Hệ phương trình có cách giải không mẫu mực

1
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU
MỰC LUYỆN THI ĐẠI HỌC (60 BÀI TOÁN CHỌN LỌC)
BÀI1:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
 
 
2
2 2
4 1 3 5 2 0
,
4 2 3 4 7
x x y y
x y
x y x

    



   




Bàigiải:
 
   

 
2
2 2
4 1 3 5 2 0 1
4 2 3 4 7 2
x x y y
x y x

    


   


 ĐK:
5
2
3
4
y
x











Cách1
 
1
:Đặt
 
2
5
5 2 0
2
u
u y u y

    

Suyra
 
 
 
 
 
2
2
2 2
1
1 4 1 2 2 1 1 3
2
u
x x u x x u u
 


 
      
 
 
 

Đặt
   
 
3 3 2 2
2 3 1 0
a x a a u u a u a au u
           

Màtalạicó:
2
2 2 2
3
1 1 0
2 4
u
a au u a u
 
       
 
 
nêntacó:
2 5 2a u x y
   


Do
3 3 5 11
2 5 2
2 2 2 8
x y y
      

Thếvào
 
2
tacó:
2
2 2 3 2 5 2 2
y y y
    

Xéthàmsố:
 
2
11 5
2 2 3 2 5 2 ;
8 2
f y y y y y
 
      
 
 

 

2 11 5
' 2 2 0 ;
8 2
5 2 3 2 5 2
f y y y
y y
 
     
 
 
  

Mà
 
2 2
f

suyra
1
2;
2
y x
 
lànghiệmduynhấtcủahệ.
CHÚÝ:Ởtrêntasuyra
x
theo
y
.Nếunhưcácbạnsuy
y

theo
x
thìviệcđạohàmsẽtrởnên
dễdànghơnđơichút.
Từ
2
5 4
2 5 2
2
x
x y y

   
thếvào
 
2
tacó:
2
2
2
5 4
4 2 3 4 2
2
x
x x
 

   
 
 


Xét
 
2
2
2
5 4 3
4 2 3 4
2 4
x
f x x x x
 

     
 
 

 
2 2
5 4 4 4 1 4 3
' 8 4 4 0
2 2 4
3 4 3 4
x x
f x x x x x
x x
   
 
       
   

 
   



2
Cách2
Từphươngtrình
 
1
tanhân2chohaivếphươngtrìnhsuyra:
 
 
2
2 4 1 1 5 2 5 2x x y y
    

Xéthàmsố:
 
 
2
1
f t t t
 

Do
 
2
' 1 0
f t t t R    


Suyra
 
f t
đồngbiếntrên
R

Mà
 
1
códạng
 
 
2 5 2 2 5 2f x f y x y
     .
Cáchgiảicònlạitươngtựnhưtrên. 
Vậyhệcónghiệm
 
1
; ;2
2
x y
 

 
 
      ∎
BÀI2:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
3

sin 3sin sin 2
;
sin sin
x y y
x y
x y y x

  



  




Bàigiải:
 
 
3
sin 3sin sin 2 1
sin sin 2
x y y
x y y x

  


  




Từ
 
2 sin sin
x x y y   

Xéthàmsố:
 
sin
f t t t 

 
' cos 1 0
f t t
  

Suyrahàmsố
 
f t
nghịchbiếntrên


Vậytừ
 
2
suyra
x y

Thếvào

 
1
tacó:
3
sin 3 sin sin 2
x x x
  

Đặt
 
 
 
3
sin 1;1 1 3 2
m x m m m m
       

ĐK:
 

2
3 0 3;0 3;m m m
  
      
  
 
1;0
m  

Đặt

2cosm t
 
2
;
2 3
t
 
 

 
 

Suyra
3 2
8cos 6cos 2 cos
2
t
t t 
cos3 cos
2
t
t 

Do
2
;
2 3
t
 
 


 
 
nênsuyra
;
2 4 3
t
 
 

 
 
vậynên
cos cos
2 2
t t


 
4
3 2
5
2
cos3 cos
4
2
3 2
2 7
t
t k

t k
t
t k
t
t k t k


 



 


    




   








3
4 2

4
2 5 3
1
4 2
7
2 7 3
k
k t
k
 


 


 

    


 



Suyra:
 
4
arcsin 2 cos 2
7
4

sin 2cos
7
4
arcsin 2 cos 2
7
x r
x r
x r




 

 
 
 

 

  

 
  

 
 




Vậyhệcónghiệm
 
4
arcsin 2 cos 2
7
4
arcsin 2 cos 2
7
x y r
r
x y r



 
 
  
 
 

 
   
 
 

   ∎
BÀI3:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
2 2
2 2

2 3 3 2 1 0
;
4 4 2 4
x y xy x y
x y
x y x x y x y

     



      




Bàigiải:
 
 
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0 1
4 4 2 4 2
x y xy x y
x y x x y x y

     


      




Từ
 
1
tacó:
   
2
2
2 3 1 1 0
x x y y
    

Lạicó:
 
2
1 0
y
   
suyraphươngtrìnhcó2nghiệm
1
1
2
x y
y
x
 








 
2
1
: 1 1 2 3 3 3 1 5 4
TH x y y x x x x x
            
ĐK:
1
3
x
 

2
3 5
3
3 1 1 5 4 2
0
3 5
3 1
3 1 1 5 4 2
x x
x x
x x
x
x

x x
   
   





  

   


Vớiphươngtrình
3 5
3 1
3 1 1 5 4 2
x
x x
  
   
;taxéthàmsố
 
3 5 1
3
3
3 1 1 5 4 2
f x x x
x x
     

   

 
 
 
2
9 25
' 3 0
2 5 4 5 4 2
2 3 1 3 1 1
f x
x x
x x
    
  
  

Mà
 
1 1
f
 
suyra
1x 
lànghiệmduynhất.
SuyraTH
1
hệcó2nghiệmlà
 
0;1

và
 
1; 2
.
 
2
1
: 2 1 2 3 3 5 1 9 4
2
y
TH x y x x x x

           
ĐK:
1
4
x
 



4
 
5 9
3
5 1 1 9 4 2
0 1
5 9
3
5 1 1 9 4 2

x x
x
x x
x y
VN
x x
   
   
  




  

   


Vậyhệcó2nghiệmlà
 
0;1
và
 
1; 2
      ∎
BÀI4:Giảihệphươngtrìnhsau:
   
 
3 3
1 1 12 18

;
3 2 10 2 3 10
x x y y xy
x y
x y x y

    



    




Bàigiải:
     
 
3 3
1 1 12 18 1
3 2 10 2 3 10 2
x x y y xy
x y x y

    


    




Nhậnthấy
   
; 0;0
x y 
khônglànghiệm.
Từ
 
3 3 4 4
1 12 18
x y x y xy
     

ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchycho2sốdương
4
x
và
4
y
tacó:
 
2
4 4 2 2 4 4 2 2
2 12 18 2 12 18 2 3 0
x y x y x y xy x y xy xy
           

Suyra
 
2

2
3 3
3
0 0 0
2 4
y y
x y x y x x y
 
 
         
 
 
 
 
 

Ápdụngbấtđẳngthức
a b a b  
cho
 
2
tađược:
 
3 2 10 2 3 10 10 0
x y x y x y Do x y
         

Suyra
0
x y x y    


Từđótađược
4 2
3 3
2 12 18 0
3 3
x y
x x
x x
   
   
   

Vậyhệcóhainghiệmlà
 
3; 3
 và
 
3; 3
       ∎
BÀI5:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
3
3
2 0
;
3 3 0
x xy
x y
y xy


  



  




Bàigiải:
 
 
3
3
2 0 1
3 3 0 2
x xy
y xy

  


  



Do
0
x


hoặc
0
y

hoặc
0
x y
 
khônglànghiệmcủahệ.
Xét
0
0
x
y





.Đặt
 
     
3
3
3
3
3
2
2

0
3 2 3 2 0 3
3 3 0
x k
x k
k
y k
k
x
k k k k
k
x

 

 
 
   
 
    
  





Tacó:
   
3
3 2

3
3 3 3 1 7 1 7 1 7
k k k k k            



5
Suyrahệcónghiệmlà:
3
3
3
3
3
1 7
1 7
1 7
x
y

 









      ∎

BÀI6:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
 
 
2 2
1
1 2 1 2 3 0
;
30 4 41 5
x y x y
x y x x y y y
x y
x y
  

        



   




Bàigiải:
Cách1:
   
   
2 2
1

1 2 1 2 3 0 1
30 4 41 5 2
x y x y
x y x x y y y
x y
  

        


   



Từ
         
2 2
1 2 1 1 1 2
x x x y y y
          

Xéthàmsố:
 
2
2
f t t t t
  

 
2

2
2
' 1 2 0
2
t
f t t
t
    

Suyra
1 1
x y x y
      

Đốivới
 
2
tađặt
1
30 4 41 5
u u
u x y u

     

Xét
 
1
30 4 41 5
u u

f u u

   

 
 
1
2 1 2
' 30 ln 30 4 ln 4 41
" 30 ln 30 4 ln 4 0
u u
u u
f u
f u


  
  

Suyra
 
' 0
f u

cónghiệmduynhấtthuộckhoảng
 
0;1
.
Suyra
 

f u
cótốiđahainghiệm.Hainghiệmđólà
0
u

hoặc
1
u


Với
0
1
0
1
2
x y
u x y
x y
 

     

  


Với
1 0
1
1 1

x y x
u
x y y
   
 
  
 
   
 

Vậyhệcóhainghiệmlà
1 1
;
2 2
 
 
 
 
và
 
0; 1
 
Cách2
   
   
2 2
1
1 2 1 2 3 0 1
30 4 41 5 2
x y x y

x y x x y y y
x y
  

        


   



Đặt
 
1
2 30 4 41 5
u u
u x y u

      

Xét
 
1
30 4 41 5
u u
f u u

   

 

 
1
2 1 2
' 30 ln 30 4 ln 4 41
" 30 ln 30 4 ln 4 0
u u
u u
f u
f u


  
  

Suyra
 
' 0
f u

cónghiệmduynhấtthuộckhoảng
 
0;1
.


6
Suyra
 
f u
cótốiđahainghiệm.Hainghiệmđólà

0
u

hoặc
1
u


Với
1 1 1u x y x y      
 
 
2
1 2 1 2 0 0 1
x x x y
         

Với
0
u x y  

Suyra
 


   
2
2
1 1 2 1 1 1 2 0
x x x x

 
        
 
 

Đặt
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 1
2 ; 0 2
1
2 3
2 3; 0
2
v u x
u x u u x
v u
v x x
x
v x x v

  


    
  

 
  
 
  


   

 



       
1
1 1 0 ; 0
2 2
v u
v u u v u v Do u v
  
 
         
 
 
 
 

1
2
x y
   

.Từđóthulạikếtquảtrên      ∎
BÀI7:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
  
 
2 2
3 1
;
1 2
1
1 2 1
x y
x y
x y
x x

 






 



Bàigiải:
 
 

  
 
2 2
3 1 1
1 2
1 2
1 2 1
x y
x y
x x

 





 

ĐK:


1
1;1 \
2
1 1
3 3
x
y


 
  
 


 


  



Từ
 
 
2
2
1 3 1
x y
  

Đặt
sin
3 cos
x u
y u









Thếvào
 
 
  
 
1 2sin cos
2 3 cos sin 2 3 cos 2 sin
1 2sin 1 sin
u u
u u u u
u u

     
 

Suyra:
 
cos 3 sin sin 2 3 cos 2
cos cos 2
3 6
2
2
2
18 3
u u u u
u u

u k
k
u k
 




  
   
   
   
   

 

 


  





2 1 0
2
u k x y



     
(loại)


7
Dogóc
2
3
k

đốivớisinchỉđổigiátrịkhi
0;1; 2
k

vàkhi
3
0
k
k





thìcácgiátrịsẽtrởlại
nhưcũnêntachỉchọn
0;1; 2
k

.


sin
18
0
cos
18
18
3
x
k u
y




 


    







11
sin
18
11

1
11
cos
18
18
3
x
k u
y







   







5
sin
18
5
2
5

cos
18
18
3
x
k u
y





 


    


 



Vậyhệcó3nghiệmnhưtrên       ∎
BÀI8:Giảihệphươngtrìnhsau:
1

2
,
1 1

y
x
x y
x y
x y
y x

 


 

 
 

  
 
 

 
 



Bàigiải:
Cách1
Từ
   
1
1 1

0;
0
4
2 2
1 & 2
1 1
1
0
0;
2 2
4
x
x y y
y x x
y

 
 

   



 
    
  
  
 
  
   




 

 
 


 
 
   
1
1
2
ln 1 ln ln

y x
y x
xy
y x
y x xy y y x x


 
    

Xéthàmsố:
     
1

ln 1 ln ln 0;
4
f y y x xy y y x x y
 
      


 

     
2
' ln 1 . ln 1
1
1 1
1
= ln
x
f y xy y x y
xy
x
x
y xy
     

 

 
 

 




8
Mặtkhác:
0
1 1
4 ln ln 4 0
1
0;
4
x
x x
y
y y


 

      

 
 

 



 



   
2
1
' ln 4
1
x
f y g y
xy

   


Xét
 
2
1 1
ln 4 0;
1 4

x
g y y
xy

 
   



 


 
 
 
3
2
' 0 0
1

x x
g y Do x
xy

  


   
2
0 0 ln 4 1
y g y g x
      

Mà
2
1 1
0; 0;
4 16
x x
   
  

 
 
   


 
2
17
ln 4 1 ln 4 1 ln 4 0
16
x
      


   
0 ' 0
g y f y
  

Vậy
 
f y
đồngbiếntrên
1
0;
4
 


 


Mà
 
0
f x x y  

Thếvào
(1)
1 1
2
2 16
x x y
    
1 1
;
16 16
S
 
 

 
 
 
 

Cách2
Từ
   
1
1 1

0;
0
4
2 2
1 & 2
1 1
1
0
0;
2 2
4
x
x y y
y x x
y

 
 

   



 
    
  
  
 
  
   




 

 
 


 
1
4
1
1
4
x y y
y x x

  





  



Thếvào
 

1 1 1 1
2
4 4
y
x
y y x x
y x
 
 
       
 
 
 
 

Xéthàm
 
1 1 1
0;
4 4

t
f t t t t
t
   
     
  

   


 
1 1
ln ln
4
f t t t t
t
 
    
 
 

Đạohàm2vếtacó:
 
 
 
2
1 1
1
'
1 1
2
ln *
1 1
4
4

t
f t
t
t

t t
f t t
t t
t
 
 
 
 
 
    
 
 
  



9
Mặtkhác:
2
1 1 1 1 1 1
0;
4 2 4
t t t t
t t t
   
       
  

   


   
2
2
1 1 4 2 4
0; 4 * ln 4 **
4
4 4 4

t t t
t
t
t t t t
 
 
     


  
 

Đặt
1
0;
2
; a t a
 
 


 


 
4 3
4 3 2
4 2 4
** ln 4
4 4 4
a a
a a a
 
 
  

Mà
 
4 3 3 2 4 2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
4 2 4 2 8 2 8
1 1
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a a a a a a
a
a a a a a a a a a a a a
    
      
           

3 4
1
0;

2

Do a a a
 
 
  

 

 
 

Xéthàmsố:
 
4 3 2
4 4 4
f a a a a
   

 
 
3 2
' 16 12 2
0
1
' 0
4
1
2
f a a a a

a
f a a
a
  





  






Lậpbảngbiếnthiên
   
1 257
0 4
4 64
f f a f
 
    
 
 

 
1 1 64
4 257

f a
  

 
2 2
1 33 33
8 8 8
4 4 4
a a
        

 
 
4
4 3 2
4 3 2
2 33
1
4 4 4
4 4 4 4
a
a
a a a
a a a
    
  
  

4
4 3 2

2 4
2 2
4 1 4
4 4 4
4
a
a a a
a a a

  
  

Đặt


1
2; ; z z
a
  

Xéthàmsố:
 
4 2
4 4 4
f z z z z
   

 
   
3

' 16 2 4 0 2
2 64
f z z z z
f z f
     
  

 
2 33
1 1
32
f z
   



10
   
4
4 3 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
33 33 2 33 33
1 1
32 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
a
a a a a a a
a a a a a a
      
     

     
 
 
33 33 528
16 4 257
17 33 271
1
16 4 257
f a
f a
     
     

 
33 271
ln 4 1 ln 4 0
4 257f a
     

     
 
 
 
2
2
'
33 2 33 4 2 4
0 ln 4 1 ln 4 1 ln 4 ln 4
4 4
4 4 4

f t
t t t
a
f a f z f a f t
t t t t
 
             
  
Do
   
0 ' 0
f t f t
  

1 1
2
2 16
x y
x x y
 
    

Vậy
1 1
;
16 16
S
 
 


 
 
 
 
          ∎

BÀI9:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
2
2
4 5 2
2 18
25 9 9 4
1
;
3 6 3 6
x
y x
x y
x y
xy xy x y y y

   





    




Bàigiải:
 
 
2
2
4 5 2
2 18
25 9 9 4 1
1
3 6 3 6 2
x
y x
x y
xy xy x y y y

   




    


ĐK:
2
3
x



Cách1
       
4
4
2 3 6 0
3 6 0
x y
y x y y x y x y
y y


       

  


Xéthàmsốsau:
 
4
3 6f y y y  

 
 
3
3
' 4 3
3
' 0
4

f y y
f y y
 
   

Mà
3
3
0
4
f
 
 
 
 
 
suyra
   
 
0 lim
x
f y y Do f y

    


Dovậy
x y
suyra
   

2
2
2 18
1 25 9 9 4 3
1
x
x x
x x
    


Nếu
2
3
x
 
2 2 2
4 2 18
25 9 9
1
x x x
    




11
Đặt
 


2
2 2 2
4 4 4 2
9 0 ; 3;3
9 9 3
u u x u
x u u
 

       
 

 
 

 
 
2
2
2
18 9
9
3 25 9
2 13
u
u
u
u



    


 
      
 
 
2 2 2 2
4 3 2
3 2
2 25 9 13 9 13 36 9
18 8 234 209 0
1 17 25 209 0
1
u u u u u
u u u u
u u u u
u
       
     
     
 

Do
3 2
17 25 209
u u u  
vônghiệmtrong

3;3




Suyra
 
2
0
2
x Do x
  

Nếu
2
3
x

thìtachiahaivếcủa
 
3
cho
x
tađượcphươngtrình
2 2 2
4 2 18
25 9 9
1
x x x
   



Tiếptụcđặt
2
2
3
a x a
 
 
 
 

Xéthàmsố
 
4 2 18
25 9 9
1
f a
a a a
    

.Dễthấy
 
 
2
2
2
18 2 18
' 0
4
1
9

f a
a
a
a
a
   



Suyra
 
2
0
3
f a f
 
 
 
 
.Vậysuyrahệcónghiệm
2
2
x y  

Cách2
Từ
   
 
2
2

2
3 31
2 1 2 0
4 8
x y y y x y
 
 
        
 
 
 
 
 

 
2
2
2 18
1 25 9 9 4
1
x
x x
x x
     


Nếu
2
2 2
2 9 9 4 2 18

25
3
x
x
x x x

    

Mà
2
2 2
9 9 4
25 25
2 18 9 162
25
2 13
x
x
x x


 




   


suyrađược

2
2 2
9 9 4 2 18
25
x
x x x

  
vônghiệm.
Nếu
 
2 2 2
2 4 2 18
25 9 9 4
3 1
x
x x x
      


Đặt
2
1
t
x


 
18
4 25 9 9 4 2

1
t
t t
t
     




12
 
    
 
18
9 1 9 4 2 16
1
36 2 2 2 4
1
1 9 4
18 4
2 0
1
1 9 4
t
t t
t
t t t
t
t
t

t
t
t
     

  
 

 

 
   
 

 
 

Với
9
0
4
t
 
tacó
18 18
4
1 9 4t

 
và

4 3 18
1 4
1 1 4
t
t t

   
 

Nên
18 4
0
1
1 9 4
t
t
t

 

 
suyra
2
2
2
t x y    
    ∎
BÀI10:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
;

4
y x
y
x y
x y
x










Bàigiải:
 
 
1
4 2
y x
y
x y
x








 ĐK:
0
0
x
y






Tacó:
 
4
4
log
4
4
log 4
y
x
x
x
x
y
x
y





 

 







Dễthấyrằng
1
1
x
y






Xéthàmsố:
 
4
ln 4 0; 1
log
x

x
f x x x    

 
 
4
2
4
1
log
ln 4
' 0; 1
log
x
x
f x x x

   

 
' 0
f x x e  

Mà
 
' 2 0
f

suyra
 

f x
làhàmsốnghịchbiếntrên
 
1; e
.Suyraphươngtrìnhcó
nghiệmduynhất
2
x

2
y
 

Vậyhệcónghiệm
2
x y
 
      ∎
BÀI11:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
 
 
2
2 2
2
3 2
9
2 6ln
;
9

2 1
y y
x y x xy y
x y
x x
x x y

 
 

 
    

 

  
 

  




Bàigiải:
 
 
 
 
2
2 2

2
3 2
9
2 6 ln 1
9
2 1 2
y y
x y x xy y
x x
x x y

 
 

 
    

 
 

 

  





13
Dễthấy

   
; 0;0
x y 
khônglànghiệmcủahệ.
Từ
 
1
tasuyra




3 2 3 2
2 6 ln 9 2 6 ln 9
x x x x y y y y
        

Xéthàmsố:
 


3 2
2 6ln 9
f t t t t t
    

 
2
2
6

' 3 2
9
f t t
t
  


 
   
2
2 2 2
2
2
:
3
6
' 0 3 2 0 3 2 9 36 0
9
ĐKf t t t tt t
t
 
          
 
 



Mà
 
lim '

t
f t

 
và
 
lim '
t
f t

 
nên
 
' 0f t t
  

Suyra
x y

Thếvào
 
3 2
2 2 1 0
x x x
    

Xéthàmsố
 
3 2
2 1f x x x x   


 
2
' 3 2 2f x x x  

Dễthấy
 
' 0
f x

cóhainghiệmphânbiệtsuyra
 
0
f x

cótốiđa3nghiệm.
Mặtkhác
   
   
   
2 . 0 0
0 . 1 0
1 . 2 0
f f
f f
f f
 


Phươngtrìnhcó3nghiệmphânbiệttrong

 
2;2

.
Đặt
 
 
 
3 2
2 cos 0; 8 cos 4cos 4 cos 1 0 3
x t t t t t

      

Đểýrằng
 
3
sin 4 sin 8cos 4 cost t t t
 
nêntanhânhaivếcủa
 
3
với
sin 0t 

Suyra:
 
 
 
3 2

3
3
sin 8 cos 4cos 4 cos sin sin
sin 4 4 sin sin sin
0
sin 4 4sin 3sin sin 4 sin 3
2
7 7
t t t t t t
t t t t
t
t t t t t k
t k
 
  
   



       

 



Do
   
2
0; 0 0;1;2
7 7

t k k
 
 
      

Vậyhệđãchocó3nghiệmlà
cos
7
2
x y

  ;
3
cos
7
2
x y

  ;
5
cos
7
2
x y

    ∎
BÀI12:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
 
 

3
3
1 3 8
;
1 6
x y
x y
x y

 



 




Bàigiải:
   
 
 
3
3
1 3 8 1
1 6 2
x y
x y

 



 





14
Do
0
x

và
0
y

khônglànghiệmcủahệnêntachiahaivếcủa
 
1
cho
3
x
suyrađược:
3
3
2
1 3
2
1 3.

y
x
y
x

 
 

 

 


 



Đặt
 
 
 
3
3
1 3 3
2
0
1 3 4
y u
u u
x

u y

 

  

 



Lấy
       
2
3 3 2
3
3 4 3 3 0
2 4
y
u y y u u y u y u y
 
 
            
 
 
 
 
 

Suyra
3

3 1u u 

Dễthấyrằng
   
   
   
2 . 1 0
1 . 0 0
0 . 2 0
f f
f f
f f
  

  




phươngtrìnhcó3nghiệmphânbiệtthuộc
 
2;2

.
Đặt
 
 
 
2
1

9 3
2cos 0; cos3
2
2
9 3
k
u k
k

 
   

 

 

     


  




Đốichiếuđiềukiện:
 
 
2
0 0;1
9 3

2
0 0;1
9 3
k k
k k

 

 
    
     


7 5
| ; 2cos ;2cos ;2cos
9 9 9
u y u y
  
 
 
 
 

Vậyhệđãchocó3nghiệm
 
 
1
; ; 2 cos
9
cos

9
1 5
; ;2 cos
5
9
cos
9
x y
x y




 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
1 7
; ;2cos
7

9
cos
9
x y


 
 

 
 
 
∎
BÀI13:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
2 4 32
;
8
x y
x y
xy

 






Bàigiải:

15


2 4 32 1
8 2
x y
xy








Cỏch1
Dthy
4; 2
x y

lmtnghimcahphngtrỡnh.
Nu

0 0 ;
cuứng daỏu
x y Do x y
suyra
2 4 2 32

x y

phngtrỡnhvụnghim.
Doútachxột
0
0
x
y






T

8
2 y
x

;thvo

1
suyra:
16
2 2 32
x
x

Xộthms

16
2 2 0
x
x
f x x



16
2
16
' 2 ln 2 .2 ln 2
x
x
f x
x


16
16
' 0 .2 .2
x
x
f x x
x

2 . ' 2 ln 2 2 0 0 4 0
t t t
f t t f t t t x Do x


Tacú:

4 0
f

.Do

' 4 0
f

nờn
4
x

limcctiuca

f x
.
Suyranghimcahl

; 4;2
x y

Cỏch2
Nu

0 0 ;
cuứng daỏu
x y Do x y
suyra 2 4 2 32
phửụng trỡnh voõ nghieọm.
x y

Doútachxột
0
0
x
y






T

1
theoBTCauchytacú:
2 2
2 4 2 2 32 2 2 2 8
x y x y x y
x y

T

2 2 16
xy


Mtkhỏctalicú:


2
2 8 64 2 8 2 8
x y xy x y x y

(Do
0 0
x y

)
Tútasuyra
2 4
x y

haynghimcahl

; 4;2
x y

BI14:Giihphngtrỡnhsau:

3 2

3 2
3 2
2
2
2
1
4
1
; ;
4
1
4
x x
y y
z z
y
z x y z
x

Bigii:


16
 
 
 
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1

1
4
1
2
4
1
3
4
x x
y y
z z
y
z
x




 


 
 



 


 

 


 


 

 

  ĐK:
0
0
0
x
y
z









Xéthàmsố
 
3 2
2

1
0
4
t t
f t t

 
  
 
 

Dễthấy
 
f t
làhàmnghịchbiếntrên
 
0;


Giảsử
 
min ; ;x y z
khiđó
     
x y z f z f x f y z x y y z y z           

Thếvào
 
3 2
2

1
2 0
4
y y
y

 
  
 
 

Xét
 
3 2
2
1
0
4
y y
f y y y

 
   
 
 

 
 
3 2
2

2
1 1
' 6 2 ln 1 0 0
4 4
y y
f y y y y

 
     
 
 

Mà
1 1
0
2 2
f y z
 
   
 
 

Vậyhệcónghiệm
1
2
x y z
  
       ∎
BÀI15:Giảihệphươngtrìnhsau:
 

   
 
2 2
3
4 2 2 1 4 1 1 6 1 1
;
3 4
x x y x y x x y
x y
y x

       



 




Bàigiải:
 
     
 
2 2
3
4 2 2 1 4 1 1 6 1 1 1
3 4 2
x x y x y x x y
y x


       


 


 ĐK:
0
4
3
y
x




 



 
 
   
     
2 2
3
3
3
3

3
1 4 2 2 1 4 1 1 6 1 1
8 1 4 1 1 6 1 1
1
8 4 1 6 1
x x y x y x x y
x y x y y x y
y
x x x
        
        




   


TH
1
:Với
 
1 1
nhaän
y x   

TH
2
:
 

3
3 3 3
3 3
8 4 1 6 1 2 2 6 1 6 1 0
x x x x x x x u v u v
              

Với
 
2
2
3
3
2
3
1 0 8 6 1
2 4
6 1
u x
v v
u v u u v x x
v x

 


 
          
 


 
 
 

 

 

Xéthàmsố
 
3
8 6 1f x x x  



17
 
2
' 24 6
f x x
 
.Do
 
' 0
f x

cóhainghiệmnên
 
0
f x


tốiđa3nghiệm.
Mặtkhác
 
 
   
3
1 . 0
4
3
. 0 0
4
0 1 0
f f
f f
f f
 
  
 
 
 
 
 
 

suyraphươngtrìnhcóbanghiệmphânbiệtthuộc
 
1;1

.

Đặt
 
 
 
2
cos 0; 2cos3 1
9 3
x k k

     
        


Chọn
5 7
0;1 cos ;cos ;cos
9 9 9
k x
  
 
  
 
 
.
Suyra
2 2 2
5 7
4 3cos ; 4 3cos ; 4 3cos
9 9 9
y

  
 
 
     
   
 
     
     
 
 

Vậyhệcó4nghiệmnhưtrên        ∎
BÀI16:Giảihệphươngtrìnhsau:
   
 
2
17 3 5 3 14 4 0
;
2 2 5 3 3 2 11 6 13
x x y y
x y
x y x y x x

     



       





Bàigiải:
     
 
2
17 3 5 3 14 4 0 1
2 2 5 3 3 2 11 6 13 2
x x y y
x y x y x x

     


       



ĐK:
5
4
x
y






Từ

     
1 2 3 5 5 2 3 4 4
x x y y       
   
   

Xéthàmsố
 
 
2 3
2 3 3 2f t t t t t   

 
2
' 9 2 0 5 4 1 1f t t x y x y y x            

Thếvào
 
2
2 2 3 4 3 5 9 6 13
x x x x
      

2
2
12 16 4 45 81 9 6
12 45
6
12 16 4 45 81 9
0

12 45
6
12 16 4 45 81 9
x x x x
x x
x x
x x
x
x
x x
       
   
   





  

   


Với
0 1
x y
   

Xétphươngtrình:
12 45

6
12 16 4 45 81 9
x
x x
  
   

Xéthàmsố
 
12 45 4
6 ;5
3
12 16 4 45 81 9
f x x x
x x
 
      
 
   
 



18
 
   
2 2
72 2025
' 1 0
12 16 12 16 4 2 45 81 45 81 9

f x
x x x x
    
     

Mà
 
1 0
f
 
suyra
1
x
 
lànghiệmduynhất
Vậyhệcónghiệm
 
0; 1
;
 
1; 2 
        ∎
BÀI17:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
 
2 2
1 1 1 2 1
;
1 1 2
1 1

1
y y x
x y
x y
xy

    




 

 





Bàigiải:
 
 
 
2 2
1 1 1 2 1 1
1 1 2
2
1 1
1
y y x

x y
xy

    



 

 




ĐK:
1 0
1 0
x
y
 


 


Từ
 
2
.TachứngminhBĐTsau:
 



0;1
1 1 2
0;1
1 1
1
x
y
x y
xy

  

 


Thậtvậy:
. .
1 1 1 1
2
1 1
1 1
C B S
x y
x y
 
  
 
 

 
 

Mặtkhác:
1 1 2
1 1
1
x y
xy
 
 


Chứngminh:
  
  
 
2
1
1 1 2
0 0
1 1
1
1 1 1
xy x y
x y
xy
x y xy
 
    

 

  

DoBĐTđúng∀
 
0;1
x 
và


0;1
y 
1 1 2
1 1
1
x y
xy
  
 


Dấu
" "
xảyrakhi
x y

Thếvào
 
1

tađược:




 


2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
1 1 1 2 1
1 2 1
1 1
0 0
1
1 2 1
1 1
loaïi
x x x
x
x x
x
x y
x

x
    
   
 
   



  

 




19
Bâygiờtasẽgiảiphươngtrình


2
2
2
1
1 2 1
1 1
x
x
  
 


 
 


2 2
1 1 4 4 1 1 0
t t t t x
       

3
4 3 0t t  

0 1
3 1
2 2
t x y
t x y
   




   



Vậyhệcó3nghiệm
 
1 1
1;1 ; ;

2 2
S
 
 

 
 
 
 

Chúý:Bàinàycũngcóthểgiảibằngphươngpháplượnggiácbằngcáchđặt
cosx t
 ∎
BÀI18:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
3 2
3 2
3 2
2
2
2
.4 1
.4 1 ; ;
.4 1
x x
y y
z z
y
z x y z
x








 







Bàigiải:
Taviếtlạihệphươngtrìnhnhưsau:
 
 
 
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
4 1
1
4 2

1
4 3
x x
y y
z z
y
z
x















  ĐK:
0
0
0
x
y
z










Xéthàmsố:
   
3 2
2
4 0
t t
f t t

 

 
 
3 2
2 2
' 6 2 4 ln 4 0 0
t t
f t t t t

    

Giảsử

       
1 1 1
min ; ;
x y z x y z f z f x f y
x y z
         
z x y x y z     

Thếvào
 
3 2
2
1
2 4 0
y y
y

  

Xéthàmsố
 
3 2
2
1
4 0
y y
f y y
y

   


 
 
3 2
2 2
2
1
' 6 2 4 ln 4 0
y y
f y y y y
y

    

Suyra
1
2
x y z
  

Vậyhệcónghiệm
1
2
x y z
  
      ∎



20

BÀI19:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
2 2 2
3 3 3
3
3 ; ;
3
x y z
x y z x y z
x y z
  


   


  



Bàigiải:
 
 
 
2 2 2
3 3 3
3 1
3 2
3 3
x y z

x y z
x y z
  

  


  


Cách1
Tacó:
 
2 2 2
. .
3 3
C B S
x y z x y z x y z
        

Suyra
1x y z  

Vậyhệcónghiệmlà
   
; ; 1;1;1
x y z 

Cách2
Nhậnthấyrằng

 
1
làphươngtrìnhmặtphẳngvớiVTPT
 
1;1;1
n 


Còn
 
2
làphươngtrìnhmặtcầuvớitâmlàgốctọađộ
O
;bánkính
3
R  .
Tacó:
 
 
3
0; 3
3
d P R

  

Suyra
 
P
tiếpxúcvớimặtcầu.

Gọi

làđườngthẳngqua
O
vàvuônggócvới
 
P

 
:
t
t t
t


 





Gọi
   
3 3 1 1;1;1
N P t t N       

Vàtọađộcủa
N
cũnglànghiệmcủahệphươngtrình.
Cách3


 
 
   
 
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
3 3
2
3 3
2
y z y z
y z
y z
y z
y z y z y z
     
 

 

           
   

Đặt

2 3;2 3
t y z t
 
   
 

 
2
2
3
2
t
t
  

Xéthàmsố
   
2
2
3
2
t
f t t
  

   
' 2 3 0 3 6 2
f t t t t t
        



Bảngbiếnthiên


21
x

2 3


2

2 3

 
'f x

−
0
+
 
f x

27 12 3



3

Nhìnvàobảngbiếnthiêntathấy

2 2 2
3
x y z
  

Suyradấubằngxảyrakhi
1x y z  

BÀI20:Giảihệphươngtrìnhsau:
   
 
1
1 1
;
2 2014 2 2014 2 2014 2016
x y
x x y y y x
x y
x x x x y


    




    




Bàigiải:
     
 
1
1 1 1
2 2014 2 2014 2 2014 2016 2
x y
x x y y y x
x x x x y


    



    

  ĐK:
0
0
x
y






Xéthàmsố:
   

1
t
f t t t t
  

Tacó:
 
'
ln ln 1 ln ' 1 ln
x x
y
y x y x x x y x x
y
         
Ápdụngvào
       
' ' 1 ln 1 0 1
t
f t f t t t t
      

x y 

Thayvào
 
2 2 2014 2 2014 2 2014 2016
x x x x x     
ĐK:
0
x



Đặt
 
2
1
2
2 1
2
3 2
2
4 3
2
1
2016
2 2014
2 2014
2 2014

2 2014
0
n n
i
n
u x
u x u
u x u
u x u
u x u
u

u x


 
 
 
 

 

Giảsử
 
1 2 1 2 1 3 2 3 2
2 3 1 2 1 1
2 2014 2 2014 2 2014 2 2014
2016 2 2014 voâ lyù
n n n n n n n n n n
u u x u x u u u x u x u u u
u u u u x x u x u
        
            
         
Tươngtự
 
1 1
voâ lyù
n n
u u x u

  


Suyra
1
0
2016
x
x u
x


 




Vậyhệcónghiệm
0
x y
 
và
2016
x y
 
     ∎





22

BÀI21:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
4 4
6 6
1
;
1
x y
x y
x y

 



 




Bàigiải:
 
 
4 4
6 6
1 1
1 2
x y
x y


 


 



Đặt
 
 
2 2 2
2 3 3
3 3
1
; 0
1
sin cos 1 cos ; sin
u x u v
u v
v y u v
t t u t v t
 
  
 
 
 
  
 
 
    


 
2
1
1 1 sin cos ; 2; 2
2
a
a a t t a
 

 
      
 
 
 

 
 
3
2
0
2
3 2 0
1
2
1
1 cos
4
1
2

2
0
a
u
t k
a a k
v
a t
u
t k
v




 





  


     


 

    

 


 

 







loaiï

TH
1
:
0
1
0
1
0
1
x
y
u
v
x
y

 

















 




TH
2
:
1
0
1
0

1
0
x
y
u
v
x
y
 












 










Vậyhệcó4nghiệmnhưtrên       ∎
BÀI22:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
2
4
4 4
4 9
7 7
28
;
2 2
y
x x
x y
x y x y


 




 
 


 

 




Bàigiải:
 
 
2
4
4 4
4 9
7 7 1
28
2
2 2
y
x x
x y x y


 



 
 


 

 



Tacó:
 
 
 
4
4 4
1 8
x y x y
   



23
Mà
 
   
2
2
2
2 2 4 4
. . . .
4
4 4
4 8
2 2
C B S C B S
x y x y x y
x y x y

 
    
 
 
 
 
 
 

Dấu
" "
xảyrakhi
x y

Thếvào
 


2
9
: ;
4
1 0;
9
1
4
14 14
7
ĐK x
x

x x
 
    
 
 

  

Đặt
4 9
2 1
7
x
t

 
  ĐK:
1
2
t
 

 
 
        
 
2
2
14 14 2 1 3
14 14 2 1 4

3 4 14 16 0
8
14 16 0
7
t t x
x x t
t x
t x t x t x
t x t x

  



  





       

      


Với
2
6 5 2
14 12 1 0
14

x t x x x y
 
       

Với
8
7
t x  
2
8 8 46
14 16 2 1
7 14
x x x x y

 
         
 
 

Vậyhệcóhainghiệm
6 5 2
14
x y
 
 
và
8 46
14
x y


  
    ∎
BÀI23:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
8 4 1 4
;
2
cos cos 3.2
5 5
x y
x y
y
x y
x y
 



  



   
 

   
   





Bàigiải:
 
 
8 4 1 4 1
2
cos cos 3.2 2
5 5
x y
x y
y
x y
 



  


   
 

   
   


Xéthàmsố:
 
8 4 1
t

f t t  

 
' 8 ln8 4 0
t
f t
  

Mà
 
0 0
f x y  

Thếvào
 
2
2 cos cos 3.2
5 5
x x
x
 

   
  
   
   

Tacó:
2
3

sin cos 2sin cos cos 4 cos 3
5 10 10 10 10 10
     
 
   
 
 



24
2
2sin 4 1 sin 3 cos 0
10 10 10
Do
  
   
    
   
   

2
4sin 2sin 1 0
10 10
 
   

1 5
sin sin 0
10 4 10

Do
 
 
 
  
 
 

Mặtkhác
2
1 5
cos 1 2sin
5 10 4
 

  

2
2 1 5
cos 2cos 1
5 5 4
 
 
  

Viếtlạiphươngtrình
 
2
:
1 5 1 5

3.2
4 4
x x
x
   
  
 
   
   
   

Lạicó:
1 5 1 5
1
2 2
  
  

  
  
  

Suyra:
1 5 1 5
3.2
4 4
1 5 1 5
3
2 2
x x

x
x x

   
  
 
   
   
   
   
  
  
   
   
   

1 5 3 5
2 2
2
1 5 1
3
2
2
1 5
1 5 3 5
2
2 2
x
x
x

x
x y
x y

 
  


 
 

 
  

 
 
    

 

 
 
  

   
 
  

 
 


 
 

 


Vậyhệcóhainghiệm
2
2
x y
x y
  


 

       ∎
BÀI24:Giảihệphươngtrìnhsau:
 
 
sin sin sin
;
1
x y x y
x y
x y
  




 




Bàigiải:
   
 
sin sin sin 1
1 2
x y x y
x y
  


 



Tacó:
   
1 sin sin cos sin cos
2sin cos 2sin cos
2 2 2 2
x y x x y y
x y x y x y x y
   
   
       

 
       
       
