chuyên đề hình giải tích phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.72 KB, 9 trang )
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin - học tập - giải trí cho HS-SV
HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG
Phần I – Lý thuyết
A. VEC TƠ _ ĐIỂM
I. CHÚ Ý
+ Tọa độ của véc tơ:
Trong mặt phẳng {xOy}:
AB x, y AB xi yj
+ Độ dài véc tơ:
2 2
x a,b x a b
r r
+ Góc của hai véc tơ
2 2 2 2
x a,b
ac bd
c x; y
y c,d
a b c d
r
r r
r
os
x y ac bd 0
r r
+ Tọa độ điểm : Trong {xOy}
M x; y OM x; y
+
2 1 2 1
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
AB x x ;y y
Cho x ; y ;B x ;y
AB x x y y
A
Điểm đặc biệt
+ M chia AB theo tỉ số k
A B
M
A B
M
x kx
x
1 k
MA kMB
y ky
y
1 k
+ Trung điểm AB
M A B
M A B
1
x x x
2
MA MB 0
1
y y y
2
+ Trọng tâm tam giác ABC
M A B C
M A B C
1
x x x x
3
MA MB MC 0
1
y y y y
3
B. ĐƯỜNG THẲNG
I. CHÚ Ý
+ Phương trình đường thẳng
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
Cho x ;y .n A,B :
A x x B y y 0 Ax By C 0
x ; y .u a,b
x x at
x x y y
y y bt
a b
x ; y k R;
r
r
M là VTPT của
:
Cho M là TVCP của
:
Cho M Đường thẳng đi qua M co
0 0
y k x x y
y ax b
ù hệ số góc là k:
Cho đường thẳng không song song Oy trong mặt phẳng
+ Quan hệ của hai đường thẳng
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
2 2 2
1 2
1 2
Cho
n .n 0 A A B B 0
k .k 1
A B C
A B C
/ /
k k
hai đường thẳng và
+ Góc của hai đường thẳng
1 1 1 2 2 2
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
1 2
(M ;n ) (M ;n )
cos cos n ;n
: y k x x y : y k x x y
k k
tan
1 k k
Cho và tạo với nhau một góc
Cho và
+Khoảng cách của một điểm đến một đường thẳng
0 0 0
0 0
0
2 2
x ; y Ax By C 0
Ax By C
d M ;
A B
Cho M và :
C. ĐƯỜNG TRỊN
I. CHÚ Ý
2 2
Ph a,b
x a y b R
ương trình của đường tròn tâm I bán
kính R
2 2
x y 2ax 2by c 0
Phương trình tổng quát của một đườn
g tròn:
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
2 2
Ax By C 0 C a,b ;R
Aa Bb C
d I, R R
A B
Đường thẳng : tiếp xúc với đường tròn tâm I
D. CONIC
I. CHÚ Ý
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2 2 2
x y
Trong M: MF MF 2a;FF 2c : 1
a b
( c,0)F (c,0) : 2c :
a c 2a;2b
c
e
a
Oxy
F tiêu điểm tiêu cự
b Hình chữ nhật cơ sở:
Tâm sai
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2 2 2
x y
Trong M : MF MF 2a;FF 2c : 1
a b
( c,0)F (c,0) : 2c :
c a 2a;2b
c
e
a
b
y x
a
Oxy
F tiêu điểm tiêu cự
b Hình chữ nhật cơ sở:
Tâm sai
Tiệm cận :
2
2 2 2
Trong M : MF MH,MH H : y 2px
p
x KvàFK p:
2
p
( ,0) :
2
c a 2a;2b
Oxy
: đường chuẩn ;FK tham số tiêu
F tiêu điểm
b Hình chữ nhật cơ sở:
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin - học tập - giải trí cho HS-SV
Phần II – Bài tập vận dụng
I – Bài tập ví dụ
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-2;3),
đường cao CH nằm trên đường thẳng: 2x + y -7= 0 và đường trung tuyến BM
nằm trên đường thẳng 2x – y +1=0. Viết phương trình các đường thẳng chứa các
cạnh của tam giác ABC.
Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua A (-2;3) và nhận véctơ chỉ phương
CH
u = (-1;2) của
đường CH làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là:
- 1(x+2) + 2(y-3) = 0
<=> - x + 2y - 8 = 0
Toạ độ điểm B là nghiệm hệ:
012
082
yx
yx
=> B = (2; 5)
Giả sử đỉnh C = (x
o
; y
o
) => M = ;
2
2
0
x
2
3
0
y
Vì C
CH nên 2x
o
+ y
o
- 7 = 0 (1)
Vì M
BM nên: 01
2
3
2
2
.2
00
yx
<=> 2x
o
- y
o
- 5 = 0 (2)
Giải hệ (1), (2) ta có:
1
3
0
0
y
x
Vậy C= (3; 1)
Phương trình đường thẳng AC là: 2x + 5y -11 =0
Phương trình đường thẳng BC là: 4x + 5y -13 =0
Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (E): 1
1
4
22
yx
có hai tiêu điểm là
21
; FF , gọi A ,B là hai điểm trên (E) sao cho 2
21
BFAF .Tính
12
BFAF .
Vì A; B là hai điểm trên (E) nên ta có:
42
42
21
21
aBFBF
aAFAF
68
122121
BFAFBFBFAFAF
Bài 3.Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng
1 2
:3 4 20 0, : 1 0
d x y d x y
Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) có bán kính R=5, tiếp xúc với
1
d
và có
tâm nằm trên
2
d
.
Giả sử là
2
( ; 1 )
I t t d
tâm của đường tròn (C)
Vì (C) tiếp xúc với
1
d
nên
1
2 2
3 4( 1 ) 20
( , ) 5
3 4
t t
d I d R
24 25 1
24 25
24 25 49
t t
t
t t
Với
1
1 (1; 2)
t I
ta được phương trình đường tròn
2 2
1
1 2 25
C x y
Với
1
49 ( 49;48)
t I ta được phương trình đường tròn
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
2 2
2
49 48 25
C x y
II – Bài tập tự giải
Bài 1.1
Cho tam giác ABC .
A 1,5 B 4; 5 C 4; 1
Tính tọa độ chân đườn phân giác trong D và ngồi E của góc A. Suy ra tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp I của tam giác
Bài 1.2
Cho tam giác ABC.
A 2;6 B 1;0 C 7; 4
. Tính tọa đội tâm I của đường tròn ngoại
tiếp tam giác
Bài 1.3
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
2 2
2 2
a. x 10x 34 x 6x 1
b. c x 10cos x 61 c x 2cosx 5
os os
Bài 1.4
Cho tam giác ABC có AB=c, AC=b, BC=a và độ dài đường phân giác trong AD=x
thỏa mãn:
2 2 2 2 2 2
x bx b x cx c b bc c
. Tính số đo của góc A
Bài 2.1
1;1 B 4; 3 .
x 2y 1 0 C;AB 6
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A Tì
m điểm C thuộc đường thẳng
( ): sao cho d
Bài 2.2
1 2
1 2
1 2 3
a. : x y 1 0; : 2x y 0. 2;1 .
b. : x y 3 0; : x y 4 0; : x 2y
Trong mặt phẳng Oxy cho các đường th
ẳng
Điểm M Lập phương trình đường thẳn
g đi qua M
cắt lần lượt tại A,B sao cho MA=2MB
3 1 2
1 2
1 2
0 Tìm : d M; 2d M;
y 4y 6 0; : 5x 12y 4 0 .
1,1 ,
. M
c. Trong Ox cho : 3x cắt nhau tại M
Lập phương trình ( ) đi qua K và cắt tại A,B MAB cân tại M
Bài 2.3
Trong Oxy 0;4 B 5,0
cho A và đường thẳng :2x-2y+1=0
Lập phương trình đường thẳng đi qua A
,B nhận là đường phân giác
Bài 2.4
Trong Oxy 2,3 .
a,0 B 0,b
cho M Lập phương trình đường thẳng
đi qua M cắt Ox;Oy
tại A với a>0, b>0 để cho OAB có diện tích lớn nhất
Bài 2.5
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
y 1 0, 1,3 cao
AH : x 2y 3 0.
4;3 . x 2y 5 0
a. Trong Oxy cho ABC có trung tuyến AM: điểm B , đường
Lập phương trình đường thẳng AC
b. Trong Oxy cho ABC có C Đường phân giác trong AD:
và đường
4x 13y 10 0.
c. 0; 1 ; AB 2AM.
x y 0, 2x y 3 0.
trung tuyến AM: Tìm tọa độ B
Trong Oxy cho ABC có cạnh AC đi qua M
Đường phân giác trong
AD: đường cao CH: Tính tọa độ các đỉnh của ABC
d. Tr
1, 1 x y 2 0 4x 3y 1 0
ong Oxy , hãy xá đònh tọa độ đỉnh C của ABC biết hình chiếu của C trên
AB là
H Đường phân giác trong AD: Đường cao BK
Bai 2.6
1;3 ,
2x 3y 10 0;AB : 5x y 8 0.
Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân tại
C. Biết đỉnh A đường cao
BH: Tính tọa độ B và C
Bai 2.7
Trong Oxy x 2y 2 0 0,2 .
AB 2BC
cho đường thẳng : và A Tìm trên h
ai điểm
B, C sao cho ABC vuông tại B và
Bai 2.8
1 2 1
2
Trong Oxy 1,2 : x y 0 : x y 0.Tìm A Ox; B ;
cho I và 2 đường thẳng
C sao cho ABC vuông cân tại A và B,C đối xứng với nhau qua I
Bai 2.9
1
2
1
2
a. Trong 2,0 : x y 0,
: x y 1 0
2;2 : x y 2 0,
: x y 8 0
Oxy cho A Tìm điểm B thuộc điểm C
thuộc
sao cho ABC vuông cân tại A
b. Trong Oxy cho A .Tìm điểm B thuộc
điểm C thuộc
sao cho AB
C vuông cân tại A
Bai 2.10
Trong 1,0 , : x 2y 2 0
Oxy cho A Tìm điểm B thuộc Ox điểm
C thuộc
sao cho ABC đều
Bai 2.11
Trong 2,0 B 2,0
1
.
3
Oxy cho ABC vuông tại C biết A và k
hoảng cách
từ trọng tâm G đến Ox bằng Tính tọa độ đỉnh C
Bai 2.12
Trong 1,0 B 4;0 C 0,m m 0.
m ?
Oxy cho ABC A ; ; Tính tọa độ trọng
tâm
G của ABC theo m. Tìm để GAB vuông tại G
Bai 2.13
1, 1
2
;0 .
3
Trong Oxy cho ABC vuông cân tại A . M
trung điểm của BC, trọng tâm
G Tìm tọa độ các đỉnh ABC
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
Bai 2.14
3
Trong . 2, 3 3, 2
2
3x y 8 0.
Oxy cho tam giác ABC có S= Hai đỉnh A
B và
trọng tâm G thuộc : Tính tọa độ C
Bài 2.15
Trong 2, 4 0,4
x y 2 0.
Oxy cho ABC có C trọng tâm G và tru
ng điểm Mcuar
cạnh BC thuộc : Tìm tọa độ M để BC có độ dài nhỏ nhất
Bai 2.16
13 13
; .
5 5
4x y 3 0;AC : x y 7 0
Trong Oxy cho ABC có trực tâm H Lập
phương trình cạnh BC
biết AB:
Bài 2.17
B D
Trong Oxy
x 3y 0;C 2x y 5 0;B,D x y 0.x x
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuôn
g ABCD biết hai đỉnh đối diện
A
Bài 2.18
6,2
1;5 : x y 5 0
Trong Oxy cho hình chữ nhật ABCD có I
là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD
Điểm M thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
Viết phương trình đường t
hẳng AB
Bài 3.1
1 2
1 2
: x 2y 3 0; : 4x 3y 5 0.
Trong Oxy cho Lập phương trình đường
tròn
tâm I thuộc tiếp xúc với và R=2
Bài 3.2
2 2
y 4 3x 4 0. Trong Oxy cho (C):x Tia oy cắt (C) tạ
i A> Lập phương trình
(C') có R'=2 và tiếp xúc ngoài (C) tại A
Bài 3.3
2
2
a. Trong x 1 y 4 2y 5 1 0
0,2
b. 0,2 3; 1
Oxy cho (C): và đường thẳng x
cắt (C) tại A,B. Lập phương trình đường tròn đi qau A,B và K
Cho A và B Lập phương trình của đường tròn ngoại tiếp
1,0 B 1, 3 .
tam giác OAB
c. Cho A Tìm tọa độ I của đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Bài 3.4
4,0 ,C 4,0
r 1
Trong Oxy cho tam giác ABC vuông tại
A; B
Lập phương trình đường tròn nội tiếp ABC biết
Bài 3.5
3x y 0
Ox; 2 3
Trong Oxy cho tam giác ABO vuông tại A phương trình OA:
B hoành độ tâm I của đường tròn n
ội tiếp OAB là 6 . Tìm tọa độ A,B
Bài 3.6
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
2 2
y 2x 0. 1,4Trong Oxy cho (C): x Từ M kẻ hai tiếp
tuyến MB,MB
(A,B là 2 tiếp điểm). Lập phương trình AB và độ dài dây cung AB
Bài 3.7
2 2
y 2x 2y 10 0. 1,1 . Trong Oxy cho (C) :x Điểm M Lập phươn
g trình
đường thẳng đi qua M cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho MA=2MB
Bài 3.8
2 2 2 2
0 I
y 16;(C') : x y 2x 0 Trong Oxy cho hai đường tròn (C):x
Lập phương trình đường tròn C tâm I :
x =2 tiếp xúc trong (C) và ngoài (C'
)
Bài 3.9
2 2
y 4x 0 3y 4 0Trong Oxy cho (C):x và đường thẳng x+
cắt nhau tại A,B.
Tìm M (C) sao cho tam giác ABM vuông
Bài 3.10
2
2 2 2
y 13 x 6 y 25Trong Oxy cho (C):x và (C'): cắt nhau tại A
Lập phương trình đường thẳng đi qua A cắt 2 đường tròn theo 2 dây cung da
øi bằng nhau
Bài 3.11
3x y 3 0
A,B Ox r 2.
Trong Oxy cho ABC vuông tại A. phương trình BC:
và Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
Bài 3.12
6,0
Trong Oxy cho (C) tâm O; R=5. Lập phươ
ng trình đường thẳng đi qua M
cắt (C) tai A,B để cho OAB có diện tích lớn nhất
Bài 3.13
2 2
1 2
1 2
y 2x 6y 6 0; 3,1 T
T
Trong Oxy cho (C):x M Gọi T là các ti
ếp điểm
cuả các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Lập phương trình T
Bài 3.14
2 2
y 4x 4y 6 0 y 2m 3 0.Trong Oxy cho (C):x và đường thẳng x+m
Gọi I là tâm (C) . Tìm m=? để cắt (C) tại A,B sao cho tam giác IAB có
lớn nhất
Bài 3.15
2
2
1 2
1 1 1 2
4
x 2 y x y 0; x 7y 0
5
Trong Oxy cho (C): = và các đường thẳng : :
Xác đònh tọa độ tâm K của (C ) biết (C ) tiếp xúc và K (C)
Bài 4.1
5
3
Trong Oxy hayx viết phương trình chính tắc của (E) biết tâm sai e= và hình
chữ nhật
cơ sở có chu vi bằng 20
Bài 4.2
2
2
x 2 6
y 1 3,
4 3
Trong Oxy cho (E): ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. A
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của ABCD
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV
Bài 4.3
1 2
1 2
1 2
( 4,0)F (4,0) 0,3
E
9MF
Trong Oxy cho F và A
Lập phương trình chính tắc của đi qua A và nhận F F làm tiêu điểm. Tìm tr
ên (E)
điểm M sao cho MF
Bài 4.4
·
1 2 1 2
0
1 2
1,0 F 1,0
3
e . FMF 90
5
Trong Oxy cho F Lập phương trình chính
tắc của (E) nhận F F
làm tiêu điểm và Tìm trên (E) một điểm M:
Bài 4.5
1 2
1 2 2 1
4,0 ; 4,0 ;A 2,0 .
2MF
Trong Oxy cho F F Lập phương trình của (
H) đi qua A
nhận FF làm tiêu điểm. Tìm M trên (H):MF
Bài 4.6
0
6,4 .
.CMR
Trong Oxy cho M Lập phương trình chính t
ắc của (H) đi qua M và mỗi đường
tiệm cận tạo trục hoành một góc:30 tích các khoảng cách từ M (H) đến
2 đường
tiệm cận là một hằ
ng số
Bài 4.7
x 1. i x y 1 0
Trong Oxy lập phương trình chính tắc c
ủa (P) có đỉnh là gốc tọa độ và
đường chuẩn Tìm tọa độ giao điểm của (P) vớ :
Bài 4.8
2
x x y 2 0.Trong Oxy cho (P): y và : Tìm tọa độ
giao điểm A,B của (P) với
Tìm điểm C trên (P) để ABC có S=8
Bài 4.9
2 2
x y
1 : 2x y 2 0.
2 8
Trong Oxy cho (H): Tính tọa độ giao đ
iểm A,B của (H) với ( )
Tìm trên (H) điểm C để diện tích ABC bằng 5
Câu lạc bộ Gia sư thủ khoa
