Phương pháp tọa độ trong không gian BD toán 11

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −

uuur
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. TÍCH HỮU HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Công thức tích có hướng
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )

' '; '; 'u x y z=
ur
;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
+)
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
⇒
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
+)
u v v u∧ = − ∧
r r r r
+)
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧

r r r r r r
6. SD TÍCH HỮU HƯỚNG ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH:
+) Vectơ tích hữu hướng
,c a b
 
=
 
r r r
vuông góc vơi hai vectơ
a
r
và
b
r
.
+)
, sin( , )a b a b a b
 
=
 
r r r r r r
. +)
1
[ , ]
2
ABC
S AB AC=
uuur uuur
.
+) V

HộpABCDA’B’C’D’
=
[ , ]. 'AB AD AA
uuur uuur uuur
. +) V
Tứdiện ABCD =
1
[ , ].
6
AB AC AD
uuur uuur uuur
.
7. Các công thức tính độ dài và góc
+)
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
+)
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '

u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
BÀI TẬP
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau:
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA= − −
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
.
b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q.
c) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC.
d) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành
ABCE.
e) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
f) Tính tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng của tứ diện ABCD.
g) Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
h) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
i) Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
.

a) Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ.
b) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ.
c) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
d) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ.
e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
.
a) CMr: ∆ABC vuông tại B.
b) Tính diện tích của ∆ABC .
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C
. Tính các góc của ∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D− −
.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b) Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
c) Tính côsin của góc giữa hai vectơ
AC
uuur
và
BD
uuur
.

Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A− − − −
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c) Tính thể tích V của hình hộp.
d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 8. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − −
a) CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
1. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
2. Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b) Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3),
C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính thể tích hình hộp.
Bài 10 : Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
.
a) CMr: ∆ABC vng tại B.
b) Tính diện tích của ∆ABC .
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 11/ Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A− − − −
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

b) Tính diện tích tồn phần của hình hộp.
c) Tính thể tích V của hình hộp.
d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x
2
+y
2
+z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, (2)
đk: A
2
+ B
2
+ C
2
- D >0 (*)
Tâm I
1
(-A; -B; -C) và bán kính R
1
=

2 2 2
A B C D+ + −
2. Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ
từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm A, B, C, D.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
-6x +4y -2z - 86 = 0
b) x
2
+y
2
+z
2
+3x + 4y - 5z +6 = 0

c) x
2
+y
2
+z
2
-6x + 4y + 2z - 11 = 0
d) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z - 2)
2
= 49
e) x
2
+y
2
+z
2
-2x +2z - 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: ( TN03-04)Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi
A’ là hình chiếu của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu

a/ đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
b/ đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c/ đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bài 3 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
( là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x -x
0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D =
0
2. Chú ý:
 Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)

( ; ; )n A B C=
r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)
∈
(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
 Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur
có giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:
'n u u= ∧
r r ur
3. Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp song song với các mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0,
song song với (Oyz): Ax + D = 0 ,
song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:

song song với Ox: By + Cz + D = 0
song song với Oy: Ax + Cz + D = 0
song song với Oz: Ax + By + D = 0
chứa trục Ox: By + Cz = 0
chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
chứa trục Oz: Ax + By = 0
d) Mp chứa gốc tọa độ O(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với a.b.c
≠
0 có p/trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
Bài 1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r
r
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:

a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1).
b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3).
Bài 3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
Bài 7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
Bài 8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục
toạ độ.
Bài 9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp
toạ độ.
Bài 10. ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1),

B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng
BC
Bài 11. ( ĐH kB năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0
1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y - 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2;
3; -7)
Bài 12. Trong kg Oxyz, cho M(1;−3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (α) qua M và có VTPT
( )
2; 1;1n = −
r
.
b) Viết pt mặt phẳng (β) qua M và vtpt của mp (β) vuông góc với 2 véctơ
( )
1
1;0; 2u = −
ur
và
( )
2
1; 3;4u = − −
uur
.
Bài 13. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c) Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d) Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e) Gọi A

1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp (P) qua A
1
, A
2
,
A
3
.
Bài 14. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
.
a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm M sao cho
2 3AM BA CM+ =
uuuur uuur uuuur
.
d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 15. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng (α):
2 3 4 2 0x y z+ − − =
.
a) Viết pt mp (β) qua A và song song với mặt phẳng (α).
b) Viết pt mp
( )

γ
qua OA và vuông góc với mặt phẳng (α).
Bài 16. Trong kg Oxyz, cho A(−1;1;2), B(0;−1;3) và mặt phẳng
(α):
3 2 4 0x y z− + + =
. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (α).
Bài 17. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mặt phẳng (α) qua A, song song Oy và vuông góc với
mặt phẳng (β):
3 4 6 0x y z− + + =
Bài 18. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x - 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng
(β) qua A, B và (β) ⊥(α).
Bài 19. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2;
-1; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
e. Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
f.Tính góc giữa các vectơ
AC
uuur
và
BD
uuur
.
Bài 20. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x - 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.

e. Tính S
∆ABC
.
f.Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 21. Trong k/gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f.Tính góc giữa AB và CD.
Bài 22. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mp
( ) : 2 2 5 0x y z
α
− − − =
.
a. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
song song với mặt phẳng
( )
α
và cách
( )
α
một khoảng

bằng 5.
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )
γ
đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
.
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 23. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x - 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S
∆ABC
.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 24. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − −
a/ CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là

( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
' '
A B C k A B C
n kn
D kD D kD

=
=
 
⇔ ⇔
 
≠ ≠
 
 
r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
' '
A B C k A B C
n kn

P P
D kD D kD

=
=
 
≡ ⇔ ⇔
 
= =
 
 
r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc

Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu

( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=
r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.

2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng
(
β
):2x−y+3z+1=0.
b) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z
− + =
d) (
α

) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x - y + 2z +
1 = 0
4. (TN 06 - 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y - 2z - 4 = 0. Viết
mp(Q) qua M và song song với (P)
5. (CĐ 08 - 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z +
4 = 0 và (P
2
) : 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1),
vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với
nhau
a) 2x + my + 3z - 5 = 0 và nx - 8y - 6z +2 = 0
b) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx - 3y - 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x

0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến
( )
≠
r ur
n= A;B;C 0
của mặt phẳng (α):
(α):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x- x +B y- y +C z-z =0
(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D=0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z

A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D=0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+ m=0
,
( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m=- Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D=0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).

III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
Loại 1 : Khoảng cách từ M (x
M
;y
M
;z
M
) đến mặt phẳng (α):
Ax+By+Cz+D=0
:
( )
α
M M M
2 2 2

Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt
phẳng này, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng kia.
Loại 3: Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và mp(β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên đường
thẳng
∆
, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng (β).
Loại 4: Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và
'∆
chéo nhau:
B1: Lập phương trình mp(Q) chứa
'∆
và song song
∆
B2: Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng
∆
, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mp(Q).
Hoặc ta có thể làm ngược lại
Bài tập:
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x - y + 2z - 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x - 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y - 11 = 0
2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x +

2y + 2z + 2 = 0
3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình(P): 2x - 3y + 6z +
19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(P). Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4. Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS:
m=±1
5. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD
6. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình
chóp A.BCD
7. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 - 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P)
có phương trình: 2x - 2y + z - 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình
của mp(Q) sao cho (Q)//(P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 - 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ (y -2)
2
+ (z -2)

2
= 36
và mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S).
Tính khoảng cách từ T đến (P).
10. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình
chóp A.BCD
11. (ĐH - khối B - 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3),
C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách
từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z - 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z - 5 = 0)
12. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể
tích tứ diện ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các
đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến
mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết
phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)

16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương
trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 - 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y - 2z +6 = 0.Viết phương
trình mặt cầu tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B - năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với
A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình
mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với
bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )
,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung.
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu
( )
( )
,d I P R<
thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có

tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính
( )
( )
,
2 2
I Pr R d= −
19. Cho mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 1 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
α
2x - 2y - z + 9 = 0.
Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của
đường tròn (C).
20. Cho mặt cầu (S) :
6 4 2 5
2 2 2
0x x y zy z − + − ++ + =
và mặt phẳng
( )
α
x + 2y + 2z + 11 =
0. Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α

không cắt mặt cầu (S) .
21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0x x y zy z − + + ++ + =
và mặt phẳng
( )
α
x - 2y +2z + 1 = 0.
Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α
cắt m/cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của
đ/tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
23. (ĐH - Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trình
mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3.
24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z - m
2
- 3m = 0 và
mặt cầu (S):

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 9x y z− + + + − =
. Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu.
Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc. Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
( )
( )
,d I P R=⇔
25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình
x
2
+ y
2
+z
2
- 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x - y - 2z + 1 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với
mp(ABD)

Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
-3x - 6y - 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 4 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường
thẳng đó.
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0
0
0
;( )

x x at
y y bt t
z z ct
= +


= + ∈


= +

¡
PTCT:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
khi a.b.c
≠
0
2. Chú ý
a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó đt d có VTCP:
'
; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B

u n n
B C C A A B
 
= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình
tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

BÀI TẬP:
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp
sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)
b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các
trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x - y + 3z + 1 = 0

b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các
TH sau:
a) d qua K(-2; -1; 3) và ss đ/thẳng
4
: 1
3
x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

b) (d) qua K(0; 3; -2) và ss đ/thẳng
3
: 2
1 5
x t
y
z t
= −


∆ =



= − +

4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2
mp :
a) (P): x + 2y - 2z + 1= 0 và (Q): x - y + z - 4 = 0
b) (P): 3x - y - z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1;
3) và vng góc với hai đường thẳng:
1 2
:
2 3 1
x y z+ −
∆ = =
−
và
3 1
':
3 4 2
x y z− +
∆ = =
−
6. (TN năm 2007) Trong khơng gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y - 2z - 4 = 0.Viết
phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vng góc với (P). Tìm toạ độ giao
điểm của d và mp(P)
7. (TN năm 2008)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x
- 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vng góc với mp(P)
8. (TN năm 2009) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết
phương trình tham số của d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và
(P)

9. (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mp(P): 2x + y - 2z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho
khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho
∆
qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r


∆
’ qua M’(x’
0
; y’
0
; z’
0

) và có vectơ chỉ phương
( )
' '; '; 'u a b c=
ur

có PTTS là:
0 0
0 0
0 0
' ' '
: ; ': ' ' '
' ' '
x x at x x a t
y y bt y y b t
z z ct z z c t
= + = +
 
 
∆ = + ∆ = +
 
 
= + = +
 
*) Nếu thấy
'u ku=
r ur
thì lấy tọa độ điểm
M ∈∆
thế vào phương trình đường thẳng
∆

’.
Xảy ra 2 khả năng:
TH1:
'M ∈∆
thì hai đường thẳng trên trùng nhau
TH2:
'M
∉∆
thì 2 đường thẳng trên song song
*) Nếu thấy
'u ku≠
r ur
thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
0 0
0 0
0 0
' ' '
' ' '
' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
+ = +


+ = +


+ = +


TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau
TH4: hệ vơ nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau
*) Đặc biệt: Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vng góc.
10.Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a)
'
: 2 4 ; ': 1 4 '
3 3 3 3 '
x t x t
y t y t
z t z t
= = −
 
 
∆ = − ∆ = +
 
 
= − − = − +
 
b)
9
3
: 5 ; ':
18 10 2
3
x t
x y z
y t
z t
=


+

∆ = ∆ = =

− −

= − −

c)
1 2 1 '
: 2 2 ; ': 3 2 '
3 1
x t x t
y t y t
z t z
= − = +
 
 
∆ = + ∆ = −
 
 
= =
 
d)
1 7 3 6 1 2
: ; ':
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d

− − − − + +
= = = =
−
e)
1
2 3
: ; ': 2
1 2 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
= +

+ +

= = = − +


= +

11.Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
1 1 3 1 3
: ; ':
3 2 2 1 1 2
x y z x y z
d d
+ − − − +
= = = =

−
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.
12.Cho 2 đường thẳng
1 3 '
4 2 ; ' 3 2 '
3 2
x x t
d y t d y t
z t z
= = −
 
 
= − + = +
 
 
= + = −
 
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’. Viết phương trình mặt phẳng
(Q) chứa d’ và song song d. Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

= +


= +


= +

Xét hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
0
0
0
1
2
3
0 4
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D

= +

= +



= +


+ + + =

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x
0
+ at) + B(y
0
+ bt) + C(z
0
+ ct) + D = 0
(*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý:
1. Trong trường hợp d // (P) hoặc
( )
d P⊂
thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
2. Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến
mặt phẳng (P)
Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng (Xét theo SGK NC)
1). Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng ∆ đi qua M có VTCP
a
r
và ∆’ đi qua M’ có VTCP
'a

uur
.
+) ∆ chéo ∆’⇔
, ' . ' 0a a MM
 
≠
 
r uur uuuuur
+) ∆ cắt ∆’⇔
, ' . ' 0a a MM
 
=
 
r uur uuuuur
với
, ' 0a a
 
≠
 
r uur r
+) ∆ // ∆’ ⇔
[a, ']=0
M '
a



∉∆



r uur r
+) ∆ ≡ ∆’ ⇔
[a, ']=0
M '
a



∈∆


r uur r
2). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đ/t ∆ đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
và mp (α):Ax + By + Cz + D = 0 cóVTPT
( ; ; )n A B C=
r
.
• (∆) cắt (α) ⇔
. 0a n ≠
r r

• (∆) // (α) ⇔
. 0
( )
a n
M
α

=


∉


r r
• (∆) nằm trên mp(α) ⇔
. 0
( )
a n
M
α

=


∈


r r
I/. Khoảng cách:
1). Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (∆) đi qua M

0
có VTCP
a
r
.

0
[M , ]
( , )
c.ñaùy
a
M a
S
d M ∆ = =
Y
uuuuur r
r
2). Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
(∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
a
r
, (∆’) đi qua M’(x’
0
;y’

0
;z’
0
) có VTCP
'a
uur

hoäp
ñaùy
[ , ']. '
( , ')
[ , ']
a a MM
V
d
S
a a
∆ ∆ = =
r uur uuuuur
r uur

II/. Góc :
1). Góc giữa hai đường thẳng :
(∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP

1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
(∆’) đi qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) có VTCP
1 2 3
( ' ; ' ; ' )a a a a=
r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a. '
. ' . ' . '
os os(a, ')
. '
. ' ' '
a
a a a a a a
c c a
a a
a a a a a a
ϕ
+ +
= = =
+ + + +

r uur
r uur
r uur
2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
(∆) đi qua M
0
có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
, mp(α) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
.
Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α)
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin os(a, )
A .
c n
B C a a a
ϕ
= =
+ + + +
r r

BÀI TẬP TIẾP
14: Cho hai đường thẳng:

2
2 2 0
( ): ( ') : 1
3 0
2
x t
x z
y t
y
z t
= +

+ − =


∆ ∆ = −
 
− =


=

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và (∆’) không cắt nhau nhưng vuông góc
nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (∆)và (∆’).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (∆) và vuông góc với (∆’).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của (∆)và (∆’).
15: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.

c) Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đ/thẳng CD trên
mp(P).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
16: Viết ptđt ∆ qua A(0;1;1), ∆ ⊥ d
1
:
1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và cắt d
2
:
1
1
2
x
y t
z t
= −


= +


= +


17: Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả 2 đt d
1

:
1
1
1
4
1 2
x t
y t
z t
=


= −


= − +

và d
2
:
2
2
2
2 3
3
x t
y t
z t
= −



= +


=

18: Cho đường thẳng d:
12 4
9 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +

và mp(P):
3 5 2 0x y z+ − − =
.
a) Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
b) Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
c) Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).
d) Tính góc giữa d và (P).
e) Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn BB’.
f) Viết ptđt ∆ nằm trong (P) vuông góc và cắt d.

19: Cho 2 đt d
1
:
1 1 3
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
và d
2
:
1 3
1 1 2
x y z− +
= =
.
a) Hãy xét vị trí tương đối của d
1
, d
2
.
b) Tìm tọa độ giao điểm I của d
1
, d
2
.
c) Lập phương trình tổng quát của mp chứa d
1
, d
2

.
20: Cho 2 đt d:
2
1
2
x t
y t
z t
= +


= −


=

và d’:
2 2 '
3
'
x t
y
z t
= −


=


=


a) Cm d, d’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau.
b) Lập pt đường vuông góc chung của d, d’. Tìm tọa độ giao/đ của đường vuông góc chung với
d, d’.
c) Viết phương trình tổng quát của mp cách đều d và d’.
21: Trong kg Oxyz, cho 2 đường thẳng d và d’ lần lượt có các pt
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−

1 2
': 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +


= −

và mặt cầu (S) có phương trình: x

2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Tìm toạ độ các chân đường vuông
góc chung ấy.
d) Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
( )∆
,
( ')∆
lần lượt có phương
trình

3
: 1 2
4
x t
y t
z
= +


∆ = − +



=

,
2
':
2 2
x t
y t
z t
= − +


∆ =


= +

a) Chứng minh rằng:
( )∆
,
( ')∆
chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa
( )∆
,
( ')∆
c) Viết phương trình đường vuông góc chung giữa
( )∆
,

( ')∆
23: Trong không gian cho Oxyz, cho 2 đường thẳng:
1
3
: 2 2
x
d y t
z t
=


= −


=

,
2
1 2 '
: 2 '
1 2 '
x t
d y t
z t
= −


= +



= +


a)Chứng minh rằng d
1
không cắt d
2
nhưng d
1
vuông góc d
2
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa d
1
và vuông góc d
2
, mặt phẳng
( )
β
chứa d
2
và vuông
góc d
1
.
c)Tìm giao điểm của d
2

và
( )
α
, d
1
và
( )
β
. Suy ra pt mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với d
1
,
d
2
.
Bài 24: Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x + 4y - 2z - 86 = 0 và mặt phẳng
( )
α
: 2x - 2y - z + 9 =
0.
a) Định tâm và bán kính mặt cầu .
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với
( )
α
.

c) Chứng tỏ
( )
α
cắt mặt cầu (S). Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.
Bài 25: Trong k/gian Oxyz, cho m/cầu (S) qua đi gốc toạ độ O và 3 điểm A(2,0,0), B(0,-1,0),
C(0,0,3).
a. Xác dịnh tâm và bán kính mặt cầu (S).
b. Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
qua A, B, C.
c. Lập phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và
( )
α
. Tính bán kính đường tròn này.
Bài 26: Cho đường thẳng
12 9 1
( ) :
4 3 1
x y z
d
− − −
= =
và mặt phẳng
( )
α
: 3x+5y-z-2=0.
a) Chứng minh (d) cắt
( )
α

.Tìm giao điểm của chúng.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
qua M(1;2;1) và
( ) d
β
⊥
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng
( )
α
.
Bài 27: Trong không gian Oxyz, cho A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
a. Viết phương trình của mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
Bài 28: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức: A(2;4;-
1),
4OB i j k
→ → → →
= + −
, C=(2,4,3),
2 2OD i j k
→ → → →
= + −
.
a. Chứng minh rằng
AB AC⊥
,
AC AD⊥

,
AD AB⊥
.Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung
∆
của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng
∆
và mặt phẳng (ABD).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện
( )
α
của
mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Bài 29: Cho đường thẳng
12 9 1
( ) :
4 3 1
x y z
d
− − −
= =
và mặt phẳng
( )
α
: 3x+5y-z-2=0.
d) Chứng minh (d) cắt
( )
α
.Tìm giao điểm của chúng.

e) Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
qua M(1;2;1) và
( ) d
β
⊥
f) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng
( )
α
.
Bài 30. Cho mặt phẳng
( )
α
: 6x+3y+2z-6=0
a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng
( )
α
b) Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua
( )
α
BÀI TẬP TỔNG HỢP 1
1: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
2: Cho đường thẳng
2 5 0
( ):

2 3 0
x y z
x z
− + + =

∆

− + =

và mp (P) : x + y + z - 7 = 0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (∆) và (P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (∆) trên mp(P).
3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đ/t ∆:
5
1 2
4 3
x t
y t
z t
= +


= − +


= − +

a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và ∆ vuông
góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H của chúng.

b) Chuyển phương trình của (∆) về dạng tổng quát. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến
(∆).
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với ∆, biết d và ∆ cắt nhau.
4: Trong không gian cho (P): x + 2y - z + 5 = 0 điểm I(1;2;-2) và đường thẳng
2 1 0
:
4 0
x y
d
y z
− + =


− + =

.
a) Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P).
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I.
d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm trong (P) cắt (d) và vuông góc (d).
5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
b) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết phương
trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D.
c) Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
6: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mp (P):x + y + z - 2 =
0.
a) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).
b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa

đường thẳng DC và mặt phẳng (P).
7: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).
a) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của
m/cầu.
b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC).
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc mặt phẳng(ABC).
d) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
8: Trong k/gian Oxyz, cho m/cầu (S):x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z = 0 và điểm M(1;1;1), N(2;-
1;5).
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y - z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).
d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương trình mặt
phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm.
9: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm và bán
kính.
e) Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C. Hãy tìm tâm, bán kính của đ/tròn
đó.
10:Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1;
-2).

a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f. Tính góc giữa AB và CD.
BÀI TẬP TỔNG HỢP 2
Bài tập 1. Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường

thẳng MP và C
1
N.
Bài tập 2 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Bài tập 3 Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C
1

N.
Bài tập 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
(d) :
2 3
1 2 2
x y z+ +
= =
−
và mặt phẳng (P) :
2 5 0x y z+ − − =

a) Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b) Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) .
Bài tập 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng
(P) :
2 3 1 0x y z− + + =
và (Q) :
5 0x y z+ − + =
.
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc
với mặt phẳng (T) :
3 1 0x y− + =
.
Bài tập 6 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng
(P): 2x - y + 2 = 0 và đường thẳng d
m
:

( ) ( )
( )
2 1 1 1 0
2 1 4 2 0
m x m y m
mx m z m

+ + − + − =


+ + + + =



Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P) .
Bài tập 7 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x -
y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P)
và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Bài tập 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
3 1 3
2 1 1
x y z+ + −
= =
và
mặt phẳng (P) :
2 5 0x y z+ − + =
.
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .

b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
c. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Bài tập 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đ/t
1
1 2
:
2 2 1
x y z− −
∆ = =
− −
,
2
2
: 5 3
4
x t
y t
z
= −


∆ = − +


=


a. Chứng minh rằng đường thẳng

1
( )∆
và đường thẳng
2
( )∆
chéo nhau .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng
1
( )∆
và song song với đường thẳng
2
( )∆
.
Bài tập 10 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có
A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b)
(a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC'.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b.
b) Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài tập 11 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và điểm
C sao cho
( )
0;6;0AC =
uuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài tập 12 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đ/thẳng d
k
:

3 2 0
1 0
x ky z
kx y z
+ − + =


− + + =


Tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng (P): x - y - 2z + 5 = 0.
Bài tập 13 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài tập 14 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đ/t d:
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +



= −


= − +

.
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Bài tập 15 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết
A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B
1
(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
Bài tập 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3

1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt
phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.
Bài tập 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0; -3;
0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A

1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song
song với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
Bài tập 18 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t: d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =


+ − =


a) Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai
đường thẳng d
1
và d
2
.
b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích
∆OAB (O là gốc toạ độ)
Bài tập 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0) B(1; 0; 0) D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cosα =
1
6

Bài tập 20 Trong k/gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đ/t d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z− + −

= =
−
d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
Bài tập 21 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t d
1
:
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
và d
2
:
1 2
1
3

x t
y t
z
= − +


= +


=

a) Chứng minh rằng: d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đ/td
1
,
d
2
Bài tập 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 =
0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng

3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Bài tập 23 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2 B(-1 2; 4) và đường thẳng
∆:
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
a) Viết p/trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp (OAB).
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
Bài tập 24 Trong k/gian Oxyz cho đ/t d:
2 2 1 0
2 2 4 0
x y z
x y z
− − + =


+ − − =

và m/cầu (S): x
2
+ y
2
+z

2
+ 4x- 6y +m=
0.
Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho k/cách giữa hai điểm đó bằng
9.
Bài tập 25 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; -1;
-2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc
đường thẳng CD sao cho ∆ABM có chu vi nhỏ nhất.
Bài tập 26 Trong k/gian Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0;
3a
), B(0; 0; 0), C(0; a
3
; 0) (a >
0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Bài tập 27 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết
phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với với mặt phẳng xOy một góc bằng 30
0
Bài tập 28 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
có phương
trình: ∆
1
:
8 23 0
4 10 0
x y
y z
− + =



− + =

∆
2
:
2 3 0
2 2 0
x z
y z
− − =


+ + =

a) Chứng minh (∆
1
) và (∆
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với trục Oz và cắt các đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
).
Bài tập 29 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với các cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là
trung điểm của BC, DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a.
Bài tập 30 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A
∈ Ox, B ∈ Oy, C ∈ Oz và mặt phẳng (ABC) có phương trình: 6x + 3y + 2z - 6 = 0.

a) Tính thể tích khối tứ diện OABC. b) Xác định mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC.
Bài tập 31 Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: ∆
1
:



=+−+
=−+−
0422
042
zyx
zyx
và ∆
2
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song với đường thẳng ∆
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đ/t ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.
Bài tập 32 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x -
y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P)
và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Bài tập 33 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và
điểm C sao cho
( )
060 ;;AC =
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài tập 34 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài tập 35 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

. Biết
A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B
1
(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
Bài tập 36 Trong k/gian Oxyz cho đ/t d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9
= 0.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.
Bài tập 37 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1

C
1
với A(0; -3;
0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với m/p
(BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song
song với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
Bài tập 38 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t: d
1

:
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =


+ − =

Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai
đường thẳng d
1
và d
2
mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d

2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích ∆OAB
(O là gốc toạ độ)
Bài tập 39 Trong k/gian Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đ/t d
1
:
1 1
2 1 1
x y z
− +
= =
−
d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d

1
và d
2
.
b) Tìm toạ độ các điểm M ∈ d
1
, N ∈ d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bài tập 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
2
, SA =
a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Bài tập 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 =
0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng
3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bài tập 42 Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: ∆
1
:




=+−+
=−+−
0422
042
zyx
zyx
và ∆
2
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song với đường thẳng ∆
2
.

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đ/t ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.
Bài tập 43 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng
(P): 2x - y + 2 = 0 và đường thẳng d
m
:
( ) ( )
( )



=++++
=−+−++
02412
01112
mzmmx
mymxm

Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P) .
Bài tập 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ
C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Bài tập 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai
điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài tập 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và

mặt phẳng (P): x + y + z - 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường
thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài tập 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
2 2
1 1 1
x y z+ −
= =
−
và mặt
phẳng (P): x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng ∆.
Bài tập 48
Trong k/gian Oxyz, cho điểm A
(
2 ; 5 ; 3
)
và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.
Bài tập 49 Trong k/gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0 ; 3), C(0 ; 3; 3),
D(3; 3; 3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.