Giáo án bồi dưỡng HSG Toán 6 phần phân số tối giản

Giáo án BDHSG Toán 6
Thanh Mỹ, ngày tháng năm 2014
Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a
M
d và b
M
d thì ma
±
nb
M
d với m, n
∈
Z
+) Nếu a
M
m thì a
±
md
M
d .
với m
∈
Z
+)
a
b
là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8.

Hướng dẫn
a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d
⇒
7n + 10
M
d và 5n + 7
M
d
⇒
5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1
M
d
⇒
d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d
⇒
2n + 3
M
d và 4n + 8
M
d
⇒
(4n + 8) – 2(2n + 3) = 2
M
d
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ
⇒
d là số lẻ
⇒

d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để
19
2
n
n
+
−
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có:
19
2
n
n
+
−
=
2 21 21
1
2 2
n
n n
− +
= +
− −
Để
19
2

n
n
+
−
tối giản thì
21
2n −
tối giản
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và
không chia hết cho 7.
⇒
n – 2
≠
3k (k
∈
N) và n – 2
≠
7p (p
∈
N)
⇒
n
≠
3k + 2 (k
∈
N) và n
≠
7p + 2 (p
∈
N)

Vậy với n
≠
3k + 2 (k
∈
N) và n
≠
7p + 2 (p
∈
N) thì
19
2
n
n
+
−
tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được.
Hướng dẫn
Để
4 5
5 4
n
n

+
+
có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1
⇒
4n + 5
M
d và 5n + 4
M
d
⇒
5(4n + 5) – 4(5n + 4)
M
d hay 9
M
d
⇒
4n + 5
M
3 và 5n + 4
M
3
⇒
n – 1
M
3
⇒
n – 1 = 3k
⇒
n = 3k + 1 (k
∈

N)
Vậy với n = 3k + 1 (k
∈
N) thì
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
1
Giáo án BDHSG Toán 6
Hướng dẫn
Ta có:
3 2
2 3
2
n n
n

− +
−
=
2
3
2
n
n
+
−
Vì n
∈
N nên n
2
∈
N
⇒
Để
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên thì n – 2
∈
Ư(3)
⇒
n – 2

∈
{ }
1; 3
⇒
n
∈
{ }
3; 5
Vậy với n
∈
{ }
3; 5
thì
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản.
Hướng dẫn

Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2
⇒
12n + 1
M
d và 30n + 2
M
d

⇒
5(12n +1) - 2(30n + 2) =1
M
d
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số
34
1938
+
+
=
n
n
A

a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Hướng dẫn
Ta cú:
34
187
2
34
187)34(2
34
1938
+
+=
+
++
=
+
+
=
nn
n
n
n
A
a) Để A
∈
N thì 187
M
4n + 3

⇒
4n +3
∈

{ }
1; 17; 11; 187

+) 4n + 3 = 1
⇒
không có n
∈
N
+) 4n + 3 = 11
⇒
n = 2
+) 4n +3 = 187
⇒
n = 46
+) 4n + 3 = 17
⇒
4n = 14
⇒
không có n
∈
N
Vậy n
∈

{ }
2; 46

b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
⇒
4n + 3
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4n + 3 - 11
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3 - 51
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4(n – 2)
≠
11k (k
∈
N) và 4(n – 12)
≠
17m (m

∈
N)
⇒
n
≠
11k + 2 (k
∈
N) và n
≠
17m +12 (m
∈
N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12
Vỡ 150 < n < 170
⇒
n
∈

{ }
156; 165

Bài 7: Cho phân số A
3
1
−
+
=
n
n
(

;zn ∈

3≠n
)
a) Tìm
n
để A có giá trị nguyên.
b) Tìm
n
để A là phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta cú:
3
4
1
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
=
nn
n
n

n
A
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
2
Giáo án BDHSG Toán 6
⇒
A
có gá trị nguyên
⇔
n-3
∈
{ }
1; 2; 4± ± ±
n - 3 1 -1 2 -2 4 -4
n 4 2 5 1 7 -1
Vậy n
∈
{ }
4; 2; 5; 1; 7; 1−
b) Muốn cho
3
1
−
+
n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1
Ta có : (n+1; n-3) = 1
⇔
(n-3; 4) = 1

⇔
n-3
/
M
2
⇔
n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số:
314
421
+
+
n
n
. Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4
M
d và 14n + 3
M
d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1
M
d
⇒
d = 1
Vậy
314
421

+
+
n
n
là phõn số tối giản
Bài 9: Cho biểu thức
122
12
23
23
+++
−+
=
aaa
aa
A

a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a
là một phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta có:
122
12
23
23
+++
−+
=
aaa

aa
A
=
1
1
)1)(1(
)1)(1(
2
2
2
2
++
−+
=
+++
−++
aa
aa
aaa
aaa
(a ≠ -1)
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a
2
+ a – 1 và a
2
+a +1
Vì a
2
+ a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a

2
+a +1 – (a
2
+ a – 1)]
M
d
Nên d = 1 tức là a
2
+ a + 1 và a
2
+ a – 1 nguyên tố cùng nhau.
Vậy biểu thức A là phân số tối giản.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
3