TIEU LUAN TOT NGHIEP : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ ỐNG DẪN SÓNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (871.29 KB, 39 trang )
1
Lời cảm ơn
Tiểu luận “Trường điện từ và ống dẫn sóng” đã đem lại cho tôi nhiều kiến thức
hơn về chuyên ngành của mình và ứng dụng của nó trong thực tế. Để hoàn thành đề tài
này tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hồ
Hữu Hậu đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài này. Cám ơn
các bạn cùng khóa đã đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành đề tài này. Vì thời gian nghiên
cứu và vốn kiến thức còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót. Kính mong
được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
2
Mục lục
Trang
Lời cảm ơn
Phần 1 : MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… 3
Phần 2 : NỘI DUNG
CHƯƠNG I : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ.
1. Trường điện từ và các đại lượng điện từ……………………………………… 4
1.1 Trường điện từ……………………………………………………………… 4
1.2 Các đại lượng điện từ……………………………………………………… 4
2. Các phương trình cơ bản của trường điện từ…………………………………… 5
2.1 Dạng vi phân của định lý Gaus. Phương trình Maxuel I…………………… 5
2.2 Định luật dòng toàn phần. Phương trình Maxuel II……………………… 5
2.3 Định luật về đường sức cảm ứng từ. Phương trình Maxuel III…………… 6
2.4 Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday. Phương trình Maxuel
IV…………………………………………………………………… 7
2.5 Hệ các phương trình Maxuel……………………………………………… 7
3. Định luật bảo toàn năng lượng của trường điện từ…………………………… 8
3.1 Dạng vi phân của định luật Ohm…………………………………………… 8
3.2 Dạng vi phân của định luật Joule- Lex……………………………………… 8
3.3 Vector mật độ dòng năng lượng……………………………………………… 8
3.4 Định luật bảo toàn năng lượng trong điện từ trường………………………… 9
4. Xung lượng của trường điện từ……………………………………… …… 10
4.1 Lực tác dụng trong điện từ trường ………………………………………… 10
4.2 Xung lượng điện từ trường……………………………… ……………… 10
5. Điều kiện biên………………………………………………………………… 11
5.1 Điều kiện biên của vector
B
……………………………………………… 11
5.2 Điều kiện biên của vector
D
…………………………………………………….12
5.3 Điều kiện biên của vector
E
……………………………………………… 12
5.4 Điều kiện biên của vector
H
…………………………………………………….13
CHƯƠNG II : ỐNG DẪN SÓNG.
1. Khái niệm chung về ống dẫn sóng……………………………………… 14
2. Ống dẫn sóng chữ nhật…………………………………………………… 15
2.1 Trường điện ngang ……………………………………………… 17
2.2 Trường từ ngang …………………………………………………… 19
3. Ống dẫn sóng trụ tròn……………………………………………… 21
3.1 Trường điện ngang ……………………………………………… …………….22
3.2 Trường từ ngang …………………………………………………………… …24
4. Sự suy giảm sóng điện từ trong ống dẫn sóng có tổn hao……………… 26
4.1 Sự suy giảm sóng điện từ trong ống dẫn sóng chữ nhật…………… 27
4.2 Sự suy giảm sóng điện từ trong ống dẫn sóng trụ tròn…………………… 28
5. Tạo sóng trong ống dẫn sóng…………………………………………… 29
6. Tính trường điện từ trong ống dẫn sóng theo nguồn cho trước……………… 31
7. Kích thích ống dẫn sóng qua khe hở………………………………………… 36
Phần 3: KẾT LUẬN …………………………………………………………………38
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………….39
3
Phần 1: MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Vật lý là một môn khoa học thực nghiệm nghiên cứu những hiện tượng xảy ra
trong tự nhiên.Vật lý có những ứng dụng rất lớn trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật liên
quan đến cuộc sống của chúng ta. Như ta đã biết, sóng điện từ là một trong những chuyên
đề quan trọng của vật lý bởi nó được ứng dụng rất nhiều trong đời sống và trong kĩ thuật.
Đặt biệt là trong kĩ thuật vô tuyến điện. Do đó em chọn đề tài “Trường điện từ và ống
dẫn sóng”. Qua nghiên cứu đề tài này giúp em mở rộng kiến thức và hiểu sâu hơn về bản
chất của trường điện từ và ứng dụng của nó trong kĩ thuật và đời sống.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết cơ bản về trường điện từ và ứng dụng của nó trong kĩ
thuật và đời sống.
3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI.
Trường điện từ, thể thống nhất của hai trường lực là điện trường và từ trường,
là dạng vật chất đặc biệt, phân bố liên tục trong không gian dưới dạng sóng - hạt. Lý
thuyết trường điện từ là cơ sở để tìm hiểu các vấn đề thuộc về điện và từ. Trong đề tài
này ta chỉ nghiên cứu cơ sở lý thuyết cơ bản về trường điện từ và sự lan truyền của sóng
điện từ trong ống dẫn sóng.
4. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
Để hoàn thành đề tài này, ngoài việc nghiên cứu từ các bài giảng về trường
điện từ, tôi còn đào sâu tham khảo một số sách về trường điện từ và các tài liệu khác có
liên quan đến đề tài…; Sử dụng các phương tiện hiện đại chủ yếu là máy tính để hỗ trợ
nghiên cứu và trình bày bài tiểu luận.
4
Phần 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN TỪ.
1.1 Trường điện từ.
Trường điện từ là khoảng không gian trong đó tồn tại các lực điện và từ. Điện
từ trường tại mỗi điểm được đặc trưng bằng bốn vector:
Vector cường độ điện trường
E
.
Vector cảm ứng điện ( vector điện dịch)
D
.
Vector cường độ từ trường
H
.
Vector cảm ứng từ
B
.
Các phương trình Maxuel biểu thị cho các định luật điện từ dưới dạng các hệ
thức liên quan đến từng điểm của không gian và thời gian. Vì vậy, để nhận được các
phương trình Maxuel, ta cần phải xây dựng các định luật điện từ dưới dạng vi phân.
1.2 Các đại lượng điện từ.
Nói chung, các đại lượng
E
,
D
,
B
và
H
là hàm của toạ độ và thời gian.
Chúng xác định tất cả các quá trình liên quan đến các hiện tượng điện từ trong chân
không và trong môi trường vật chất.
Đối với các môi trường đẳng hướng,
E
và
D
liên hệ nhau qua hệ thức:
ED
là hằng số điện môi. Trong hệ đơn vị SI
,
E
và
D
lần lượt có đơn vị là:
m
C
,
2
m
C
và
m
F
.
Tương tự với
B
và
H
, ta có:
HB
là độ từ thẩm. Trong hệ đơn vị SI
,
B
và
H
lần lượt có đơn vị là
T
,
m
A
và
m
H
.
Đối với chân không thì
m
F
9
0
910
4
1
và
m
H
7
0
104
.
Hằng số điện môi tỉ đối được cho bởi
0
'
và độ từ thẩm tỉ đối
0
'
.
Các hằng số
và
là hàm của toạ độ nhưng không biến đổi theo thời gian.
Điện tích được coi là phân bố liên tục trong không gian, mật độ của chúng
được biểu diễn như sau:
Mật độ điện tích khối :
dV
de
V
e
V
lim
0
Mật độ điện tích mặt :
dS
de
S
e
S
lim
0
Từ các định nghĩa trên của
và
ta suy ra giá trị của điện tích nguyên tố de:
de =
dV
de =
dS
Mặt khác ta có thể xem dòng điện I sinh ra là do sự thay đổi lượng điện e trong
5
khoảng không gian nào đó và theo thời gian, ta có:
sdt
Cde
I
Mật độ điện tích và mật độ dòng điện nói chung là hàm của toạ độ và thời
gian. Người ta xây dựng khái niệm dòng điện tại mỗi điểm bằng các hệ thức:
Mật độ dòng điện
j
:
dS
dI
j
j
có phương chiều trùng với phương chiều của dòng
điện tại điểm quan sát. j
có đơn vị
2
m
A
.
Mật độ dòng điện i
:
dl
dI
i
i
có phương chiều trùng với phương chiều của dòng điện
tại điểm quan sát. i
có đơn vị
m
A
.
Từ các định nghĩa của
j
và i
, ta có giá trị
dòng điện nguyên tố dI bằng:
cos
cos
idl
dI
jdSSdjdI
2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ.
2.1 Dạng vi phân của định lý Gauss. Phương trình Maxuel I.
Xét một mặt kín S bất kì có chứa điện tích e nào đó. Theo định lý Gauss
thông lượng của vector
D
gởi qua mặt đó là:
eSdDN
S
Chọn chiều dương của mặt S hướng từ trong ra ngoài.
Mặt khác:
VS
dVDdivSdD
Mà:
V
dVe
nên
VV
dVdVDdiv
Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kỳ, ta suy ra:
Ddiv
hay
D
Đây là dạng vi phân của định lý Gauss và cũng là phương trình Maxuel thứ I.
2.2. Định luật dòng toàn phần. Phương trình Maxuel thứ II.
2.2.1. Phương trình liên tục.
Xét một vật thể bất kỳ V không đổi được giới hạn bởi một mặt kín không đổi
S. Điện tích chứa trong thể tích V là:
V
dVe
Cường độ dòng điện chảy qua mặt S là:
S
Sdj
Sd
có chiều hướng từ trong ra ngoài.
Theo định luật bảo toàn điện tích :
dt
de
Do đó:
SV
SdjdV
t
hay
VV
dVjdivdV
t
Vì thể tích V là bất kỳ và không đổi nên: jdiv
t
Hình 1.1
dS
n
j
n
i
dl
Hình 1.2
6
Hay:
0
jdiv
t
(1)
Phương trình (1) là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là
phương trình liên tục.
2.2.2. Dòng điện dịch.
Đối với dòng điện dừng vì
0
t
nên:
0jdiv
Đối với dòng điện biến đổi vì
0
t
nên:
0jdiv
Vì:
jdiv
nên
t
t
D
div
Thế vào (1) ta được:
0
j
t
D
div
Từ phương trình trên ta thấy
t
D
là phải có thứ nguyên của
j
.
t
D
được gọi là
mật độ dòng điện dịch.
Tổng của mật độ dòng điện dẫn
j
và mật độ dòng điện dịch
t
D
gọi là mật độ
dòng toàn phần.
2.2.3. Định luật dòng toàn phần. Phương trình Maxuel thứ II.
Thực nghiệm chứng tỏ là dòng điện tạo ra xung quanh nó một từ trường. Ta có
các trường hợp sau:
Đối với dòng điện không đổi:
C
ldH
Chiều dương trên chu tuyến (C) được chọn phù hợp với chiều dương của dòng
điện theo quy tắc vặn nút chai.
Vì:
S
Sdj
Và:
SC
SdHrotldH
Nên:
SS
SdjSdHrot
Vì chu tuyến (C) và mặt S được chọn bất kỳ nên: jHrot
Đối với dòng điện biến đổi: ta thay mật độ dòng điện dẫn
j
bằng mật độ dòng
toàn phần.
Suy ra:
t
D
jHrot
(2)
Đây là dạng vi phân của định luật dòng toàn phần và là phương trình Maxuel
thứ II .
2.3. Định luật về đường sức cảm ứng từ. Phương trình Maxuel thứ III.
Thực nghiệm chứng tỏ đường sức của
B
bao giờ cũng khép kín nên từ thông
gởi qua một mặt kín bất kỳ bao giờ cũng bằng 0:
S
SdB 0
Vì:
S V
dVBdivSdB
nên: 0
V
dVBdiv
I
(C)
Hình 1.3
7
Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kỳ, ta suy ra:
0Bdiv
(3)
(3) là dạng vi phân của định luật về đường sức cảm ứng từ. Đây là phương
trình Maxuel thứ III.
2.4. Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday. Phương trình
Maxuel thứ IV.
Xét một mặt bất kỳ không đổi S giới hạn bởi chu tuyến khép kín (C). Định luật
cảm ứng điện từ Faraday được viết dưới dạng:
dt
d
Trong đó
là thế điện động cảm ứng xuất hiện trên chu tuyến (C),
là từ
thông qua mặt S. Chiều dương trên chu tuyến (C) và chiều dương của pháp tuyến của mặt
S được chọn theo quy tắc vặn nút chai.
Mặt khác:
S
SdB
và
C
ldE
Nên:
SC
SdB
dt
d
ldE
Áp dụng định lý Stoke cho vế trái:
SC
SdErotldE
Thay vào công thức trên và đưa đạo hàm theo thời gian vào trong dấu tích phân
của vế phải, ta được:
SS
Sd
t
B
SdErot
Vì mặt S được chọn là bất kỳ và không đổi nên:
4
t
B
Erot
Đây là dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday hay còn gọi là
phương trình Maxuel IV.
2.5. Hệ các phương trình Maxuel.
Từ các kết quả thực nghiệm điện từ kết hợp với các phép biến đổi giải tích, ta
rút ra các phương trình Maxuel dưới dạng vi phân và tích phân:
Dạng vi phân:
t
B
Erot
t
D
jHrot
Ddiv
0Bdiv
Dạng tích phân:
SC
SdB
dt
d
ldE
SC
SdD
dt
d
ldH
eSdD
S
S
SdB 0
Các phương trình diễn tả quan hệ giữa điện từ trường với các tính chất điện từ
8
của môi trường vật chất:
ED
,
HB
- Các phương trình vi phân có tính chất tổng quát hơn vì chúng được viết cho
từng điểm và từng thời điểm.
- Trong trường hợp sự phân bố điện tích, dòng điện và điện từ trường có dạng
hình học đơn giản, các phương trình tích phân cho phép tính toán nhanh gọn hơn.
- Lưu ý là hệ các phương trình Maxuel chỉ áp dụng được trong các điều kiện
sau:
+ Các vật thể đứng yên hoặc chuyển động chậm trong điện từ trường.
+ Các đại lượng
,
không phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc vào các
vector
E
,
D
,
B
và
H
.
+ Trong điện từ trường không có nam châm vĩnh cửu hoặc chất sắt từ.
3. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG.
3.1. Dạng vi phân của định luật Ohm.
Xét một vật dẫn bất kỳ và một điểm P bất kỳ trong vật dẫn. Tại P có cường độ
điện trường
E
. Xét một hình trụ nhỏ bao quanh P.
Định luật Ohm cho hình trụ có dạng: R
Trong đó:
S
l
R
1
là điện dẫn suất của dây.
Mặt khác:
S
J
Suy ra : lE
Do đó :
Ej
Vì dòng điện và điện trường bao giờ cũng cùng phương, cùng chiều, ta có:
Ej
(6)
(6) là dạng vi phân của định luật Ohm.
3.2. Dạng vi phân của định luật Joule – Lenx.
Xét hình trụ bao quanh P ở trên. Theo định luật Joule – Lenx, nhiệt lượng tỏa
ra từ hình trụ trong thời gian
t
là:
tV
j
tlS
j
t
S
l
SjtRQ
22
2
2
1
Đặt
tV
Q
w
là nhiệt lượng tỏa ra trong một đơn vị thời gian trong một đơn
vị thể tích, ta được:
2
j
q
Vì: Ej
nên Ejw
(7)
(7) là dạng vi phân của định luật Joule – Lenx.
3.3. Vector mật độ dòng năng lượng
Ta có:
t
B
Erot
(8)
t
D
jHrot
(9)
Nhân vô hướng hai vế của phương trình (8) với
H
và hai vế của phương trình
(9) với
E
. Sau đó sắp xếp lại ta được:
l
E
S
Hình 1.4
P
9
0
0
EjHrotE
t
D
E
ErotH
t
B
H
Cộng vế với vế: 0
EjHrotEErotH
t
B
H
t
D
E
(10)
Vì:
2
2
22
2
2
BH
t
H
t
t
H
H
t
B
H
DE
t
E
tt
E
E
t
D
E
HEdivHrotEErotH
Nên (10) có thể viết lại như sau:
0
2
EjHEdiv
BHDE
t
(11)
Ba số hạng ở vế trái của (11) phải có cùng thứ nguyên.
Số hạng
Ej
có thứ nguyên là:
Do đó, hai số hạng còn lại phải có thứ nguyên tương tự .
Số hạng
2
BHDE
chỉ phụ thuộc điện từ trường và có thứ nguyên của mật độ
năng lượng, gọi là mật độ năng lượng của điện từ trường:
2
BHDE
w
Số hạng
HE
cũng chỉ phụ thuộc điện từ trường có thứ nguyên:
Ta đặt:
HEP
P
được gọi là mật độ dòng năng lượng của điện từ trường.
Vector mật độ dòng năng lượng
P
còn gọi là vector Poynting.
3.4. Định luật bảo toàn năng lượng trong điện từ trường.
Ta viết lại biểu thức (11):
0
EjPdiv
t
w
(12)
Lấy tích phân hai vế của (12) theo một thể tích V bất kỳ giới hạn bởi một kín
không đổi S, ta được:
0
VVV
dVEjdVPdivdVw
dt
d
0
QSdP
dt
dW
S
(13)
Vậy khi năng lượng điện từ trường trong thể tích V biến đổi theo thời gian
phải có:
Năng lượng Mật độ năng lượng
=
Thể tích x thời gian thời gian
Mật độ năng lượng x độ dài
= mật độ năng lượng x vận tốc
Thời gian
10
+ Dòng năng lượng điện từ chảy vào hoặc chảy ra khỏi thể tích V.
+ Nhiệt lượng Joule – Lenx tỏa ra trong thể tích đó.
4. XUNG LƯỢNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
4.1. Lực tác dụng trong điện từ trường .
Xét một thể tích V bất kỳ trong đó có điện từ trường tương tác với các điện
tích, ngoài ra không còn tương tác nào khác. Lực Lorentz do điện từ trường tác dụng lên
một điện tích điểm e chuyển động với vận tốc v là:
BveEeF
Mật độ lực Lorentz ( lực do điện trường tác dụng lên các điện tích trong một đơn vị
thể tích.) tại mỗi điểm trong thể tích V là:
14BvEf
Lực Lorentz tác dụng lên thể tích V là :
V
dVfF
Vì:
Ddiv
và
vj
t
D
Hrot
Nên biểu thức (14) có thể được viết lại:
B
t
D
BHrotDdivEf
(15)
Mặt khác, ta có:
0Bdiv
;
t
B
Erot
Nên:
DErotB
t
D
t
B
DB
t
D
BD
t
Do đó:
BD
t
DErotB
t
D
Biểu thức (15) có thể được viết lại dưới dạng khác:
16BD
t
BHrotDErotBdivHDdivEf
4.2. Xung lượng của điện từ trường.
Chiếu (16) xuống trục x ta được:
17
xxxxxx
BD
t
BHrotDErotBdivHDdivEf
Có thể chứng minh rằng bốn số hạng đầu tiên trong vế phải của (14) là div của
một vector
X
có các thành phần:
zxzxzyxyxyxxxxx
BHDEXBHDEX
BHDE
BHDEX
;;
2
Do đó (17) trở thành:
x
x
BD
t
Xdivf
(18)
Trong chân không ta có:
19
1
2
00
HE
c
HEBD
Đối với thể tích V ta thực hiện phép tích phân:
20
1
2
dVHE
cdt
d
dVXdivdVfF
x
VVV
xx
Vì :
SV
SdXdVXdiv
Nên (20) có thể viết lại:
S
x
VV
x
SdXdVHE
cdt
d
dVf
2
1
(21)
11
Nếu lấy mặt S là mặt kín bao bọc toàn thể điện tích và điện từ trường tại mặt
đó
0
E
,
0
D 0
H 0
B
nên:
0
S
SdX
(22)
Vậy:
0
1
2
dVHE
c
dt
d
dVf
x
VV
x
(23)
Tương tự nếu chiếu (16) xuống các trục y, z và thực hiện các phép biến đổi
tương tự, ta được:
0
1
2
dVHE
c
dt
d
dVf
y
VV
y
(24)
0
1
2
dVHE
c
dt
d
dVf
z
VV
z
(25)
Ba biểu thức (23), (24), (25) có thể gôm lại dưới dạng vector sau:
0
1
2
dVHE
c
dt
d
dVf
VV
(26)
Gọi
h
G
là xung lượng toàn phần của tất cả các hạt điện tích trong thể tích V.
Theo định luật II Newton:
V
h
dVfF
dt
Gd
Do đó biểu thức (26) trở thành:
0
1
2
V
h
dVHE
c
G
dt
d
Hay
constdVHE
c
G
V
h
2
1
(27)
Tích phân trong phương trình (27) có thứ nguyên xung lượng và chỉ phụ thuộc
vào điện từ trường trong thể tích V. Đó chính là xung lượng toàn phần
t
G
của điện từ
trường trong thể tích V, ta được:
V
t
dVHE
c
G
2
1
Gọi g
là mật độ xung lượng, ta có:
22
1
c
P
HE
c
g
(28)
Ta suy ra:
constGG
th
Vậy đối với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện trường tương tác với nhau
thì xung lượng tổng cộng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi.
5. ĐIỀU KIỆN BIÊN.
Các phương trình Maxuel chỉ áp dụng được trong những môi trường liên tục,
trong đó các đại lượng
và
biến thiên liên tục.
Trong trường hợp những mội trường không liên tục, tại mặt giới hạn của
hai môi trường khác nhau, các đại lượng
và
biến thiên không liên tục và các vector
của điện từ trường cũng biến thiên không liên tục. Những phương trình xác định xác định
sự biến đổi của các vector đó tại mặt giới hạn gọi là những điều kiện biên.
5.1. Điều kiện biên của vector
B
.
Xét một điểm P trên mặt phân cách của hai môi trường 1 và 2. Ta quy ước
chiều dương của pháp tuyến ở mặt phân cách hướng từ môi trường 1 sang môi trường 2.
Xét hình trụ rất nhỏ chứa điểm P.
12
Theo định lý Gauss:
290
21
b
SSSSV
SdBSdBSdBSdBdVBdiv
Vì hình trụ là rất nhỏ, có thể coi
B
không đổi trong mỗi mặt đáy S
1
và S
2
nên:
31)2(
30)1(
222
111
2
1
SBSBSdB
SBSBSdB
n
S
n
S
Vì
B
liên tục và giới nội trong S
xq
nên:
32
bb
S
SBSdB
b
Trong đó
b
B
là giá trị trung bình của B
n
trên mặt S
b
.
Thay (30), (31) và (32) vào (29) ta được:
0)1()2(
12
bbnn
SBSBSB
(33)
Cho chiều cao h của hình trụ dần tới 0, khi đó
0,,
0201
b
SSSSS
.
Do đó, (33) trở thành:
0
0)0()0(
12
12
nn
nn
BB
SBSB
(34)
Đây là điều kiện của
B
.
5.2. Điều kiện biên của vector
D
.
Lập luận tương tự như đối
B
với ta có:
eSDSDSD
bbnn
)1()2(
12
(35)
Trong đó e là điện tích trong hình trụ. Khi cho 0
h , (35) trở thành:
mnn
eSDSD )0()0(
12
(e
m
là điện tích mặt chứa trên mặt S
0
).
Do đó :
nn
DD
12
(36)
là mật độ điện tích mặt tại P trên mặt phân cách. (36) là điều kiện biên
của
D
.
5.3. Điều kiện biên của vector
E
.
Xét một điểm P trên mặt phân cách của hai môi trường 1 và 2. Pháp tuyến tại P
là
n
hướng từ môi trường 1 sang môi trường 2 và
t
là tiếp tuyến tại P. Xét một hình chữ
nhật rất nhỏ nằm trong mặt phẳng
tn
,
chứa điểm P. Chiều quay dương trên hình chữ
nhật được chọn sau cho pháp tuyến N
của nó tạo với n
và t
thành một tam diện thuận .
Vì:
t
B
Erot
Nên:
37
SS
Sd
t
B
SdErot
Áp dụng định lý Stoke cho vế trái của (37):
b
lllS
ldEldEldEldESdErot
21
Vì hình chữ nhật rất nhỏ nên
E
có thể xem là không đổi trên mỗi cạnh l
1
, l
2
, ta
có:
2
S
h
n
(2)
(1)
1
S
Hình 1.5
S
0
P
I
2
N
t
(2)
(1) I
1
Hình 1.6
I
0
P
13
1111
1
lElEldE
t
l
(38)
2222
2
lElEldE
t
l
(39)
Vì
E
liên tục và giới nội trên cạnh bên nên:
40
bb
l
lEldE
b
Mặt khác, vì
B
cũng liên tục và giới nội trên các cạnh bên nên:
S
t
B
Sd
t
B
S
(41)
Trong đó
t
B
là giá trị trung bình của
t
B
N
trên mặt S.
Thay (38), (39), (40), (41) vào (37) ta được:
S
t
B
lElElE
bbtt
1122
(42)
Cho
0
b
l
, khi đó
0,,
0201
Sllll
nên ta có:
0
0
12
0102
tt
tt
EE
lElE
(43)
Đây là điều kiện biên của
E
5.4. Điều kiện biên của vector
H
.
Lập luận tương tự như đối với
E
ta có :
S
t
D
IlHlHlH
bbtt
1122
(44)
Trong đó I là cường độ dòng điện đi qua mặt S.
Khi cho
0
b
l
(44) trở thành:
mtt
IlHlH
0102
I
m
là cường độ dòng điện chảy qua đoạn l
0
. Đặt
0
l
I
i
m
N
là thành phần theo
phương N
của vector mật độ dòng điện mặt i
tại P. Ta được:
Ntt
iHH
12
(45)
Đây là điều kiện biên của
H
.
14
CHƯƠNG II: ỐNG DẪN SÓNG
Đường truyền định hướng là một trong hai phương thức cơ bản để truyền tín
hiệu từ điểm phát đến điểm thu. Hệ định hướng là những đường truyền dẫn sóng điện từ
đi theo hướng xác định với tổn hao nhỏ nhất. Ưu điểm của truyền sóng theo đường truyền
định hướng là không chịu ảnh hưởng của môi trường và tổn hao khí quyển mà tổn hao
này tăng theo tần số làm việc. Các đường truyền định hướng sử dụng dải tần số siêu cao
nhờ vậy mà băng thông rộng và tốc độ truyền lớn.
Các hệ định hướng thông dụng hiện nay là:
- Đường dây song hành.
- Cáp đồng trục.
- Ống dẫn sóng.
- Đường truyền cáp quang sợi.
- Đường truyền mạch dải, hệ thống làm chậm.
Ở phần này ta sẽ khảo sát một hệ định hướng thường gặp: “Ống dẫn sóng”.
1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ ỐNG DẪN SÓNG.
Sự truyền năng lượng điện từ trên những khoảng cánh gần đóng một vai trò
quan trọng trong kỹ thuật radiô hiện đại, ví dụ như từ máy phát ra anten hoặc từ anten về
máy thu Trong những trường hợp đó người ta dùng các hệ thống định hướng sóng. Ví
dụ như ở dải sóng mét người ta dùng hệ thống hai dây dẫn song hành để truyền dẫn năng
lượng điện từ từ nguồn đến anten hoặc từ anten đến máy thu. Trường điện từ lan truyền ở
vùng không gian dọc theo dây dẫn và ở phía ngoài dây, vì vậy ngoài năng lượng có ích
truyền dọc theo dây còn có năng lượng tổn hao do bức xạ ra môi trường xung quanh.
Năng lượng tổn hao này phụ thuộc mạnh vào tần số, đối với các sóng có tần số đủ nhỏ sự
tổn hao này không đáng kể nhưng đối với các sóng cao tần và siêu cao thì lại rất lớn. Đối
với dải sóng decimét để giảm sự tổn hao đó người ta dùng dây đồng trục thay cho hệ
thống hai dây dẫn song hành. Ở đây sóng điện từ truyền trong không gian giữa lôi và vỏ
cáp, vì vậy loại trừ tổn hao năng lượng do bức xạ. Tuy nhiên tổn hao vẫn tăng khi tần số
tăng trước hết vì sự tăng của điện trở do hiệu ứng bề mặt, sau nữa do sự làm nóng chất
cách điện giữa lôi và vỏ cáp tăng. Đối với dải sóng centimét, milimét để truyền năng
lượng điện từ người ta dùng ống dẫn sóng.
Ống dẫn sóng là một ống thành kim loại có độ dẫn cao sao cho sự truyền sóng
trong ống có thể xem như bằng cách phản xạ nhiều lần ở những điểm đối diện trên thành
trong của ống với đường truyền sóng là những đường gãy khúc.
Đối với ống dẫn sóng, sóng điện từ truyền dọc trong ống bằng sự phản xạ
nhiều lần ở những điểm bên trong thành ống có thể coi như không bị tổn hao do bức xạ,
sự tổn hao do nhiệt so với cáp cũng bé vì ống dẫn sóng không có lỏi dây dẫn ở giữa ống.
Do cấu trúc đơn giản và tổn hao năng lượng bé, ống dẫn sóng được áp dụng rộng rãi
trong các thiết bị siêu cao tần. Để sóng điện từ trong ống dẫn sóng không bị suy giảm
đáng kể sau nhiều lần phản xạ và giao thoa, tần số sóng phải lớn hơn một giới hạn nào đó
gọi là tần số tới hạn. Tần số tới hạn phụ thuộc vào dạng, kích thước của ống dẫn sóng.
Tiết diện của ống dẫn sóng càng bé thì tần số tới hạn càng cao. Do đó để kích thước ống
dẫn sóng không quá lớn, tần số sóng truyền trong ống dẫn sóng phải lớn, thường không
thấp hơn 10
9
Hz.
Ống dẫn sóng có nhiều loại, các loại ống dẫn sóng khác nhau được thể hiện ở
hình dạng khác nhau của mặt kim loại cấu tạo thành ống và do đó khác nhau về dạng của
thiết diện ống: ống dẫn sóng chữ nhật, ống dẫn sóng trụ tròn, ống dẫn sóng elíp…
15
a) b) c)
Hình 2.1. Ống dẫn sóng : a) Ống dẫn sóng chữ nhật, b) Ống dẫn sóng tròn,
c) Ống dẫn sóng elíp.
Sau đây ta sẽ khảo sát tính chất của hai loại ống dẫn sóng thông dụng nhất là
ống dẫn sóng chữ nhật và ống dẫn sóng trụ tròn.
2. ỐNG DẪN SÓNG CHỮ NHẬT.
Để tìm trường có thể tồn tại trong ống
dẫn sóng chữ nhật không tổn hao cần giải hệ
phương trình Maxuel đối với miền giới hạn bởi
các tấm kim loại dẫn điện lý tưởng, với điều
kiện bờ bằng không. Ta sẽ coi ống dẫn sóng dài
vô cùng, và trong miền khảo sát không tồn tại
nguồn trường.
Sử dụng hệ toạ độ vuông góc (hình 2) ta sẽ viết điều kiện bờ trên các thành ống
dưới dạng.
t
E
= 0 tại x = 0 ; x = a , y = 0 ; y = b (2.1)
Ta sẽ quan tâm đến điều kiện để lời giải của các phương trình sẽ có dạng sóng
chạy truyền lan dọc theo trục ống dẫn sóng ( trục z). Vì vậy sự phụ thuộc của các thành
phần vector
E
,
với toạ độ z trong chế độ đã xác lập có thể được biểu thị bởi hàm số:
zti
e
(2.2)
Ở đây
là hằng số truyền sóng chưa biết.
Nhưng theo (2.2) thì vi phân của một thành phần bất kì của vector
E
hoặc
theo biến số z sẽ tương đương với tích phân của thành phần ấy với
.
Ví dụ:
x
z
xo
x
eyx
z
z
, v.v…
Do đó theo các phương trình Maxuel đối với miền trong của ống dẫn sóng, khi
j
= 0 và
= 0 ta sẽ có :
6
5
4
3
2
1
z
x
y
yx
z
xy
z
z
x
y
yx
z
xy
z
i
yx
i
x
i
y
i
yx
i
x
i
y
(2.3)
ở đây
và
là hằng số điện môi và từ môi của môi trường choán trong ống.
y z
b
O
x a
Hình 2.2
16
Nếu ta thay
x
và
y
từ phương trình (4) (5) vào phương trình (1) (2) của hệ
thống (2.3), sau đó thay
x
,
y
từ phương trình (1) (2) vào (4) (5) thì các đại lượng chưa
biết
x
,
y
,
x
,
y
sẽ được biểu thị qua các đại lượng
z
và
z
:
yx
i
k
xy
i
k
x
i
yk
y
i
xk
zz
c
y
zz
c
x
zz
c
y
zz
c
x
2
2
2
2
1
1
1
1
(2.4)
ở đây
222
kk
c
.
Đối với sóng truyền lan theo hướng ngược, cần thay
trong các biểu thức
(2.3) và (2.4 ) bởi
.
Như vậy tất cả các thành phần ngang của vector
E
và
điều biểu thị được
qua thành phần dọc
z
và
z
. Thay
x
và
y
từ (2.4) vào (6) của hệ thống (2.3), và
thay
x
,
y
vào (3) ta sẽ nhận được phương trình của các thành phần
z
và
z
:
0
2
2
2
2
2
zc
zz
k
yx
(2.5)
0
2
2
2
2
2
zc
zz
k
yx
(2.6)
Từ các biểu thức (2.4) ta thấy trường điện từ trong ống dẫn sóng, trong trường
hợp tổng quát, là tổng của hai trường độc lập nhau:
0 ;
y
k
-;
x
k
-
0; ;
z
z
2
c
y
z
2
c
x
z
22
x
k
i
y
k
i
z
c
y
z
c
x
(2.7)
0 ;
x
-;
y
0;
k
;
k
z
z
2
y
z
2
x
z
2
c
2
c
cc
z
y
z
x
k
i
k
i
yx
(2.8)
Trường có thành phần dọc 0
z
, 0
z
gọi là trường điện ngang TE hay
sóng điện ngang TE (còn gọi là sóng từ ).
Trường có thành phần dọc
0
z
,
0
z
gọi là trường từ ngang TM hay
sóng từ ngang TM (còn gọi là sóng điện ).
Trong ống dẫn sóng không tồn tại loại sóng điện từ ngang TEM ( loại sóng
mà
,
vuông góc với phương truyền tức là 0
z
, 0
z
).
Thật vậy giả sử
0
z
tức
vuông góc với trục z, các đường sức của
là
các đường cong C (Hình 3) khép kín nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục z, do đó:
17
C
ld 0.
Mặt khác theo phương trình Maxuel thứ nhất:
S
z
C S
d
t
Sd
t
ld S.
với S là diện tích giới hạn bởi C
do đó :
00
z
S
z
dS
t
Hình 2.3
Sau đây ta lần lượt khảo sát sóng TM và TE trong ống dẫn sóng chữ nhật.
2.1. Trường điện ngang.
Theo (2.7) trường TE trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần dọc
z
. Thành phần này lại thoả mãn phương trình (2.5).
Điều kiện bờ đối với hàm
z
có thể tìm được từ điều kiện bờ tổng quát (2.1).
Điều kiện này được áp dụng cho trường TE như sau:
0
x
tại y = 0 ; y = b (2.9)
0
y
tại x = 0 ; x = a
Áp dụng (2.7) sẽ có:
0
x
z
tại x =0 ; x = a (2.10)
0
y
z
tại y =0 ; y = b
Dùng phương pháp phân ly biến số ta tìm nghiệm
z
của (2.5) dưới dạng:
z
z
eyx
(2.11)
Ở đây X(x) và Y(y) là các hàm số chỉ phụ thuộcvào x và y. Thay biểu thức trên
vào (2.5) và thực hiện các phép biến đổi đơn giản sẽ nhận được :
0
2
c
k
Từ đây ta thấy rằng:
0;0
22
qp
và
222
c
kqp
Ở đây p
2
và q
2
là các hằng số phân ly tùy ý.
Giải các phương trình vi phân trên ta được nghiệm tổng quát là:
qxqx
pxpx
sincos
sincos
22
11
Do đó theo (2.11) thành phần
z
sẽ bằng :
z
z
eqyqypxpx
sincossincos
2211
(2.12)
Để tìm các đại lượng chưa biết, ta áp dụng điều kiện bờ (2.10). Từ điều kiện
thứ nhất của (2.10) suy ra được:
B
2
= 0 ; sinqb = 0 và
b
n
q
; n = 0, 1, 2, 3, …
Từ điều kiện thứ hai ta nhận được:
B
1
= 0 ; sinpa = 0 và
a
m
p
; m = 0, 1, 2, 3, …
Do đó :
22
2
b
n
a
m
k
c
(C)
18
2
22
22
k
b
n
a
m
kk
cmn
z
mnz
mn
ey
b
n
x
a
m
coscos
ở đây kí hiệu A
mn
=A
1
A
2
Bây giờ thay giá trị
z
vào (2.7), ta sẽ tìm được các biểu thức cuối cùng đối
với hình chiếu của các vector trường điện ngang trong ống dẫn sóng chữ nhật:
z
mnz
z
mn
c
mn
y
z
mn
c
mn
x
z
z
mn
c
y
z
mn
c
x
mn
mn
mn
mn
mn
ey
b
n
x
a
m
ey
b
n
x
a
m
b
n
k
ey
b
n
x
a
m
a
m
k
ey
b
n
x
a
m
a
m
k
i
E
ey
b
n
x
a
m
b
n
k
i
E
coscos
sincos
cossin
0
cossin
sincos
2
2
2
2
(2.13)
Như ta thấy từ các đẳng thức trên, khi m = n = 0 tất cả các thành phần trường,
trừ
z
đều bằng không. Do đó số m và n có thể lấy các giá trị bất kì bằng 0, 1, 2, 3
nhưng không được lấy đồng thời bằng không.
Như vậy trong ống dẫn sóng chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện
ngang khác nhau được đặc trưng bởi các giá trị m, n khác nhau ( trường TE
mn
hoặc H
mn
).
Theo (2.13) phân bố trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng , đồng thời số m xác
định số nửa sóng đặt trong khoảng ax
0 , còn n là số nửa sóng trên khoảng by
0 .
Rõ ràng là trường (2.13) sẽ có dạng sóng chạy, truyền theo trục z nếu hằng số
truyền sóng
mn
là đại lượng thuần ảo.
22
2
b
n
a
m
kii
mnmn
(2.14)
mn
là hằng số pha (số sóng). Muốn có được như vậy, cần thực hiện bất đẳng
thức sau đối với các đại lượng f , m, n, a và b:
22
22
b
n
a
m
k
Nếu
22
2
b
n
a
m
k
thì trường sẽ trở thành trường suy giảm .
Do đó trong ống dẫn sóng cũng như trong khoảng không gian giữa các mặt
phẳng dẫn điện, trường TE
mn
sẽ có đặc tính sóng nếu tần số dao động f lớn hơn tần số
tới hạn
th
f
xác định từ điều kiện
0
mn
.
Áp dụng (2.14) sau một vài biến đổi đơn giản sẽ nhận được
th
f :
22
22
1
b
n
a
m
kf
cth
(2.15)
m, n = 0, 1, 2, 3,
19
ở đây
1
. Bước sóng tới hạn
th
(ứng với tần số tới hạn đã tìm được) sẽ được xác
định theo công thức:
oocth
th
b
n
a
m
c
kf
c
22
22
(2.16)
Từ đây rút ra được điều kiện truyền sóng trong ống dẫn sóng:
th
ff hoặc
th
(2.17)
Tiếp theo có thể dễ dàng tính được vận tốc pha và bước sóng trong ống dẫn
sóng. Vận tốc pha
f
bằng:
2
1
f
f
th
mn
f
(2.18)
còn bước sóng trong ống dẫn sóng:
cf
th
f
f
2
1
(2.19)
Do đó
f
có giá trị khác với bước sóng trong không tự do tính theo các thông
số
o
và
o
.
Vận tốc nhóm
nh
có dạng :
2
1
f
f
d
d
th
mn
nh
(2.20)
Từ các công thức đối với vận tốc pha và vận tốc nhóm (2.18) và (2.20) ta thấy
ống dẫn sóng chữ nhật là môi trường tán tần.
Trở kháng đặc tính của ống dẫn sóng trong trường hợp sóng điện ngang có giá
trị bằng:
2
1
f
f
Z
Z
th
o
mnx
y
y
x
TE
c
(2.21)
Từ biểu thức (2.15) có thể thấy rằng với các kích thước ngang của ống dẫn
sóng cố định, khi tăng m và n tần số tới hạn sẽ tăng, nghĩa là sóng với m, n lớn sẽ có tần
số tới hạn cao hơn là sóng với m, n nhỏ. Do đó để truyền năng lượng điện từ có tần số
dao động cho trước trong ống dẫn sóng có kích thước ngang nhỏ nhất cần sử dụng sóng
với các giá trị m, n nhỏ.
2.2. Trường từ ngang.
Trường từ ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần
z
, thành
phần này thoả mãn phương trình vi phân (2.6) và các điều kiện bờ :
0
z
tại x = 0 ; x = a (2.22)
0
z
tại y = 0 ; y = b
Vì phương trình (2.5) và (2.6) tương tự nhau nên lời giải của (2.6) cũng sẽ có
dạng giống như (2.12) nghĩa là:
z
z
eqyqypxpx
sincossincos
2211
(2.23)
với
222
kqp
và
2222
kqp
(2.24)
Khi thoả mãn các điều kiện bờ (2.22) ta sẽ nhận được:
20
,3,2,1,0;;0sin;0
,3,2,1,0;;0sin;0
2
1
n
b
n
qqb
m
a
m
ppa
(2.25)
Áp dụng các kết quả này vào (2.23) ta sẽ có :
z
mnz
mn
ey
b
n
x
a
m
sinsin
ở đây B
mn
=B
1
B
2
.
Thay giá trị
z
vào công thức (2.8) ta sẽ nhận được các biểu thức cuối cùng
của các thành phần vector trường từ ngang trong ống dẫn sóng chữ nhật:
0
sincos
cossin
sinsin
cossin
sincos
2
2
2
2
z
z
mn
c
y
z
mn
c
y
z
mnz
z
mn
c
mn
y
z
mn
c
mn
x
mn
mn
mn
mn
mn
ey
b
n
x
a
m
a
m
k
i
ey
b
n
x
a
m
b
n
k
i
ey
b
n
x
a
m
ey
b
n
x
a
m
b
n
k
ey
b
n
x
a
m
a
m
k
(2.26)
đồng thời theo (2.24) và (2.25) .
22
2
b
n
a
m
k
c
2
22
k
b
n
a
m
mn
Như vậy trong ống dẫn sóng chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu sóng từ ngang,
đặc trưng bởi các số m, n khác nhau (sóng TM
mn
hay E
mn
).
Các số m, n ở đây cũng có ý nghĩa giống như trong trường hợp trường TE.
Dể dàng nhận thấy khi m hoặc n bằng không, tất cả các vector trường sẽ bằng
không. Do đó trong ống dẫn sóng chữ nhật sẽ không tồn tại các trường TM
oo,
TM
mo
hoặc
TM
on
, và m, n bây giờ sẽ nhận các giá trị bằng m = 1, 2, , n = 1, 2,
Cũng lập luận tương tự đối với trường điện ngang ta sẽ nhận được công thức
của tần số tới hạn, bước sóng tới hạn và các đặc trưng khác đối với các loại sóng từ
ngang khác nhau. Các công thức này có dạng gần giống với các công thức của sóng điện
ngang. Công thức đối với trở kháng đặc tính của ống dẫn sóng trong trường hợp sóng từ
ngang có dạng hơi khác.
2
1
f
f
ZZ
th
o
mn
TM
c
(2.27)
Như vậy tất cả các lời giải có thể có trong ống dẫn sóng chữ nhật đã được thể
hiện đầy đủ bởi các phương trình (2.13) và (2.26) với m, n =0, 1, 2, 3, các trường này
được gọi là trường riêng hay sóng riêng của ống dẫn sóng chữ nhật. Hiển nhiên là nếu có
một trường bất kỳ khác, với cấu trúc phức tạp tại các điểm không có nguồn ta cũng có thể
21
biểu thị nó dưới dạng tổ hợp của các trường riêng nói trên.
3. ỐNG DẪN SÓNG TRỤ TRÒN.
Giống như trong ống dẫn sóng chữ
nhật trường điện từ trong ống dẫn sóng trụ bất
kỳ, không tổn hao, cũng có thể được biểu thị
dưới dạng tổ hợp của các sóng điện ngang và
từ ngang khác nhau
Giả sử có ống dẫn sóng hình trụ dài vô tận. Phương trình bề mặt của nó trong
hệ toạ độ trụ tổng quát z,,
được cho bởi
o
. Cũng như trước đây, trường điện
ngang trong ống dẫn sóng sẽ được xác định bởi các thành phần
z
còn trường từ ngang
được xác định bởi thành phần
z
.
Biên độ phức của các vector
,
trong miền không gian chứa nguồn sẽ thoả
mãn các phương trình vi phân dạng:
0
22
k
và
0
22
k
Ở đây
22
k
,
và
là các thông số của môi trường choán trong ống dẫn
sóng, vì vậy đối với các thành phần
z
và
z
có thể viết ngay được:
0
0
22
22
zz
zz
k
k
(3.1)
Khi giải các phương trình (3.1) một lần nữa ta lại
giả thiết sự phụ thuộc của các vector
và
với z được đặc
trưng bởi hàm số :
z
e
(3.2)
Trong trường hợp này (3.1) sẽ có dạng :
0
22
,
zcz
k
(3.3)
0
22
,
zcz
k
(3.4)
ở đây
2
,
là toán tử Laplas nhị biến còn
222
kk
c
(3.5)
Phương trình (3.3) và (3.4) cho phép ta tìm các giá trị
z
và
z
theo các điều
kiện bờ thích ứng. Trực tiếp từ hệ phương trình Maxuel, các thành phần còn lại của các
vector trường cần tìm có thể được biểu thị qua
z
và
z
giống như đã thực hiện đối với
ống dẫn sóng chữ nhật trước đây.
Ta sẽ khảo sát ống dẫn sóng hình trụ tròn mà bề mặt của nó được xác định bởi
phương trình
a
trong hệ toạ độ trụ
z
,
,
.
Áp dụng các phương trình Maxuel và chú ý đến (3.2) ta sẽ biểu thị các hình
chiếu
,
và
,
qua
z
và
z
như sau:
zz
c
zz
c
zz
c
zz
c
i
k
i
k
i
k
i
k
2
2
2
2
1
1
1
1
(3.6)
i
i
a
Hình 2.5
i
z
i
o
i
z
Hình 2.4 ống dẫn sóng hình
tr
ụ.
22
Vì trong hệ toạ độ trụ toán tử
2
,
bằng:
2
2
22
2
2
,
11
nên phương trình (3.3) và (3.4) đối với
z
và
z
có thể biểu thị dưới dạng:
0
11
2
2
2
22
2
zc
zzz
k
(3.7)
0
11
2
2
2
22
2
zc
zzz
k
(3.8)
Từ các biểu thức (3.6) ta thấy trường điện từ trong ống dẫn sóng trụ có thể coi
là tổng của hai trường riêng độc lập nhau:
0;
1
;
0;;
1
22
22
z
z
c
z
c
z
z
c
z
c
kk
k
ii
k
(3.9)
0;;
1
0;
1
;
22
22
z
z
c
z
c
z
z
c
z
c
k
ii
k
kk
(3.10)
Trường từ ngang TM có thành phần dọc 0
z
, 0
z
.
Trường điện ngang TE có thành phần dọc
0
z
,
0
z
.
Sau đây ta sẽ khảo sát sóng TE và TM trong ống dẫn sóng trụ tròn.
3.1. Trường điện ngang.
Theo (3.9) sóng điện ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần
dọc
z
. Thành phần này lại thỏa mãn phương trình (3.7).
Các điều kiện bờ mà
z
phải thoả mãn sẽ dễ dàng nhận được từ điều kiện
bằng không đối với thành phần tiếp tuyến của vector
trên mặt ống dẫn sóng.
Theo (3.9) hình chiếu
t
sẽ bằng không tại
a
nếu :
0
z
tại
a
(3.11)
Trong hệ toạ độ này hướng bán kính sẽ trùng với phương pháp tuyến ngoài của
mặt
a
nên biểu thức (3.11) có thể được viết dưới dạng:
0
n
z
tại
a
(3.12)
Dùng phương pháp phân ly biến số tìm nghiệm
z
của (3.7) dưới dạng:
z
z
eQR
(*)
Trong đó
R và
Q là các hàm phụ thuộc vào
và
.
Thay biểu thức (*) vào (3.7) và thực hiện các phép biến đổi ta được:
0
222
c
k
Q
Q
R
R
R
R
(**)
Phương trình (**) có nghiệm tổng quát là:
z
mmcmmcmmz
emDmCkNkJ
sincos
Góc để tính
có thể được chọn tuỳ ý. Ta sẽ lấy nữa mặt phẳng
const
23
mà trong đó thành phần
z
có giá trị cực đại để làm gốc. Do đó
z
sẽ bằng:
z
cmmcmmz
emkNBkJ
cos
(3.13)
Như đã biết hàm số Bessel loại 2 sẽ bằng vô cùng khi 0
. Thế nhưng theo
quan điểm vật lý thì trường ở tâm của ống ( 0
) phải có giá trị hữu hạn, vì vậy trong
(3.13) cần đặt B
m
= 0. Lời giải của phương trình (3.7) bây giờ sẽ có dạng:
z
cmmz
emkJ
cos
(3.14)
Vì hàm số
z
không được biến đổi khi thay
bằng
2
nên m chỉ có thể là
số nguyên, nghĩa là m = 0, 1, 2, 3,
Tiếp theo điều kiện bờ (3.11) sẽ được thoả mãn nếu :
0
d
kdJ
cm
tại
a
hoặc
0
akJ
cm
; m = 0, 1, 2, 3 , (3.15)
ở đây dấu ( ’ ) là ký hiệu đạo hàm theo argumen.
Lý thuyết hàm số Bessel đã cho biết rằng với mỗi giá trị m sẽ có vô số nghiệm
của phương trình
0
vJ
m
. Ta ký hiệu các nghiệm này là
mn
v
, ở đây n là số thứ tự của
nghiệm.
Giá trị của một vài nghiệm đầu, với m = 0, 1, 2, được cho ở bảng 1.
Nghiệm của đạo hàm hàm số Bessel.
Bảng 1
Từ đẳng thức (3.15) ta viết được
mnc
vak
.
Từ đó suy ra:
a
v
k
mn
c
; m = 0, 1, 2, 3, ; n = 1, 2, 3, (3.16)
Thay giá trị của k
c
vào (3.5) sẽ nhận được:
2
2
k
a
v
mn
mn
và tương ứng ta có:
2
2
a
v
k
mn
mn
(3.17)
Từ các biểu thức (3.9), (3.14), (3.16) và (3.17) ta nhận được các thành phần
của các vector trường điện ngang trong ống dẫn sóng tròn:
z
mn
mmnz
z
mn
mmn
c
mn
z
mn
mmn
c
mn
z
z
mn
mmn
c
z
mn
mmn
c
mn
mn
mn
mn
mn
em
a
v
J
em
a
v
J
m
k
em
a
v
J
k
em
a
v
J
k
i
em
a
v
J
m
k
i
cos
sin
cos
0
cos
sin
2
2
(3.18)
Số thứ tự
của nghiệm
m = 0 m = 1 m = 2
1
2
3
3.832
7.016
10.714
1.840
5.335
8.536
3.054
6.705
9.965
24
Như vậy trong ống dẫn sóng tròn có thể tồn tại vô số trường điện ngang TE
mn
(hoặc H
mn
) với các số m, n khác nhau. Các số này có quan hệ đến cấu trúc trường trong
mặt cắt ngang của ống dẫn sóng: m đặc trưng cho sự biến đổi trường theo bán kính. Cũng
giống như trong ống dẫn sóng chữ nhật, mỗi kiểu trường sẽ có tần số tới hạn và bước
sóng tới hạn riêng.
Tần số tới hạn của trường TE
mn
được xác định bởi:
a
v
kf
mn
c
TE
th
2
2
1
(3.19)
Còn bước sóng tới hạn :
oo
mn
TE
th
a
v
2
(3.20)
Từ bảng 1 ta thấy nghiệm nhỏ nhất của phương trình
0
vJ
m
là nghiệm
11
v
bằng 1.84
Do đó với ống dẫn sóng có bán kính cho trước, bước sóng tới hạn lớn nhất sẽ
là:
oo
TE
th
a
41.3
11
.
Với ý nghĩa ấy sóng TE
11
cũng tương tự như sóng TE
10
trong ống dẫn sóng
chữ nhật. Sự giống nhau giữa hai sóng này được thể hiện chính ở sự giống nhau về cấu
tạo trường của chúng .
Các công thức đối với vận tốc pha và vận tốc nhóm của sóng TE
mn
trong ống
dẫn sóng có dạng sau:
2
1
f
f
th
f
;
2
1
f
f
th
nh
(3.21)
Trở kháng đặc tính của ống dẫn sóng trong trường hợp này bằng:
2
1
f
f
Z
Z
th
o
TE
c
3.2. Trường từ ngang.
Trường từ ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần
z
, thành
phần này thoả mãn phương trình vi phân (3.8) và hàm số
z
phải thoả mãn điều kiện bờ
trên mặt ống dẫn sóng 0
z
tại
a
(3.22)
Khi thực hiện điều kiện này, tất cả các thành phần tiếp tuyến của vector
trên
mặt ống dẫn sóng sẽ bằng không.
Khi đảm bảo trường có giá trị hữu hạn trên trục
0
, nghiệm của phương
trình (3.8) sẽ có dạng:
z
cmmz
emkJ
cos
; m = 0, 1, 2, 3,
Lời giải này sẽ thoả mãn điều kiện (3.22) nếu:
a
k
mn
c
ở đây
mn
là nghiệm của phương trình
0
m
J ; m = 0, 1, 2, 3, , n = 1, 2, 3,
Giá trị của một số nghiệm đầu của phương trình
0
m
J
khi m = 0, 1, 2, 3,
được dẫn ra ở bảng 2.
25
Bảng 2:
Số thứ tự
của nghiệm
m = 0 m = 1 m = 2
1
2
3
2,405
5,520
8,654
3,832
7,016
10,173
5,135
8,417
11,620
Thay giá trị
z
đã tìm được vào (3.10) ta sẽ viết được biểu thức cuối cùng đối
với các thành phần vector trường từ ngang trong ống dẫn sóng tròn:
,3,2,1 ,3,2,1,0;0
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
nm
em
a
J
k
i
em
a
J
m
k
i
em
a
J
em
a
J
m
k
em
a
J
k
z
z
mn
mmn
c
z
mn
mmn
c
z
mn
mmnz
z
mn
mmn
c
mn
z
mn
mmn
c
mn
mn
mn
mn
mn
mn
(3.23)
2
2
k
a
mn
mn
Ở đây chúng ta cũng nhận được vô số kiểu trường TM
mn
( hay E
mn
) đặc trưng
bởi các số m, n khác nhau, các số này cũng có ý nghĩa giống như trong trường hợp TE
mn
.
Tần số tới hạn của trường từ ngang trong ống dẫn sóng tròn bằng:
a
kf
mn
c
TM
th
2
2
1
(3.24)
còn bước sóng tới hạn:
oomn
TM
th
a
2
(3.25)
Nếu
TM
th
ff hoặc
TM
th
thì trường sẽ truyền lan trong ống dẫn sóng
dưới dạng sóng chạy.
Vì nghiệm
mn
có giá trị nhỏ nhất khi m = 0 và n = 1 nên tần số tới hạn thấp
nhất (bước sóng tới hạn lớn nhất) trong ống dẫn sóng tròn sẽ ứng với sóng TM
o1
. Thay
giá trị 450,2
01
vào (3.25) ta có:
oo
TM
th
a
61,2
01
Trường được xác định bởi các biểu thức (3.18) và (3.24) được gọi là trường
riêng ( hay sóng riêng )của ống dẫn sóng tròn.
Cuối cùng cần nhấn mạnh rằng trong ống dẫn sóng chỉ có các sóng TE và TM.
Sóng điện từ ngang TEM không tồn tại trong ống.
Sự đúng đắn của điều khẳng định trên có thể nhận thấy rất rõ từ những suy
luận vật lý đơn giản. Giả sử các đường sức của vector
nằm hoàn toàn trong mặt cắt
ngang của ống dẫn sóng. Các đường sức từ khép kín tất nhiên phải bao quanh đường sức
