SKKN áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
SKKN:
ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong năm học 2011 – 2012 việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
dành thời gian ít hơn, nhưng để giúp cácc em học sinh thích tìm tòi , khám phá
trong học tập và làm nền tảng trong thi cao đẳng và Đại học cũng như nâng
cao trình độ vận dụng kiến trhức trong kiểm tra đánh giá cuối chương và thi
học kỳ I của học sinh khối 11 trung học phổ thông
Chính vì vậy bản thân chọn đề tài “áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin
và cosin để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số” Để trao đổi cùng các
đồng nghiệp nhằm cũng cố kiến thức cơ bản phát huy tư duy và sáng tạo của
học sinh trung học phổ thông, chắc chắn trong đề tài còn có thiếu sót rất mong
sự trao đổi góp ý của đồng nghiệp.
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. Các lý thuyết liên quan
+ Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)= ax+b ( a≠0)
x
- ∞
b
a
−
+∞
f(x) Trái dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a
+ Dấu tak thức bậc hai: f(x) = ax
2

+ bx + c ( a≠0), với ∆>0 và x
1
< x
2
x
- ∞
x
1
x
2
+∞
f(x) Cùng dấu với
hệ số a
0 Trái dấu với 0
hệ số a
Cùng dấu với
hệ số a
+ Giải bất phương trình:
2
f (x) 1 f (x) 1 (f (x) 1)(f (x) 1) 0
≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤
Xét dấu vế trái (dùng dấu nhị thức và tam thức ) suy ra nghiệm của bất
phương trình
+ Lướng giác:
Cos đối: cos(-α)=cos(α), sin(-α)=-sin(α),
Sin bù: sin(Π -α)=sinα), cos(Π-α)=- cos(α),
Phụ chéo:
π
sin(α) cosα
2

− =
,
π
cos(α) sin α
2
− =
Công thức cộng:
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
sin a cos b cosasin b sin(a b)
cosa cosb sin a sin b cos(a b)
± = ±
± =
m
Công thức nhân đôi:
2 2 2 2
cos2α cos α sin α 2cos α 1 1 2sin α
sin2α=2sinαcosα
= − = − = −
Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos 2α 1 cos2α
sinα , cos α
2 2
− +
= =
Điều kiện để phương trình sinu=a có nghiệm lả
a 1≤
B. Điều kiện để phương trình có nghiệm
asinu+bcosu=c (1) ,(a,b,c ≠0)

Chia hai vế củ phương trình cho
2 2
a b ,+
đặt
2 2 2 2
a b
cosα, sin α
a b a b
= =
+ +
Ta có (1)
2 2
c
sin u cosα cosusin α
a b
⇔ + =
+
2 2
c
sin(uα)
a b
⇔ + =
+
(2)
Để phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi :
2 2 2
2 2
c
1 a b c
a b

≤ ⇔ + ≥
+
C. Áp dụng:
Phương trình asinu+bcosu=c có nghiệm là
2 2 2
a b c
+ ≥
để tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1:
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y 3 sin x cos x 1
= + −
Ta có
y 3sin x cos x 1
= + −

3sin x cos x y 1
⇔ + = +
Để phương trình có nghiệm
( )
( )
2
2
2
3 1 y 1⇔ + ≥ +
( )
2

2
y 1 4
y 2y 3 0
3 y 1
⇔ + ≤
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
Kết luận; Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -3
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2 2
y 2sin x 3sin xcos x 3cos x
= − −
Ta có :
2 2
y 2sin x 3sin xcos x 3cos x
= − −

2(1 cos2x) 3sìnx 3(1 cos 2x)
y
2 2 2
2y 3sin2x-5cos2x-1
3sin2x+5cos2x=-2y-1 (*)
− +
⇔ = − −
⇔ = −
⇔
Để phương trình (*) có nghiệm
2 2 2
3 5 ( 2y 1)⇔ + ≥ − −

( )
2
2
2y 1 34
4y 4y 33 0
1 34 1 34
y
2 2
⇔ + ≤
⇔ + − ≤
− − − +
⇔ ≤ ≤
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là
1 34
2
− +
, giá trị nhỏ nhất của
hàm số là
1 34
2
− −
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
sin x 2cos x
y , D=R
2 sin x
+

=
+
Ta có :
sin x 2cos x
y
2 sin x
y(2 sin x) sin x 2cos x
(1 y)sin x 2cos x 2y
+
=
+
⇔ + = +
⇔ − + =
Để phương trình có nghiệm
( ) ( )
2 2
2
1 y 2 2y
⇔ − + ≥

2
3y 2y 5 0
5
y 1
3
⇔ + − ≤
−
⇔ ≤ ≤
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số là
3

5
−
Ví dụ 4:
Cho phương trình sinx+(m+2)cosx=3m+1
Xác định m để phương trình có nghiệm
để phương trình có nghiệm
( ) ( )
2 2
2
1 m 2 3m 1
⇔ + + ≥ +
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2
4m m 2 0
1 33 1 33
y
8 8
⇔ = − ≤
− − − +
⇔ ≤ ≤
Kết luận: Với
1 33 1 33
m ;
8 8
 
− − − +
∈
 

 
thì phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2sin x 1
y , D=R
2 cos x
+
=
+
Ta có :
2 2 2
2 2 2
2
2sin x 1
y
2 cos x
2sin x ycos x 2y 1
2 y 2y 1
sin x cos x
y 4 y 4 y 4
2y 1 2 y
sin x cosα cos x sin α , (cosα= ,sin α )
y 4 y 4 y 4
2y 1
sin(xα)
y 4
+
=
+

⇔ − = −
−
⇔ − =
+ + +
−
⇔ − = =
+ + +
−
⇔ − =
+
Để phương trình có nghiệm
2
2y 1
1
y 4
−
⇔ ≤
+

2 13 2 13
y
3 3
− +
⇔ ≤ ≤
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là:
2 13
3
+

, giá trị nhỏ nhất của hàm
số là:
2 13
3
−
Ví dụ 6:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
sin 2x 1
y , D=R
2cos x 3
+
=
+
Ta có :
2
2 2 2
2 2 2
2
sin 2x 1
y
2cos x 3
sin2x-ycos2x=4y-1
1 y 4y-1
sin2x- cos2x
y 1 y 1 y 1
4y-1 1 y
sin2x.cosα-cos2xsinα= , cosα ,sin α
y 1 y 1 y 1
4y-1

sin(2xα)
y 1
+
=
+
⇔
⇔ =
+ + +
 
 ÷
⇔ = =
 ÷
+ + +
 
⇔ − =
+
Để phương trình có nghiệm
2
4y-1 8
1 0 y
15
y 1
⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤
+
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là:
8
15
, giá trị nhỏ nhất của hàm số là:
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

0
D. Một số bài tập.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
1.
y sin x 2cos x 3
= + +
2.
2 2
y sin x 2cos x sin2x-1
= − +
3.
sin x cos x 2
y
2cos x 3
+ +
=
+
4.
2
2sin x 3
y
2sin2x+3cos2x 6
+
=
+
5.
2
4sin 2x 1
y
4cos x 3

+
=
+
6.
2 2
sin x cos x 3
y
sin x-3cos x 7
+
=
+
7.
2
2sin x sin2x+1
y
3 cos 2x
−
=
−
8.
4 4
sin x cos x
y
2sin2x 3cos2x 7
−
=
− +
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
E. Kết luận:

Việc áp dụng giải phương trình bậc nhất asinu+bcosu=c để tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số tuy áp dụng không nhiều nhưng qua thực tế đa số
học sinh khá , khá giỏi rất hứng thú học tập tìm tòi và áp dụng vào trong học
tập.các em đã phát huy được tính tư duy sáng tạo trong học tập, kích thích các
em tìm tòi sáng tạo để tự nâng cao hiểu biết của mình.
Tuy vậy cũng có những học sinh yếu, trung bình chưa áp dụng được
nhiều trong học tập . Với một vài suy nghĩ của bản thân rất mong sự giúp đỡ
của các đồng nghiệp để trao đổi góp ý nhằm không ngừng nâng cao chất lượng
giảng dạy bộ môn toán trên tỉnh nhà . Rất chân thành cám ơn
SKKN: Áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số