tai lieu on thi cao hoc chuyen nganh sinh hoc mon toan cao cap thong ke(thi vao DH sp Ha noi)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (432.04 KB, 41 trang )
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
NI DUNG ễN TP
MễN THI: TON CAO CP THNG Kấ
(DNH CHO THI TUYN SINH CAO HC NGNH: SINH HC)
PHN I: TON CAO CP
1. Cỏc kin thc ph tr
( thi s khụng hi trc tip vo cỏc vn ny nhng thớ sinh phi nm c vi yờu cu v
bit vn dng chỳng khi gp trong cỏc vn liờn quan khỏc).
1.1. Gii h phng trỡnh tuyn tớnh.
1.2. Cỏc hm s s cp (min xỏc nh, tớnh cht v dng th).
1.3. Tỡm o hm, vi phõn hm mt bin.
1.4. Tỡm gii hn hm s khi x
.
1.5. Tớnh tớch phõn bt nh v tớnh tớch phõn xỏc nh, tớch phõn suy rng loi I.
2. Phng trỡnh vi phõn
2.1. Nghim riờng v nghim tng quỏt
2.2. Gii phng trỡnh vi phõn dng bin s phõn ly, ng cp, tuyn tớnh cp 1, Becnui, vi
phõn ton phn.
2.3. Gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 2 h s hng s vi v phi dng e
x
P
n
(x)
(cosx sinx) (phng phỏp tỡm dng nghim riờng) v vi v phi tu ý (phng phỏp bin
thiờn hng s).
2.4. H 2 phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh vi h hng s (trng hp cú v phi).
PHN II: CC KT QU C BN CA XC SUT
1. Hoỏn v, t hp, chnh hp, nh thc Newton
2. Xỏc sut
2.1. Bin c. Quan h gia cỏc bin c.
2.2. nh ngha xỏc sut c din v nh ngha thng kờ.
2.3. Tớnh cht ca xỏc sut.
2.4. Cụng thc cng xỏc sut.
2.5 Xỏc sut cú iu kin. Khỏi nim c lp ca cỏc bin c. Cụng thc nhõn xỏc sut.
2.6. Cụng thc xỏc sut y v Bayes.
2.7. Dóy phộp th Bemoulli. nh ngha Pn (m.p) - S cú kh nng nht.
3. Bin ngu nhiờn - hm phõn phi
3.1. i lng ngu nhiờn: ri rc, liờn tc, bng phõn phi xỏc xut, hm mt .
3.2. Hm phõn phi: nh ngha tớnh cht.
3.3. Cỏc s c trng ca i lng ngu nhiờn: k vng, phng sai, Mod, Median, phõn
v.
3.4. Cỏc phõn phi thng gp: Nh thc, Poisson, chun, u, m,
2
, student
PHN III: THNG Kấ NG DNG
1. Mu ngu nhiờn v c trng mu
X
, s
2
. Phõn b ca
X
, s
2
trong mt s trng hp.
Cỏch tớnh
X
, s
2
1
Tµi liÖu «n thi cao häc chuyªn ngµnh Sinh häc – Biªn so¹n: NguyÔn V¨n C«ng
2. Ước lượng
2.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất.
2.2. Ước lượng khoảng cho kỳ vọng, phương sai và xác suất. Độ chính xác ước lượng và cơ
mẫu.
3. Kiểm định giả thiết
3.1. Kiểm định giả thiết:
µ = µo với µ ≠ µo , µ<µo , µ > µo
p = po với p ≠ po , p < po , p > po
µ1 = µ2 với µ1 ≠ µ2 , µ1 < µ2 , µ1 > µ2
p1 = p2 với p1 ≠ p2 , p1 < p2 , p1 > p2
3.2. Kiểm tra sự phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm.
3.3. Kiểm tra tính độc lập.
3.4. So sánh nhiều tỷ lệ.
3.5. Tiêu chuẩn phi tham số: Tiêu chuẩn dấu của Wilcoxon, tiêu chuẩn Mann-Whiney.
4. Hồi quy và tương quan
4.1. Hệ số tương quan. Ý nghĩa, cách tính hệ số tương quan mẫu.
4.2. Đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm, sai số.
4.3. Hồi quy phi tuyến tính (trường hợp có thể tuyến tính hoá được).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. P.E Đankô, A.G. Pôpôp…, Bài tập toán cao cấp phần I và II, Nxb “Mir” 1983 (Tiếng
Việt).
2. Nguyễn Đình Trí…, Toán cao cấp (tập 1, 2, 3), Nxb Giáo dục, 1996.
3. Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia 1996, 1997.
4. Nguyễn Đình Cử, Trương Giêu, Bài tập xác suất và thống kê toán, Đại học Kinh tế Quốc
dân, 1992.
Tài liệu 1 và 3 là tài liệu tham khảo chính.
2
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
Phần I Toán cao cấp
Chơng i Ma trận, định thức, hệ ph ơng trình tuyến tính
A. tóm tắt lí thuyết
I. Ma trận.
1. Khái niệm về ma trận.
- Cho hai số dơng m, n; ma trận cỡ m x n là một bảng gồm m x n số và đợc xếp thành m hàng, n
cột và có dạng nh sau:
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
=
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
)
- Trong ma trận A, phần tử
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận.
- Ví dụ:
A =
161310
9611
732
A là ma trận cỡ 3x3 gồm 9 số, đợc xếp vào 3 hàng và 3 cột
B =
1
2
5
7
B là ma trận cỡ 4x1 gồm 4 số đợc viết thành 4 hàng và 1 cột
C =
975
462
1170
8511
C là ma trận cỡ 4x3 gồm 12 số đợc viết thành 4 hàng và 3 cột
2. Các dạng ma trận.
2.1. Ma trận vuông cấp n.
- Ma trận cỡ nxn đợc gọi là ma trận vuông cấp n và có dạng:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
=
[ ]
ij
a
nxn
(i=
n,1
;j =
n,1
)
- Trong ma trận vuông, các phần tử aii (i =
n,1
) gồm a
11
, a
22
,...,a
nn
đợc gọi là các phần tử chéo,
đờng thẳng xuyên qua các phần tử chéo đợc gọi là đờng chéo chính; đờng chéo gồm các phần tử a
i,n+1-
i
(i =
n,1
) đợc gọi là đờng chéo phụ của ma trận.
- Ví dụ:
A =
161310
9611
732
A là ma trận vuông cấp 3, các phần tử 2; -6; 16 đợc gọi là các
phần tử chéo, đờng thẳng nối các phần tử 2; -6 và 16 đợc gọi là đờng chéo chính
B =
70
213
B là ma trận vuông cấp 2, các phần tử 13;7 đợc gọi là các phần tử
chéo
3
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
2.2. Ma trận hàng và ma trận cột.
- Ma trận cỡ 1xn đợc gọi là ma trận hàng và có dạng:
[ ]
n
aaa
11211
...
=
[ ]
i
a
1
1xn
trong đó (i
=
n,1
)
- Ma trận cỡ nx1 đợc gọi là ma trận cột và có dạng:
1
21
11
...
n
a
a
a
=
[ ]
1i
a
nx1
trong đó (i =
n,1
)
- Ví dụ:
A =
[ ]
7531
A là ma trận hàng cỡ 1x4
B =
6
4
2
B là ma trận cột cỡ 3x1
2.3. Ma trận tam giác.
- Ma trận vuông cấp n có các phần tử a
ij
= 0 với i>j đợc gọi là ma trận tam giác trên và có
dạng:
nn
n
n
a
aa
aaa
...00
............
...0
...
222
11211
hoặc
nn
n
n
a
aa
aaa
222
11211
...
...
- Ma trận vuông cấp n có các phần tử a
ij
= 0 với i<j đợc gọi là ma trận tam giác dới và có dạng:
nnnn
aaa
aa
a
...
............
0...
0...0
21
2221
11
hoặc
nnnn
aaa
aa
a
...
......
21
2221
11
2.4. Ma trận chéo và ma trận đơn vị.
- Ma trận vuông cấp n có các phần tử a
ij
= 0 với i
j đợc gọi là ma trận chéo và có dạng:
nn
a
a
a
...00
............
0...0
0...0
22
11
hoặc
nn
a
a
a
...
22
11
- Ma trận chéo có các phần tử a
ii
= 1 (i =
n,1
) đợc gọi là ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là I
n
và
có dạng:
1...00
............
0...10
0...01
hoặc
1
...
1
1
2.5. Ma trận chuyển vị.
- Ma trận chuyển vị của ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
là ma trận đợc thành lập từ ma trận A bằng cách
đổi hàng thành cột, cột thành hàng
- Ma trận chuyển vị của ma trận A đợc kí hiệu là A
T
: A
T
=
[ ]
ji
a
nxm
4
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
- Ví dụ: A =
161310
9611
732
A
T
=
1697
1363
10112
2.6. Ma trận đối.
- Ma trận đối của ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) là ma trận đợc kí hiệu là - A và đợc
xác định nh sau: - A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
)
- Ví dụ: A =
161310
9611
732
- A =
161310
9611
732
2.7. Ma trận bằng nhau.
- Hai ma trận A và B đợc gọi là bằng nhau nếu nó có cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị trí bằng
nhau, tức là:
+ A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
); B =
[ ]
ij
b
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
)
+ a
ij
= b
ij
- Khi A bằng B ta viết A = B
- Ví dụ: A =
92
38
76
51
; B =
hg
fe
dc
ba
A = B
a = 1; b= -5; c = 6; d = 7; e = 8; f = 3; g = -2; h = 9
2.8. Ma trận bậc thang.
- Ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) có a
ij
= 0 với
i,j : i>j đợc gọi là ma trận bậc thang.
- Ví dụ: A =
5800
2170
4031
3. Các phép toán với ma trận.
3.1. Phép cộng ma trận.
a. Định nghĩa.
- Cho hai ma trận cùng cỡ mxn: A =
[ ]
ij
a
mxn
, B =
[ ]
ij
b
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
), tổng của ma
trận A và ma trận B là ma trận C cỡ mxn đợc xác định bởi:
C = A + B =
[ ]
ij
c
mxn
=
[ ]
ijij
ba
+
mxn
với c
ij
= a
ij
+ b
ij
, (
i =
m,1
;
j =
n,1
)
- Ví dụ:
A =
41
32
; B =
32
75
A + B =
+
++
3421
7352
=
11
107
b. Tính chất.
A + B = B + A ( A và B cùng cỡ )
A + 0 = 0 + A = A
A + (- A ) = ( - A ) + A = 0
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( A , B , C là các ma trận cùng cỡ )
Chú ý: Gọi M
mxn
là tập gồm các ma trận cùng cỡ mxn, khi đó ( M
mxn
, +) đợc gọi là
một nhóm giao hoán.
3.2. Phép hiệu ma trận.
a. Định nghĩa.
5
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
- Cho hai ma trận cùng cỡ mxn: A =
[ ]
ij
a
mxn
, B =
[ ]
ij
b
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
), hiệu của ma
trận A và ma trận B là ma trận C cỡ mxn đợc xác định bởi:
C = A - B =
[ ]
ij
c
mxn
=
[ ]
ijij
ba
mxn
với c
ij
= a
ij
- b
ij
, (
i =
m,1
;
j =
n,1
)
- Ví dụ:
A =
41
32
; B =
32
75
A - B =
)3(421
7352
=
73
43
b. Tính chất.
A - B = - B + A ( A và B cùng cỡ )
A - ( B
C ) = A - B
C ( A, B, C là cùng cơ )
A - 0 = A; 0 - A = - A
3.3. Nhân ma trận với một số.
a. Định nghĩa.
- Cho A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) và một số thực k ( k
R ), tích của A và k là ma trận
cỡ mxn, kí hiệu là kA và đợc xác định bởi: kA =
[ ]
ij
ka
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
).
- Ví dụ: A =
92
38
76
51
; k = -3
kA =
9).3()2).(3(
3).3(8).3(
7).3(6).3(
)5).(3(1).3(
=
276
924
2718
153
b. Các tính chất.
k( A
B ) = kA
kB
( k + h )A = kA + hA
k(hA) = (kh)A
1.A = A; 0.A = 0
3.4. Phép nhân ma trận với ma trận.
a. Định nghĩa.
- Tích của ma trận A =
[ ]
mxp
aij
a
và ma trận B =
[ ]
pxn
ij
b
(kí hiệu là AB : A bên trái, B bên
phải) là ma trận C =
[ ]
mxn
ij
c
trong đó các phần tử c
ij
đợc xác định bởi công thức:
C
ij
= a
i1
b
1j
+a
i2
b
2j
+ a
i3
b
3j
+...+ a
ip
b
pj
=
=
p
k
kjik
ba
1
( ta có thể nói tắt c
ij
bằng hàng i của A
nhân với cột j của B)
- Ví dụ:
(1):
[ ]
2222
21
12
82
123
4.21.2
4.31.3
41
2
3
xx
x
x
=
=
(2):
[ ] [ ] [ ]
11
11
12
21
112431
2
3
.41
x
x
x
x
xx
=+=
(3):
2222
23
32
189
1810
4.22.12.41.23.11.4
4.32.22.11.33.21.1
41
23
21
.
214
321
xx
x
x
=
++++
++++
=
(4):
3333
32
23
11617
13811
749
2.43.11.42.14.41.1
2.23.31.22.34.21.3
2.23.11.22.14.21.1
214
321
.
41
23
21
xx
x
x
=
+++
+++
+++
=
- Chú ý:
6
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
+ Muốn nhân AB ( A bên trái, B bên phải) phải có điều kiện là số cột của A bằng số hàng
của B; muốn nhân BA (B bên trái, A bên phải) phải có điều kiện là số cột của B phải bằng số hàng
của A. Do đó khi nhân AB đợc thì cha chắc đã nhân BA đợc và ngợc lại, nhng khi A và B là hai ma
trận vơng cùn cấp thì nhân AB và BA đều đợc.
+ Khi nhân AB và BA đợc thì cha chắc AB = BA và có những ma trận A
0 và B
0 nhng
AB = 0.
b. Chuyển vị của tích hái ma trận.
- Giả sử có ma trận A =
[ ]
mxp
aij
a
và ma trận B =
[ ]
pxn
ij
b
thì ta nhân AB đợc và AB có cỡ là mxn.
- Qua phép chuyển vị ta có A
t
=
[ ]
pxm
i
a
ạ
và B
t
=
[ ]
nxp
ji
b
, ta thấy rằng số cột của B
t
bằng số hàng
của A
t
. Vậy nhân B
t
A
t
đợc và B
t
A
t
có cỡ mxn. Vậy ta có thể kết luận:
(AB)
t
= B
t
A
t
- Ví dụ: A =
22
41
21
x
; B =
22
13
12
x
Ta có: AB =
2x2 2x2
1.2 2.3 ( 1).( 1) 2.1 4 3
1.2 4.3 1.( 1) 4.1 14 3
ộ ự ộ ự
- + - - +
ờ ỳ ờ ỳ
=
ờ ỳ ờ ỳ
+ - +
ở ỷ ở ỷ
(AB)
t
=
22
33
144
x
Ta lại có: A
t
=
22
42
11
x
; B
t
=
22
11
32
x
B
t
A
t
=
22
11
32
x
22
42
11
x
=
2222
33
144
4.11).1(2.1)1).(1(
4.31.22.3)1.(2
xx
=
++
++
Vậy (AB)
t
= B
t
A
t
=
22
33
144
x
c. Một số tính chất.
A(B+C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA
A(BC) = (AB)C
k(BC) = (kB)C = B(kC) (k là hằng số)
AI = IA =A
A ( I là ma trận đơn vị )
II. Ma trận con và định thức.
1. Ma trận con.
- Xét ma trận vuông cấp n: A =
[ ]
ij
a
nxn
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
(i=
n,1
;j =
n,1
), nếu ứng với mỗi
phần tử a
ij
của A ta bỏ đi hàng i và cột j chứa a
ij
thì ta thu đợc một ma trận con chỉ còn n-1 hàng và
n1 cột, ma trận này đợc gọi là ma trận con ứng với phần tử a
ij
của A và kí hiệu là M
ij
.
- Ví dụ: với A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
thì ta có tập các ma trận con cấp 2 của A là:
M
11
=
3332
2322
aa
aa
(ứng với a
11
của A); M
12
=
3331
2321
aa
aa
( ứng với a
12
của A )
7
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
M
13
=
3231
2221
aa
aa
( ứng với a
13
của A ); M
21
=
3332
1312
aa
aa
( ứng với a
21
của A )
M
22
=
3331
1311
aa
aa
( ứng với a
22
của A ); M
23
=
3231
1211
aa
aa
( ứng với a
23
của A )
M
31
=
2322
1312
aa
aa
( ứng với a
31
của A ); M
32
=
2321
1311
aa
aa
( ứng với a
32
của A )
M
33
=
2221
1211
aa
aa
( ứng với a
33
của A )
2. Định thức của ma trận.
2.1. Định nghĩa.
- Định thức của ma trận A là 1 số thực, kí hiệu là det(A) và đợc xác định nh sau:
+ Nếu A là ma trận cấp 1: A =
[ ]
11
a
thì:
det(A) = a
11
.
+ Nếu A là ma trận vuông cấp 2: A =
2221
1211
aa
aa
thì:
det(A) = a
11
det(M
11
) a
12
det(M
12
) = a
11
a
22
a
12
a
21
( a
11
và a
12
là các phần tử của hàng 1 của ma trận A)
+ Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:
det(A) = a
11
det(M
11
) a
12
det(M
12
) + ...+(-1)
1+n
a
1n
det(M
1n
)
( a
11
; a
12
...a
1n
là các phần tử của hàng 1 trong ma trận A )
- Chú ý:
(1): Để kí hiệu định thức của ma trận A ngoài det(A) ngời ta còn dùng hai gạch đứng
đặt ở bên trái và bên phải các phần tử của ma trận A. Ví dụ:
A =
2221
1211
aa
aa
det(A) =
2221
1211
aa
aa
= a
11
a
22
a
12
a
21
(2): Định thức của ma trận cấp n đợc gọi là định thức cấp n; một định thức cấp n có
nhiều định thức con cấp n i ( i =
n,1
) khác nhau.
2.2. Các tính chất của định thức.
2.2.1. Tính chất 1: det(A
t
) = det(A)
2.2.2. Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của một định thức ta đợc một định thức
mới bằng định thức cũ đổi dấu.
Ví dụ:
21
43
43
21
=
2.2.3. Tính chất 3: Một định thức có hai hàng hay hai cột nh nhau thì bằng 0.
2.2.4. Tính chất 4: Ta có thể khai triển định thức theo bất cứ hàng hay cột nào
- Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở hàng i:
+
+
=
)
in
det(M
in
a...)
i2
det(M
i2
a)
i1
det(M
i1
a
1i
1)(det
- Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở cột j:
8
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
+
+
=
)
nj
det(M
nj
a...)
2j
det(M
2j
a)
1j
det(M
1j
a
j1
1)(det
- Ví dụ: xét
=
987
654
321
+ Tính
theo hàng 2:
+
=
+
87
21
6
97
31
5
98
32
4)1(
12
= 240
+ Tính
theo cột 3:
+
=
+
54
21
9
87
21
6
87
54
3)1(
31
= 240
2.2.5. Tính chất 5: Một định thức có một hàng hay một cột toàn là số 0 thì bằng 0.
2.2.6. Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng hay một cột của một định thức với
một số k thì đợc một định thức mới bằng định thức đó nhân với k.
Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng hay một cột có một thừa số chung ta có thể đa
thừa số chung đó ra ngoài dấu của định thức
2.2.7: Tính chất 7: Một định thức có hai hàng hay hai cột tỉ lệ với nhau thì bằng 0.
2.2.8: Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của một hàng hay một cột có dạng tổng của hai
số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức.
2.2.9: Tính chất 9: Nếu một định thức có một hàng hay một cột là tổ hợp tuyến tính của
các hàng hay các cột khác thì định thức ấy bằng 0.
2.2.10: Tính chất 10: Định thức không thay đổi nếu ta đồng thời cộng k lần (k
0) các
phần tử của một hàng vào một hàng khác hay cộng k lần các phần tử của một cột vào một cột khác.
Ví dụ:
516
754
312
21
HH
+
)2.(
+++
516
3)2(71)2(52)2(4
312
=
516
130
312
516
754
312
31
CC
+
)1.(
+
+
+
6)1(516
4)1(754
2)1(312
=
116
354
112
2.2.11. Tính chất 11: Các định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử chéo.
nn
n
n
a
aa
aaa
...00
............
...0
...
222
11211
= a
11
a
22
...a
nn
;
nnnn
aaa
aa
a
...
............
0...
0...0
21
2221
11
= a
11
a
22
...a
nn
2.3. Các phơng pháp tính định thức.
2.3.1. Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các tính chất.
2.3.2. Phơng pháp 2: áp dụng các phép biến đổi sơ cấp
a. Các bớc tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp về hàng và cột.
- Bớc 1: áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng và cột để đa định thức về dạng tam
giác, cụ thể ta có thể áp dụng các phép biến đổi sơ cấp sau:
Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của định thức: Tính chất 2
Nhân các phần tử của một hàng hay một cột với một số k
0:Tính chất 6
Cộng k lần các phần tử của hàng r (hoặc cột r) vào các phần tử tơng ứng ở hàng s
( hoặc cột s): Tính chất 10.
- Bớc 2: Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu đợc: Tính chất 11
9
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
b. Ví dụ: Tính
=
162
963
510
- áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng:
162
963
510
21
HH
-
162
510
963
31
)3/2( HH
+
-
+
614622
510
963
= -
5100
510
963
32
)10( HH
+
-
5500
510
963
= - 3.1.(-55) = 165
- áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về cột:
162
963
510
31
CC
-
261
369
015
21
)5/1( CC
+
-
25/291
35/399
005
32
)39/15( CC
+
-
39/1655/291
05/399
005
= - 5.(-39/5).165/39 = 165
2.4. Định thức của tích hai ma trận.
- Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có: det(AB) = det(A).det(B)
- Ví dụ: A =
12
13
; B =
85
31
=
=
=
23)det(
1)det(
143
172
B
A
AB
=
=
23)det()det(
23)det(
BA
AB
det(AB) = det(A)det(B)
- Chú ý: nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta còn có: det(kA) = k
n
det(A)
2.5. Định thức con.
- Cho A là ma trận cỡ mxn, định thức con cấp k (1
k
min
{ }
nm,
)của A là định thức đợc
suy ra từ A bằng cách bỏ đi m k hàng và n k cột.
- Ví dụ: Xét ma trận A =
43
2121
4112
2431
x
, ta có min
{ }
4,3
= 3 do đó k = 1,2,3:
+ Các định thức con cấp 1 của A là:
1
;
3
;
4
...
+ Các định thức con cấp 2 của A là:
12
31
;
12
41
...
+ Các định thức con cấp ba của A là:
121
112
431
;
221
412
231
;
211
412
241
;
212
411
243
III. Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận.
1. Ma trận nghịch đảo.
1.1. Định nghĩa.
- Ma trận A =
[ ]
ij
a
nxn
đợc gọi là ma trận khả đảo (hay khả nghịch) nếu tồn tại ma trận
10
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
B =
[ ]
ij
b
nxn
sao cho A.B = B.A = I
n
và lúc này ta gọi ma trận B là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
- Ma trận nghịch đảo của ma trận A thờng đợc kí hiệu là A
-1
.
1.2. Các định lí.
1.2.1. Định lí 1: Khi A có nghịch đảo thì ta nói A không suy biến và ma trận nghịch đảo A
-
1
của A là duy nhất.
1.2.2. Định lí 2: Ma trận A khả đảo hay có nghịch đảo khi và chỉ khi det(A)
0
1.2.3. Định lí 3: Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho B.A = I hoặc A.B = I thì
ta nói A khả đảo và B là nghịch đảo của A (B = A
-1
).
1.3. Cách tìm ma trận nghịch đảo.
1.3.1. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phần bù đại số.
a. Khái niệm về phần bù đại số.
- Phần bù đại số của phần tử a
ij
của ma trận A là một số c
ij
= (-1)
i+j
.D
ij
, trong đó D
ij
là
định thức con của ma trận con M
ij
ứng với phần tử a
ij
của ma trận A.
- Ví dụ: xét ma trận A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, ta có:
+ Ma trận con ứng với phần tử a
11
của A là: M
11
=
3332
2322
aa
aa
phần bù đại số
của a
11
là c
11
= (- 1)
1+1
det(M
11
) = a
22
a
33
a
23
a
32
, (với D
11
= det(M
11
))
+ Ma trận con ứng với phần tử a
21
của A là: M
21
=
3332
1312
aa
aa
phần bù đại số
của a
21
là c
21
= (- 1)
2+1
det(M
21
) = - (a
12
a
33
a
13
a
32
) = a
13
a
32
- a
12
a
33
, (với D
21
= det(M
21
))
+ Ma trận con ứng với phần tử a
33
của A là...
b. Định lí.
Nếu det(A)
0 thì ma trận A có nghịch đảo A
-1
, khi đó A
-1
đợc xác định một cách duy
nhất bởi công thức:
A
-1
=
t
C
A
.
)det(
1
=
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
A
...
............
...
...
)det(
1
21
22212
11.211
, trong đó C
t
là ma trận chuyển vị của ma
trận C =
[ ]
ij
c
nn
với các phần tử c
ij
= (-1)
i+j
.D
ij
.
c. Ví dụ: cho A =
801
352
321
, tìm A
-1
=?
Ta có:
det(A) = -1
0
A có nghịch đảo A
-1
Ta lại có các ma trận con ứng với các phần tử của A là:
M
11
=
80
35
; M
12
=
81
32
; M
13
=
01
21
11
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
M
21
=
80
32
; M
22
=
81
31
; M
23
=
01
21
M
31
=
35
32
; M
32
=
32
31
; M
33
=
52
21
==
==
==
==
==
==
==
==
==
1)det()1(
3)det()1(
9)det()1(
2)det()1(
5)det()1(
16)det()1(
5)det()1(
13)det()1(
40)det()1(
33
6
33
32
5
32
31
4
31
23
5
23
22
4
22
21
3
21
13
4
13
12
3
12
11
2
11
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
C =
137
2516
51340
C
t
=
125
3513
91640
Vậy A
-1
=
t
C
A
.
)det(
1
= (-1)
125
3513
91640
=
125
3513
91640
1.3.2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phơng pháp Gaus Jordan.
- Muốn tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =
[ ]
ij
a
nxn
; áp dụng định lí 3 ta chỉ cần tìm
ma trận B =
[ ]
ij
b
nxn
sao cho A.B =I, khi đó B = A
-1
.
- Cách tìm B bằng phơng pháp Gaus Jordan với các phép biến đổi sơ cấp nh sau:
+ Viết ma trận đơn vị I bên phía phải ma trận A.
+ áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đa dần ma trận A về ma trận đơn vị I ,
tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp đó vào ma trận I.
+ Khi A đã biến đổi thành I và I đợc biến đổi thành ma trận khác thì ma trận này chính
là nghịch đảo của A.
- Ví dụ: cho A =
801
352
321
, tìm A
-1
bằng phơng pháp Gaus Jordan?
Ta có:
)
(
IA
=
100
010
001
801
352
321
++
2131
)2(;)1( HHHH
101
012
001
520
310
321
++
1232
;)2( HHHH
125
012
011
100
310
031
+
23
)3( HH
125
3513
011
100
010
031
+
)1(;)3(
312
HHH
125
3513
91640
100
010
001
A
-1
=
125
3513
91640
1.4. Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận.
1.4.1. Định lí.
12
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
1.4.1.1. Định lí 1: Giả sử A =
[ ]
ij
a
nxn
và B =
[ ]
ij
b
nxn
là hai ma trận khả đảo, khi đó AB
cũng có khả đảo và (AB)
-1
= B
-1
A
-1
1.4.1.2. Định lí 2: Nếu A =
[ ]
ij
a
nxn
khả đảo và có nghịch đảo là A
-1
thì:
a. A
-1
cũng khả đảo và (A
-1
)
-1
= A.
b. A
m
cũng khả đảo và (A
m
)
-1
= (A
-1
)
m
với m
Z.
c.
k
0 ta có k.A cũng khả đảo và (kA)
-1
=
k
1
A
-1
.
1.4.2. Ví dụ.
2. Hạng của ma trận.
2.1. Định nghĩa.
- Hạng của ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
(kí hiệu là
(A) ) là cấp cao nhất của các định thức con khác
0 của A.
- Ví dụ: Ma trận A =
2121
4112
2431
có
(A) = 2 vì các định thức con cấp 3 của A đều
bằng 0 nhng các định thức con cấp 2 khác 0.
- Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra:
+ Mọi định thức con cấp k của A đều bằng 0 thì mọi định thức con cấp cao hơn k của A
cũng đều bằng 0.
+ Nếu
(A) = r
tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của A khác 0 và mọi định thức
con cấp r+1 của A đều bằng 0.
+ Nếu A có cỡ mxn và A
0 thì 0<
(A)
min(m,n).
+ Nếu A có cỡ nxn và
(A) = n
det(A)
0.
+ Nếu A có cỡ nxn và
(A) < n
det(A) = 0.
2.2. Tính chất.
- Hạng của ma trận O
mxn
là 0; hạng của ma trận A =
[ ]
11
a
với a
11
0 là 1.
- Với mọi ma trận vuông A ta có:
(A) =
(A
t
) .
- Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng có các phần tử khác 0.
- Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp dới đây:
+ Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận cho nhau.
+ Nhân các phần tử của một hàng hay một cột của ma trận với 1 số khác 0.
+ Cộng k lần các phần tử tơng ứng của 1 hàng hay 1 cột với 1 hàng hay 1 cột khác.
2.3. Cách tính hạng của ma trận.
a. Tính hạng của ma trận theo định nghĩa.
- Cách làm: Tính các định thức con của ma trận từ cấp 2 trở lên:
+ Giả sử ma trận có một định thức con cấp p khác 0, ta tính tiếp các định thức con cấp
p+1, nếu tất cả các định thức con cấp p+1 đều bằng 0 thì kết luận hạng của ma trận là p.
+ Nếu trong số các định thức con cấp p+1 khác 0 thì ta tính tiếp các định thức con cấp
p+2, nếu tất cả các định thức con cấp p+2 đều bằng 0 thì hạng của ma trận là p+1...
- Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =
43
4101
9423
5321
x
Giải:
13
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
Vì A có cỡ là 3x4
A có các định thức con thuộc các cấp 1; 2 và 3.
Ta có 1 định thức con cấp 2 của A là
23
21
= - 4
0 và các định thức con cấp 3 của A
là:
101
423
321
= 0;
411
943
531
= 0;
401
923
521
= 0;
410
942
532
= 0
Vậy
(A) = 2.
b. Phơng pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp.
- Cách làm:
+ Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng ta chuyển ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
thành ma trận
B =
[ ]
ij
b
mxn
có dạng bậc thang:
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
B =
[ ]
ij
b
mxn
=
000000
000000
...000
..................
......0
......
2222
111211
pnpp
np
np
bb
bbb
bbbb
với b
ij
= 0 và
i > j hay i > p và b
ii
0; i =
p,1
.
+ Vì
(A) =
(B) mà
(B) = số hàng có các phần tử khác 0 của nó (p hàng) nên ta kết
luận:
(A) =
(B) = p .
- Ví dụ: Tìm hạng của A =
54
204841
54252
127962
50231
x
Giải:
Ta có A
+
141312
;2;2 HHHHHH
54
154610
154610
27500
50231
x
3234
; HHHH
54
00000
27500
154610
50231
x
= B
(B) = 3 ( vì có 3 hàng có các phần tử khác 0)
(A) = 3.
IV. Hệ phơng trình tuyến tính.
1. Định nghĩa.
- Ta gọi hệ phơng trình tuyến tính là 1 hệ gồm m phơng trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số.
+ Dạng tổng quát của 1 hệ phơng trình tuyến tính:
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
......................................
...
...
2211
22222121
11212111
(1), trong đó:
x
j
(j =
n,1
) là các ẩn số.
a
ij
( i =
m,1
; j=
n,1
) là hệ số ở phơng trình thứ i của ẩn x
j
.
14
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
b
i
(i =
m,1
) là vế phải của phơng trình thứ i.
+ Dạng ma trận của một hệ phơng trình tuyến tính: Hệ (1) có thể đợc viết dới dạng ma trận:
AX = B, trong đó:
A =
[ ]
ij
a
mxn
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
, B =
[ ]
i
b
1
1xm
=
m
b
b
b
...
2
1
=
[ ]
T
m
bbb ...
21
X =
[ ]
j
x
1
1xn
=
n
x
x
x
...
2
1
=
[ ]
T
n
xxx ...
21
- Chú ý:
+ Khi m = n ta có một hệ vuông với n phơng trìnhvà n ẩn.
+ Khi b
i
= 0
i ta có một hệ thuần nhất.
+
(A) của A đợc gọi là hạng của hệ phơng trình (1)
2. Các dạng hệ phơng trình tuyến tính đặc biệt.
2.1. Hệ Cramer.
2.1.1. Định nghĩa.
Một hệ phơng trình tuyến dạng AX = B tính đợc gọi là hệ cramer nếu nó có n phơng trình,
n ẩn và det(A)
0, trong đó:
A =
[ ]
ij
a
nxn
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
, B =
[ ]
n
b
1
1xn
=
n
b
b
b
...
2
1
2.1.2. Nghiệm của hệ Cramer.
- Định lí Cramer: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và đợc xác định bằng công thức: X = A
-
1
B hay x
i
=
)det(
)det(
A
A
i
i=
n,1
, trong đó det(A)
0; còn det(A
i
) là các định thức thu đợc từ A bằng
cách thay cột thứ i của A bằng cột các phần tử của B.
- Ví dụ. Giải hệ:
=+
=++
=+
832
30643
62
321
321
21
xxx
xxx
xx
Giải: Ta có
A =
321
643
021
, B =
8
30
6
, A
1
=
328
6430
026
; A
2
=
381
6303
061
; A
3
=
821
3043
621
det(A) = 44
0, det(A
1
) = - 40; det(A
2
) = 72; det(A
3
) = 152
Vậy các nghiệm của hệ đã cho là:
15
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
x
1
=
)det(
)det(
1
A
A
= -
44
40
= -
11
10
; x
2
=
)det(
)det(
2
A
A
=
44
72
=
11
18
; x
3
=
)det(
)det(
3
A
A
=
44
152
=
11
38
2.2. Hệ tam giác.
2.2.1. Hệ tam giác trên.
Là hệ có dạng:
=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
......................................
...
...
22222
11212111
với ma trận hệ số A =
nn
n
n
a
aa
aaa
222
11211
...
...
2.2.2. Hệ tam giác dới.
Là hệ có dạng:
=+++
=+
=
nnnnnn
bxaxaxa
bxaxa
bxa
...
......................................
2211
2222121
1111
với ma trận hệ số A =
nnnn
aaa
aa
a
...
......
21
2221
11
2.2.3. Phơng pháp giải.
Việc giải các hệ tam giác rất đơn giản ta chỉ việc giải lần lợt từ dới lên trân hoặc từ trên
xuống dới để tìm các ẩn số
2.3. Hệ thuần nhất.
2.3.1. Định nghĩa. Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (gọi tắt là hệ thuần nhất) là hệ có
dạng:
=+++
=+++
=+++
0...
......................................
0...
0...
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
hoặc AX = 0 trong đó A =
[ ]
ij
a
nxn
, X =
[ ]
j
x
1
1xn
, B = O
n1
= 0
2.3.2. Nghiệm của hệ thuần nhất.
a. Nghiệm tầm thờng.
- Định nghĩa: Các nghiệm x
1
= x
2
=....= x
n
= 0 đợc gọi là nghiệm tầm thờng của hệ
thuần nhất vì khi thay x
i
= 0
i=
n,1
vào các phơng trình ở vế trái của hệ thì các phơng trình đó
thoả mãn.
- Định lí: Hệ thuần nhất có nghiệm duy nhất tầm thờng khi và chỉ khi det(A)
0.
b. Nghiệm không tầm thờng.
- Định nghĩa: Nghiệm không tầm thờng của hệ thuần nhất là những nghiệm khác 0.
- Định lí: Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thờng khi và chỉ khi det(A) = 0.
c. Nghiệm cơ bản của hệ: Mỗi bộ số
{ }
i
x
với x
i
0 đợc gọi là một nghiệm cơ bản của
hệ thuần nhất.
3. Các phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính.
3.1. Phơng pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đợc hệ tơng đơng.
16
