chuyên đề hàm số sự giao thoa của hai đồ thị

Chun đề hàm số:
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát:
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thò hai hàm số :
1
2
(C ): y f(x)
(C ): y g(x)
















(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (C
1
) và (C

2
) cắt nhau (C
1
)
và (C
2
) tiếp xúc nhau


Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai
hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)
* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương
trình (1)
chính là số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).

 Để tìm giao điểm của một đường cong y = F(x) nói chung (của lớp các hàm đa thức nói
riêng)
với một đường cong y = G(x) nào đó; phương pháp chung ta quy về xét sự tồn tại nghiệm của
phương trình
F(x) = G(x) (1).
Nhìn chung (1) đều là các phương trình bậc cao (có bậc ≥ 3). Nếu có thể, các bạn tìm mọi
x
y

y
y
x
x
O
O
O
)(
1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1

y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
cách hạ bậc của (1). Ta ln sử dụng kết quả sau:
Nếu x = a là một nghiệm đốn được của (1) thì (1) đưa được về dạng sau:
(x - a)H(x) = 0
Trong đó phương trình H(x) = 0 có bậc giảm đi 1 so với phương trình gốc (1).
- Nếu sử dụng các kết quả về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 3, ta có kết quả thơng dụng
sau:
Xét phương trình sau:
F(x) = ax3 2
+ bx + cx + d = 0, a ≠ 0 (2).
Khi đó:
1. (2) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và
Ymax Ymin < 0.
2. . (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và
Ymax Ymin = 0.
3. . (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi:
- Hoặc là F(x) khơng có cực đại , cực tiểu.
- hoặc là F(x) có cực đại, cực tiểu và Ymax Ymin > 0.

Cần nhấn mạnh rằng với bài tốn ngồi việc đòi hỏi tính giao nhau của các đường cong bậc ba
Với một đường cong khác có bậc khơng q ba, ta còn quan tâm đến tính chất của các giao điểm
thì kết quả vừa dẫn ra ở trên chỉ có thể xem như một điều kiện cần. Nó chưa đủ sức mạnh để

giải hồn tồn bài tốn. Để giải quyết trọn vẹn, ta cần sử dụng thêm các kiến thức khác.

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thò
(C
1
) và (C
2
).

Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm

(C
1
) và (C
2
) không có điểm điểm
chung
* (1) có n nghiệm

(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung
của (C

1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hoặc y
0
= g(x
0
).




Áp dụng: Thường dạng bài này sẽ liên quan nhiều đến sự tương giao của đồ thì với trục Ox và
sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức trong bài tốn thi đại học hơn là những dạng khác
A. S ự tương giao của đồ thị với trục Ox
Ví dụ: Cho họ đường cong phụ thuộc tham số m:
y = x
3
– 3(m+1)x
2
+ 2(m + 4m + 1)x – 4m(m+1).
Tìm m đểđường cong cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ > 1
Bài giải:
Đường cong cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ > 1 khi và chỉ khi phương
trình

x
3
– 3(m+1)x
2
+ 2(m + 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1)
có 3 nghiệm phân biệt > 1.
Do x = 2 là nghiệm của (1), nên(1) có thể viết dưới dạng sau:
(x - 2)[x2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1)] = 0 (2)

Để (2) có 3 nghiệm phân biệt > 1, thì điều kiện cần và đủ là phương trình
x
2
– 3(m+1)x + 2m(m + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 1 và khác 2.
Theo định lý đảo về tam thức bậc 2, điều đó xảy ra khi:






















  


 
 


  


Vậy các giá trị cần tìm của m là:


 và m > 1.
Nhận xét:
- Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nói chung là cơng cụ hữu hiệu để giải các bài tốn
thuộc loại này.
- Tuy nhiên trong VD trên (2) có thể viết dưới dạng:
x
y
0
y
0
x
O

(x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0
<=> x = 2, x= 2m, x = m + 1.
Vì thế ta cần có: 

  
 
 





B. Sự tương giao của hàm phân thức


Ví dụ : Cho
1
1
2



x
xx
y


Tìm m để (C) cắt y = -x + m tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B thuộc
cùng 1 nhánh của đồ thị (C).

Giải : Để y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt, điều kiện là phương trình:
mx
x
xx



1
1
2
, nên điều đó xảy ra khi phương trình
x
2
+ x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghiệm phân biệt. Ta có thể viết lại (1) dưới dạng
sau :
f(x) = 2x
2
- mx + m - 1 = 0 (2) .

(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ= m - 8m + 8 > 0

m < 4 - 2

 hoặc m > 4 + 2

 (3)

Với điều kiện (3) ta có:

af(1) = 2 > 0 . Vậy 1 [x1 ,x 2 ], ởđây x x là hai nghiệm của (2). Điều này chứng tỏ

rằng cả hai giao điểm A, B giữa (C) và y = -x + m nằm về cùng một phía của đường thẳng x = 1,
tức là A, B thuộc cùng một nhánh của đồ thị của (C) => đpcm.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
1
12



x
x
y
và đường thẳng
13:)(  xyd

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C):
2
1
y
x1


và
2
x
(C'): y
2


Bài 3: Cho hàm số
x3
y
x1



. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
y 2x m
ln cắt
đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 4: Cho hàm số
3 2x
y
x1



. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
y mx 2

cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số
2
( 1)( )y x x mx m   
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt.
Bài 6: Cho hàm số
32
32    y x x mx m
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt.
Bài 7: Cho hàm số
 
32
21    y x m x xm m
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ dương.
Bài 8: Cho hàm số
   
32
2 1 7 2 4 6      y x m x m x m
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ dương.

Câu lạc bộ Gia sư thủ khoa