Luyện thi đại học chuyên đề khảo sát hàm số

Năm hc: 2010- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm
nhiu , bên cnh ñó 

,
Trang1/10-LTðH-2010


L
L
U
U
Y
Y


N
N

T
T
H
H
I
I


ð
ð


I
I


H
H


C
C

C
C
H

H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N


ð
ð




:
:
K
K
H
H


O
O


S

S
Á
Á
T
T


H
H
À
À
M
M


S
S





 !"#
$%$$&
' !() '*+),,, -!&
' .$/!*'0.1
#2,,,,,

BA CÔNG THC TÍNH NHANH ðO HÀM
CA HÀM S HU T
+
( )
2
'
dcx
bcad
y
dcx
bax
y
+
−
=⇒
+
+
=

( )
( )
2
22
2
'
edx
cdbeaexadx
y
edx
cbxax

y
+
−++
=⇒
+
++
= 
+
2
22
2
2
12211221
2
1221
22
2
2
11
2
1
)(
)(2)(
'
cxbxa
cbcbxcacaxbaba
y
cxbxa
cxbxa
y

++
−+−+−
=⇒
++
++
=

CHUYÊN ð: CÁC CÂU HI TH HAI TRONG
ð THI KHO SÁT HÀM S LTðH


Dng 1: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ hàm s ñng bin trên ℝ ?
Phương pháp:

TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
ð hàm s ñng bin trên ℝ
thì
' 0y x≥ ∀ ∈ ℝ ⇔
0
0
a >


∆ ≤


Dng 2: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ hàm s nghch bin trên ℝ ?
Phương pháp:

TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
ð hàm s ñng bin trên ℝ
thì
' 0y x≤ ∀ ∈ ℝ ⇔
0
0
a <


∆ ≤


Dng 3: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ ñ th hàm s có cc tr?
Phương pháp:

TXð: D =
ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c 



ð th hàm s có cc tr khi phương trình y’ = 0 có 2
nghim phân bit và y’ ñi du khi x ñi qua hai nghim ñó
⇔
0
0
a ≠


∆ >



www.MATHVN.com
Năm hc: 2000- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm
nhiu , bên cnh ñó 

,
Trang2/10-LTðH-2010

Dng 4: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. Chng
minh rng vi mi m ñ th hàm s luôn luôn có cc tr?
Phương pháp:

TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Xét phương trình y’ = 0, ta có:

∆ =….>0, ∀m
Vy vi mi m ñ th hàm s ñã cho luôn luôn có cc tr.
Dng 5: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ ñ th hàm s không có cc tr?
Phương pháp:

TXð: D =
ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Hàm s không có cc tr khi y’ không ñi du trên toàn
tp xác ñnh
0
0
a ≠

⇔

∆ ≤


Dng 6: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ ñ th hàm s ñt cc ñi ti x
0
?
Phương pháp:

TXð: D =
ℝ

Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
ð hàm s ñt cc ñi ti x
0
thì
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<


Dng 7: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ ñ th hàm s ñt cc tiu ti x
0
?
Phương pháp:

TXð: D =
ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c

ð hàm s ñt cc tiu ti x
0
thì
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


>


Dng 8: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ ñ th hàm s ñt cc tr bng h ti x
0
?
Phương pháp:
TXð: D = ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
ð hàm s ñt cc tr bng h ti x
0
thì
0
0
'( ) 0

( )
f x
f x h
=


=


Dng 9: Cho hàm s y = f(x) có cha tham s m. ðnh m
ñ ñ th hàm s ñi qua ñim cc tr M(x
0
;y
0
)?
Phương pháp:

TXð: D =
ℝ
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
ð hàm s ñi qua ñim cc tr M(x
0
;y
0
) thì
0
0 0
'( ) 0

( )
f x
f x y
=


=


Dng 10: Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C) và
M(x
0
;y
0
)∈(C). Vit PTTT ti ñim M(x
0
;y
0
) ?
Phương pháp:

Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x
0
)
Phương trình tip tuyn ti ñim M(x
0
;y
0
) là
y – y

0
= f’(x
0
).( x – x
0
)
Các dng thưng gp khác :
1/ Vit phương trình tip tuyn vi ñ th (C) ti ñim có
hòanh ñ x
0
.
Ta tìm: + y
0
= f(x
0
)
+ f’(x) ⇒ f’(x
0
)
Suy ra phương trình tip tuyn cn tìm là
y – y
0
= f’(x
0
).( x – x
0
)
2/ Vit phương trình tip tuyn vi ñ th (C) ti ñim
tha mãn phương trình f”(x)= 0.
Ta tìm: + f’(x)

+ f”(x) 
+Gii phương trình f”(x) = 0⇒ x
0

+ y
0
và f’(x
0
). Suy ra PTTT.
Dng 11: Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C) Vit phương
trình tip tuyn (d) ca (C)
a/ song song vi ñưng thng y = ax + b.
b/ vuông góc vi ñưng thng y = ax + b.
Phương pháp:

a/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tip tuyn (d) song song vi ñưng thng y = ax + b
nên (d) có h s góc bng a.
Ta có: f’(x) = a (Nghim ca phương trình này chính là
hoành ñ tip ñim)
Tính y
0
tương ng vi m i x
0
tìm ñư!c.
Suy ra tip tuyn cn tìm (d):
y – y
0
= a. ( x – x
0

)
www.MATHVN.com
Năm hc: 2000- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm
nhiu , bên cnh ñó 

,
Trang3/10-LTðH-2010

b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tip tuyn (d) vuông góc vi ñưng thng y = ax + b
nên (d) có h s góc bng
1
a
− .
Ta có: f’(x) =
1
a
−
(Nghim ca phương trình này chính
là hoành ñ tip ñim)
Tính y
0
tương ng vi m i x
0
tìm ñư!c.
Suy ra tip tuyn cn tìm (d):
y – y
0
=

1
a
− . ( x – x
0
)
Chú ý:
+ ðưng phân giác ca góc phn tư th nht y = x.
+ ðưng phân giác ca góc phn tư th hai y = - x.
Dng 12: Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C) Tìm GTLN,
GTNN ca hàm s trên [a;b]
Phương pháp:

Ta có: y’ = f’(x)
Gii phương trình f’(x) = 0, ta ñư!c các ñim cc tr: x
1
,
x
2
, x
3
,…∈ [a;b]
Tính: f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), f(x
3
),…
T" ñó suy ra:
[ ] [ ]

; ;
ax ; in
a b a b
m y m y= =
Phương pháp chung ta thưng lp BBT
Dng 13: Cho h ñưng cong y = f(m,x) vi m là tham
s.Tìm ñim c ñnh mà h ñưng cong trên ñi qua vi
mi giá tr ca m.
Phương pháp:

Ta có: y = f(m,x)
⇔ Am + B = 0, ∀m (1)
Ho#c Am
2
+ Bm + C = 0, ∀m (2)
ð th hàm s (1) luôn luôn ñi qua ñim M(x;y) khi (x;y)
là nghim ca h phương trình:
0
0
A
B
=


=

(a) (ñi vi (1))
Ho#c
0
0

0
A
B
C
=


=


=

(b) (ñi vi (2))
Gii (a) ho#c (b) ñ tìm x ri→ y tương ng.
T" ñó kt lun các ñim c ñnh cn tìm.
Dng 14: Gi s% (C
1
) là ñ

th
ca hàm s y = f(x) và
(C
2
) là ñ th ca hàm s y = g(x). Bin lun s
giao ñim ca hai ñ th (C
1
), (C
2
).
Phương pháp:

Phương trình hoành ñ giao ñim ca y = f(x) và
y = g(x) là
f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0 (*)
S giao ñim ca hai ñ th (C
1
), (C
2
) chính là s nghim
ca phương trình (*).
Dng 15: Da vào ñ th hàm s y = f(x), bin lun theo
m s nghim ca phương trình f(x) + g(m) = 0
Phương pháp:

Ta có: f(x) + g(m) = 0
⇔ f(x) = g(m) (*)
S nghim ca (*) chính là s giao ñim ca ñ th (C): y
= f(x) và ñưng g(m).
Da vào ñ th (C), ta có:…v.v…
Dng 16: Cho hàm s y = f(x), có ñ th (C). CMR ñim
I(x
0
;y
0
) là tâm ñi xng ca (C).
Phương pháp:

Tnh tin h tr&c Oxy thành h tr&c OXY theo vectơ
( )

0 0
;OI x y=

.
Công thc ñi tr&c:
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

2
3
x
y
x
+
=
−

Th vào y = f(x) ta ñư!c Y = f(X)
Ta cn chng minh hàm s Y = f(X) là hàm s l'. Suy ra
I(x
0
;y
0
) là tâm ñi xng ca (C).

Dng 17: Cho hàm s y = f(x), có ñ th (C). CMR ñưng
thng x = x
0
là tr&c ñi xng ca (C).
Phương pháp:

ði tr&c bng tnh tin theo vectơ
( )
0
;0OI x=


Công thc ñi tr&c
0
x X x
y Y
= +


=


Th vào y = f(x) ta ñư!c Y = f(X)
Ta cn chng minh hàm s Y = f(X) là hàm s ch(n. Suy
ra ñưng thng x = x
0
là tr&c ñi xng ca (C).

www.MATHVN.com
Năm hc: 2000- 2011

Cách hc tt môn Toán là phi làm
nhiu , bên cnh ñó 

,
Trang4/10-LTðH-2010

Dng 18: S tip xúc ca hai ñưng cong có phương trình
y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:

Hai ñưng cong y = f(x) và y = g(x) tip xúc vi nhau khi
và ch) khi h phương trình

( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=


Có nghim và nghim ca h phương trình trên là hoành
ñ tip ñim ca hai ñưng cong ñó.
Dng 19: Tìm ñim A ,t" A k' ñc n tip tuyn ti ñ
th
)(xfy =
(C)
Phương pháp

+Gi s%
( )
00
, yxA
+ Pt ñthng ñi qua
( )
00
, yxA có h s góc k có dng :

( ) ( )
00
: yxxkyd +−=
+ðthng (d) tip xúc vI ñ th (C) khi h sau có nghim
( ) ( )
( )



=
+−=
)2(
)1(
'
00
kxf
yxxkxf

Thay (2) vào (1) ñư!c :
( ) ( )( )

00
'
yxxxfxf +−= (3)
+Khi ñó s nghim phân bit ca (3) là s tip tuyn k' t"
A tI ñ th (C)
Do ñó t" A k' ñư!c k tip tuyn tI ñ th (C)
⇔
có k nghim phân bit
⇒
ñim A (nu có)

Dng 20: ðnh ñkin ñ ñ th hàm s bc 3 có Cð ,
CT nm v* 2 phía (D)
Phương pháp
+ðnh ñkin ñ ñ th hàm s bc 3 có các
ñim cc tr
( )
),(&,
222111
yxMyxM
(
21
, xx
là nghim ca pt y' = 0)
1)Nu (D) là tr&c Oy thì ycbt
21
0 xx <<⇔
2)Nu (D) là ñthng x = m thì ycbt
21
0 xx <<⇔

3)Nu (D) là ñthng
0=++ cbyax
thì:
ycbt
( )( )
0
2211
<++++⇔ cbyaxcbyax
@ Nu (D) là ñưng tròn thì cũng ging trưng h!p 3)


Dng 21: ðnh ñkin ñ ñ th hàm bc 3 có Cð , CT
nm v* cung 1 phía ñI vI (D).
Phương pháp
+ðnh ñkin ñ ñ th hàm s bc 3 có các
ñim cc tr
( )
),(&,
222111
yxMyxM

(
21
, xx
là nghim ca pt y' = 0)
1)Nu (D) là tr&c Oy thì
ycbt
2121
00 xxxx <<∨<<⇔

2)Nu (D) là ñthng x = m thì
ycbt
2121
0 xxmxx <<∨<<⇔

3)Nu (D) là ñthng
0=++ cbyax
thì:
ycbt
( )( )
0
2211
>++++⇔ cbyaxcbyax
@ Nu (D) là ñưng tròn thì cũng ging trưng h!p 3)
Dng 22: ðnh ñkin ñ ñ th hàm s (C) c,t ñthng
(D) tI 2 ñim phân bit tho 1 trong nhưng ñkin sau:

1)Thuc cùng 1 nhánh
⇔
(I) có nghim phân bit nm
cùng 1 phía ñI vI x = m ( (I) là PTHðGð ca
(C) và (D) ; x = m là t/cn ñng ca (C) )
2) Cùng 1 phía Oy
)(I⇔
có 2 nghim phân bit cùng
du
3)Khác phía Oy
)(I⇔
có 2 nghim phân bit trái du

Dng 23: Tìm ñim trên ñ th hàm s (C) sao cho:
Tng các khong cách t" ñó ñn 2 t/cn là Min
Phương pháp:

+Xét
( )
000
, yxM
thuc (C)
( )
0,0
, yx⇔

thoã y = thương +dư /m-u
+Dùng BðT Côsi 2 s
⇒
kqu

Dng 24:Tìm ñim trên ñ th hàm s (C) sao
cho:khong cách t" ñó ñn 2 tr&c to ñ là Min
Phương pháp:

+Xét
( )
000
, yxM thuc (C)
www.MATHVN.com
Năm hc: 2000- 2011
Cách hc tt môn Toán là phi làm

nhiu , bên cnh ñó 

,
Trang5/10-LTðH-2010

+ð#t P =
( ) ( )
0000
,, yxPOyMdOxMd +=⇒+
+Nháp
:Cho ;0
00
Ayx =⇒= Bxy =⇒=
00
0
GI L = min
),( BA
+Ta xét 2 trưng h!p :

TH1
:
LPLx >⇒>
0

TH2:
Lx ≤
0
.Bng ppháp ño hàm suy ra ñc kqu

Dng 25:Tìm ñkin cn và ñ ñ 3 ñim M,N,P cung
thuc ñth (C) thng hàng?
Phương pháp
M ,N,P thng hàng
⇔
vetơ MN cùng phương vI vectơ
MP
a
b
xxx
PNM
−
=++⇔
Dng 26: Tìm trên ñ th (C) :y = f(x) tt c các ñim
cách ñ*u 2 tr&c to ñ

Phương pháp:

+Tp h!p nh.ng ñim cách ñ*u 2 tr&c to ñ trong (Oxy)
là ñưng thng y = x và y = -x .Do ñó :
+To ñ ca ñim thuc (C) :y = f(x) ñng thI cách ñ*u
2 tr&c to ñ là nghim ca :











−=
=



=
=
xy
xfy
xy
xfy
)(
)(
⇒
kqu

Dng 27:Lp pt ñ/t ñi qua 2 ñim cc tr ca hàm s h.u
t) :
''
2
bxa
cbxax
y
+
++
=

( )

m
C

Phương pháp :

ð#t
( )
( )
x
x
V
U
y =
+ có
( ) ( )
( )
2
)(
)(
'
)()(
'
)(
'
x
xxxx
V
UVVU
y
−

=
+GI A
( )
11
, yx
là ñim cc tr ca
( )
m
C
'
1
'
1
1
1
1
'
11
'
1
0'
x
x
x
x
xxxx
V
U
V
U

UVVUy =⇔=⇔=⇒
=
1
y
(1)
+ GI B
( )
22
, yx
là ñim cc tr ca
( )
m
C
'
2
'
2
2
......................................
x
x
V
U
y =⇔⇔⇒
(2)
T" (1), (2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñim cc tr là
'
'
x
x

V
U
y =


Dng 28:Lp pt ñ/t ñi qua 2 ñim cc tr ca hs bc 3
( )
m
C , khi ko tìm ñc 2 ñim cc tr
Phương pháp:

+Chia
'' y
dcx
bax
y
y +
++=
(cx+d :là phn dư ca phép
chia)
( )
dcxybaxy +++=⇒ '
+Goi A(
( ) ( )
2211
,,, yxByx
là 2 ñim cc tr ca hàm s
( )
m
C 0''

21
==⇒
xx
yy
+Do A
( )
m
C∈ nên
( )
dcxybaxy +++=
1111
'
dcxy +=⇒
11
(1)
+Do B
( )
m
C∈ nên
( )
dcxybaxy +++=
2222
'

dcxy +=⇒
22
(2)
T" (1),(2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñim cc tr :
dcxy +=

Dng 29:ðnh ñkin ñ ñ th hàm s bc 3 có ñim
Cð và CT ñI xng nhau qua 1 ñ/t y = mx + n
( )
0≠m
Phương pháp:

+ðnh ñkin ñ hàm s có Cð, CT (1)
+Lp pt ñ/t (D) ñi qua 2 ñim cc tr
+Gi I là trung ñim ñon nI 2 ñim cc tr

+ycbt
kq
nmxyI
Dnmxy
dk
⇒





+=∈
⊥+=⇔ )(
)1(

www.MATHVN.com