Tuyển tập Hệ phương trình giải bằng phương pháp biến đổi tương đương ( Trích từ các đề thi thử Đại Học)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.86 MB, 35 trang )
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
PHẦN 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
x4
y 2 x2
Bài 1. Giải hệ phương trình y
xy 3 y x 1 0
( x, y ).
Bài 2 Giải hệ phương trình:
x 1 x 3 x y x x 3y y 1
.
3 xy 2 4 4 x 2 2 y x
Bài 3 Giải hệ phương trình:
2 x y 1 x y 1
.
3 2
x y 7
Bài 4 Giải hệ phương trình:
x 2 y 2 xy 4 y 1 0
.
2
y 7 x y 2(1 x 2 )
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 1
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Bài 5 Giải hệ phương trình:
x 2 2 y 1 x 3 20 y 28
.
2 x 2y y x2 x
Bài 6 Giải hệ phương trình:
x 3 4 y y 3 16 x
.
2
2
1 y 5(1 x )
Hd
x 3 4 y y 3 16 x
2
2
1 y 5(1 x )
(1)
(2)
Từ (2) suy ra y2 – 5x 2 4 (3).
Thế vào (1) được: x 3 y 2 – 5x 2 .y y3 16 x
x 3 – 5 x 2 y –16 x 0 x 0
hoặc
x 2 – 5 xy –16 0
Với x 0 y 2 4
2
y 2 .
Với x – 5xy –16 0
x 2 16
y
5x
x 4 –32 x 2 256 –125 x 4 100 x 2
2
2
(4). Thế vào (3) được: x 16 5x 2 4
5x
x 1 ( y 3)
.
124 x 4 132 x 2 –256 0 x 2 1
x 1 ( y 3)
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 2
Bài
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
2
2 xy
2
1
x y
7 Giải hệ phương trình:
xy
x y x2 y
2
2 xy
2
1
x y
xy
x y x2 y
(1)
(1)
Điều kiện:
.
(2)
1
( x y)2 1 2 xy 1
0
xy
(vì
Thay
x 1 y
x y 0.
( x y 1)( x 2 y 2 x y ) 0
xy0
nên
x y 1 0
x2 y2 x y 0 )
x2 x 2 0
vào (2) ta được: 1 x 2 (1 x )
x 1 (y 0)
x 2 (y 3)
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
x 2 5x y 9
3
2
2
3x x y 2 xy 6 x 18
Bài 8 Giải hệ phương trình:
y 9 x2 5x
x 1; y 3
x 3; y 15
2
HD Hệ PT y 4 9 x 5x
x 1
3
2
x 1 7; y 6 3 7
x 4 x 5 x 18x+18 0
x 3
x 1 7; y 6 3 7
x 1 7
x 3 6 x 2 y 9 xy 2 4 y 3 0
xy xy 2
Bài 9 Giải hệ phương trình:
2
2
3
3
HD ) x 6 x y 9 xy 4 y 0
xy xy 2
(1)
. Ta có: (1) ( x y)2 ( x 4 y) 0 x y
x 4y
(2)
Với x = y: (2) x = y = 2
Với x = 4y: (2) x 32 8 15; y 8 2 15
Bài 10 Giải hệ phương trình:
x 2 91 y 2 y 2 (1)
2
y 91 x 2 x 2 (2)
Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x 2 91 y 2 91 y 2 x 2 y 2 x 2
x2 y2
2
2
x 91 y 91
x y
( x y)
x 2 91 y 2 91
x y 0
x2 y2
1
đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có:
x2 9
x 2 91 10
yx
y2 x2
( y x)( y x )
x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y
x 2 91 x 2 x 2 x 2 91 10 x 2 1 x 2 9
1
1
( x 3)( x 3) ( x 3) ( x 3)
1
0
2
x 2 1
x 2 1
x 91 10
x3
x=3
Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
x 3 2y 2 x 2 y 2xy
Bài 11.1 . Giải hệ phương trình:
2
3
2 x 2y 1 3 y 14 x 2
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 3
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x 3 2y 2 x 2 y 2xy
Bài 11.2 . Giải hệ phương trình:
2
3
x 2 2 x 2y 1 3 y 14
x 3 3y y3 3x
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2
6x 3y 2 x x y 34
x 3 y3 1
Bài 13. Giải hệ phương trình: 2
2
3
x y 2xy y 2
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 4
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x y
1 3
4x y
1 1 3 3
2x
2 x y
2 x y
y x
xy
xy 2
y x x y
2.
1 3
1 3
1 3
2y
2x
2x
2x 1 3
x y
y x
y x
y x
x y
2x 1
x
y2
x
x
2x
2
3
x
x y 1
x y 1
x 2, y 2
x 2, y 2
3
x
1
1
x 3 y 3
x
y
Bài 14 Giải hệ phương trình
( x 4 y )(2 x y 4) 36
x y
1
1
( y x)( y 2 xy x 2 )
y 2 xy x 2
ĐK : x, y 0 x 3 y 3 ( x y)
3 3
1
x
y
x y
x3 y 3
Trường hợp x = y thay vào phương trình: ( x 4 y )(2 x y 4) 36
x 6
2
ta được phương trình: x 4 x 12 0
Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2)
x2
y 2 xy x 2
1 Do y 2 xy y 2 0 với x, y 0 nên nếu
Trường hợp
3 3
x y
( x; y ) là nghiệm thì
xy 0
Mặt khác ( x 4 y )(2 x y 4) 36 2 x 2 4 y 2 9 xy 4 x 16 y 36
2( x 1) 2 4( y 2) 2 9 xy 18 (*)Do xy 0 nên PT(*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2)
2 x 2 4 xy 2 y 2 3 x 3 y 2 0
Bài 15(cơ bản) Giải hệ phương trình 2
.
x y 2 2 xy 2 y 0
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 5
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x y x y 4
Bài 16 Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x y x y 16
.
x 2 y 2 2( x y ) 6
Bài 17 (cơ bản) Giải hệ phương trình:
.
xy ( x 2)( y 2) 9
2
2
x2 2x 3
x 2 y 2 2( x y ) 6
( x 2 x ) ( y 2 y ) 6
2
2
2
( x 2 x)( y 2 y ) 9
y 2y 3
xy ( x 2)( y 2) 9
( x; y ) (1;1), (1; 3), (3;1), (3; 3)
y 2 xy x y 2 x y 1
Bài 18 Giải hệ phương trình:
2
2
x y 2
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 6
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x y 2 y2 1
Bài 19 Giải hệ phương trình:
x y x 2y 3y
x 2 2 x y 2 y 3 xy
Bài 20(cơ bản) Giải hệ phương trình
.
xy x 2 y 1
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 7
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
2x 2 y 2 3xy
Bài 21 Giải hệ phương trình: 4 4
2x y 3
HD:
2
y x xy 6y 1 0
Bi.22, Giải hệ phương trình: 3
.
2
2
y x 8y x y x 0
xy 1 y 2 x 6 y
xy 1 y 2 x 6 y
HD 2
xy 1 và y 2 x biết tích và tổng
2
2
2
y xy 1 x xy 1 9 y
xy 1 y x 9 y
2
y x 3 y (1)
theo y , do đó
. Từ (1) x 3 y y 2 thay vào (2) ta được (3 y y 2 ) y 1 3 y
xy 1 3 y (2)
3
y 1 0 y=1 x 3 y y 2 =3-1=2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x, y)
= (2; 1).
x 3 y3 9
Bài 23 Giải hệ phương trình: 2
2
x 2y x 4y
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 8
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x2 y 2 x y 2
Bài 24 Giải hệ phương trình 2
.
2
x y 2x 4 y 3
x2 y 2 x y 2
x2 y 2 x y 2
2
2
2
2
x y 2 x 4 y 3 x 2x 1 y 4 y 4 0
x 2 y 2 x y 2(1)
2
2
x y x y 2
x y 1
2
2
( x 1) ( y 2) 0
x y 3
y 0 x 1
Với x = y+1 thế vào (1) ta được : 2 y 2 4 y 0
y 2 x 1
y 1 x 2
Với x y 3 thế vào (1) ta được : 2 y 2 6 y 4 0
y 2 x 1
Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1)
x 2 xy 2 y 2 y 2 2 x
Bài 25 Giải hệ phương trình:
y x y 1 x 2.
HD ĐK: x-y+1 0 .
Ta có (1) x2 y2 xy y2 2( y x) 0 ( x y)( x y y 2) 0 x y x 2 2 y
+ Với x = y, (2) x x x 1 x 2 x 1 x y 1 là nghiệm của hệ pt
x 2
y 0
8
+ Với x = 2- 2y, (2) y 2 2y y 1 2 2y 2 y 3 3y 2y
3 3y 4 x
3
KL: Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là: (1;1); (2;0); (8/3;-1/3)
y 2 x xy 6y 1 0
Bài. 26, Gi¶i hƯ phương trình: 3
.
2
2
y x 8y x y x 0
xy 1 y 2 x 6 y
xy 1 y 2 x 6 y
HD 2
xy 1 và y 2 x biết tích và tổng
2
2
2
y xy 1 x xy 1 9 y
xy 1 y x 9 y
theo
y2 x 3y
y , do đó
xy 1 3 y
(1)
(2)
. Từ (1) x 3 y y 2 thay vào (2) ta được (3 y y 2 ) y 1 3 y
3
y 1 0 y=1 x 3 y y 2 =3-1=2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x, y)
= (2; 1).
8 x 3 y 3 63
Bài 27 Giải hệ phương trình 2
2
y 2x 2 y x 9
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 9
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
2
2 2
2
x y y x
Bài 28 Giải hệ phương trình:
3 4 x 3 y 3 2 xy 0
x y x y 2 y
Bài 29 Giải hệ phương trình:
x 5y 3
HD ĐK: x + y 0 , x - y 0, y 0
2 y x 0
(3)
2
5 y 4 xy
(4)
PT(1) 2 x 2 x 2 y 2 4 y x 2 y 2 2 y x
Từ PT(4) y = 0 v 5y = 4x Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có
4
x 2 x 3 x 1 KL: HPT có 1 nghiệm ( x; y ) 1;
5
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 10
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x3 12 y 2 x 2 8 y 3 8 y
Bài 30 Giải hệ phương trình: 2
2
3 3
2 x 2 y 1 x 8 y 2
x 2 y xy 0
Bài 31 Giải hệ phương trình:
x 1 4 y 1 2
Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x 2 91 y 2 91
y 2 x 2 y2 x2
x2 y2
2
2
x 91 y 91
(x y)
x y
x 2 91
y 2 91
1
x2
x y 0
y2
vay đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có:
x2 9
x 2 91 10
yx
( y x )( y x )
y2 x2
x = y (trong ngoặc luôn dương và x
x 2 91 x 2 x 2 x 2 91 10 x 2 1 x 2 9
1
1
x 3
1
( x 3)( x 3) ( x 3) ( x 3)
0
2
x 2 1
x 2 1
x 91 10
x = 3 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
Bài 32 Giải hệ phương trình
HD
.
3
2
Đk: x , y 0 .
2 x 3 ( y 2 2011)(5 y ) y
( x, y R )
y ( y x 2) 3 x 3
Pt thứ 2:
y 2 (2 x) y 3 x 3 0
. ( x 4) 2
x2 x4
3
2
. Pt có 2 nghiệm
( do y 0 ) y x 1
x2 x4
y2
x 1
2
. Thế vào pt thứ 1 ta có 2 x 3 x 1 ( x 1) 2 2011 (4 x)
y1
TH1: x 4 y 5 .
TH2:
x4
( x 1) 2 2011 ( x 4)
2x 3 x 1
1
( x 1)2 2011 vô lý
2x 3 x 1
KL:
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 11
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
1
1
x 3 y 3
x
y
Bài 33 Giải hệ phương trình
( x 4 y )(2 x y 4) 36
x y
1
1
( y x)( y 2 xy x 2 )
y 2 xy x 2
ĐK : x, y 0 x 3 y 3 ( x y)
3 3
1
x
y
x y
x3 y 3
Trường hợp x = y thay vào phương trình: ( x 4 y )(2 x y 4) 36
x 6
2
ta được phương trình: x 4 x 12 0
Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2)
x2
Trường hợp
y 2 xy x 2
1 Do y 2 xy y 2 0 với x, y 0 nên nếu
3 3
x y
( x; y ) là nghiệm thì
xy 0
Mặt khác ( x 4 y )(2 x y 4) 36 2 x 2 4 y 2 9 xy 4 x 16 y 36
2( x 1) 2 4( y 2) 2 9 xy 18 (*)Do xy 0 nên PT(*) vơ nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2)
x
2 6y x 2y
y
Bài 34 Giải hệ phương trình
x x 2 y x 3y 2
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 12
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
3x 2 y 4 x y 5
Bài 35 Gi¶i hệ phương trình :
2 y2
0
2 x 5 y
x
HD §iỊu kiƯn x>0
2 x 2 5 xy 2 y 2 0
2 x y x 2 y 0
3x 2 y 4 x y 5
3x 2 y 4 x y 5
y 2x
y 2x
3x 2 y 4 x y 5
x 6 x 5(l )
y 1
x 2
x 2 y
x 2 y y 0
3x 2 y 4 x y 5
4 y 9 y 5
VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (2;1)
1 3
2x y x
Bài 36 Giải hệ phương trình
2y 1 3
x y
4 x y
1 1 3 3
2 x y
2 x y
xy
y x x y
2x 1 3
2x 1 3
y x
y x
x y
x y 1
x y
2x 1 3
x y 1
x x
xy 2
2
x 2, y 2
y
2x 1 3
x
y x
x 2, y 2
x 3
2x
2 x
3 x 3 y 3 4 xy
Bài 37 Giải hệ phương trình
2 2
x y 9
( x, y ).
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 13
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x3 8 x y 3 2 y
Bài 38 Giải hệ phương trình 2
2
x 3 3( y 1)
x 0
x 3 y 3 2 ( 4 y ) (1)
3
2
2
HD Ta có (I) 2
Thay (2) vào (1) : x + x y - 12xy = 0 x 3 y
2
x 3 y 6 (2 )
x 4 y
Thay x vào (2) cả 3 trường hợp Hệ có các nghiệm là:
6
6
6
6
;
) , (4
;
)
13 13
13
13
8
2 3x 3
y
Bài 39 Giải hệ phương trình :
x3 2 6
y
(3;1) , (- 3; -1) , (4
2 3x z 3
Đặt z = 2/y 0 ta được hệ :
Trừ vế với vế của hai phương trình trên dẫn đến : x – z
3
2 3z x
= 0 và
Thay x = z vào phương trình (1) của hệ ta được : x3 – 3x – 2 = 0
x2 + xz + z2 +3 >0 với mọi x, z
2
(x+1) (x - 2) = 0 x = -1 hoặc x = 2
2
y 1 y 2
Từ x = z = 2/y
(x ; y ) là (-1 ; -2) ; (2 ; 1)
2
y 2 y 1
8xy
2
2
x y x y 16
Bài 40 Giải hệ phương trình
x 3 x x y 3 0
8xy
2
2
x y x y 16 1
Điều kiện x y 0 Hệ phương trình
x 3 x x y 3 0 2
Khi đó 1 x 2 y 2 x y 8xy 16 x y x 2 y 2 x y 4 x y 2 x 2 y 2 16 x y
x 2 y 2 x y 4 4 x y x y 4 0 x y 4 x 2 y 2 4 x y 0
x y 4 (t / m)
2
Thay x y 4 vào PT(2) ta được: x 3 2x 3 0
2
x y 4 x y 0 (Loai ) do x y 0
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 14
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x 1
(x 1)(x 2 x 3) 0 2
Với x 1 y 3 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3)
x x 3 0 (VN)
1
2
2
20
2
3 x 3 y 2 xy
x y
Bài 41 . Giải hệ phương trình:
.
1
2 x
5
x y
2
HD Ta có 3 x 2 3 y 2 2 xy 2 x y x y
2
1
2
2
20
2
2 x y x y
x y
Hpt
ĐS 2;1 ,
1
x y x y
5
xy
2 xy
2
2
x y x y 1
Bài 42 Giải hệ phương trình:
x y x2 y2
2 xy
2
2
x y x y 1 1
x y x2 y 2
1 x y
2
2 xy
2
4 10 3 10 4 10 3 10
,
3 ;
3 ;
3
3
dk x y 0
2 xy
3
1 0 x y 2 xy x y 2 xy x y 0
x y
x y x y 1 2 xy x y 1 0 x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 3
2
2
x y x y 0 4
Dễ thấy (4) vơ nghiệm vì x+y>0
Thế (3) vào (2) ta được x 2 y 1
x y 1
x 1; y 0
Giải hệ 2
……
x y 1 x 2; y 3
y 4 2xy 2 7y 2 x 2 7x 8
Bài 43 Giải hệ phương trình 2
.
3y 13 15 2x x 1
15
Điều kiện 1 x .
2
2
Ta có y 4 2xy 2 7y 2 x 2 7x 8 y2 x 7 y 2 x 8 0 y2 x 1 y2 x 8 0 (1)
15
15
; y2 8
nên x y 2 8 . Khi đó (1) y 2 x 1 0 y 2 x 1 .
2
2
Thế y 2 x 1 vào phương trình dưới, ta được
Vì x
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 15
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
3x 16 15 2x x 1 3x 16 15 2x x 1 2x
x 115 2x
x 0
x 0
2
5 x 3
x 3 x
6x 13x 15 0
6
2
Với x 3 ta có y 4 y 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3; 2 , 3; 2 .
Bài 44 Giải hệ phương trình:
y 4 19 20 x y
x x 2y 2
x 2 4 xy x 2 y 0
Bài 45 Giải hệ phương trình: 4
2
2
2
x 8x y 3x 4 y 0
(x,y R) .
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 16
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x x x y y 8 y
x y 5
Bài 46 (K_D) Giải hệ phương trình:
x 3 4 y y 3 16 x
Bài 47 Giải hệ phương trình:
2
2
1 y 5 1 x
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 17
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x 3 y 2 xy 0
Bài 48 Giải hệ phương trình:
x 5 5y 1 4
x y x y 4x y
Bài 49 Giải hệ phương trình:
x 2 16 2 y 3 x
x 2 y xy 0
Bài 50 Giải hệ phương trình:
x 1 4 y 1 2
HD Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x 2 91 y 2 91
y 2 x 2 y2 x2
x2 y2
2
2
x 91 y 91
(x y)
x y
x 2 91
y 2 91
1
x2
yx
( y x )( y x )
y2 x2
x y 0
y2
x = 3 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
Vậy từ hệ trên ta có:
x2 9
x 2 91 10
x 2 91 x 2 x 2 x 2 91 10 x 2 1 x 2 9
1
1
x 3
1
( x 3)( x 3) ( x 3) ( x 3)
0
x 2 1
x 2 1
x 2 91 10
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 18
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x = y (trong ngoặc luôn dương và x vay đều lớn hơn 2)
x y x 4 y 2 y 3 y 4 0 1
Bài 51 Giải hệ phương trình
x 2 y 2 1 y 2 y 1 0 2
2
Điều kiện: x 2 y 1 0.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
( x y ) 2 4( x y ) y 2 3 y 4 0 ( x y y 2 )( x y 3 y 2 ) 0.
*) x y y 2 0, hay x y y 2 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
y 2 y 1 1 (ktm)
1 13
y2 y 1 y2 y 1 0
y2 y 3 0 y
.
y 2 y 1 2.
2
1 13
1 13
Với y
thì x 4 13 và với y
thì x 4 13.
2
2
*) x y 3 y 2 0, hay x y 3 y 2 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
y 2 y 1 y2 y 1 0 y2 y 1 y 2 y 1
y2 y 1 0
y2 y 1 0
2
y 1. Suy ra x 2.
2
2
2
y y 1 ( y y 1)
y ( y 1)( y 3 y 3) 0
1 13
1 13
Vậy nghiệm (x; y) của hệ là 4 13;
, 4 13;
, 2; 1 .
2
2
2
2 x 3 ( y 2011)(5 y ) y
Bài 52 Giải hệ phương trình
( x, y R )
y ( y x 2) 3 x 3
3
2
Đk: x , y 0 .
y 2 (2 x) y 3 x 3 0
Pt thứ 2:
. ( x 4) 2
5 x 2 y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0
(x, y R).
2
2
2
xy ( x y ) 2 ( x y )
Bài 53 Giải hệ phương trình
5 x y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0 (1)
(2) xy ( x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2 2 xy
2
2
2
(2)
xy ( x y ) 2 ( x y )
xy 1
( x 2 y 2 )( xy 1) 2( xy 1) 0 ( xy 1)( x 2 y 2 2) 0 2
2
x y 2
5 x y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0
x 1
x 1
TH1:
v
y 1
y 1
xy 1
5 x y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0
TH2 : 2
2
x y 2
5 x y 4 xy 2 3 y 3 ( x 2 y 2 )( x y ) 0
2
2
x y 2
2 2
2 2
1
x
x
x 1 x 1
5
5
y x v y x
v
2
2
2
y 1 y 1
x2 y2 2
y
y
5
5
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 19
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x 2 8 y 2 12 *
Bài 54 Giải hệ phương trình: 3
( x, y )
x 2 xy 2 12 y 0 **
HD Thế (*) vào (**) ta được: x 3 2 xy 2 x 2 8 y 2 y 0
x 3 8 y 3 xy x 2 y 0 x 2 y x 2 2 xy 4 y 2 xy 0
Trường
hợp
1:
x 2 y 0 x 2 y
thế
vào
2
2
12 y 12 y 1 y 1 x 2
2
y 0
y 15 y 2
2
2
Trường hợp 2: x xy 4 y 0 x
0
y
2
4
x 0
2
x y 0 không thoả mãn (*) hệ vn
Đáp số: x; y 2; 1 , 2;1
(*)
ta
được
2x 3 - 9y3 = (x - y)(2xy + 3)
Bài 55 Giải hệ phương trình sau:
x 2 + y 2 = 3 + xy
2 x3 9 y 3 ( x y )(2 xy x 2 y 2 xy )
Hpt 2
2
x y xy 3
2 x3 9 y 3 x 3 y 3
2
2
x y xy 3
x3 8 y 3
x 2y
2
2
2
3 y 3
x y xy 3
Vậy hệ có 2nghiệm (x ;y)=(2 ;1)và (-2 ;-1)
x 2 3x ( y 1) y 2 y ( x 3) 4
Bài 56 Giải hệ phương trình:
x xy 2 y 1
( x, y R)
HD Ta có PT (1) : x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = 0 (x-y)2 + 3(x-y) - 4 + 0
x y 1
x y 4
x y 1
x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2
x xy 2 y 1
x y 4
* Với x - y = -4 ta có
(Hệ PT vô nghiệm)
x xy 2 y 1
* Với x- y = 1, ta có
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2)
x y 3 9 y 1
Bài 57(K_D) Giải hệ phương trình:
2 2
x 1 y 2 y 1
x 2 xy y 5 x
Bài 58 Giải hệ phương trình:
4
2
2
x x y y 3x
x 2 y x5 y
Hpt
2
x y
2
3x
2
0
2
1
Thế (1) vào (2):
y 1 2
0
x, y R
x0
2
x 2 5 y 3 x 2 y 1 2
y 13 y 22 0
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 20
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
x0
y2
y 11
x=0 suy ra y=0
y=2 suy ra x=1 và x=2
y=11 khơng có x thỏa mãn
thử lại vào hệ thấy thỏa mãn Vậy hệ có 3 nghiệm: (0; 0) , (1; 2) và (2; 2).
x 2 y xy 0
Bài 59 Giải hệ phương trình
x 1 2 y 1 1
(1) x y y xy 0 ( x y )( x y ) y ( x y ) 0
x 1
x y 0
Đk: 1
( loại do đk)
y 2 ( x y )( x 2 y ) 0
x 2 y 0
Với x 2 y 0 x 4 y
4 y 1 2 y 1 1 4 y 1 2 y 1 1 4 y 1 2 y 1 2 2 y 1 1
Thay vào PT (2) ta có PT:
2 y 1 0
y
2 2 y 1 2 y 1
2 y 1 2
y
1
2
5
2
Với y = 1/2 x = 2
Với y = 5/2 x = 10
8x3 y3 63
Bài 60 Giải hệ phương trình 2
2
y 2x 2 y x 9
8x3 y3 63
2
2
y 2x 2 y x 9
(1)
(2)
x, y R .
Nhân phương trình (2) với -6 rồi cộng vế theo vế với phương trình
(1), ta được
3
3
8x3 6 y 2 12 x2 12 y 6x y3 9 2 x 1 y 2 y 2x 3 (*)
x 2
Thế (*) vào (2), ta được 2x 3 2x 2 2 x 3 x 9 2x 3x 2 0
x 1
2
2
2
2
Với x 2 y 1
1
2
Với x y 4 .
1
Vậy, nghiệm của hệ là: (2;1), ; 4
2
Bài 61 Giải hệ phương trình:
3x 2 y 4 x y 5
(*)
2 y2
5y
2 x
x
3x 2 y 4 x y 5
2 y2
5y
2 x
x
3 x 2 y 0; 4 x y 0
x 0
Điều kiện :
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 21
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
y 2x
2
2
2 x 5 xy 2 y 0
3x 2 y 4 x y 5
2 x y x 2 y 0
(*)
3x 2 y 4 x y 5
3x 2 y 4 x y 5
x 2 y
3x 2 y 4 x y 5
y 2 x
x 6 x 5(VN )
y 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;1)
x 2
x 2 y
4 y 9 y 5
x 1 2 xy 2 y 17 0
Bài 62 Giải hệ phương trình
x y xy 4 32
x( x y ) 2( x y ) 16
( x y )( xy 4) 32
Hệ đã cho tương đương với:
Thế (1) vào (2) được: x y xy 4
(1)
16 ( x y )( x 2)
( x y )( xy 4) 2.16 (2)
2 x y x 2 x x y y 2 0
x 0; x y 0; y 2.
+) x = 0 thay vào (1) được: y = 8
+) x + y = 0 thay vào (1) được: 0x = 16 (VN)
+) y = 2 thay vào (1) được: x = 2 hoặc x = -6
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: (0; 8); (2; 2); (-6; 2)
x y x y 4 1
Bài 63 Giải hệ phương trình
2
2
x y 128
2
x 8
x y 0
(*) Ta có: 1 2 x 2 x 2 y 2 16 x 2 y 2 8 x 2 2
2
x y 0
x y 64 16 x x
Điều kiện:
x 8
x 8
2
Cộng (2) với (3) vế với vế ta được: x 2 16 x 192 0
(thỏa mãn
y 64 16 x 3
x 24
x 8)
+ Với x = 8, thay vào (2) ta được y 8
+ Với x = -24, thay vào (2) ta được phương trình vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm x; y 8;8 ;8; 8
5 x 2 y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0
Bài 64 Giải hệ phương trình :
2
2
2
xy ( x y ) 2 ( x y )
5 x y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0 (1)
(2) xy ( x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2 2 xy ( x 2 y 2 )( xy 1) 2( xy 1) 0
2
2
2
(2)
xy ( x y ) 2 ( x y )
xy 1
( xy 1)( x 2 y 2 2) 0 2
2
x y 2
5 x y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0
TH1:
xy 1
x 1
y 1
x 1
hoac
y 1
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 22
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
2
3
5 x y 4 xy 2 3 y 3 ( x 2 y 2 )( x y ) 0
5 x y 4 xy 3 y 2( x y ) 0
TH2 : 2
2
2
2
x y 2
x y 2
1
y x v y x
2
x2 y 2 2
Vậy hệ có bốn nghiệm
2 2
2 2
x
x
5
5
y 2
y 2
5
5
2 2
2 2
x
x
x 1 x 1
5
5
;
;
;
y 1 y 1
2
y 2
y 5
5
x 2 xy x 3 0
Bài 65 Giải hệ phương trình :
2
2
x 1 3 y 1 2 xy x y 2 y 0
5x 3 7y3 2xy 38
Bài 66 Giải hệ phương trình sau: 3
3
4x 3y 7xy 4
(x, y )
5x 3 7y3 2xy 38
43x 3 43xy 86
3
3
3
3
4x 3y 7xy 4
5x 7y 2xy 38
HPT
x 3 xy 2
x 3 xy 2
x 3 xy 2
3
3
(I)
3
5xy 10 7y 2xy 38
7y 7xy 28
y 4 xy
x 0
a. Với
(I) vô nghiệm.
y 0
b. Với x, y 0 , từ (I) x 3y3 (xy 2)(4 xy) x 3y3 x 2 y 2 2xy 8
(xy 2)(x 2 y 2 3xy 4) 0
xy 2
2 2
x y 3xy 4 0 (Vô nghiệm vì 7 0)
Tài liệu ơn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 23
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
3
x 4
x 4
ới xy 2 . Thay vào (I) ta được: 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
3
y 2
3
y 3 2
4; 3 2 .
x 12 xy 2y 17 0
Bài 67 Giải hệ phương trình sau:
x y xy 4 32
(x, y )
x 3 x 1 y 2 y 7 x 2
Bài 68 Giải hệ phương trình
(x, y ) .
x 2 y 4x y 5
x 2 y 0
Với điều kiện trên thì (1) 3x2 7xy + 2y2 + x 2y = 0
x 4 y 0
x 2y 0
(3xy)(x2y) +(x2y) = 0 (x2y)(3xy +1) = 0
3 x y 1 0
Điều kiện:
+ x2y = 0 x = 2y (2): 4 y 9 y 5 y = 1
+ 3x y + 1= 0 y = 3x+1
(2) trở thành:
x
y = 1 x = 2 (tmđk)
11
1
1
7 x 7
x
17
7
7x 1 7x 2 5
x
.
25
49 x 2 21x 2 11 7 x
x 17
25
17
76
y
(tmđk).
25
25
17 76
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) = ; .
25 25
5 x 2 3 y x 3 xy
Bài 69 Giải hệ phương trình 3 2 2
(x, y ) .
3
x x y 3y
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 24
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
3 x 2 2 xy 2 y 2 3 x 2 y 0
2
2
5 x 2 xy 5 y 3x 3 y 2
Bài 70 Giải hệ phương trình:
(x,y R) .
2x y 1
Nhân hai vế của (1) với 3 rồi trừ vế theo vế ta có: (2 x y )2 3(2 x y ) 2 0
2x y 2
5 3
)
7 7
4 6
Với 2 x y 2 thế vào (1) ta có: ( x; y ) (1; 0); ( x; y ) ( ; )
7 7
5 3
4 6
Kết luận: Hệ có 4 nghiệm: (0;1), ( ; ) , (1; 0), ( ; )
7 7
7 7
3
3
5 x 7 y 2 xy 38
Bài 71 Giải hệ phương trình: 3
(x,y R) .
3
4 x 3 y 7 xy 4
Với 2 x y 1 thế vào (1) ta có: ( x; y ) (0;1); ( x; y ) ( ;
Tài liệu ôn thi đại học mơn Tốn – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 25
