Chuyên đề Tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (496.64 KB, 56 trang )
WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍCH PHÂN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
x
α
1
1
x
C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+
1
x
ln x C+
1
ax b+
1
ln ax b C
a
+ +
x
a
ln
x
a
C
a
+
x
e
x
e C+
ax b
e
+
1
ax b
e C
a
+
+
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )ax b C
a
− + +
cosx sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tanx + C
2
1
cos ( )ax b+
1
( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b+
1
cot ( )g ax b C
a
− + +
'
( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C+
2 2
1
x a−
1
ln
2
x a
C
a x a
−
+
+
tanx
ln cos x C− +
2 2
1
x a+
2 2
ln x x a C+ + +
cotx
ln sin x C+
Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
3
1
( ) cos
1
f x x
x x
= +
+ −
2.
2
2x 5
f(x)
x 4x 3
−
=
− +
Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫
2.
cos
tgx
dx
x
∫
3.
1 ln x
dx
x
+
∫
II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa:
WWW.ToanCapBa.Net Trang 1
1
WWW.ToanCapBa.Net
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì :
( ) 0
b
a
f x dx =
∫
• Tính chất 2:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x ≥
thì
( ) 0
b
a
f x dx ≥
∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
[ ]
( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −
∫
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
thì
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và k là một hằng số thì
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[ ]
;a b
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là :
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =
∫ ∫ ∫
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. Phương pháp phân tích.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 2
2
WWW.ToanCapBa.Net
* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về
các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa.
Các ví dụ:
1) Tính :
16
1
x
∫
dx
1
3
1
( 1)x
−
−
∫
dx
4
0
π
∫
sin 2x dx
2
0
π
∫
cos
2
x dx
2
0
π
∫
sin
4
x dx
2
4
π
π
∫
cot
2
x dx
2) Tính:
2
4
2
4
2
sin
tg x
x
π
π
−
∫
dx
3
0
π
∫
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx
3
6
π
π
∫
tg
2
x dx
1
0
∫
e
2x + 1
dx
3) Tính :
4
0
∫
| x-2 | dx
4
2
∫
2
6 9x x− +
dx
3
4−
∫
| x
2
-4 | dx
3
4
4
π
π
∫
cos2 1x +
dx
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x 1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
9)
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx
18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sinxdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =
∫
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
WWW.ToanCapBa.Net Trang 3
3
WWW.ToanCapBa.Net
1) DẠNG 1: Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
(1)
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
thì đặt t = lnx (ví dụ 7, 9).
+, Khi f(x) có chứa
thì thường đặt t = u(x).( ví dụ 4,7, 5, 10 )
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
; 2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
; 3)
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
; 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
.
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
; 6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
; 7)
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
; 8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
.
9)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
; 10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
; 11)
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
; 12).
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
; 14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
; 15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
.
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
; 17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
; 18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
; 19)
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
.
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
; 21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
; 22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
;
23)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
; 24)
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
; 25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 4
4
WWW.ToanCapBa.Net
26)
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
; 27)
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
; 28)
3
5 2
0
1x x dx+
∫
; 29)
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫
.
30)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
; 31)
2
2 3
0
1x x dx+
∫
; 32)
∫
+
32
5
2
4xx
dx
.
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý:
* Nếu f(x) có chứa:
+,
thì đặt
với t
, hoặc
với
.
+,
thì đặt
với
!
"
#
"
#
"
$ %
, hoặc
với
.
+,
thì đặt
hoặc
.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
3)
1
2
0
1
dx
4 x−
∫
4)
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
5)
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
6)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
7)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
8)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
9)
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
10)
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
13)
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
15)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
16)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
WWW.ToanCapBa.Net Trang 5
5
WWW.ToanCapBa.Net
17)
∫
++
1
0
311 x
dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
.
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
+,
& '
& ' & &
( )
.
+,
&* '
&* ' * & &
*
(
.
+,
&
& & &
(
;
&
& & &
(
.
+,
&
&
& & '
'
' '
.
+,
&
&
.
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1)
&
+ ,
-
; 2)
.
&
-
3)
*
* &
. /*
-
; 4)
.
0
&
-
.
Ví du 2ï: Tính các tích phân sau:
1)
1
2
3
0
2
1
x
x+
∫
; 2)
1
2
3
0
( )
2
x
x−
∫
dx; 3)
1
2
3
0
2
1
x
x+
∫
dx ; 4)
2
1
0
x
xe dx
∫
; 5)
3
1
2
1
x
x e
−
−
∫
dx .
6)
1
2 ln
e
x
x
+
∫
dx ; 7)
2
1 ln
e
e
dx
x x+
∫
; 8)
3
3
0
sin
cos
x
x
π
∫
dx ; 9)
3
cos
0
sin
x
x e
π
∫
dx ; 10)
&
* /
-
.
VI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
WWW.ToanCapBa.Net Trang 6
6
WWW.ToanCapBa.Net
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[ ]
b
a
vu.
và
∫
b
a
vdu
Chú ý:
Giả sử cần tính tích phân
'
12&
-
ta thực hiện
Đặt
1 3&4 2&
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
4
và vi phân
5
& &
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
'
4&
-
phải tính được.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
' ' '
6& 3 6&3 * 6&
- - -
với P(x) là đa thức thì đặt
6
.
ii/ Nếu gặp
'
6 &
-
thì đặt
.
iii/ Nếu gặp
'
* &
-
,
'
* &
-
thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
*
.
.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
2)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
3)
1
x
0
e sinxdx
∫
4)
2
0
sin xdx
π
∫
5)
e
2
1
xln xdx
∫
6)
3
2
0
x sin x
dx
cos x
π
+
∫
7)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
8)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
9)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
10)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+
∫
11)
e
2
1
(xlnx) dx
∫
12)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
13)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
14)
1
2
0
xtg xdx
∫
15)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
16)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
17)
∫
e
dx
x
x
1
ln
18)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
19)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
20)
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx
WWW.ToanCapBa.Net Trang 7
7
WWW.ToanCapBa.Net
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫ ∫
.
Ví dụ: Tính tích phân
I=
&
-
Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì:
1& 1 1 &
- -
.
Ví dụ: Tính tích phân
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
.
Tính tích phân
/
/
7 1&
-
Bài 3 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì
1& 1 &
- -
.
Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì
' '
'
1& 1&
- -
Hệ quả: a)
2 2
0 0
f(sinx)dx f(cosx)dx
π π
=
∫ ∫
b)
0 0
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
π π
π
=
∫ ∫
.
Ví du: Tính tích phân
a)
7 &
-
;
'8 &
-
.
Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì :
9
9 9
9
1& 1& 1& :
;
- - -
.
Ví dụ: Tính các tích phân
a)
7 &
-
b)
,
+
8 &
-
.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 8
8
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
+
0
( )
( ) vôùi R vaø a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈
+
∫ ∫
;
a 1≠
Ví dụ : Tính các tích phân sau:
a)
1
4
1
2 1
x
x
dx
−
+
∫
b)
1
2
1
1
1 2
x
x
dx
−
−
+
∫
c)
2
sin
3 1
x
x
dx
π
π
−
+
∫
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
1)
n
2
+
n n
0
cos x
dx vôùi n Z
cos x sin x
π
∈
+
∫
; 2)
4
2
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
; 3) .
6
2
6 6
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫
4)
5
0
xsin xdx
π
∫
; 5)
2
2
2
4 sin
x cosx
dx
x
π
π
−
+
−
∫
; 6)
1
4
2
1
sin
1
x x
dx
x
−
+
+
∫
; 7)
2
0
xsinx
dx
4 cos x
π
−
∫
8)
4 3
0
cos sinx x xdx
π
∫
; 9)
,
&
+
-
; 10)
.
,
2 &
-
.
11)
.
0 0
.
0
-
; 12)
.
&
-
.
D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo
biến t.
Chú ý:
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
/
7 &
-
.
Giải
Đặt
& & <
3
< <
7 & &
<
- -
/ =
.
&
/ = =
!
"
#
"
#
"
#
$ %
-
.
Vậy
7
=
.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 9
9
WWW.ToanCapBa.Net
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo
biến t.
Chú ý:
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
=
7 &
-
.
Giải
Đặt
& & <
3
< <
=
7 & &
<
- -
/ =
,
&
/ = =
!
"
#
"
#
"
#
$ %
-
.
Vậy
,
7
=
.
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
Chú ý:
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
.
7 &
-
.
Giải
.
7 & &
.
- -
.& &
0 .
- -
.& &
0 ,
- -
/
.
0 0. . /
!
"
#
"
#
"
#
$ %
.
Vậy
7
/
.
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân
&
7
-
.
Giải
Đặt
&
2 & 2 & &
< <
3
< <
WWW.ToanCapBa.Net Trang 10
10
WWW.ToanCapBa.Net
&
7
<
-
&
-
.
Vậy
7
.
4. Dạng liên kết
Ví dụ 5. Tính tích phân
&
7
-
.
Giải
Đặt
& & <
3 < <
&
7 &
<
- -
& &
7 7
<
- -
& &
.
.
- -
&
.
2
.
.
-
.
Vậy
7
.
Tổng quát:
1 & 1&
- -
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
+
+ +
7 &
-
.
Giải
Đặt
& &
<
3
< <
+
+ +
7 &
<
-
+
+ +
& 8
-
(1).
Mặt khác
7 8 &
-
(2). Từ (1) và (2) suy ra
7
.
.
Tổng quát:
& &
.
- -
Z
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
0
7 &
/
-
và
0
8 &
/
-
.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 11
11
WWW.ToanCapBa.Net
Giải
+,
0 0
/
7 /8 & /&
/
- -
0
/ /
(1).
+,
0 0
& &
7 8 &
/
/
- -
Đặt
& &
/
<
3
/ 0
< <
/ /
& &
7 8
<
- -
/ /
&
&
.
- -
/
/
. .
(2).
Từ (1) và (2)
/ /
7 /8 /
7 /
0 .
/
7 8 /
8 /
.
0 .
>
?
>
?
?
?
?
?
?
< (
@ @
? ?
? ?
? ?
A
?
A
.
Vậy
/ / /
7 / 38 /
0 . 0 .
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
7 &
-
.
Giải
Đặt
2 & 2 & <
3
.
< <
. .
2
7 2 & 2&
2
<
- -
.
Đặt
& &
.
<
3
. .
< <
.
.
7 2& 2 &
.
<
- -
. .
2
& &
2 2
! !
" "
# #
" "
# #
" "
$ % $ %
- -
WWW.ToanCapBa.Net Trang 12
12
WWW.ToanCapBa.Net
. .
& 2 & 7
.
- -
.
Vậy
7
,
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
.
.
7 &
+
-
.
Giải
Đặt
& & <
3
. . . .
< <
. .
. .
+
7 & &
+ +
<
- -
. .
. .
+
& &
+ +
- -
. . .
. .
& 7 7 & &
<
- - -
.
Tổng quát:
Với
3B3
,
B
, hàm số
1
chẵn và liên tục trên đoạn
3
thì
1
& 1&
- -
.
Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên
C
và thỏa
1 1
.
Tính tích phân
7 1&
-
.
Giải
Đặt
8 1 &
-
,
& & <
3
< <
7 1 & 8 /7 8 7 1 1 &
< <
- -
WWW.ToanCapBa.Net Trang 13
13
WWW.ToanCapBa.Net
& &
- -
.
Vậy
7
/
.
Vậy
7
.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 4. Tính tích phân
.
7 &
-
.
Giải
Đặt
& & < <
3
.
< <
7 &
<
-
.
Vậy
7
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
*
7 &
-
.
Giải
Đặt
* & *& < <
3 * < <
* *
7 * &
<
-
.
Vậy
*
7
.
II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
'
7 1 &
-
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
'
1
Bước 2. Tính
' '
7 1 & 1& 1& 1&
- - - -
.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 14
14
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 1. Tính tích phân
/
7 / &
-
.
Giải
Bảng xét dấu
/
/
/
=D
7 / & / &
- -
.
Vậy
=D
7
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
7 = . . &
-
.
Giải
7 . . & &
- -
.
Bảng xét dấu
0
0
0
7 & & /
0
- -
.
Vậy
7 /
0
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
'
7 1 2 & E
-
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
' ' '
7 1 2 & 1 & 2 & E E
- - -
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân
7 &
-
.
Giải
Cách 1.
7 & & &
- - -
WWW.ToanCapBa.Net Trang 15
15
WWW.ToanCapBa.Net
& & & &
- - - -
! !
" "
# #
" "
# #
" "
# #
$ % $ %
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
7 & & &
- - -
.
Vậy
7
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
F G
'
7 H 1 32 &
-
và
F G
'
8 H 1 32 &
-
, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
I 1 2
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
I B
thì
F G
H 1 32 1
và
F G
H 1 32 2
.
+ Nếu
I J
thì
F G
H 1 32 2
và
F G
H 1 32 1
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
F G
.
7 H 3. &
-
.
Giải
Đặt
I . . /
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
/ .
/
,
7 & . & &
/
- - -
.
Vậy
,
7
/
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
F G
7 H / 3. &
-
.
Giải
Đặt
I / . / .
.
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
/ =
7 / & . & .
/ /
!
"
#
"
#
"
#
$ %
- -
.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 16
16
WWW.ToanCapBa.Net
Vậy
=
7
/
.
III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ .
1.Tích phân dạng:
∫
++ cbxax
dx
2
(với a
≠
0)
Cách làm:
Biến đổi
cbxax ++
2
về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về
việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.
a)
22
ta +
Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u
!
"
#
"
#
"
#
$ %
(hoặc u
∈
).
b)
22
ta −
Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u
(hoặc u
.
c)
22
at −
Đặt t =
Cosu
a
(hoặc t =
Sinu
a
) với u
-
> K
? ?
? ?
@ L
? ?
? ?
A M
(hoặc u
-
{ }
0
)
Chú ý công thức:
∫
+ ax
dx
2
=
axx ++
2
ln
+C (C là hằng số tuỳ ý)
Chứng minh:
Đặt t = x +
ax +
2
dx
ax
x
dt
+
+=⇒
2
1
=
ax
dxt
+
2
.
Từ đó ta có :
ax
dx
t
dt
+
=
2
Vậy :
∫
+ ax
dx
2
=
∫
+++=+= CaxxCt
t
dt
2
lnln
(ĐPCM)
Với hàm hợp:
∫
+++=
+
Cauu
au
du
2
2
ln
(*)Trong đó u = u(x).
Ví dụ 1:Tính I =
∫
−
2
3
1
2
2 xx
dx
I =
∫
−−
2
3
1
2
)1(1 x
dx
Đặt x-1 = Sint . Khi x =1
⇒
t = 0
x =
⇒
2
3
t =
0
và :
Costdtdx =
vậy I =
∫ ∫
Π Π
Π
==
−
6
0
6
0
0
2
6
sin1
cos
tdt
t
tdt
=
0
WWW.ToanCapBa.Net Trang 17
17
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 2:Tính J =
∫
−+
3
2
2
344 xx
dx
Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và ngắn gọn
hơn.
áp dụng công thức (*) ta có: J =
∫
−+
3
2
2
344 xx
dx
=
∫
−+
3
2
2
3)12( x
dx
=
∫
−+
+
3
2
2
4)12(
)12(
2
1
x
xd
=
3
2
2
34412ln
2
1
−+++ xxx
=
+
+
215
457
ln
2
1
.
Ví dụ 3: Tính K =
∫
+
+−
2
21
2
1
2
344 xx
dx
=
∫
+
+−
2
21
2
1
2
2)12( x
dx
Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:
K =
∫
+
+−
2
21
2
1
2
2)12( x
dx
=
2
21
2
1
2
34412ln
2
1
+
+−++ xxx
=
21ln +
.
Cách 2: Đặt 2x - 1 =
2 tan t
Chú ý:
Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau:
Ví dụ 4:Tính M =
∫
−
+−
0
2
2
144 xx
dx
M =
∫
−
−
0
2
12x
dx
=
=
∫ ∫
− −
−
−−=
−
−
−=
−
0
2
0
2
0
2
21ln
2
1
21
)21(
2
1
21
x
x
xd
x
dx
= -
5ln
2
1
2.Tích phân dạng :
∫
++
+
cbxax
dxBAx
2
)(
Với a.A
≠
0
Cách làm:
Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là
cbxax ++
2
,một tích phân có tử là đạo hàm
của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.
Tức là tách:
∫
++
+
cbxax
dxBAx
2
)(
=
∫
+
++
+
dx
cbxax
bax
2
2
∫
++ cbxax
dxM
2
.
Ví dụ 1:Tính I =
∫
−+
+
32
)4(
2
xx
dxx
Ta có: I =
2
1
∫
−+
++
dx
xx
x
32
6)22(
2
=
−+
+
−+
+
∫ ∫
32
6
32
)22(
2
1
22
xx
dx
xx
dxx
=
=
321ln332
22
−++++−+ xxxxx
C
+
WWW.ToanCapBa.Net Trang 18
18
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 2:Tính J =
∫
−
++
+
0
1
2
22
)2(
xx
dxx
Ta có: J =
∫
−
++
+
0
1
2
22
)2(
xx
dxx
=
2
1
∫
−
++
++
0
1
2
22
2)22(
dx
xx
x
=
2
1
∫
−
++
+
0
1
2
22
)22(
xx
dxx
+
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx
=
0
1
22
221ln22
−
+++++++ xxxxx
=
)21ln(12 ++−
3.Tích phân dạng:
∫
+++ cbxaxx
dx
2
)(
βα
(Với
0.
≠
a
α
)
Cách làm: Đặt
t
x
1
=+
βα
chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).
Ví dụ 1:Tính I =
∫
+++
1
0
2
22)1( xxx
dx
Đặt
1
+
x
=
t
1
Khi x = 0
⇒
t = 1
x = 1
⇒
t =
2
1
Và dx = -
2
t
dt
.Ta có: I =
∫
+
1
2
1
2
1t
dt
=
1
2
1
2
1ln ++ tt
=
51
)21(2
ln
+
+
Ví dụ 2:Tính J =
∫
+−
3
2
2
1)1( xx
dx
Đặt x-1 =
t
1
⇔
x =
t
t 1+
Khi x = 2 thì t=1
x = 3 thì t =
2
1
và dx = -
2
t
dt
Tích phân cần tính là: I =
∫
+
+
−
2
1
1
2
2
1
11
t
t
t
t
dt
=
∫
++
1
2
1
2
1
2
2
1
tt
dt
=
∫
+
+
+
1
2
1
2
4
1
2
1
2
1
2
1
t
td
=
1
2
1
2
1
2
2
1
ln
2
1
++++ ttt
=
+
+
52
103
ln
2
1
WWW.ToanCapBa.Net Trang 19
19
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 3:Tính K =
∫
+−+
2ln
0
2
1)1(
xxx
x
eee
dxe
Đặt t = e
x
⇒
dt = e
x
dx.Khi : x = 0
⇒
t = 1
x = ln2
⇒
t = 2
Ta có: K =
∫
+−+
2
1
2
1)1( ttt
dt
Đặt u =
t+1
1
ta có:
2
)1( t
dt
du
+
−=
⇒
2
u
du
dt −=
1
1
−=
u
t
Vậy K =
∫
+
−
−
2
1
3
1
2
12
1
2
1
2
1
3
1
u
ud
=
2
1
3
1
2
12
1
2
1
2
1
ln
3
1
+
−+− uu
=
3ln
6
3
Ví dụ 4:Tính N =
∫
Π
Π +
2
6
2
2
cot
xSin
gxdx
Ta có : N =
∫
Π
Π +
2
6
2
2
cot
xSin
gxdx
= N =
∫
Π
Π +
2
6
2
2
cos
xSinSinx
xdx
Đặt t = Sin x thì : N =
∫
+
1
2
1
2
2tt
dt
Lại đặt u =
t
1
thì N =
∫
+
2
1
2
2
12
1
u
du
=
=
2
1
2
1
2
2
1
ln ++ uu
=
+
+
32
322
ln
2
1
4.Tích phân dạng:
∫
++ cbxax
dxxf
2
)(
Với
0
≠
a
bậc f(x)
≥
2,f(x) là đa thức.
Cách làm:Tách
∫
++ cbxax
dxxf
2
)(
= g(x).
cbxax ++
2
+
∫
++ cbxax
dx
2
λ
Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).
Tìm các hệ số của g(x) và số
λ
bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1:Tính M =
∫
32
)1(
2
2
++
+
xx
dxx
Tách :
∫
32
)1(
2
2
++
+
xx
dxx
=
32)(
2
+++ xxBAx
+
∫
++ 32
2
xx
dx
λ
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
WWW.ToanCapBa.Net Trang 20
20
WWW.ToanCapBa.Net
=
++
+
32
1
2
2
xx
x
32.
2
++ xxA
+
32
)1)((
2
++
++
xx
xBAx
+
32
2
++ xx
λ
Đồng nhất hệ số ta có :
1;
2
3
;
2
1
=−==
λ
BA
Vậy M =
32
2
3
2
++
−
xx
x
+
∫
++ 32
2
xx
dx
=
32
2
3
2
++
−
xx
x
+
Cxxx +++++ 321ln
2
Ví dụ 2:Tính N =
∫
++
+−
dx
xx
xx
22
1
2
3
Ta có :
∫
++
+−
dx
xx
xx
22
1
2
3
=
22)(
22
++++ xxCBxAx
+
∫
++ 22
2
xx
dx
λ
(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có:
x
3
-x +1 = (2A.x+B)(x
2
+2x+2) +(Ax
2
+Bx+C)(x-1) +D
Đồng nhất hệ số ta có: 3A = 1 A=
3
1
5A+2B =0 B= -
6
5
4A+3B+C =-1 C=
6
1
2B +C+D =1 D=
2
5
Vậy có: M =
( )
22152
6
1
22
+++− xxxx
+
2
5
∫
++ 22
2
xx
dx
=
( )
22152
6
1
22
+++− xxxx
+
Cxxx +++++ 221ln
2
5
2
Ví dụ 3:Tính P =
( )
∫
−
++
+−
0
1
2
22
)1(1
dx
xx
xxx
Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:
P =
( )
∫
−
++
+−
0
1
2
22
)1(1
dx
xx
xxx
=
∫
−
++
−
0
1
2
3
22
dx
xx
xx
=
P =
∫
−
++
+−
0
1
2
3
22
1
dx
xx
xx
-
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx
= N -
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx
=
=
(
( )
)
0
1
222
221ln
2
3
22152
6
1
−
++++++++− xxxxxxx
=
=
21ln
2
3
3
4
2
6
1
++−
.
5.Tích phân dạng :
∫
−
++
n
mnm
dcxbax
dx
2
)()(
với
0.,,
*
≠∈ caNnm
WWW.ToanCapBa.Net Trang 21
21
⇔
WWW.ToanCapBa.Net
Cách làm:Đặt
n
m
dcx
bax
t
+
+
=
ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.
Ví dụ :Tính I =
∫
++
1
0
3
)45()13( xx
dx
Ta thấy
2;3 == nm
đặt t =
3
45
13
+
+
x
x
3
2
45
13
+
+
=⇒
x
x
t
2
2
)45(
7
.
45
13
.32
+
+
+
=⇒
x
dx
x
x
tdt
3
2
21
2
)45(
t
dt
x
dx
=
+
⇒
Khi
8
1
0 =⇒= tx
27
8
1 =⇒= tx
Vậy ta có: I =
∫
++
1
0
3
)45()13( xx
dx
=
( )
∫
+
+
+
1
0
3
2
45
13
45
x
x
x
dx
=
∫
27
8
8
1
3
.21
2
tt
dt
=
=
dtt
3
4
27
8
8
1
21
2
−
∫
=
27
8
8
1
3
7
2
t
−
=
7
1
6.Tích phân dạng :
∫
+
+
dx
dcx
bax
Với
( )
0. ≠ca
Cách làm: Cách 1: Đặt
dcx
bax
t
+
+
=
Cách 2: Đặt
dcxt +=
Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn.
Ví dụ :Tính J =
∫
−
+
1
0
3
1
dx
x
x
Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt
xt −= 3
x
dx
dt
−
−=⇒
32
dt
x
dx
2
3
−=
−
⇒
Khi đó
22
413 txtx −=+⇒+−=
Vậy J =
∫
−
+
1
0
3
1
dx
x
x
=
∫
−−
2
3
2
42 dtt
Đặt
Sinyt 2=
Khi
3
3
Π
=⇒= yt
4
2
Π
=⇒= yt
WWW.ToanCapBa.Net Trang 22
22
WWW.ToanCapBa.Net
Cosydydt .2=
Vậy : J =
∫
Π
Π
−−
4
3
2
2.442 CosydyySin
=
=
∫ ∫
Π
Π
Π
Π
+
=
3
4
3
4
2
2
21
82.4 dy
yCos
ydyCos
=
( )
3
4
224
Π
Π
+ ySiny
=
23
3
−+
Π
7.Tích phân dạng:
[ ]
∫
dxuuxR
mn
;;
Cách làm: Đặt
k
ut =
Với k là BCNN của m và n.
Ví dụ1 :Tính I =
∫
−
++
+−
0
1
3
11
11
dx
x
x
Đặt
6
1+= xt
dxdtttxt =⇒≥+=⇒
56
6)0(1
I =
∫
−
++
+−
0
1
3
11
11
dx
x
x
=
∫
+
−
1
0
2
3
5
1
1
6 dt
t
t
t
=
∫
+
−
+
+++−++−
1
0
22
2346
1
6
1
6
666666 dt
tt
t
ttttt
Tích phân này dễ dàng tính được.
Ví dụ2 :Tính J =
∫
++++
−+
3
0
2
112
21
dx
xxx
x
Đặt
dxtdtxt =⇒+= 21
J =
∫
++++
−+
3
0
2
112
21
dx
xxx
x
=
∫
+
−
2
1
4
)2(2
tt
tdtt
=
∫
+
−
2
1
3
1
42
dt
t
t
=
∫
+−
+
+
+
2
1
2
1
1
dt
tt
CBt
t
A
Đồng nhất hệ số ta có:
2;2;2 −==−= CBA
Vậy J =
++−
2
1
1ln2 t
∫
+−
−
2
1
2
1
22
dt
tt
t
=
=
∫ ∫
+−
−
−
+−
+−
+
2
1
2
1
22
2
1
2
1
1
)1(
3
2
ln2
tt
td
tt
ttd
=
Ltt ++−+ 1ln
3
2
ln2
2
Tính L bằng cách đặt
tgut
2
3
2
1
=−
Ta có đáp số là: I =
33
3
4
ln
Π
−
.
8.Tích phân dạng :
∫
+ dxbxax
qpr
)(
(p,q,r là các phân số)
a)Nếu q nguyên đặt x= t
s
với s là BCNN của mẫu số r và p.
b)Nếu
p
r 1+
nguyên đặt
sp
tbxa =+
với s là mẫu của phân số q.
WWW.ToanCapBa.Net Trang 23
23
WWW.ToanCapBa.Net
c) Nếu
p
r 1+
+q nguyên đặt
sp
tbax =+
−
với s là mẫu số của phân số q.
Ví dụ1 :Tính I =
∫
−
3
4
)1( xx
dx
Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I =
∫
−
3
4
)1( xx
dx
=
dxxx
3
4
1
2
1
1
−
−
+−
∫
Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t
4
ta có dx=4t
3
dt
I =
∫
−
32
3
)1(
4
tt
dtt
=
4
∫
−
3
)1(t
tdt
=
=
∫
−
−
−
−
−
dt
t
tt
1
1
)1(
1
)1(
1
4
23
=
=
Ct
tt
+
−−
−
+
−
− 1ln
1
1
)1(2
1
4
2
.
Ví dụ 2 :Tính J =
∫
−−
22
5
)( xaxa
dxx
( )
0>a
Ta có: J =
dxxax
∫
−
−
2
3
25
)(
Vì
3
2
151
=
+
=
+
p
r
nguyên nên đặt a-x
2
= t
2
tdtxdxtdtxdxtax −=⇒=−⇒−=⇒ 22)(
224
Vậy J =
( )
∫
−
−
3
2
2
t
tdtta
= -
dt
t
aatt
∫
+−
3
224
2
=
C
t
a
att +++−
2
3
2
3
1
.
Ví dụ 3 :Tính N =
∫
dxxax
3
3
−
Ta có: N =
∫
dxxax
3
3
−
=
dxxax
3
1
2
3
1
)( −
∫
Do
.3
1
;2;
3
1
=== qpr
vì
1
1
=+
+
q
p
r
nguyên nên ta đặt
32
1 tax =−
−
hay
23
2
2
3
23
2
)1(
3
1
1
+
−=⇒
+
=⇔=−
t
dtat
dx
t
a
xt
x
a
Vậy N =
∫
−
2
3
2
1
2
1
dx
x
a
=
∫
+
− dt
t
at
t
23
2
)1(
3
2
1
=
∫
+
−
23
3
)1(
2
3
t
dtta
=
=
∫
+1
1
2
2
t
td
a
=
∫
+
−
+ 1
2
)1(2
32
t
dta
t
at
(Tích phân này dễ dàng tính được).
9.Các phép thế Euler:
a) Đặt
cbxax ++
2
= ±
xa.
t+
Nếu
a
>0
b) Đặt
cbxax ++
2
=
tx.
±
c
Nêú c>0
c) Đặt
cbxax ++
2
=
)(
0
xxt −
Nếu x
0
là nghiệm của TTB2
WWW.ToanCapBa.Net Trang 24
24
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 1 :Tính M =
∫
++
1
0
2
56xx
dx
a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt
txtxaxx +=+=++ .56
2
62
5
)(56
2
22
−
−
−=⇔+=+−⇒
t
t
xtxxx
Suy ra:
dt
t
tt
dx
2
2
)62(
)56(2
−
−+−
=
62
56
56
2
2
+−
−+−
=++
t
tt
xx
Với
50 =⇒= tx
1321 −=⇒= tx
(Chú ý rằng
0
>+
tx
)
Ta có: I =
∫
−
+−
132
5
3t
dt
= -
−
−
=+−
−
232
53
ln3ln
132
5
t
Ví dụ 2 :Tính P =
∫
−
−
+++
++−
2
5
2
2
23
23
dx
xxx
xxx
Tam thức bậc hai x
2
+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt
)1(23
2
+=++ xtxx
;
[ ]
1;20 −−∈∀≤ xt
1
2
)1(2
2
2
2
−
+−
=⇒+=+⇒
t
t
xxtx
vậy
22
)1(
2
−
−
=
t
tdt
dx
Khi đó: P =
∫
−
−
+++
++−
2
5
2
2
23
23
dx
xxx
xxx
=
∫
−
+−−
−−
0
2
3
3
2
)1)(1)(2(
42
dt
ttt
tt
=
3
1
∫
−
+
0
2
3
3
)1(t
dt
+
18
5
∫
−
+
0
2
3
2
)1(t
dt
-
108
17
∫
−
+
0
2
3
1
dt
t
dt
+
4
3
∫
−
−
0
2
3
1
dt
t
dt
-
27
16
∫
−
−
0
2
3
2
dt
t
dt
=
2
3
0
2
2ln
27
16
1ln
4
3
1ln
108
17
)1(18
5
)1(6
1
−
−+−−++
+
+
+
ttt
t
t
.
Ví dụ 3 :Tính L =
∫
−
−
+−−
2
7
3
2
43xx
dx
Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai.
Đặt
243
2
+=+=+−− xtcxtxx
Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân
∫
−
+
0
1
2
1t
dt
10.Một số bài toán khác:
Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số
phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:
WWW.ToanCapBa.Net Trang 25
25
