Luyện thi đại học Số phức đại số tổ hợp

Trường THPT Tân Quới
Chuyên đề
SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số ( vẫn còn nhớ )
II. Dạng lượng giác của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
*
2 2
r a b= +
là môđun của z.
*
ϕ
là một acgumen của z thỏa
cos
sin
a
r
b
r
ϕ
ϕ

=





=


1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
,
( )
' ' cos ' sin 'z r i
ϕ ϕ
= +
thì:
*
( ) ( )
. ' . ' cos ' sin 'z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= + + +
 
*
( ) ( )
cos ' sin '
' '
z r
i
z r

ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= − + −
 
2. Công thức Moivre:
*n N
∈
thì
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ = +
 
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
+

 ÷
 
và
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
− +
 ÷
 
B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức
2
2
2
1
zzA +=
.
ĐS: A=20
2. Cho z
1
, z

2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
.
ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)
2
(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:
iz
iz
iz
2
734
−=
−

−−
.
ĐS: a. a=2, b=−3
b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn:
2 2z i− + =
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
( ) ( )
2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i= − − + = + − −
.
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn
( )
102 =+− iz
và
25. =zz
.
ĐS: z=3+4i hoặc z=5
6. Tìm số phức z thỏa mãn:
( )
( )
1
1 1
3
1 2
z
z i
z i
z i


−
=

−


−

=

+

.
HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.
ĐS: z=1+i.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
1
Trường THPT Tân Quới
7. Giải phương trình:
4
1
z i
z i
+
 
=
 ÷
−
 

.
ĐS: z∈{0;1;−1}
8. Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z∈{0;i;−i}
9. Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z=0, z=−1,
1 3
2 2
z i= ±
10. Giải phương trình:
2
4 3
1 0
2
z
z z z− + + + =
.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
.
ĐS: z=1±i,
1 1

2 2
z i= − ±
.
11. Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i= − = ± = − ±
.
12. Cho phương trình: (z + i)(z
2
−2mz+m
2
−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
α
làm nghiệm biết:
a.

α
= 2−5i b.
α
= −2−i
3
c.
α
=
3 - 2i
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
−iz
2
−2iz−2 = 0. b. z
3
+(i−3)z
2
+(4−4i)z−7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện
( )
243 =−− iz
.
ĐS: (x−3)
2
+(y+4)
2
=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:

2 2z i z z i− = − +
.
ĐS:
2
4
x
y =
.
17. Trong các số phức thỏa mãn
3
2 3
2
z i− + =
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.
3
2 3
2
z i− + =
⇒ … ⇒
( ) ( )
2 2
9
2 3
4
x y− + + =
.
* Vẽ hình ⇒|z|
min
⇒z.

ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
z i
− −
= +
.
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a.
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
. b.
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +
 ÷
 
.
HD: Sử dụng công thức Moivre.

ĐS: a. Phần thực
1
16
−
, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
2
Trường THPT Tân Quới
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực −2
10
, phần ảo: 2
10
+1.
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
( )
!
!
kn
n

A
k
n
−
=
, n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:
( )
!!
!
knk
n
C
k
n
−
=
, n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
( )
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n

n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+
−−−−−− 11222222110

.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT
−
+
=
1
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2









+
x
x
, (x>0).
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1








+
x
x
với x>0.
ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của

n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n
n
n
n
,
(n nguyên dương, x>0, (

k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1

=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số nguyên
dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
=M
5. (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x







+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2

1
2
=+++
−n
nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x
2
(1+3x)
10
.
ĐS: 3320
8. (ĐH_Khối D 2003)
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
3
Trường THPT Tân Quới
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n

−
3
là hệ số của x
3n
−
3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
.
Tìm n để a
3n
−
3
=26n.
ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
.
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng

k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2
1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n

C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n
C
n
0
−3
n
−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C
n
2
−3
n

−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC

1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+
−
++
−
+
−
+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
ĐS:
1
23

11
+
−
++
n
nn
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
,
tìm n.
ĐS: n=8
15. (ĐH_Khối A 2008)

Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0

, a
1
,…a
n
.
ĐS: a
8
=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần

tử).
17. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)

Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
ĐS: 238
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
4
Trường THPT Tân Quới
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n

x
x
CCCC








+
















++

















+








=









+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
3
2

1
22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)
n
.
b. Tính các tổng S
1
=1−C
n
2
+C
n
4
−C
n
6
+… S
2
=C
n
1
−C

n
3
+C
n
5
−…
21. Chứng minh rằng C
100
0
–C
100
2
+C
100
4
–C
100
6
+ … –C
100
98
+C
100
100
=–2
50
.
−o0o−
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
5