quann điểm sác xuất theo hình học

1 GV. Dương Hồng Kiệt

QUAN ĐIỂM XÁC SUẤT THEO HÌNH HỌC

Để mở rộng cho trường hợp phép thử tạo ra vô hạn kết quả đồng khả năng và
tập kết quả đó có thể biểu diễn bằng một độ đo
G
(khoảng cách, diện tích, thể tích,
K
), còn các kết quả thuận lợi cho biến cố
A
được biểu diễn bằng một độ đo
g
, với
G
g
⊆
. Nếu xét trong mặt phẳng thì độ đo
G
,
g
tương ứng là diện tích
G
S
và
g
S
của miền
G
và miền
g

. Khi đó xác suất của biến cố
A
được đònh nghóa bằng
phương pháp hình học như sau:

G
g
S
S
AP =)(
(2.2)

Ví dụ
2.7.
Chia một đoạn thẳng dài
)
(
2
m
thành ba đoạn một cách ngẫu nhiên.
Tìm xác suất để ba đoạn được tạo thành một tam giác?
Giải
Gọi
x
,
y
và
y
x
−

−
2
lần lượt là độ dài của ba đoạn được chia một cách
ngẫu nhiên. Khi đó mỗi điểm
)
,
(
y
x
trong mặt phẳng thoả hệ bất phương trình sau:







>−−
>
>
02
0
0
yx
y
x
hay








<+
>
>
2
0
0
yx
y
x

đều có thể cho ta ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác, nên thuộc miền
G
.
Mặt khác để ba đoạn thẳng có độ dài nêu trên tạo thành một tam giác thì tổng độ
dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài của cạnh còn lại. Vậy những điểm
)
,
(
y
x

trong mặt phẳng thoả hệ bất phương trình sau:








+<−−
−−+<
−−+<
yxyx
yxxy
yxyx
2
)2(
)2(
hay







>+
<
<
1
1
1
yx
y
x

2 GV. Dương Hồng Kiệt

đều thuộc miền
g
.
Vẽ miền
G
và
g
lên cùng một hệ trục toạ độ vuông góc trong mặt phẳng, ta
có hình 1.
Ta ký hiệu miền
G
là miền có chứa các dấu chấm nhỏ, còn miền
g
là miền
bò gạch chéo, nằm trong miền
G
. Ta có:
)(2
2
mS
G
= và )(
2
1
2
mS
g
=

Do đó nếu gọi
A
là biến cố ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác thì:
4
1
)( =AP











Hình 1. Biểu diễn miền
G
và miền
g


Bài tập. A hẹn gặp B từ 7h00 đến 8h00 với qui ước “người đến trước chờ 20 phút
hoặc đến 8h00 thì bỏ đi. Tính xác suất để A, B gặp nhau?
Đáp số: 5/9