Tự ôn luyện thi đại học môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.67 KB, 43 trang )
Tự ôn luyện thi đại học môn Toán
T
Ự
Ô
N
L
UY
Ệ
N
TH
I
M
Ô
N
T
O
Á
N
1
2
Tự ôn luyện thi đại học môn Toán
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
Ch
ư
ơ
ng
1:
Ph
ư
ơ
ng
t
rì
nh
và
b
ấ
t
ph
ư
ơ
ng
t
rì
nh
B
ài
1
:
PHƯƠNG
TRÌNH
BẬC
NHẤT
VÀ
BẬC
HAI
I.
Cách
gi
ả
i
1)
P h
ư ơ
ng
t r
ình
b
ậ
c
nh
ấ
t: ax
+
b
=
0,
a,b
∈
IR.
•
Nếu
a
≠
0
thì
phương
trình
có
nghiệm
duy
nhất
x
=
-
b
.
a
• Nếu
a
=
0,
b
≠
0
thì
phương
trình
vô
nghiệm.
• Nếu
a
=
b
=
0
thì
phương
trình
nghiệm
ñúng
với
mọi
x
∈
IR.
2)
P h
ư ơ
ng
t r
ình
b
ậ
c ha i
: ax
2
+
bx
+
c
=
0,
a
≠
0.
•
Nếu
∆
=
b
2
–
4ac
<
0
phương
trình
vô
nghiệm.
b
•
Nếu
∆
=
0
phương
trình
có
nghiệm
kép
x
1
=
x
2
=
- .
2a
−
b
± ∆
• Nếu
∆
>
0
phương
trình
có
hai
nghiệm
phân
biệt
II.
ð
ịnh
lí
Viét
và
hệ
qu
ả
về
d
ấ
u
các
nghiệm
x
1, 2
=
.
2
a
1)
ð
ị
nh
lí
Vié
t
:
N
ế
u
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
a
x
2
+
bx
+
c
=
0,
a
≠
0
c
ó
h
ai
ngh
iệ
m
x
,
x
t
h
ì
b
S
=
x
1
+
x
2
=
-
a
c
v
à
P
=
x
1
.x
2
=
.
a
2)
Hệ
qu
ả
:
Ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
b
ậc
h
ai
a
x
2
+
bx
+
c
=
0,
a
≠
0
c
ó
h
ai
ngh
iệ
m
:
∆
≥
0
Tr
ái
d
ấ
u
⇔
c
<
0
a
C
ùng
d
ấ
u
⇔
c
a
>
0
∆
≥
0
Cùng
dương
⇔
c
>
0
a
∆
≥
0
Cùng
âm
⇔
c
>
0
a
−
b
>
0
a
−
b
<
0
a
III.
ð
ịnh
lí
về
d
ấ
u
c
ủ
a
tam
th
ứ
c
b
ậ
c
hai
Cho
tam
thức
bậc
hai
f(x)
=
ax
2
+
bx
+
c,
a
≠
0
ta
có
1.
ð
ị nh l
í thu
ậ
n:
•
Nếu
∆
=
b
2
–
4ac
<
0
thì
a.f(x)
>
0
với
∀
x.
•
Nếu
∆
=
0
thì
a.f(x)
>
0
với
∀
x
≠
-
b
.
2a
•
Nếu
∆
>
0
khi
ñó
f(x)
có
hai
nghiệm
phân
biệt
x
1
<
x
2
và
a.f(x)
>
0
với
x
ngoài
[x
1
;
x
2
]
.
a.f(x)
<
0
với
x
1
<
x
<
x
2
.
2.
ð
ị nh l
í
ñ
ả
o:
Nếu
tồn
tại
số
α
sao
cho
a.f(
α
)
<
0
thì
tam
thức
có
hai
nghiệm
phân
biệt
và
số
α
nằm
trong
khoảng
hai
nghiệm
ñó:
x
1
<
α
<
x
2
.
Tự ôn luyện thi đại học môn Toán
1
1.
ð
iề
u
k
iệ
n ñể
f(x
) =
ax
2
+
bx
+ c
k
hông ñổi
d
ấ
u v
ớ
i m
ọi x
a
=
b
=
0
c
>
0
a
=
b
=
0
c
≥
0
f(x)
>
0
với
∀
x
⇔
a
>
0
∆
<
0
f(x)
≥
0
với
∀
x
⇔
a
>
0
∆
≤
0
a
=
b
=
0
f(x)
<
0
với
∀
x
⇔
c
<
0
a
<
0
∆
<
0
a
=
b
=
0
f(x)
≤
0
với
∀
x
⇔
c
≤
0
a
<
0
∆
≤
0
2.
So
s
ánh
ngh i ệ
m
tam th
ứ
c
b
ậ
c
hai
v
ớ
i s
ố
t
h
ự
c
α
•
ð
iều
kiện
ñể
f(x)
có
hai
nghiệm
phân
biệt
và x
1
<
α
<
x
2
là: a.f(
α
)
<
0.
•
ð
iều
kiện
ñể
f(x)
có
hai
nghiệm
phân
biệt
và
α
nằm
ngoài
khoảng
hai
∆
>
0
nghiệm:
a.f
(
α
)
>
0
∆
>
0
-
Nếu
α
nằm
bên
phải
hai
nghiệm:
x
1
<
x
2
<
α ⇒
a.f
(
α
)
>
0
S b
=
− <
a
2 2a
-
Nếu
α
nằm
bên
trái
hai
nghiệm:
α
<
x
1
<
x
2
∆
>
0
⇒
a.f
(
α
)
>
0
S b
=
− >
a
2 2a
•
ð
iều
kiện
ñể
f(x)
có
hai
nghiệm
phân
biệt
và
một
nghiệm
nằm
trong,
một
nghiệm
nằm
ngoài
ñoạn
[
α;
β
]
là: f(
α
).f(
β
)
<
0.
3.
ð
i ề
u
k
i ệ
n ñ ể
f ( x
) c
ó
ng h i ệ
m th ỏ a
m
ãn
x >
α
:
• Trường
hợp
1:
f(x)
có
nghiệm
x
1
<
α
<
x
2
⇔
a.f(
α
)
<
0.
∆
≥
0
•
Trường
hợp
2:
f(x)
có
nghiệm
α
<
x
1
<
x
2
⇔
a.f
(
α
)
>
0
S
α
<
2
f
(
α
)
=
0
• Trường
hợp
3:
f(x)
có
nghiệm
α
=
x
1
<
x
2
⇔
S
α
<
2
(
Làm
tương
tự
với
trường
hợp
x
<
α
và
khi
xảy
ra
dấu
bằng)
Ngoài
ra
ta
chú
ý
thêm
ñịnh
lí
sau:
Giả
sử
hàm
số
y
=
f(x)
liên
tục.
Khi
ñó
ñiều
kiện
ñể
phương
trình
f(x)
=
m
có
nghiệm
là
minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).
2
1
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
B
ả
ng
tóm
t
ắ
t
ñ
ịnh
lý
thu
ậ
n
về
d
ấ
u
c
ủ
a
tam
th
ứ
c
b
ậ
c
hai
Nếu
∆
<
0 N
ế
u
∆
=
0 N
ế
u
∆
>
0
a.f(x)
>
0
v
ới
∀
x
a.f(x)
>
0
v
ới
∀
x
≠
-
b
a.f(x)
>
0
v
ới
x
ngoà
i
[x
1
;
x
2
]
2a
a.f(x)
<
0
v
ới
x
1
<
x
<
x
2
B
ả
ng
tóm
t
ắ
t
so
sánh
nghiệm
tam
th
ứ
c
b
ậ
c
hai
v
ớ
i
số
th
ự
c
α
ð
iề
u
k
iệ
n
ñể
f
(x)
=
ax
2
+
bx
+
c
có
ha
i
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
và
α
n
ằ
m
g
iữ
a
kho
ả
ng
ha
i
ngh
iệ
m
x
1
<
α
<
x
2
α
n
ằ
m
ngoà
i
kho
ả
ng
ha
i
ngh
iệ
m
∆
>
0
a.f
(
α
)
>
0
a.f(
α
)
<
0
x
1
<
x
2
<
α
x
1
<
x
2
<
α
∆
>
0
a.f
(
α
)
>
0
∆
>
0
a.f
(
α
)
>
0
S b
=
− <
a
2 2a
S b
=
− >
a
2 2a
Ví
d
ụ
1
.
T
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
−
2(m
+
4)x
+
m
2
+
8
=
0
có
2
ngh
iệ
m
d
ươ
ng.
Ví
d
ụ
2
.
Xác
ñị
nh
a
ñể
b
iể
u
t
h
ứ
c
(a
+
1)x
2
−
2(a
−
1)x
+
3a
−
3
l
uôn
d
ươ
ng
Ví
d
ụ
3
.
T
ì
m
m
ñể
b
ất
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
+
x
−
2
≥
m
ngh
iệ
m
ñ
úng
v
ới
m
ọi
x.
Ví
d
ụ
4
.
T
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
+
mx
+
2m
=
0
có
ha
i
ngh
iệ
m
x
1
,
x
2
t
h
ỏ
a
mãn
-1<
x
1
<
x
2
Ví
d
ụ
5
.
T
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
−
2mx
+
2m
2
−
1
=
0
có
ngh
iệ
m
t
h
ỏ
a
mãn
−
2
≤
x
1
≤
x
2
≤
4
Ví
d
ụ
6
.
Cho
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
+
(m
+
2)x
+
3m
−
2
=0
T
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
có
ha
i
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
nh
ỏ
h
ơ
n
2
Ví
d
ụ
7
.
T
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
−
2mx
+
m
+
2
=
0
có
ngh
iệ
m
lớ
n
h
ơ
n
1
Ví
d
ụ
8.
T
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
−
6mx
+
9m
2
−
2m
+
2
=
0
có
ngh
iệ
m
x
≤
x
2
≤
3
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
3
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
B
ài
2
:
PHƯƠNG
TRÌNH
TRÙNG
PHƯƠNG
VÀ
PHƯƠNG
TRÌNH
CHỨA
GIÁ
TRỊ
TUYỆT
ð
ỐI
I.
Ph
ư
ơ
ng
trình
trùng
ph
ư
ơ
ng
ax
4
+
bx
2
+
c
=
0,
a
≠
0
(1)
ð
ặt
t
=
x
2
≥
0
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
(1)
t
r
ở
t
hành
:
a
t
2
+
b
t
+
c
=
0 (2)
• PT
(1)
có
ngh
iệ
m
kh
i
và
ch
ỉ
kh
i
(2)
có
ít
nh
ất
m
ột
ngh
iệ
m
không
âm.
• PT
(1)
có
ñ
úng
ha
i
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
kh
i
và
ch
ỉ
kh
i
(2)
có
ñ
úng
m
ột
ngh
iệ
m
d
ươ
ng.
• PT
(1)
có
ñ
úng
3
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
kh
i
và
ch
ỉ
kh
i
(2)
có
m
ột
ngh
iệ
m
b
ằ
ng
0
và
m
ột
ngh
iệ
m
d
ươ
ng.
• PT
(1)
có
ñ
úng
4
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
kh
i
và
ch
ỉ
kh
i
(2)
có
ha
i
ngh
iệ
m
d
ươ
ng
phân b
iệt
.
Ví
d
ụ
1
.
Cho
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
:
x
4
+
(1-2m)x
2
+
m
2
–
1
=
0.
a)T
ì
m
các
g
i
á
t
r
ị
c
ủ
a
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
vô
ngh
iệ
m.
b)T
ì
m
các
g
i
á
t
r
ị
c
ủ
a
m
ñể
ph
ươ
ng
t
rr
ì
nh
có
4
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
.
Ví
d
ụ
2.
T
ì
m
m
sao
cho
ñồ
t
h
ị
hàm
s
ố
y
=
x
4
-2(m+4)x
2
+
m
2
+
8
c
ắt
t
r
ụ
c
hoành
lầ
n
lượt
tại
4
ñiể
m
phân
b
iệt
A,
B,
C,
D
v
ới
AB
=
BC
=
CD.
II.
Ph
ư
ơ
ng
trình
ch
ứ
a
giá
trị
tuyệt
ñ
ối
1)
C
ác
d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n:
b
≥
0
|
a
|
=
b
⇔
a
=
±
b
b
≥
0
|
a
|
=
|
b
|
⇔
a
=
±b
b
<
0
|
a
|
≤
b
⇔
2 2
|
a
|
≥
b
⇔
b
≥
0
a
≤
b
a
2
≥
b
2
|
a
|
≥
|
b
|
⇔
a
2
≥
b
2
Ví
d
ụ
1.
Giải
phương
trình |
x
2
–
3x
+
2
|
-
2x
=
1.
Ví
d
ụ
2.
Giải
bất
phương
trình x
2
-
|
4x
–
5
|
<
0.
Ví
d
ụ
3.
Giải
và
biện
luận
phương
trình |
2x
–
m
|
=
x.
Ví
d
ụ
4.
Giải
phương
trình 4|sinx|
+
2cos2x
=
3.
Ví
d
ụ
5.
Giải
và
biện
luận
bất
phương
trình
|
3x
2
-3x
–
m
|
≤
|
x
2
–
4x
+
m
|.
2)P h
ươ
ng
pháp
ñồ
t
h ị :
a)
Cách
vẽ
ñồ
thị
hàm
số
y
=
|
f(x)
|
khi
ñã
biết
ñồ
thị
hàm
số
y
=
f(x).
-
Chia
ñồ
thị
hàm
số
f(x)
ra
2
phần:
phần
ñồ
thị
nằm
phía
trên
trục
hoành
(1)
và
phần
ñồ
thị
nằm
phía
dưới
trục
hoành
(2).
-
Vẽ
phần
ñồ
thị
ñối
xứng
với
phần
ñồ
thị
(2)
qua
trục
hoành
ñược
phần
ñồ
thị
(3).
vẽ.
-
ð
ồ
thị
hàm
số
y
=
|
f(x)
|
là
ñồ
thị
gồm
phần
ñồ
thị
(1)
và
phần
ñồ
thị
(3)
vừa
b)
ð
ịnh
lí:
Số
nghiệm
của
phương
trình
g(x)
=
h(m)
là
số
giao
ñiểm
của
ñường
thẳng nằm
ngang
y
=
h(m)
với
ñồ
thị
hàm
số
y
=
g(x).
Khi
gặp
phương
trình
có
tham
số
ta
tách
riêng chúng
về
một
vế
của
phương
trình
rồi
vẽ
ñồ
thị
hàm
số
y
=
g(x)
và
ñường
thẳng
y
=
h(m)
rồi
áp dụng
ñịnh
lí
trên
ñể
biện
luận.
Ví
d
ụ
6.
Tìm
m
ñể
phương
trình
|
x
2
–
1
|
=
m
4
–
m
2
+1 có
4
nghiệm
phân
biệt.
Ví
d
ụ
7.
Biện
luận
theo
m
số
nghiệm
của
phương
trình
|
x
–
1
|
+
|
x
+
2
|
=
m.
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
4
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
B
ài
3
:
PHƯƠNG
TRÌNH
VÀ
BẤT
PHƯƠNG
TRÌNH
VÔ
TỶ
I.Các
d
ạ
ng
c
ơ
b
ả
n
Dạng
1:
2
n
+
1
f
(x)
=
ϕ(x)
,
n
∈
N
*
⇔
f(x)
=
[
ϕ(x)
]
2n+1
ϕ
(x)
≥
0
Dạng
2:
Dạng
3:
2
n
f
(x)
=
ϕ(x)
,
n
∈
N
*
⇔
f
(x)
≥
0
f
(x)
=
[
ϕ
(x)]
2 n
f
(x)
≥
0
f
(x)
<
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
>
0 ,
2
f
(x)
≤
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
≥
0
2
Dạng
4:
f
(x)
<
[
ϕ
(x)]
f
(x)
≥
0
f
(x)
>
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
<
0
,
ϕ
(x)
≥
0
f
(x)
>
[
ϕ
(x)]
2
f
(x)
≤
[
ϕ
(x)]
f
(x)
<
0
f
(x)
≥
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
≥
0
ϕ
(x)
≥
0
f
(x)
≥
[
ϕ
(x)]
2
Ví
d
ụ
1.
Giải
phương
trình
Ví
d
ụ
2.
Giải
bất
phương
trình
Ví
d
ụ
3.
Giải
bất
phương
trình
x
2
−
2x
+
3
=
2x
+
1
x
2
−
x
−12
<
x
2x
2
+
5x
−
6
>
2
−
x
Ví
d
ụ
4.
Tìm
m
ñể
phương
trình
có
nghiệm
x
−
m
= 2x
2
+
mx
−
3
II.
Các
ph
ư
ơ
ng
pháp
gi
ả
i
ph
ư
ơ
ng
trình,
b
ấ
t
ph
ư
ơ
ng
trình
vô
tỷ
không
c
ơ
b
ả
n
1)
P h
ư ơ
ng
pháp l
ũ y th
ừ
a
hai v
ế
:
-
ð
ặt
ñiều
kiện
trước
khi
biến
ñổi
-
Chỉ
ñược
bình
phương
hai
vế
của
một
phương
trình
ñể
ñược
phương
trình
tương
ñương
(hay
bình
phương
hai
vế
của
một
bất
phương
trình
và
giữ
nguyên
chiều)
nếu
hai
vế
của
chúng
không
âm.
-
Chú
ý
các
phép
biến
ñổi
căn
thức
A
2
=
A
.
Ví
d
ụ
5.
Giải
phương
trình
x
+
1
=
3
−
x
+
4
Ví
d
ụ
6.
Giải
bất
phương
trình
x
+
3
≥ 2x
−
8
+ 7
−
x
Ví
d
ụ
7.
Giải
bất
phương
trình
3
x
−
5x
+
5
>
1
Ví
d
ụ
8.
Giải
bất
phương
trình
x
+
2
−
x
+
1
≤
x
Ví
d
ụ
9.Giải
phương
trình
Ví
d
ụ
10.Giải
bất
phương
trình
2x
2
+
8x
+
6
+
x
2
−
4x
+
3
−
x
2
−1
=
2x
+
2
2x
2
−
3x
+
1
≥
x
−1
2)P h
ươ
ng
pháp
ñ
ặ
t
ẩ
n p h ụ:
-
Những
bài
toán
có
tham
số
khi
ñặt
ẩn
phụ
phải
tìm
tập
xác
ñịnh
của
ẩn
mới.
-
Chú
ý
các
hằng
ñẳng
thức
Ví
d
ụ
11.Giải
bất
phương
trình
(a
±
b)
2
=
a
2
±
2ab
+
b
2
,
a
2
−
b
2
=
(a
+
b)(a
−
b)
,
…
5x
2
+
10x
+
1
≥
7
−
x
2
−
2x
Ví
d
ụ
12.iải
phương
trình x
+
8
+
2
x
+
7
+
x
+
1
−
x
+
7
=
4
Ví
d
ụ
13.Giải
phương
trình
x
+
2
+ x
−
2
=
4x
−15
+
4
2
x
2
−
4
Ví
d
ụ
14.Giải
phương
trình
Ví
d
ụ
15.Giải
bất
phương
trình
9x
2
+
4
=
3x
x
2
5
x
+
5
+
2x
−
2
x
<
2x
+
1
+
4
2
x
2x
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
5
3
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
B
ài
4
:
HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
ð
ỐI
XỨNG
I.
Hệ
ph
ư
ơ
ng
trình
ñ
ối
x
ứ
ng
lo
ạ
i
1
1)Khái
ni ệ
m
:
Là
hệ
mà
mỗi
phương
trình
không
ñổi
khi
ta
thay
x
bởi
y
và
thay
y
bởi
x.
2 ) Tính
c
h
ấ
t:
Nếu
(x
o
,
y
o
)
là
một
nghiệm
của
hệ
thì
(y
o,
x
o
)
cũng
là
nghiệm
của
hệ.
3 ) C
á c
h
gi
ả
i:
x
+
y
=
S
Biến
ñổi
hệ
phương
trình
về
dạng:
Hệ
ñã
cho
⇔
x.y
=
P
(1)
Khi
ñó
x,
y
là
nghiệm
của
phương
trình:
t
2
−
St
+
P
=
0
(2)
Nếu
∆
=
S
2
–
4P
>
0
thì
phương
trình
(2)
có
hai
nghiệm
t
1
≠
t
2
nên
hệ
phương
trình
(1)
có
hai
nghiệm
phân
biệt
(t
1,
t
2
),
(t
2
,
t
1
).
Nếu
∆
=
0
thì
phương
trình
(2)
có
nghiệm
kép
t
1
=
t
2
nên
hệ
(1)
có
nghiệm
duy
nhất
(t
1,
t
2
).
ð
iều
kiện
ñể
hệ
(1)
có
ít
nhất
một
cặp
nghiệm
(x,
y)
thỏa
mãn
x
≥
0,
y
≥
0
∆
=
S
2
−
4P
≥
0
S
≥
0
P
≥
0
x
+
y
=
2
Ví
d
ụ
1.Giải
hệ
phương
trình
x
3
+
y
3
=
26
x
x
y
+
y
x
+
y
x
=
30
y
=
35
x
−
y
−
xy
=
3
x
2
+
y
2
+
xy
=
1
Ví
d
ụ
2.Tìm
m
ñể
hệ
sau
có
nghiệm
x
+
1
+
y
−1
=
m
xy(x
+
2)(y
+
2)
=
5m
−
6
x
+
y
=
m
2
−
4m
+
6
x
2
+
y
2
+
2(x
+
y)
=
2m
II.
Hệ
ph
ư
ơ
ng
trình
ñ
ối
x
ứ
ng
lo
ạ
i
2
1 ) K
hái
ni ệ
m
:
Là
hệ
phương
trình
mà
trong
hệ
phương
trình
ta
ñổi
vai
trò
x,
y
cho
nhau
thì
phương
trình
nọ
trở
thành
phương
trình
kia.
2 ) Tính
c
h
ấ
t:
Nếu
(x
o
,
y
o
)
là
một
nghiệm
của
hệ
thì
(y
o,
x
o
)
cũng
là
nghiệm
của
hệ.
3 ) C
á c
h
gi
ả
i:
Trừ
vế
với
vế
hai
phương
trình
của
hệ
ta
ñược
phương
trình
có
dạng:
(x
–
y).f(x,y)
=
0
⇔
x
–
y
=
0
hoặc
f(x,y)
=
0.
2x
2
=
y
+
1
Ví
d
ụ
3.Giải
các
hệ
phương
trình
x
+
xy
2
=
40y
x
2
y
−
4
=
y
2
y
y
3
+
x
2
y
=
40x
xy
2
−
4
=
x
2
2y
2
=
x
+
1
x
Ví
d
ụ
4.Tìm
m
ñể
hệ
sau
có
nghiệm:
2x
+ y
−1
=
m
x
=
y
2
−
y
+
m
2y
+
x
−1
=
m
y
=
x
2
−
x
+
m
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
6
2
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
B
ài
5
:
MỘT
SỐ
HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
DẠNG
KHÁC
I.
Hệ
vô
tỷ
Ví
d
ụ
1.
Giải
hệ
phương
trình
x
2
+
y
2
+
2xy
=
8
2
x
+ y
=
4
Ví
d
ụ
2.
Giải
và
biện
luận
x
+
y
+
x
−
y
=
a
xy
=
a
Ví
d
ụ
3.
Giải
hệ
phương
trình
x
+
y
+
y
+
x
−
x
−
y
=
2
y
−
x
=
1
Ví
d
ụ
4.
Giải
hệ
phương
trình
x
−
2
−
y
= 2
2
−
x
+ y
= 2
Ví
d
ụ
5.
Tìm
m
ñể
hệ
có
nghiệm
II.
Hệ
h
ữ
u
tỷ
x
+
1
+
y
+
1
+
y
=
m
x
=
1
3 2y
Ví
d
ụ
6.
Giải
hệ
phương
trình
x
2
+
y
2
−
1
+
x
=
1
Ví
d
ụ
7.
Giải
hệ
phương
trình
x
2
+
y
2
+
4x
=
22
y
x
3
−
y
3
=
7
xy(x
−
y)
=
2
Ví
d
ụ
8.
Giải
hệ
phương
trình
x
3
+
4y
=
y
3
+
16x
1
+
y
2
=
5(1
+
x
2
)
x
−
y
=
a(1
+
xy)
Ví
d
ụ
9.
Tìm
a
ñể
hệ
có
nghiệm
xy
+
x
+
y
+
2
=
0
Ví
d
ụ
10.
Giải
hệ
phương
trình
2y(x
2
−
y
2
)
=
3x
x(x
2
+
y
2
)
=
10y
x
+
y
=
m
Ví
d
ụ
11.Tìm
m
ñể
hệ
có
hai
nghiệm
phân
biệt:
x
2
−
y
2
+
2x
=
2
Ví
d
ụ
12.
Giải
hệ
phương
trình
x
−
xy
−
y
2
=
−11
(x
2
−
y
2
)xy
=
180
Ví
d
ụ
13.
Giải
hệ
phương
trình
x
3
−
y
3
=
19(x
−
y)
x
3
+
y
3
=
7(x
+
y)
==========================================================
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
7
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
Ch
ư
ơ
ng
2:
Ph
ư
ơ
ng
trình
l
ư
ợ
ng
giác,
m
ũ
,
logarit
B
ài
1
:
PHƯƠNG
TRÌNH
LƯỢNG
GIÁC
I.
Ph
ư
ơ
ng
trình
l
ư
ợ
ng
giác
c
ơ
b
ả
n
Khi
giải
các
phương
trình
lượng
giác
cuối
cùng
dẫn
ñến
phép
giải
các
phương
trình
lượng
giác
cơ
bản.
Ta
cần
ghi
nhớ
bảng
sau
ñây:
Phương
trình
ð
iều
kiện
có
nghiệm
ð
ưa
về
dạng Nghiệm
sinx
=
m
cosx
=
m
−
1
≤
m
≤
1
−
1
≤
m
≤
1
sinx
=
sin
α
cosx
=
cos
α
x
=
α
+
k2
π
x
=
π
−
α
+
k
2
π
±
α
+
k2
π
tgx
=
m m
ọ
i
m
tgx
=
tg
α α
+
k
π
cotgx
=
m m
ọ
i
m
cotgx
=
cotg
α α
+
k
π
Ở
b
ả
ng
trên
k
nh
ậ
n
m
ọ
i
giá
tr
ị
nguyên
(
k
∈
Z
)
.
ð
ơ
n
v
ị
góc
th
ườ
ng
dùng
là
radian.
ð
ể
thu
ậ
n
l
ợ
i
cho
vi
ệ
c
ch
ọ
n
α
ta
c
ầ
n
nh
ớ
giá
tr
ị
c
ủ
a
hàm
l
ượ
ng
giác
t
ạ
i
các
góc
ñặ
c
bi
ệ
t.
ð
ườ
ng
tròn
l
ượ
ng
giác
s
ẽ
giúp
ta
nh
ớ
m
ộ
t
cách
rõ
ràng
h
ơ
n.
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
8
Ví
d
ụ
1.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
a)
sin3x
=
2
; b)
sin(2x
-
2
π
)
=
1; c)
sin(
x
π
)
=
0.
5
Ví
d
ụ
2
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
a)
cos2x
=
cos
π
; b)
cos(3x
-
5
π
)
=
cos(x
+
3
π
);
c)
cosx
=
sin(2x
+
2
π
).
4
Ví
d
ụ
3
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
(
π
cos
x
−
8
π
)
=
0
.
3 3
Ví
d
ụ
4.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos(
π
sin
x)
=
cos(3
π
sin
x)
Ví
d
ụ
5
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
x
−
sin
2
(
2x)
=
1
II
.
Ph
ư
ơ
ng
trình
b
ậ
c
nh
ấ
t
ñ
ối
v
ớ
i
sinx
và
cosx: asinx
+
bcosx
=
c
(1)
,
a
2
+
b
2
≠
0
Chia
hai
v
ế
c
ủ
a
ph
ươ
ng
trình
(1)
cho
a
2
+
b
2
,
ta
ñượ
c:
(1)
⇔
a
a
2
+
b
2
sin
x
+
b
a
2
+
b
2
cos
x
=
c
a
2
+
b
2
(2)
ð
ặ
t
a
a
2
+
b
2
=
sin
ϕ
;
b
a
2
+
b
2
=
cos
ϕ
.
Khi
ñ
ó
ph
ươ
ng
trình
l
ượ
ng
giác
có
d
ạ
ng: cos(x
-
ϕ
)
=
c
a
2
+
b
2
(3)
Ph
ươ
ng
trình
có
nghi
ệ
m
khi
và
ch
ỉ
khi:
c
a
2
+
b
2
≤
1
⇔
a
2
+b
2
≥
c
2
Khi
ñ
ó
t
ồ
n
t
ạ
i
α
∈
[
0;
π
]
sao
cho
cos
α
=
c
a
2
+
b
2
nên
ta
có:
(1)
⇔
cos(x
−
ϕ
)
=
cos
α
⇔
x
=
ϕ
±
α
+
k
2
π
;
k
∈
Z
Ví
d
ụ
6
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình: 2sin4x
+ 3
sinx
=
cosx.
Ví
d
ụ
7
.
Cho
ph
ươ
ng
trình: sinx
+
mcosx
=
1
a)
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình
v
ớ
i
m
=
- 3
.
b)
Tìm
m
ñể
ph
ươ
ng
trình
vô
nghi
ệ
m.
Ví
d
ụ
8
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
x
+
2 3
sin
x
cos
x
+
3
sin
2
x
=
1
Ví
d
ụ
9
.
Tìm
α
ñể
ph
ươ
ng
trình
sau
có
nghi
ệ
m
x
∈
IR:
3
cos
x
+
sin(x
+
α
)
=
2
Ví
d
ụ
10
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
sin
8x
−
cos
6x
=
3(sin
6x
+
cos
8x).
Ví
d
ụ
11
.
Tìm
m
ñể
ph
ươ
ng
trình
sau
có
nghi
ệ
m
x
∈
0;
π
:
2
cos2x
–
msin2x
=
2m
–
1
Ví
d
ụ
12
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
sin8x
–
cos6x
= 3
(sin6x
+
cos8x).
Ví
d
ụ
13
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
4x
−
cos
x.cos
4x
−
sin
2
x
+
1
=
0
4
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
9
4
4
−
;
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
III.
Ph
ư
ơ
ng
trình
ñ
ẳ
ng
c
ấ
p,
ph
ư
ơ
ng
trình
ñ
ối
x
ứ
ng
ñ
ối
v
ớ
i
sinx
và
cosx
1)
Ph
ươ
ng
tr
ình
ñ
ẳ
ng c
ấ
p
b
ậ
c
c
ao
ñối v
ớ
i s
inx v
à c
osx
:
Khái
niệm:
M
ộ
t
ph
ươ
ng
trình
sau
khi
bi
ế
n
ñổ
i
v
ề
cosx,
sinx
mà
ở
t
ấ
t
c
ả
các
s
ố
h
ạ
ng
có
t
ổ
ng
s
ố
m
ũ
c
ủ
a
cosx
và
c
ủ
a
sinx
ho
ặ
c
ñề
u
là
s
ố
t
ự
nhiên
ch
ẵ
n
ho
ặ
c
ñề
u
là
s
ố
t
ự
nhiên
l
ẻ
thì
ph
ươ
ng
trình
ñ
ó
ñượ
c
g
ọ
i
là
“
ñẳ
ng
c
ấ
p”
ñố
i
v
ớ
i
cosx
và
sinx.
G
ọ
i
k
là
s
ố
l
ớ
n
nh
ấ
t
trong
các
t
ổ
ng
s
ố
m
ũ
nói
trên
ñượ
c
g
ọ
i
là
b
ậ
c
c
ủ
a
ph
ươ
ng
trình.
Cách
gi
ả
i
:
-
Xét
tr
ườ
ng
h
ợ
p
cosx
=
0
th
ử
vào
ph
ươ
ng
trình
-
Khi
cos
x
≠
0
chia
hai
v
ế
ph
ươ
ng
trình
cho cos
k
x sau
ñ
ó
ñặ
t
ẩ
n
ph
ụ
t
=
tgx.
Ví
d
ụ
14.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình: 2sin
3
x
=
cosx
Ví
d
ụ
15
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
sin
3
(x
+
π
)
=
4
2
sin
x
Ví
d
ụ
16
.
Tìm
m
ñể
ph
ươ
ng
trình
có
nghi
ệ
m:
msin2x
+
cos2x
+
sin
2
x
+m
=
0.
Ví
d
ụ
17:
Tìm
m
ñể
ph
ươ
ng
trình
sau
có
ñ
úng
hai
nghi
ệ
m
x
n
ằ
m
trong
kho
ả
ng
3sin
4
x
–
2(m+2)sin
2
x.cos
2
x
+
(1
–
m
2
)cos4x
=
0.
2)
Ph
ươ
ng
tr
ình
ñối x
ứ
ng
s
inx v
à
c
osx
:
π
π
:
2
2
Khái
niệm:
M
ộ
t
ph
ươ
ng
trình
sau
khi
bi
ế
n
ñổ
i
v
ề
cosx,
sinx
mà
các
s
ố
h
ạ
ng
có
ch
ứ
a
t
ổ
ng
(cosx
±
sinx
)
ho
ặ
c
ch
ứ
a
tích
cosx.sinx
ñượ
c
g
ọ
i
là
ph
ươ
ng
trình
ñố
i
x
ứ
ng
ñố
i
v
ớ
i
cosx
và
sinx.
Ví
d
ụ
ph
ươ
ng
trình:
a(cos
x
±
sin
x)
+
b
cos
x.sin
x
+
c
=
0
.
2
Cách
gi
ả
i:
ð
ặ
t
t
=
sinx
+
cosx,
ta
có
t
≤
2
.
Khi
ñ
ó:
sinx.cosx
=
2
t
−
1
2
N
ế
u
ñặ
t
t
=
sinx
-
cosx,
ta
có
t
≤
2
.
Khi
ñó:
sinx.cosx
=
1
−
t
2
Ví
d
ụ
18.
Cho
phương
trình: sinx.cosx
=
6
(
sinx
+
cosx
+
m).
a)
Giải
hệ
phương
trình
với
m
=
-
1.
b)
Tìm
m
ñể
phương
trình
có
nghiệm.
Ví
d
ụ
19.
Giải
phương
trình:
1
+
sin
3
x
+
cos
3
x
=
3
sin
2x
2
Ví
d
ụ
20.
Giải
phương
trình:
1
+
sin
3
2x
+
cos
3
2x
=
3
sin
4x
2
Ví
d
ụ
21.
Tìm
m
ñể
phương
trình
sau
có
nghiệm
cos
3
x
+
sin
3
x
=
m.
x
∈
π
,
3
π
:
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
10
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
IV.
Ph
ư
ơ
ng
trình
ñư
a
về
d
ạ
ng
tích
Các
phương
trình
lượng
giác
không
có
dạng
như
những
phương
trình
ñã
trình
bày
ở
các
mục
trước,
người
ta
thường
nghĩ
tới
phân
tích
chúng
thành
những
phương
trình
cơ
bản.
Việc
phân
tích
thành
tích
thực
chất
là
ñi
tìm
thừa
số
chung
của
các
số
hạng
có
trong phương
trình.
ð
ể
làm
ñược
ñiều
ñó,
chúng
ta
cần
phải
thành
thạo
các
công
thức
lượng
giác,
các hằng
ñẳng
thức
ñại
số
ñáng
nhớ
và
cũng
cần
phải
có
kinh
nghiệm
nhìn
nhận
mối
quan
hệ
giữa các
số
hạng
có
trong
phương
trình.
• Thử
các
nghiệm
ñặc
biệt
như
sin
x
=
±
1
,
sin
x
=
±
1
2
,
cos
x
=
±
1
,
cos
x
=
±
1
2
và
phương
trình
có
chứa
thừa
số
(cosx
±
sinx).
Sử
dụng
ñẳng
thức
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1.
• Dùng
các
công
thức
biến
ñổi
như
hạ
bậc,
biến
ñổi
tổng
thành
tích
,
biến
ñổi
tích
thành
tổng,
hàm
số
lượng
giác
của
hai
góc
có
liên
quan
ñặc
biệt.
Chú
thêm
một
số
biến
ñổi
sau
ñây:
cot
gx
+
tgx
=
2
,
sin
2x
cot
gx
−
tgx
=
2
cot
g2x
,
cot
gx
−
cot
g2x
=
1
sin
2x
•
ð
ặt
các
nhân
tử
chung
(nhân
tử
chung
suy
ra
từ
nghiệm
ñã
thử
ñược).
Tham
khảo
thêm
bảng
họ
các
biểu
thức
có
nhân
tử
chung.
f(x) Biểu
th
ứ
c
ch
ứ
a
th
ừ
a
số
f(x)
sinx sin2x,
tgx,
tg2x,
cosx sin2x,
tg2x,
cotgx,
1+cosx
cos
2
x
,
cot
g
2
x
,
sin
2
x,
tg
2
x
2 2
1-cosx
sin
2
x
,
tg
2
x
,
sin
2
x,
tg
2
x
1+sinx
2 2
π
x
π
x
1-sinx
cos
2
x, cotg
2
x,
cos
2
(
−
4
cos
2
x, cotg
2
x,
cos
2
(
π
+
4
)
,
sin
2
(
+
)
2 4 2
x
)
,
sin
2
(
π
−
x
)
2 4 2
sinx+cosx cos2x,
cotg2x,
1+
sin2x,
1+
tgx,
1+
cotgx,
tgx
-
cotgx
sinx-cosx cos2x,
cotg2x,
1
-
sin2x,
1
-
tgx,
1
-
cotgx,
tgx
-
cotgx
Ví
d
ụ
1.Giải
phương
trình:
cos3x
–
2cos2x
+
cosx
=
0
.
Ví
d
ụ
2.Giải
phương
trình:
sin
2
x
+
sin
2
2x
+
sin
2
3x
=
3
2
Ví
d
ụ
3.Giải
phương
trình:
cos3x.cos4x
+
sin2x.sin5x
=
Ví
d
ụ
4.Giải
phương
trình: 2sin
3
x
+
cos2x
+
cosx
=
0
1
(
cos2x
+
cos4x).
2
Ví
d
ụ
5.Giải
phương
trình: sin4x
–
cos4x
=
1
+
4(sinx
–
cosx)
Ví
d
ụ
6.Giải
phương
trình:
1
+
tgx
=
1
+
sin
2x
1
−
tgx
π
x
Ví
d
ụ
7.Giải
phương
trình
sin
x.cos
4x
−
sin
2
2x
=
4
sin
2
−
.
4 2
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
11
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
B
ài
2
:
PHƯƠNG
TRÌNH,
HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
MŨ,
LOGARIT
I.
Các
kết
qu
ả
c
ơ
b
ả
n
1)
Hàm
s
ố
m
ũ: y
=
a
x
,
• Tập
xác
ñịnh:
IR.
0
<
a
≠
1.
•
Tập
giá
trị:
IR
+
.
(ñồ
thị
luôn
nằm
phía
trên
trục
hoành)
• Khi
a
>
1
hàm
số
ñồng
biến.
Khi
0
<
a
<
1
hàm
số
nghịch
biến.
• Dạng
ñồ
thị:
2)
Hàm
s
ố
logar
it: y
=
log
a
x
,
a)
Các
tính
chất:
0
<
a
≠
1.
•
Tập
xác
ñịnh:
IR
*
(x
>
0
).
• Tập
giá
trị:
IR
• Khi
a
>
1
hàm
số
ñồng
biến.
Khi
0
<
a
<
1
hàm
số
nghịch
biến.
• Dạng
ñồ
thị:
Chú
ý:
Trong
các
bất
phương
trình
mũ,
logarit,
cơ
số
a
lớn
hơn
hay
bé
hơn
1
quyết
ñịnh
chiều
của
bất
phương
trình.
Vì
vậy
phải
chú
ý
ñến
chiều
của
bất
phương
trình
trong
quá
trình
biến
ñổi.
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
12
a
n
2
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
b)C
ác
c
ông
th
ứ
c c
hú ý
:
b
>
0
• log
a
b
có
nghĩa
⇔
0
<
a
≠
1
• log
• log
b
=
log
c
b
log
c
a
b
m
=
m
log
b
a
n
a
(
Công
thức
ñổi
cơ
số
với
b
>
0
,
0
<
a
≠
1
,
0
<
c
≠
1
).
(
Với
b
>
0
và
0
<
a
≠
1
)
•
log
a
b
=
2k.log
a
|
b
|
với
k
∈
Z
.
II.
Các
ph
ư
ơ
ng
trình,
b
ấ
t
ph
ư
ơ
ng
trình
có
d
ạ
ng
c
ơ
b
ả
n
1)
P h
ươ
ng t
r ì
nh
m
ũ :
Cho
0
<
a
≠
1.
b
>
0
Dạng
1:
a
f
(
x
)
=
b
⇔
f
(x)
=
log
a
b
a
>
1
Dạng
2:
a
f
(
x
)
<
b
Dạng
3:
a
f
(
x
)
>
b
(với
b
>
0)
⇔
f
(x)
<
log
a
b
0
<
a
<
1
f
(x)
>
log
a
b
- Nếu
b
≤
0
bất
phương
trình
nghiệm
ñúng
với
mọi
x
thuộc
tập
xác
ñịnh
của
bất
phương
trình.
a
>
1
f
(x)
>
log
a
b
-
Nếu
b
>
0,
khi
ñó
bất
phương
trình
tương
ñương
với:
0
<
a
<
1
f
(x)
<
log
a
b
Dạng
4:
a
f ( x
)
<
a
g ( x
)
a
>
1
⇔
f
(x)
<
g(x)
0
<
a
<
1
f
(x)
>
g(x)
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
13
