SKKN những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một số bài toán theo bất đẳng thức cauchy (toán 10)

SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)
I/ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan
trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của mơn Tốn
như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình,
giải bất phương trình, hệ phương trình…
Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10
ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong tồn bộ chương
trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT
cũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cả
một vấn đề.
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tơi
thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp những
sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề.
Vì vậy tơi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất
đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay
mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức
Cauchy.
NỘI DUNG BÀI VIẾT GỒM:
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ
II/NỘI DUNG
III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
IV/KẾT QUẢ
V/KẾT LUẬN
Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song khơng tránh khỏi những sai sót. Tác
giả mong được sự góp ý chân thành của đọc giả!
Thạch Thành, ngày 20/04/2008
Giáo viên

Đỗ Duy Thành.

ĐỖ DUY THÀNH

1

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
II/NỘI DUNG
Bài 1: Cho a ≥ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a +

1
a

Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp: S = a +

1
1
≥ 2 a. = 2 ⇒ MinS = 2 .
a
a
1
a

• Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 ⇔ a = = 1 mâu thuẫn với giả thiết a ≥ 3
.
• Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a,

1
và S để dự đốn
a

Min S


a

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1
a

1
3

1
4

1
5

1
6

1
7

1
8

1
9

1
10

1
11

1
12

S

1
3
3

1
4
4

1
5
5

1
6
6

1
7
7

1
8
8

1

9
9

1
10
10

1
11
11

1
12
12










30

1
30
30
1

30

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến
dự đốn khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ
nói rằng
Min S =

10
đạt tại “Điểm rơi: a = 3”
3

Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia
phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức
Cauchy trực tiếp cho 2 số a và

ĐỖ DUY THÀNH

1
1
vì 3 ≠ . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất
a
3

2

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)

 a 1

a

1

đẳng thức Cauchy cho cặp số  , ÷ sao cho tại “Điểm rơi: a = 3” thì = tức
α a
α a 
là ta có lược đồ “Điểm rơi” sau đây
• Sơ đồ: a = 3

a 3
α = α
1 3

⇒
⇒ = ⇒
3 α
1 = 1
a 3


α =9

Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “Điểm rơi” được nêu ở trên.
Lời giải đúng: S = a +
Với a = 3 thì Min S =

1

a 1 8.3 10
 a 1  8a
=  + ÷+ ≥ 2 . + =
a
9 a 9
3
9 a 9

10
3

Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá trị hỏ nhất của biểu thức: S = a +

1
a2

Bình luận và lời giải
• Sơ đồ điểm rơi : a = 2

a 2
α = α
1 2

⇒
⇒ = ⇒
4 α
1 =1
2
a
4



α =8

• Sai lầm thường gặp:
S=a+

2
7.2 2 7 9
1  a 1  7a
8 1 7a
2
7a
≥
+
= + = .
+ 2 ÷+
≥
. 2+
=
+
2 =
4 4 4
8.2 8
a 8 a  8
a a
8
8a 8

Với a = 2 thì Min S =

9
4

• Ngun nhân sai lầm:
Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S =

9
là đáp án đúng
4

nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số:
“Nếu a ≥ 2 thì
ĐỖ DUY THÀNH

2
2
2
≥
= là đánh giá sai”
8a 8.2 4

3

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho

khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
• Lời giải đúng: S = a +
Với a = 2 thì Min S =

1  8 8 1  6a
a a 1 6.2 9
=  + + 2 ÷+
≥ 3. 3 .
+
=
a a a a  8
8 8. a 2
8
4

9
4

2
Bài 3: Cho a ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = a +

18
a

Bình luận và lời giải
• Sơ đồ điểm rơi: a = 6

 a 2 36
 =
18 36

α
α
⇒
⇒
=
⇒
6 α
 18 = 18
 a
6


α =2 6

• Lời giải đúng:
2
S= a +

=6

18  a 2
18  
1  2
a 2 18 
1  2
+
+ 1 −
a ≥2
.
+ 1 −

=

÷
÷a
a 2 6
a  2 6
2 6 a  2 6

a a 
1  2
6 6 
1  2
+ 1 −
+ 1 −
÷a ≥ 6
÷6 =36 + 3 6
6  2 6
6  2 6

Với a = 6 thì Min S = 36 + 3 6
1
2

Bài 4: Cho 0 < a ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a +

1
a2

Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp: S = 2a +

1
1
1
3
2 = a + a +
2 ≥ 3 a.a. 2 = 3 ⇒ MinS = 3
a
a
a

• Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 3 ⇔ a = a =

ĐỖ DUY THÀNH

1
1
= 1 mâu thuẫn với giat thiết 0 < a ≤
2
a
2

4

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)

• Phân tích và tìm tịi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S.
1
10
1
5

1
9
2
9

1
8
1
4

1
7
2
7

1
6
1
3

1
5
2
5

1
4
1
2

1
3
2
3

1
a2

100

81

64

49

36

25

16

9

S

100

a
2.a

1
5

81

2
9

64

1
4

49

2
7

36

1
3

25

2
5

16

1
2

9

1
2
1
4

2
3

5

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự
1
thì S nhận giá trị nhỏ nhất.
2

đoán khi a =

1


a = 2
1 4

⇒
⇒ = ⇒
2 α
 1 =4
2
α a
α


1

• Sơ đồ điểm rơi 1: a = 2

Cách 1: 2a +
Với a =

α =8

1
3 7.4
1  7
8
7

=5.
+ 2 ≥ 3 3 a.a. 2 + 2 ≥ +

2 = a + a +
2 ÷
a
2 8
8a  8a
a
8a


1
thì Min S = 5.
2

• Sơ đồ điểm rơi 2:

a=

Cách 2: S = 2a +

α

α a = 2
1 4

⇒
⇒ = ⇒
2 α
 1 =4
2
a



1
2

α =8

1
1 
1

3
2 =  8a + 8a + 2 ÷− 14a ≥ 3 8a.8a. 2 − 14 a
a
a 
a

1
2

= 12 − 14a ≥ 12 − 14. = 5 . Với a =

1
thì Min S = 5.
2

 a, b > 0
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +
ab

a + b ≤ 1

Bài 5: Cho 

ĐỖ DUY THÀNH

5

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)
Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp: S = ab +

1
1
≥ 2. ab.
= 2 ⇒ Min S = 2.
ab
ab

• Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 2 ⇔ ab =

1
a+b 1
1
= 1 ⇒ 1 = ab ≤

≤ ⇒ 1 ≤ : Vơ lý
ab
2
2
2

• Phân tích và tìm tịi lời giải:
Biểu thức của S chứa biến số a, b nhưng nếu đặt t = ab hoặc t =

1
1
thì S = t +
ab
t

là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho
biến số mới, cụ thể là:
1
1
≥
=4
1
1
1 ≥
2
2
⇒ ab = và t =
 a+b
1
Đặt t =

ab
t
ab

÷  ÷
 2 
2

• Bài tốn trở thành: Cho t ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t +

• Sơ đồ điểm rơi: t = 4

t 4
α = α
1 4

⇒
⇒ = ⇒
4 α
1 = 1
t 4


1
t

α = 16

• Lời giải tổng hợp:
1  t 1  15t

t 1 15t 2 15t 2 15.4 17
+ ÷+
≥ 2.
. +
= +
≥ +
=
.
t  16 t  16
16 t 16 4 16 4 16
4

S = t + =

Với t = 4 hay a = b =

1
17
thì Min S = .
2
4

• Lời giải thu gọn: Do t = 4 ⇔ a = b =

ĐỖ DUY THÀNH

6

1
nên biến đổi trực tiếp S như sau:

2

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
1 
1  15
1
=  ab +
≥ 2. ab.
+
÷+
16ab  16ab
16ab
S = ab + ab 

Với a = b =

15
2

 a+b
16 
÷
 2 

≥

17
4 .

1
17
thì Min S = .
2
4

 a, b, c > 0
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểi thức S = abc +
abc
a + b + c ≤ 1

Bài 6: Cho 

Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp: S = abc +

1
1
≥ 2 abc
= 2 ⇒ Min S = 2
abc
abc

• Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 2 ⇔ abc =

1
a+b+c 1
1
= 1 ⇒ 1 = 3 abc ≤
≤ ⇒ 1 ≤ ⇒ Vơ lí.
abc
3
3
3

• Phân tích và tìm tịi lời giải:
Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhưng nếu đặt t = abc hoặc t =
S=t+

1
thì
abc

1
là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác
t

định cho biến số mới, cụ thể là:
1
1
≥
= 27
1
1
1 ≥

3
3
⇒ abc = và t =
Đặt t =
 a+b+c
1
abc
t
abc
ữ ữ
3


3

ã Bi toỏn tr thnh: Cho t ≥ 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t +
1
t

• Sơ đồ điểm rơi:

ĐỖ DUY THÀNH

 t 27
α = α
1 27

t = 27 ⇒ 
⇒
=

⇒
27 α
1 = 1
 t 27


7

α = 27 2

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
1   27 2 − 1 
t 1 (27 2 − 1).t
1  t
=  2 + ÷+ 
.t ≥ 2
. +
Lời giải tổng hợp: S = t +
÷
27 2 t
t  27 t   27 2 

(

)

(

)

27 2 − 1 t
27 2 + 1 .27 27 2 + 1 730
2
≥
+
=
=
=
27
27 2
27 2
27 2
27

Với t = 27 hay a = b = c =

1
730
thì Min S =
.
3
27

Lời giải thu gọn: Do t = 27 ⇔ a = b = c =

1

nên biến đổi trực tiếp S như
3

sau:
S = abc +

(

1
1  27 2 − 1
1
27 2 − 1

+ 2
≥ 2 abc. 2
+ 2
=  abc + 2
÷
abc
27 .abc  27 abc
27 .abc 27 abc


)

(

)

27 2 − 1 .27

27 2 + 1 .27 27 2 + 1 730
2
≥
+
=
=
=
27
27 2
27 2
27
27

Với a = b = c =

1
730
thì Min S =
.
3
27

Bài 7: Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: S =

a+b
ab
+
ab a + b

Bình luận và lời giải

• Sai lầm thường gặp: S =

a+b
ab
a + b ab
+
≥ 2.
= 2 ⇒ Min S = 2
ab a + b
ab a + b

a+b
ab
+
• Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 ⇔
=1
ab

a+b

⇒ ab = a + b ≥ 2 ab ⇒ 1 ≥ 2 .Vơ lí

• Phân tích và tìm tịi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b nên
dự đoán Min S đạt tại a = b >0

ĐỖ DUY THÀNH

8

THPT THẠCH THÀNH III

SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
2a 2
 a+b
 α ab = α a = α
1 2

⇒
⇒ = ⇒
2 α
 ab = a = 1
 a + b 2a 2


• Sơ đồ điểm rơi: a = b

α =4

Lời giải đúng:
S=

ab  3. ( a + b )
a+b
ab 3. ( a + b )
a+b
ab  a + b
+
≥ 2.

.
+
+
=
÷+
4. ab a + b
4. ab
ab a + b  4 ab a + b ÷ 4. ab


= 1+

3 5
5
= . Với a = b>0 thì Min S =
2 2
2

 a , b, c > 0
1 1 1

Bài 8: Cho 
3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a+b+c+ + +
a b c
a + b + c ≤ 2


Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp:
1

a

1
b

1
c

1 1 1
S = a+b+c+ + + ≥ 6. 6 a.b.c. . . = 6 ⇒ Min S = 6.
a b c

1
a

1
b

1
c

• Nguyên nhân sai lầm: Min S = 6 ⇔ a = b = c = = = =1
⇒ a+b+c =3≥

3
trái với giả thiết.
2

• Phân tích và tìm tịi lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán

Min S đạt tại a = b = c =

• Sơ đồ điểm rơi 1:

ĐỖ DUY THÀNH

1
2

a=b=c=

1
2

1

a = b = c = 2
1 2

⇒
⇒ = ⇒
2 α
 1 = 1 = 1 = 2
α a α b α c α


9

α =4

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
1
a

1
b

Cách 1: S = a+b+c+ + +



=a + b + c +

1
=
c

1
1
1  31 1 1
1 1 1 3
1 11
+
+ ÷+  + + ÷ ≥ 6 6 a.b.c. . . +  3. 3 .
÷
4a 4b 4c  4  a b c 

4a 4b 4c 4 
a bc÷



9
1
27
1
27 1 15
9 1 ≥ 3+
= 3+ .
≥ 3+
=
=3+ 4 . 3
4 a+b+c
4 a+b+c
4 6 2
abc
3
3

Với a=b=c=

1
15
thì Min S =
2
2

• Sơ đồ điểm rơi 2:

a=b=c=

1
a

1
b

Cách 2: S = a+b+c+ + +

1
2

α

α a = α b = α c = 2
α

⇒
⇒ = 2⇒ α =4
2
1 = 1 = 1 = 2
a b c


1
=
c



111
−3 ( a + b + c ) ≥ 12 − 3 =
=  4a + 4b + 4c + + + ÷− 3 ( a + b + c ) ≥ 6 6 4a.4b.4c.
a b c
2 2

abc
1

Với a=b=c=

1

1

3

15

1
15
thì Min S =
2
2

 a, b, c > 0
1 1 1


Bài 9: Cho 
3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a2 + b2 + c2 + + +
a b c
a + b + c ≤ 2


Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp:
S = a 2 + b2 + c2 +
Min S =

9
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
+
+ +
+
+
≥ 9 9 a 2b 2 c 2
. . . . . =3 ⇒
4
2a 2b 2c 2a 2b 2c
2a 2b 2c 2a 2b 2c

9
4

3

ĐỖ DUY THÀNH

10

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)

• Ngun nhân sai lầm: Min S =
1
2

⇔a=b=c=
⇒ a+b+c =

9
1
1
1
1
⇔ a2 = b2 = c2 =
=
=

= 3
2a 2b 2c
4
4

3

3

3
3
> trái với giả thiết.
2 2

3

• Phân tích và tìm tịi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c
nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c =

• Sơ đồ điểm rơi: a = b = c =

1
2

1
 2
2
2
a = b = c = 4
1 2


⇒
⇒ = ⇒ α =8
4 α
 1 = 1 = 1 = 2
α a α b α c α


1
2
1
a

1
b

1
c

Lời giải đúng: S = a2 + b2 + c2 + + + =
 2
2
2
=a + b + c +


≥ 9 9 a 2b 2 c 2

1 1 1 1 1 1  31 1 1
+ + + + + ÷+  + + ÷

8a 8b 8c 8a 8b 8c  4  a b c 

1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 
. . . . . + 3
÷
8a 8b 8c 8a 8b 8c 4  a b c ÷



9 9 1
9 9
1
9 9
27
+ .3
≥ + .
≥ + .2 =
= 4 4 abc 4 4 a + b + c 4 4
4
3

Với a = b = c =

1
27
thì Min S =
2
4

 a , b, c > 0


Bài 10: Cho 
3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
a + b + c ≤ 2


S = a2 +

ĐỖ DUY THÀNH

1
1
1
+ b2 + 2 + c2 + 2
2
b
c
a

11

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)

Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp:
S ≥ 3 3 a2 +

1
1
1
1
1
1
+ b 2 + 2 + c 2 + 2 = 3 6 (a 2 + 2 )(b 2 + 2 )(c 2 + 2 )
2
b
c
a
b
c
a


1
≥ 3. 6  2 a 2 + 2

b



1
2
÷ 2 b + 2
÷
c



1
2
÷ 2 c + 2
÷
a



÷ = 3 6 8 = 3 2 ⇒ Min S = 3 2
ữ


ã Nguyờn nhõn sai lm:
Min S = 3 2 ⇔ a = b = c =

1 1 1
3
= = = 1 ⇒ a + b + c ≥ 3 > trái với giả thiết.
a b c
2

• Phân tích và tìm tịi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c
nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c =

• Sơ đồ điểm rơi: a = b = c =

1
2

1
2

1
 2
2
2
a = b = c = 4
1 4

⇒
⇒ = ⇒
4 α
 1 = 1 = 1 =4
2
2
2
α a
αb αc α


α = 16

Lời giải 1:
S=

≥ 17.17

a2 +

1
1
1
1
1
1
+ ... +
+ b2 +
+ ... +
+ c2 +
+ ... +
2
2
2
2
2
16b
16b
16c
16c
16a
16a 2
16 sè
16 sè
16 sè

a2
b2
c2

+ 17.17 16 32 + 17.17 16 32
1616 b32
16 c
16 a


a
b
c
≥ 17 3. 3 17 8 16 .17 8 16 .17 8 16
16 b
16 c
16 a



ĐỖ DUY THÀNH

=


a
b
c 
17 17 8 16 + 17 8 16 + 17 8 16 
16 c
16 a 
 16 b



1
 = 3. 17.17 8 5 5 5
16 a b c



12

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
3 17

= 2.17 (2a.2b.2c)5

≥

3 17
15

 2a + 2b + 2c 
2 
÷
3



3 17

2

≥

17

Với a = b = c =

1
3 17
thì Min S =
2
2

Phối hợp với điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarzi:
Xét dạng đặc biệt nới n = 2:
⇔

(a

2
1

)(

)

2
2
+ a2 b12 + b2 ≥ a1b1 + a2b2 . Dấu bằng xảy ra

a1 a2
=
≥0
b1 b2

Ý nghĩa: Chuyển đổi một biểu thức toán học ở trong căn bậc hai thành
một biểu thức khác ở ngoài căn để nhận được một biểu thức linh động hơn.
Xét đánh giá giả định với các số α , β

1
 a2 + 1 =
.
2
2

b
α +β2



1
1
+  b2 + 2 =
.
c
α2 + β2


 2 1

1
.
 c + 2 =
2
a
α +β2


⇒S≥

 2  1 2  2
1
β

2
. α a + ÷ (1)
a +  ÷  α + β ≥
2
2 
b
b 
α +β 




(

)

 2  1 2  2
1
2
b +  ÷  α + β ≥
c 
α2 + β2




β

.  α b + ÷ (2)
c


 2  1 2  2
1
2
c +  ÷  α + β ≥
2
a 
α +β2




β

.  α c + ÷ (3)

a


(

)

(

)


 1 1 1 
. α ( a + b + c ) + β  + + ÷ = S0
 a b c 
α +β 
1

2

2

Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S = S0 tại điểm rơi
a=b=c=

1
, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy ra
2

dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:

ĐỖ DUY THÀNH

13

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)

Sơ đồ: a = b = c =

1
2

 a 1/ b
α = β

 b 1/ c
α a b c 1
⇒ =
⇔ = = = = ⇒
β
β 1 1 1 4
α
b c a
 c 1/ a
 =
β

α

α = 1

β = 4

Kết hợp với biến đổi theo “Điểm rơi” trong Cauchy ta có lời giải sau:
 2 1
1
.
 a + 2 =
b
17



1
1
.
Lời giải 2: +  b2 + 2 =
c
17


 c2 + 1 = 1 .

a2
17

⇒S≥

≥

1 
4
 2 1 2
2

÷
 a + b 2  1 + 4 ≥ 17 .  a + b  (1)



(

)

1 
4
 2 1 2
2

÷
b + c 2  1 + 4 ≥ 17 .  b + c  (2)



(

)

1 
4
 2 1 2
2

÷
c + a 2  1 + 4 ≥ 17 .  c + a  (3)



(

)

1 
4 4 4
1 
1
1
1 15  1 1 1  
. a + b + c + + + ÷=
. a + b + c +
+
+ +  + + ÷
a b c
4a 4b 4c 4  a b c  
17 
17 

1  6
1 1 1 15  1 1 1  
1 
45 1 
. 6. abc. . . +  3 3 + + ÷ =
3 + 4 . 3
÷
 a b c÷
4a 4b 4c 4 
17 
17 
abc 






÷ 1 
1 
45
1
45  3 17
≥
. 3 + .
÷≥
 3 + .2 ÷=
4 a + b + c ÷ 17 
4 
17 

2
3



Với a = b = c =

1
3 17
thì Min S =
2
2

Bài 11: Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T = sinA + sinB + sinC +

1
1
1
+
+
sin A sin B sin C

Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp:

ĐỖ DUY THÀNH

14

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)

sinA + sinB + sinC +

1
1
1
sin A.sin B.sin C
+
+
≥ 66
= 6 ⇒ Min T = 6
sin A sin B sin C
sin A.sin B.sin C

• Nguyên nhân sai lầm:
Min T = 6 ⇔ sin A = sin B = sin C =

1
1
1
π
=
=
=1⇒ A = B = C =
sin A sin B sin C

2

Mâu thuẫn với A + B + C = π
• Phân tích và tìm tịi lời giải:
Bổ đề: sinA + sinB + sinC ≤

3 3
2

Áp dụng: Dự đoán điểm rơi của Min T là sinA + sinB + sinC =

3
2

• Sơ đồ điểm rơi:
α sin A = α sin B = α sin C
α 3
2

⇒ 1
=
⇒
1
1
2 ⇒
=
=
=
2
3

 sin A sin B sin C
3


3
sin A = sin B = sin C =
2

α=

4
3

• Lời giải đúng:
4

4

4

1

1  1

1

+
+
T =  sin A + sin B + sin C +
÷− ( sin A + sin B + sin C )

3
3
sin A sin B sin C  3
3





.
.
T ≥ 6. 6  sin A ÷ sin B ÷ sin C ÷
÷ − ( sin A + sin B + sin C )
3
 3
 3
  sin A sin B sin C  3
4

=

4

4

1

1

1

1

12 1
12 1 3 3 21 3 7 3
− ( sin A + sin B + sin C ) ≥
− .
=
=
3 3
6
2
3 3 2

Với sin A = sin B = sin C =

π
3
7 3
hay A = B = C = thì Min T =
3
2
2

Bài 12: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bình luận và lời giải

ĐỖ DUY THÀNH

15

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)
• Sai lầm thường gặp 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a
b+c+d
+
≥2

a
b + c + d

b
c+d +a
+
≥2

b
c + d + a
+
c
d +a+b

≥2
d + a + b +
c


a+b+c
 d
≥2
a + b + c +
d


a
b+c+d
.
=2
b+c+d
a
b
c+d +a
.
=2
c+d +a
b
c
d +a +b
.
=2
d +a+b
c
d
a +b+c
.
=2

a+b+c
d

⇒ S ≥ 8 ⇒ Min S = 8.

• Sai lầm thường gặp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 8 số:
S ≥ 88

a
b
c
d
.
.
.
= 8 ⇒ Min S = 8.
b+c+d c+d +a d +a+b a +b+c

• Nguyên nhân sai lầm:
a = b + c + d
b = c + d + a

⇒ a + b + c + d = 3 ( a + b + c + d ) ⇒ 1 = 3 Vô lý.
Min S = 8 ⇔ 
c = d + a + b
d = a + b + c


• Phân tích và tìm tịi lời giải:
Để tìm Min S ta cần lưu ý S là một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó

Min S (hoặc Max S) nếu có thường đạt tại “Điểm rơi tự do” : a = b = c = d > 0.
Vậy ta cho trước a = b= c= d > 0 và dự đoán Min S =

4
1
+ 12 = 13
3
3

Từ đó suy ra các đánh giá của bất đẳng thức bộ phận phải có điều kiện dấu
bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0
• Sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có:

ĐỖ DUY THÀNH

16

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
a
b
d
1

b + c + d = c + d + a = a + b + c = 3
1 3


⇒ = ⇒α = 9

3 α
b + c + d = c + d + a = d + a + b = a + b + c = 3
 αa
αb
αc
αd
α


Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a
b+c+d 
8 b+c+d

+
≥

÷+ ∑ .
9a  a ,b ,c , d 9
9a
a ,b ,c , d  b + c + d

∑

S=
≥ 88

a

b
c
d
b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c
.
.
.
.
.
.
.
b+c+a c+d +a d +a +b a +b+c
9a
9b
9c
9d



+  + + + + + + + + + + + ÷
9a a a b b b c c c d d d 
8 b

c

d

c

d

a

d

a

b

a

b

c

8 8
8 32 40
1
b c d c d a d a b a b c  8 8
≥ + .1212  . . . . . . . . . . . ÷ = + .12 = +
=
= 13
3 9
3 3
3
3
a a a b b b c c c d d d  3 9

Với a = b= c= d > 0 thì Min S = 13
Cách 2: Đặt S1 = ∑

S1 =

b+c+d
;
a

S2 = ∑

1
3

a
⇒ S = S1 + S 2
b+c+d

b c d c d a d a b a b c
+ + + + + + + + + + +
a a a b b b c c c d d d

b c d c d a d a b a b c
≥ . . . . . . . . . . . = 12
a a a b b b c c c d d d
a
1
1
1


S2 + 4 = ∑ 
+ 1÷ = ( a + b + c + d ) ∑

= ∑ ( b + c + d ) .∑
≥
b+c+d 3
b+c+d
b+c+d 
4
1
16
≥ . 4 ( b + c + d ) ( c + d + a ) ( d + a + b ) ( a + b + c ) .4 4
=
3
( b + c + d ) ( c + d + a) ( d + a + b) ( a + b + c) 3
⇒ S2 ≥

16
4
4
1
− 4 = ⇒ S = S1 + S2 ≥ 12 + = 13
3
3
3
3

Với a = b= c= d > 0 thì Min S = 13

1
3

Bài 13: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐỖ DUY THÀNH

17

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
 2a  2b  2c  2d 
S = 1 +
÷1 + ÷1 +
÷1 +
÷
 3b  3c  3d  3a 

Bình luận và lời giải
• Sai lầm thường gặp:
 2a  2b  2c  2d 
2a
2b
2c
2d
64
64
S = 1 +
.2
.2
.2
.=

⇒ MinS =
÷1 + ÷1 +
÷1 +
÷≥ 2
 3b  3c  3d  3a 
3b
3c
3d
3a
9
9

• Nguyên nhân sai lầm:
64

2a

2b

2c

2d

2( a + b + c + d )

2

Min S = 9 ⇔ 1 = 3b = 3c = 3d = 3a = 3 a + b + c + d = 3 ⇒ Vô lý
(
)

Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d nên dự đoán Min S đạt tại
4

 2  625
Điểm rơi tự do: a = b = c = d > 0, khi đó S = 1 + ÷ =
81
 3

• Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
3
2

2a 1 1 a a
5  a 5
1  a 
1 +
= + + + ≥ 5 5  ÷ . ÷ =  ÷
 3b 3 3 3b 3b
3b 
 3   3b 

2
3
2
 2b 1 1 b b
5  b 5
1  b 
1 +
= + + + ≥ 5 5  ÷ . ÷ =  ÷

3 c 
 3   3c 
 3c 3 3 3c 3c
+
2
3
2
 2c 1 1 c
c
1  c 
5  c 5

= + +
+
≥ 5 5  ÷ . ÷ =  ÷
1 +
3 d 
 3   3d 
 3d 3 3 3d 3d

2
3
2
 2d 1 1 d
d
5  d 5
1  d 
= + + +
≥ 5 5  ÷ . ÷ =  ÷
1 +

3 a 
 3   3a 
 3a 3 3 3a 3a
2

⇒ S = 1 + 2a 1 + 2b 1 + 2c 1 + 2d  ≥ 625 .  a . b . c . d  5 = 625

÷
÷
÷
÷

÷
81
 3b  3c  3d  3a  81  b c d a 

Với a = b= c= d > 0 thì Min S =

625
81

Cách 2:

ĐỖ DUY THÀNH

18

THPT THẠCH THÀNH III

SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
 2a 3b + 2a b + b + b + a + a 5 5 b3a 2
=
=
≥
1 +
3b
3b
3b
 3b
 2b 3c + 2b c + c + c + b + b 5 5 c 3b 2
1 +
=
=
≥
 3c
3c
3c
3c
x
 2c 3d + 2c d + d + d + c + c 5 5 d 3c 2
≥
1 + 3d = 3d =
3d
3d

 2d 3a + 2d a + a + a + d + d 5 5 a 3d 2
=
=

≥
1 +
3a
3a
3a
 3a
2a  2b  2c  2d  625 5 5 a 5b5c 5 d 5 625
⇒ S = 1 +
.
=

÷1 + ÷1 +
÷1 +
÷≥
abcd
81
 3b  3c  3d  3a  81

Với a = b= c= d > 0 thì Min S =

625
81

 a , b, c > 0
1 1 1
2
2 2
Chứng minh rằng: S = 2 + 2 + 2 + + + ≥ 81
a b c
ab bc ca

a + b + c ≤ 1

Bài 14: Cho 

Giải
Biến đổi và sử dụng 2 lần bất đẳng thức Cauchy cho 9 số ta có:
a 2 b2 c2 1
1 1
1
9
=
S = + + + + + ≥ 99 2 2 2
9 2 2 2
b
c a ab bc ca
a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca
a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca
≥

9
81
=
≥ 81
a + b + c + ab + ab + bc + bc + ca + ca (a + b + c) 2
9
2

2

2

 a , b, c > 0
a 2 b2 c2 1
1 1
Chứng minh rằng: S = + + + + + ≥ 28
b
c a ab bc ca
a + b + c ≤ 1

Bài 15: Cho 

Giải
Dự đoán S = 1 tại điểm rơi: a = b =c =

1
3

Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
S=

a 2 b2 c2
1
1
1
+ + + 27
+ 27
+ 27
≥
b
c a

27ab
27bc
27ca

ĐỖ DUY THÀNH

19

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10)
27

27

27

a 2 b2 c 2  1   1   1 
84
≥ 84

÷ 
÷ 
÷ ≥ 84 81 53 53 53
b c a  27 ab   27bc   27ca 
27 a b c
84

≥

84
81  53 ( a + b + c ) 
84 27

÷
53.3



53.3

≥

84
3.53

1
84 2781
 ÷
3

=

84
84

27 28

= 28

III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
-Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút.
-Dạy trong các tiết bài tập.
-Thông qua báo bảng với chuyên mục “Sai lầm ở đâu?”
-Ngoại khóa.
-Dạy vào tiết tự chọn.
IV/KẾT QUẢ
Trong q trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở 2 lớp 10C3 và
10C4. Đối với lớp 10C4 tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh
hay mắc phải và tìm chỗ sai và cách khắc phục như thế nào. Kêt quả 90% học
sinh lớp 10C4 có thể định hướng và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy
một cách có hiệu quả. Trong khi đó ở lớp đối chứng 10C3 tỉ lệ này chỉ đạt 45%
V/KẾT LUẬN
Thơng qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm
thường gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bản
thân cách dạy, cách học như thế nào cho hiệu quả nhất.
ĐỖ DUY THÀNH

20

THPT THẠCH THÀNH III


SKKN: Những sai lầm hay mắc phải trong giải toán và cách giải quyết một
số bài toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10)

Trong bài viết có sử dụng một số tài liệu
1/500 Bất đẳng thức-GS: Phan Huy Khải.

2/Tuyển tập đề thi từ 1990-2005- TS: Trần Phương.
3/Đại số 10.

ĐỖ DUY THÀNH

21

THPT THẠCH THÀNH III