100 PHƯƠNG TRÌNH,HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 1
H PHNG TRÌNH (Phn I)
1.
  
22
2 2 2
2
xy
y x xy
xy

   





2.
   
22
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
    



  



3.
3 3 2
22
22
2
2
6 3 9 2 0
11
log log 2 0
45
2 4 3
x y y x y
xx
yy
yy

     




  


  


4.
21

21
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    


    



5.
   
22
2
2
32
1
1
3log 2 6 2log 2 1
yx
x
e
y

x y x y








     

6.
2
8
16
yx
xy
xy
x y x y

  




  


7.
3

22
15
4 4 12
x y x y
x xy y xy

    


     


8.
   
2 3 4 6
2
22
2 1 1
x y y x x
x y x

  


   



9.
2

3
2
3
1 6 1
1 6 1
x y y
y x x

    


    


10.
42
22
698
81
3 4 4 0
xy
x y xy x y





     


11.
 
 
3
3
2 3 1
23
xy
xy







12.
 
 
2 1 2 2 1
32
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
    

  



    



13.
7 2 5
22
x y x y
x y x y

   


   


14.
22
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
  


   


15.
 

 
 
22
22
2 5 4 6 2 0
1
23
2
x y x y x y
xy
xy

     


  



16.
22
22
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y

   



   



17.
8
5
x x x y y y
xy

  





18.
22
5
52
2
2
x xy y
yx
x y xy

  


   




19.
 
 
22
22
23
10
y x y x
x x y y







20.
65
62
9
x x y
x y x
x y xy








  


21.

33
42
55
1
x y y x
xy

  





22.
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y


    


   



23.
  
22
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x

     


  


24.
22
2 2 2
6
15
y xy x
x y x









H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 2
25.
  
2
22
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y

  


     


26.
 
 
 
2
2
14

12
x y x y y
x x y y

   


   



27.
  
33
22
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y

   


  


28.
 
 
22

2
3
4 4 7
1
23
xy y x
xy
x
xy

   










29.
5
2 3 4
42
5
32
42
y
yx

x
yx






  









30.
2
3
2
2
2
3
2
29
2
29
xy

x x y
xx
xy
y y x
yy

  





  




31.
3
3
34
2 6 2
y x x
x y y

   


  



32.
2
21
2
log 3log 2
xy
x y e e
xy

  


  



33.
 
 
32
32
12
12
x x x y
y y y x

   



   


34.




22
2
1 1 1
35
0
12
1
x x y y
y
y
x

    



  





35.
 
2
42
39
4 2 3 48 48 155 0
xy
y x y y x




     


36.
22
53
1
125 125 6 15 0
xy
yy




  



37.
32
32
2000 0
500 0
x xy y
y yx x

  


  


38.
2 2 2
23
20
2 4 3 0
x y x y
x x y

  


   



39.

   
22
1 1 2
12
1 2 1 2
2
1 2 1 2
9
xy
xy
x x y y








   


40.
 
 
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1
x x y y
xy


    


   



41.
33
22
9
2 4 0
xy
x y x y




   


42.
 
33
22
82
3 3 1
x x y y
xy


  


  



43.
22
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x

  


  


44.
4 3 2 2
32
1
1
x x y x y
x y x xy


  


  



45.
4 2 2
22
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y

    


   


46.
3 3 3
22
8 27 18
46
x y y
x y x y









47.
22
22
3
1 1 4
x y xy
xy

  


   


48.
 
21
1
x y x y
xy
e e x
e x y




  


  



H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 3
49.
 
12
2
1 4 .5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
    

  



   

50.
2 6 2
2 3 2

x
y x y
y
x x y x y

   



    


51.
2
22
1
22
22
xx
y
y y x y

  



   

52.
22

22
12
12
y x y
x y x y





   


53.
2
53
x y x y y
xy

   





54.
 
22
2
2

14
2 7 2
x y xy y
y x y x y

   


   



55.
22
33
21
22
yx
x y y x




  


56.
2
2
2

2
x x y
y y x








57.
 
 
2
22
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

    



   

58.
22
2

2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x

  


  



59.
3 3 2
44
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y

  


   


60.
22
3 3 3
6

1 19
y xy x
x y x

  






61.
   
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
xy

     


   


62.
22
2
1
2

1
x y xy y
y
xy
x

   


  




63.
 
4 3 3 2 2
22
99
7
x x y y y x x y x
x y x

    





64.

33
22
35
2 3 4 9
xy
x y x y




  



65.



22
12
2
1 1 3 3
yx
xy
x
y x x

  





   


66.
12
12
3
12
16
3
x
yx
y
yx






 











67.
22
22
3
3
3
0
xy
x
xy
yx
y
xy













68.

4 2 4
33
4 2 5
22
xy x
xy
xx
yx


  


  



69.

 
11 10 22 12
4 4 2
3
6 3 2 2 . 5 2 8
x xy y y
y x y x x x

  



    


70.
 
22
2
1
5
57
4 3 3 1
25
xy
x x y x






    



71.
2
4
4
2 2 6 2 2
2 2 6 2 2 8 2

x x y
x x y

   


    


72.
2 2 2
23
20
2 4 3 0
x y x y
x x y

  


   



H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 4
73.
 
 
44
3 3 2 2

240
2 3 4 4 8
xy
x y x y x y




    


74.

3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y

    


    



75.
 
 

 
32
32
2 2 1 1
4 1 ln 2 0
x x y x y
y x y x

    


    


76.
3 2 2
23
3
22
2 2 1 14 2
x y x y xy
x y y x

  


     



77.
  
22
1 1 1
1 1 2
x y y x
xy

   


  


78.
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

   


  



79.

  
22
22
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
xy
xy
x y xy x y

  



     

80.
2
cos cos
3 18 0
x y x y
x y y
  


  


81.

22
4 2 2 2 4 2 2 2
18
208
x y y xy x xy
x y y x y x x y

   


   


82.
1
21
xy y y
xy y y

  


   



83.
32
32
4 3 7

67
x xy y
y x y







84.
32
22
3 49
8 8 17
x xy
x xy y x y

  


   



85.
32
22
2 12 0
8 12

x xy y
yx

  





86.
32
2
3 6 0
3
y y x x y
x xy

   






87.
3 3 2
44
1
44
x y xy

x y x y

  


  


88.
3 3 3
22
27 125 9
45 75 6
x y y
x y x y








89.
44
3 2 2
2
22
xy
x x x y





  


90.
2
4 2 2 2
20
4 3 0
x xy x y
x x y x y

   


   



91.
2 2 2 2
23
2 5 3 4 5 3
x y x xy y
xy
x xy x xy x


  
  



    

92.
22
2
2
1
xy
xy
xy
x y x y

  




  


93.
 
2
5 3 2 4 3
1

5 4 0
xy y xy y
y xy
x
    



   




94.
 
2 3 2
42
5
4
5
12
4
x y x y xy xy
x y xy x


    






   



95.
 
2
31
89
y x y
x y x y

   


   


96.
 
 
 
2 2 3
2
22
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y

xy x y x y

    


   



97.
   
92
4 2 4 2 41
x y x y
x x y y y

   


    


98.
 
2
2
22
4 3 1 3 2
x y x x y y y
x y x y


    


     



99.
 
   
22
2
2 1 3
1 2 3 0
x x y y y
x x y x y

   


    


100.
2 2 2
71
10 1
xy x y
x y y

  





H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 5
CÁC BÀI GII
Bài 1.
Ta có:

  
 
 
22
22
22
2
2 2 2
22
2
xy
xy
xy
y x xy
y x xy x y
xy




   



    







2 2 2 2
3 3 3 3
22
2 2 2 2
x y x y
x y x y
y x x y

   



     



Xét hàm s
 

3
2
t
f t t
trên . Ta có:
 
2
' 2 .ln2 3 0
t
f t t t
    
nên
 
ft
là hàm
đng bin trên . Vy
33
22
xy
x y x y
    
.
Lúc này, h tr thành:
22
1
1
2
xy
xy
xy

xy







  




Vy h có các nghim là
     
; 1;1 , 1; 1xy  

Bài 2: iu kin
,1xy
. Ta có:
   
  
   
22
2 10 0
ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x y x y

x y x y
x xy y
  
     




    
  





   
2 10
ln 1 ln 1
x y x y
x x y y
  



    


D thy rng
,xy
cùng du. Xét hàm s

   
ln 1f t t t  
trên


1; 
.
o hàm:
 
1
'1
11
t
ft
tt

  

. Ta có:
 
' 0 0f t t  
. Vy hàm s đng bin trên
 
1;0
và nghch bin trên
 
0;
.
+) Nu
,xy

cùng âm (tc là cùng thuc
 
1;0
) thì theo tính cht ca hàm s
 
ft
, ta có:
xy
. Thay vào h gii đc nghim
0xy
(loi).
+) Nu
,xy
cùng dng, tng t ta cng loi nt.
+)
0xy
tho mãn h.
Vy nghim ca h là
   
; 0;0xy

Bài 3: Nhn xét: Chc chn không th s dng phép th hay đánh giá. Nhn thy phng trình
th nht ca h cha các hàm riêng bit vi
,xy
(cha
3
,xx
và
32
,,y y y

mà không cha
xy
)
nên ta có th đa phng trình th nht v cùng mt hàm s ri s dng đo hàm đ gii.
iu kin
   
1;1 , 1;3xy  
. T đó suy ra:
 
 
1 2;0x  
và
 
 
3 2;0y   
.
Khai thác phng trình th nht ca h:
    
22
3 3 2 3 3 2
6 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y                
       
22
1 3 1 3 3 3x x y y       
   
   
.
Xét hàm s
   
2 3 2

33f t t t t t   
trên
 
2;0
. o hàm:
   
2
' 3 6 3 2f t t t t t   
.
Ta có:
 
' 0 0 2f t t t     
. Vy trên đon
 
2;0
, hàm s
 
ft
đn điu.
Vy, phng trình th nht ca h tng đng vi
1 3 2x y y x     
.
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 6
Thay vào phng trình th hai, ta có:

22
22
2
2
11

log log 2 0
45
2 4 3
xx
yy
yy

  

  


 


22
2
22
11
log 2
4 5 2 4 3
xx
y y y y

  
    



       

22
2
22
11
log 2
2 4 2 5 2 4 2 2 3
xx
x x x x

  


        






 




 


 
2 2 2 2
2

2 2 2 2
1 1 1 1
1
log 2 *
4
1 2 1 1 2 1
x x x x
x x x x
   
    
     

t
 
 
2
1 0;1x t t  
. Lúc này
 
*
tr thành:
 
 
 
 
 
2
3 2 3 2 3 2
2
11

1
4 1 2 2 4 3 2 2 0
4
22
tt
t t t t t t t t t
tt

              


 
2
17
3 2 2 0 0
3
t t t t t

       
(do điu kin nên đã loi nghim
17
3
t


)
+)
2
13
0 1 0

11
xy
tx
xy
  

    

   


+)
2
1 7 1 2 7
39
tx
  
  
1 2 7 1 2 7
2
33
1 2 7 1 2 7
2
33
xy
xy



   






    



Nghim:
     
1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 2 7
, 1;3 , 1;1 , ; 2 , ;2
3 3 3 3
xy
   
   
   
    
   
   

Bài 4: Phân tích: H cha n là hàm hu t và hàm s m, chúng có tính cht khác nhau nên
chc chn s phi s dng đo hàm. Và cng lu ý luôn, nhng h cha hàm có tính cht khác
nhau thì gn nh 90% s dng đo hàm hoc phng pháp đánh giá.
Cng chéo v theo v và gi mt phng trình ca h ta đc h tng đng:
         
22
11
21

3 1 1 1 3 1 1 1 *
2 2 3 1
xy
y
x x y y
x x x



          



    


Xét hàm s
 
2
31
t
f t t t   
trên .
Hàm s có đo hàm:
 
2
22
1
' 3 .ln3 1 3 .ln3
11

tt
t t t
ft
tt

    

.
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 7
Ta có:
2 2 2
1 1 0t t t t t t t        
. T đây suy ra
 
'0f t t  
.
Vy,
 
ft
đng bin trên . Ta thy phng trình
 
*
có dng
   
11f x f y  
. T đó
suy ra
11x y x y    
. Lúc này h s tng đng vi:
 

       
2
2
1
ln 1 1 1 1 .ln3
1 1 3 1
x
xy
xy
x x x
xx









     

    





Li tip tc xét hàm s
 



2
ln 1 ln3g t t t t   
trên .
Hàm s này có đo hàm
 
2
22
1
1
1
' ln3 ln3
11
t
t
gt
t t t


   
  
.
D thy
2
1
ln3 1
1t



nên
 
'0g t t  
. Nh vy hàm s
 
gt
nghch bin trên .
Mt khác ta li có
 
00g 
nên phng trình
 
có nghim duy nht là
1 0 1xx   
.
Vy nghim ca h là
   
; 1;1xy

Bài 5: Phng trình th nht ca h tng đng vi:
   
22
22
11
xy
x e y e  

Xét hàm s
   
1

t
f t t e
trên


0;
.
Hàm s có đo hàm
   


' 1 0 0;
tt
f t e e t t       
.
T đó suy ra
 
ft
đng bin trên


0;
. Vy phng trình th nht ca h đã cho tng
đng vi:
22
x y x y
   
.
+) Nu
xy

. Thay vào phng trình th hai ca h ta đc:
   
1
3 2 3
3log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x              
.
+) Nu
xy
. Thay vào phng trình th hai ca h ta đc:
       
3 2 3 2
3log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y
          
   
   

         
3 2 3 2
3log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y
        
.
Xét hàm s
     
32
3log 2 2log 1g t t t   
trên
 
1; 
.
Hàm s này có đo hàm:

 
 
 
32
'
2 ln3 1 ln2
gt
tt


.
Ta có:
   
3 2 3 2
ln3 ln2 2 ln3 2 ln2tt
  

mà
   
22
2 ln2 1 ln2tt


nên ta có:
   
32
2 ln3 1 ln2tt


, tc là

 
'0gt
.
Nh vy nên hàm s nghch bin trên
 
1; 
.
Ta li có
 
70g 
. Vy
 
*
có nghim
77yx  
.
Vy nghim ca h phng trình là
     
; 7;7 , 3; 3xy

Cách khác: Trong trng hp
xy
, ta đt
   
32
3log 2 2log 1 6x x u   
thì h tr thành:
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 8
2
32

3
23
18
1 2 3 1
99
12
uu
u
uu
u
x
x



   
     

   
   




Ta li thy hàm s
 
18
99
uu
hu

   

   
   
là hàm nghch bin mà
 
11h 
nên
1u 
là nghim
duy nht ca h
7xy  
.
Bài 6: iu kin:
0; 0x x y  
.
i t phng trình th hai ca h:
 
x y x y x y x y x x        
(1)
Xét hàm s
 
2
f t t t
trên


0;
. ohàm:
 

' 2 1 0f t t  
nên
 
ft
đng bin.
Mt khác (1) có dng


 
f x y f x
nên (1)
x y x y x x     
.
t
 
0t x t
thì
2
y t t
. Thay vào phng trình th nht ca h ta có:

 
 
2
2
2 2 4 3 2
2
8
16 2 2 8 24 0
t t t

t t t t t t t
t

         

 
   
33
2 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t         
.
Vi
2 4,tx  
2y 
.
Vy nghim ca h là
   
; 4;2xy

Cách gii khác: Phng trình th nht ca h tng đng vi:
Phng trình th nht ca h tng đng vi:

    
 
2
24
8
16 2 0 4 4 0
xy x y
xy
x y xy x y x y

x y x y



           





   
 
22
2
4 4 0 4 4 4 0
xy
x y x y x y x y x y
xy

             




Bài 7: iu kin:
10xy  
. Khai thác phng trình th nht:
 
3
1 5 1x y x y    

Ta đt
3
t x y
(điu kin:
1t 
) thì
 
1
tr thành:
3
15tt  
.
D thy rng hàm s
 
3
1f t t t  
đng bin trên


1; 
(vì khi t tng thì
 
ft
tng).
Nh vy phng trình vi n t trên s có nhiu nht mt nghim. Nhn thy t = 2 là mt
nghim ca phng trình.
Vy, ta có:
28t x y   
. Phng trình th hai ca h tng đng vi:

   
4 4 12 8 4 8 4 12x x y y x y x y          
.
H đã cho s tng đng vi h sau:
  
8
8
2 2 2 2 2 1 2 1 36
2 1 2 1 6
xy
xy
x y x y
xy







     
   





  
 
8

8
8
4
4 2 1 81
16
2 1 2 1 9
xy
xy
xy
xy
xy x y
xy
xy







     
  
   

  





Vy nghim ca h là
   
; 4;4xy 

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 9
Bài 8: iu kin
1y
. H đã cho:
 
 
   
2 3 4 6
2
2 2 1
2 1 1 2
x y y x x
x y x

  


   



Nu
0x
thì t (1) suy ra
0y 
, thay vào (2) không tha mãn

0x
.
Chia hai v ca (1) cho
3
0x 
ta có:
3
3
3
2
2
yy
xx
xx
  
(3).
Xét hàm s
 
3
2f t t t
trên có đo hàm
 
2
' 3 2 0f t t  
nên hàm s đng bin trên .
Mt khác (3) có dng
 
2
yy
f f x x y x

xx

    


. Thay vào (2), điu kin
2x
:

     
 
 
2 2 4
2 2 2
2 1 1 2 1 1 3 3 3x x x x x x x x y               

Vy nghim ca h là
 
 
; 3;3xy

Bài 9: iu kin
,1xy
. H đã cho tng đng vi:
 
 
2
2
3
3

22
2
3
3
3
1 6 1
1 6 1
I
6 1 6 1 1
1 6 1
x y y
x y y
x x x y y y
y x x


    
    



        
    





Xét hàm s
 

2
3
61f t t t t
    
trên


1;
.
Hàm s có đo hàm:
   
 
2
3
2
3
1 1 1 1
' 2 6 2
3
2 1 2 1
3. 6
f t t t t
tt
t

      


.
Ta s chng minh rng

 
2
3
1
2
3. 6
t
t


. Tht vy:
 
 
2
3
2
3
1
2 6 . 6 1
3. 6
t t t
t
   

.
iu này hin nhiên đúng do t thuc đon


1;
.

Nh vy,
 


' 0 1;f t t    

 
ft
đng bin trên
 
1;
. Vì đó:
 
11xy  

 
 
2
3
I
1 6 1 2
xy
x x x





    




Nhm đc nghim ca (2) là
2x 
nên ta dùng phng pháp nhân liên hp:
 
 
   
2
3
2 4 1 1 6 2 0x x x        

  
 
2
3
3
22
2 2 0
11
6 2. 6 4
xx
xx
x
xx

     

   

 
 
2
3
3
11
2 2 0
11
6 2. 6 4
xx
x
xx


     


   


 
 
2
3
3
2
11
2 0 3
11
6 2. 6 4

x
x
x
xx





   


   



2x

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 10
(D thy phng trình
 
3
vô nghim do
1
1
11x



và

 
2
3
3
11
4
6 2. 6 4xx


   
)
Vy nghim ca h phng trình là
   
; 2;2xy

Bài 10: Xem phng trình th hai ca h là phng trình bc hai n x, tham s y :
 
22
3 4 4 0x y x y y     

Phng trình này có nghim
 
 
2
22
0 3 4 4 4 0 3 10 7 0
x
y y y y y             

2
7 49
11
39
yy     
(1)
Li xem phng trình th hai là phng trình bc hai n y, tham s x :
 
22
4 3 4 0y x y x x     

Phng trình này có nghim
 
 
2
22
0 4 4 3 4 0 3 4 0
y
x x x x x            


4
4 256
00
3 81
xx     
(2)
T (1) và (2) suy ra
42
49 256 697 698

9 81 81 81
xy    
, mâu thun vi phng trình th nht.
T đó suy ra h đã cho vô nghim
Bài 11: Nhìn h s có
2
và
2
nên ta chia hai v ri cng li:
 
 
3
3
3
3
3
1
1
2 3 1
23
3
13
2
32
y
y
x
x
y
yy

x
xx












  







Xét hàm s
 
3
3f t t t
trên . o hàm:
 
2
' 3 3 0f t t t    

. T đó suy ra hàm
s
 
ft
đng bin trên . iu này cng có ngha là
 
1
2 y
x

.
Thay vào phng trình
 
1
ta đc:
33
2 3 3 2 0y y y y     


   
2
1 2 0 1 2y y y y        
.
+) Vi
1
1 1 1yx
x
    
. +) Vi
11

22
2
yx
x

      
.
Vy nghim ca h là
   
1
; 1;1 , ; 2
2
xy






Bài 12: t
2t x y
thì phng trình th nht tr thành:
 
1
4
5 5. 1 2 0 *
5
t
tt


   



Xét hàm s
 
1
4
5 5. 1 2
5
t
tt
ft


   


trên .
Hàm s có đo hàm:
 
11
44
' 5 .ln5 5.ln . 2 .ln2
55
t
tt
ft



   


. Do
4
ln2 0,ln5 0,ln 0
5
  

nên
 
'0f t t  
. Mt khác ta li có
 
10f 
nên
 
* 1 2 1t x y    
.
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 11
Thay vào phng trình th hai ca h ta có:
 
32
2 3 ln 1 0y y y y     
.
Tip tc xét hàm s
 
 
32
2 3 ln 1g t t t t t     

trên .
Hàm s này có đo hàm
 
 
2
2
2 2 2
2 2 2
21
2 1 2 4 2
' 3 2 3 3 0
1 1 1
t
t t t
g t t t t
t t t t t t

  
       
     

vi mi
t 
nên
 
gt
nghch bin trên . Mt khác
 
10g 
nên suy ra

1y 
,
1
0
2
y
x

  
.
Vy nghim ca h là
   
; 0 ; 1xy
( thi hc sinh gii quc gia 1998 – 1999)
Bài 13: iu kin
7 0, 2 0x y x y   
.
t
 
7 , 2 , 0a x y b x y a b    

22
38
55
a b x y   
. H tr thành:
 
2
2
22

2
5
5
5
38
35
8
2
5 13 0
2
55
55
ab
ab
ab
b
b
b a b
bb
b








  


  
  
  





5 77
5
2
5 77
15 77
2
2
ab
b
b
a


















(tho mãn
0a 
)
(Ta đã loi nghim
5 77
2
b


do điu kin
0b 
).
Ta li có h sau:
2
2
15 77 151 15 77
7
10 77
22
11 77
5 77 51 5 77
2
2
22

xy
x
y
xy




  




   






  

  






Vy nghim ca h đã cho là

 
11 77
; 10 77;
2
xy






Chú ý: Ngoài cách gii trên thì ta còn có mt cách gii khá hay na, áp dng đc rng rãi hn
cho nhiu bài toán h phng trình dng này cng nh phng trình:
Ta có:
 
   
 
72
7 2 5 * 5 7 2 **
72
x y x y
x y x y x y x y x
x y x y
  
          
  
.
Ly (*) tr đi (**) ta đc
25x y x  
. n đây ta th vào phng trình th hai ri rút x

theo y đ th li và gii phng trình ban đu.
Bài 14: Bin đi h nh sau:
     
   
22
22
2 2 1 2 21
3 2 16
2 4 33
1 2 38
xy x y x y
xy x y
x y x y
xy
       

  




   
   




H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 12
      
   

 
22
1 2 1 2 21
I
1 2 38
x y x y
xy
      




   


.
t
1 , 2a x b y   
thì h
 
I
tr thành:
 
 
 
   
22
22
21 21
21

38
2 38 2 80 0
ab a b ab a b
ab a b
ab
a b ab a b a b
     

  



  

       




 
34
10
21
31 3 4
8
10
13
8
34
8

13
34
a
ab
ab a b
ab b
ab
ab
ab
ab
a
ab
ab
b




  



   



   
  






   






  


  





  
















(S d h
10
31
ab
ab





b loi do
 
2
100 4 124a b ab   
).
+) Vi
3 4 , 3 4ab    
thì
3 3, 2 3xy    
.
+) Vi
3 4 , 3 4ab    
thì
3 3 , 3 2xy    
.

Vy nghim ca h là
 
   
; 3 3; 2 3 , 3 3 ; 3 2xy      

Cách gii khác:
Cách 1: Ly phng trình (1) nhân 2, sau đó cng vi phng trình (2) đc
hng đng thc.
Cách 2: Có th rút
16 2
3
y
x
y



, thay vào phng trình th hai gii phng trình bc 4.
Bài 15: iu kin:
20xy
. Vi điu kin này h tng đng vi:
 
 
 
2
22
22
22
2 5 4 6 2 0
5 6 0

22
1
23
1
23
2
2
x y x y
x y x y x y
x y x y
xy
xy
xy
xy

   


     

  
   



   


  


  






22
23
23
22
1
23
1
23
2
2
x y x y
x y x y
x y x y
xy
xy
xy
xy


  
  







  

  






2
2
2
23
23
1
1
1
43
3
8 6 1 0
2
4
2
2
3
3

8 6 1 0
8
4
1
3 3 1 0
33
xy
xy
y
y
y
y
yy
y
x
xy
xy
x
x
yy
yx
y
y





















  


    

    

  





  




  










  









(D thy phng trình
2
3 3 1 0xx  
có
0
, vô nghim)
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 13
Vy nghim ca h là
 

3 1 3 1
; ; , ;
4 2 8 4
xy
   

   
   

Bài 16: D dàng nhn thy n ph:
   
   
 
22
22
22
22
3 4 1
3 4 1
I
3 2 9 8 3
3 3 2 4 3
x x y y
x y x y
x y x y
x x y y

   

   




   

   




t
22
3 , 4a x x b y y   
thì h
 
I
tr thành:
11
3 2 3 0
a b a
a b b
  



  

.
+)
22

3 13
1 3 1 3 1 0
2
a x x x x x

         
.
+)
2
0 4 0 0 4b y y y y        
.
Vy h có 4 nghim
 
3 13 3 13
; ;0 , ; 4
22
xy
   


   
   

Bài 17: iu kin
,0xy
. t
 
, 0; 0a x b y a b   
thì h đã cho tr thành:
   

22
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3
33
5
85
8
5 3 8 4 0
55
ab
a a b b a b
a a b b a b
a b b ab a b a
ab



    



  

     


  



Do
0a 
nên ta có th chia hai v ca phng trình th hai cho
3
a
, ta đc:
22
22
32
5
5
3
2 1 2 0
3 8 4 0
ab
ab
b b b
b b b
a a a
a a a








   

     
   
   
   

     
   

     


2 2 2 2
5 5 (1)
22
2 1 2
33
a b a b
b b b
b a b a b a
a a a

   



           



+) Nu

2ba
. Loi ngay do
0 , 0ab
.
+) Nu
ba
. Lúc này
22
0ab
, trái vi phng trình (1) (loi).
+) Nu
2
3
ba
. Thay vào phng trình (1) ta đc
22
5
5 9 9
9
a a x    
.
Lúc này
5 9 5 4yx    
.
Vy nghim ca h là
   
; 9;4xy

Bài 18: iu kin:
,0xy

. Bin đi h v h đng cp bc hai:
22
2 2 2 2
2 2 2 2
5
5 4 4 4 20
52
2
2 4 5 4 20 25 10 20
2
x xy y
x xy y x xy y
yx
y x xy x xy y
x y xy

  

     
  

  
   
      





  

22
22
22
2 16 3 0
16 29 6 0
5
5
x y x y
x xy y
x xy y
x xy y
   

  



  
  





H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 14
   
22
22
3
3

2
2
16
16
I II
5 5 5
5
5
8
y
y
x
xy
x y x
yy
x xy y







  


  
  




  





D thy (II) vô lí. Gii h (I):
 
2
2
11
I
22
55
xy
yy
xx
y


  

  
  
  




Vy nghim ca h là
     
; 2;1 , 2; 1xy  

Bài 19: Nhn xét rng
0x 
khi và ch khi
0y 
. Vy h có mt nghim là
 
0;0
.
Trng hp
,0xy
. Nhân chéo v theo v nh sau:
 
 
   
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 4
22
2 2 2 2
2 3 20 3
3 17 20 0
23
10 2 3
y x y x y x y x x y
x x y y

y x y x
x x y y y x y x

    

  
  

  

   
  



  
 
 
 
 
 
22
22
2 2 2 2
22
22
22
40
I
23

4 3 5 0
3 5 0
23
II
23
xy
y x y x
x y x y
xy
y x y x
y x y x









  





















Gii h th nht:
 
 
22
3
22
4
2
I
23
2
xy
yx
y x y x
xy













2
3
2
2
3
2
11
22
1
21
2
1
2
2
xy
yy
y y x y x
y
x y y
xy
y
x

y y x y
  

  





  


  


   



   

  










   





Gii h th hai:
 
 
22
22
3
22
3
5
5
5
3
3
3
II
4
23
49
9
xy
xy
xy
y

y x y x
yx
x







  
  
  
  









44
2
44
5 3 5 3 5

3 2 3 2 3
4 5 3 125 3 125

9 3 2 27 2 27
x y y y
y x x
  
   
  
  

  
  
   
  
  

(Hi tt, gii h này không khó)
Vy nghim ca h là
       
4 4 4 4
3 125 3 5 3 125 3 5
; 0;0 , 2;1 , 2; 1 , . ; . , . ; .
2 27 2 3 2 27 2 3
xy
   
    
   
   

Bài 20: iu kin
 

0x x y
.
t
 
6
0
x
aa
xy


thì phng trình th nht tr thành:
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 15
2
1 5 1
2 5 2 2
22
a a a a a
a
        
(tho mãn).
+)
6
2 2 2
x
a x y
xy
    

. Thay vào phng trình th hai, ta có:

22
3 2 9 2 3 9 0y y y y
     
, vô nghim do
63 0   
.
+)
1 6 1
23
22
x
a y x
xy
    

. Thay vào phng trình th hai ta có:
22
24 23 9 23 24 9 0x x x x     
, vô nghim do
' 63 0   
.
Vy h phng trình đã cho vô nghim
Bài 21: T phng trình th hai ca h, ta đánh giá đc
 
, 1;1xy
. Ta có:
 
   
 
 

3 3 2 2
33
42
4 2 4 2
5 0 5 0
55
1
11
x y x y x y x y xy x y
x x y y
xy
x y x y

         

  
  

  


     


 
 
 
 
2 2 2 2
4 2 4 2

5 0 do , 1;1 5 0
11
x y x xy y x y x y x y xy
x y x y

            



     


42
22
1 5 5 1
51
10
22
2
xy
x y x y
xy
xx
xx
x







  
   
   
  

  



  



Vy nghim ca h là
 
5 1 5 1 5 1 5 1
; ; , ;
2 2 2 2
xy
   
   
   
  
   
   

Bài 22: iu kin
0 32x
. Cng v theo v hai phng trình ca h đã cho, ta có:

2
44
32 32 6 21x x x x y y       
. ánh giá hai v ca phng trình này nh sau:
+)
   
2
2
VP 6 21 3 12 12 1y y y      
. Du bng xy ra khi
3y 
.
+) ánh giá v trái bng bt đng thc Cauchy – Schwart (Bu–nhi–a–cp–xki) nh sau:
 
 
 
 
 
22
22
44
32 1 1 32 8
VT 12 2
32 1 1 32 2.8 4
x x x x
x x x x

      





       


Du bng 
 
2
xy ra
 
0;32
16
32
x
x
xx


  



.
T
   
1 , 2 VT = VP 12 16, 3xy    
.
Vy nghim ca h là
   
; 16;3xy

Bài 23: Thay
0x 
vào h thy không tho mãn
0x
. T phng trình th hai ca h ta
rút:
 
2
1
1*
x
y
x


.
Th vào phng trình th nht ca h ta đc:
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 16
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 1
3 4 1 . . 3 4 1
x x x x
x x x x x x x
x x x x
  
   
       
  

  

  
2 2 2 4 2 2 4 2
1 2 1 3 4 1 2 3 1 3 4 1 2 6 4 0x x x x x x x x x x x               

       
22
2 1 2 0 1 2 0 1 2x x x x x x x            
.
Quay li th vào
 
*
, ta có:
+) Vi
1x 
thì
1 0 1yy    
. +) Vi
2x 
thì
35
1
22
yy

   

.
Vy nghim ca h là

   
5
; 1; 1 , 2;
2
xy


  



Bài 24: Thay
0x 
vào phng trình th hai thy không tho mãn nên suy ra
0x 
.
Vi điu kin này, h tng đng vi:
2
2
2
2
2
1
6
6
1
12
5
5
y

yy
y
xx
x
x
y
y
y
x
xx















  







 
I

t
1
,
y
a y b
xx
  
thì h
 
1
tr thành:

 
 
2
2
2
2
2
2
3
5
5
5
6

2
2
2
25
5
3 3 4 0
5 12 0
.6
2
a
a
a
b
b
ba
b
ab
a
a a a
aa
a















  
   



  
   
  






2
2
2
5
2
3
2
37
3 3 4 0
24
a

b
a
b
a do a a a














      








Vi
3 , 2ab
, thay tr li bc đt:

2
1
2
3
2
1
23
2 3 1 0
2
yx
y
yx
x
y
x
xx
x
x









  

  







2
1
1
1
2
2
1
1
2
yx
x
x
x
y
y
x











  
  












Vy nghim ca h là
   
1
; 1;2 , ;1
2
xy





Bài 25: H đã cho tng đng vi:

 

22
22
22
2
5 16 16
5 16 16
5 16 16 8 4 0
2 8 4 0
y x x
y x x
y x x y xy
y y xy

   

   



      
  





 
22
22
5 16 16

5 16 16
2 4 2 0
0 2 4
y x x
y x x
y y x
y y x


   
   



  
   




H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 17
 
  
 
 
2
2
24
0
I II

5 4 4 0
2 4 5 16 16
yx
y
xx
x x x







  
    




Gii h
 
I
ta đc
   
4
; 4;0 , ;0
5
xy






.
Gii h
 
2
24
0
II
4
90
yx
x
y
x










.
Vy nghim ca h là
     
4

; 4;0 , ;0 , 0;4
5
xy






Bài 26: Ta thy giá tr
0y 
không tho mãn phng trình th nht ca h
0y
.
Lúc này h đã cho tng đng vi:
2
2
1
4
2
1
x
xy
y
y
xy
x


  





  



.
t
 
2
1
,0
x
x y a b b
y

   
thì h tr thành:
 
2
44
4
1
11
3
2 2 4 0
2 1 0
a b a b

ab
b
a
ab
bb
bb
   






  
   

     
  




(tho mãn)
Tr li bc đt:
22
2
22
3
1 1 1 2
1

25
1
1 3 2 0
xy
y x y x x x
x
yy
x x x x
y



      

  
   

    


     






Vy nghim ca h là
     
; 1;2 , 2;5xy

Bài 27: Dùng phép th:
 
 
 
 
3 3 2 2 3 3 2 2
2 2 2 2
2 9 2 2 9
33
x y x y xy x y xy x y x y x xy y
x xy y x xy y

          



       


3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
2 3 2 2
22
2 9 8
4 2 3 1
33
x y x y
x y x y x y
y y y y

x xy y x xy y



   

   
   
   
     




11
22
yy
xx
  



  


Vy nghim ca h là
     
; 2;1 , 2; 1xy  

Bài 28: Bin đi h đ đt n ph:

   
 
   
 
 
 
 
 
22
2 2 2 2
22
33
3 2 2 7 3 7
11
33
x xy y x xy y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y

           






         





H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 18
t
 
 
 
 
2
2
2
11
; 2 2a x y b x y a a x y
xy
xy
          


. H tr thành:
 
22
2
2
2
3
3
3 13
3 4 6 4 0
3 3 13
ba

ba
ab
a b a a
aa







  
    
  




   
3
1
22
2 TM không TM
2
2
1 1 1
3
2
x
a x y

aa
b x y
ba
y





  
  


   
   
  








Vy nghim ca h là
 
31
;;
22
xy






Bài 29: iu kin
,0xy
. t
 
, 2 , 0a x b y a b  
thì h tr thành:
22
22
22
22
22
22
10
10 4
42
34
2
3
84
84
10 2
10 2
10 2
3
10

3
3
32
84
84
84
84
b
ba
ba
b
ba
ba
a
a
ba
a
a
ba
ba
ba















     


   


   

















2 2 2

2
2 2 2
10 2 5 1 2 1 2
1 1 661
3 . 3 0 5. 132 0
44
88
5
ba
b a b a b a
a a a
a a a
a


  
  
   
   
   

       

   
  


 
1 661
2

132
5
0
1 661
1 661
66
ba
a
aa
b


















2
2

1 661
331 661
132
8712
331 661
1 1 661
4356
2 66
x
x
y
y











   
















Vy nghim ca h là
 
331 661 331 661
;;
8712 4356
xy






Bài 30: Cng v theo v hai phng trình:
22
3
22
3
11
2
2 9 2 9
xy x y

x x y y


  

   


ánh giá hai v ca phng trình này:
+)
   
33
22
33
1 1 1 1
VT 2 2 2
88
1 8 1 8
xy xy xy
xy



    



   

.

+)
 
 
2
22
VP 2 do 0x y xy x y    
.
Mà ta li có
VT= VP
nên du bng  các đng thc trên phi xy ra, tc là:
   
1 1 0
1
xy
xy
xy
    
  



.
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 19
Th li, ta thy rng
 
1;1
là nghim ca h đã cho.
Vy nghim ca h là
   
; 1;1xy

Bài 31: Nhn thy rng nu s dng phép th thì bc ca phng trình nhn đc s rt ln (c
th là bc 9, ta có th nhm đc mt nghim và vic chng minh phng trình bc 8 nhn
đc (sau khi dùng chia bng s đ Hooc–ne) s rt khó chng minh nó vô nghim). Vì vy vi
bài này chúng ta s dng phng pháp đánh giá:
 
 
     
     
2
3
3
3
32
2 3 2
2 1 2 1
34
I
2 2 3 2
2 6 2
2 2 1 2 2
y x x
y x x
y x x
x y y
x y y
x y y


    

    

   
  

  
   
  

   





+) Nu
2x 
thì t
 
1 2 0y  
và t
 
22y
, mâu thun nên loi.
+) Nu
2x 
thì t
 
1 2 0y  
và t

 
22y
, mâu thun nên cng loi nt.
+) Nu
2x 
thì thay vào ( I ) tìm đc
2y 
.
Vy nghim ca h là
   
; 2;2xy

Bài 32: T phng trình th hai ta đt điu kin
,0xy
.
Phng trình th nht ca h tng đng vi:
xy
e x e y
  

 
1
.
Xét hàm s
 
t
f t e t
trên
 
0;

. o hàm:
 
0
' 1 1 0
t
f t e e    
nên hàm s đng
bin trên
 
0;
. Ta li có
 
1
có dng
   
f x f y x y  
.
Thay vào phng trình th hai ca h ta đc:
2
22
2 1 2 2
2
2
log 1
2
log 3log 2 log 3log 2 0
log 2 4
x
x
x x x x

xx




        






Vy nghim ca h là
     
; 2;2 , 4;4xy

Bài 33: Tr v theo v hai phng trình ca h đã cho ta đc:
 
 
 
  
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2x y x y x y x y x xy y x y x y            


 
 
22
2 2 4 0 0x y x y xy x y x y x y            

(do
     
2 2 2
22
11
2 2 4 2 2 0
22
x y xy x y x y x y           
)
Thay
xy
tr li h ta đc:
 
 
2
3 2 3 2
15
1 1 0
1 2 2 1 0
1
2
xy
xy
x y x y
y y y
y y y y
yy








  
   

   
    
  






Vy nghim ca h là
   
1 5 1 5 1 5 1 5
; 1;1 , ; , ;
2 2 2 2
xy
   
   

   
   

Bài 34: iu kin
2

1x 
. Phng trình th nht ca h tng đng vi:


 
 
22
2 2 2
2
1
1 . 1 1 1 1
1
yy
x x x x y y
yy

        


(do
22
1y y y  
nên
2
10yy  
). Tng t:
 
22
1 1 2y y x x    
.

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 20
Kt hp
   
1 , 2
ta đc h:
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1
11
1 1 1 1
xy
x x y y y x
x x y y
y y x x x x y y



       
  

  
    
  
         



22

2 2 2 2
11
1 1 1 1
x y x y
x y x y
x x y y
x x x x x x x x
   
  


  

  
    
         






0
0
x y x y
x y x y
x x y
  

      



  


(loi
0xy
do
2
1x 
).
Vy
xy
. Thay vào phng trình th nht ca h thy tho mãn và thay vào phng trình
th hai ca h ta đc
 
2
35
01
12
1
y
y
y
  

. D thy rng
0y 
(vì nu
0y 

thì v trái
dng nên nó vô lý). Kt hp vi điu kin cn thc ta đc y < –1.
 
 
22
2
22
2
2
35 35 35
11
12 12 12
1
1
yy
y y y y y
y
y

   
        
   

   


SUY RA

2 2 2
2 2 2 2

35 35 35 35 1225
.2
12 12 12 6 144
y y y y y y y y
     
         
     
     

22
2 2 2
35 1369 37 35 37 35 37
1 1 1 0
12 144 12 12 12 12 12
y y y y y y
      
            
      
      

22
35 49 35 25 5 5 35 3577
0
12 12 12 12 4 3 12
y y y y y y y
   
  
           
  
  

.
(T tng trong đu phi xác đnh rng: không s gii phng trình bc 4, nó có cách gii mà)
Thay li vào phng trình
 
1
ta thy ch có các nghim
55
,
43
yy


tho mãn
 
1
.
Vy nghim ca h là
 
5 5 5 5
; ; , ;
4 4 3 3
xy

   

   
   

Cách gii khác: Vi bài toán này thì vic lng giác hóa s không cho kt qu đp.
Phng trình (1) đc vit li thành:

2
1 35
0
12
1
1
y
y
  

.
Vi điu kin y < –1, ta có th đt
1
cos ;
2
tt
y









thì phng trình trên tr thành:
 
2
1 1 35 1 1 35 35

0 0 sin cos sin cos 0
cos 12 cos sin 12 12
1 cos
t t t t
t t t
t
          

.
n đây có th đt
sin cost t t
đ gii tip.
Bài 35: Nhn thy rng phng trình th hai ca h đã c ý “nhóm” h s ca
2
y
nên ta có ý
tng đa phng trình th hai ca h thành bc hai vi n là
2
y
.
T phng trình th nht suy ra:
22
3 9 48 16 144y x y x      
.
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 21
Thay vào phng trình th hai ca h ta đc:
 
4 2 2
4 2 3 16 48 11 0y x y x x     
.

Xem nh đây là mt phng trình bc hai vi n là
2
y
và tham s là
x
, ta có:
 
2
2
2
' 4 2 3 16 48 11 25 0
y
x x x       
nên phng trình có hai nghim là:
 
2
2 2 3 5yx   
hay chính là
2
14yx

hoc
2
11 4yx
.
+) Nu
2
2
1
14

4
y
y x x

   
. Th vào phng trình th nht ta đc:
2
2 4 2
42
1 2 1
3 9 3 9 2 48 143
4 16
y y y
y y y y y

  
        



 
 
  
2
2
2 2 2
1 2 12 1 2 12 1 2 12 0y y y y y y           

2
2

2
2 11 0 1 2 3 3 3
2 11 0
2 13 0 (VN)
1 2 3 3 3
y y y x
yy
yy
yx


         
     


  
      




(tho mãn)
+) Nu
2
2
11
11 4
4
y
y x x


   
. Th vào phng trình th nht ta đc:
2
2 4 2
42
11 22 121
3 9 3 9 22 48 23
4 16
y y y
y y y y y

  
        



 
    
2
2
2 2 2
1 2 6 2 6 2 6 1 2 6 2 6 1 2 6 0y y y y y y           

 
 
2
2
2 6 1 2 6 0 *
2 6 1 2 6 0 **

yy
yy

   



   


Gii tng phng trình:
 
2
11 6 2 3 3 2
6 2 3
42
*
6 2 3 3 2
6 2 3
2
y
yx
yx

  
      






     



 
2
11 3 2 2 3 6
6 3 2
42
**
2 3 6 3 2
6 3 2
2
y
yx
yx

  
     





    



Nghim ca h là

 
   
; 3 3 ;2 3 1 , 3 3 ; 2 3 1 ,
6 2 3 3 2 6 2 3 3 2
; 2 3 6 , ; 2 3 6 ,
22
3 2 2 3 6 2 3 3 2 6
; 6 3 2 , ; 6 2 3 .
22
xy       
   
   
    
   
   
   
   
   
   
   

H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 22
Bài 36: t
15
5
t
y 
. T phng trình th nht suy ra
 

15 15
1;1 ;
33
yt


   


.
Phng trình th hai ca h tr thành:
53
53
15 15
125 125 6 15 0 3 5 2 0
55
tt
tt
   
      
   
   

 
 
 
2
32
32
1

1 3 6 4 2 0
3 6 4 2 0 1
t
t t t t
t t t


      

   


.
Xét hàm s
 
32
3 6 4 2f t t t t   
trên đon
15 15
;
33




. Hàm s có đo hàm
   
2
2
' 9 12 4 3 2 0f t t t x     

nên hàm s đng bin đon
15 15
;
33




.
Suy ra
32
15
3 6 4 2 12 3 15 0
3
t t t f


      


, nên
 
1
vô nghim.
Vy
15
1
5
ty
  

. Thay vào phng trình th nht ca h ta tìm đc
10
5
x 
.
Vy các nghim ca h là
 
10 15
;;
55
xy





Bài 37: Bin đi h nh sau:
 
32
32
32
32
2000
2000 0
500 *
500 0
x xy y
x xy y
y yx x
y yx x



  
  




  





+) Nu
0x 
, thay vào phng trình th hai ta đc
0y 
, tho mãn h.
+) Nu
32
0 0 0x y yx y     
. Lúc này ta nhân chéo hai v ca h nh sau:

     
3 2 3 2 4 2 2 4 2 2
500 2000 4 4x x xy y y yx x x y y x y        

  
4 2 2 4 2 2 2 2

5 4 0 4 0x x y y x y x y       

22x y x y x y x y         

– Nu
xy
. Thay vào (*) ta đc:
33
500 0x x x x   
, loi.
– Nu
xy
. Thay vào (*) ta đc:
   
3
2
500 0x x x x x     
, loi nt.
– Nu
2xy
. Thay vào ta đc:
 
3 3 3 2
4 1000 1000 0 1000 0y y y y y y y       

iu này không th xy ra do
2
0 , 1000 0yy  
.
– Nu

2xy
. Thay vào (*) ta đc:
 
3 3 2 2
4 1000 3 1000 0 3 1000y y y y y y       
10 30 20 30
33
10 30 20 30
33
yx
yx


  





  



H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 23
Vy h có các nghim là
   
20 30 10 30 20 30 10 30
; 0;0 , ; , ;
3 3 3 3
xy

   


   
   

Bài 38: Thay
0y 
vào h thy không tha mãn nên h tng đng vi:
 
 
 
   
2
4
2
2
22
2
23
2
3
11
11
2
1
2 2 1 1
2 1 1 2
y
xy x y

xy
yy
yy
x x y
xy




   









    
   




T (1)
44
1 0 1 1 1y y y
        
. T (2)

33
1 0 1 1y y y
         
.
Vì vy y ch có th bng –1

1x 
.
Vy nghim ca h là
   
; 1; 1xy

Bài 39: iu kin
1
, 0;
2
xy




. Vi điu kin này suy ra
1
0
4
xy
.
Khai thác phng trình th nht ca h. Áp dng bt đng thc Cauchy – Schwart ta có:
 
2

22
2 2 2 2
22
1 1 1 1 1 1
1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
x y x y
xy

   

     
   

   
     


 
*

n đây ta s chng minh:
 
22
1 1 4
21
12
1 2 1 2
xy

xy






(vi
1
0
4
xy
).
Tht vy
 
  
 
    
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 2
12
1 2 1 2
xy
xy x y x y
xy
xy


        



 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 4x y xy x y xy y x x y         

 
   
22
2 2 2 2
2 2 2 0 2 0x y xy xy xy x y x y xy x y           

   
2
1 2 0x y xy   
, điu này đúng do
 
2
11
0 ; 1 2 1 2. 0
42
x y xy      
.
Vy,
 
1
đúng. Kt hp vi
 

*
suy ra
2
22
1 1 4
12
1 2 1 2
xy
xy







.
Ly cn hai v ta có :
22
1 1 2
12
1 2 1 2
xy
xy



.
Trong bài này, du bng xy ra, tc là
1

0;
2
x y x  
. Nh vy h đã cho tr thành:
       
2 2 1
1 2 1 2 2 1 2 1 2
9 9 81
x y x y x y
x x y y x x x x
  
  
  

  
       
  
  

2
73
1
9 73
1
20
9
81
36
4
xy

xy
xy
xx
x
x







  
  
  


  

  





(tha mãn)
H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 24
Vy nghim ca h là
 
9 73 9 73 9 73 9 73

, ; , ;
36 36 36 36
xy
   
   

   
   
(đ HSG quc gia)
Bài 40: iu kin
1
1,
2
xy
.
Vit h li nh sau:
 
 
   
 
3
3
1 2 2 1 2 1 2 1
3 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1
2 2 2 1 1
x x y y
x x y y
xy
xy



      
   
    
   



   

   



Ta đt
 
2 , 2 1 , 0a x b y a b    

thì h trên tr thành:

   
 
 
2 2 2 2
33
3
33
1 1 1 0
21

2 1 2 1
a a b b a b a b ab
a a b b
ab
a b a b

       

  
  

  


     



 
 
 
22
2
3
3
0 do 1 0
1 1 0
21
21
ab

a b a b ab
ab
a a a
aa
ab



     



  
  
   



  



15
1
2
ab
aa







  



(do
0a 
nên ta đã loi nghim

15
2
a


)

+) Nu
1 2 2 1 1 1; 1a b x y x y         
.
+) Nu
5 1 5 1 1 5 5 5
2 2 1 ,
2 2 2 4
a b x y x y
   
         
.
Vy nghim ca h là

   
1 5 5 5
; 1;1 , ;
24
xy






Lu ý: Có th dùng phng pháp hàm s đ kt lun
2 2 1xy  
.
Bài 41: Bin đi h nh sau:
3 3 3 3 3 2 3 2
2 2 2 2 2 2
9 1 8 3 3 1 6 12 8
2 4 0 6 12 3 3 2 4 0
x y x y x x x y y y
x y x y y y x x x y x y
  
           
  

  
           
  
  

   
   
33
2
2
2
22
12
3
12
3 9 6 0
3 2 3 4 0
2 4 0
xy
xy
xy
yy
y y y y
x y x y

  



  

  
  
  
     


   





3 2 1
1 2 1 2
x y x x
y y y y
   
  
  
  
        
  

Vy nghim ca h là
     
; 2; 1 , 1; 2xy  

Bài 42: Chuyn s 3 t v trái ca phng trình th hai sang v phi:
 
 
 
 
 
2
3 2 2

33
3
22
22
22
22
8 2 8 0
82
8.
3
3
3 3 1
32
32
32
xy
x
x x y y x x
x x y y
x x y
xy
xy
xy
xy




     


  






  
   
  

   







H Vn Diên – THPT Thái Lão – Tài liu v h phng trình Trang 25
 
 
 
 
2
2
2
2
22
2

22
22
22
0
0
3 24
0 3 2 ( )
3 24 0
3 24 0
32
3 24 0
3 6 0
32
32
x
x
x
y loai
x xy
y
x xy
x
xy
x xy
yx
xy
xy












  



  

   
   

  



  
  


  












 
2
2
2
2
2
2
42
2 2 2 4
3 24
3 24
3 24
3 24
26 426 1728 0
3 6 0 3 3 24 6 0
x
x
y
x
y
x
y
x

x
x
xx
x x x x
x












  
  


  
  
      







2
22
4 78 4 78
3 24
33
13 13
11
96
78 78
9
13
13 13
x
xx
y
xx
x
yy
xx
yy








  


  
    
    
  


  
  

  



Vy nghim ca h là
     
4 78 78 4 78 78
; 3;1 , 3; 1 , ; , ;
13 13 13 13
xy
   

  
   
   

Cách gii khác:
Cách 1: a phng trình th nht v dng
33
28x y y x  
và đa phng

trình th hai v
22
36xy
, sau đó nhân hai v đ đa v phng trình đng cp bc 3.
Cách 2: Bình phng h qu nh sau:
       
2 2 2 2
3 3 3 3 2 2 2 2
8 2 8 2 8 2x x y y x x y y x x y y          

Vic còn li ca chúng ta là rút
2
y
t phng trình th hai và th vào phng trình trên. Tìm
xong đc nghim thì phi th li.
( thi d b đi hc khi A nm 2008 – 2009)
Bài 43: Rút y t phng trình th hai và nhân hai v ca phng trình th nht cho 7 ta có:
    
2
2
2 2 2 2
22
7 2 9 6
7 2 9 6
2 3 2 9 6 28 9 2 9 6
7 .2 7 .3 28 7 .9
y x x
y x x
x x x x x x x
y x y y x y


  

  



      
  





  
 
2
2
2
4 3 2
7 2 9 6
7 2 9 6
2 2 1 2 9 27 0
4 24 31 99 54 0
y x x
y x x
x x x x
x x x x

  


  



    
    





2
2 9 6
1
2
9 3 33
7
2
16
4
1
1 9 3 33
3
7
2
7
24
xx
x

y
x
x
y
y
y
x x x












   
   
   




   




     






Vy h có 4 nghim
 
16 1 1 9 3 33
; 2; , ; , ;3
7 2 7 4
xy

   
   


   
   


Bài 44: Bin đi và đt n ph đ gii h: