SKKN nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán lớp 8

Sáng kiến kinh nghiệm:
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
TOÁN LỚP 8
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Xuất phát từ mục tiêu đào tạo của Bộ giáo dục - Đào tạo và sự đổi mới
phương pháp dạy học nên đòi hỏi mỗi giáo viên phải không ngừng học tập và
nghiên cứu khoa học để đáp ứng những yêu cầu mới trong tình hình mới.
Chương trình Toán lớp 8, phần “ Chương trình chứa ẩn trong dấu giá
trị tuyệt đối”- dành cho học sinh khá - giỏi là một trong những phần khó. Muốn
nắm được các cách giải của dạng toán này học sinh phải nắm vững định nghĩa
giá trị tuyệt đối. Nhiều học sinh gặp trở ngại khi giải dạng toán này, lúng túng
khi giải bài toán có dấu giá trị tuyệt đối.
Chính vì lý do trên tôi mạnh dạn nghiên cứu và đưa ra sáng kiến
“Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối”. Với mong muốn thiết
thực giúp học sinh hiểu bài và làm bài tốt hơn. Hi vọng sẽ đem lại kết quả tốt
cho các em.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
Để giải các phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, cần khử dấu
giá trị tuyệt đối. Nhớ lại kiến thức: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng
chính nó nếu biểu thức không âm, bằng số đối của nói nếu biểu thức âm:
=A
A nếu A≥ 0
-A nếu A<0
* Phương pháp 1: Phương pháp chia khoảng trên trục số.
1
Để khử dấu giá trị tuyệt đối, cần xét giá trị của biểu làm cho biểu thức
không âm hay âm. Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc
nhất, ta cần nhớ định lý sau:
- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a
≠
0)

Nhị thức ax + b (a
≠
0)
- Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức.
- Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Chứng minh:
Gọi x
0
là nghiệm của nhị thức ax + b thì:
a
b
x
−
=
0
. Xét
x
x
a
b
x
a
bax
0
−=+=
+
- Nếu x > x
0
thì x – x
0

> 0 ⇒
bax
a
bax
+⇒>
+
0
cùng dấu với a.
- Nếu x < x
0
thì x – x
0
< 0 ⇒
bax
a
bax
+⇒<
+
0
trái dấu với a.
Ví dụ 1: Giải phương trình
45212 =−+− xx
(1)
Lời giải:
Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối.
x
2
1
2
5

12 −x
- 2x + 1 0 2x – 1 2x – 1
52
−
x
- 2x + 5 - 2x +5 0 2x - 5
VÕ tr¸i - 4x + 6 4 4x - 6
Tõ ®ã ta xÐt 3 trêng hîp sau:
a) xÐt
2
1
<x
2
(1) Trở thành - 4x + 6 = 4 ⇔
2
1
<x
, không phụ thuộc khoảng đang xét.
b) Xét
2
5
2
1
<≤ x
(1) Trở thành 4 = 4 đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét tức là:
2
5
5
1
<≤ x

c) Xét
2
5
≥x
(1) trở thành 4x – 6 = 4 ⇔
2
5
=x
thuộc khoảng đang xét.
Kết luận: Nghiệm của phương trình (1) là
2
5
2
1
≤≤ x
* Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi tương đương
Ta áp dụng hai phép biến đổi cơ bản sau:
(1)








−=
=
≥
⇔=

ba
ba
b
ba
0
(2)



−=
=
⇔=
ba
ba
ba
Ví dụ 2: Giải phương trình:
531 −=− xx
(2)
Lời giải: áp dụng phép biến đổi thứ hai ta có:
(2)




=
=
⇔




+−=−
−=−
⇔
2
3
2
531
531
x
x
xx
xx
Kết luận: Phương trình (2) có hai nghiệm:
2
3
;2
21
== xx
Nhận xét: Ta có thể sử dụng phương pháp 1 để giải phương trình (2).
3
* Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1110255
22
−+−=+− xxxx
(3)
Lời giải:
(3)
( )
155255

22
=+−−=+−⇔ xxxx
Đặt
txx =+− 55
2
thì phương trình trở thành
12 −−= tt
1
1
3
1
2
1
12
12
012
−=⇔









−=
−=
−≤
⇔









+=
−−=
≥−−
⇔ t
t
t
t
tt
tt
t



=
=
⇔=+−⇔−=+−
3
2
065125
22
x
x

xxxx
* Phương pháp 4: Sử dụng đồ thị:
Nguyên tắc: Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là hoành độ điểm
chung của hai đồ thị y = f(x) và y – g(x).
Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm của phương trình:
mxxx =+++− 11
Lời giải: Trước hết ta vẽ đồ thị hàm số:
xxxy +++−= 11
+ Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
x -1 0 1
1−x
-x + 1 -x + 1 -x + 1 0 x – 1
4
1+x
-x 1 0 x + 1 x + 1 x + 1

x
-x
-x 0 x x
y -3x 3 -x + 2 2 x + 2 3 3x
Vẽ đồ thị trên từng khoảng chú ý các điểm đặc biệt:
A(-1;3) ; B(0;2) ; C(1;3);
Số nghiệm của phơng trình đúng bằng số điểm chung của đờng thẳng
y = m với đồ thị vừa vẽ.
3
B 2
-1 0 1
T th ta cú :
Nu m < 2 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
Nu m = 2 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht.

Nu m > 2 thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.
5
x
y
A
C
* Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức:
Nguyên tắc: Sử dụng bất đẳng thức để so sánh f(x) và g(x). Từ đó tìm ra
nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
Ví dụ 5: Giải phương trình:
[ [
120042003
7
5
=−+− xx
Giải
Kiểm tra ngay x = 2003 và x = 2004 là các nghiệm của phương trình.
• Nếu x > 2004 thì x – 2003 > 1 nên
5
200312003 −⇒>− xx
>1
120042003
75
>−+−⇒ xx
Chứng tỏ phương trình không có nghiệm thoả
mãn x > 2004.
• Nếu x < 2003 thì x – 2004 < -1 nên
1200412004
7
>−⇒>− xx

120042003
75
>−++⇒ xx
. Chứng tỏ x < 2003 không là nghiệm.
• Nếu 2003 < x < 2004 thì:



<−<−
<−<
020041
120030
x
x
Nên





−=−<−
−=−<−
xxx
xxx
200420042004
200320032003
7
5
Do đó
( ) ( )

12004200320042003
75
=−+−<−+− xxxx
Chứng tỏ 2003 < x < 2004 cũng không thoả mãn phương trình.
Tóm lại:Phương trình chỉ có 2 nghiệm đã kiểm tra.
Chú ý: Ví dụ 1 có thể giải như sau:
4251225125212 =−+−≥−+−=−+− xxxxxx
Đẳng thức xảy ra
( )( )
2
5
2
1
02512 ≤≤⇔≥−−⇔ xxx
Một số bài tập giải theo các phương pháp vừa nêu.
6
Bài 1: Giải các phương trình
1)
212213 +=++−−−− xxxxx
2)
xxx +=+
2
1
3)
1
11
2
=
−−
−

x
x
Bài 2: Tìm m để phương trình:
012
22
=+−−− mxmxx
có nghiệm.
Bài 3: Với giá trị nào của tham số m phương trình sau có nghiệm duy nhất:
123 =−−+ mxx
7
* BÀI HỌC RỨT RA TỪ SÁNG KIẾN
Muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi Toán 8 bản thân giáo viên
phải nắm chắc kiến thức cơ bản, tìm tòi sáng tạo, phát hiện ra nhiều phương
pháp giải hay. Làm việc nhiệt tình, có khoa học áp dụng phương pháp dạy học
mới.
Yêu cầu học sinh phải chăm học, say sưa học môn Toán. Có ý thức tìm
nhiều lời giải hay cho những bài tập, bài toán khó.
Do thời gian và điều kiện còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để tôi
tiếp tục học hỏi, nâng cao chuyên môn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đông Hoàng, ngày 6 tháng 6 năm 2008
Người viết
Phí Ngọc Thi
8
9
10