bài giảng qui hoạch động rất dễ hiểu nguyễn vũ cát tường

( D y n a m i c P r o g r a m m i n g )
CHUYÊN ĐỀ
QUI HOẠCH ĐỘNG
TRƯỜNG THPT VINH LỘC
N
ă
m

h
ọ
c
:

2
0
1
4

-
2
0
1
5
NỘI DUNG
1. Giới thiệu
2. Phương pháp thực hiện
3. Một số bài toán tối ưu giải bằng phương
pháp quy hoạch động
Giới thiệu
•
Bài toán dãy số Fibonaci

1
1
2
3
5
Rabbits
i 1 2 3 4 5 6 … … n
F(i) 1 1 2 3 5 8 … …
?
Ví dụ 1: Tính phần tử thứ n của dãy số Fibonaci
F(1)=1
F(2)=2
F(i)= F(i-1)+F(i-2)
→ Tính F(n), giá trị của phần tử thứ n trong dãy.
Ví dụ 1: Tính phần tử thứ n của dãy số Fibonaci
•
Giải bài toán trên bằng giải thuật đệ qui?
Function F(n: integer): integer;
Begin
If n≤ 2 then
F:=1
Else
F:= F(n-1)+F(n-2);
End;
Ví dụ 1: Tính phần tử thứ n của dãy số Fibonaci
•
Việc thực hiện một giải thuật đệ quy có thể không tối
ưu về mặt thời gian/không gian nhớ.
•
Đặc điểm của lời giải đệ quy: thực hiện bài toán từ

việc phân tích ở mức cao xuống mức thấp.
f(1) f(2)
f(3) f(2)
f(4)
f(1) f(2)
f(3)
f(5)
f(1) f(2)
f(3) f(2)
f(4)
f(6)
Ví dụ 1: Tính phần tử thứ n của dãy số Fibonaci
•
Nếu giải quyết bài toán này từ mức thấp lên mức cao ta có giải thuật sau:
Function F(n: integer): integer;
Var i: integer;
a: array[1 100] of integer;
Begin
a[1]:=1;
a[2]:=1;
For i:=3 to n do
a[i]:=a[i-1]+a[i-2];
F:= a[i];
End;

Đặc điểm của lời giải bài toán theo phương pháp quy hoạch động:
giải quyết bài toán đệ quy từ mức thấp trước, lời giải của chúng
được lưu lại và được sử dụng để tìm lời giải của các bài toán ở
mức cao hơn.
•

Tư tưởng của phương pháp
•
Sử dụng nguyên lý: “chia để trị”
•
Cách tiếp cận: “dưới-lên”
•
Phạm vi áp dụng
•
Các bài toán có được bằng việc tổ hợp các nghiệm của các bài
toán con
•
Các bài toán tối ưu hoá rời rạc
•
Nguyên lý của phương pháp:
•
Nguyên lý tối ưu của Bellman: Trong một dãy tối ưu của các lựa
chọn thì một dãy con của nó cũng là tối ưu.
2. Phương pháp thực hiện
•
Phân tích bài toán (biểu diễn bài toán dưới dạng
một bài toán nhiều mức)
•
Xây dựng giải pháp đệ quy (lập công thức truy
hồi)
•
Lập bảng (sử dụng các mảng để tính toán các giá
trị theo kiểu dưới-lên)
•
Tổng hợp kết quả (kiến tạo một lời giải cho bài
toán từ các thông tin đã tính toán)

Xét ví dụ trên
•
Phân tích bài toán: Xây dựng hàm:
Function F(n: integer): integer;
•
Giải pháp đệ quy: F(n) = F(n-1)+F(n-2)
•
Lập bảng:
Sử dụng mảng 1 chiều a (array[1 max] of integer) để tính:
a[i] = F(i). với i = 1 n.
Cụ thể: a[1] = a[2] = 1, và:
a[i] = a[i-1] + a[i-2]; với i = 3 n,
•
Tổng hợp kết quả: F(n) = a[n];
3. Một số bài toán tối ưu giải bằng phương
pháp quy hoạch động
•
Chiếc túi xách
•
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
Bài toán chiếc túi xách
•
Một cái kho chứa n loại đồ vật có kích thước và giá trị khác nhau.
Cụ thể: Loại đồ vật i (i=1 n) có:
- kích cỡ m[i] ∈ N*
- giá trị c[i] ∈ R
- số lượng: không hạn chế
•
Một tên trộm mang theo chiếc túi có kích cỡ là p∈N*. Vậy hắn
phải chọn lựa một danh sách các đồ vật sẽ mang đi như thế nào để

cho tổng giá trị lấy cắp được là lớn nhất.
Tức: Tìm x[1], x[2], , x[n] (với x[i] ∈ N : số lượng loại đồ vật thứ i
cần lấy) sao cho: ∑x[i].m[i] ≤ p và ∑x[i].c[i] đạt giá trị cực đại
Bài toán chiếc túi xách
1
3
2
Ví dụ: Trong kho có các loại đồ vật và giá trị sau:
m[1]:2
c[1]:4
m[3]:4
c[3]:6
m[2]:3
c[2]:5
Giả sử tên trộm mang theo chiếc túi có kích cỡ p=9
Lúc đó tên trộm có thể lấy các đồ vật với giá trị như sau:
Tên trộm lấy 3 đồ vật 1 và 1 đồ vật 2 với giá trị lớn nhất
là 17.
Bài toán chiếc túi xách

Phân tích bài toán:
•
Gọi P(r, s) là bài toán chiếc túi xách, với:
r ∈ N*: kích cỡ chiếc túi
s ∈ N*: số các loại đồ vật khác nhau
(bài toán ban đầu là P(p, n))
•
Các giá trị cần tìm:
l[r,s]: giá trị cực đại ∑x[i].c[i] của bài toán P(r, s)
u[r,s]: số lượng loại đồ vật s tối ưu cần lấy (tức: x[s]) của

bài toán P(r, s)
Bài toán chiếc túi xách

Giải pháp đệ quy:
•
Khi s = 1:
u[r, 1] = r div m[1]
l[r, 1] = u[r, 1]∗c[1]
•
Khi s > 1:
l[r, s] = max { k∗c[s] + l[r – k∗m[s], s-1] }
0 ≤ k ≤ r div m[s]
= k’∗c[s] + l[r – k’∗m[s], s-1]
u[r, s] = k’
Lập bảng (Bài toán chiếc túi xách)
Procedure LapBang;
Begin
For r:=0 to p do
For s:=1 to n do
If s=1 then Tính u[r, 1] và l[r, 1]
else Tính u[r, s] và l[r, s];
End;
Xét ví dụ trên với n=3, p=9.
m[1]=2, c[1]=4; m[2]=3, c[2]=5; m[3]=4, c[3]=6
Ta có bảng:
s
r
1 2 3
0 0/0 0/0 0/0
1 0/0 0/0 0/0

2 1/4 0/4 0/4
3 1/4 1/5 0/5
4 2/8 0/8 0/8
5 2/8 1/9 0/9
6 3/12 0/12 0/12
7 3/12 1/13 0/13
8 4/16 0/16 0/16
9 4/16 1/17 0/17
u[r,s] (số lượng đồ vật s)
l[r,s] (giá trị cực đại)
Tổng hợp kết quả (Bài toán chiếc túi xách)
Procedure TongHop;
Begin
r:=p;
For s:=n downto 1 do
begin
x[s]:= u[r,s];
r:= r – x[s].m[s];
end;
End;
Xét ví dụ trên với n=3, p=9.
m[1]=2, c[1]=4; m[2]=3, c[2]=5; m[3]=4, c[3]=6
Từ bảng đã lập ở trên ta tổng hợp kết quả như sau:
s
r
1 2 3
0 0/0 0/0 0/0
1 0/0 0/0 0/0
2 1/4 0/4 0/4
3 1/4 1/5 0/5

4 2/8 0/8 0/8
5 2/8 1/9 0/9
6 3/12 0/12 0/12
7 3/12 1/13 0/13
8 4/16 0/16 0/16
9 4/16 1/17 0/17
0/171/17
3/12
9
6
Giá trị cực đại là: 17
Số lượng các đồ vật được
lấy như sau:
Đồ vật 3 số lượng 0
Đồ vật 2 số lượng 1
Đồ vật 1 số lượng 3
Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
•
Cần tính M = M1×M2× ×Mn
Trong đó: Mi là ma trận cấp m[i-1]×m[i] (i=1 n)
Hãy xác định thứ tự thực hiện các phép nhân sao cho số phép
tính là tối thiểu.
•
Ví dụ: Tính M = M1 × M2 × M3
[10×20][20×50][50×5]
(M1×M2)×M3 có số phép toán là:
10×20×50 + 10×50×5 = 12500
M1×(M2×M3 ) có số phép toán là:
10×20×5 + 20×50×5 = 6000

Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
•
Ví dụ: Tính M = M1 × M2 × M3
[10×20][20×50][50×5]
(M1×M2)×M3 số phép toán được tính như sau:
•
M1 × M2 = 10 × 20 × 50 → M12
[10×50]
•
M12 × M3 = 10 × 50 × 5
→ Vậy (M1×M2)×M3 có số phép toán là:
10×20×50 + 10×50×5 = 12500
Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
•
Ví dụ: Tính M = M1 × M2 × M3
[10×20][20×50][50×5]
M1×(M2×M3) số phép toán được tính như sau:
•
M2 × M3 = 20 × 50 × 5 → M23
[20×5]
•
M1 × M23 = 10 × 20 × 5
→ Vậy (M1×M2)×M3 có số phép toán là:
10×20×5 + 20×50×5 = 6000
Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
•
Input: Cấp của n ma trận:

Ví dụ: Theo ví dụ trên, n=3
•
Output: x[i] là vị trí cần thực hiện phép nhân trong lần thứ
i, (với i= 1 n-1) sao cho số phép tính → min
i 0 1 … n
m[i] m[0] m[1] … m[n]
i 0 1 2 3
m[i] 10 20 50 5
Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận

Phân tích bài toán:
•
Gọi P(r, s) là bài toán nhân ma trận: Mr×Mr+1× ×Ms, với r ≤ s
(bài toán ban đầu là P(1, n))
•
Giá trị cần tìm:
k[r,s]: vị trí phép toán thực hiện cuối cùng của bài toán P(r, s)
(Mr×Mr+1× ×Mk-1) × (Mk×Mk+1× ×Ms)
k = k[r,s] ∈ [r+1, s]
l[r, s]: số phép tính nhân tối ưu của bài toán P(r, s)
Vị trí phép toán thực hiện cuối cùng
Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận

Giải pháp đệ quy:
•
Trường hợp 1: Khi s = r : l[r, r] = 0
•
Trường hợp 2: Khi s = r+1:

l[r, r+1] = m[r-1] ∗ m[r] ∗ m[r+1]
k[r, r+1] = r+1
•
Trường hợp 3: Khi s > r+1:
l[r, s] = min { l[r, v-1] + m[r-1]∗m[v-1]∗m[s] + l[v, s] }
r+1 ≤ v ≤ s
(v là các vị trí phép toán thực hiện cuối cùng khác nhau)
= l[r, v’-1] + m[r-1] ∗ m[v’-1] ∗ m[s] + l[v’, s]
(v’ là vị trí tối ưu trong số các vị trí của v)
k[r, s] = v’

Nhận xét: Có thể ghép trường hợp 2 vào trường hợp 3.