ước lượng tham số

Chng 5

C LNG THAM S

111






Chương
5


Ước lượng tham số




Giả sử ñặc trưng của tổng thể cần nghiên cứu ñược biểu diễn bởi một biến
ngẫu nhiên X, xác ñịnh trên một không gian mẫu
M
. Có thể nói gọn là "tổng thể
X". Tổng thể X có các giá trị cần biết như kỳ vọng, phương sai . . . , ñược gọi là
các tham số của tổng thể (gọi tắt là tham số). Vì chúng ta không nghiên cứu trên
toàn bộ tổng thể, nên các tham số này chưa ñược biết một cách chính xác, mà chỉ
ñược ước tính nhờ các quan sát trên mẫu.
Một trong những bài toán quan trọng của thống kê toán là ước lượng giá trị
của một hoặc nhiều tham số tổng thể. Lời giải ñáp cho vấn ñề này có thể có dạng

một giá trị duy nhất, gọi là Ước lượng ñiểm, hoặc có dạng một khoảng, gọi là
Ước lượng khoảng.

1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Giả sử chúng ta ñã biết dạng của h.m.ñ. f của BNN X, nhưng giá trị của f
phụ thuộc một tham số θ, với θ có thể lấy bất kỳ giá trị nào trong một tập hợp Ω.
Giá trị của f ñược viết dưới dạng f (x;θ ), θ ∈ Ω. Tập hợp Ω ñược gọi là không
gian tham số. Như vậy, chúng ta có một họ các h.m.ñ. ñược ký hiệu bởi {f (x; θ ),
θ ∈ Ω}.
Với mỗi giá trị của θ , có tương ứng một phần tử của họ. Cũng có thể dùng
ký hiệu riêng của phân phối thay cho h.m.ñ. của phân phối ñó. Thí dụ, họ phân
phối chuẩn {n (θ ,1), θ ∈ }; một phần tử của họ là N(0,1).
Xét họ h.m.ñ. {f (x;θ ), θ ∈ Ω}. Giả sử chúng ta muốn chọn chính xác một
phần tử của họ ñó làm h.m.ñ. cho BNN X ñang nghiên cứu, i.e. chúng ta cần một
ước lượng ñiểm cho
θ
.
Xét mẫu (X
1
, X
2
, , X
n
) ñược thành lập từ BNN X có h.m.ñ. là một trong
các phần tử của họ {f (x;θ ), θ ∈ Ω}, i.e. mẫu ñó ñược thành lập từ phân phối có
h.m.ñ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Bài toán ñược ñặt ra là:
Tìm một thống kê T = u

(X
1

, X
2
, , X
n
) sao cho nếu (x
1
, x
2
, , x
n
) là một
mẫu cụ thể, thì số thực t = u(x
1
, x
2
, , x
n
) là một ước lượng ñiểm tốt cho θ .

Chng 5

C LNG THAM S

112


1.1. Định nghĩa. Giả sử (X
1
, X
2

, , X
n
) là mẫu ñược thành lập từ phân
phối có h.m.ñ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Một thống kê T = u

(X
1
, X
2
, , X
n
) không phụ
thuộc θ ñược gọi là một ước lượng ñiểm (nói gọn là một ước lượng) của tham
số
θ
nếu giá trị của nó tại một mẫu cụ thể ñược dùng ñể tính xấp xỉ θ . Giá trị ñó
ñược gọi là một giá trị ước lượng của θ.
Các nhà thống kê ñã nêu lên một số tiêu chuẩn ñể chọn ước lượng tốt nhất
cho tham số θ .
1.2. Định nghĩa. Giả sử (X
1
, X
2
, , X
n
) là mẫu ñược thành lập từ phân
phối có h.m.ñ. f (x;θ ), θ ∈ Ω, và T = u

(X
1

, X
2
, , X
n
) là một ước lượng của θ .
(a) T ñược gọi là một ước lượng không chệch của θ nếu E(T ) = θ.
(b) Nếu T là một ước lượng không chệch của θ và D(T) không lớn hơn
phương sai của bất kỳ một ước lượng không chệch nào khác của θ, thì T ñược gọi
là một ước lượng hiệu quả của θ .
(c) T ñược gọi là một ước lượng vững của θ nếu nếu với mọi ε > 0,
(
)
lim P 1
n
T
∞
− θ < ε =
.
Thí dụ. Giả sử (X
1
, X
2
, , X
n
) là mẫu ñược thành lập từ phân phối có kỳ
vọng µ và phương sai
σ

2
. Xét thống kê

1
1
n
i
n
i
X X
=
=
∑
, chúng ta có:
E(
X
) = µ
và
(
)
lim P 1
→∞
− µ < ε =
n
X
(do Định lý Chebyshev),
nên
X
là một ước lượng không chệch và vững của µ .
Tương tự, thống kê
1
2 2
1

1
( )
n
i
n
i
S X X
−
=
= −
∑
là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng không ch
ệ
ch
và v
ữ
ng c
ủ
a
σ

2
.
1.3. Định nghĩa.

Cho BNN X có h.m.
ñ
. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Ng
ườ
i ta g
ọ
i s
ố

th
ự
c
(
)
2
ln ( , )
I( ) E
f X∂ θ
∂θ
 
θ =
 
 
,

n
ế
u nó t
ồ
n t

ạ
i, là
Lượng thông tin Fisher
c
ủ
a X.
1.4. Định lý.

( Bất ñẳng thức Rao - Cramer )


Chng 5

C LNG THAM S

113


Gi
ả
s
ử
(X
1
, X
2
, , X
n
) là m
ộ

t m
ẫ
u
ñượ
c thành l
ậ
p t
ừ
BNN X có h.m.
ñ
.
f (x;θ), θ ∈ Ω, t
ồ
n t
ạ
i I(θ ), và T = u

(X
1
, X
2
, , X
n
) là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng không

ch
ệ
ch c
ủ
a θ. Khi
ñ
ó,
2
1
.I( )
T
n
θ
σ ≥

• Nh
ư
v
ậ
y, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i I(θ ) thì m
ộ
t
ướ
c l

ượ
ng không ch
ệ
ch c
ủ
a θ s
ẽ
là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a θ n
ế
u nó có ph
ươ
ng sai b
ằ
ng
1
.I( )
n
θ

.
Thí dụ.
Gi
ả
s
ử
(X
1
, X
2
, , X
n
) là m
ộ
t m
ẫ
u
ñượ
c thành l
ậ
p t
ừ
BNN X có
phân ph
ố
i chu
ẩ
n n(θ ,
σ

2
), θ ∈

. Th
ố
ng kê
1
1
n
i
n
i
X X
=
=
∑
là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng hi
ệ
u
qu
ả
c
ủ
a θ .

Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ư
c x và θ , giá tr
ị
c
ủ
a h.m.
ñ
. c
ủ
a X là:
2
2
( )
1
2
2
( ; ) exp
− θ
σ π

σ
 
θ = −
 
 
x
f x
> 0
nên
2
ln ( ; )f x x
∂ θ − θ
∂θ
σ
=

Do
ñ
ó,
(
)
2
4 2
2
ln ( ; ) E( )
1
I( ) = E
f X X∂ θ − θ
∂θ
σ σ

 
θ = =
 
 

Chúng ta
ñ
ã bi
ế
t
X
là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng không ch
ệ
ch c
ủ
a θ ; ngoài ra,
2
1
.I( )
D( )
n n
X
σ
θ

= =
,
nên
X
là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng
hiệu quả
c
ủ
a θ.

2. PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Có m
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng pháp
ñể
tìm hàm
ướ
c l
ượ
ng t

ố
t nh
ấ
t cho m
ộ
t tham s
ố

θ

nh
ư
ph
ươ
ng pháp moment, ph
ươ
ng pháp h
ợ
p lý c
ự
c
ñạ
i, …. Giáo trình này ch
ỉ

nêu ph
ươ
ng pháp h
ợ
p lý c

ự
c
ñạ
i.
2.1. Phương pháp họp lý cực ñại.
Gi
ả
s
ử
(X
1
, X
2
, , X
n
) là m
ẫ
u
ñượ
c thành l
ậ
p t
ừ
t
ổ
ng th
ể
X có h.m.
ñ
. f (x;

θ), θ ∈ Ω. Giá tr
ị
c
ủ
a h.m.
ñ
. c
ủ
a vect
ơ
ng
ẫ
u nhiên (X
1
, X
2
, , X
n
) t
ạ
i m
ộ
t m
ẫ
u c
ụ


Chng 5

C LNG THAM S

114


th
ể
(x
1
, x
2
, , x
n
) là:
1 2
( , ). ( , ). . . ( , )
n
f x f x f x
θ θ θ

Xác su
ấ
t trên có th
ể

ñượ
c xem nh
ư
là m
ộ

t hàm c
ủ
a θ và
ñượ
c ký hi
ệ
u là
L(θ ).
Hàm
L
: θ
֏
L(θ ) xác
ñị
nh trên Ω
ñượ
c g
ọ
i là
hàm hợp lý
c
ủ
a X.
Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng chúng ta có th

ể
tìm
ñượ
c m
ộ
t hàm u
ñ
o
ñượ
c trên

n
sao cho,
khi θ l
ấ
y giá tr
ị
u(x
1
, x
2
, , x
n
) thì hàm L
ñạ
t
cực ñại
. Khi
ñ
ó, th

ố
ng kê u

(X
1
,
X
2
, , X
n
)
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
ước lượng hợp lý cực ñại
cho θ, và
ñượ
c ký hi
ệ
u là
ˆ
θ
, i.e.
ˆ
θ
= u


(X
1
, X
2
, , X
n
)
u(x
1
, x
2
, , x
n
)
ñượ
c g
ọ
i là
giá trị ước lượng hợp lý cực ñại
cho θ .
Chú ý:
N
ế
u L > 0 thì hàm h
ợ
p lý L và ln

L
ñạ
t giá tr

ị
c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i cùng m
ộ
t
ñ
i
ể
m,
nên
ñ
ôi khi ng
ườ
i ta dùng ln

L thay cho L.
2.2. Thí dụ.
Cho (X
1
, X
2
, , X
n
) là m
ộ

t m
ẫ
u
ñượ
c thành l
ậ
p t
ừ
phân ph
ố
i
chu
ẩ
n n(θ,1), θ ∈

. Hãy tìm m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng h
ợ
p lý c
ự
c
ñạ
i cho θ .
Giải.

Giá tr
ị
c
ủ
a h.m.
ñ
. c
ủ
a vect
ơ
ng
ẫ
u nhiên (X
1
, X
2
, , X
n
) t
ạ
i m
ộ
t m
ẫ
u c
ụ
th
ể

(x

1
, x
2
, , x
n
) hay giá tr
ị
c
ủ
a hàm h
ợ
p lý L là:
(
)
2
1 1
2
2
1
L( ) exp ( )
n
n
i
i
x
π
=
 
θ = − − θ
 

 
 
∑

Vì L(θ ) > 0 v
ớ
i m
ọ
i θ ∈

, nên
1
2
2
1
ln (L( )) ( ) ln( 2 )
n
i
i
x n
=
θ = − − θ − π
∑


1
ln (L( )) ( )
n
d
i

d
i
x
θ
=
θ = − θ
∑


ln (L( ))
d
d
θ
θ =
0 ⇔
1
1
n
i
n
i
x
=
θ =
∑

Ngoài ra,
2
2
ln (L( )) 0

d
d
n
θ
θ = − <


Chng 5

C LNG THAM S

115


nên L
ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i duy nh
ấ
t
ñ
i
ể
m
1

1
n
i
n
i
x
=
θ =
∑

Do
ñ
ó, th
ố
ng kê
1
1
ˆ
n
i
n
i
X X
=
θ = =
∑

là
ướ
c l

ượ
ng h
ợ
p lý c
ự
c
ñạ
i duy nh
ấ
t c
ủ
a k
ỳ
v
ọ
ng θ, và giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u
1
1
n
i
n
i
x x
=
=
∑

là giá tr
ị

ướ
c l
ượ
ng h
ợ
p lý c
ự
c
ñạ
i cho θ.
X
c
ũ
ng là m
ộ
t
ướ
c l
ượ
ng không ch
ệ
ch, v
ữ
ng và hi
ệ
u qu
ả

c
ủ
a θ .
2.3. Chú ý. ( Trường hợp nhiều tham số )
Cho (X
1
, X
2
, , X
n
) là m
ộ
t m
ẫ
u
ñượ
c thành l
ậ
p t
ừ
t
ổ
ng th
ể
X có h.m.
ñ
. ph
ụ

thu

ộ
c k tham s
ố
:
f (x ; θ
1
, θ
2
, …, θ
k
), (θ
1
, θ
2
, …, θ
k
) ∈ Ω
Giá tr
ị
c
ủ
a h.m.
ñ
. c
ủ
a vect
ơ
ng
ẫ
u nhiên (X

1
, X
2
, , X
n
) t
ạ
i m
ộ
t m
ẫ
u c
ụ
th
ể

(x
1
, x
2
, , x
n
) là:
1 2
1
( ; , ,. . . ., )
n
i k
i
f x

=
θ θ θ
∏

Xác su
ấ
t trên có th
ể

ñượ
c xem nh
ư
là m
ộ
t hàm c
ủ
a (θ
1
, θ
2
, …, θ
k
) ∈ Ω và
ñượ
c ký hi
ệ
u là L(θ
1
, θ
2

, …, θ
k
).
Hàm
L
: (θ
1
, θ
2
, …, θ
k
)
֏
L(θ
1
, θ
2
, …, θ
k
) xác
ñị
nh trên Ω
ñượ
c g
ọ
i là
hàm hợp lý
c
ủ
a X.

Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng chúng ta có th
ể
tìm
ñượ
c các hàm
ñ
o
ñượ
c u
1
, u
2
, …, u
k
xác
ñị
nh trên

n
sao cho, khi θ
1
, θ
2
, …, θ

k
, theo th
ứ
t
ự
, l
ấ
y giá tr
ị
u
1
(x
1
, x
2
, , x
n
),
u
2
(x
1
, x
2
, , x
n
), …, u
k
(x
1

, x
2
, , x
n
) thì hàm L
ñạ
t
cực ñại
. Khi
ñ
ó, các th
ố
ng kê
1
ˆ
θ
= u
1

(X
1
, X
2
, , X
n
);
2
ˆ
θ
= u

2

(X
1
, X
2
, , X
n
); …;
ˆ
k
θ
= u
k

(X
1
, X
2
, , X
n
)
theo th
ứ
t
ự
,
ñượ
c g
ọ

i là m
ộ
t
ước lượng hợp lý cực ñại
cho θ
1
, θ
2
, …, θ
k
.

3. KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Thông báo θ b
ằ
ng giá tr
ị

ướ
c l
ượ
ng
ñ
i
ể
m t = u(x
1
, x
2
, , x

n
) mà không kèm
theo m
ộ
t
ñộ
chính xác thì thông báo
ñ
ó ít có giá tr
ị
vì t = u(x
1
, x
2
, , x
n
) c
ũ
ng là

Chng 5

C LNG THAM S

116


m
ộ
t giá tr

ị
ng
ẫ
u nhiên
ñượ
c tính t
ừ
m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên. Do v
ậ
y, ng
ườ
i ta ph
ả
i
dùng thêm ph
ươ
ng pháp
ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng.
Gi

ả
s
ử
, d
ự
a vào m
ẫ
u (X
1
, X
2
, , X
n
), chúng ta mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng tham s
ố
θ
c
ủ
a t
ổ
ng th
ể
. N
ế

u tìm
ñượ
c hai th
ố
ng kê T
1
= u
1

(X
1
, X
2
, , X
n
) và T
2
=
u
2

(X
1
, X
2
, , X
n
) sao cho
P( T
1

≤ θ ≤ T
2
) = γ, v
ớ
i γ ∈ (0,1) cho tr
ướ
c
thì kho
ả
ng (t
1
, t
2
), trong
ñ
ó t
1
và t
2
l
ầ
n l
ượ
t là giá tr
ị
c
ủ
a T
1
và T

2
t
ạ
i m
ộ
t
m
ẫ
u c
ụ
th
ể
,


ñượ
c g
ọ
i là
Khoảng ước lượng của
θ
θθ
θ
với ñộ tin cậy
γ
γγ
γ (hay nói
g
ọ
n là

khoảng tin cậy
γ
γγ
γ c
ủ
a
θ
). α = 1 − γ
ñượ
c g
ọ
i là m
ứ
c xác su
ấ
t sai l
ầ
m c
ủ
a
kho
ả
ng
ướ
c l
ượ
ng.


4. KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

Gi
ả
s
ử
t
ổ
ng th
ể
X tuân theo lu
ậ
t
phân phối chuẩn
N(µ,
σ
2
), nh
ư
ng ch
ư
a
bi
ế
t k
ỳ
v
ọ
ng µ, i.e. µ là m
ộ
t h
ằ

ng s
ố
nào
ñ
ó mà giá tr
ị
c
ủ
a nó ch
ư
a
ñượ
c bi
ế
t.
Chúng ta ph
ả
i tìm kho
ả
ng
ướ
c l
ượ
ng cho µ . Phân bi
ệ
t hai tr
ườ
ng h
ợ
p

4.1. Trường hợp 1: Biết
σ
σσ
σ

Khi
ñ
ó, BNN
( )
X n
U
−µ
=
σ
tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i N(0,1).
Cho tr
ướ
c γ ∈ (0, 1), có s
ố
c sao cho:
P(| U | < c) = γ
hay
( )
n n
P X c X c
σ σ

− <µ < + = γ

Ngoài ra,
P(| U | < c) = γ ⇔
1
2
P( )U c
+ γ
< =

nên c =
1
2
u
+ γ

V
ậ
y, v
ớ
i m
ẫ
u c
ụ
th
ể
, kho
ả
ng tin c
ậ

y γ cho µ là :
(
x
− e;
x
+ e),
trong
ñ
ó e =
1
2
.
n
u
+ γ
σ
,
và
1
2
u
+ γ
là bách phân v
ị
m
ứ
c
1
2
+ γ

c
ủ
a phân ph
ố
i chu
ẩ
n.

Chng 5

C LNG THAM S

117


e
ñượ
c g
ọ
i là
Sai số ước lượng
(
ở

ñộ
tin c
ậ
y γ hay
ở
m

ứ
c sai l
ầ
m a = 1 −
γ).
Gi
ữ
a
ñộ
tin c
ậ
y γ, sai s
ố
cho phép và c
ỡ
m
ẫ
u n có quan h
ệ
m
ậ
t thi
ế
t v
ớ
i
nhau. N
ế
u
ñộ

tin c
ậ
y γ càng l
ớ
n thì sai s
ố
càng l
ớ
n và do
ñ
ó
ướ
c l
ượ
ng ít có giá
tr
ị
. Mu
ố
n gi
ả
m b
ớ
t sai s
ố

ướ
c l
ượ
ng mà không gi

ả
m
ñộ
tin c
ậ
y thì ph
ả
i t
ă
ng c
ỡ

m
ẫ
u n.
Thí dụ:
Gi
ả
s
ử
kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a m
ỗ
i nam sinh viên n
ă

m th
ứ
nh
ấ
t tr
ườ
ng
ñạ
i
h
ọ
c A tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n 3kg. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 25

nam sinh viên n
ă
m th
ứ
nh
ấ
t, ng
ườ
i ta tính
ñượ
c kh
ố
i l
ượ
ng trung bình là 52 kg.
(1) Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a m
ỗ
i nam
sinh viên n
ă

m th
ứ
nh
ấ
t tr
ườ
ng
ñạ
i h
ọ
c A.
(2) V
ớ
i m
ẫ
u trên, n
ế
u mu
ố
n b
ề
r
ộ
ng c
ủ
a kho
ả
ng
ướ
c l

ượ
ng trung bình t
ổ
ng
th
ể
là 1,8 kg thì
ñộ
tin c
ậ
y là bao nhiêu?
Giải.

G
ọ
i X là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
kh
ố
i l
ượ
ng m
ỗ
i nam sinh viên n
ă
m th

ứ
nh
ấ
t
tr
ườ
ng
ñạ
i h
ọ
c A thì X ~ N(µ, 3
2
), và chúng ta ph
ả
i
ướ
c l
ượ
ng µ.
(1). Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho µ là: (
x
− e;
x
+ e),
v
ớ

i
x
= 52 và
e =
3
0,975
5
25
1,960. 1,176
u
σ
= =
V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho kh
ố
i l
ượ
ng trung bình c
ủ
a m
ỗ
i nam sinh
viên n
ă
m th

ứ
nh
ấ
t tr
ườ
ng
ñạ
i h
ọ
c A là (50,824; 53,1766) (kg).
(2). Xác
ñị
nh
ñộ
tin c
ậ
y γ:
Theo gi
ả
thi
ế
t, sai s
ố

ướ
c l
ượ
ng là e = 0,9. Khi
ñ
ó,

1
2
3
25
0,9
u
+ γ
= ⇔
1
2
u
+ γ
= 1,5 ⇔
1
2
0,9332
+ γ
=

V
ậ
y, γ = 86,64%.
4.2. Trường hợp 2: Không biết
σ
σσ
σ

Khi
ñ
ó, BNN

( )
X n
S
T
− µ
=
, trong
ñ
ó S là
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n m
ẫ
u, tuân theo
lu
ậ
t phân ph
ố
i Student v
ớ
i n
−
1 b
ậ
c t
ự
do.

V
ớ
i γ

(0, 1) cho tr
ướ
c, lý lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên, kho
ả
ng
ướ
c l
ượ
ng v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y γ cho µ là:
(
x
− e ;

x
+ e),
trong
ñ
ó e =
1
2
( 1)
.
n
s
n
t
+ γ
−
,

Chng 5

C LNG THAM S

118


và
1
2
( 1)
n
t

+ γ
−
là bách phân v
ị
m
ứ
c
1
2
+ γ
c
ủ
a phân ph
ố
i t (n
−
1).
Thí dụ.
Bi
ế
t r
ằ
ng chi
ề
u cao c
ủ
a các thanh niên cùng m
ộ
t l
ứ

a tu
ổ
i tuân theo
lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n. Kh
ả
o sát ng
ẫ
u nhiên chi
ề
u cao c
ủ
a 80 thanh niên cùng l
ứ
a
tu
ổ
i
ñ
ó, ng
ườ
i ta tính
ñượ
c chi
ề

u cao trung bình là 162cm và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là
14cm. Hãy
ướ
c l
ượ
ng chi
ề
u cao trung bình c
ủ
a m
ỗ
i thanh niên
ở
l
ứ
a tu
ỏ
i trên
b
ằ
ng kho
ả
ng tin c
ậ

y 92%,
Giải.

G
ọ
i X là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ch
ỉ
chi
ề
u cao c
ủ
a m
ộ
t thanh niên cùng l
ứ
a tu
ổ
i
trên thì X ~ N(µ,
σ

2
), v
ớ
i σ ch
ư

a bi
ế
t và c
ầ
n ph
ả
i
ướ
c l
ượ
ng µ.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 92% cho µ là: (
x
− e;
x
+ e),
v
ớ
i
x
= 162 và
(79)
14
0,96
80 80
1,7735 2,7760

= = =
s
e t

Kho
ả
ng tin c
ậ
y ph
ả
i tìm là:
(
x
− e ;
x
+ e) = (159,224; 164,775) (cm).
4.3. Chú ý.
Tr
ườ
ng h
ợ
p lu
ậ
t phân ph
ố
i c
ủ
a t
ổ
ng th

ể
X ch
ư
a
ñượ
c bi
ế
t,
các kho
ả
ng tin c
ậ
y trong 4.4.1 và 4.4.2 v
ẫ
n dùng
ñượ
c v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n là c
ỡ
m
ẫ
u n
ph

ả
i khá l
ớ
n (n > 30). Có
ñượ
c
ñ
i
ề
u này là do
Đị
nh lý gi
ớ
i h
ạ
n trung tâm.

4.4. Trường hợp mẫu nhỏ.
Khi
mẫu nhỏ
(n < 30) và
không biết
lu
ậ
t phân ph
ố
i c
ủ
a t
ổ

ng th
ể
X thì c
ả

phân ph
ố
i chu
ẩ
n l
ẫ
n phân ph
ố
i t
ñề
u không dùng
ñượ
c trong vi
ệ
c xây d
ự
ng
kho
ả
ng tin c
ậ
y cho trung bình t
ổ
ng th
ể

. Tuy nhiên, trong tr
ườ
ng h
ợ
p này,
bất
ñẳng thức Chebyshev
l
ạ
i t
ỏ
ra h
ữ
u hi
ệ
u.
V
ớ
i m
ọ
i k > 1 cho tr
ướ
c, chúng ta có:
(
)
1
2
P 1
X
k

X k−µ ≤ σ ≥ −
Vậy, khoảng tin cậy
2
1
1
k
−
cho µ là:
( ; )
X X
x k x k
− σ + σ
.
Ví dụ: cho tổng thể X có kì vong
µ
và phương sai là 1. Khảo sát mẫu gồm 16
phần tử thấy trung bình mẫu
5
x
=
. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho trung bình
t
ổ
ng th
ể
. Vì m

ẫ
u bé và không bi
ế
t lu
ậ
t phân ph
ố
i nên ta dùng bdt Chebyshev:

Chng 5

C LNG THAM S

119


( )
2
2
2
1
1 0,97
1 1
0,03 33,33
0,03
5,77
6
X
P X k
k

k
k
k
k
− µ < σ ≥ − ≥
⇒ ≤ ⇒ ≥ =
⇒ ≥
⇒ =

Do
ñ
ó kho
ả
ng tin c
ậ
y 97% cho trung bình t
ổ
ng th
ể
là
( )
( )
1 1
; 5 6 ;5 6 3,75;6,25
4 4
X X
x k x k
 
− σ + σ = − + =
 

 

GIảI
VÌ
5. KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ.
Gi
ả
s
ử
X ~ B(p) và chúng ta mu
ố
n tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y cho p. V
ớ
i m
ẫ
u (X
1
,
X
2
, , X
n
),
nX nP
=
có phân ph

ố
i B(n, p). Phân ph
ố
i chu
ẩ
n s
ẽ

ñượ
c dùng nh
ư

m
ộ
t x
ấ
p x
ỉ
c
ủ
a phân ph
ố
i nh
ị
th
ứ
c trong vi
ệ
c xây d
ự

ng kho
ả
ng tin c
ậ
y cho t
ỉ
l
ệ

t
ổ
ng th
ể
p khi n ≥ 30, np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5. Tuy nhiên, nhi
ề
u nhà th
ố
ng kê toán
ñề
ngh
ị
m
ẫ
u c
ỡ
n ≥ 100.
Áp d
ụ
ng 5.4.1, kho
ả

ng tin c
ậ
y γ cho p là:
(
p

−
e;
p

+ e ),
trong
ñ
ó
p
là giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u, và
1
2
(1 )
.
p p
n

e u
+ γ
−
=
Thí dụ.
Trong m
ộ
t
ñợ
t
ñ
i
ề
u tra v
ề
nha khoa, khám ng
ẫ
u nhiên 100 tr
ẻ
em
ở
m
ộ
t
ñị
a ph
ươ
ng, ng
ườ
i ta th

ấ
y có 36 tr
ẻ
b
ị
sâu r
ă
ng. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y
99% cho t
ỉ
l
ệ
tr
ẻ
b
ị
sâu r
ă
ng
ở

ñị
a ph
ươ
ng
ñ

ó.
Giải.

G
ọ
i p là t
ỉ
l
ệ
tr
ẻ
b
ị
sâu r
ă
ng
ở

ñị
a ph
ươ
ng
ñ
ang kh
ả
o sát.
Giá tr
ị
t
ỉ

l
ệ
tr
ẻ
em b
ị
sâu r
ă
ng trên m
ẫ
u :
p

= 0,36
Chúng ta nh
ậ
n th
ấ
y n
p
= 36 > 5 và n(1
−

p
) = 64 > 5 nên kho
ả
ng tin c
ậ
y
99% cho p là:

(
p

−
e;
p
+ e ),

v
ớ
i

Chng 5

C LNG THAM S

120


(1 ) 0,36 0,64
0,995
100
2,5758 0,1236
p p
n
e u
− ×
= = =

V

ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y 99% cho t
ỉ
l
ệ
tr
ẻ
b
ị
sâu r
ă
ng
ở

ñị
a ph
ươ
ng là:
(0,36
−
0,1236 ; 0,36 + 0,1236) = (0,2364; 0,4836)
Chú ý.

Tr
ườ
ng h

ợ
p n l
ớ
n và p quá g
ầ
n 0 ho
ặ
c g
ầ
n 1, ng
ườ
i ta x
ấ
p x
ỉ
phân
ph
ố
i nh
ị
th
ứ
c b
ằ
ng phân ph
ố
i Poisson. Trên c
ơ
s
ở

ñ
ó, ng
ườ
i ta thành l
ậ
p
ñượ
c
b
ả
ng s
ố
cho phép tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho t
ỉ
l
ệ
p g
ầ
n 0 ho
ặ
c g
ầ
n 1.

Tr

ườ
ng h
ợ
p m
ẫ
u c
ỡ
nh
ỏ
, không th
ể
x
ấ
p x
ỉ
phân ph
ố
i nh
ị
th
ứ
c b
ằ
ng phân
ph
ố
i chu
ẩ
n ho
ặ

c phân ph
ố
i Poisson mà ph
ả
i tính kho
ả
ng tin c
ậ
y cho t
ừ
ng tr
ườ
ng
h
ợ
p c
ụ
th
ể
b
ằ
ng phân ph
ố
i nh
ị
th
ứ
c. Vì phép tính ph
ứ
c t

ạ
p nên ng
ườ
i ta
ñ
ã tính
s
ẵ
n và l
ậ
p thành b
ả
ng. Nhìn chung, trong tr
ườ
ng h
ợ
p này, kho
ả
ng
ướ
c l
ượ
ng quá
r
ộ
ng, ít có giá tr
ị
.

6. KHOẢNG TIN CẬY CHO PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ
Gi
ả
s
ử
t
ổ
ng th
ể
X có phân ph
ố
i chu
ẩ
n N(µ, σ
2
), trong
ñ
ó σ
2
ch
ư
a bi
ế
t và
chúng ta nu
ố
n tìm kho
ả
ng
ướ

c l
ượ
ng cho
σ
2
v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y γ (0 < γ < 1) cho
tr
ướ
c.
6.1. Trường hợp 1: Biết
µ
µµ
µ
.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này, bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
2

1
( )
k
n
X
n
k
Y
− µ
σ
=
=
∑

tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i χ
2
(n).
V
ớ
i γ cho tr
ướ
c, có hai s
ố
a và b sao cho:
P (a < Y
n

< b) = γ
Các s
ố
a, b nh
ư
th
ế
r
ấ
t nhi
ề
u. Ng
ườ
i ta th
ườ
ng ch
ọ
n a và b sao cho:
1
2
P( ) P( )
n n
Y a Y b
− γ
< = > =
T
ừ

ñ
ó,

1
2
2
( )
a n
−γ
= χ
và
1
2
2
( )
b n
+ γ
= χ

V
ậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ
y γ cho
σ
2

ñượ
c
ñị
nh b

ở
i:
a <
2
2
( )
1
k
n
x
k
− µ
σ
=
∑
< b
hay:

Chng 5

C LNG THAM S

121


2 2
1 1
2 2
1 1
2 2

( ) ( )
2
( ) ( )
n n
k k
k k
x x
n n
= =
+ γ − γ
− µ − µ
χ χ
∑ ∑
< σ <

6.2. Trường hợp 2: Không biết
µ
µµ
µ
.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này, bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
2

2
( 1)
1
n S
n
Y
σ
−
−
=

có phân ph
ố
i
χ
2
(n −
−−
− 1). Kho
ả
ng tin c
ậ
y γ cho
σ
2

ñượ
c xác
ñị
nh b

ở
i:
2 2
2 2
1 1
2 2
( 1) ( 1)
2
( 1) ( 1)
n s n s
n n
+ γ −γ
− −
χ − χ −
< σ <
6.3. Thí dụ.
6.3.1. Để
kh
ả
o sát tính chính xác c
ủ
a m
ộ
t cái cân, ng
ườ
i ta
ñặ
t qu
ả
cân

100g lên cân và
ñọ
c k
ế
t qu
ả
do cân ch
ỉ
. L
ặ
p l
ạ
i nhi
ề
u l
ầ
n, ng
ườ
i ta thu
ñượ
c các
k
ế
t qu
ả
sau:
x
k
(g): 102 101 97 102 99 101 102 99 98
Tính chính xác c

ủ
a cân th
ể
hi
ệ
n qua ph
ươ
ng sai. Hãy tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y
95% cho ph
ươ
ng sai c
ủ
a cân
Giải.
Theo gi
ả
thi
ế
t, µ = 100. V
ớ
i m
ẫ
u trên, chúng ta tính
ñượ
c Σ(x
k

− µ)
2
= 29.
V
ớ
i γ = 95% và n = 9,

2
0,025
(9) 2,7
χ =
và
2
0,975
(9) 19
χ =
.
Kho
ả
ng tin c
ậ
y 95% cho ph
ươ
ng sai c
ủ
a cân là:
(
)
29 29
19 2,7

;

= (1,53 ; 10,74)
6.3.2.
Cho bi
ế
t kh
ố
i l
ượ
ng tr
ẻ
s
ơ
sinh có phân ph
ố
i chu
ẩ
n. M
ộ
t m
ẫ
u c
ỡ
20
cho giá tr
ị
trung bình m
ẫ
u b

ằ
ng 2982g và giá tr
ị
ph
ươ
ng sai m
ẫ
u b
ằ
ng 209108.
Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n t
ổ
ng th
ể
.
Giải.

G
ọ
i X là BNN ch

ỉ
kh
ố
i l
ượ
ng tr
ẻ
s
ơ
sinh. Theo gi
ả
thi
ế
t,
x
= 2982 g và s
2
= 209108. V
ớ
i n = 20 và γ = 90%, chúng ta có:
(n − 1)s
2
= 19 × 209108 = 3973052.

Chng 5

C LNG THAM S

122

Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho ph
ươ
ng sai t
ổ
ng th
ể
:
2 2
2 2
0,95 0,05
19 19
2
(19) (19)
s s
χ χ
< σ <

Tra b
ả
ng:
2
0,05
(19) 10,117
χ =
và

2
0,95
(19) 30,144
χ =

Kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% cho σ là: ( 363,046; 626,666) (g)

7. KHOẢNG TIN CẬY CHO HIỆU HAI TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
(HAI MẪU ĐỘC LẬP)
Xét
hai mẫu ñộc lập
: M
ẫ
u 1: (X
1
, X
2
, , X
n
),
ñặ
c tính
2
~ ( , )
X
X

X N µ σ
và m
ẫ
u 2: (Y
1
, Y
2
, , Y
m
),
ñặ
c tính
2
~ ( , )
Y
Y
Y N
µ σ
. Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y cho (µ
X

- µ
Y
)
Dùng các
ñị

nh lý 3.5.3 và 3.5.4 và ph
ươ
ng pháp tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y trong
ñ
o
ạ
n 5.4, chúng ta có k
ế
t qu
ả
sau:
7.1. Trường hợp 1: Biết
σ
σσ
σ
X
và
σ
σσ
σ
Y
.

Kho
ả
ng tin c

ậ
y γ cho ( µ
X
- µ
Y
) là: ((
x y
−
) – e; (
x y
−
) + e), v
ớ
i
e =
1
2
u
+
γ
.
2 2
X Y
n m
σ σ
+

7.2. Trường hợp 2: Không biết
σ
σσ

σ
X
và
σ
σσ
σ
Y
,
nhưng biết
σ
σσ
σ
X
=
σ
σσ
σ
Y

Kho
ả
ng tin c
ậ
y γ cho ( µ
X
- µ
Y
) là: ((
x y
−

) – e; (
x y
−
) + e), v
ớ
i
e =
1
2
( 2)
n m
t
+
+ −
γ
.
(
)
2
1 1
n m
s +
,
trong
ñ
ó,
2 2
( 1) ( 1)
2
2

X Y
n s m s
n m
s
− + −
+ −
=

7.3. Thí dụ. Để
tìm hi
ể
u v
ề

ả
nh h
ưở
ng c
ủ
a vi
ệ
c l
ậ
p k
ế
ho
ạ
ch trên thu nh
ậ
p

c
ủ
a các ngân hàng, ng
ườ
i ta ch
ọ
n m
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên g
ồ
m 6 ngân hàng
ñượ
c l
ậ
p
k
ế
ho
ạ
ch tài chính chính qui thì nh
ậ
n th
ấ
y
ñộ
t

ă
ng bách phân trung bình hàng n
ă
m
c
ủ
a thu nh
ậ
p ròng là 9,972 và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 7,470. M
ộ
t m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c
l
ậ
p v
ớ
i m
ẫ
u trên g

ồ
m 9 ngân hàng không có h
ệ
th
ố
ng l
ậ
p k
ế
ho
ạ
ch chính qui thì
ñộ
t
ă
ng này là 2,098 v
ớ
i
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 10,384. Gi
ả
s
ử
hai phân ph
ố
i t

ổ
ng th
ể
là
phân ph
ố
i chu
ẩ
n có cùng ph
ươ
ng sai. Tìm kho
ả
ng tin c
ậ
y 90% hi
ệ
u gi
ữ
a hai trung
bình t
ổ
ng th
ể
.
Giải.

Chng 5

C LNG THAM S

123


G
ọ
i X và Y, theo th
ứ
t
ự
, là BNN ch
ỉ

ñộ
t
ă
ng bách phân hàng n
ă
m c
ủ
a thu
nh
ậ
p ròng c
ủ
a ngân hàng có l
ậ
p k
ế
ho
ạ

ch tài chính chính qui và c
ủ
a ngân hàng
không l
ậ
p k
ế
ho
ạ
ch. X và Y tuân theo lu
ậ
t phân ph
ố
i chu
ẩ
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Theo gi
ả
thi
ế
t,
x
= 9,972, s
X
= 7,470 v
ớ
i c
ỡ

m
ẫ
u n = 6;

y
= 2,098, s
Y
= 10,834 v
ớ
i c
ỡ
m
ẫ
u m = 9
2 2
( 1) ( 1)
2
2
X Y
n s m s
n m
s
− + −
+ −
=
= 93,6930
Kho
ả
ng tin c
ậ

y 90% cho ( µ
X
- µ
Y
) là: ((
x y
−
) – e; (
x y
−
) + e), v
ớ
i
e =
(13)
0,95
t
.
(
)
2
1 1
6 9
s +
= 1,7709 × 5,1016 = 9,0344
Vậ
y, kho
ả
ng tin c
ậ

y ph
ả
i tìm là: (
−
1,160; 16,908).

8. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU
Trong các bài toán v
ề

ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng cho t
ỉ
l
ệ
và trung bình t
ổ
ng th
ể
,
ch
ấ
t l
ượ
ng c
ủ

a
ướ
c l
ượ
ng
ñượ
c ph
ả
n ánh qua
ñộ
tin c
ậ
y và sai s
ố
cho phép. Sai s
ố

ướ
c l
ượ
ng l
ạ
i ph
ụ
thu
ộ
c vào kích th
ướ
c m
ẫ

u và
ñộ
tin c
ậ
y. Bài toán
ñượ
c
ñặ
t ra
nh
ư
sau:
Để

ñạ
t
ñượ
c
ñộ
tin c
ậ
y γ và sai s
ố
cho phép t
ố
i
ñ
a là ε, kích th
ướ
c m

ẫ
u c
ầ
n
thi
ế
t ph
ả
i là bao nhiêu?
Tu
ỳ
theo t
ừ
ng tình hu
ố
ng c
ụ
th
ể
, t
ừ
bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a sai s
ố
e t

ươ
ng
ứ
ng, chúng
ta tìm
ñượ
c kích th
ướ
c m
ẫ
u n c
ầ
n thi
ế
t. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p ch
ư
a có m
ẫ
u thì ng
ườ
i
ta ti
ế
n hành l
ấ
y

mẫu thăm dò
l
ầ
n
ñầ
u
ñể
có s
ố
li
ệ
u m
ẫ
u c
ầ
n thi
ế
t.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n,
ñể

ướ
c l
ượ
ng t
ỉ

l
ệ
t
ổ
ng th
ể
p v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y γ và sai s
ố
cho phép
t
ố
i
ñ
a là ε, ng
ườ
i ta ti
ế
n hành l
ấ
y m
ộ
t m
ẫ
u th

ă
m dò và tính
ñượ
c giá tr
ị
t
ỉ
l
ệ
m
ẫ
u
p
. Khi
ñ
ó, c
ỡ
m
ẫ
u
1
n
ph
ả
i tìm th
ỏ
a:
1
1
2

(1 )
.
p p
n
u
+ γ
−
≤ ε
⇔
(1 )/ 2
2
1
. (1 )
u
n p p
+ γ
ε
 
≥ −
 
 

Tr
ườ
ng h
ợ
p không có m
ẫ
u th
ă

m dò thì ng
ườ
i ta dùng giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
hàm y = p(1 − p) trên kho
ả
ng (0, 1); giá tr
ị

ñ
ó b
ằ
ng
1
4
và kích th
ướ
c m
ẫ
u c
ầ
n
thi

ế
t là s
ố
nguyên
1
n
th
ỏ
a:
1
2
2
1
2
u
n
γ
ε
+
 
 
≥
 
 


Chng 5

C LNG THAM S

124


Thí dụ.

Bi
ế
t chi
ề
u cao c
ủ
a nh
ữ
ng ng
ườ
i cùng l
ứ
a tu
ổ
i có phân ph
ố
i N(µ,
100). Mu
ố
n
ướ
c l
ượ
ng chi
ề

u cao trung bình µ v
ớ
i sai s
ố
không quá 1cm
ở

ñộ
tin
c
ậ
y 95% thì ph
ả
i quan sát ít nh
ấ
t m
ấ
y ng
ườ
i ?
Giải.

Theo
ñề
bài,
0,975
1
n
u
σ

≤

⇔

2
2
(1,96) 100
384,16
1
n
×
≥ =

V
ậ
y, ph
ả
i quan sát ít nh
ấ
t 385 ng
ườ
i.

9. KHOẢNG TIN CẬY MỘT BÊN
Kho
ả
ng tin c
ậ
y mà chúng ta xây d
ự

ng
ở
trên, l
ấ
y
x
làm tâm c
ủ
a kho
ả
ng,
ñượ
c g
ọ
i là kho
ả
ng tin c
ậ
y hai bên.
Đ
ôi khi, kho
ả
ng tin c
ậ
y m
ộ
t bên
ñượ
c dùng
thay cho kho

ả
ng tin c
ậ
y hai bên. Tr
ườ
ng h
ợ
p này x
ả
y ra n
ế
u chúng ta ch
ỉ
quan

tâm
ñế
n giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t ho
ặ
c nh
ỏ
nh
ấ
t c

ủ
a trung bình (ho
ặ
c t
ỉ
l
ệ
) t
ổ
ng th
ể
v
ớ
i
ñộ

tin c
ậ
y γ cho tr
ướ
c. Gi
ả
s
ử
t
ổ
ng th
ể
có phân ph
ố

i chu
ẩ
n.
( )
P
X n
u
− µ
γ
σ
 
≤ = γ ⇔
 
 

P
n
X u
σ
γ
 
µ ≥ − = γ
 
 

V
ậ
y, v
ớ
i

ñộ
tin c
ậ
y γ, chúng ta có th
ể
nói r
ằ
ng trung bình t
ổ
ng th
ể
không bé
h
ơ
n
n
x u
σ
γ
− .
T
ươ
ng t
ự
, v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ

y γ, chúng ta có th
ể
nói r
ằ
ng trung bình t
ổ
ng th
ể

không l
ớ
n h
ơ
n
n
x u
σ
γ
+
.
Chúng ta có k
ế
t qu
ả
t
ươ
ng t
ự
cho
khoảng tin cậy một bên cho tỉ lệ tổng

thể
, v
ớ
i các giá tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng là:
(1 )
.
p p
n
p u
−
γ
− và
(1 )
.
p p
n
p u
−
γ
+
Thí dụ.
S
ả
n xu

ấ
t th
ử
100 s
ả
n ph
ẩ
m trên m
ộ
t dây chuy
ề
n t
ự

ñộ
ng, ng
ườ
i ta
th
ấ
y có 60 s
ả
n ph
ẩ
m
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n. Hãy
ướ

c l
ượ
ng t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m không
ñạ
t tiêu
chu
ẩ
n l
ớ
n nh
ấ
t v
ớ
i
ñộ
tin c
ậ
y 95%.
Giải.

Giá tr
ị

t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n trên m
ẫ
u th
ă
m dò là:
0,4
p
=

Ở

ñộ
tin c
ậ
y 95%, t
ỉ
l
ệ

s
ả
n ph
ẩ
m không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n l
ớ
n nh
ấ
t
ñượ
c xác
ñị
nh b
ở
i:
(1 ) 0,4 0,6
0,95
100 100
. 0,4 1,6449 0,48058
p p
p p u
− ×
≤ + = + =


Chng 5

C LNG THAM S

125


V
ậ
y,
Ở

ñộ
tin c
ậ
y 95%, t
ỉ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m không
ñạ
t tiêu chu
ẩ
n không l
ớ
n
h

ơ
n 0,48058.





XS
T
T
K
K





2
2
0
0
0
0
8
8

BÀI TẬP

5.1. Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng ñèn hình TV có ñộ lệch chuẩn
bằng 500, nhưng chưa biết trung bình. Ngoài ra, tuổi thọ của loại bóng ñèn ñó
tuân theo luật phân phối chuẩn. Khảo sát trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 bóng
loại trên, người ta tính ñược tuổi thọ trung bình là 8900 giờ. Hãy tìm khoảng tin
cậy (a) 95% và (b) 92% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng ñèn hình nói trên.
5.2. Liên hệ bài 5.1 và giả sử phân phối của tổng thể chưa ñược biết. Tuy
nhiên, trung bình mẫu bằng 8900 ñược tính trên mẫu cỡ n = 35. Hãy tìm khoảng
tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng ñèn hình ñang khảo sát.
5.3. Liên hệ bài 5.2 và giả sử rằng phân phối của tổng thể là phân phối
chuẩn, nhưng không biết ñộ lệch chuẩn tổng thể; tuy nhiên, biết giá trị ñộ lệch
chuẩn mẫu bằng 500. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho trung bình tổng thể.
5.4. Liên hệ bài 5.1, nhưng không biết ñộ lệch chuẩn tổng thể. Biết giá trị
ñộ lệch chuẩn mẫu bằng 500. Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho trung bình tổng
thể.
5.5. Khối lượng X của một sản phẩm do một nhà máy sản xuất tuân theo
luật phân phối chuẩn. Lấy một mẫu ngẫu nhiên (không hoàn lại) gồm 10 phần
trăm của một lô hàng gồm 300 sản phẩm của nhà máy ñó, người ta tính ñược
x
=
148,50 gam và s = 35,75 gam. Tìm khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung
bình của mỗi sản phẩm trong lô hàng nói trên. Biết rằng chi phí ñể sản xuất 1 gam

Chng 5

C LNG THAM S

126


sản phẩm là 50 ngàn ñồng, tìm khoảng tin cậy 95% cho chi phí sản xuất lô hàng
nói trên.
5.6. Một lô bút bi của xí nghiệp A sản xuất ra gồm 1000 hộp, mỗi hộp 10
cây. Kiểm tra ngẫu nhiên 50 hộp, thấy có 45 cây bút bị hỏng.
(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ bút bị hỏng và số bút bị hỏng của lô
hàng.
(b) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ bút hỏng với ñộ chính xác
1,5% thì ñộ tin cậy ñạt ñược là bao nhiêu?
5.7. Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại
cây công nghiệp ở một nông trường như sau:
x
i
3 4 5 6 7 8
số cây 2 8 23 32 23 12
(a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây ñó bằng khoảng tin
cậy 90%.
(b). Để ước lượng chiều cao trung bình của loại cây ñó ở ñộ tin cậy 95%,
với sai số không quá 2 dm thì cần phải quan sát thêm bao nhiêu cây
nữa?
(c). Những cây cao từ 7 m trở lên gọi là cây loại A. Hãy tìm khoảng tin cậy
95,44% cho tỉ lệ cây loại A của nông trường.
5.8. Độ sâu của biển ñược xác ñịnh bằng một máy ño có sai số hệ thống
bằng 0, còn sai số ngẫu nhiên của nó tuân theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch
chuẩn 20m. Cần phải tiến hành bao nhiêu lần ño ñể xác ñịnh ñược ñộ sâu của biển
với sai số cho phép không quá 15m ở ñộ tin cậy 90% ?
5.9. Người ta muốn ước lượng tỉ lệ viên thuốc bị sứt mẻ trong một lô thuốc
rất nhiều viên.

(a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở ñộ tin cậy 95% thì phải
quan sát ít nhất mấy viên?
(b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 20 viên bị sứt mẻ. Hãy tìm
khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể. Nếu muốn sai số cho phép không
quá 1% ở ñộ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?
5.10. Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một ñàn bò,
người ta ñiều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nông trường và có kết quả sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
Số con bò 10 24 42 16 8
(a) Ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày của một con bò bằng
khoảng tin cậy 97%.

Chng 5

C LNG THAM S

127


(b) Với ñộ tin cậy 97%, có thể nói sản lượng sữa trung bình hàng ngày của
một con bò nhiều nhất bằng bao nhiêu?
(c) Tìm khoảng tin cậy 90% cho tỉ lệ bò cho SLSHN trên 11kg.
(d) Muốn sai số khi ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày không
vượt quá 0,5kg và sai số khi ước lượng tỉ lệ bò cho SLSHN trên 11kg
không vượt quá 12%, với cùng ñộ tin cậy 98%, thì cần ñiều tra bao
nhiêu con bò?
5.11. Độ dài của một loại chi tiết máy ñược ño 25 lần bằng một máy ño có
sai số hệ thống bằng 0. Biết rằng sai số ngẫu nhiên của việc ño có phân phối
chuẩn với phương sai 100cm
2

và ñộ dài trung bình trong 25 lần ño là 100cm. Hãy
tìm khoảng tin cậy 99% cho ñộ dài của loại chi tiết máy trên.
5.12 . Giả sử ñường kính của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có
phân phối N(µ, σ
2
). Đo 10 sản phẩm, người ta có bảng số liệu:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm khoảng tin cậy 95% cho µ và khoảng tin cậy 99% cho µ và σ
2
.
5.13. Nghiên cứu về ñộ bền X (kg/mm
2
) của một loại thép, người tiến hành
một số quan sát một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau:
Độ bền (kg/mm
2
)
Số tấm thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
(175,195]
(195,215]
> 215
15
19
23
31
29

21
6
(a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho ñộ bền trung bình của loại thép trên.
(b) Sẽ ñạt ñộ tin cậy bao nhiêu nếu muốn ước lượng ñộ bền trung bình của
loại thép trên bằng khoảng tin cậy có ñộ dài bằng 6?
(c) Thép có ñộ bền trên 195kg/mm
2
ñược gọi là thép loại A. Tìm khoảng
tin cậy 98% cho ñộ bền trung bình của thép loại A.
5.14. Mức tiêu hao nguyên liệu cho một ñơn vị sản phẩm là một biến ngẫu
nhiên X tuân theo qui luật chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ñược chọn ngẫu nhiên,
người ta thu ñược kết quả cho trong bảng sau:
x (gam) 19 19,5 20 20,5

Chng 5

C LNG THAM S

128


số sản phẩm 5 6 14 3
Hãy xây dựng khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể trong hai
trường hợp:
(a) biết E(X) = 20g;
(b) chưa biết E(X).
5.16. Viện thống kê muốn ước lượng tỉ lệ p người dân không ñồng ý về
một ñiều luật mới ñược ñề nghị.
(a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 2% ở ñộ tin cậy 90% thì phải hỏi
ý kiến ít nhất mấy người?

(b) Trên một mẫu ngẫu nhiên 344 người ñược hỏi ý kiến, có 83 người
không ñồng ý. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho p. Dựa vào số liệu của
mẫu này, hãy giải lại câu (a).
5.17. Để nghiên cứu ñường kính X (mm) của một loại sản phẩm do một xí
nghiệp sản xuất, người ta ño ngẫu nhiên 100 sản phẩm của xí nghiệp và có kết quả
cho trong bảng sau:

x
i
9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15
Tần số

8 12 20 30 14 10 6
Theo qui ñịnh, những sản phẩm có ñường kính từ 9,9 mm ñến 10,1
mm là những sản phẩm ñạt tiêu chuẩn kỹ thuật.
(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ và ñường kính trung bình của những
sản phẩm ñạt tiêu chuẩn kỹ thuật.
(b) Để sai số khi ước lượng ñường kính trung bình của những sản phẩm ñạt
tiêu chuẩn không quá 0,02 mm và sai số khi ước lượng tỉ lệ sản phẩm
ñạt tiêu chuẩn không quá 5% với cùng ñộ tin cậy 99%, cần ño thêm
bao nhiêu sản phẩm nữa?
5.15. X (ñơn vị tính bằng %) là chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra ở
một số sản phẩm (s.ph), người ta có số liệu:
X
i
Số sản phẩm
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)

[13,15)
2
8
14
19
22

Chng 5

C LNG THAM S

129


[15,17)
[17,19)
[19,21)
20
10
5
(a) Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với ñộ tin cậy 92% và ñộ chính xác
0,3% thì cần ñiều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
(b) Người ta xem các sản phẩm có chỉ tiêu X dưới một mức qui ñịnh là loại
2. Từ số liệu trên, bằng phương pháp ước lượng khoảng tỉ lệ (loại 2),
người ta tính ñược khoảng tin cậy là (4%, 16%). Tìm ñộ tin cậy của
ước lượng này.
5.19. Một giống lúa mới ñược gieo trong 10 miếng ñất thí nghiệm có các
ñiều kiện giống nhau, cho các sản lượng tính theo cùng một ñơn vị như sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ

2
).
Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho µ và σ
2
.

5.18. X (tính bằng %) và Y (tính bằng cm) là 2 chỉ tiêu của một loại sản
phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên ở một số sản phẩm, người ta có kết quả sau:
x
i

y
k

1 2 3 x
4

(90, 95] 5 13 2
(95, 100] 19 23 15 8
(100, 105] 12 10 7
(105, 110] 5 2
(a) Để ước lượng trung bình của chỉ tiêu Y với sai số cho phép 0,5 cm và
ñộ tin cậy 90% thì cần ñiều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
(b) Những sản phẩm có chỉ tiêu Y không quá 95 cm ñược gọi là loại II.
Tìm khoảng tin cậy 98% cho trung bình chỉ tiêu X của các sản phẩm
loại II. (Giả thiết rằng chỉ tiêu này có phân phối chuẩn)
(a) Cho biết khoảng tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy
tính giá trị trung bình và phương sai mẫu của chỉ tiêu X.
5.20. Để ñánh giá trữ lượng cá trong một hồ lớn, người ta ñánh bắt 2000
con cá từ hồ ñó, ñánh dấu rồi thả lại xuống hồ. Vài ngày sau, họ ñánh bắt lại 400

con thì thấy có 80 con có ñánh dấu.
(a) Hãy ước lượng trữ lượng cá trong hồ bằng khoảng tin cậy 95%.

Chng 5

C LNG THAM S

130


(b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm ñi một nửa thì lần sau phải ñánh
bắt bao nhiêu con cá?
5.21. Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta quan tâm
ñến ñường kính X (cm) và chiều cao Y (m) của loại cây ñó. Đo chiều cao và
ñường kính của 100 cây cùng ñộ tuổi ñược chọn ngẫu nhiên, kết quả thu ñược cho
trong bảng sau:
y
k

x
i

3 4 5 6 7
(20, 22] 5
(22, 24] 19 25 10
(24, 26] 5 17 8
(26, 28] 7 4
(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho ñường kính trung bình của loại cây này.
(b) Những cây cao từ 6m trở lên là cây loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ và
ñường kính trung bình của cây loại A bằng khoảng tin cậy 99% (giả

thiết ñường kính cây loại A là biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật
chuẩn).
(c) Để ước lượng ñường kính trung bình của loại cây này với ñộ chính xác
ñạt ñược ở câu (a) và ñộ tin cậy 99% thì cần ño thêm bao nhiêu cây
nữa?
5.22. Để khảo sát mức tiêu hao nguyên liệu (tính bằng gam) ñể sản xuất ra
một ñơn vị sản phẩm của một nhà máy, người ta quan sát mức tiêu hao nguyên
liệu trên một mẫu, và thu ñược kết quả sau: (ñơn vị gam )
19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21;
21; 20; 19; 20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21; 19;
20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 19; 19; 20; 18;
21; 21; 22; 19; 20.
(a) Tìm khoảng tin cậy 98% cho số tiền trung bình ñược dùng ñể mua
nguyên liệu ñể sản xuất trong mỗi quí của nhà máy. Biết rằng giá loại
nguyên liệu này là 800 ngàn ñ/kg và sản lượng của nhà máy trong một
quí là 40.000 sản phẩm.
(b) Nếu muốn ước lượng số tiền trung bình ñể mua nguyên liệu trong mỗi
quí của nhà máy bằng khoảng tin cậy 99% và sai số không quá 10 triệu
ñồng thì phải lấy mẫu với kích thước là bao nhiêu?

Chng 5

C LNG THAM S

131


5.23. Để nghiên cứu lãi suất ngân hàng giữa hai nhóm nước công nghiệp
phát triển và ñang phát triển, người ta ñiều tra lãi suất ngân hàng trong một năm
của 7 nước phát triển và 11 nước ñang phát triển ñược chọn ngẫu nhiên.

Với các nước phát triển, lãi suất trung bình là 17,5% và ñộ lệch chuẩn là
3,2%; còn ñối với các nước ñang phát triển, lãi suất trung bình là 15,3% và ñộ
lệch chuẩn là 2,9%. Với ñộ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự chênh lệch về lãi suất
trung bình giữa hai nhóm nước trên. Biết rằng lãi suất ngân hàng của của hai
nhóm nước trên là các BNN tuân theo qui luật chuẩn có cùng phương sai.
5.24. Để nghiên cứu lượng tiền gửi tiết kiệm vào ngấn hàng của hai thành
phố, người ta ñiều tra ngẫu nhiên 23 ngân hàng ở thành phố A và tìm ñược lượng
tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,317 triệu ñồng. Ở thành phố B, nghiên cứu
32 ngân hàng, tìm ñược lượng tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,512 triệu
ñồng.
Hãy ước lượng sự chênh lệch trung bình giữa lượng tiền gửi tiết kiệm trung
bình của dân hai thành phố A và B bằng khoảng tin cậy 95%. Biết rằng tiền tiết
kiệm của người dân hai thành phố A và B là các BNN tuân theo luận phân phối
chuẩn, với ñộ lệch chuẩn theo thứ tự, là 0,517 triệu và 0,485 triệu.
5.25. Một kỹ sư lâm nghiệp nghiên cứu chiều cao của một loại cây với giả
thiết là nó có phân phối chuẩn. Trên một mẫu có kích thước n = 10, anh ta tính
ñược chiều cao trung bình của mỗi cây là 13,78 và khoảng tin cậy 90% của trung
bình tổng thể là (13,063; 14,497). Không may, bộ số liệu của mẫu bị thất lạc, anh
ta chỉ còn nhớ các số sau:
12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
Bạn có thể giúp anh ta tìm lại ñược các số liệu bị thất lạc không?
5.26. Công ty ABC muốn nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng về loại hàng của
công ty ở một khu vực có 4000 hộ gia ñình, họ tiến hành ñiều tra về nhu cầu của
mặt hàng ñó ở 400 hộ gia ñình, ñược chọn ngẫu nhiên ở khu vực ñó. Kết quả ñiều
tra như sau:
Nhu cầu (kg/tháng) Số gia ñình
< 1
[1, 2)
[2,3)
[3,4)

[4,5)
[5,6)
[6,8)
> 8
10
35
86
132
78
34
15
10
(a) Hãy ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực
trong một năm bằng khoảng tin cậy 95%

Chng 5

C LNG THAM S

132


(b) Với mẫu trên, khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của
toàn khu vực trong một năm, nếu muốn sai số ước lượng là 5,7 tấn, thì
ñạt ñược ñộ tin cậy bằng bao nhiêu?
5.27. Một lô trái cây của một cửa hàng ñựng trong các sọt, mỗi sọt 100
trái. Người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt, thì thấy có 450 trái không ñạt
tiêu chuẩn.
(a) Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô
hàng.

(b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng, với
sai số bằng 0,5% thì ñộ tin cậy ñạt ñược là bao nhiêu?
(c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không ñạt tiêu chuẩn của lô hàng, với
ñộ tin cậy 99% và sai số không lớn hơn 1%, thì cần kiểm tra bao nhiêu
sọt?
5.28. Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức ñộ tiêu thụ sản
phẩm này trong thành phố H. Công ty tiến hành ñiều tra 500 hộ gia ñình và có kết
quả sau:

Nhu cầu (kg/tháng)
< 1 [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5)
Số hộ gia ñình
21 147 192 78

Nhu cầu (kg/tháng)
[2,5; 3) [3; 3,5) ≥ 3,5
Số hộ gia ñình
34 16 12
Giả sử thành phố H có 10.000 hộ gia ñình.
(a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình lớn nhất của toàn thành phố
H trong một năm với ñộ tin cậy 96%
(b) Những hộ có nhu cầu trên 2 kg trong một tháng ñược gọi là những hộ
có nhu cầu sao. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ những hộ có nhu cầu
cao ở thành phố H.
(c) Để ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của một hộ trong một tháng
với sai số ước lượng không quá 50 gam và ñộ tin cậy 95% thì cần ñiều
tra thêm bao nhiêu hộ gia ñình nữa?
5.29. Để ñánh giá mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe ô tô, người ta
theo dõi lượng tiêu hao nhiên liệu (lít/100 km) của 100 chuyến xe và có kết quả
sau:

Lượng tiêu hao
[35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55)
[55; 60)
Số chuyến xe
14 20 36 22
8

Chng 5

C LNG THAM S

133


(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho lượng tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe nói trên
(b) Xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có mức tiêu hao nhiên liệu từ 55
lít/100 km trở lên. Hãy ước lượng tỉ lệ xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật
tối thiểu ở ñộ tin cậy 95%.