
Nếu
0 cos 0
2 2
3
,K u u
p p
æ ö
< Û < Û Î
ç ÷
è ø
thì tại mọi điểm
(
)
,

A r u v
=
thỏa
3
,
2 2
u
p p
æ ö
Î
ç ÷
è ø
là
điểm Hyperbolic.
Nếu
0 c ,os 0
2
K u u k k
p
p
= Û = Û = +
Î
¢
thì tại mọi điểm
(
)
,
A r u v
=
thỏa

2
,u k k
p
p
= +
Î
¢
là điểm Parabolic
d) Giả sử mặt
(
)
S
có điểm rốn tức là
1 2
cos
1
2 cos
u
u
l l
= Û =
+
(vô lí). Vậy mặt
(
)
S
không có
điểm rốn.

15

Bài 10. Cho mặt
(
)
S
trong
3
¡
được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
u v
I a a G a
= + . Chứng minh rằng độ cong Gauss của
(
)
S
cho bởi
1
2
1
2
1
uu
K G

G
æ ö
= -
ç ÷
è ø
.
Giải. Như ta đã biết độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức
1 1 1
.
2
E G
K
v v u u
EG EG EG
æ ö
¶ ¶ ¶ ¶
æ ö æ ö
= +
ç ÷
ç ÷ ç ÷
¶ ¶ ¶ ¶
è ø è ø
è ø
.
Theo giả thiết ta có
1
E
=
nên
( )

1
2
2
1
2
1 1 1 1 1
2 4
2
uu
uu u
G
G
K G G
u u G G
G G
G
æ ö
ç ÷
æ ö
¶ ¶
æ ö
æ ö
è ø
= - = - + = -
ç ÷
ç ÷
ç ÷
¶ ¶
è ø
è ø

è ø
.
Bài 11. Mặt trong
3
¡
gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm. Chứng
minh rằng mặt
(
)
S
có tham số hóa
( )
, . .cos , . .sin ,
u u
r u v a ch v a ch v u
a a
æ ö
=
ç ÷
è ø
là mặt tối tiểu.

Giải. Độ cong trung bình tại một điểm bất kỳ có công thức là
( )
2
2
2
EN LG FM
H
EG F

+ -
=
-
(11.1).
Ta lại có
( )
' , .cos , .sin ,1
u
u u
r u v sh v sh v
a a
æ ö
=
ç ÷
è ø
,
( )
' , . .sin , . .cos ,0
v
u u
r u v a ch v a ch v
a a
æ ö
= -
ç ÷
è ø

( )
1 1
'' , .cos , .sin ,0

u
u u
r u v ch v ch v
a a a a
æ ö
=
ç ÷
è ø
,
( )
'' , .sin , .cos ,0
uv
u u
r u v sh v sh v
a a
æ ö
= -
ç ÷
è ø

( )
'' , . .cos , . .sin ,0
v
u u
r u v a ch v a ch v
a a
æ ö
= - -
ç ÷
è ø

Suy ra
2 2
2
1, 0,
u u
E sh F G a ch
a a
æ ö æ ö
= + = =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
và
2
1
, 0,
a
L M N
a a
= - = =

Thế vào (11.1) ta được
0
H
=
tức là mặt
(
)
S
là mặt tối tiểu.

Bài 12. Cho mặt tham số hóa
(
)
S
trong
3
¡
có
(
)
(
)
, cos , sin ,
r u v u v u v u v
= +
.
a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai và độ cong Gauss của
(
)
S
.
b) Tìm độ cong chính và phương chính của
(
)
S
tại điểm
(
)
0,0
A .

Giải.
a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
I a E a Fa a G a
= + +
(12.1).
Với
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
2
' , 2, ' , ' , 1, ' , 1
u u v v
E r u v F r u v r u v G r u v u
= = = = = = +
.
Thế vào (12.1) công thức dạng cơ bản thứ nhất là
(

)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2 1
u u v v
I a a a a u a
= + + +
.
Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng
(
)
(
)
(
)
2 2
2
u u v v
II a L a Ma a N a
= + + (12.2).

16

Với

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'' , 0,0,0 , '' , sin ,cos ,0 , '' , cos , sin ,0
u uv v
r u v r u v v v r u v u v u v
= = - = - -
nên
theo công thức tính
, ,
L M N
cho ta
2 2
1
0, ,
2 1 2 1
u
L M N
u u
= = - = -
+ +

.
Thế vào (12.2) công thức dạng cơ bản thứ hai là
( )
( )
2
2 2
2
2 1 2 1
u v v
u
II a a a a
u u
= - -
+ +
.
b) Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt
(
)
S
tại điểm
(
)
0,0
A r
=
là nghiệm của
phương trình
(
)
(

)
(
)
2 2 2
2 0
EG F EN LG MF LN M
l l
- - + - + - =
(12.3).
Tại điểm
(
)
0,0
A r= cho ta
2, 1, 1
E F G
= = =
và
0, 1, 0
L M N
= = - =

Thế vào (12.3) cho ta phương trình
2
2 1 0
l l
+ - =
suy ra
1
2

1 2
1 2
l
l
é
= - +
ê
= - -
ê
ë
.
Gọi phương chính của mặt
(
)
S
tại điểm
(
)
0,0
A r
=
là
(
)
(
)
' 0,0 ' 0,0
u u v v
a a r a r
= +

(12.4).
Với
(
)
(
)
(
)
(
)
' 0,0 1,0,1 , ' 0,0 0,0,1
u v
r r= = , tại điểm
(
)
0,0
A r= ta được
2, 1, 1
E F G
= = =
và
0, 1, 0
L M N
= = - =
dựa vào
( ) ( )
2 2
0
v u v u
a a a a

E F G
L M N
-
=
ta được
(
)
(
)
2 2
2 0
u v
a a
- =
.
Suy ra
2
2
v u
v u
a a
a a
é
=
ê
= -
ê
ë

Trường hợp 1.

2
v u
a a
= suy ra phương chính
(
)
(
)
,0, 1 2
u u
a a a
= +
nên ta có thể chọn
phương chính là
(
)
1,0,1 2
a = + .
Trường hợp 2.
2
v u
a a
= -
suy ra phương chính
(
)
(
)
,0, 1 2
u u

a a a
= -
nên ta có thể chọn
phương chính là
(
)
1,0,1 2
a = - .
Bài 13. Chứng minh rằng các mặt phẳng tiếp xúc
(
)
p
với mặt
(
)
S
: .
y
z x f
x
æ ö
=
ç ÷
è ø
luôn đi qua một
điểm cố định.
Giải. Đặt
.
x u
y v

v
z u f
u
ì
ï
=
ï
ï
=
í
ï
æ ö
ï
=
ç ÷
ï
è ø
î
cho ta tham số hóa của mặt
(
)
S
là
( )
, , , .
v
r u v u v u f
u
æ ö
æ ö

=
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
.

17

Phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
ti im
(
)
(
)
0 0
,
M r u v S
= ẻ cú dng l
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u

v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
=
(13.1).
Vi
( )
0
0 0 0 0 0 0
0
, , , , .
v
x y z u v u f
u
ổ ử
ổ ử
=
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
,
( ) ( )
0 0 0
0 0
0 0 0
' , ' , ' , ' 1,0, '

u u u u
v v v
r u v x y z f f
u u u
ổ ử
ổ ử ổ ử
= = -
ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ố ứ

( ) ( )
0
0 0
0
' , ' , ' , ' 0,1, '
v v v v
v
r u v x y z f
u
ổ ử
ổ ử
= =
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ

.
Th vo (13.1) cho ta
0 0 0 0
0 0 0 0
' ' 0
v v v v
f f x f y z
u u u u
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử
- - + =
ờ ỳ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
ở ỷ
. D thy rng mt phng tip
xỳc
(
)
p
luụn i qua im c nh
0
.

Bi 14. Cho mt
(
)
S
cú phng trỡnh tham s
( )

3 3
3 3
3
2 2
2
sin
os
x u v
y u c v
z a u
ỡ
=
ù
ù
=
ớ
ù
ù
= -
ợ
. Chng minh rng tng bỡnh
phng cỏc on chn to bi mt phng tip xỳc
(
)
p
ca
(
)
S
vi cỏc trc ta l khụng i,

vi
a
ẻ
Ă
.
Gii. Phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
ti im
(
)
(
)
0 0
,
M r u v S
= ẻ cú dng l
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v

- - -
=
(14.1).
Vi
( )
( )
3
3 3 3 3 2 2
2
0 0 0 0 0 0 0 0
, , sin , os ,x y z u v u c v a u
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ

( ) ( )
( )
1
2 3 2 3 2 2
2
0 0 0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , ' 3 sin ,3 os , 3
u u u u
r u v x y z u v u c v u a u
ổ ử
= = - -
ỗ ữ
ố ứ

(
)
(
)
(
)
3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , ' 3 sin cos , 3 os sin ,0
v v v v
r u v x y z u v v u c v v= = -

Th vo (14.1) cho ta
( ) ( )
1 1
4 2 2 2 4 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
9 os sin 9 cos sin
u a u c v v x u a u v v y
ổ ử ổ ử
- + -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

( ) ( )
1
5 2 2 2 5 2 2 2 2
2
0 0 0 0 0 0 0

9 os sin 9 os sin 0
u c v v z a u a u c v v
+ - - =
.

18

Ta li cú
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
0 0
2
0 0
1
2 2 2
2
0
0 sin ,0,0
0 0, cos ,0
0 0,0,
x A a u v
y B a u v
z C a a u
p
p

p
ỡ
ù
ầ =
ù
ù
ầ =
ớ
ù
ổ ử
ù
ầ = -
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
. Do ú yờu cu ca bi toỏn tng ng vi vic
tớnh
2 2 2 2 4 2 2 4 2 6 4 2 6
0 0 0 0 0
sin os
OA OB OC u a v u a c v a a u a
+ + = + + - =
.

Bi 15. Vit phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
v phỏp tuyn ca mt

(
)
S
cú tham s húa
(
)
(
)
, cos , sin ,
r u v v u v u ku
= ti mt im bt k, vi
k
ẻ
Ă
.
Gii. Phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
ti im
(
)
(
)
0 0
,
M r u v S
= ẻ cú dng l
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
=
(15.1).
Vi
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0 0 0
, , cos , sin ,
x y z v u v u ku
= ,
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , ' sin , cos ,

u u u u
r u v x y z v u v u k
= = -
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
' , ' , ' , ' cos ,sin ,0
u v v v
r u v x y z u u= = .
Th vo (15.1) cho ta mt phng tip xỳc
(
)
p
l
(
)
(
)
0 0 0 0 0
sin cos 0
k u x k u y v z kv u
- + - + =
.
Phng trỡnh phỏp tuyn ti im
(
)

(
)
0 0
,
M r u v S
= ẻ cú dng
0 0 0
x x y y z z
a b c
- - -
= =
(15.1)
Vi
(
)
(
)
( ) ( )
0 00 0 0 0
0
00 0 0 0
cos' , ' ,
sin
sin 0' , ' ,
u u
v v
v u ky u v z u v
a k u
uy u v z u v
= = = -

(
)
(
)
( ) ( )
0 00 0 0 0
0
00 0 0 0
sin' , ' ,
cos
0 cos' , ' ,
u u
v v
k v uz u v x u v
b k u
uz u v z u v
-
= = =

(
)
(
)
( ) ( )
0 0 0 00 0 0 0
0
0 00 0 0 0

sin cos' , ' ,
cos sin' , ' ,
u u
v v
v u v ux u v y u v
c v
u ux u v y u v
-
= = = -

Th vo (15.1) cho ta phng trỡnh phỏp tuyn l
0 0 0 0 0
0 0 0
cos sin
sin cos
x v u y v u z ku
k u k u v
- - -
= =
- -
.
Bi 16. Chng minh rng th tớch ca t din to bi t cỏc mt phng ta v mt phng tip
xỳc
(
)
p
ca mt
(
)
S

cú phng trỡnh tham s húa
( )
3
, , ,
a
r u v u v
uv
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
khụng ph thuc vo tip
im, vi
a
ẻ
Ă
.

19

Gii. Phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
ti im
(
)
(
)
0 0

,
M r u v S
= ẻ cú dng l
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
=
(17.1).
Vi
( ) ( )
3
0 0 0 0 0 0 0
0 0
, , , , ,
a
M r u v x y z u v
u v
ổ ử
= = =
ỗ ữ

ố ứ
,
( ) ( )
3
0 0
2
0 0
' , ' , ' , ' 1,0,
u u u u
a
r u v x y z
u v
ổ ử
= = -
ỗ ữ
ố ứ

( ) ( )
3
0 0
2
0 0
' , ' , ' , ' 0,1,
v v v v
a
r u v x y z
u v
ổ ử
= = -
ỗ ữ

ố ứ
.
Th vo (17.1) cho ta phng trỡnh mt phng tip xỳc
(
)
p
l
3 3 3
2 2
0 0 0 0 0 0
3
0
a a a
x y z
u v u v u v
+ + - =
.
Ta li cú
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
3
0 0
0 3 ,0,0
0 0,3 ,0
3

0 0,0,
x A u
y B v
a
z C
u v
p
p
p
ỡ
ù
ầ =
ù
ù
ầ =
ớ
ù
ổ ử
ù
ầ =
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
.Do ú
3
3
0 0
0 0
1 1 3 9

3 3
6 6 2
ABCD A B C
a
V x x x u v a
u v
= = =
iu
ny chng t th tớch t din
ABCD
khụng ph thuc vo vic chn im
(
)
(
)
0 0
,
M r u v S
= ẻ .
Bi 17. Xõy dng ỏnh x Weingarten ca mt
(
)
S
cú tham s húa
( )
2 2
, , ,
2
u v
r u v u v

ổ ử
+
=
ỗ ữ
ố ứ
.
Gii. Ly o hm theo bin
,
u v
ta cú
(
)
(
)
(
)
(
)
' , 1,0, , ' , 0,1,
u v
r u v u r u v v
= =
Suy ra
( )
2 2 2 2 2 2
' '
1
, , ,
' '
1 1 1

u u
u u
r r
u v
n u v
r r
u v u v u v
ổ ử

= = - -
ỗ ữ

+ + + + + +
ố ứ

Nờn
( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
' , , ,
1 1 1
u
v uv u
n u v
u v u v u v
ổ ử

ỗ ữ
- - -
=
ỗ ữ
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ

( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
' , , ,
1 1 1
v
uv u v
n u v
u v u v u v
ổ ử
ỗ ữ
- - -
=
ỗ ữ
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ

Xõy dng ỏnh x
(
)
(
)
:
M M
h T S T S
đ tha món

( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
' ' , ,
1 1 1
h
u u
v uv u
r n
u v u v u v
ổ ử
ỗ ữ
+
ắắđ- =
ỗ ữ
ỗ ữ
+ + + + + +

ố ứ


20

( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
' ' , ,
1 1 1
h
v v
uv u v
r n
u v u v u v
ổ ử
ỗ ữ
- +
ắắđ- =
ỗ ữ
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ

Khi ú
( ) ( )
( ) ( )

2
3 3
2 2 2 2
2 2
2
3 3
2 2 2 2
2 2
1
' ' '
1 1
1
' ' '
1 1
u u v
v u v
v uv
n r r
u v u v
uv v
n r r
u v u v
ỡ
+
- = -
ù
ù
+ + + +
ù
ớ

+
ù
- = - +
ù
+ + + +
ù
ợ

Suy ma trn ca phộp bin i l
( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
2 2 2 2
2 2
2
3 3
2 2 2 2
2 2
1
1 1
1
1 1
v uv
u v u v
A
uv u
u v u v
ộ ự
+ -

ờ ỳ
ờ ỳ
+ + + +
ờ ỳ
=
ờ ỳ
- +
ờ ỳ
ờ ỳ
+ + + +
ở ỷ

Do vy
h
l ỏnh x Weingarten.
Bi 18. Cho mt
(
)
S
cú dng ton phng c bn th nht
(
)
2 2 2 2
u v
I a u b a
= + +
. Tớnh gúc ti
giao im ca 2 ng cong
(
)

(
)
1 2
: 0, : 0
C u v C u v
+ = - =
.
Gii. Gi
(
)
(
)
1 2
A C C
= ầ
cú ta l nghim ca h
( )
0
0,0
0
u v
A
u v
+ =
ỡ
=
ớ
- =
ợ

Dng tham s ca
( )
1
1
1
:
u t
C
v t
=
ỡ
ớ
= -
ợ
v
( )
1
2
1
:
u t
C
v t
=
ỡ
ớ
=
ợ

p dng cụng thc tớnh gúc gia hai ng cong

(
)
(
)
1 2
,
C C
cho ta
2 2
2 2
1
os
1
a u
c
a u
f
- -
=
+ +

Suy ra gúc gia hai ng cong
(
)
(
)
1 2
,
C C
ti im

(
)
0,0
A = l
2
2
1
os
1
a
c
a
f
-
=
+
.
Bi 19. Cho mt
(
)
S
cú dng ton phng c bn th nht
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2

u v
I a u a a
= + + . Tỡm chu vi
ca tam giỏc cong trờn
(
)
S
xỏc nh bi
2
1
2
1
u av
v
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ
.
Gii. Xột h trc ta
(
)
0
uv
cho ta cỏch xỏc nh cỏc nh ca tam giỏc
ABC
.

Ta thy rng
2
1
2
u av
=
giao vi ng
2
1
2
u av
= -
cho ta mt im
(
)
0,0
A =

Tng t ng
2
1
2
u av
=
giao vi ng
1
v
=
cho ta mt im
,1

2
a
C
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ


21

Tng t ng
2
1
2
u av
= -
giao vi ng
1
v
=
cho ta mt im
,1
2
a
B
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ

Khi ú:
ằ
:
1
u t
BC
v
=
ỡ
ớ
=
ợ
,
,
2 2
a a
t
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ

p dng cụng thc tớnh di cung ta c
ằ
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
' 2 ' ' '

a a
BC
a a
l E u Fu v G v dt dt a
- -
= + + = =
ũ ũ
.

ằ
2
1
:
2
u at
AC
v t
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ
,
[
]
0,1
t ẻ
p dng cụng thc tớnh di cung ta c

ằ
( ) ( )
1
2 2
0
' 2 ' ' '
AC
l E u Fu v G v dt
= + + =
ũ

( )
1
2
0
7
2
2 6
a
t dt a
= + =
ũ

Tng t ta cng cú
ằ
7
6
AB
l a
= . Do vy chu vi tam giỏc l

ằ
ằ
ằ
10
3
AB AC BC
l l l a
+ + = .


BI TP T GII


Bi 1. Chng minh rng ỏnh x
(
)
{
}
( ) ( )
( )
2 3
2 2
: , | 0, 0
, , , ,
r U u v u v
u v r u v u uv v
= ẻ > > đ
=
Ă Ă
a

l tham
s húa mt trong
3
Ă
.
Bi 2. Xột tham s húa
(
)
(
)
, ,
u v r u v
a
ca mt
(
)
S
trong
3
Ă
. Chng minh rng vộct
(
)
: ' '
M u u v v
a T S a a r a r
ẻ = +
xỏc nh mt phng chớnh ca
(
)

S
ti
(
)
,
M r u v
=
khi v ch khi
2 2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-
=
, vi
, , ; , ,
E F G L M N
l h s ca dng ton phng c bn th nht, th
hai.
Bi 3. Chng minh rng im
M
thuc
(
)
S
trong
3
Ă

l im rn ca
(
)
S
khi v ch khi cú mt
trong hai iu kin:
Phan
3


22

i) Trong mọi tham số hóa
(
)
(
)
, ,
u v r u v
a
của mặt
(
)
S
trong một lân cận của điểm
M
, giá trị
tại
M
của các hệ số của dạng cơ bản thứ hai tỉ lệ với dạng cơ bản thứ nhất i.e.

L M N
E F G
= =
.
ii)
2
H K
=

Bài 4. Cho mặt tròn xoay
(
)
S
có tham số hóa
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, cos , sin ,
r u v u v u v u
j j f
= với
(
)

(
)
2 2
' ' 1
j f
+ =
. Chứng minh rằng độ cong Gauss
''
K
j
j
= -
.
Bài 5. Cho mặt
(
)
S
có tham số hóa
(
)
(
)
, sin , cos ,
r u v u v u v v
= .
a) Tính diện tích của tam giác cong trên
(
)
S
xác định bởi

0
0 sin
0
u v
v v
£ £
ì
í
£ £
î
.
b) Tính chu vi của tam giác này.
c) Tìm các góc của tam giác.
Bài 6. Tìm những đường cong giao với đường
ons
v c t
=
tạo thành một góc không đổi
f
trên mặt
(
)
S
có tham số hóa
( )
(
)
(
)
2 2

, cos , sin , ln
r u v u v u v a u u a
= + -
.
Bài 7. Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ của các mặt có tham số hóa.
a)
(
)
(
)
, cos cos , cos sin , sin
r u v R u v R u v R u
=
b)
(
)
(
)
, cos cos , cos sin , sin
r u v a u v a u v c u
=
c)
( )
, sin cos , sin sin , ln tan cos
2
u
r u v a u v a u v a u
æ ö
æ ö
= +

ç ÷
ç ÷
è ø
è ø

Bài 8. Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt
3
xyz a
=
.
Bài 9. Cho mặt
(
)
S
có tham số hóa
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , os , sin
r u v u u c u
c m j m j
=
, với

(
)
0
u
m
>
.
a) Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt
(
)
S
.
b) Tính độ cong Gauss tại một điểm tùy ý trên mặt
(
)
S
.
c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt
( )
2 2
2 2
ln
a a u
u a a u
u
c
æ ö
+ -
= ± - -
ç ÷

ç ÷
è ø
,
(
)
u u
m
=
.
d) Tính độ cong trung bình của mặt
(
)
S
.
e) Tìm phương trình
(
)
u
m m
= trong trường hợp
(
)
u u
c
=
để
0
H
=
tại mọi điểm trên mặt.

Bài 10. Tìm độ cong chính của trên mặt
( ) ( )
, ,
2 2 2
a b uv
x u v y u v z
= - = + =
.

23

Bài 11. Véctơ
a
r
là phương tiệm cận nếu
(
)
0
II a
=
. Một đường thẳng trên mặt là tiệm cận nếu
tiếp tuyến tại mọi điểm có phương tiệm cận. Đường tiệm được xác định bởi
(
)
0
M
K a
=
v
hay

phương trình
(
)
(
)
2 2
2 0
L du Mdudv N dv
+ + =
. Tìm đường tiệm cận của mặt sau đây.
a)
2 3 4 2
2
, ,
3
x u v y u uv z u u v
= + = + = +
.
b)
2
z xy
=

c)
x y
z a
y x
æ ö
= +
ç ÷

è ø

Lời kết !
Hình vi phân là môn học khó, đòi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷ năng tính toán
tốt mà tài liệu tiếng việt viết về Hình Học Vi Phân rất ít, chủ yếu là tài liệu tiếng anh. Vì thời gian
hoàn thành tài liệu hỗ trợ này rất gấp nên không tránh những sai xót mong nhận được ý kiến đóng
góp của các bạn.
Mọi ý kiến đóng góp các bạn gởi về theo địa chỉ mail .
Xin chân thành cám ơn!
HẾT