Hệ thống bài tập bồi dưỡng HSG toán 6

HỆ THỐNG BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6
I)Tập hợp số tự nhiên N =
{ }
0;1;2;3;4;5;6
; 0 là số tự nhiên nhỏ nhất ;không có số tự nhiên
lớn nhất
* a
∈
N ; a được biểu diễn theo hệ số thập phân như sau: a =
n n 1 4 3 2 1
n n 1 4 3 2 1 0 n n 1 4 3 2 1 0
a a a a a a a a .10 a .10 a .10 a .10 a .10 a .10 a
−
− −
= + + + + + + +
.10
0
Ví dụ : 254687 = 2.10
5
+ 5. 10
4
+ 4. 10
3
+ 6. 10
2
+ 8. 10
1
+ 7. 10
0
II) Bài tập về các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia số tự nhiên
Bài tập 1:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm chữ số 2 vào bên phải số tự

nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ
số 2 vào bên trái số tự nhiên ban đầu
Hướng dẫn:
Gọi số cần tìm có dạng
abcde
và hai số mới tạo ra là :
abcde2
và
2abcde
Ta có :
2abcde
nên e.3 =
2∗
thì e = 4 và
1∗ =

×
3 d.3+1 =
4∗
thì d = 1 và
0
∗ =

abcde2
c.3 =
1∗
thì c = 7 và
2∗ =
b.3 +2 =
7∗

thì b = 5 và
1∗ =
a.3 +1 =
5∗
thì a = 8 và
2∗ =
vậy số cần tìm là:
abcde
= 85714
Bài tập 2:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm một chữ số vào bên phải
số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm
chữ số đó vào bên trái số tự nhiên ban đầu
Hướng dẫn:
Gọi số cần tìm có dạng x =
abcde
và hai số mới tạo ra là :
xy
và
yx
với y là chữ số mới
thêm vào
Ta có
xy
= 3.
yx
hay 10x + y = 3.( 100000 y + x)
⇒
7x = 299999y
⇒
x = 42857y

Do x là số có 5 chữ số thì y chỉ là số 1 hoặc số 2 nếu y
≥
3 thì x là số có sáu chữ số không
đúng theo đề bài đã cho . vậy với y = 1 thì ta có x = 45782 hoặc y = 2 thì x = 85714 .
Bi tp 3:Tỡm mt s t nhiờn cú ch s tn cựng l ch s 3 .nu b ch s hng n v
thỡ c mt s mi nh hn ch s cn tỡm 1992 n v .
Hng dn: gi s cn tỡm l x thỡ
x 3
10

l s mi nờn ta cú :x
x 3
10

= 1992 bin i
dng thc ny ta c :
9x = 19920-3 hay x =
19917
2213
9
=
.
Bi tp 4: Tỡm mt s t nhiờn a .Bit rng khi chia a cho 54 thỡ cú s d l 38 nhng khi
chia a cho 18 thỡ c thng l 14 v cũn s d .
Hng dn: Do chia a cho 54 cú s d l 38 nờn ta cú : a = 54.x + 38= 18.3x +18.2 + 2
= 18(3x + 2) +2
Hay a = 18(3x+2) + 2
(*)
v theo phộp chia a cho 18 cú thng l 14 v cũn s d r nờn ta cú : a = 18. 14 + r
(**)

So sỏnh (*) v (**) ta cú r = 2 v a = 18. 14 + 2 = 254
Bi tp 5: tỡm hai s t nhiờn bit tng ca chỳng gp 5 ln hiu ca chỳng v tớch ca
chỳng gp 24 ln hiu ca chỳng
Hng dn: ta cú th dựng s sau:
Gi hiu ca hai s l a ta cú tng ca hai s l 5a v tớch l 24a
Theo s ta cú tng cng thờm hiu bng hai s ln:5a+a = 6a
Theo s ta cú tng tr i hiu bng hai s nh : 5a - a = 4a
Vy s ln bng :3a v s nh bng 2a
V : s ln
ì
s nh = 24a

s ln =
24a
soỏ nhoỷ
=
24a
12
2a
=
V s nh =
24a 24a
8
soỏ lụựn 3a
= =
Bi tp 6: tỡm hai s t nhiờn bit tớch ca chỳng l 6210 nu gim mt s i 7 n v thỡ
tớch mi ca chỳng bng 5265
Soỏ lụựn

6 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 8

Soỏ nhoỷ

1 4 442 4 4 43
hieọu=a

1 4 2 43
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tìm là a và b .Ta có a.b = 6210 nếu bớt đi một trong hai số 7
đơn vị thì tích mới là 5265 đã giảm đi 7 lần số còn lại .nên hiệu 6210 – 5265 = 945 bằng 7
lần một trong hai số a hoặc b
Nếu a =
945
135
7
=
thì b =
6210
46
135
=
Nếu b =
945
135
7
=
thì a =
6210
46
135
=
Bài tập 7: Hãy tìm kết quả của phép nhân

50 chöõ soá 50 chöõ soá
333 3 999 9×
123 1 2 3

Hướng dẫn:Ta có A =
50 chöõ soá 50 chöõ soá
333 3 999 9×
123 1 2 3
=
50 chöõ soá 50 chöõ soá
333 3 (100 00 1)× −
123 14 2 43
=
50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá
333 3000 0 333 3−
123 1 2 3 1 2 3
Thực hiện phép trừ ta có kết quả A =
Bài tập 8: Hãy tìm kết quả của phép nhân
50 chöõ soá 50 chöõ soá
333 3 333 3×
1 2 3 1 2 3

Hướng dẫn:Ta có B =
50 chöõ soá 50 chöõ soá
333 3 333 3×
1 2 3 1 2 3

50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ so
111 1 3 333 3 111 1 999 9 111 1 (1000 0 1) 111 1000 0 111 1= × × = × = × − = −
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

á
1 2 3
Thực hiện phép trừ ta có kết quả B =
49 chöõ soá 49 chöõ soá
111 10888 89
1 2 3 1 2 3
Bài tập 9: Hãy chứng minh C = 111222 và D = 444222 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
Hướng dẫn:Ta có C = 111222 = 111000 + 111.2 = 111.1000 = 111.2 = 111.(1000 +2) =
111.1002 = 111.3.334
C = 333.334 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
Và D = 444222 = 444000 +111.2 = 111(4000+2 ) =111.4002 = 111.6.667
= 666.6677
D = 666.6677 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp .
III) Bài tập về các phép chia có dư:
Bài tập 10: Tìm hai số tự nhiên biết rằng chia hai số đó cho nhau được thương bằng 6 và
số dư bằng 49 và tổng của ba số bị chia ,số chia và số dư bằng 595.
Hướng dẫn: số chia : b
49 chöõ soá 49 chöõ soá
333 32666 67
123 1 2 3
Số
dư
Số bị chia : a
Theo đề bài ta có : a + b + 49 = 595 .Theo sơ đồ ta có : a = 6b + 49 hay 6b + 49 + a +
49 = 595
Hay :7b + 98 = 595
⇒
7b = 497
⇒
b =

497
7
= 71 và a = 6.71+49 = 475
Số bị chia là :475 và số chia là :71
Bài tập 11:một phép chia có thương là 4 ,số dư là 25 ,tổng của ba số bị chia ,số chia và số
dư bằng 210 .Tìm số bị chia và số chia đó.
Hướng dẫn: tương tự bài tập 10(ĐS: 153 và 32 )
Bài tập 12: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm
5 vào số chia thì thương và số dư vẫn không đổi .
Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư
Ta có : a = b.q + r (1)
Và : a+15 = (b + 5).q + r (2) .
⇒
a + 15 = b.q +5.q +r
⇒
a = (b.q + r) + 5.q - 15
⇒
a = a + 5.q – 15
Hay : 5q = 15 vậy q = 5
Bài tập 13: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 73 vào số bị chia và thêm 4
vào số chia thì thương vẫn không đổi nhưng số dư tăng 5 đơn vị.
Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư
Ta có : a = b.q + r (1)
Và : a+73 = (b + 4).q + r +5 (2) a + 73 = b.q +4.q +r +5
⇒
a = (b.q + r) + 4.q –
73+5
⇒
a = a + 4.q – 68
Hay : 4q = 68 vậy q = 17

IV) Bài tập về phép toán lũy thừa và phối hợp các phép toán :
Bài tập 14: Chứng minh 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ . . . + 2
20
=

2
21

Hướng dẫn Đặt A = 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ . . . + 2
20

⇒
2A = 8+ 2
3

+ 2
4
+ 2
5
+ . . . + 2
20

+

2
21


Nên 2A = 8+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ . . . + 2
20
+

2
21

-A = 4 + 2
2
+ 2
3

+ 2
4
+ 2
5
+ . . . + 2
20
A = 2
21
Bài tập 15: Chứng minh
3 2
4
72 54
108
×
= 8
Hướng dẫn B.đổi V.T.=
3 2
4
72 54
108
×
=
3 2 3 2 3 3 2 6 9
3
4 4 2 2 4 6 6
72 54 (9.8) .54 9 .8 .54 3 .2
2 8
108 (54.2) 54 .(27.2) .2 3 .2
×
= = = = =

nên đ. thức đã cm
Bài tập 16 : Tính giá trị của biểu thức :
a)
10 10
8
2 .13 2 .65
A
2 .104
+
=
b)
2 2 2 2
B (1 2 3 100).(1 2 3 100 ).(65.111 13.15.37)= + + + + + + −
Hướng dẫn
10 10 10 10 11
8 8 3 11 11
2 .13 2 .65 2 (13 65) 2 .2.39 2 .39
A 3
2 .104 2 .2 .13 2 2 .13
+ +
= = = = =

2 2 2 2
B (1 2 3 100).(1 2 3 100 ).(65.111 13.15.37)= + + + + + + −
Ta có: 65.111-13 .
15.37= 0
Bài tập 17 :Tìm x biét rằng :
a) 2
x

.4 = 128 ; b) x
15
= x ; c) (2x +1)
3
= 125 ;
d) (x -5 )
4
= (x -5 )
6

e) A = 3+3
2
+3
3
. . . +3
99
+3
100
và 2A + 3 = 3
x

Hướng dẫn a) 2
x
.4 = 128 b) x
15
= x c) (2x +1)
3
= 125
d) (x -5 )
4

= (x -5 )
2
x
= 32 0
15
= 0 (2x + 1)
3
= 5
3

0
4
= 0
2
x
= 5
3
(
±
1)
15
=
±
1 2x + 1 = 5
(
±
1)
4
=
±

1
x = 3 x = 0 hoặc x =
±
1 x = 2
x -5 = 0 hoặc x -5 =
±
1
x = 5
; x = 6 hoặc x = 4
e) A = 3+3
2
+3
3
. . . +3
99
+3
100
Nên 3A = 3
2
+3
3
. . . +3
99
+3
100
+3
101
2A = 3A –A = 3
101
- 3

(1)
Mặc khác 2A + 3 = 3
x

⇒

2A = 3
x
- 3
(2)
Từ (1) và (2) ta có : x = 101
Bài tập 18: tìm số tự nhiên có ba chữ số .Biết rằng bình phương của chữ số hàng chục
bằng tích của hai chữ số kia và số tự nhiên đó trừ đi số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự
ngược lại bằng 495.
Hướng dẫn Gọi số cần tìm là
abc
= 10
2
a+10b + c ; số viết ngược lại là
cba
= 10
2
c+10b
+ a
Theo đề bài ta có : b
2
= a.c và 10
2
a+10b + c - 10
2

c+10b + a = 495 hay 100 (a-c ) - ( a –
c) = 495
99 (a-c) 495 a-c = 5 hay a = c + 5 .Do 0
≤
a
≤
9 nên 0
≤
c
≤
4
* Với c = 0
⇒
a = 5 và b
2
= 5.0 = 0
⇒
b = 0 nên số cần tìm là :
abc
= 500
* Với c = 1
⇒
a = 6 và b
2
= a.c = 6
⇒
không tìm được chữ số b
* Với c = 2
⇒
a = 7 và b

2
= a.c = 14
⇒
không tìm được chữ số b
* Với c = 3
⇒
a = 8 và b
2
= a.c = 24
⇒
không tìm được chữ số b
* Với c = 4
⇒
a = 9 và b
2
= a.c = 36
⇒
b = 6 nên số cần tìm là :
abc
= 964
Bài tập 19:Không thực hiện phép nhân hãy so sánh các tích sau:
a) A = 1998.1998 và B = 1996.2000
b) C = 2000.2000 và D = 1990.2010
c) E = 25.33 -10 và
d) G = 32.53 – 31 và H = 53.31 + 32
Hướng dẫn a) Ta có : A = 1998.1998 = (1996+2) .1998 = 1996 .1998+2.(1996+2) =
1996 .1998+2.1996+4
Và B = 1996.2000 = 1996.(1998+2) = 1996.1998+2.1996 Vậy A > B
và A – B = 4
b) Ta có : C = 2000.2000 = (1990+10).2000 = 1990. 2000 + 10.2000 = 1990.

2000 + 10.1990+100
Và D = 1990.2010 = 1990.(2000 +10) = 1990. 2000 + 10.1990 Vậy
C > D và C – D = 100
c) Ta có : E = 25.33 -10 = 33.(26-1) - 10 = 33.26 - 43
Và F = 31.26+10 = (33-2).26 + 10 = 33.26-42 vậy F > E và F – E = 1
d)Ta có :G = 32.53–31= (31+1).53 – 31 = 53.31+22 Và H = 53.31 + 32
nên H > G và H – G = 10
Bài tập 20: Chứng minh: 37.13-13 chia hết cho 24+37.12
Hướng dẫn Ta có : 37.13-13 = 37.(12+1) -13 = 37.12 +37 -13 = 37.12 +24
Vây :
37.13-13 24+37.12
1
24+37.12 24+37.12
= =
chứng tỏ 37.13-13 chia hết cho
24+37.12
Bài tập 21: Tính A =
101 100 99 3 2 1
101 100 99 3 2 1
+ + + + + +
− + − + − +
; B =
3737.43 4343.37
2 4 6 8 100
−
+ + + + +
Hướng dẫn Ta có :A =
101 100 99 3 2 1
101 100 99 3 2 1
+ + + + + +

− + − + − +
A =
51chöõ soá1
101(101 1)
101 100 99 3 2 1 101.51 101.51
2
101
101 100 99 3 2 1 (101 100) (99 98) (3 2) 1 1 1 1 1 51
+
+ + + + + +
= = = =
− + − + − + − + − + − + + + + +
1 44 2 4 43
Và B =
3737.43 4343.37 101.37.43 101.43.37 0
0
2 4 6 8 100 2 4 6 8 100 2 4 6 8 100
− −
= = =
+ + + + + + + + + + + + + + +
Bài tập 22 :Vận dụng tính chất của các phép tính hãy tìm kết quả một cách hợp lí
a) 1990.1990-1992.1998 b) (1374.57+687.86):
(26.13+74.14)
c) (124.327+52) : (870+235.122) d)
423134.846267 423133
846267.423133 423134
−
+
Hướng dẫn
a) 1990.1990 1992 .1998 = (1992– 2 ).(1988+2) – 1992 .1998= 1992 .1988+2.1992 –

2.1988 – 4 – 1992 .1998
= 2.1992 –2.1988 – 4 = 2 (1992 – 1988 – 2) = 2.2 = 4
b) (1374.57 + 687.86): (26.13+ 74.14) =
1374.57 + 687.86
26.13+74.14
=
1374.57 + 1374.43
26.13+74.14
=
1374(57 43)
26.13 74.(13 1)
+
+ +


137400 137400
26.13 74.13 74 13(26 74) 74
= =
+ + + +
=
137400
1300 74+
=
137400
1374
= 100
c) (124. 237+152) : (870+235.122) =
124.237+152 (122 2).(235 2) 152 122.235 244 470 4 152
870+235.122 870+235.122 870+235.122
+ + + + + + +

= =
=
122.235 870
1
122.235 870
+
=
+
d)
423134.846267 423133 (423133 1)846267 423133 846267.423133 846267 423133
846267.423133 423134 846267.423133 423134 846267.423133 423134
− + − + −
= =
+ + +
=
846267.423133 423134
846267.423133 423134
+
+
= 1
Bài tập 23 : Tìm số tự nhiên a :
a) 697:
15a 364
a
+
= 17 b) 92.4 –27 =
a 350
315
a
+

+
c) 720 :
( )
3
41 2a 5 2 .5
 
− − =
 
d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+
… +(a+100) = 5750
Hướng dẫn
a) 697:
15a 364
a
+
= 17
⇒
15a 364
a
+
=
697
17

⇒
364
15
a
+
= 41

⇒
364
a
= 41-15
⇒
364
a 14
26
= =
b) 92.4 –27 =
a 350
315
a
+
+
⇒
a 350
92.4 27 315
a
+
= − −
⇒
350
a
=
25
⇒
350
a 14
25

= =
c) 720 :
( )
3
41 2a 5 2 .5
 
− − =
 

⇒
720 :40 = 46 - 2a
⇒
2a = 46 - 18
⇒
a =
28
14
2
=

d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+ … +(a+100) = 5750
⇒
100a+
101.100
2
=5750
⇒
100a = 5750-5050
⇒
a =

700
7
100
=
V.Bài tập về tính chất chia hết của số tự nhiên:
Kiến thức cơ bản: Gọi A =
n n 3 2 1 0
a a a a a a
−
T a có:
A
M
2
⇔
a
0
M
2
A
M
4
⇔
1 0
a a 4M
A
M
25
⇔
1 0
a a 25M

A
M
8
⇔
2 1 0
a a a 8M
A
M
3
⇔

n n 1 3 2 1 0
a a a a a a 3
−
+ + + + + + M
A
M
9
⇔

n n 1 3 2 1 0
a a a a a a 9
−
+ + + + + + M
A
M
11
⇔
( )
n n 1 3 2 1 0

n n 1 3 2 1 0
a a a a a a 11 (neáu n chaún)
a a a a a a 11 neáu n leû
−
−

− + − + − +

− + + − + −


M
M

( )
A m
A n A m.n
m,n 1


⇒


=

M
M M
( ) ( )
A Bmod m (A B) 0mod m≡ ⇒ − ≡
Bài tập 24 : Cho n là một số tự nhiên chứng minh rằng :

a) (n+10) (n+15) chia hết cho 2
b) n(n+1) (n+2) chia hết cho 2,3,6
c) n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2,3
Hướng dẫn
a) Nếu n = 2k . Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+10) (2k+15) = 2(k + 5) (2k+15) chia
hết cho 2
Nếu n = 2k + 1. Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+1+10) (2k+1+15) = (2k + 11) .2 (k+8) chia
hết cho 2
b) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2.
Nếu r = 0 thì n = 3k .Nên n(n+1) (n+2) = 3k (3k + 1) (3k+2)
chia hết cho 3
Nếu r = 1 thì n = 3k+1 .Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 1) (3k+2) (3k+3) = 3(3k + 1)
(3k+2) (k+1) chia hết cho 3
Nếu r = 2 thì n = 3k+2 .Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 2) (3k+3) (3k+4) = 3(3k + 2) (k+1)
(3k+4) chia hết cho 3
Vậy n(n+1) (n+2)
chia hết cho 3
Và n(n+1) (n+2) là ba số liên tiếp nên trong đó có ít nhất một thừa số chẳn, vậy n(n+1)
(n+2) chia hết cho 2.
Nhưng (2;3) = 1. Vậy n(n+1) (n+2)
chia hết cho 6
c) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2
Nếu r = 0 thì n = 3k . Nên: n(n+1) (2n+1) = 3k(3k+1) (6k+1)
chia hết cho 3
Nếu r = 1 thì n = 3k+1 . Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+1) (3k+2) (6k+3) = 3(3k+1)
(3k+2) (2k+1) chia hết cho 3
Nếu r = 2 thì n = 3k+2 . Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+2) (3k+3) (6k+5) = 3(3k+2)
(k+1) (6k+5) chia hết cho 3
Vậy n(n+1) (2n+1)
chia hết cho 3

Mặc khác n(n+1) chia hết cho 2 nên n(n+1) (2n+1)
chia hết cho 3
Bài tập 25 : Cho A = 11
19
+11
18
+11
17
. . . +11
5
+11
4
+11
3
+11
2
+11+1 .Chứng minh A chia
hết cho 5
Do 11
n
có chữ số tận cùng là 1nên tổng A có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5
Bài tập 26 : Chứng minh rằng :
a) A= 10
18
+8 chia hết cho 72
b) B= 8
8
+ 20
20
chia hết cho 17

c) C= 2 +2
2
+2
3
+2
4
+2
5
+2
6
+. . . +2
60
chia hết cho 3 , 7 và 15
d) D= 3 +3
3
+3
5
+3
7
+. . . +3
1991
chia hết cho 13 và 41
Hướng dẫn
a) A = 10
18
+8 =
18 chöõ soá 0 17 chöõ soá 0
100 00000 8 100 00008+ =
6 47 48 64 7 48
chia hết cho 9 vì tổng các chữ số bằng 9 và

chia hết cho 8vì ba chữ số tận cùng là ….008 chia hết cho 9 và (9;8) = 1 .Nên 10
28
+8
M

72 , vậy A
M
72
b) B = 8
8
+ 20
20
= (2
3
)
8
+20
20
= 2
24
+ 20
20
= 20
20
(2
4
+1) = 20
20
.17
M

17 ,vậy B
M
17
c) C = 2 +2
2
+2
3
+2
4
+2
5
+2
6
+. . . +2
60
= 2(1+2)+ 2
3
(1+2)+2
5
(1+2)+2
7
(1+2)+. . .
+2
57
(1+2)+2
59
(1+2)
= 3(2 + 2
3
+2

5
+2
7
+. . . +2
57
+2
59
) . Vậy C
M
3
C = 2 +2
2
+2
3
+2
4
+2
5
+2
6
+. . . +2
60
= 2(1+2+2
2
)+ 2
4
(1+2+2
2
)+2
7

(1+2+2
2
)+. . .
+2
55
(1+2+2
2
)+2
58
(1+2+2
2
)
C = 7(2+2
4
+2
7
+2
10
+. . .+2
52
+2
55
+2
58
)
M
7 Vậy C
M
7
C = 2(1+2+2

2
+2
3
)+2
5
(1+2+2
2
+2
3
)+2
9
(1+2+2
2
+2
3
)+. . .
+2
53
(1+2+2
2
+2
3
)+2
57
(1+2+2
2
+2
3
)
= 15(2 +2

5
+ 2
9
+ . . . + 2
53
+ 2
57
)
M
15 Vậy C
M
15
d) D = 3 +3
3
+3
5
+3
7
+. . . +3
1991
= 3(1 +3
2
+3
4
)+3
7
(1 +3
2
+3
4

)+3
13
(1 +3
2
+3
4
)+. . .
+3
1987
(1+3
2
+3
4
)
= (1+3
2
+3
4
)m= 91m= 13.7m Vậy D
M
13
D = 3 +3
3
+3
5
+3
7
+. . . +3
1991
= 3(1 +3

2
+3
4
+3
6
)+3
9
(1 +3
2
+3
4
+3
6
)+3
17
(1 +3
2
+3
4
+3
5
)+. . .
+3
1985
(1+3
2
+3
4
+3
6

)
= (1+3
2
+3
4
+3
6
) n= 820n= 41.20n Vậy D
M
41

Bài tập 27: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho :
a) (2x +1) (y–3) = 10
b) (3x –2) (2y–3) = 1
c) (x +1) (2y–1) = 12
d) x+6 = y(x–1)
e) x–3 = y(x+2)
Hướng dẫn Do x,y
N∈
a) (2x +1) (y–3) = 10
⇒
(2x +1) =
10
y 3−
.Do (2x +1)
N∈
⇒
10
y 3−
N∈

⇒
y –3 là ước
tự nhiên của 10
* y –3 = 10
⇒
y = 13 nên x = 0
* y –3 = 5
⇒
y = 8 nên x =
1
N
2
∉
(loại)
* y –3 = 2
⇒
y = 5 nên x = 2
* y –3 = 1
⇒
y = 4 nên x =
9
N
2
∉
(loại) vậy x = 0 , y = 13 hoặc x = 2 , y = 5 là
các cặp số cần tìm
b) (3x –2) (2y–3) = 1
⇔
nên
3x 2 1 x 1

2y 3 1 y 2
− = =
 
⇔
 
− = =
 
x = 1 , y = 2 là các số cần tìm
c) (x +1) (2y –1) = 12
⇒
(x + 1) =
12
2y 1−
.Do (x +1)
N∈
⇒
12
2y 1−
N∈
⇒
2y–1là
ước tự nhiên lẽ của 12
* 2y –1 = 1
⇒
y = 1 nên x = 11
* 2y –1 = 3
⇒
y = 2 nên x = 3 vậy x = 11 , y = 1 hoặc x = 3 , y = 2 là các cặp
số cần tìm
d) x+6 = y(x–1)

⇒
(x+6)
M
(x–1)
⇒
(x–1+7)
M
(x–1)
⇒
7
M
(x–1)

⇒
(x–1) =
x 1 7 x 8 y 2
x 1 1 x 2 y 8
− = = ⇒ =
 
⇒
 
− = = ⇒ =
 
vậy x = 8, y = 2 hoặc x = 2 , y = 8 là các
cặp số cần tìm
e) x–3 = y(x+2)
⇒
(x–3)
M
(x+2)

⇒
(x+2–5)
M
(x+2)
⇒
5
M
(x+2)
⇒
x+2 là ước
tự nhiên của 5
* x+2 = 5
⇒
x = 3
⇒
y = 0
* x+2 = 1
⇒
x = -1
N∉
vậy x = 3, y = 0 là cặp
số cần tìm
Bài tập 28: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a) n
2
+ 4 chia hết cho n+ 2
b) 13n chia hết cho n–1
c) 1+2+3+4+. . . n = 820
Hướng dẫn
a) n

2
+4
M
n+2
⇒
(n-2) (n+2)+8
M
n+2
⇒
8
M
n+2
⇒
n 2 8 n 6
n 2 1 n 1(loaïi)
n 2 4 n 2
n 2 2 n 0
+ = =
 
 
+ = = −
 
⇒
 
+ = =
 
+ = =
 
b) 13n
M

n–1
⇒
13n– 13+13
M
n–1
⇒
13
M
n–1
⇒
n 1 1 n 2
n 1 13 n 14
− = =
 
⇒
 
− = =
 
c) 1+2+3+4+. . . n = 820 ta có 1+2+3+4+. . . n
n(n 1)
2
+
=
nên
n(n 1)
820
2
+
=
hay

n(n+1) = 1640
Hay n(n+1) = 2
3
.5.41= 40.41 vậy n = 40
Bài tập 29:
Hướng dẫn Ta có 398 chia cho a dư 38 nên 398- 38= 360
M
a và a > 38
Và 450 chia cho a dư 18 nên 450- 18= 432
M
a vậy a là ước chung của
360 và 432 và a > 38
Vậy a = 72
Bài tập 30: Tìm các số tự nhiên a biết rằng 350 chia cho a dư 14 còn 320 chia cho a thì dư
26
Hướng dẫn Ta có 350 chia cho a dư 14 nên 350 -14 = 336
M
a
Và 320 chia cho a dư 26 nên 320 -26 = 294
M
a .Vậy a là ước chung của
336 và 294 và a > 26
Vậy a = 42
VI.Bài tập về bội và ước của số tự nhiên:
Bài tập 31: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng chia nó cho 17 dư 8, còn chia nó
cho25 thì dư 16
Hướng dẫn n là số cần tìm thì n - 8
M
17
⇒

n – 8+17
M
17
⇒
n +9
M
17
n-16
M
25
⇒
n –16+25
M
17
⇒
n +9
M
25
Do đó n +9 là bội chung có ba chữ số của 25 và 17 hay n + 9 = 425k trong đó 425 =
BCNN(17;25) và k
*
N∈

• k = 1 ta có n = 425-9 = 416
• k = 2 ta có n = 850 -9 = 841
Bài tập 32: Tìm các số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số biết rằng n chia cho 8 dư 7, n
chia cho 31 thì dư 28
Hướng dẫn n là số cần tìm thì n - 7
M
8

⇒
n +1
M
8
⇒
n + 1+ 64
M
8
⇒
n + 65
M
8
n- 28
M
31
⇒
n + 3
M
31
⇒
n + 3+ 62
M
31
⇒
n + 65
M
31
Do đó n + 65 là bội chung lớn nhất có ba chữ số của 8 và 31 hay n + 65 = 248k trong đó
248 = BCNN(8;31)

và k
*
N∈

• k = 5 ta có n = 248.5 - 65 = 1175 có 4 chữ số (loại)
• k = 4 ta có n = 248.4 -65 = 927 là số cần tìm
Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên n nhỏ hơn 500 biết rằng n chia cho 15 dư 8, n chia cho
35 thì dư 13
Hướng dẫn n là số cần tìm thì n - 8
M
15
⇒
n – 8+30
M
15
⇒
n +22
M
15
n-13
M
35
⇒
n –13+35
M
35
⇒
n +22
M
35

Do đó n +22 là bội chung nhỏ hơn 500 của 15 và 35 hay n = 105k – 22 trong đó 105 =
BCNN(15;35) và k
*
N∈

• k = 1 ta có n = 105 –22 = 83
• k = 2 ta có n = 105.2 –22 = 188
• k = 3 ta có n = 105.3 –22 = 293
• k = 4 ta có n = 105.4 –22 = 398
Bài tập 34: Tìm các số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số biết rằng n chia lần lượt cho
2,3,4,5,6có số dư lần lượt là 1,2,3,4,5
Hướng dẫn n là số cần tìm thì n + 1
∈
BC(2,3,4,5,6) .Do đó n +1 = 60.k hay n = 60.k
-1
≤
999 .Do n là số lớn nhất có 3 chữ số nên k
≤
1000
60
hay k
≤
16
• với k = 16 thì n = 60.16-1= 960-1= 959
• với k = 15 thì n = 60.15-1= 900-1= 899 < 959 vậy n = 959
Bài tập 35: Tìm các số tự nhiên n nhỏ nhất biết rằng n chia lần lượt cho 8,12,15 có số dư
lần lượt là 6,10,13nhưng chia hết cho 23
Hướng dẫn n là số cần tìm thì n +2
∈
BC(8,12,15) hay n = 120k –2 và n = 23m

Nên 120k –2 = 23m
⇒

120k 2
m
23
−
=
=
6k 2
23.5k
23
−
+
⇒
k
25 1
4
6 6
≥ =
vậy k
≥
4
• Với k = 4 thì n = 478 không chia hết cho 23
• Với k = 5 thì n = 598 nhỏ nhất chia hết cho 23 là số cần tìm
VII. Tập hợp số nguyên Z
a. Z =
{ }
5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;5 − − − − −
b. a,b,c

Z∈
ta có :
* a < b
⇒
a+c < b +c
* a < b
⇒
a.c < b.c với c > 0
* a < b
⇒
a.c > b.c với c < 0
VIII.Bài tập về các phép toán trên số nguyên
Bài tập 36:Tìm số nguyên x biết rằng :x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . .
+17+18+19+20 = 20
Hướng dẫn Ta có : x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19+20 = 20
Suy ra : x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19 = 0
(x + 19) +(x +1 +18)+ (x+2 +17) +. . . = 0
(x + 19) +(x + 19) +(x + 19) + . . . = 0

⇒
x+19 = 0
⇒
x = –19
Bài tập 37: Tìm các số nguyên a,b,c biết rằng : a + b = 11; b + c = 13; c + a = 2
Hướng dẫn: a + b + b + c + c + a = 11+13 +2
2(a+b+c) = 26
⇒
a+b+c = 13
⇒
(a+b+c) –( b + c) = 13-13

⇒

a= 0 ,b = 11,c = 2
Bài tập 38: Tìm các số nguyên a,b,c biết rằng :
a+b+c+d= 1 ; a+c+d = 2 ; a+b+d = 3 ; a+b+c = 4
Hướng dẫn:

a b c d 1
a c d 2
b 1
+ + + =
−
+ + =
= −

a b c d 1
a b d 3
c 2
+ + + =
−
+ + =
= −

a b c d 1
a b c 4
d 3
+ + + =
−
+ + =
= −

a+b+c+d= 1
⇒
a=
1+1+2+3=7
Bài tập39:Cho x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
+ . . .+x
48
+x
49
+x
50
+x
51
= 0
và (x
1
+x
2
) = (x
3
+x

4
) =(x
5
+ x
6
) =. . .= (x
47
+x
48
) = (x
49
+x
50
) = (x
50
+x
51
) = 1.Tính
x
50
Hướng dẫn: Ta có
(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x

5
+ . . .+x
48
+x
49
+x
50
+x
51
) = (x
1
+x
2
)+(x
3
+x
4
)+(x
5
+x
6
)+. . .+(x
47
+x
48
)+
(x
49
+x
50

)+x
51
0 = 25+x
51
Vậy x
51
= -25 mà x
51
+ x
50
= 1 hay -25 + x
50
= 1
⇒
x
50
= 26
Bài tập40:Thực hiện phép tính sau : 2
100
–2
99
–2
98
–2
97
– . . . . –2
3
–2
2
–2–1

Hướng dẫn: D = 2
100
–2
99
–2
98
–2
97
– . . . . –2
3
–2
2
–2–1
2D = 2
101
–2
100
–2
99
–2
98
–2
97
– . . . . –2
3
–2
2
–2
D = 2D –D = 2
101

– 2.2
100
+1= 2
101

– 2
101
+1= 1
Bài tập41:Tìm các số nguyên x sao cho :
a) (x –1)
2
= 0 b) x(x –1) = 0 c) (x+1)(x –2)
= 0
Hướng dẫn:
a) (x –1)
2
= 0
⇔
x-1 = 0
⇔
x = 1
b) x(x –1) = 0
x 0 x 0
x 1 0 x 1
= =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 

c) (x+1)(x –2) = 0
x 1 0 x 1
x 2 0 x 2
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
− = =
 

Bài tập42:Cho dãy số : a
1.
; a
2;
a
3;
a
4;

. . . .
a
99;
a
100
.Trong đó a
1
= 1; a
2
= –1;a
k

= a
k-2
.a
k-1
; (k
∈
N ,k
≥
3)Tính a
100
Hướng dẫn: Ta có : a
1.
a
2
= a
3
= 1.(-1) = -1 ; a
2
.

a
3
= a
4
= (-1).(-1) = 1 ; a
3
. a
4
=

a
5
= ( -1

).1= -1
Vậy ta có dãy số như sau: 1;-1;-1;1;-1;-1;1. . .
Vậy a
97
=1 ;a
98
= -1 ;a
99
=-1 vậy a
100
= 1
Bài tập43Tìm các cặp số nguyên x và y sao cho :
Hướng dẫn: a) xy –3x +2y = 11
⇔
xy –3x +2y –6 = 5
⇔
x(y –3)+2(y –3) = 5
⇔
(y –3)(x+2) = 5
⇔
(y –3) =
5
x 2+

⇔
x +2

∈
5
x 2 1 x 1 y 8
x 2 1 x 3 y 2
x 2 5 x 3 y 4
x 1 5 x 4 y 2
+ = = − ⇒ =
 
 
+ = − = − ⇒ = −
 
⇔ ⇔
 
+ = = ⇒ =
 
− = − = − ⇒ =
 
b) x
2
y –x + xy = 4
⇔
xy(x +1) –( x+1) = 3
⇔
(x +1)( xy –1) = 3
⇔
3
M
(x+1)
x 1 1 x 0 loïai
x 1 1 x 2 y 1

x 1 3 x 2 y 1
x 1 3 x 4 y 0
+ = =
 
 
+ = − = − ⇒ =
 
⇔ ⇔
 
+ = = ⇒ =
 
+ = − = − ⇒ =
 
Bài tập44: Tìm tổng A và B Với A là tổng các số nguyên âm lẽ có hai chữ số và B là tổng
các số nguyên dương chẳn có hai chữ số
Hướng dẫn: A + B= 10-11+12-13+14-15+. . . +98-99 = 45. (-1) = - 45
Bài tập45 : Cho A = 2–5 + 8–11+ 14 –17+ . . .–95+ 98–101
a) Viết số hạng thứ n dưới dạng tổng quát .
b) Tính giá trị của biểu thức A
Hướng dẫn: a) Ta có : a
n
= –(2a
n-1
+ a
n-2
)
b) Trong A có 34 số hạng chia thành 17 cặp mỗi cặp đều bằng -3 nên
tổng A = 17.(-3) = -51
Bài tập46 : Cho B =1+ 2–3–4 + 5+6 –7–8+ . . . –99–100.
a) A có chia hết cho 2,cho 3, cho 5 hay không ?

b) A có bao nhiêu ước nguyên có bao nhiêu ước tự nhiên.
Hướng dẫn: a) Tổng trên có 100 số hạng chia thành 25 nhóm mỗi có bốn số hạng đều
bằng -4 vậy tổng trên bằng : 25 .(-4) = -100 vậy A chia hết cho 2, cho5 và không chia hết
cho 3
c) Phân tích tổng A = 2
2
. 5
2
nên có 9 ước tự nhiên là :1,2,4,5,10,20,25,50,100
Và có 18 ước nguyên là
±
1,
±
2,
±
4,
±
5,
±
10,
±
20,
±
25,
±
50,
±
100
Bài tập47 : Tìm số nguyên n sao cho :
a) n+5

M
n–2 b) 2 n+1
M
n–5 c) n
2
+ 3n –13
M
n +3 d) n
2

+ 3
M
n–1