dsp xử lý số tín hiệu liên tục theo thời gian

X lý s tín hi u liên t c ử ố ệ ụ
theo th i gianờ

R.5.1
Chuỗi g[n] được tạo thành bằng cách lấy mẫu tín hiệu liên tục theo thời
gian g
a
(t) tại thời điểm t = nT. Khi đó:
[ ]
∞<<∞= n- ), ( nTgng
a
T : chu kỳ lấy mẫu
F
T
= 1/T : tần số lấy mẫu.
Lấy biến đổi fourier liên tục tín hiệu g
a
(t), ta được:
dtetgjG
j
aa
t
)()(
Ω−
∞
∞−
∫
=Ω
Ngược lại, việc biểu diễn tín hiệu g[n] trong miền tần số được thực
hiện bởi phép biến đổi fourier rời rạc:

∑
∞
−∞=
−
=
n
njj
engeG
ωω
][)(

Mối liên hệ giữa G
a
(jΩ) và G
a
(e
jω
) được thể hiện qua công thức:
)
2
(G
1
) (G
T
1

) (
1
)(
-k

a
-k
a
/
T
k
j
T
j
T
kj
T
j
kjjG
T
eG
T
T
k
Ta
j
πωω
ω
ω
−=Ω−=
Ω−Ω=
∑∑
∑
∞
∞=

∞
∞=
=Ω
∞
−∞=

R.5.2
Định lý lấy mẫu:
Gọi g
a
(t) là tín hiệu băng thông hữu hạn với G
a
(jΩ) = 0 khi Ω > Ω
m
thì
g
a
(t) được xác định duy nhất bằng các mẫu g
a
(nT), n = 0, 1, 2, 3, ….,
nếu:
Ω
T
> 2Ω
m
Trong đó: Ω
T
= 2π/T
Đặt { g[n] = g
a

(nT)}, ta có thể khôi phục lại tín hiệu g
a
(t) bằng cách tạo
ra chuỗi xung g
p
(t) có dạng:
) ( ) () () ()( nTtnTgtptgtg
n
aap
−==
∑
∞
−∞=
δ
sau đó cho g
p
(t) qua bộ lọc thông thấp lý tưởng H
r
(jΩ) có độ khuếch
đại T và tần số cắt Ω
c
thoã :
Ω
m
< Ω
c
< (Ω
T
- Ω
m

)

Tần số cao nhất Ω
m
của g
a
(t) được gọi là tần số Nyquist. Để khôi phục
tín hiệu g
a
(t) thì tần số lấy mẫu cực tiểu phải thoã Ω
T
> 2Ω
m
.
Tần số 2Ω
m
gọi là tốc độ Nyquist.

Nếu Ω
T
> 2Ω
m
gọi là “oversampling”

Nếu Ω
T
< 2Ω
m
gọi là “undersampling”


Nếu Ω
T
= 2Ω
m
gọi là “critical sampling”

R.5.3
Đáp ứng xung h
r
(t) của bộ lọc tương tự thông thấp lý tưởng nhận được
bằng phép biến đổi fourier ngược của đáp ứng tần số H
r
(jΩ) với:



Ω>Ω
Ω≤Ω
=Ω
c
c
r
T
jH
,0
,
)(
Ta có:
∞≤≤∞
Ω

Ω
=Ω=
Ω=
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
∞
∞−
t- ,
2/
)sin(
e
2
T

)(
2
1
)(
c
c
-
t
t
t
t
d

dtejHth
T
c
j
j
rr
π
π

Chuỗi xung g
p
(t) thu được qua công thức:
)(][)( nTtngtg
n
p
−=
∑
∞
−∞=
δ
Do đó, đầu ra của bộ lọc thông thấp lý tưởng sẽ là tích chập của g
p
(t)
và đáp ứng xung h
r
(t):
)(][)(
^
nTthngtg
n

ra
−=
∑
∞
−∞=
Thay biểu thức của h
r
(t) vào và giả sử Ω
c
= Ω
T
/2 = π/T, ta được:
[ ]
[ ]
TnTt
TnTt
ngtg
n
a
/)(
/)(sin
)(
^
−
−
=
∑
∞
−∞=
π

π

R.5.4
Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc được định rõ trong các số hạng của
hàm biên độ. Ví dụ: hàm biên độ của bộ lọc tương tự thông thấp
H
a
(jΩ) được biểu diễn như hình vẽ. Trong đó, tần số dải thông trong
khoảng: 0 ≤ Ω ≤ Ω
p
và:
ppap
jH khi ,1 ) ( 1 Ω≤Ω+≤Ω≤−
δδ
hoặc trong dải thông biên độ xấp xỉ bằng 1 mà không cần sai số ±δ
p.

Passband
Stopband
Ω
s
Ω
p
Ω
Transition
band
( )
ΩjH
a
p

δ
+1
p
δ
−1
s
δ
0
0

Trong dải chắn, tần số nằm trong khoảng Ω
s
≤ Ω ≤ ∞ và hàm biên
độ phải thoã mãn:
∞≤Ω≤Ω≤Ω
s
khi )(
sa
jH
δ
Nghĩa là biên độ trong dải chắn xấp xỉ bằng 0 không cần sai số δ
s.
Ω
p
: Tần số giới hạn dải thông
Ω
s
: Tần số giới hạn dải chắn
δ
p

: Độ gợn sóng dải thông
δ
s
: Độ gợn sóng dải chắn.

R.5.5
Trong hầu hết các ứng dụng, các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc thông
thấp được cho như hình vẽ:
Passband
Stopband
Ω
s
Ω
p
Ω
Transition band
( )
ΩjH
a
2
1
1
r+
A
1
0
0
1

Trong dải thông ( 0 ≤ Ω ≤ Ω

p
) giá trị biên độ lớn nhất và nhỏ nhất
tương ứng là 1 và
2
1/1
ε
+
Độ gợn đỉnh dải thông:
dB 1log20
2
10
ε
+=
p
R
Trong dải chắn, độ gợn sóng cực đại là 1/A.
Độ suy giảm cực tiểu:
dBA log20
10
=
s
R

R.5.6
Gần đúng Butterworth ( Bộ lọc Butterworth)
Bình phương đáp ứng biên độ của bộ lọc tương tự thông thấp Butterworth
bậc N có dạng:
N
c
a

jH
2
2
1
1
)(








Ω
Ω
+
=Ω
- Ở bộ lọc Butterworth, độ bằng phẳng đạt cực đại tại Ω = 0.
- Tại Ω = Ω
c
, độ khuếch đại G(Ω) = 10 log
10
H
a
(jΩ)
2
= 3 dB nhỏ hơn độ
khuếch tại ứng với Ω = 0 .Do đó Ω
c

gọi là tần số cắt 3 dB.
- Hai tham số đặc trưng cho bộ lọc Butterworth là: Ω
c
và

bậc N của bộ lọc.
Tham số này được xác định theo Ω
p
, Ω
s
, R
p
, R
s
.
- Hàm truyền của bộ lọc thông thấp Butterworth có dạng:
)(
)(
1
0
l
N
l
N
l
l
l
a
ps
K

sa
K
sH
−Π
==
=
=
∑

R.5.7
Gần đúng Chebyshev loại 1 (Bộ lọc Chebyshev loại 1)
Hàm truyền thông thấp Chebyshev loại 1 H
a
(s) có đáp ứng biên độ được
biểu diễn dưới dạng:
)(1
1
)(
22
2
pN
a
T
jH
Ω−+
=Ω
ωε
Trong đó T
N
(Ω) là đa thức Chebyshev bậc N.




>ΩΩ
≤ΩΩ
=Ω
−
−
1 ),coshcosh(
1 ),coscos(
)(
1
1
N
n
T
N
Từ đa thức trên ta có thể suy ra phép truy hồi như sau:
2r ),()(2)(
21
≥Ω−ΩΩ=Ω
−− rrr
TTT
Với T
0
(Ω) = 1 và T
1
(Ω) = Ω
Bậc N của bộ lọc Chebyshev loại 1 được xác định từ tần số giới hạn dải
thông Ω

p,
biên tần dải chắn Ω
s,
R
p
và R
s
.

R.5.8
Gần đúng Chebyshev loại 2: (Bộ lọc Chebyshsev loại 2)
Bình phương đáp ứng biên độ có dạng:
2
2
2
)/(
)/(
1
1
)(






ΩΩ
ΩΩ
+
=Ω

sn
psn
a
T
T
jH
ε
Hàm truyền của bộ lọc Chebyshev loại 2 chứa tất cả các điểm không
và điểm cực được biểu diễn dưới dạng:
∏
∏
∑
∑
=
=
=
=
−
−
==
N
l
l
N
l
l
N
l
l
l

N
l
l
l
a
ps
zs
K
sa
sb
KsH
1
1
0
0
)(
)(
)(
Ở đây các điểm không z
l
nằm trên trục ảo jΩ. Bậc N của bộ lọc
Chebyshev loại 2 cũng được xác định từ Ω
p
, Ω
s
, R
p
và R
s.

R.5.9
Gần đúng Elliptic (Bộ lọc elliptic)
Bình phương đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp elip có dạng:
)/(1
1
)(
22
2
pN
a
R
jH
ΩΩ+
=Ω
ε
Trong đó R
N
(Ω) là hàm hữu tỷ bậc N thoã mãn đặc tính:
R
N
(1/Ω) = 1/R
N
(Ω)
Với các nghiệm của tử phải nằm trong khoảng 0 < Ω < 1 và các
nghiệm của mẫu nằm trong khoảng 1 < Ω < ∞. Bậc N của bộ lọc
thông thấp elip cũng được xác định như trên.

R.5.10
So sánh các bộ lọc:
-Bộ lọc bậc 6

-Biên tần dải thông ứng với Ω = 1
-Độ lệch dải thông cực đại = 1 dB
-Độ suy giảm dải chắn cực tiểu = 40 dB.
Các đáp ứng tần số được mô phỏng như hình 5.3.

Để so sánh đặc tính của các bộ lọc nói trên, chúng ta cần khảo sát đáp
ứng tần số của bộ lọc tương tự thông thấp Butterworth, Chebyshev và
elliptic. Giả sử đáp ứng biên độ gợn sóng dải thông của Chebyshev
loại 1 và của các bộ lọc có độ gợn sóng tương đương là bằng nhau.
Trong khi đó độ suy giảm cực tiểu của Chebyshev loại 2 và của các bộ
lọc tương đương là như nhau. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc được sử
dụng để so sánh như sau:

Kết luận:
-Bộ lọc Butterworth có băng thông chuyển tiếp rộng nhất và đáp
ứng biên giảm đơn điệu. Băng thông chuyển tiếp của cả hai loại
Chebyshev đều bằng nhau nhưng nhỏ hơn Butterworth và lớn hơn
Elliptic. Đáp ứng biên độ của bộ lọc Chebyshev loại 2 gần như là
đồng nhất hơn so với đáp ứng biên độ của Butterworth. Đối với bộ
lọc elip thì băng thông chuyển tiếp hẹp nhất và đáp ứng biên độ
gợn sóng ở cả dải thông và dải chắn là tương đương nhau
-Bộ lọc Butterworth và Chebyshev có đáp ứng pha tuyến tính
trong 3/4 dải thông, ngược lại bộ lọc elip có đáp ứng pha tuyến
tính chỉ trong 1/2 dải thông.

R.5.12
Bộ chuyển đổi D/A trước tiên chuyển tín hiệu vào ở dạng số thành
chuỗi xung tương tự tuần hoàn, sau đó tín hiệu này được biến đổi sang
dạng sóng tương tự bậc thang bằng một mạch giữ mẫu bậc không
Phép biến đổi Fourie liên tục của mạch giữ mẫu bậc không có dạng:







Ω
Ω
=Ω
Ω
−
2/
)2/sin(
)(
2
T
ejH
T
j
z
Trong đó:
T: chu kỳ lấy mẫu của tín hiệu số.

Đáp ứng biên độ của mạch giữ mẫu bậc không mang các đặc trưng
của lọc thông thấp với các điểm không ứng với bội số nguyên lần của
Ω = 1/T và sinh ra méo biên độ gọi là droop. Droop này có thể được
bù lại bằng cách thiết kế bộ lọc tương tự chuẩn hoá với đáp ứng biên
độ được cho bởi công thức:
)(
)(

)(
^
Ω
Ω
=Ω
jH
jH
jH
z
r
r
Trong đó:
H
r
(jΩ) là đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự thông thấp lý tưởng.
Thay vào đó, droop có thể được bù bằng cách đặt bộ lọc bù số có đáp
ứng biên độ bằng nghịch đảo của hàm biên độ trong mạch giữ mẫu
bậc không trước khi thực hiện chuyển đổi D/A.