khảo sát hàm số, hệ phương trình và phương trình lượng giác trong đề thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.9 MB, 42 trang )
KHAO SAT HAM SO VA UNG DUNG TRONG DE THI DAI HOC.pdf
HE PHUONG TRINH TRONG CAC KY THI TU DAI HOC.pdf
PHUONG TRINH LUONG GIAC TRONG CAC DE THI DAI HOC.pdf
TAI LIEU ON THI TOAN TREN DEN THI DAI
HOC
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2013
Cho hàm số
3 2
3 3 1 1
y x x mx
với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0
b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
0;
Hướng dẫn giải
Ta có :
2
' 3 6 3
y x x m
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
0;
khi và chỉ khi
' 0,
y
với mọi x > 0
Điều này tương đương
2
2 ,
m x x
với mọi x > 0
Xét hàm số
2
2
f x x x
với mọi x > 0. Ta có:
' 2 2; ' 0 1
f x x f x x
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi
m
1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2013
Cho hàm số
y x m x mx 2 3 1 6 1
3 2
với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
b. Tim m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc
với đường thẳng
y x
2
Hướng dẫn giải
x
1
Ta có :
y x m x m y' 6 6 1 6 ; ' 0
2
x m
Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
m
1
Ta có:
A m B m m m
1;3 1 , ; 3
3 2
Hệ số góc của đường thẳng AB là
k m
1
2
m
0
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
y x
2
khi và chỉ khi
k
1
m
2
Vậy giá trị m cần tìm là m = 0 hoặc m = 2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2013
Cho hàm số
y x mx m x 2 3 1 1 1
3 2
với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để đường thẳng
y x 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng
y x 1
là
x
0
2 3 1 1 1x mx m x x
3 2
2 3 0 *
x mx m
2
Yêu câu bài toán tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
9 8 0
m
m m
2
0
m
m
0
9
8
- Trang 1 -
E mail:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 2 -
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2013
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa dộ
Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB
Hướng dẫn giải
Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5, suy ra
2 1
;5 5 2 2;5
1
m
M m C m M
m
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là
' 2 2 5 : 3 11
y y x d y x
Do đó: d cắt trục Ox tại
11
;0
3
A
, cắt trục Oy tại
0;11
B
.
Diện tích tam giác OAB là
1 1 11 121
. . .11
2 2 3 6
S OA OB
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012
Cho hàm số
4 2 2
2 1 1
y x m x m
, với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =0
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 2
' 4 4 1 4 1
y x m x x x m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi
1 0 1
m m
(*)
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2
0; , 1; 2 1 , 1; 2 1
A m B m m C m m
.
Suy ra
2
1; 1
AB m m
và
2
1; 1
AC m m
Ta có
AB AC
nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi
. 0
AB AC
Tương đương
4
1 1 0.
m m
Kết hợp với điều kiện (*), ta được giá trị m cần tìm là m=0
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012
Cho hàm số
3 2 3
3 3 1
y x mx m
, m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng 48
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
0
' 3 6 ; ' 0
2
x
y x mx y
x m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
0
m
(*)
Các điểm cực trị của đồ thị là
3
0;3
A m
và
3
2 ;
B m m
Suy ra
3
2
OA m
và
; 2
d B OA m
Vậy
4 4
48 3 48 16 2
OAB
S m m m
(thỏa mãn)
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 3 -
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012
Cho hàm số
3 2 2
2 2
2 3 1 1
3 3
y x mx m
, m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
1 2 1 2
2 1
x x x x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
' 2 2 2 3 1
y x mx m
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt điều này tương đương
2
2 1 3
3
1 3 4 0
2 1 3
3
m
m
m
Ta có:
1 2
2
1 2
. 1 3
x x m
x x m
, do đó
2
1 2 1 2
0
2 1 1 3 2 1
2
3
m
x x x x m m
m
So sánh điều kiện ta được
2
3
m
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng -2012
Cho hàm số
2 3
1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1) biết rằng d vuông góc với đường
thẳng
2
y x
Hướng dẫn giải
+ (d) vuông góc với đường thẳng
2
y x
nên đường thẳng d có hệ số góc bằng -1
Hoành độ tiếp điểm là
0
x
:
0
0
2
0
0
1
' 1 1
2
1
o
x
y x
x
x
Với
0
0 :
x
phương trình tiếp tuyến d là
3
y x
Với
0
2 :
x
Phương trình tiếp tuyến d là
1
y x
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 4 -
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011
Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
:
d y x m
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A và B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm
m để tổng
1 2
k k
đạt giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải
Hoành độ giao điểm của
:
d y x m
và (C) là nghiệm của phương trình
1
2 1 1
2 1
x
x m x m x x
x
(Do
1
2
x
không phải là nghiệm của phương trình)
2
2 2 1 0 *
x mx m
2
' 2 2 0,
m m m
.
Suy ta đường thẳng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
Gọi
1
x
và
2
x
là hai nghiệm của (*), khi đó ta có
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2 1 2
4 8 4 2
1 1
2 1 2 1
4 2 1
x x x x x x
k k
x x
x x x x
Theo định lý Viet ta suy ra
2
2
1 2
4 8 6 4 1 2
k k m m m
Suy ra
1 2
k k
lớn nhất bằng – 2 , khi và chỉ khi m = -1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011
Cho hàm số
4 2
2 1 1
y x m x m
, m là tham số
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị A, B,C sao cho
;
OA BC
trong đó O là gốc tọa
độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 2
2
0
' 4 4 1 4 1 ; ' 0
1 1
x
y x x m x x x m y x
x m
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi : (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Điều này tương đương
1
m
(*)
Khi đó:
2
0; , 1; 1
A m B m m m
và
2
1; 1
C m m m
.
Suy ra
2 2
4 1 4 4 0 2 2 2;
OA BC m m m m m
thỏa mãn (*).
Vậy giá trị m cần tìm là
2 2 2
2 2 2
m
m
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 5 -
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm k để đường thẳng
2 1
y kx k
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi
: 2 1,
d y kx k
suy ra hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là
nghiệm của phương trình
2
2 1
2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 0 1
1
x
kx k x x kx k kx k x k
x
Đường thẳng (d) và đồ thị (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Điều này tương đương
2
0
0
0
3 2 2
0
6 1 0
3 2 2
k
k
k
k
k k
k
(*)
Khi đó:
1 1
; 2 1
A x kx k
và
2 2
; 2 1
B x kx k
trong đó
1
x
và
2
x
là hai nghiệm của phương trình (1)
Ta có :
1 2 1 2 1 2
,Ox , 2 1 2 1 4 2 0
d A d B Ox kx k kx k k x x k do x x
Áp dụng định lý Viet đối với phương trình (1) ta suy ra
1 3 4 2 0 3
k k k
thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy giá trị k cần tìm là k= - 3
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2011
Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với trục tung là
0;1
Hệ số góc của tiếp tuyến là
' 0 3
k y
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm với trục tung là
3 1
y x
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2010
Cho hàm số
3 2
2 1 1
y x x m m
với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
khi
1
m
b. Xác định m để đồ thị hàm số
1
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm là:
3 2 2
2
1
2 1 0 1 0
0 *
x
x x m m x x x m
x x m
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt khác 1.
Ký hiệu
2
1
; 1
g x x x m x
,
2
x
và
3
x
là hai nghiệm của phương trình (*)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 2
2 3
0
1 4 0
1
4
1 0 0
4
0
1 2 3
3
m
m
g m
m
m
x x
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
b. Xác định m để đường thẳng
2
y x m
cắt đồ thị hàm số
C
tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
(với O là gốc tọa độ)
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là
2
2 1
2 2 1 1 2 2 4 1 0 1
1
x
x m x x x m x m x m
x
Ta có:
2
8 0,
m
với mọi gía trị m, suy ra đường thẳng
2
y x m
luôn cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.
Gọi
1 1
;
A x y
và
2 2
;
B x y
trong đó
1
x
,
2
x
là các nghiệm của phương trình (1);
1 1 2 2
2 ; 2
y x m y x m
Ta có:
;
5
m
d O AB
và
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 8
5 20
2
m
AB x x y y x x x x
2 2
8 8
1
. ; 3 2
2 4 4
OAB
m m m m
S AB d O AB m
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 7 -
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2010
Cho hàm số
4 2
6
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
C
, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
1
1
6
y x
Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x
nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6.
Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
3
4 2 6 1
x x x
, suy ra tọa độ
của tiếp điểm là
1;4
Vậy phương trình tiếp tuyến là
6 1 4 6 10
y x y x
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao Đẳng -2010
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 1
y x x
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng - 1
Hướng dẫn giải
Tung độ của tiếp điểm là
1 1
y
Hệ số góc của tiếp tuyến là
' 1 3
k y
Phương trình tiếp tuyến là
1 1 3 2
y k x y x
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009
Cho hàm số
2
1
2 3
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
, biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O
Hướng dẫn giải
Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
1
Gọi tọa độ của tiếp điểm là
0 0
;
x y
, ta có
0
0
0
2
1
1
1
2 3
x
xx
Với
0 0
1, 1
x y
: Phương trình tiếp tuyến là
y x
(loại)
Với
0 0
2, 0
x y
: Phương trình tiếp tuyến là
2
y x
(thỏa mãn)
Vậy tiếp tuyến cần tìm là
2
y x
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2009
Cho hàm số
4 2
2 4 1
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
b. Với giá trị nào của tham số m, phương trình
2 2
2
x x m
có 6 nghiệm thực phân biệt ?
Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi:
2 2 4 2
2 2 4 2
x x m x x m
Phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt khi
và chỉ khi đường thẳng
2,
y
cắt đồ thị hàm
số
4 2
2 4
y x x
tại 6 điểm phân biệt
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị hàm số
4 2
2 4
y x x
là
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi
0 2 2 0 1
m m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009
Cho hàm số
4 2
3 2 3
y x m x m
có đồ thị là
m
C
, m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
khi
0
m
b. Xác định m để đường thẳng
1
y
cắt đồ thị hàm số
m
C
tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ nhỏ hơn 2
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
m
C
và đường thẳng
1
y
là
4 2
3 2 3 1
x m x m
Đặt
2
, 0
t x t
, phương trình trở thành:
2
1
3 2 3 1 0
3 1
t
t m t m
t m
Yêu cầu bài toán tương đương
0 3 1 4
1
1, 0
3 1 1
3
m
m m
m
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng -2009
Cho hàm số
3 2
2 1 2 2 1
y x m x m x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 2
b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị
hàm số có hoành độ dương
Hướng dẫn giải
Ta có :
2
' 3 2 2 1 2
y x m x m
Giá trị của m thỏa mãn yêu cần bài toán khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương
2
' 2 1 3 2 0
2 2 1
5
0 2
3 4
2
0
3
m m
m
S m
m
P
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008
Cho hàm số
2 2
3 2 2
1 ,
3
mx m x
y
x m
với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
khi
1
m
b. Xác định giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1
bằng
0
45
.
Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi:
2 2
3 2 2
6 2
2
3 3
mx m x
m
mx
x m x m
+ Khi
1
3
m
thì đồ thị hàm số không tồn tại hai đường tiệm cận
+ Khi
1
3
m
đồ thị hàm số có hai tiệm cận:
1 2
: 3 3 0, 2 2 0
d x m x m d mx mx y
Vector pháp tuyến của
1
d
và
2
d
lần lượt là
1 2
1;0 , ; 1
n n m
Góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
d
bằng
0
45
khi và chỉ khi
1 2
0
2
1 2
.
2
cos45 1
2
1
n n
m
m
m
n n
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008
Cho hàm số
3 2
4 6 1 1
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
1; 9
M
.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng
với hệ số góc k và đi qua điểm
1; 9
M
có phương trình
9
y kx k
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
3 2
2
4 6 1 1 9
12 12
x x k x
x x k
Thay k vào phương trình trên ta được
2
3 2 2
1
4 6 1 12 12 1 9 1 4 5 0
5
4
x
x x x x x x x
x
Với
1
x
thì k = 24, phương trình tiếp tuyến là
24 15
y x
Với
5
4
x
thì
15
4
k
, phương trình tiếp tuyến là
15 21
4 4
y x
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là
24 15
y x
và
15 21
4 4
y x
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009
Cho hàm số
3 2
3 4 1
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đia qua điểm
1;2
I
với hệ số góc
3
k k
đều cắt
đồ thị hàm số
1
tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn giải
Gọi (C) là đồ thị của hàm số (1), ta thấy
1;2
I
thuộc (C). Đường thẳng d đi qua
1;2
I
với
hệ số góc k
3
k
có phương trình
2
y kx k
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
3 2 2
2
1
3 4 2 1 2 2 0
2 2 0 *
x
x x kx k x x x k
x x k
Do
3
k
nên phương trình (*) có biệt thức
' 3 0
k
và x= 1 không phải là nghiệm của
phương trình (*)
Suy ra đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
; , ; , ;
I I A A B B
I x y A x y B x y
với
;
A B
x x
là hai nghiệm của phương trình (*)
Vì
2 2
A B I
x x x
và I,A,B cùng thuộc đường thẳng d nên I là trung điểm của đoạn thẳng
AB. (đccm)
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2008
Cho hàm số
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm m để đường thẳng
:
d y x m
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là
2
0 1
1
x
x m x mx m
x
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện là
2
4
4 0
0
m
m m
m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2007
Cho hàm số
2 2
2 1 4
1
2
x m x m m
y
x
, với m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
khi
1
m
b. Xác định m để hàm số
1
có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2
4 4
'
2
x x m
y
x
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi
2 2
4 4
g x x x m
có hai nghiệm phân
biệt
2
x
. Điều này tương đương
2
2
' 4 4 0
0
2 4 8 4 0
m
m
g m
Gọi A và B là hai điểm cực trị
2 ; 2 , 2 ;4 2
A m B m m
Do
2; 2 0, 2; 4 2 0
OA m OB m m
nên ba điểm O,A,B tạo thành tam giác vuông
tại O khi và chỉ khi
2
. 0 8 8 0 4 2 6
OA OB m m m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2007
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
m
C
, với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
C
khi m
1
m
b. Xác định m để hàm số
m
C
có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
m
C
cách đều góc tọa độ O.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2 2
' 3 6 3 1 , ' 0 2 1 0 2
y x x m y x x m
Hàm số (1) có cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt điều này
tương đương
2
' 0 0
m m
Gọi A và B là hai điểm cực trị
3 3
1 ; 2 2 , 1 ; 2 2
A m m B m m
O cách đều A và B khi và chỉ khi
3
1
8 2
2
OA OB m m m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007
Cho hàm số
2
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số
C
tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam
giác OAB có diện tích bằng
1/ 4
Hướng dẫn giải
2x
Vì
M C
nên
M x
0
;
0
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
x
0
1
- Trang 11 -
E mail:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
2
0 0
0 0
2 2
0
0 0
2 22
'
1
1 1
x x
y y x x x y x
x
x x
Vậy ta có
2
2
0
0
2
0
2
;0 , 0;
1
x
A x B
x
Thao giả thiết ta có
2
2
2
0 0
0
0
0
2
2
0
0 0
0
1
2 1 0
2 1
.
2
2
1
2 1 0
1
x x
x
x
x
x
x x
x
Với
0
1
2
x
ta có
1
; 2
2
M
Với
0
1
x
ta có
1;1
M
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
1
; 2
2
M
và
1;1
M
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2006
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
2. Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12
x x x m
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với
3 2
2 9 12 4 4
x x x m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm
của đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
và
đường thẳng
4
y m
Hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
là hàm số
chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Từ đồ thị hàm số đã khảo sát ta suy ra đồ thị
của hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
là
Từ đồ thị ta suy ra phương trình
3
2
2 9 12
x x x m
có sáu nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0 4 1 4 5
m m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2006
x x
2
1
Cho hàm số
y
x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
C
, biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc
với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
C
.
Hướng dẫn giải
Tiệm cân xiên của đồ thị (C) có phương trình
y x 1
, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm
cận xiên có hệ số góc là
k
1
- Trang 12 -
E mail:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 13 -
E mail:
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
2
2
2
1
2
' 0 1 1
2
2
2
2
x
y
x
x
Với
2 3 2
2 3
2 2
x y
: phương trình tiếp tuyến là
1
: 2 2 5
d y x
Với
2 3 2
2 3
2 2
x y
: phương trình tiếp tuyến là
2
: 2 2 5
d y x
Vậy có hai tiếp tuyến là
1
: 2 2 5
d y x
và
2
: 2 2 5
d y x
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2006
Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
của hàm số đã cho
b. Gọi d là đường thẳng đia qua điểm
3;20
A
và có hệ số góc là m. Xác định m để đồ thị d
cắt đồ thị hàm số
C
tại ba điểm phân biệt .
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng d là
3 20
y m x
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là
3 2
3 2 3 20 3 3 6 0
x x m x x x x m
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
2
3 6
f x x x m
có hai nghiệm phân biệt khác 3. Điều này tương đương
15
9 4 6 0
4
3 24 0
24
m
m
f m
m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2005
Gọi
m
C
là đồ thị của hàm số
1
*
y mx
x
m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi
1
4
m
b. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của
m
C
đến đường
thẳng
y mx
bằng
1
2
Hướng dẫn giải
2
1
' , ' 0
y m y
x
có hai nghiệm khi và chỉ khi m > 0
Nếu m > 0 thì
1
2
1
' 0
1
x
m
y
x
m
Ta có bảng xét dấu của y’
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 14 -
E mail:
Hàm số luôn có cực trị với mọi m > 0
Điểm cực tiểu của
m
C
là
1
;2
M m
m
. Đường thẳng
0
y mx mx y
2
2 2 2
2
1 1
, 2 1 0 1
2 2
1 1 1
m m
m m
d M d m m m
m m m
Vậy m = 1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2005
Gọi
m
C
là đồ thị của hàm số
2
1 1
*
1
x m x m
y
x
m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 1
b. Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, đồ thị
m
C
luôn luôn có cực đại cực tiểu và khoảng
cách giữa hai điểm đó bằng
20
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
1
y x m
x
TXĐ:
/ 1
R
2 2
2
2
1
' 1 ; ' 0
0
1 1
x
x x
y y
x
x x
Xét dấu y’ ta có
Đồ thị của hàm số (*) luôn có điểm cực đại là
2; 3
M m
và điểm cực tiểu là
0; 1
N m
2 2
0 2 1 3 20
MN m m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2005
Gọi
m
C
là đồ thị của hàm số
3 2
1 1
*
3 2 3
m
y x x
m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b. Gọi M là điểm thuộc
m
C
có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của
m
C
tại điểm
M song song với đường thẳng
5 0
x y
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
'
y x mx
Điểm thuộc đồ thị
m
C
có hoành độ
1
x
là
1;
2
m
M
Tiếp tuyến tại M của
m
C
là đường thẳng
2
: ' 1 1 1
2 2
m m
y y x y m x
song song với đường thẳng d khi và chỉ khi
1 4
4
2 0
m
m
m
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 15 -
E mail:
Dự bị D-2010-Đề số 1
Cho hàm số
3 2
2 3 1 6 1
y x m x mx m
, m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
3
2
m
b. Chứng minh rằng phương trình
3
2
2 3 1 6 1
x m x m x m
có 4 nghiệm thực phân biệt
với mọi
1
m
Dự bị D-2010-Đề số 2
Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 16 -
E mail:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để đường thẳng
1
y m x
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
1;0
M
, A, B
sao cho
2
MA MB
Dự bị B-2010-Đề số 1
Cho hàm số
3 4
2 3
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Xác định tọa độ điểm thuộc (C sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp 2 lần
kx từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Dự bị B-2010-Đề số 2
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho qua M kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm
phân biệt đối xứng nhau qua M
Dự bị A-2009-Đề số 1
Cho hàm số
3 6
1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
: 3 4 21 0
d x y
Dự bị A-2009-Đề số 2
Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx
, trong đó m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng
0;
Dự bị A-2008-Đề số 1
Cho hàm số
3 2
3 1 1 1
y x mx m x
, m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành
độ
1
x
đi qua điểm
1;2
A
Dự bị A-2008-Đề số 2
Cho hàm số
4 2
8 7 1
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
9
y mx
tiếp xúc với đồ thị hàm số (1)
Dự bị D-2008-Đề số 1
Cho hàm số
3 1
1
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
2;5
M
Dự bị D-2007-Đề số 1
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 17 -
E mail:
Cho hàm số
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) sao cho đường thẳng d và hai đường
tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác cân
Dự bị D-2007-Đề số 2
Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) đi qua giao điểm của đường tiệm cận
và trục Ox
Dự bị D-2006-Đề số 1
Cho hàm số
3
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Cho điểm
0 0 0
;
M x y
thuộc đồ thị hàm số (C). Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại
0 0 0
;
M x y
cắt tiệm cận của đồ thị hàm số (C) tại các điểm A và B. Chứng minh
0 0 0
;
M x y
là trung điểm của đoạn thẳng AB
Dự bị D-2006-Đề số 2
Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua trục tung
Dự bị D-2005-Đề số 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số
4 2
6 5
y x x
b. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
4 2
2
6 log 0
x x m
Dự bị B-2008-Đề số 1
Cho hàm số
3 2
3 3 2 1
y x x m m x
, m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =0
b. Tìm tất cả các giả trị của m để đồ thị hàm số (C) có hai cực trị trái dấu
Dự bị B-2007-Đề số 1
Cho hàm số
3 2
2 6 5
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) biết d đi qua điểm
1; 13
A
Dự bị B-2006-Đề số 2
Cho hàm số
3 2
1 2 2 2
y x m x m x
, m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2013:
Giải hệ phương trình
4
4
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y
,x y
Hướng dẫn giải
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2013:
Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
,x y
Hướng dẫn giải
Trích từ đề thi tuyển sinh cao đẳng-2013:
- Trang 1 -
E mail:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 2 -
E mail:
Giải hệ phương trình
2
3 1 0
4 10 0
xy y
x y xy
,x y
Hướng dẫn giải
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012: Giải hệ phương trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2 0 1
2 1 0 2
xy x
x y x y
Với
2 1 0 2 1
x y y x
thay vào phương trình 1 của hệ ta được
2
1 5
1 0
2
x x x
.
Do đó ta có các nghiệm
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
Với
2 2
0 .
x y y x
Thay vào phương trình (1) của hệ phương trình ta được
3 2
2 0 1 2 0 1
x x x x x x
. Do đó ta được nghiệm
; 1;1
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình
;
x y
đã cho
là
1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
và
1;1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012:
Giải hệ phương trình sau
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 3 -
E mail:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
3 3
2 2
1 12 1 1 12 1
1 1
1
2 2
x x y y
x y
Từ (2), suy ra
1 3 1
1 1 1
2 2 2
1 1 3
1 1 1
2 2 2
x x
y y
Xét hàm số
3
12
f t t t
trên
3 3
;
2 2
;
2
' 3 4 0
f t t
, suy ra
f t
là hàm nghịch biến.
Do đó (1) tương đương
1 1 2 3
x y y x
Thay vào (2), ta được
2 2
2
1
1 3
2
1 4 8 3 0
3
2 2
2
x
x x x x
x
Thay vào phương trình (3), ta được nghiệm của hệ phương trình
;
x y
là
1 3
;
2 2
hoặc
3 1
;
2 2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011: Giải hệ phương trình sau
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0 1
2 2
x y xy y x y
xy x y x y
Từ phương trình (2) tương đương
2 2
2 2
1
1 2 0
2
xy
xy x y
x y
+
1;
xy
từ phương trình (1) suy ra
4 2
2 1 0 1
y y y
Do đó, nghiệm
; 1;1
x y
hoặc
; 1; 1
x y
+
2 2
2
x y
, từ phương trình (1) suy ra
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0
2
y x y xy x y x y
y xy x y x y
xy
xy y x
x y
Với
2
x y
, từ
2 2
2 10 10
2 ; ;
5 5
x y x y
hoặc
2 10 10
; ;
5 5
x y
Vậy hệ phương trình đã cho cho 4 nghiệm
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
2 10 10
;
5 5
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
Đặt
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y
Hệ phương trình đã cho trở thành
2
2 1 0 1
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn
1
4
u
Với
1
4
u
, ta có : (1)
2
2
2 1
2 1
u u
u u u m
u
Xét hàm số
2
2 1
u u
f u
u
Với
1
4
u
, ta có
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2011: Giải hệ phương trình sau
2 2 3 2x y x y
trong đó
x y,
x xy y
2 2
2 2
Hướng dẫn giải
Điều kiện
2 0x y
, đặt
t x y t 2 , 0
.
2
t
1
Phương trình (1) trở thành :
t t
2 3 0
t loai
3
2
x
1
Với t =1, ta có
y x 1 2
. Thay vào (2) ta được
x x 2 3 0
x
3
Với x=1 ta được
y
1
Với
x
3
ta được
y
7
Vậy hệ phương trình có nghiệm
x y;
là
1; 1
và
3;7
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2010: Giải hệ phương trình sau
x x y
2
4 2 0
trong đó
x y,
2log 2 log 0
2
x y
2
Hướng dẫn giải
Điều kiện
x y 2; 0 1
x
0
x x y x x
2 2
4 2 0 3 0
y
2
Từ hệ phương trình đã cho ta có :
x y y x
2 2
x
3
y
1
Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình với điều kiện ta thấy nghiệm của hệ là
x y; 3;1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010: Giải hệ phương trình sau
- Trang 4 -
E mail:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện
1
3
y
, phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta
3 1 2
x
y
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
1
1
2
3 1 2
3 1 2
2
1
1
6 3 0
3 1 3 1 3
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y y
y y y
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1
; 1;
2
x y
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2010: Giải hệ phương trình sau
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 4 2 3 4 7
x y y
x y x
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
3 5
;
4 2
x y
. Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với
2
4 1 2 5 2 1 5 2 1
x x y y
Nhận xét phương trình (1) có dạng
2 2 2
f x f y
, với
2
1
f t t t
Ta có
2
' 3 1 0
f t t
suy ra f là hàm số đồng biến trên R.
Do đó:
2
0
1 2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y
The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta được
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0 3
2
x x x
Nhận thấy
0
x
và
3
4
x
không phải là nghiệm của phương trình (3)
Xét hàm số
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
, trên khoảng
3
0;
4
2 2
5 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
Suy ra
g x
là hàm số nghịch biến.
Mặt khác
1
0
2
g
, do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất
1
2
2
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
1
; ;2
2
x y
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009: Giải hệ phương trình sau
1 3 0
x x y
2
5
x y
x
2
1 0
- Trang 5 -
E mail:
trong đó
,x y
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
- Trang 6 -
E mail:
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2 2
2
1
1
1
3
3 3
1
2 1
1 0 1
1 1 2
5 4 6
3 5
1 0 2 0
1 1 0
2
3
1
2
2
x
x
x y
x y y
x y x y
x
x x
x
x y
x
x x x
x x
y
x y
Vậy
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
;
x y
là
1;1
và
3
2;
2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2009: Giải hệ phương trình sau
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
1
5
1
1
1 1
7
7
20 0
12
1
1
1 1
13
4
13 1
3
x
x
y
I
x
x
x
x x
y y
x y
y y
y y
x
x x
x
x
x x
y y
y
II
y y y y
x y
+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
+ Hệ phương trình (II) có nghiệm
1
; 1;
3
x y
và
; 3;1
x y
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0 *
xy
, hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2
2
2 2
2
2
4
4
x y
x y xy x y
y
y
x xy y
Kết với với điều kiện ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2;2
và
2; 2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008: Giải hệ phương trình sau
2 3 2
4 2
5
4
,
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
Ta có biến đổi:
2 3 2 2 2
2
4 2 2
5 5
4 4
*
5 5
1 2
4 4
x y x y xy xy x y xy xy x y
x y xy x x y xy
Đặt
2
u x y
v xy
. Hệ phương trình (*) trở thành
2
2 3 2
5 5 5
0,
4 4 4
5 1 3
0 ,
4 4 2 2
u v uv v u u v
u
u v u u u v
Giải ta được nghiệm của hệ phương trình
;
x y
là
3 3
5 25
;
4 16
và
3
1;
2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008: Giải hệ phương trình sau
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
trong đó
,x y
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
3
2 4 3 2
2
2 9
0
3 3 2 9 12 48 64 0 4 0
4
2
3 3
2
x xy x
x
x
x x x x x x x x x
x
x
xy x
+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình
+ Với
17
4
4
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
17
; 4;
4
x y
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2008: Giải hệ phương trình sau
2 2
2
,
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
1, 0
x y
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2 1 0 1
2 1 2 2 2
x y x y
x y y x x y
Từ điều kiện ta có
0
x y
nên
1 2 1 3
y
Thay (3) vào(2) ta được
1 2 2 1 2 1 0 5
y y y y do y x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
; 5;2
x y
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007:
Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
1 1
x y
x y
5
x y m
3 3
y y
1 1
3 3
15 10
trong đó
x y,
- Trang 7 -
E mail:
