Khóa luận cấu trúc phức và cấu trúc hermit trên không gian vectơ

Mục lục
Mở đầu 2
1 Các kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Không gian vectơ Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Đại số đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit 13
2.1 Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Cấu trúc Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kết luận 33
1
Lời mở đầu
Như ta đã biết, một không gian vectơ thực V luôn được chứa trong không gian
vectơ phức V
C
= V ⊗
R
C qua ánh xạ α → α ⊗ 1, ∀α ∈ V. Bằng cách trang bị trên
V một tích vô hướng và một cấu trúc hầu phức, ta có thể nghiên cứu các cấu trúc
cảm sinh trên đại số ngoài

∗
V (tương ứng

∗
V
C

) của không gian vectơ thực V
(tương ứng V
C
). Bên cạnh đó, ta có thể nghiên cứu các toán tử tuyến tính trên đại
số ngoài của các không gian cấu trúc như toán tử Hodge, toán tử Lefschetz, toán
tử Lefschetz đối ngẫu và mối quan hệ giữa các toán tử này.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về đại số tuyến tính và đại số đa tuyến
tính, em chọn đề tài "Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit trên không gian vectơ" làm
khóa luận tốt nghiệp đại học.
Khóa luận gồm hai chương nội dung:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, em trình bày các kiến thức
cơ bản về đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính làm cơ sở nghiên cứu chương 2.
Chương 2: Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit. Trong chương này, em trình bày
các khái niệm về cấu trúc hầu phức, cấu trúc Hermit trên một không gian vectơ
thực V, các toán tử Hodge, toán tử Lefschetz và toán tử Lefschetz dối ngẫu trên đại
số ngoài của không gian vectơ V, không gian vectơ V
C
và mối quan hệ giữa các
toán tử này.
Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.
2
Trong quá trình thực hiện khóa luận, em luôn nhận được sự hướng dẫn, giúp
đỡ tận tình của Tiến sĩ Trần Huệ Minh - Giảng viên khoa Toán, trường Đại học
Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
cô. Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa, các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.
3

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ
Giả sử K là một trường.
Định nghĩa 1.1. Tập hợp V khác rỗng được gọi là một không gian vectơ trên K
nếu nó được trang bị hai phép toán gồm:
(a) Phép cộng vectơ:
” + ” :V × V → V
(α, β) → α + β,
(b) Phép nhân vectơ với vô hướng:
” · ” :K × V → V
(a, α) → aα;
Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:
(V1) (α + β) + γ = α + (β + γ),
(V2) ∃0 ∈ V : 0 + α = α + 0 = α,
(V3) ∀α ∈ V, ∃α

∈ V : α + α

= α

+ α = 0,
(V4) α + β = β + α,
(V5) (a + b)α = aα + bα,
4
(V6) a(α + β) = aα + aβ,
(V7) a(bα) = (ab)α,
(V8) 1α = α,
∀α, β ∈ V, a, b ∈ K.
Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô

hướng.
Bốn tiên đề đầu nói rằng V là một nhóm abel đối với phép cộng. Các tiên đề
(V5) - (V7) nói rằng phép nhân với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép
cộng vô hướng, phân phối đối với phép cộng vectơ. Tiên đề (V8) nói rằng phép
nhân đối với vô hướng được chuẩn hóa.
Một không gian vectơ trên K còn được gọi là K-không gian vectơ, hay đơn giản
là một không gian vectơ nếu K đã rõ.
Khi K = R, V được gọi là một không gian vectơ thực. Khi K = C, V được gọi
là một không gian vectơ phức.
Định nghĩa 1.2. Giả sử W
1
, , W
m
là các không gian vectơ con của V. Tập hợp
W
1
+ + W
m
= {α
1
+ + α
m
|α
i
∈ W
i
, i = 1, , m}
hiển nhiên lập nên một không gian vectơ con của V.
Khi đó, không gian vectơ W
1

+ + W
m
được gọi là tổng của các không gian
W
1
, , W
m
. Nó được ký hiệu bởi

m
i=1
W
i
.
Nếu mọi vectơ trong tổng W
1
+ + W
m
đều được viết duy nhất dưới dạng
α = α
1
+ + α
m
, với α
i
∈ W
i
(i = 1, , m) thì W
1
+ + W

m
được gọi là tổng trực
tiếp của các không gian W
1
, , W
m
, và được ký hiệu là W
1
⊕ ⊕ W
m
.
1.2 Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính (hoặc rõ
hơn, một ánh xạ K-tuyến tính), nếu
5
f (α + β) = f (α) + f (β),
f (aα) = a f (α),
với mọi α, β ∈ V và mọi vô hướng a ∈ K.
Ánh xạ tuyến tính cũng được gọi là đồng cấu tuyến tính, hay đồng cấu.
Định nghĩa 1.4. Giả sử V và W là các K-không gian vectơ. Tập tất cả các ánh xạ
tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là L(V, W) (hoặc Hom(V, W)).
Định nghĩa 1.5. Một đồng cấu (tuyến tính) f : V → W đồng thời là một đơn ánh,
toàn ánh, song ánh lần lượt được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu(tuyến
tính).
Định nghĩa 1.6. Một đồng cấu (tuyến tính) từ không gian vectơ V vào chính nó
được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) của V. Một tự đồng cấu của V đồng thời
là đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu của V.
Không gian vectơ tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V). Tập
hợp tất cả các tự đẳng cấu của V được ký hiệu là GL(V).
Định nghĩa 1.7. Không gian V

∗
= L(V, K) các ánh xạ tuyến tính từ V vào K được
gọi là không gian vectơ đối ngẫu của V. Mỗi phần tử của V
∗
được gọi là một dạng
tuyến tính trên V.
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ tuyến tính f
∗
: W
∗
→ V
∗
được gọi là đồng cấu (hay ánh
xạ) đối ngẫu của đồng cấu f : V → W.
Định nghĩa 1.9. Giả sử f là một tự đồng cấu của K-không gian vectơ V. Nếu có
vectơ α  0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị
riêng của f còn α được gọi là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
Định nghĩa 1.10. Giả sử λ là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V. Không
gian vectơ Ker( f − λid
V
) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá
trị riêng λ được gọi là không gian riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
6
1.3 Không gian vectơ Ơclit
Định nghĩa 1.11. Giả sử V là một không gian vectơ thực. Hàm
η : V × V → R
được gọi là song tuyến tính nếu nó tuyến tính với từng biến khi cố định biến còn
lại. Mỗi hàm song tuyến tính như thế được gọi là một dạng song tuyến tính trên V.
Khi đó:
(i) Dạng song tuyến tính η : V × V → R được gọi là đối xứng nếu

η(α, β) = η(β, α), ∀α, β ∈ V.
(ii) η được gọi là dương nếu
η(α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V.
(iii) η được gọi là xác định dương nếu nó dương và
η(α, α) = 0 ⇔ α = 0.
(iv) Một dạng song tuyến tính, đối xứng và xác định dương trên V được gọi là
một tích vô hướng trên V.
Tích vô hướng trên không gian V thường được ký hiệu là , .
Không gian vectơ thực V cùng với một tích vô hướng trên V được gọi là một
không gian vectơ Ơclit.
Định nghĩa 1.12. Hai vectơ α, β ∈ V được gọi là trực giao với nhau, và được ký
hiệu là α ⊥ β, nếu α, β = 0.
Định nghĩa 1.13. Cho V là một không gian vectơ trên trường K. Một ánh xạ tuyến
tính từ V vào V được gọi là một toán tử tuyến tính của của V.
Một toán tử tuyến tính ϕ của V được gọi là một toán tử trực giao nếu ϕ là một
ánh xạ đẳng cự.
7
Định nghĩa 1.14. Cho ϕ là một toán tử tuyến tính của V. Ánh xạ (α, β) → ϕ(α), β
cũng là một dạng song tuyến tính trên V. Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử tuyến
tính ϕ
T
của V sao cho
α, ϕ(β) = ϕ
T
(α), β
với mọi vectơ α, β ∈ V.
Toán tử tuyến tính ϕ
T
được gọi là toán tử liên hợp với ϕ
Định nghĩa 1.15. Giả sử V là một không gian vectơ phức. Một hàm η : V ×V → C

được gọi là một dạng Hermit trên V nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
(i) η tuyến tính đối với biến thứ nhất:
η(α
1
+ α
2
, β) = η(α
1
, β) + η(α
2
, β), ∀α
1
, α
2
, β ∈ V,
η(aα, β) = aη(α, β), ∀a ∈ C, α, β ∈ V.
(ii) η là một hàm liên hợp đối xứng:
η(β, α) = η(α, β), ∀α, β ∈ V,
trong đó η(α, β) là liên hợp phức của η(α, β).
Định nghĩa 1.16. Dạng Hermit η được gọi là một tích vô hướng nếu nó có tính xác
định dương:
η(α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V,
η(α, α) = 0 ⇔ α = 0.
Không gian vectơ phức V cùng với một tích vô hướng đã cho trên V được gọi
là một không gian Unita.
1.4 Đại số đa tuyến tính
1.4.1 Tích tenxơ
Định nghĩa 1.17. Một đại số trên trường K là một K-không gian vectơ V được
trang bị một phép nhân · : V × V → V, (α, β) → αβ thỏa mãn những điều kiện sau:
8

(a) V cùng với phép cộng và phép nhân lập thành một vành.
(b) Các phép nhân với vô hướng và phép nhân của V liên hệ với nhau bởi hệ
thức
(aα)β = α(aβ) = a(αβ),
với mọi a ∈ K, α, β ∈ V.
Định nghĩa 1.18. Giả sử L, M, N là các không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ
ϕ : L × M → N được gọi là song tuyến tính nếu
ϕ(α
1
+ α
2
, β) = ϕ(α
1
, β) + ϕ(α
2
, β),
ϕ(aα, β) = aϕ(α, β),
ϕ(α, β
1
+ β
2
) = ϕ(α, β
1
) + ϕ(α, β
2
),
ϕ(α, aβ) = aϕ(α, β),
với mọi α, α
1
, α

2
∈ L, β, β
1
, β
2
∈ M, a ∈ K. Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính
là một ánh xạ tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến kia.
Gọi F(L × M) là tập hợp tất cả các hàm có giá hữu hạn từ L × M vào trường K,
tức là các hàm chỉ khác 0 tại một số hữu hạn điểm nào đó của L × M. Tập hợp này
lập nên một K-không gian vectơ đối với các phép toán cộng và nhân với vô hướng
được định nghĩa theo giá trị của hàm, cụ thể như sau:
( f + g)(α, β) = f (α, β) + g(α, β),
(a f )(α, β) = a f (α, β),
với mọi f, g ∈ F(L × M), a ∈ K, (α, β) ∈ L × M.
Mỗi phần tử (α, β) ∈ L × M được định nghĩa như sau:
(α, β) :L × M → K,
(α, β) → 1,
(α

, β

) → 0, ∀(α

, β

)  (α, β).
Giả sử f ∈ F(L × M) là hàm chỉ khác 0 trên tập hữu hạn {(α
i
, β
i

)|i ∈ I}, với
f (α
i
, β
i
) = α
i
. Dễ thấy rằng f =

i∈I
a
i
(α
i
, β
i
).
9
Như vậy, một cách trực giác, ta có thể hiểu F(L × M) là tập các tổng hình thức có
giá hữu hạn của các phần tử trong L × M với hệ số trong K.
Gọi H là không gian vectơ con của F(L × M) sinh ra bởi các phần tử có dạng
sau đây:
(α
1
+ α
2
, β) − (α
1
, β) − (α
2

, β),
(aα, β) − a(α, β),
(α, β
1
+ β
2
) − (α, β
1
) − (α, β
2
),
(α, aβ) − a(α, β),
trong đó α, α
1
, α
2
∈ L, β, β
1
, β
2
∈ M, a ∈ K.
Ta gọi không gian vectơ thương F(L × M)/H là tích tenxơ của các không gian
L và M. Nó được ký hiệu bởi L ⊗ M, hoặc chi tiết hơn L ⊗
K
M.
1.4.2 Đại số tenxơ
Với mỗi K-không gian vectơ L, ta xét tích tenxơ
T
q
p

(L) = L
∗
⊗ ⊗ L
∗

p
⊗ L ⊗ ⊗ L

q
.
Định nghĩa 1.19. Mỗi phần tử của không gian T
q
p
(L) được gọi là một tenxơ kiểu
(p, q) hay là một tenxơ p lần thuận biến và q lần phản biến trên không gian L.
Ta có thể đồng nhất T
q
p
(L) với (L ⊗ ⊗ L

p
⊗ L
∗
⊗ ⊗ L
∗

q
). Vì thế, mỗi tenxơ p lần
thuận biến và q lần phản biến được đồng nhất với một ánh xạ đa tuyến tính
L × × L


p
× L
∗
× × L
∗

q
→ K.
Ta xác định được đẳng cấu tuyến tính chính tắc sau:
µ
q
p
: (L
∗
⊗ ⊗ L
∗

p
⊗(L ⊗ ⊗ L

q
) ⊗ (L
∗
⊗ ⊗ L
∗

p

⊗ L ⊗ ⊗ L


q

)
→ (L
∗
⊗ ⊗ L
∗

p+p

⊗ L ⊗ ⊗ L

q+q

)
10
Ta viết gọn đẳng cấu trên dưới dạng
µ
q
p
: T
q
p
(L) ⊗ T
q

p

(L) → T

q+q

p+p

(L).
Xét tổng trực tiếp
T (L ) = ⊕
∞
p,q=0
T
q
p
(L).
Họ các ánh xạ {µ
q
p
|0 ≤ p, q < ∞} xác định một ánh xạ tuyến tính
µ : T (L ) ⊗ T(L) → T (L).
Nói cách khác, T(L) được trang bị một phép nhân định nghĩa như sau:
T (L ) × T(L) → T (L),
(α, β) → µ(α ⊗ β).
Định lý sau đây được kiểm nghiệm không mấy khó khăn.
Định lý 1.20. T (L) là một đại số trên trường K.
Định nghĩa 1.21. T (L) được gọi là đại số tenxơ của không gian vectơ L.
1.4.3 Đại số ngoài
Gọi B
q
là không gian vectơ con của T
q
(L) sinh bởi các phần tử có dạng

α
1
⊗ ⊗ α
q
trong đó α
i
= α
j
với các chỉ số i  j nào đó.
Định nghĩa 1.22. Không gian thương

q
(L) := T
q
(L)/B
q
được gọi là lũy thừa ngoài bậc q của L.
Định nghĩa 1.23. Giả sử M là một K-không gian vectơ. Ánh xạ đa tuyến tính
η : L
(q)
→ M được gọi là thay phiên nếu
η(α
1
, , α
q
) = 0,
11
với mọi α
1
, , α

q
∈ L trong đó α
i
= α
j
với các chỉ số i  j nào đó
Hợp thành của ánh xạ đa tuyến tính chính tắc
t = t
q
: L
(q)
→ T
q
(L),
t (α
1
, , α
q
) = α
1
⊗ ⊗ α
q
và phép chiếu tuyến tính π = π
q
: T
q
(L) →

q
(L) là ánh xạ đa tuyến tính

ξ = ξ
q
: L
(q)
→
q

(L),
ξ(α
1
, , α
q
) = π(α
1
⊗ ⊗ α
q
).
Theo định nghĩa của lũy thừa ngoài, ξ là một ánh xạ thay phiên.
Hơn nữa, cặp (ξ,

q
(L)) có tính phổ dụng sau đây: Với mọi ánh xạ đa tuyến tính
thay phiên η : L
(q)
→ M, trong đó M là một K-không gian vectơ bất kỳ, tồn tại duy
nhất một ánh xạ tuyến tính h :

q
(L) → M làm giao hoán biểu đồ
L

(q)
ξ
//
η
!!
❈
❈
❈
❈
❈
❈
❈
❈

q
(L)
h
{{
✇
✇
✇
✇
✇
✇
✇
✇
✇
M
tức là η = h ◦ ξ.
Dễ thấy rằng B = ⊕

∞
q=0
B
q
là một iđêan của đại số T
(
L). Do đó

(L) := T
∗
(L)/B = ⊕
∞
q=0
T
q
(L)/B
q
= ⊕
∞
q=0

q
(L)
là một đại số trên K.
Định nghĩa 1.24.

(L) được gọi là đại số ngoài của không gian vectơ L.
12
Chương 2
Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit

2.1 Cấu trúc hầu phức
Trong phần này ta quy ước V là không gian vectơ thực hữu hạn chiều.
Định nghĩa 2.1. Một tự đồng cấu I: V → V với I
2
= −id được gọi là một cấu trúc
hầu phức trên V.
Một không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức sẽ có cấu trúc
của không gian vectơ phức. Điều đó thể hiện ở mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2. Nếu I là một cấu trúc hầu phức trên không gian vectơ thực V thì V
có cấu trúc tự nhiên của không gian vectơ phức.
Chứng minh. Ta định nghĩa phép toán ”· ” trên V cho bởi (a + bi) · v = a·v + b · I(v),
trong đó a, b ∈ R, v ∈ V. Vì I là R-tuyến tính và theo giả thiết I
2
= −id nên
((a + ib)(c + di) · v) = (a + bi)((c + di) · v) và đặc biệt i(i · v) = −v.
Dễ dàng kiểm tra được các tiên đề khác của định nghĩa không gian vectơ.
Do đó, V là một C-không gian vectơ. 
Do đó, cấu trúc hầu phức và cấu trúc phức là những khái niệm tương đương
trên các không gian vectơ. Đặc biệt, cấu trúc hầu phức chỉ có thể tồn tại trên một
không gian vectơ thực có số chiều chẵn.
13
Hệ quả 2.3. Một cấu trúc hầu phức bất kỳ trên V đều cảm sinh một hướng tự nhiên
trên V.
Chứng minh. Áp dụng mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh không gian vectơ thực C
n
được trang bị một hướng tự nhiên. Ta giả sử n = 1 và sử dụng hướng tự nhiên trên
C xác định bởi cơ sở (1, i). Hướng này bất biến dưới nhóm các C-tự đẳng cấu tuyến
tính. 
Cho một không gian vectơ thực V, không gian vectơ phức V ⊗
R

C được ký hiệu
là V
C
. Do đó không gian vectơ thực V được chứa trong không gian vectơ phức V
C
qua ánh xạ v → v ⊗ 1. Ta có liên hợp phức trên V
C
xác định bởi (v ⊗ λ) := v ⊗ λ,
v ∈ V, λ ∈ C.
Giả sử V được trang bị một cấu trúc hầu phức I. Khi đó, ta cũng ký hiệu
I : V
C
→ V
C
là mở rộng C-tuyến tính của I lên V
C
, cho bởi I(v ⊗ α) = I(v) ⊗ α. Rõ
ràng, giá trị riêng của I trên V
C
là ±i.
Ứng với các giá trị riêng ±i của I trên V
C
sẽ có các không gian riêng được biểu
diễn như thế nào, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.4. Cho I là một cấu trúc hầu phức trên không gian vectơ thực V và
I : V
C
→ V
C
là mở rộng C-tuyến tính của nó. Khi đó, ta gọi các không gian riêng

ứng với các giá trị riêng ±i tương ứng của nó là V
1,0
và V
0,1
, tức là:
V
1,0
= {v ∈ V
C
|I(v) = i · v} và
V
0,1
= {v ∈ V
C
|I(v) = −i · v}.
Ta chứng minh được không gian vectơ phức V
C
là tổng trực tiếp của các không
gian riêng V
1,0
và V
0,1
.
Mệnh đề 2.5. Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu
phức I. Khi đó:
V
C
= V
1,0
⊕ V

0,1
14
Liên hợp phức trên V
C
cảm sinh một R-đẳng cấu tuyến tính từ V
1,0
vào V
0,1
.
Chứng minh. Chứng minh khẳng định 1:
∀v ∈ V ta có v =
1
2
(v − iI(v)) +
1
2
(v + iI(v))
Ta có: I(
1
2
(v − iI(v))) =
1
2
(I(v) + iv) = i(
1
2
(v − iI(v)))
⇒
1
2

(v − iI(v)) ∈ V
1,0
Chứng minh tương tự có
1
2
(v + iI(v)) ∈ V
0,1
Do đó v ∈ V
1,0
+ V
0,1
⇒ V
C
= V
1,0
+ V
0,1
Dễ thấy V
1,0
∩ V
0,1
= {0} ⇒ V
C
= V
1,0
⊕ V
0,1
Chứng minh khẳng định 2:
Ta thấy V
1,0

là tập hợp các phần tử dạng v − iI(v), v ∈ V.
Với mọi w ∈ V
1,0
, ta chỉ cần chọn v =
1
2
w. Chiều ngược lại định nghĩa được chứng
minh ở trên. Khi đó phép lấy liên hợp biến V
1,0
vào V
0,1
. Cụ thể ta viết v = x + iy,
x, y ∈ V thì
(v − iI(v)) = (x − iy + iI(x) + I(y)) = (v + iI(v)).

Luôn tồn tại hai cấu trúc hầu phức trên V
C
. Một được đưa ra bởi I và một được
đưa ra bởi i. Chúng tr ùng nhau trên V
1,0
nhưng lại khác nhau về dấu trên V
0,1
. Rõ
ràng, V
1,0
và V
0,1
là các không gian con phức của V
C
đối với cả hai cấu trúc hầu

phức trên.
Do không gian vectơ đối ngẫu V
∗
của V cũng là một không gian vectơ thực, ta
cũng có thể trang bị trên V
∗
một cấu trúc hầu phức. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.6. Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu
phức I. Khi đó không gian đối ngẫu V
∗
= Hom
R
(R, V) có một cấu trúc hầu phức
tự nhiên cho bởi I( f )(v) = f (I(v)). Cấu trúc này cảm sinh phân tích trực tiếp
(V
∗
)
C
= Hom
R
(V, C) = (V
C
)
∗
được cho bởi
(V
∗
)
1,0
= { f ∈ Hom

R
(V, C)| f (I(v)) = i f (v)} = (V
0,1
)
∗
(V
∗
)
0,1
= { f ∈ Hom
R
(V, C)| f (I(v)) = −i f (v)} = (V
1,0
)
∗
15
Chú ý rằng (V
∗
)
1,0
= Hom
C
((V, I), C).
Nếu V là không gian vectơ thực d chiều, khai triển đại số ngoài của V có dạng

∗
V =
d

k=0

k

V
Tương tự,

∗
V
C
là ký hiệu đại số ngoài của không gian vectơ phức V
C
thì

∗
V
C
=
d

k=0
k

V
C
(2.1)
Hơn nữa,

∗
V
C
=


V ⊗
R
C và

∗
V là không gian vectơ con thực của

∗
V
C
bất biến đối với phép lấy liên hợp phức.
Nếu V được cung cấp một cấu trúc hầu phức I thì số chiều d của nó là số thực
chẵn, d = 2n, và V
C
có khai triển V
C
= V
1,0
⊕ V
0,1
với V
1,0
và V
0,1
là không gian
vectơ phức n chiều.
Định nghĩa 2.7. Ta định nghĩa

p,q

V :=

p
V
1,0
⊗
C

q
V
0,1
,
trong đó tích ngoài của V
1,0
và V
0,1
được lấy như tích ngoài của các không gian
vectơ phức. Một phần tử α ∈

p,q
V được gọi là song bậc (p, q).
Mệnh đề 2.8. Cho một không gian vectơ thực V được trang bị một cấu trúc hầu
phức I, ta có:
i)

p,q
V là không gian vectơ con của

p+q
V

C
.
ii)

k
V
C
=

p+q=k

p,q
V.
iii) Liên hợp phức trên

∗
V
C
cảm sinh một C-(phản) đẳng cấu tuyến tính

p,q
V 

q,p
V, tức là

p,q
V =

q,p

V.
iv) Tích ngoài là song bậc (0, 0), tức là (α, β) → α ∧ β là một ánh xạ từ

p,q
V ×

r,s
V tới không gian con

p+r,q+s
V.
16
Chứng minh. Cho v
1
, v
2
, , v
n
∈

1,0
V = V
1,0
và w
1
, w
2
, , w
n
∈


0,1
V = V
0,1
là
các C-cơ sở. Khi đó v
J
1
⊗w
J
2
∈

p,q
V với J
1
= {i
1
< < i
p
} và J
2
= { j
1
< < j
q
}
là một cơ sở của

p,q

V.
Ta đã biết rằng tổng trực tiếp V
C
= W
1
⊕ W
2
cảm sinh ra tổng trực tiếp

k
V
C
=

p+q=k

p
W
1
⊗

q
W
2
. Từ đó ta có (i) và (ii).
Vì w
1
∧ w
2
= w

1
∧ w
2
nên khẳng định (iii) được suy ra từ V
1,0
= V
0,1
. Khẳng
định (iv) có được do V
C
= W
1
⊕ W
2
. 
Bất kỳ vectơ v ∈ V
C
đều có thể được viết dưới dạng v = x + iy với x, y ∈ V. Giả
sử z
i
=
1
2
(x
i
− iy
i
) ∈ V
1,0
là một C-cơ sở của V

1,0
với x
i
, y
i
∈ V. Từ I(z
i
) = iz
i
, ta tìm
được y
i
= I(x
i
) và x
i
= −I(y
i
). Hơn nữa, x
i
, y
i
∈ V là một cơ sở thực của V, và do
đó ta có một cơ sở của không gian vectơ phức V
C
. Một cơ sở tự nhiên của không
gian vectơ phức V
0,1
được cho bởi z
i

=
1
2
(x
i
+ iy
i
).
Ngược lại, nếu v ∈ V thì
1
2
(v − iI(v)) ∈ V
1,0
. Do đó, nếu x
i
, y
i
:= I(x
i
) là một
cơ sở của không gian vectơ thực V thì z
i
=
1
2
(x
i
− iy
i
) là một cơ sở của không gian

vectơ phức V
1,0
.
Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.9. Cho bất kỳ m  dim
C
V
1,0
, ta có
(−2i)
m
(z
1
∧ z
1
) ∧ ∧ (z
m
∧ z
m
) = (x
1
∧ y
1
) ∧ ∧ (x
m
∧ y
m
)
Khi m = dim
C

V
1,0
, ta có dạng thể tích định hướng dương đối với hướng tự nhiên
của V.
Chứng minh. Sử dụng hệ quả (2.3) và quy nạp theo m ta được điều phải chứng
minh. 
Ta cũng có một kết quả tương tự trên V
∗
đối với cơ sở đối ngẫu. Cho x
i
, y
i
là
cơ sở của V
∗
đối ngẫu với x
i
, y
i
. Khi đó, z
i
= x
i
+ iy
i
và z
i
= x
i
− iy

i
là các cơ sở
của V
1,0∗
và V
0,1∗
đối ngẫu với cơ sở z
i
 và z
i
 tương ứng. Ta có công thức
(
i
2
)
m
(z
1
∧ z
1
) ∧ ∧ (x
m
∧ y
m
) = (x
1
∧ y
1
) ∧ ∧ (x
m

∧ y
m
).
17
Chú ý rằng I(x
i
) = −y
i
và I(y
i
) = x
i
. Ta sử dụng phép đẳng cấu tự nhiên

k
V
∗
 (

k
V)
∗
cho bởi (α
1
∧ ∧ α
k
)(v
1
∧ ∧ v
k

) = det(α
j
(v
j
))
i, j
.
Định nghĩa 2.10. Đối với khai triển tổng trực tiếp (1.1) và mệnh đề 2.8(ii) ta định
nghĩa các phép chiếu tự nhiên

k
:

∗
V
C
−→

k
V
C
và

p,q
:

∗
V
C
−→


p,q
V
Hơn nữa, I :

∗
V
C
→

∗
V
C
là toán tử tuyến tính tác động trên

p,q
V bằng cách
nhân với i
p−q
, tức là
I =

p,q
i
p−q
·

p,q
Toán tử


k
không phụ thuộc vào cấu trúc hầu phức nhưng các toán tử I và

p,q
lại phụ thuộc I. Chú ý rằng I là mở rộng của cấu trúc hầu phức I trên V
C
nhưng I
không phải là một cấu trúc phức hầu khắp. Mặt khác, I được định nghĩa trên không
gian vectơ thực V, nên I là một tự đẳng cấu của đại số ngoài thực

∗
V.
Ta ký hiệu các toán tử tương ứng trên không gian đối ngẫu

∗
V
∗
C
cũng bởi

k
,

p,q
và I. Chú ý rằng I(α)(v
1
, , v
k
) = α(I(v
1

), , I(v
k
)) với α ∈

k
V
∗
C
và v
i
∈ V
C
.
2.2 Cấu trúc Hermit
Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều, tức là V là một không gian
vectơ thực và ,  là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương.
Định nghĩa 2.11. Một cấu trúc hầu phức I trên V được gọi là tương thích với tích
vô hướng ,  nếu I(v), I(w) = v, w với mọi v, w ∈ V, tức là I ∈ O(V, , ).
Ví dụ sau đây chỉ ra sự tồn tại của cấu trúc hầu phức tương thích với tích vô
hướng trên một không gian vectơ thực hai chiều định hướng.
Ví dụ 1. Cho V là không gian vectơ thực hai chiều đã định hướng cố định. Nếu , 
là một tích vô hướng, thì tồn tại một cấu trúc hầu phức tự nhiên I trên V tương thích
18
với nó xác định như sau: Cho bất kỳ 0  v ∈ V, vectơ I(v) ∈ V là xác định duy
nhất bởi ba điều kiện sau: v, I(v) = 0, ||I(v)|| = ||v|| và {v, I(v)} có hướng dương.
Điều này tương đương với I là phép quay góc
π
2
. Do đó, I
2

= −id, vậy I là cấu trúc
hầu khắp. Ta thấy I ∈ S O(V), và vì vậy I tương thích với , .
Hai tích vô hướng ,  và , 

được gọi là tương đương bảo giác nếu tồn tại một
vô hướng λ (dương) sao cho , 

= λ · , . Rõ ràng, hai tích vô hướng tương đương
bảo giác cùng xác định một cấu trúc hầu phức. Ngược lại, cho cấu trúc phức hầu
phức bất kỳ I, luôn tồn tại một tích vô hướng ,  liên kết với I.
Bây giờ ta xét một không gian vectơ Ơclit (V, , ), I có số chiều tùy ý được
trang bị một cấu trúc hầu phức tương thích I. Ta định nghĩa dạng cơ bản liên kết
với (V, , , I) như sau:
Định nghĩa 2.12. Dạng cơ bản liên kết với (V, , ) là ánh xạ ω : V × V → R được
cho bởi:
ω := −(), I() = I(), ()
Mệnh đề sau chỉ ra dạng cơ bản liên kết với (V, , ), I là một song bậc (1, 1).
Mệnh đề 2.13. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit được trang bị một cấu trúc
hầu phức tương thích. Khi đó, dạng cơ bản ω của nó là dạng thực kiểu (1, 1), tức
là ω ∈

2
V
∗
∩

1,1
V
∗
.

Chứng minh. Vì
v, I(w) = I(v), I(I(w)) = −I(v), w = −w, I(v)
với mọi v, w ∈ V, nên ω(v, w) = −ω(w, v). Từ đó suy ra ω là thay phiên.
Dễ thấy ω là song tuyến tính, do vậy ω ∈

2
V
∗
.
Vì
(Iω)(v, w) = ω(I(v), I(w)) = I(I(v)), I(w) = ω(v, w),
ta tìm được I(ω) = ω, tức là ω ∈

1,1
V
∗
C
. 
19
Chú ý rằng hai trong ba cấu trúc {, , I, ω} xác định cấu trúc còn lại.
Ta có thể mở rộng tích vô hướng thành một dạng Hermit xác định dương trên
V
C
. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.14. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit được trang bị một cấu trúc
hầu phức tương thích. Dạng (, ) := ,  − i · ω là một dạng hermit dương trên (V, I).
Chứng minh. Rõ ràng dạng (, ) là R-tuyến tính và (v, v) = v, v > 0 với mọi
0  v ∈ V.
Ta có:
(I(v), w) = I(v), w − i · ω(I(v), w)

= I(I(v)), I(w) + i · v, w
= i · (i · v, I(w) + v, w) = i · (v, w).
nên (, ) là tuyến tính đối với biến thứ nhất.
Hơn nữa (v, w) = (w, v). Do đó (, ) là nửa tuyến tính đối với biến thứ hai. 
Ta cũng có thể mở rộng của tích vô hướng ,  đến một dạng hermit xác định
dương , 
C
trên V
C
được xác định bởi
v ⊗ λ, w ⊗ µ
C
:= (λµ) · v, w,
với v, w ∈ V và µ, λ ∈ C.
Bổ đề 2.15. Nếu (V, , ) là không gian vectơ Ơclit có cấu trúc hầu phức tương
thích I thì V
C
= V
1,0
⊕ V
0,1
là sự phân tích trực giao đối với tích hermit , 
C
.
Chứng minh. Cho v − iI(v) ∈ V
1,0
và w + iI(w) ∈ V
0,1
với v, w ∈ V. Khi đó, dễ dàng
tính được v − iI(v), w + iI(w)

C
= 0. 
Tiếp theo, ta nghiên cứu mối quan hệ giữa dạng Hermit (, ) và tích Hermit , 
C
.
Bổ đề 2.16. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit có cấu trúc hầu phức tương
thích I. Qua phép đẳng cấu chính tắc (V, I)  (V
1,0
, i) ta có
1
2
(, ) = , 
C
|
V
1,0
.
20
Chứng minh. Đẳng cấu tự nhiên (V, I) → (V
1,0
, i) được cho bởi v →
1
2
(v − iI(v)).
Sử dụng định nghĩa của(, ), ta có:
(v − iI(V)), (v

− iI(v

))

C
= v, v

 + iv, I(v

) − iI(v), v

 + I(v), I(v

)
= 2v, v

 + 2iv, I(v

) = 2(v, v

).

Cho z
1
, , z
n
là một C-cơ sở của V
1,0
. Viết z
i
=
1
2
(x

i
− I(x
i
)) với x
i
∈ V. Khi đó
x
1
, y
1
:= I(x
1
), , x
n
, y
n
:= I(x
n
) là một R-cơ sở của V và x
1
, , x
n
là một C-cơ sở
của (V, I). Dạng hermit , 
C
trên V
1,0
ứng với cơ sở z
i
được cho bởi ma trận hermit,

1
2
(h
i j
). Cụ thể:

n

i=1
a
i
z
i
,
n

j=1
b
j
z
j

C
=
1
2
n

i, j=1
h

i j
a
i
b
j
Sử dụng bổ đề, ta thu được (x
i
, y
j
) = h
i j
. Vì (, ) là dạng hermit trên (V, I) suy ra
(x
i
, y
j
) = (x
i
, ix
j
) = −ih
i j
và (y
i
, y
j
) = (ix
i
, ix
j

) = (x
i
, x
j
) = h
i j
.
Từ định nghĩa của (, ), ta có ω = −Im(, ) và ,  = Re(, ). Vì vậy ω(x
i
, x
j
) =
ω(y
i
, y
j
) = −Im(h
i j
), ω(x
i
, y
j
) = Re(h
i j
), x
i
, x
j
 = y
i

, y
j
 = Re(h
i j
) và x
i
, y
j
 =
Im(h
i j
). Do đó:
ω = −

i< j
Im(h
i j
)(x
i
∧ x
j
+ y
i
∧ y
j
) +
n

i, j=1
Re(h

i j
)x
i
∧ y
j
Sử dụng z
i
∧ z
j
= (x
i
+ iy
i
) ∧ (x
j
− iy
j
) = x
i
∧ x
j
− i(x
i
∧ y
j
+ x
j
∧ y
i
) + y

i
∧ y
j
ta
được
ω =
i
2
n

i, j=1
h
i j
z
i
∧ z
j
.
Nếu x
1
, y
1
, , x
n
, y
n
là cơ sở trực chuẩn của V đối với , , tức là ,  =

n
i=1

x
i
⊗
x
i
+

n
i=1
y
i
⊗ y
i
thì
ω =
i
2
n

i=1
z
i
∧ z
i
=
n

i=1
x
i

∧ y
i
21
Cơ sở trực chuẩn như trên là luôn tồn tại. Thật vậy, chọn x
1
 0 tùy ý và xác
định y
1
= I(x
1
) trực giao với x
1
. Khi đó tiếp tục quá trình trên với phần bù của
x
1
R ⊕ y
1
R, ta sẽ chọn được cơ sở cần tìm.
Định nghĩa 2.17. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit và I là cấu trúc hầu phức
tương thích, ω là dạng cơ bản liên kết với (V, , ), I. Khi đó, toán tử Lefschetz
L :

∗
V
∗
C
→

∗
V

∗
C
được định nghĩa bởi α → ω ∧ α.
Nhận xét. Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:
i) L là mở rộng C-tuyến tính của toán tử thực

∗
V
∗
→

∗
V
∗
, α → ω ∧ α.
ii) Toán tử Lefschetz là song bậc (1, 1), tức là
L


p,q
V
∗

⊂

p+1,q+1
V
∗
Hơn nữa toán tử Lefschetz cảm sinh các song ánh
L

k
:

k
V
∗
−→

2n−k
V
∗
,
với mọi k  n, trong đó dim
R
V = 2n. Từ khái niệm toán tử Lefschetz ta có thể định
nghĩa toán tử đối ngẫu Λ của nó.Để xác định và mô tả Λ chúng ta nhắc lại định
nghĩa toán tử Hodge* trong không gian vectơ thực.
Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit định hướng có chiều d, khi đó ,  xác
định tích vô hướng trên

k
V được xác định như sau: Nếu e
1
, , e
d
∈ V là một cơ
sở trực chuẩn của V, khi đó e
I
∈


k
V với I = {i
1
< < i
k
} là một cơ sở trực
chuẩn của

k
V. Gọi vol ∈

d
V là phần tử thể tích của V có chuẩn 1 được cho bởi
vol = e
1
∧ ∧ e
d
. Khi đó toán tử Hodge * được xác định bởi
α ∧ ∗β = α, β · vol
với α, β ∈

∗
V. Cách định nghĩa trên hoàn toàn được xác định vì tích ngoài là một
dạng song tuyến tính không suy biến

k
V ×

d−k
V →


d
V = vol · R. Ta dễ thấy
rằng ∗ :

k
V →

d−k
V.
Mệnh đề sau đây cho ta những tính chất quan trọng nhất của toán tử Hodge *.
22
Mệnh đề 2.18. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit định hướng chiều d. Giả sử
e
1
, , e
d
là cơ sở trực chuẩn của V và vol = e
1
∧ ∧ e
d
∈

d
V. Toán tử Hodge *
liên kết với (V, , , vol) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Nếu {i
1
, , i
k

, j
1
, , j
d−k
} = {1, , d} ta có
∗(e
i
1
∧ ∧ e
i
k
) =  · e
j
1
∧ ∧ e
j
d−k
,
trong đó  = sgn(i
1
, , i
k
, j
1
, , j
d−k
). Đặc biệt ∗1 = vol.
ii) Toán tử ∗ là tự liên hợp theo quy tắc: Cho α ∈

k

V ta có
α, ∗β = (−1)
k(d−k)
∗α, β.
iii) Toán tử ∗ là đối hợp theo quy tắc:
(∗|
∧
k
V)
2
= (−1)
k(d−k)
.
iv) Toán tử Hodge ∗ là phép đẳng cự trên (

∗
V, , )
Trong phần này chúng ta sẽ thường dùng d = 2n và ∗, ,  được xét trên không
gian đối ngẫu

∗
V
∗
.
Ta có khái niệm toán tử Lefschetz đối ngẫu được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.19. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit và I là cấu trúc hầu phức
tương thích, L :

∗
V

∗
→

∗
V
∗
là toán tử Lefschetz.Toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ
là toán tử Λ :

∗
V
∗
→

∗
V
∗
liên hợp với L đối với , , tức là ∀α, Λα được xác
định duy nhất bởi điều kiện
Λα, β = α, Lβ,
với mọi β ∈

∗
V
∗
.
Mở rộng C-tuyến tính

∗
V

∗
C
→

∗
V
∗
C
của toán tử Lefschetz đối ngẫu cũng sẽ
được ký hiệu là Λ.
23
Nhận xét. Do I cảm sinh một hướng tự nhiên trên V (Hệ quả 2.3). Vì vậy, toán
tử Hodge * hoàn toàn được xác định. Sử dụng một cơ sở trực chuẩn x
1
, y
1
=
I(x
1
), , x
n
, y
n
= I(x
n
) như trên, bằng tính toán trực tiếp ta được:
n! · ω
n
= vol,
trong đó ω là dạng cơ bản liên kết với (V, , , I).

Bổ đề 2.20. Toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ là bậc −2, tức là Λ(

k
V
∗
) ⊂

k−2
V
∗
.
Hơn nữa, ta có Λ = ∗
−1
◦ L ◦ ∗.
Chứng minh. Vì L có bậc 2 và

∗
V
∗
= ⊕

k
V
∗
là tổng trực tiếp trực giao nên
toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ là bậc −2, tức là Λ(

k
V
∗

) ⊂

k−2
V
∗
.
Theo định nghĩa của toán tử Hodge ∗ ta có
α, Lβ·vol = Lβ, α·vol = Lβ∧∗α = ω∧β∧∗α = β∧(ω∧∗α) = β, ∗
−1
(L(∗α))·vol.

Ta có thể mở rộng , 
C
thành một dạng Hermit xác định dương trên V
∗
C
. Nói
cách khác, ta có thể mở rộng ,  trên

∗
V
∗
tới dạng hermit xác định dương trên

∗
V
∗
C
và nó cũng sẽ được ký hiệu là , 
C

.
Toán tử Hodge ∗ liên kết với (V, , , vol) được mở rộng C-tuyến tính tới
∗ :

k
V
∗
C
→

2n−k
V
∗
C
. Trên

∗
V
∗
C
, hai toán tử có quan hệ với nhau bởi
α ∧ ∗β = α, β
C
· vol, ∀α, β ∈
∗

V
∗
C
.

Rõ ràng, toán tử Lefschetz L và đối ngẫu Λ của nó trên

∗
V
∗
C
cũng liên hợp với
nhau đối với , 
C
. Hơn nữa Λ = ∗
−1
◦ L ◦ ∗ trên

∗
V
∗
C
.
Bổ đề 2.21. Cho , 
C
, Λ và ∗ như trên. Khi đó:
i) Phân tích

k
V
∗
C
=



p,q
V
∗
là trực giao đối với , 
C
.
ii) Toán tử Hodge ∗ là các ánh xạ từ

p,q
V
∗
tới

n−q,n−p
V
∗
, trong đó
n = dim
C
(V, I).
24
iii) Toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ là song bậc (−1, −1), tức là
Λ(

p,q
V
∗
) ⊂

p−1,q−1

V
∗
.
Chứng minh. Khẳng định (i) được suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.15. Khẳng định (ii)
sử dụng α∧∗β = α, β
C
·vol và γ
1
∧γ
2
= 0 với γ
i
∈

p
i
,q
i
V
∗
, p
1
+ p
2
+ q
1
+ q
2
= 2n
nhưng (p

1
+ p
2
, q
1
+ q
2
)  (n, n). Khẳng định (iii) được suy ra từ (i) và Λ là liên
hợp của L đối với , 
C
. 
Định nghĩa 2.22. Ánh xạ H :

∗
V →

∗
V được gọi là toán tử đếm xác định bởi
H|

k
V
= (k − n) · id, trong đó dim
R
V = 2n. Rõ ràng:
H =
2n

k=0
(k − n) · Π

k
.
Với ký hiệu [A, B] = A ◦ B − B ◦ A, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.23. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit được trang bị một cấu trúc
hầu phức tương thích I. Khi đó, các toán tử tuyến tính sau trên

∗
V
∗
: Toán tử
Lefschetz liên hợp với L, toán tử đối ngẫu Λ của nó và toán tử đếm được H thỏa
mãn:
i) [H, L] = 2L,
ii) [H, Λ] = −2Λ,
iii) [L, Λ] = H.
Chứng minh. i) Cho α ∈

k
V
∗
. Khi đó:
[H, L](α) = (k + 2 − n)(ω ∧ α) − ω ∧ ((k − n)α) = 2ω ∧ α.
ii) Tương tự, [H, Λ](α) = (k − 2 − n)(Λα) − Λ((k − n)α) = −2Λα.
Để chứng minh khẳng định (iii), ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều
của V. Giả sử, ta có phân tích V = W
1
⊕ W
2
tương thích với tích vô hướng và cấu
trúc hầu phức, tức là (V, , , I) = (W

1
, , 
1
, I
1
) ⊕ (W
2
, , 
2
, I
2
). Khi đó

∗
V
∗
=

∗
W
∗
1
⊗

∗
W
∗
2
và đặc biệt


2
V
∗
=

2
W
∗
1
⊕

2
W
∗
2
⊕ W
∗
1
⊗ W
∗
2
.
25