Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6

Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ Phạm Hải
B i giảng 5 : liên quan ƯCLN và BCNN
Kiểm tra bài cũ
1. Tìm ( 24 ; 30 ) . Từ đó hãy tìm tâp ƯC ( 24 ; 30 )
2. Tìm [ 24 ; 30 ] . Từ đó hãy tìm tập BC ( 24 ; 30 )
A. Bài giảng mới
Bài toán 1 : Gọi d = ( 24 ; 30 ) và D = [ 24 ; 30 ] . Hãy tìm tích d.D
Bài toán 2 : Tìm ( 16 ; 28 ) và [ 16 ; 28 ] rồi tính ( 16 ; 28 ). [ 16 ; 28 ]
Học sinh tự làm bài toán 2 vào vở
Câu hỏi : Hãy so sánh 24.30 với d.D và 16.28 với ( 16 ; 28 ). [ 16 ; 28 ]
Kết luận : a.b = ( a ; b ).[ a ; b ]
Hãy vận dụng kết luận trên để giải những bài toán sau đây
Bài tập 1 :
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 15 và [ a ; b ] = 300
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 12 và [ a ; b ] = 72
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 10 và [ a ; b ] = 900
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 6 và [ a ; b ] = 180
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) = 15 và [ a ; b ] = 180
Xem lời giải bài toán 1 :
Từ đề bài suy ra ab = 15.300 = 4500
Giả sử a b , vì ( a ; b ) = 15 nên a =15.m và b = 15.n với ( m ; n ) = 1,
m , n N
*
. Do a b nên m n và ab = 15.m.15.n = 4500
Vậy 225.m.n = 4500 .Từ đó m.n = 20. Ta cần phân tích 20 thành
tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau .Ta có bảng sau :
m n a b
1 20 15 300
4 5 60 75
Đáp số : a = 15 , b = 300 hoặc ngợc lại

a = 60 , b = 75 hoặc ngợc lại
Em vận dụng cách giải trên để làm các câu còn lại
Bài tập 2 :
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 720 và ( a ; b ) = 6
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 2700 và [ a ; b ] = 900
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 4050 và ( a ; b ) = 3
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 360 và [ a ; b ] = 60
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ab = 9000 và [ a ; b ] = 900
Xem lời giải bài toán 2 :
Từ đề bài suy ra ( a ; b ) = 2700 : 900 = 3
Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 1
Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ Phạm Hải
Vậy a = 3.m và b = 3.n với m , n N
*
và ( m ; n ) = 1 .
Giả sử a b ta có m n và 3.m.3.n = 2700 , vậy m.n = 2700 : 9 = 300 .Ta cần
phân tích 300 thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau với m < n .
Ta có bảng sau :
m 1 3 4 12
n 300 100 75 25
Với m = 1 , n = 300 ta có a = 3 và b = 900
Với m = 3 , n = 100 ta có a = 9 và b = 300 V ng ợc lại
Với m = 4 , n = 75 ta có a = 12 và b = 225
Với m = 12 , n = 25 ta có a = 36 và b = 75
Tóm lại ta có 8 đáp số
Xem lời giải bài toán 3 :
Vì ( a ; b ) = 3 nên a = 3.m và b = 3.n với m , n N
*
và ( m ; n ) = 1 .

Từ đó 3.m.3.n = 4050 , nên m.n = 450 . Giả sử a b thì m < n . Ta cần phân tích
số 450 thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau với m < n .Ta có bẳng sau
m 1 2 9 18
n 450 225 50 25
Với m = 1 , n = 450 ta có a = 3 và b = 1350
Với m = 2 , n = 225 ta có a = 6 và b = 675
Với m = 9 , n = 50 ta có a = 27 và b = 150 V ng ợc lại
Với m =18 , n = 25 ta có a = 54 và b = 75
Tóm lại ta có 8 đáp số
Em vận dụng cách giải trên để làm các câu còn lại
Bài tập 3 * :
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 19
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 15
Tìm hai số tự nhiên a và b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 55
Tìm hai số tự nhiên a và b biết [ a ; b ] - ( a ; b ) = 5
Tìm hai số tự nhiên a và b biết [ a ; b ] - ( a ; b ) = 35
Xem lời giải bài toán 1 :
Gọi ( a ; b ) = d a = d.m và b = d.n , với m ,n N
*
, ( m , n) = 1 .
Khi đó ab = d
2
.m.n .Và giả sử a b ,ta đợc m n . áp dụng kết luận ta
đợc :
[ ]
( )
2
;
;
ab d mn

a b dmn
a b d
= = =
Lại do ( a ; b ) + [ a ; b ] = 19 , nên ta có d + d.m.n = 19 , hay :
Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 2
Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ Phạm Hải
d ( 1 + mn ) = 19 . Vậy m.n + 1 là ớc lớn hơn 1 của 19 . Do 19 nguyên tố nên m.n +
1 = 19 và d = 1 , hay m.n = 18 , ta cần phân tích 18 thành tích của hai thừa số
nguyên tố cùng nhau với m < n
Có bảng sau đây :
m 1 2
n 18 9
Với m = 1 và n = 18 ta có a = md = 1.1 = 1 , b = nd = 18.1 = 18
Với m = 2 và n = 9 ta có a = md = 2.1 = 2 , b = nd = 9.1 = 9
Bài toán có 4 đáp số a = 1 , b = 18 và ngợc lại
a = 2 , b = 9 và ngợc lại
Xem lời giải bài toán 4 :
Gọi ( a ; b ) = d a = d.m và b = d.n , với m ,n N
*
, ( m , n) = 1 .
Khi đó ab = d
2
.m.n .Và giả sử a b ,ta đợc m n . áp dụng kết luận ta
đợc :
[ ]
( )
2
;
;

ab d mn
a b dmn
a b d
= = =
Lại do [ a ; b ] - ( a ; b ) = 5 , nên ta có d.m.n - d = 5 , hay
d ( mn 1 ) = 5 . Vậy mn 1 là ớc lớn hơn 1 của 5 mà 5 nguyên tố nên mn 1
= 5 và d = 1 . Từ đó mn = 6 ta cần phân tích 6 thành tích của hai thừa số nguyên
tố cùng nhau với m < n
m 1 2
n 6 3
Với m = 1 và n = 6 ta có a = d.m = 1.1=1 , b = d.n = 1.6.= 6
Với m = 2 và n = 3 ta có a = d.m = 1.2= 2 , b = d.n = 1.3 = 3
Bài toán có 4 đáp số a = 1 , b = 6 và ngợc lại
a = 2 , b = 3 và ngợc lại
Em vận dụng cách giải trên để làm các câu còn lại
Bài tập về nhà :
1. Làm nốt những bài tập ở trên lớp làm cha xong
2. Tìm các số tự nhiên a , b biết ( a ; b ) + [ a ; b ] = 14
3. Tìm các số tự nhiên a , b biết ab = 180 , [ a ; b ] = 20.( a ; b )
4. Tìm các số tự nhiên a , b biết a + b = 30, [ a ; b ] = 6.( a ; b )

Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 3