Chuyên đề khảo sát hàm số luyện thi đại học

Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. TAM THỨC BẬC HAI: f(x) = ax
2
+ bx + c
1. Đồ thị:
Là một Parabol
y
x
S
O

a < 0
y
x
S
O
Đỉnh S với x
S
=
b
2a
−
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Xét biệt thức ∆ = b
2
– 4ac
i) ∆ < 0 ⇒ af(x) > 0, ∀x
ii) ∆ = 0 ⇒
af(x) > 0, x
af(x) 0, x

b
f 0
2a
∀


⇔ ≥ ∀
 

− =
 ÷

 

iii) ∆ > 0 ⇒ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) và :
• af(x) < 0, ∀x ∈(x
1
; x
2
)
• af(x) > 0, ∀x ∉[x
1

; x
2
]
•
3. So sánh số α với 2 nghiệm x
1
, x
2
của phương trình f(x) = 0
i) Để x
1
< α < x
2
cần có af(α) < 0
ii) Để α < x
1
< x
2
cần có
0
af( ) 0
S
0
2


∆ >

α >




− α >

iii) Để x
1
< x
2
< α cần có
0
af( ) 0
S
0
2


∆ >

α >



− α <

4. Điều kiện để f(x) ≥ 0 hoặc f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ I
i) Trường hợp a > 0:
• f(x) ≤ 0, ∀x ∈(α ; β) ⇔
1 2
0
x x

∆ >


≤ α < β ≤

• f(x) ≥ 0, ∀x ∈(a ; ∞) ⇔
1 2
0
0;x x
∆ ≤


∆ > < ≤ α

1
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
ii) Trường hợp a < 0:
• f(x) ≥ 0, ∀x ∈(α ; β) ⇔
1 2
0
x x
∆ >


≤ α < β ≤

• f(x) ≤ 0, ∀x ∈(a ; ∞) ⇔
1 2
0
0;x x

∆ ≤


∆ > < ≤ α

II. ĐỊNH LÝ VIÉT:
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ta có :
S = x
1
+ x
2
=
b
2a
−
P = x
1
.x
2
=
c
a
III. PHƯƠNG TRÌNH HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM:
Cho hai đường cong (C):y = f(x) và (C’) : y = g(x)

Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đường cong (C) và (C’).
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’):
(*) có n nghiệm x
1
, x
2
, . . .,x
n
⇔ (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm có hoành độ
x
1
, x
2
,…,x
n
(*) vô nghiệm ⇔ (C) và (C’) không cắt nhau
(*) có nghiệm kép x = x
o
⇔ (C) và (C’) tiếp xúc nhau taị điểm có hoành độ
x = x
o
⇔
o o
o o
f(x ) g(x )
f '(x ) g'(x )
=




=


Chủ đề 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. CÁC KIẾN THỨC VỀ ĐỒ THỊ:
a. Định nghĩa :
Hàm số y = f(x) xác định trong khoảng ( -a ; a) được gọi là hàm số chẵn nếu
f(-x) = f(x), ∀x ∈( -a ; a)
b. Tính chất:
• Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung
• Đồ thị các hàm số f(x) và -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ VẼ ĐỒ THỊ:
 Bài toán 1:
Biết đồ thị (C): y = f(x). Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
g(x,m) = 0
 Phương pháp:
Biến đổi phương trình g(x,m) = 0 về dạng f(x,m) = α(m)
Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và đường thẳng
(∆): y = α(m)
2
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
 Bài toán 2:
Biết đồ thị (C): y = f(x). Hãy vẽ đồ thị (C’): y = f(
|
x
|
)
 Phương pháp:

f(
x
) là hàm số chẵn nên (C’) đối xứng qua trục tung
Khi x ≥ 0 thì (C’) : y = f(
x
) = f(x) ⇒ (C’) ≡ (C)
(C’) gồm :
• (C’
1
) : phần của (C) với x ≥ 0
• (C’
2
) : đối xứng với (C’
1
) qua trục tung
 Bài toán 3 :
Biết đồ thị (C) : y = f(x). Hãy vẽ đồ thị (C’) : y =
)(xf
 Phương pháp :
(C’) : y =
)(xf
=



≤−
≥
0)x(f),x(f
0)x(f),x(f
neáu

neáu
(C’) gồm :
• (C’
1
) :phần của (C) với y ≥ 0
• (C’
2
) : đối xứng với phần của (C) ứng với y ≤ 0 qua trục hoành
 Bài toán 4 :
Biết đồ thị (C) : y = f(x). Hãy vẽ đồ thị (C’) :
y
= f(x).
 Phương pháp :
Ta thấy f(x) ≥ 0
(C’) : y = ± f(x) với f(x) ≥ 0
=



≥−
≥
0)x(f),x(f
0)x(f),x(f
neáu
neáu
(C’) gồm :
• (C’
1
) :phần của (C) với y ≥ 0
• (C’

2
) : đối xứng của (C’
1
) qua trục hoành
 Bài toán 5 :
Biết đồ thị (C) : y =
ax
)x(f
−
. Hãy vẽ đồ thị (C’) : y =
ax
)x(f
−
 Phương pháp :
(C’) : y =







<
−
−
>
−
ax,
ax
)x(f

ax,
ax
)x(f
neáu
neáu
(C’) gồm :
• (C’
1
) :phần của (C) với x > a
• (C’
2
) : đối xứng với phần của (C) với x < a qua trục hoành
3
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
 Bài toán 6 :
Biết đồ thị (C) : y = f(x). Hãy vẽ đồ thị (C’) :
)x(fy =
 Phương pháp :
(C’) : y = ± f(x)
(C’) gồm :
• (C’
1
) :phần của (C)
• (C’
2
) : đối xứng của (C’
1
) qua Ox
C. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT TỔNG QUÁT:
1. Tìm miền xác định của hàm số

2. Xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp khoảng cần khảo sát (nếu
có)
3. Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các điểm cực trị
4. Lập bảng biến thiên: xét dấu y’ và khảo sát tính đơn điệu của hàm số…
5. Tính y’’ và giải phương trình y’’ = 0 để tìm điểm uốn (nếu thấy cần thiết)
6. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
7. Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của đồ thị và các trục)
D. KHẢO SÁT CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN
I. HÀM SỐ BẬC BA : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
a. Lý thuyết tóm tắt:
• Xác định ∀x
• Hàm số đơn điệu hoặc có hai cực trị ( 1 cực đại và 1 cực tiểu)
• Chia y cho y’ thì y = (ax + e)y’ +Ax + B. Khi đó y = Ax + B là đường
thẳng đi qua 2 điểm cực trị
• Đồ thị có điểm uốn U với x
U
=
b
3a
−
• Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ Nếu đồ thị có hai điểm cực trị
thì điểm uốn là trung điểm của 2 điểm này
Đồ thị có các dạng sau:
y’ = 0 có 2
y nghiệm
y (a > 0)

y’ > 0
O x O x
y’ = 0
có 2 nghiệm
(a > 0)
y’ < 0
4
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
 BÀI TẬP :
1) Cho hàm số y = x
3
+ x -1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số
b) Chứng minh rằng nếu x
o
là nghiệm của phương trình : x
3
+ x – 1 = 0 thì ta có
x
o
2
– x
o
< 0
c) Chứng minh với mọi α thì phương trình x
3
+ x – 2cos
2
α = 0 luôn có nghiệm
thuộc [0 ; 1]

2) Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm a để phương trình x
3
– 3x + a = 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đúng
hai nghiệm dương
c) Vẽ đồ thị (C’): y =
3
x 3 x 2− +
 ĐS: b) 0 < a < 2
3) Cho hàm số y = (x + 1)
2
.(2 – x)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm x để x
3
– 3x – 2 > 0
c) Tìm m để phương trình 3sin
3
t + sin3t + 2 = m có nghiệm
 ĐS : b) x > 2 ; c) 0 < m < 4
4) Cho hàm số y = x
2
(1 – x)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 0 ≤ x ≤ 1
b) Đường thẳng (d) cắt (C) tại A và B có hoành độ là a, b ( a < b). Tìm hệ thức
giữa a và b độc lập với vị trí của (d).
5) Cho hàm số y = x

3
+ 3x
2
+ 3x – 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh rằng ∀α thì phương trình x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2sin
2
α = 0 luôn có
nghiệm thuộc đoạn [-2 ; 0]
6) Cho hàm số y = x
3
– 3x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
−
sin3x – 3sin
3
x
7) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm a để đường thẳng y = a cắt (C) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2

, x
3
.
Tính tổng S = x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
8) Cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx + c
a) Xác định a, b, c để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên trục tung và hàm số
đạt cực trị bằng -1 tại x = 1
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a, b, c vừa tìm được
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : cosx(sin
2
x + 2) + m = 0
9) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại 2 điểm sao cho hai tiếp tuyến tại 2

điểm đó của đồ thị là vuông góc nhau
10) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 4m – 4
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -1 , 1)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0
 ĐS : a) m ≤ -9
5
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
11) Cho hàm số y = x
3
– 3ax
2
+ 4a
3
a) Xác định a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau
qua đường thẳng y = x
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi a = 1
 ĐS : a) a =
2
2
±
12) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.
13) Cho hàm số y = (x – a)(x – b)(x – c)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = b = 1 và c = 4
b) Với mọi a < b < c, chứng minh rằng hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2

thỏa điều kiện a < x
1
< b < x
2
< c
14) Cho hàm số y =
3
x
m
−
+ 3mx
2
– 2 với m ≠ 0
Định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1 , 0) làm tâm đối xứng. Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m vừa tìm.
15) Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
– 3x + 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm mà (C) cắt trục tung.

II. HÀM SỐ BẬC BỐN : y = ax
4
+ bx
2
+ c
A. Lý thuyết tóm tắt:
• Miền xác định ∀x
• Hàm số luôn có cực trị, có 1 hoặc 3 cực trị ( 1 cực trị trên Oy và 2 cực trị đối
xứng nhau qua Oy)
• Dấu của y’ : miền nhỏ trái dấu với a
• Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thị có các dạng sau :
y’ = 0 có 3 nghiệm
y’ = 0
có 1 nghiệm
(a > 0)
y’ = 0
có 3 nghiệm
(a < 0) y’ = 0
có 1 nghiệm
6
x
y
O
x
y
O
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
 BÀI TẬP :
1) Cho hàm số y = x

4
– 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Vẽ đồ thị (C’): y =
4
x 1−
c) Vẽ đồ thị (C’’):
y
= x
4
– 1
2) Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : (x
2
– 1)
2
+ 2m – 1 = 0.
c) Vẽ đồ thị (C’):
y
= (x
2
– 1)
2
3) Cho hàm số y = x
4

+ ax
2
+ b
a) Tìm a, b để A(1 , -6) là điểm cực trị của đồ thị hàm số
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với a, b vừa tìm được.
c) Chứng minh tam giác tạo nên bởi các điểm cực trị của đồ thị (C) là tam giác
vuông
4) Cho hàm số y = 2x
2
– x
4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4
– 2x
2
+ m = 0
5) Cho hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c
a) Tìm a, b, c biết chia ax
4
+ bx
2
+ c cho x
2
– 1 thì dư 1, hàm số đạt cực trị tại
x = 1 và đồ thị hàm số đi qua điểm (0 , 2)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) với a, b, c vừa tìm được
c) Vẽ đồ thị (C’): y = - x
4
+ 2x
2
– 2.
 ĐS : a) a = 1, b = -2, c = 2
6) Cho hàm số y = x
4
– 6ax
2
+ a
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với a = 1
b) Với a là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 1]
7) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
1 5
x 3x
2 2
− +
b) Cho điểm M trên (C) có hoành độ x
M
= a với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của
(C) tại M cắt (C) tại hai điểm khác với M .
 ĐS : b)
3 a 3
a 1

− < <



≠ ±


8) Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ 2m + m
4
a) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực
đại và cực tiểu là các đỉnh của một tam giác đều.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
9) Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua điểm A(0 , 4)
7
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
III.HÀM HỮU TỈ : y =
ax b
cx d
+
+
( a,c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)
• Hàm số xác định ∀x ≠

d
c
−
• y’ =
2
ad bc
(cx d)
−
+
⇒ Hàm số đơn điệu
• Tiệm cận đứng : x =
d
c
−
• Tiệm cận ngang : y =
a
c
• Đồ thị nhận giao điểm của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
y
y (y’ > 0)
(y’ < 0)

a
c

a
c
O
d
c

−
x
d
c
−
x
 BÀI TẬP :
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a) y =
3x 4
x 2
+
+
c) y =
2
x 1+
b) y =
x 1
x 1
+
−
d) y =
2
2
x 3
−
+
2) Cho hàm số y =
ax b
x 1

+
+
a) Tìm a, b để đồ thị hàm sô có đường tiệm cận ngang là y = 2 và hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = 0 bằng 4.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 2, b = -2.
 ĐS : a) a = 2, b = -2
3) Cho hàm số : y = f(x) =
2x 4
x 3
−
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Chứng minh (H) có tâm đối xứng
c) Lập phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) và trục hoành
4) Cho hàm số (H) : y =
2x 1
x 1
+
+
a) Tìm điểm trên (H) có tọa độ nguyên
8
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
c) Tìm các điểm trên (H) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất
d) Vẽ đồ thị hàm số (H’) :
2x 1
y
x 1
+
=

+
5) Cho hàm số y =
3x 4
x 1
+
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3x 4
m
x 1
+
=
−
6) Cho hàm số y =
2x 1
x 2
+
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm m để phương trình
2sinx+1
m
sinx 2
=
+
có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [0 , π]
 ĐS : b)
1
m 1

2
≤ <
7) Cho hàm số y =
2x
x 1−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Vẽ đồ thị (C’) : y =
2 x
x 1−
c) Dùng (C’) biện luận theo m số nghiệm của phương trình (m – 2)
x
- m = 0
8) Cho hàm số y = f(x) =
mx 1
2x m
−
+
a) Chứng minh rằng: với ∀m, hàm số luôn tăng trong từng khoảng xác định
b) Định m để tiệm cận đứng của đồ thị qua A(-1,
2
)
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
9) Cho hàm số y =
3 x
2x 1
−
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ là những số nguyên
10) Cho hàm số y =

ax+b
cx+d
(c ≠ 0)
a) Tìm hàm số trên biết đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là I(2 , 2) và qua A
1
0,
2
 
 ÷
 
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số vừa tìm được ở câu a
c) Tiếp tuyến với (H) tại M bất kì cắt 2 tiệm cận tại P, Q.
Chứng minh : MP = MQ
9
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
IV. HÀM HỮU TỈ y =
2
ax bx c
dx e
+ +
+
(ad ≠ 0)
A. Lý thuyết tóm tắt:
• Hàm số xác định ∀x ≠
e
d
−
• y’ =
2
2

adx 2aex + be - cd
(dx e)
+
+
• Hàm số đơn điệu hoặc có hai cực trị ( 1 cực đại và 1 cực tiểu)
• Đường thẳng đi qua 2 cực trị y =
1
(2ax b)
d
+
• Tiệm cận đứng : x =
e
d
−
• Tiệm cận xiên : y =
a
x B
d
+
( Nếu hàm số có dạng y =
a
x B )
d dx e
α
+ +
+
• Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
y’ = 0 có 2 nghiệm

y’ = 0 có 2 nghiệm

 BÀI TẬP:
1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
2
2x 3x 3
x 2
+ −
+
b) Chứng minh phương trình : 2tg
2
t + (3 – m)tgt – (2m + 3) = 0 luôn có 2
nghiệm thuộc khoảng
,
2 2
π π
 
−
 ÷
 
2) Cho hàm số y =
2
x
x 1−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
10
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
b)Tìm tất cả các giá trị của a sao cho x
2
– ax + a > 0, ∀x > 1

c) Vẽ đồ thị (C’) : y =
2
x
x 1−
3) Cho hàm số y =
2
x 5x 15
x 3
+ +
+
a) Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
c) Tìm các điểm trên (C) sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng 2 lần
khoảng cách từ đó đến trục tung
4) Cho hàm số y =
2
x x 4
x 1
− +
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo tham số m số nghiệm thuộc đoạn [0 , π]
của phương trình : cos
2
t – (1 + m)cost + m + 4 = 0
5) Cho hàm số y =
2
x 3x 4
2x 2
− +

−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) M là điểm tùy ý trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng tại A và
tiệm cận xiên tại B, chứng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn AB và tam giác
IAB có diện tích không phụ thuộc vào m, với I là giao điểm của hai tiệm cận
c) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x
6) Cho hàm số y =
2
2x (6 m)x 4
mx 2
+ − +
+
a) Định m để đồ thị hàm số qua điểm A(-1, 1)
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
c) Chứng minh rằng (C) có một tâm đối xứng
7) Cho hàm số y =
2
x 3x 3
1 x
− +
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên
c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
8) Cho hàm số y =
2
x (m 1)x 1
x 1
+ + −
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b) Định m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định
c) Định m để đường thẳng y = m + 1 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A,
B sao cho OA vuông góc với OB
9) Cho hàm số y =
2
2x mx 3
x m 1
+ −
+ −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Tìm trên đồ thị (C) tất cả những điểm mà tọa độ là các số nguyên
c) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số không phải là một hyperbol ?
11
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
10) Cho hàm số y =
2 2
x 2mx 3m
x 2m
− +
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = -1
b) Định m để hàm số luôn đồng biến trong từng khoảng mà nó xác định
c) Định m để hàm số đồng biến trong (1 , ∞)
V. HÀM y =
fexdx
cbxax
2
2
++

++
A. Lý thuyết tóm tắt :
• y’ =
22
2
)fexdx(
fe
cb
x
fd
ca
2x
ed
ba
++
++
• Nếu phương trình dx
2
+ ex + f = 0 vô nghiệm, có1 nghiệm, có 2 nghiệm thì đồ
thị lần lượt không có tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận đứng, có 2 tiệm cận đứng
• Tiệm cận ngang : y =
d
a
 BÀI TẬP:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a) y =
1x
5x4x2
2
2

+
++
b) y =
5x4x
9x12x3
2
2
−−
+−
c) y =
1xx
1x
2
+−
−
d) y =
2xx
5x6x2
2
2
−−
+−
2) Cho hàm số : y =
2xx
x
2
2
−−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Đồ thị (C) cắt tiệm cận ngang tai A. Đường thẳng OA cắt lại (C) tại B. Tính

tọa độ của A và B. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B.
___________________________________________________________________
Chủ đề 2
PHƯƠNG TRÌNH HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM
A. LÝ THUYẾT :
I. Số nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
∆ = b
2
– 4ac
i) ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm
ii) ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x =
a2
b
−
iii) ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
a2
b
∆
±−
II. Số nghiệm của phương trình bậc ba ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1)
1) Phương trình (1) có nghiệm đặc biệt x = α
12
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
Bằng cách chia vế trái cho x – α ta được : (1) ⇔ (x – α)(ax

2
+ βx + γ) = 0
Xét ax
2
+ βx + γ = 0 (2)
Ta có :
• (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm
• (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm trong đó có một
nghiệm là α
• (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác α
• (1) có nghiệm kép ⇔ (2) có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm trong đó α là
một nghiệm
2) Phương trình (1) không có nghiệm đặc biệt
• (1) có 1 nghiệm ⇔ Hàm số đơn điệu hoặc có 2 cực trị với y
min
.y
max
> 0
• (1) có 2 nghiệm ⇔ Hàm số có 2 cực trị với y
min
.y
max
= 0
• (1) có 3 nghiệm ⇔ Hàm số có 2 cực trị với y
min
.y
max
< 0
• (1) có nghiệm kép ⇔ Hàm số có 2 cực trị với y
min

.y
max
= 0
 Lược đồ Hoorne
a
o
a
1
. . . .a
i – 1
a
i
…. a
n – 1
a
n
α
b
o
b
1
… b
i – 1
b
i
= a
i
+ b
i – 1
.α … b

i – 1
0
 Định lý Viét bậc ba
Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
thì :









−=
=++
−=++
a
d
xxx
a

c
xxxxxx
a
b
xxx
321
133221
321

III. Số nghiệm của phương trình ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1)
Đặt t = x
2
thì (1) ⇔ at
2
+ bt + c = 0 (2)
• (1) vô nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
• (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép t = 0
• (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép t > 0 hoặc (2) có 2 nghiệm trái dấu
• (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm t
1
, t
2
với t
1
= 0 < t
2

• (1) có 4 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
• (1) có nghiệm kép ⇔ (2) có nghiệm t = 0
 BÀI TẬP :
13
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
1) Cho hàm số y =
1x
4x3
−
+
Định a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị
2) Cho hàm số y =
2x
4x4x
2
+
++
Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt
 ĐS : k ≠ 1
3) Cho hàm số y =
1x
1mxx
2
−
−+
Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho OA ⊥ OB
 ĐS : m =
1 5
2
− ±

4) Cho hàm số y =
1x
mx)2m(x
2
+
−++
(C
m
)
a) Tìm m để tiệm cận xiên của (C
m
) định trên 2 trục tọa độ một tam giác có
diện tích bằng 8.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
c) Định k để đường thẳng y = k cắt (C) tại 2 điểm phân biệt E, F sao cho đoạn
EF nhắn nhất.
 ĐS : c) m = 3
5) Tìm m để đường thẳng y = 3x – 2 cắt đồ thị hàm số y =
1x
3x)1m2(mx
2
−
++−
ở hai
nhánh.
 ĐS : m < 2 hoặc m > 3
6) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
1x
1xx
2

+
−−
b) Gọi (d
m
) là đường thẳng có phương trình y = mx – 1. Tìm m để (d
m
) cắt (C)
tại 2 điểm phân biệt trên cùng một nhánh của (C).
 ĐS : b) 0 ≠ m < 1
7) Cho hàm số y =
ax
axx
2
+
++−
a) Tìm a để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2 , 0). Khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được.
b) Tìm a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x -1 tại 2 điểm M
1
(x
1
, y
1
) và
M
2
(x
2
, y
2

). Tìm hệ thức liên hệ giữa y
1
và y
2
không phụ thuộc vào a.
 ĐS : b)
a 6 4 2< − −
hoặc
a 6 4 2> − +
; y
1
+ y
2
+ 1 = y
1
y
2
8) Tìm m để đường thẳng y = - x + m tiếp xúc với (C) : y =
1x
4x3x
2
−
+−
.
 ĐS : m = ± 4
9) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =
mx
3x)1m(x2
2
+

−++
tiếp xúc
với parabol (P) : y = x
2
+ 5.
 HD và ĐS : Tiệm cận xiên y = 2x + 1 – m ; m = - 3
14
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
10) Tìm a, b để đồ thị hàm số y =
2 2 2
x (am b)x b m
mx 1
+ + + +
−
luôn tiép xúc với trục
hoành ∀m.
 ĐS : a = 2, b = 0
11) Cho hàm số (C) : y =
2
x 2x 2
x 1
− +
−
và (∆) : y = -x + m. Tìm m để (∆) cắt (C) tại 2
điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : y = x + 1
 ĐS : m = 9
12) Cho hàm số y =
2
x mx 1
x 1

+ +
−
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm thuộc hai nhánh
 ĐS : m < -2
13) Cho họ (C
m
) : y =
2
x mx 1
x 1
+ −
−
a) Xét đường thẳng (L
m
) : y = mx + 2. Tìm m sao cho (C
m
) cắt (L
m
) tại hai
điểm phân biệt.
b) Gọi (D
m
) là tiệm cận xiên của (C
m
). Tìm m sao cho (D
m
) tạo với 2 trục tọa
độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích)
 ĐS : a) m < 0 hoặc m > 1 ; b) m = -5, m = 3
14) Tìm a để đồ thị hàm số y =

2 2
x amx+m
mx 1
+
−
tiếp xúc trục hoành ∀m ≠ 0
 ĐS : a = 2
15) Cho hàm số y =
2
4x x
x 1
−
−
. Tìm a để đường thẳng y = 3x + a cắt đồ thị hàm số tại
x
1
, x
2
với
1 2
x x−
nhỏ nhất
 ĐS : a = -1

* Số nghiệm của phương trình bậc ba :
1) Tìm m để (C) : y = x
3
– (3m + 1)x
2
+ m(2m +

3
2
)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt.
 ĐS : m ≠ 0, m ≠
3
4
−
2) Cho hàm số y =
3
1
x m(x 1)
3
− +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm
khác nhau
 ĐS : m >
4
9
3) Tìm m để đồ thị hàm số y = mx
3
– x
2
– 2x + 8m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ thỏa x < -1.
 HD : Pthđgđ : (x + 2)[mx
2
– (2m + 1)x + 4m] = 0
ĐS :
1 1

m
6 7
− < < −
15
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3(m - 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m + 1) cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa x > 1.
 ĐS :
1
m 1
2
< ≠
5) Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 3(m
2
– 1)x – (m
2
– 1). Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại 3 điểm có hoành độ dương.
 ĐS :
3 m 1 2< < +

6) Tìm k để đường thẳng y = k(x – 1) + 1 tiếp xúc (C) : y = 4x
3
– 3x.
 ĐS : k = 0, k = 9
7) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+ 3mx
2
– 2m – 2 tiếp xúc trục hoành.
 ĐS : m = 1, m =
1
2
, m =
1 5
2
− ±
8) a) Chứng minh nếu đồ thị hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm
cách đều nhau thì điểm uốn của đồ thị nằm trên trục hoành.
b) Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 2m(m – 4)x + 9m
2
– m. Tìm m để đồ thị hàm số cắt
trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau.

 ĐS : b) m = 1
9) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
– 9x + 1. Tìm điều kiện đối với a, b để đường thẳng y = ax
+ b cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A, B, C với B là điểm giữa của AC.
 ĐS : a + b = -10, a > -12
10) Tìm m để (C) : y =
2
x x 1
x 1
− +
−
tiếp xúc với (P) : y = x
2
+ m.
 ĐS : m = -1
11) Tìm k để đường thẳng y = k(x – 1) + 4 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x.
 ĐS : k =
15
4
12) Tìm m để (C
m
) : y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2

+ 18mx – 8 tiếo xúc trục hoành.
 ĐS : m = 1, m =
35
27
, m =
4 2 6±
* Số nghiệm của phương trình ax
4
+ bx
2
+ c = 0
1) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số :
y = x
4
+ 2(m – 2)x
2
+ m
2
– 5m + 5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
 ĐS :
5 5
1 m
2
+
< <
2) Cho hàm số y = x
4
+ ax
2
+ b

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a =
3
10
, b = 1
b) Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một
cấp số cộng. Chứng minh : 9a
2
– 100b = 0
3) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ (2m + 1) cắt trục hoành tại 4 điểm có
hoành độ lập thành một cấp số cộng.
 ĐS : m =
4
9
−
, m = 4
16
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
4) Tìm m để (C
m
) : y = x
4
+ 2mx
2
+ 3m + 4 cắt trục hoành tại 4 điểm trong đó 1 điểm
có hoành độ nhỏ hơn
3

2
−
, còn 3 điểm còn lại có hoành độ lớn hơn
1−
.
 ĐS :
4 29
m
3 24
− < < −
5) Gọi (∆) là đường thẳng đi qua O với hệ số góc k.
Tìm k để (∆) tiếp xúc với (C) : y = x
4
– x
2
.
6) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 8x
2
+ m tiếp xúc parabol (P) : y = 6x
2
– 3.
 ĐS : m = -3, m = 46
__________________________________________________________________
Chủ đề 3
ĐIỂM CỐ ĐỊNH - ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG CONG
TIẾP XÚC CỐ ĐỊNH
I. ĐIỂM CỐ ĐỊNH - ĐIỂM HỌ ĐƯỜNG CONG KHÔNG ĐI QUA
A. Lý thuyết tóm tắt :

Cho họ đường cong (C
m
): y = f(x, m) và điểm M
o
(x
o
, y
o
). Ta thấy :
M
o
(x
o
, y
o
) ∈ (C
m
) ⇔ y
o
= f(x
o
, m) (*)
Xem (*) là phương trình của m, ta có :
(*) có n nghiệm ⇔ có n đường cong (C
m
) đi qua M
o
(*) vô nghiệm ⇔ Họ (C
m
) không đi qua M

o
(*) có vô số nghiệm ⇔ Họ (C
m
) luôn đi qua M
o
(hay M
o
là điểm cố định của
họ (C
m
))
 Bài toán
Tìm điểm cố định của họ đường cong (C
m
) : y = f(x, m)
 Phương pháp 1 :
• Biến đổi phương trình y = f(x, m) về dạng :….A(x, y)m
2
+ B(x, y)m +
C(x, y) = 0
• Giải hệ
A(x, y) 0
B(x, y) 0
C(x, y) 0
=


=



=

để tìm tọa độ điểm cố định
 Phương pháp 2 :
Gọi M
o
(x
o
, y
o
) là điểm cố định thì y
o
= f(x
o
, m) = F(m), ∀m.
Giải phương trình F’(m) = 0 ta tìm được tọa độ x
o
, y
o
của điểm cố định.
 Bài toán
Tìm điểm M trong mặt phẳng tạo độ sao cho họ (C
m
) : y = f(x, m) không đi
qua
 Phương pháp :
• Biến đổi y = f(x, m) thành phương trình nhận m là tham số
• Để họ (C
m
) không đi qua M thì phương trình trên vô nghiệm. Từ lý luận đó rút

ra cách tìm M
17
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
 BÀI TẬP :
1) Tìm những điểm trên đường thẳng x = 3 sao cho hàm số :
y = x
3
– 3mx
2
+ (2m
2
– 1)x + m
2
– 5m + 2 đều không đi qua.
 ĐS : (3, y) với y <
74
7
−
2) Cho hàm số y =
2
( 2) ( 2 4)m x m m
x m
− − − +
−
. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà
đồ thị hàm số không thể đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào.
 ĐS : x – 6 < y < x + 2
3) Tìm điểm trên đường thẳng x = 2 sao cho có đúng 1, 2, 3 đường cong :
y = x
3

+ (m
2
+ 1)x
2
– 4m đi qua.
 ĐS : i) 1 đường : (2, 11) ; ii) 2 đường : (2, y) với y > 11
iii) 3 đường : không có
4) Cho họ đường cong (C
m
) : y =
2 2
( 1)m x m
x m
+ −
−
và điểm A(a , b) với a > 0. Chứng
minh rằng có đúng 2 đường cong (C
m
) đi qua A.
 HD : ∆ = b
2
– 2(2a – a
2
)b + (4a
2
+ a
4
) > 0
5) Cho (C
m

) : y = x
3
– 2mx
2
+ (2m
2
– 1)x – m(m
2
– 1)
Chứng minh rằng bất kì điểm nào trong mặt phẳng tọa độ cũng có ít nhất một
đường (C
m
) đi qua.
6) Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
) : y =
2 2
x m x m
x m
+ −
−
với mọi m ≠ 0.
 ĐS : ( 0, 1)
7) Cho họ đường cong (C
m
) : y = x
3
– (m + 1)x
2
– (2m

2
– 3m + 2)x + 2m(2m – 1)
a) Tìm điểm cố định của họ (C
m
)
b) Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với trục hoành.
 ĐS : a) (2, 0) ; b) m = -2,
1 3
m , m
3 2
= =
8) Tìm a để họ (C
m
) : y =
ax + m +1
mx a−
có duy nhất điểm cố định.
 ĐS : a = 0, a = ±
1
2
9) Chứng minh đường thẳng y = k(x – 1) luôn đi qua điểm cố định.
 ĐS : (1, 4)
10) Chứng minh họ (C
m
) : y = (1 – m)x
4
+ mx
2

+ 2m – 1 luôn đi qua 2 điểm cố định.
 ĐS : (-1, 0) , (1, 0)
II. TIẾP TUYẾN CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ
 Bài toán :
Cho họ đường cong (C
m
) : y = f(x, m). Tìm đường thẳng (
∆
) luôn tiếp xúc với
họ (C
m
)
 Phương pháp 1:
Họ (C
m
) có điểm cố định M
o
(x
o
, y
o
) và y’(x
o
) không phụ thuộc m
Trường hợp này (∆) là tiếp tuyến chung của họ (C
m
). Ta có
18
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
(∆) : y – y

o
= y’(x
o
)(x – x
o
)
 Phương pháp 2 :
Họ (C
m
) không có điểm cố định nào cả hoặc có điểm cố định M
o
(x
o
, y
o
) nhưng
y’(x
o
) phụ thuộc m
Giả sử (∆) : y = ax + b
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và (∆)
f(x, m) = ax + b (*)
Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm kép ∀m, từ đó tìm ra a và b
 BÀI TẬP:
1) Tìm tiếp tuyến chung của họ parabol (P
m
) : y = mx
2

– 2(m – 1)x + m – 3.
 ĐS : y = 2x – 3
2) Cho hàm số y =
2
2 (1 ) 1x m x m
x m
+ − + +
− +
Chứng minh ∀m ≠ -1, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
tại một điểm cố định.
 ĐS : y = - x + 1
3) Tìm đường thẳng cố định tiếp xúc với họ parabol (P
m
) :
y = x
2
– (2m + 1)x + m
2
+ 3
 ĐS : y = - x + 3
4) Chứng minh họ đường cong (C
m
) : y =
2
(3 1)m x m m
x m
+ − +
+
luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố định.

 ĐS : y = x + 1 ; y = 9x + 1
III. ĐƯỜNG CONG TIẾP XÚC CỐ ĐỊNH
 Bài toán :
Cho họ đường cong (C
m
) : y = f(x, m). Tìm đường cong cố định (C) tiếp xúc
với họ (C
m
)
 Phương pháp 1:
Giả sử (C) có dạng y = g(x)
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và (C)
f(x, m) = g(x) (*)
Lý luận (*) có nghiệm kép ta tìm được sự biểu diễn cụ thể của g(x)
 Phương pháp 2 :
Giả sử (C) có dạng y = g(x)
(C
m
) tiếp xúc (C) ⇔ Phương trình hoành độ giao điểm f(x, m) = g(x) có
nghiệm kép
⇔ f(x, m) – g(x) = 0 có nghiệm kép
⇔ f(x, m) – g(x) chứa nhân tử (x - α)
2
nào đó.
 BÀI TẬP :
1) Tìm parabol cố định tiếp xúc với họ đường thẳng (∆
m
) : mx – y – m

2
= 0.
 ĐS :
2
1
y x
4
=
19
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
2) Chứng minh họ đồ thị (C
m
) của hàm số y = x
3
+ mx
2
– (m + 1)x + m – 1 luôn tiếp
xúc lẫn nhau.
 HD và ĐS : Với m
1
≠ m
2
thì PTHĐGĐ của (C
m1
) và (C
m2
) :
(m
1
– m

2
)x
2
– 2(m
1
– m
2
)x + m
1
– m
2
có nghiệm kép x = 1. Vậy họ (C
m
) luôn
tiếp xúc nhau tại (1, -1)
3) Chứng minh họ đường cong (C
m
) : y = x
3
– 2x
2
+ mx +
2
1
4
m−
luôn tiếp xuc với
một đường cong cố định.
 ĐS :
3 2

1
y x x
4
= − +
4) Cho hàm số (C
m
) : y =
2 3 2
4( 1) 4 ( 2)
2
m x mx m m
x m
+ − − − +
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Chứng minh các tiệm cận xiên của (C
m
) luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
 ĐS : b)
3
1
y x 3x
4
= − + −
_________________________________________________________________
Chủ đề 4
HỆ SỐ GÓC - TIẾP TUYẾN
I. HỆ SỐ GÓC :
1. Định nghĩa : Nếu đường thẳng (∆) nghiêng với trục
Ox một góc α thì k = tgα được gọi là hệ số góc của

đường thẳng (∆)
2. Tính chất :
i) Nếu (∆) : y = ax + b thì a là hệ số góc của (∆)
ii) Nếu (∆
1
), (∆
2
) có hệ số góc k
1
, k
2
thì :
(∆
1
) // (∆
2
) ⇔ k
1
= k
2
(∆
1
) ⊥ (∆
2
) ⇔ k
1
.k
2
= -1
iii) Hệ số góc của đường thẳng đi qua M

1
(x
1
, y
1
), M
2
(x
2
, y
2
) là :
1 2
2 1
2 1
M M
y y
k
x x
−
=
−
iv) Đường thẳng đi qua M
o
(x
o
, y
o
) với hệ số góc k có phương trình :
y – y

o
= k(x – x
o
)
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm :
f ’(x
o
) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm có hoành
độ x = x
o
 BÀI TẬP :
1) Cho hàm số y = (1 – m)x
4
– mx
2
+ 2m - 1
Tìm m để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = 2x – 2 tại điểm có hoành độ x = 1.
 ĐS : m =
1
3
20
α
y = f(x)
x
o
M
o
O
x
y

Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
2) Cho hàm số y =
2
3 4
4
x mx
x m
− + +
+
Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông
góc với tiệm cận xiên
3) Cho hàm số (C) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = c = 1 và b = d = 0
b) Giả sử a > 0. Chứng minh trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại
điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
4) Cho hàm số (C) : y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5
a) Chứng minh trên (C) khong tồn tại hai điểm sao cho 2 tiếp tuyến tại đó vuông
góc nhau
b) Định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với
đường thẳng y = kx.
 ĐS : b) k < 0 , x =
1

1
3k
− ± −
5) Cho hàm số (C) : y = x
3
+ x
2
+ x – 1. Tìm điểm trên (C) tại đó tiếp tuyến song song
với đường thẳng y = 2x.
6) Cho hàm số (H
m
) : y =
4mx
x m
+
+
a) Chứng minh họ (H
m
) luôn qua 2 điểm cố định A, B
b) Tìm m để tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau.
 ĐS : a) A(-2 , -2) , B(2 , 2) ; b) m = 0
7) Cho hàm số (C) : y =
2
2x mx m
x m
− +
+
a) Chứng minh nếu (C) cắt Ox tại điểm có hoành độ x = x
o
thì hệ số góc của tiếp

tuyến tại đó là k =
2( )
o
o
x m
x m
−
+
b) Tìm m để (C) cắt Ox tại 2 điểm A, B sao cho hai tiếp tuyến tại đó vuông góc
nhau
8) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
– 3x + 2
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
3
– (m + 3)x + 2 = 0
9) Cho hàm số (C) : y =
2 2
( 1)mx m x m m
x m
+ − + +
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1, từ đó suy ra đồ thị của
hàm số (C’) : y =
2
2
1
x
x

+
−
b) Tìm điểm x
o
để ∀m ≠ 0 tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x
o
song song
với một đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đườngthẳng cố định ấy.
 ĐS : b) x
o
= 0 , k = -2
10) Chứng minh trên đồ thị hàm số y =
1
1
x
x
+
−
có vô số cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại
đó song song nhau.
21
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
11) Cho hàm số (C
k
) : y =
4 2
1x kx k− − + +
a) Chứng minh (C
k
) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B

b) Tìm k để các tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau.
 ĐS : a) A(1 , 0) , B(-1 , 0) ; b)
5 3
k , k
2 2
= − = −
12) Tìm m để đồ thị hàm số y = (1 – m)x
4
– mx
2
+ 2m – 1 nhận đường thẳng :
y = 2x – 2 làm tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1.
 ĐS : m =
1
3
III. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
A. Tiếp tuyến tại tiếp điểm :
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại A(x
o
, y
o
) :
y – y
o
= f ’(x
o
)(x – x
o
)
 Bài toán :

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k
 Phương pháp
• Giải phương trình f ’(x) = k ta tìm được hoành độ tiếp điểm x
o
• Thay vào biểu thức hàm tìm được y
o
• Tiếp tuyến có phương trình : y – y
o
= f’(x
o
)(x – x
o
)
 BÀI TẬP :
1) Cho hàm số y =
3 2
x 3x 3x 1− + − +
. Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) với đồ thị (C)
của hàm số tại giao điểm của (C) và trục tung.
 ĐS : y = -3x + 1
2) Cho (P) : y =
2
x 3x 2− + −
. Viết pttt với (P) tại giao điểm của (P) và trục hoành.
Chứng minh rằng 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
3) Cho (C) : y =
2
x 3x 4
x 1
− +

−
. Viết pttt với (C) có hệ số góc
1−
.
 ĐS : y = -x ± 4
4) Cho (P) : y = x
2
– 2x + 3. Viết pttt với (P) vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1.
 ĐS : y =
1 39
x
2 16
− +
5) Cho (C) : y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1. Tìm b để (P) : y = 2x
2
+ b tiếp xúc với (C).
Viết pttt tại tiếp điểm chung.
 ĐS : b = 1, y = 1 ; b = -3, y =
4 2.x 7± −
6) Cho (C
m
) : y =
2
(3m 1)x m m
x m
+ − +

+
. Tìm m để tại giao điểm của (C
m
) với trục hoành
tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = x – 10. Viết pttt trong trường hợp
này.
 ĐS : m = -1, y = x + 1 ; m =
1 3
, y x
5 5
− = −
22
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
7) Cho hàm số (C) : y =
x 1
x 1
+
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y =
2x−
c) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x 1
2x m
x 1
+
= − +
−
.
 ĐS : b)

y 2x 1 , y 2x 7= − − = − +
B. Tiếp tuyến kẻ từ một điểm :
 Bài toán :
Cho (C) : y = f(x). Viết pttt với (C) kẻ từ điểm M
o
(x
o
, y
o
)
 Phương pháp 1 :( Hệ số góc)
• Gọi (∆) là đường thẳng qua M
o
(x
o
, y
o
) với hệ số góc k thì :
(∆) : y = k(x – x
o
) + y
o
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (∆) :
f(x) = k(x – x
o
) + y
o
(*)
• Lập luận (*) có nghiệm kép dẫn đến ∆(k) = 0. Từ đó tìm được k
 Phương pháp 2 : (Tiếp điểm)

• Gọi (∆) là đường thẳng đi qua M
o
(x
o
, y
o
) với hệ số góc k
(∆) : y = k(x – x
o
) + y
o
(1)
• Tại tiếp điểm của (C) và (∆) ta có :
k(x – x
o
) + y
o
= f(x) (2)
k = f’(x) (3)
• Giải hệ (2) và (3) ta tìm được k, thay vào (1) ta được tiếp tuyến (∆)
 BÀI TẬP : (Hệ số góc)
1) Cho hàm số (C): y =
2x 1
x 1
−
+
. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(0 , 2) và
tiếp xúc với (C).
 ĐS : y = 12x + 2
2) Cho (C) : y =

2
x x 1
x
− +
. Chứng minh từ điểm M(2 , -1) có thể vẽ được 2 tiếp tuyến
đến (C) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
3) Định m sao cho qua A(0 , 1) không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị của
hàm số : y =
2
2x mx m
x 1
+ +
+
.
 ĐS : m < 1
4) Cho (C): y =
2
x x 1
x 1
− +
−
. Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) xuất phát từ
tâm đối xứng
23
Luyện thi Đại học Khảo sát hàm số
5) Cho (C): y =
2
x x 3
x 2
+ −

+
. Tìm các điểm trên Ox có thể vẽ đến (C) một tiếp tuyến.
 ĐS : ( -2 , 0) , (1 , 0) ,
1 13
,0
2
 
− ±
 ÷
 ÷
 
6) Cho (C) : y =
1
x 2
x 1
+ +
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến
đến (C).
 ĐS : ( 0 , b) với b ≤ 3
 BÀI TẬP : (Tiếp tuyến)
1) Cho (C) : y = 2x
3
+ 3x
2
– 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1, 4) và tiếp
xúc với (C).
 HD : (x – 1)(2x
2

+ 5x + 5 – k) = 0
ĐS : y =
15 17
x
8 8
+
và y = 12x – 8
2) Cho (C) : y = x
3
– 3x + 1. Viết pttt với (C) đi qua điểm M(
2
, 1)
3
−
.
 ĐS : y = -3x + 1 và y = -1
3) Chứng minh rằng qua điểm A(0, 2) ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) :
y = x
4
– 2x
2
+ 2.
4) Cho hàm số (C) : y = x
3
– 9x
2
+ 17x + 2. Qua A( -2, 5) có thể kẻ được mấy tiếp
tuyến đến (C).
 ĐS : x = 1, x =
1 297

4
− ±
5) Cho (C) : y = x
3
– 3x
2
+ 2. Tìm trên đường thẳng (d) : y = 2 các điểm từ đó có thể
kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc
6) Cho (C) : y = 4x
3
– 3x. Viết pttt với (C) tại điểm uốn. chứng minh các tiếp tuyến
tại các điểm khác của đồ thị không đi qua điểm uốn.
___________________________________________________________________
Chủ đề 5
CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT :
1. Định nghĩa :
Điểm x
o
được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số y = f(x) nếu ∀x thuộc
một lân cận nào đó của x
o
ta có : f(x) > f(x
o
) (x ≠ x
o
) (hay f(x) < f(x
o
))
Khi đó f(x) được gọi là đạt cực tiểu (cực đại ) tại x

o
; f(x
o
) là giá trị cực tiểu (cực đại)
của f(x) ; M(x
o
, f(x
o
)) là điểm cực tiểu (cực đại) của đồ thị
Cực tiểu và cực đại gọi chung là cực trị
2) Điều kiện cần để có cực trị :
Định lí : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
o
và đạt cực trị tại x
o
thì : f
’(x
o
) = 0
24
Luyện thi ĐH Giáo viên biên soạn : Phan Công Trứ
3. Điều kiện đủ để có cực trị:
• Định lí 1 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f ’(x
o
) = 0
với x
o
∈(a, b)
Nếu khi x đi qua x
o

mà f ’(x
o
) đổi dấu từ + sang – ( hoặc từ - sang +) thì f(x) đạt cực
tiểu (cực đại) tại x
o
• Định lí 2 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai ở lân cận và f
’(x
o
) = 0
Nếu f’’(x
o
) >0 ( hay f’’(x
o
) < 0) thì hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại x
o

 BÀI TẬP:
1) Cho hàm số y =
4
2
x
ax b
2
+ +
. Tìm a, b để hàm số có cực trị bằng -2 khi x = 1.
 ĐS : a = -1, a =
3
2
−
2) Cho hàm số y =

2
ax bx c
x 2
+ +
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = 1, b = -4, c = 8
b) Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận
xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y =
1 x
2
−
3) Tìm m để hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 4 có cực trị.
 ĐS : m < 1
4) Cho hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1) + 1
a) Chứng minh hàm số luôn có 2 cực trị
b) Tìm m để y
max
> 1.
 ĐS : b)
3
m 0
2

− < ≠
5) Cho hàm số y =
2 2 2
x 2m x m
x 1
+ +
+
Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị.
 ĐS : -1 < m < 1
6) Tìm m để hàm số y =
3
2 2
x
(m 2)x (5m 4)x m 1
3
+ − + = + +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
,
x
2
thỏa x
1
< -1 < x
2
7) Cho hàm số y =
3 2
x x
(m 1)m 1
3 2

+ + + +
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x > m.
 ĐS :
3
1 m
4
− ≠ < −
8) Tìm m > 0 để hàm số :y =
2 2 2
x m x 2m 5m 3
x
+ + − +
có cực tiểu trong
khoảng 0 < x < 2m.
 ĐS :
1
m 1
2
< <
hoặc
3
m
2
>
25