Tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp THPT môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (880.41 KB, 62 trang )
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 1
Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác đị
nh trên D, v
ớ
i D là m
ộ
t kho
ả
ng, m
ộ
t
đ
o
ạ
n ho
ặ
c n
ử
a kho
ả
ng.
1.Hàm s
ố
( )
y f x
=
đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng bi
ế
n trên D n
ế
u
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x D x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <
2.Hàm s
ố
( )
y f x
=
đượ
c g
ọ
i là ngh
ị
ch bi
ế
n trên D n
ế
u
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x D x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >
II.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
để
hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u: Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng D
1.N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=
đồ
ng bi
ế
n trên D thì '( ) 0,
f x x D
≥ ∀ ∈
2.N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=
ngh
ị
ch bi
ế
n trên D thì '( ) 0,
f x x D
≤ ∀ ∈
III.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
để
hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u:
1.
Đị
nh lý 1. N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[
]
,
a b
và có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng (a,b) thì t
ồ
n t
ạ
i ít
nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m
( , )
c a b
∈
sao cho:
( ) ( ) '( )( )
f b f a f c b a
− = −
2.
Đị
nh lý 2. Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng D
1.N
ế
u '( ) 0,
f x x D
≥ ∀ ∈
và
'( ) 0
f x
=
ch
ỉ
t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m thu
ộ
c D thì hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên D
2.N
ế
u '( ) 0,
f x x D
≤ ∀ ∈
và
'( ) 0
f x
=
ch
ỉ
t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m thu
ộ
c D thì hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên D
3.N
ế
u '( ) 0,
f x x D
= ∀ ∈
thì hàm s
ố
không
đổ
i trên D
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
*Phương pháp : Xét chiều biến thiên của hàm số
( )
y f x
=
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
2.Tính
' '( )
y f x
=
và xét d
ấ
u y’ ( Gi
ả
i ph
ươ
ng trình y’ = 0 )
3.L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
4.K
ế
t lu
ậ
n
Ví d
ụ
: Xét tính bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1.y = -x
3
+3x
2
-3x+1 4. y=
3 2
2 1
x
x
− +
−
2. y= 2x
4
+5x
2
-2 5.
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
3. y= (x+2)
2
(x-2)
2
6.
2
2
2 3
10
x x
y
x
− −
=
−
7.
2
6 10
y x x
= − +
8.
2
3
2 1
x x
y
x
− +
=
+
9.y= 2 1 3
x x
+ + −
10.y=2x +
2
1
x
−
11.y = x + cosx trên kho
ả
ng (0;
π
) 12. y= sin2x -
3
x trên kho
ả
ng (0;
2
π
)
13.y= x.tanx trên kho
ả
ng (
;
2 2
π π
− ) 14.y = -6sinx +4tanx -13x trên (0;
π
)
Ví d
ụ
:
1.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 2x
3
-3mx
2
+2(m+5)x-1
đồ
ng bi
ế
n trên R
2.Tìm m
để
hàm s
ố
y=
2
1
x x m
mx
+ +
+
đồ
ng bi
ế
n R
3.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 3mx+
2
2
x
+
đồ
ng bi
ế
n trên R
4.Tìm m
để
hàm s
ố
3 2
( ) 3 ( 2) 3
y f x mx x m x
= = − + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
Dạng 1
.Xét chi
ề
u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
Dạng 2
. Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố
để
hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u trên m
ộ
t kho
ả
ng cho tr
ướ
c .
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 2
5. Tìm m
để
hàm s
ố
3 2 2
( ) ( 1) ( 2)
y f x x m x m x m
= = − + + − + +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
6. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
( ) 2 2 2 2 5
3
m
y f x x m x m x
−
= = − − + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
7. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
( ) 1 3 2
3
y f x m x mx m x
= = − + + − t
ă
ng trên R
8.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 3x
3
-2x
2
+mx-4 t
ă
ng trên (-1;
+∞
)
9.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 4mx
3
-6x
2
+(2m-1)x+1 t
ă
ng trên (0;2)
10.Tìm m
để
hàm s
ố
y=
2
6 2
2
mx x
x
+ −
+
gi
ả
m trên [1;
+∞
)
11.Tìm m
để
hàm s
ố
y=mx
4
-4x
2
+2m-1 gi
ả
m trên (0;3)
12.Tìm m
để
hàm s
ố
y= x
3
+3x
2
+(m+1)x+4m gi
ả
m trên (-1;1)
13.Tìm m
để
hàm s
ố
y=
2
2 3
2 1
x x m
x
− − +
+
gi
ả
m trên (
1
;
2
− +∞
)
14.Cho hàm s
ố
y=
2
2 1
2
x mx m
x
− + −
+
a.Tìm m
để
hàm s
ố
t
ă
ng trên t
ừ
ng kho
ả
ng xác
đị
nh
b.Tìm m
để
hàm s
ố
gi
ả
m trên kho
ả
ng (a;b) v
ớ
i b-a =2
15.Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
sau ngh
ị
ch bi
ế
n trên m
ộ
t
đ
o
ạ
n có
độ
dài b
ằ
ng 1
3 2
( ) 3
y f x x x mx m
= = + + +
16. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
( ) 1 3 4
3
y f x x m x m x
= = − + − + + −
t
ă
ng trên
(
)
0,3
17. Tìm m
để
hàm s
ố
(
)
3 2
( ) 3 1 4
y f x x x m x m
= = + + + +
gi
ả
m trên
(
)
1,1
−
18. Tìm m
để
hàm s
ố
4
( )
mx
y f x
x m
+
= =
+
gi
ả
m trên kho
ả
ng
(
)
,1
−∞
19. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1 1
( ) 1 3 2
3 3
y f x mx m x m x
= = − − + − +
t
ă
ng trên
(
)
2,
+∞
20. Tìm m
để
hàm s
ố
(
)
( )
2 2
1 4 4 2
( )
1
x m x m m
y f x
x m
+ + + − −
= =
− −
đồ
ng bi
ế
n trên
(
)
0,
+∞
Ví d
ụ
:
1.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
3 4 7
x x x x
+ = − − +
(
Đ
K x
3
+3x
≥
0
0
x
⇔ ≥
)
2.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
5
+x
3
-
1 3
x
−
+4=0
3.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
4. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sinx =x
5.Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m 1
x x m
+ + =
6.Tìm
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m m
2
1
x
+
- x = 0
7.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
0:1 cos
2
x
x x
∀ > − < (HD xét hàm s
ố
2
( ) 1 cos
2
x
y f x x
= = − − )
8.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
0: 1
2
x
x
x e x
∀ > > + +
(HD xét hàm s
ố
2
( ) 1
2
x
x
y f x e x
= = − − −
)
9.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3
(0; ): tan
2 3
x
x x x
π
∀ ∈ > +
10.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng : N
ế
u
1
x y
+ =
thì
4 4
1
8
x y
+ ≥
( HD xét hàm s
ố
4 4
( ) (1 )
y f x x x
= = + − )
Dạng 3
. S
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
để
gi
ả
i PT,BPT,B
Đ
T
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 3
11.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
+ = + +
+ = + +
+ = + +
HD. Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
3 2
( ) ,y f x t t t t
= = + + ∈
. Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
t
ă
ng trên R .
Đ
S
1
1
x y z
x y z
= = =
= = = −
12.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3
3
3
sin
6
sin
6
sin
6
y
x y
z
y z
x
z x
= +
= +
= +
Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác đị
nh trên
D
⊂
và
0
x D
∈
1.
0
x
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
sao cho
( , )
a b D
⊂
và
{
}
0 0
( ) ( ), ( , )\
f x f x x a b x
< ∀ ∈
. Khi
đ
ó
0
( )
f x
đượ
c g
ọ
i là già tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
và
0 0
( ; ( ))
M x f x
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
.
2.
0
x
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
sao cho
( , )
a b D
⊂
và
{
}
0 0
( ) ( ), ( , ) \
f x f x x a b x
> ∀ ∈
. Khi
đ
ó
0
( )
f x
đượ
c g
ọ
i là già tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
và
0 0
( ; ( ))
M x f x
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
3.Giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i và giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u
đượ
c g
ọ
i chung là c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
II.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
: Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
0
x
.Khi
đ
ó, n
ế
u
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
thì
0
'( ) 0
f x
=
.
III.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
:
1.
Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số
( )
y f x
=
liên tụ
c trên kho
ả
ng (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
và có
đạ
o hàm trên các kho
ả
ng
0 0
( , ) và ( , )
a x x b
. Khi
đ
ó :
+ N
ế
u f’(x)
đổ
i d
ấ
u t
ừ
âm sang d
ươ
ng khi x qua
đ
i
ể
m
0
x
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
0
x
+ N
ế
u f’(x)
đổ
i d
ấ
u t
ừ
d
ươ
ng sang âm khi x qua
đ
i
ể
m
0
x
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
0
x
2.
Đị
nh lý 2. (D
ấ
u hi
ệ
u 2
để
tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
)
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
,
0
'( ) 0
f x
=
và f(x) có
đạ
o hàm c
ấ
p
hai khác 0 t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
. Khi
đ
ó:
+ N
ế
u
0
''( ) 0
f x
<
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
+ N
ế
u
0
''( ) 0
f x
>
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
*
Phương pháp1.
(Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số
( )
y f x
=
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.Tính
'( )
f x
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
4.K
ế
t lu
ậ
n
Ví d
ụ
1: Dùng quy t
ắ
c 1 tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
Dạng 1.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 4
1. y =
1
3
x
3
+x
2
-3x+2 2.y = x
4
+2x
2
-3
2. y =
3 1
2 4
x
x
−
+
4.y =
2
3 3
1
x x
x
− +
−
3. y=
2
2 4 5
x x
− +
6. y=(2x+1)
2
9
x
−
7. y = 3 1
x x
+ + −
8. y=
2
2 3
1
x
x x
+
+ +
9. y =
2
2 2
2 1
x x
x
− + +
+
10.
4 2
6 8 25
y x x x
= − + +
11.
2 2
( 2) ( 2)
y x x= + − 12.
5 3
15 15 2
y x x
= − +
*
Phương pháp 2.
(Quy tắc 2)Tìm cực trị của hàm số
( )
y f x
=
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.Tính
'( )
f x
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m
( 1,2,3 )
i
x i = thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.Tính
''( ) và ''( )
i
f x f x
4.K
ế
t lu
ậ
n
+N
ế
u
''( ) 0
i
f x
<
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
i
x
+N
ế
u
''( ) 0
i
f x
>
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
i
x
Ví d
ụ
2: Dùng quy t
ắ
c II tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
1.y= 3x
5
-20x
3
+1 2. y =
2
5 6 4
x x
− +
3.y = cos
2
3x 4. y =
sin cos
2 2
x x
−
5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx 6. y= sin
3
x + cos
3
x (
0 2
x
π
≤ ≤
)
7.
2
9
y x x
= −
8.
3
2
9
x
y
x
=
−
9.
3
3
y x x
= − 10.
[
]
sinx cos , ,
y x x
π π
= + ∈ −
VD1: Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a m sao cho :
1.
y= x
3
-mx
2
+2(m+1)x-1
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x= -1
2.
y=
2
1
x mx
x m
+ +
+
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x=2
3.
y=
4 2 2
2 2
x mx m
− − −
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x=
2
VD2:Cho hàm s
ố
y=
1
3
x
3
-(7m+1)x
2
+16x-m .Tìm m
để
a.
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
b.
Hàm s
ố
có các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
,x
2
(1; )
∈ +∞
VD3:Cho hàm s
ố
y= x
3
-mx
2
+(m+36)x-5 .Tìm m
để
a.
Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
b.
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m x
1
,x
2
và
1 2
4 2
x x− =
VD3:Cho hàm s
ố
y=
2
2 2 1
1
x mx m
x
+ + −
+
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
VD4:Cho hàm s
ố
y= 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1
Tìm m
để
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng y=x+2
Dạng 2
.Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
thõa mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 5
VD5: Cho hàm s
ố
y= x
3
-3x
2
-mx+2 .Tìm m
để
a.
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u trong kho
ả
ng (0;2)
b.
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i ,c
ự
ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u cách
đề
u
đườ
ng th
ẳ
ng y=x-1
VD6:Cho hàm s
ố
2
(3 1) 4
2 1
x m x m
y
x
− + +
=
−
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng
th
ẳ
ng
: 1 0
x y
∆ + + =
.
VD1: Cho hàm s
ố
y= x
3
+mx
2
-x
a.
CMR hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i m
b.
Xác
đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) y=-2x
VD2:Cho hàm s
ố
y=
2
(3 2) 4
1
x m x m
x
− + + +
−
a.
Tìm m
để
hàm s
ố
có C
Đ
,CT và C
Đ
,CT và
đ
i
ể
m M(-2;1) th
ẳ
ng hàng
b.
Tìm m
để
hàm s
ố
có C
Đ
,CT và trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n n
ố
i 2
đ
i
ể
m C
Đ
,CT cách g
ố
c O m
ộ
t kho
ả
ng
b
ằ
ng 3
VD3.Cho hàm s
ố
3 2
3 2
y x x
= − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
(C)
ở
v
ề
hai phía khác nhau c
ủ
a
đườ
ng tròn :
2 2 2
2 4 5 1 0
x y mx my m
+ − − + − =
.
VD4.Cho hàm s
ố
4 2 4
2 2
y x mx m m
= − + +
.Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u,
đồ
ng
th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ậ
p thành m
ộ
t tam giác
đề
u .
VD5.Cho hàm s
ố
2
2
1
x mx
y
x
+ +
=
−
.Tìm
để
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
n
ằ
m trên Parabol (P)
2
4
y x x
= + −
VD6.Cho hàm s
ố
2
( 2) 3 2
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
a.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
b.
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
có giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u là y
CĐ
, y
CT
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
2 2
CD
1
2
CT
y y
+ >
.
VD7.Cho hàm s
ố
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
y x m x m m x
= − + + − + +
a.
Tìm m
để
hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía khác nhau c
ủ
a tr
ụ
c tung
b.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hai giá tr
ị
c
ự
c tr
ị
cùng d
ấ
u
VD8.Cho hàm s
ố
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
a.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m hàm s
ố
luôn
đạ
t c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1 2
,
x x
và
2 1
x x
−
không ph
ụ
thu
ộ
c vào tham s
ố
m.
b.Tìm m
để
1
CD
y
>
VD9.Cho hàm s
ố
3 2
1
( ) 1
3
y f x x mx x m
= = − − + +
.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i m hàm s
ố
đ
ã cho luôn có c
ự
c
đạ
i
c
ự
c ti
ể
u .Hãy xác
đị
nh m
để
kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là nh
ỏ
nh
ấ
t .
VD10.Cho hàm s
ố
2 2
2( 1) 4
( )
2
x m x m m
y f x
x
+ + + +
= =
+
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u,
đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
cùng v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
O t
ạ
o thành tam giác vuông t
ạ
i O.
( A – 2007)
VD11.Cho hàm s
ố
1
( )y f x mx
x
= = +
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đề
n ti
ệ
m c
ậ
n xiên b
ằ
ng
1
2
.(A – 2005)
VD12.Cho hàm s
ố
3 2 2 2
( ) 3 3( 1) 3 1
y f x x x m x m
= = − + + − − −
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m
c
ự
c tr
ị
cách
đề
u g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
( B – 2007)
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 6
VD13.Cho hàm s
ố
2
( 1) 1
( )
1
x m x m
y f x
x
+ + + +
= =
+
(Cm) . CMR v
ớ
i m
ọ
i m (Cm) luôn có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và
kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
b
ằ
ng
20
.
( B – 2005)
VD14.Cho hàm s
ố
3 2
( ) (2 1) (2 ) 2
y f x x m x m x
= = − − + − +
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m
c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
d
ươ
ng .
( CĐ – D – 2009)
VD15
.
Cho hàm s
ố
4 2
2( 1)
y x m x m
= − + +
(1) m là tham s
ố
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi m = 1
b. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A,B,C sao cho OA=BC; trong
đ
ó O là g
ố
c t
ọ
a
độ
, A
là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
thu
ộ
c tr
ụ
c tung, B,C là hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
còn l
ạ
i .
( B – 2011)
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác đị
nh trên
D
⊂
1.N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
0
x D
∈
sao cho
0
( ) ( ),
f x f x x D
≤ ∀ ∈
thì s
ố
0
( )
M f x
= đượ
c g
ọ
i là giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
f(x) trên D, ký hi
ệ
u
ax ( )
x D
M M f x
∈
=
Nh
ư
v
ậ
y
x D
0 0
, ( )
ax ( )
, ( )
x D f x M
M M f x
x D f x M
∈
∀ ∈ ≤
= ⇔
∃ ∈ =
2. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
0
x D
∈
sao cho
0
( ) ( ),
f x f x x D
≥ ∀ ∈
thì s
ố
0
( )
m f x
=
đượ
c g
ọ
i là giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
f(x) trên D, ký hi
ệ
u
( )
x D
m Min f x
∈
=
Nh
ư
v
ậ
y
x D
0 0
, ( )
( )
, ( )
x D f x m
m Min f x
x D f x m
∈
∀ ∈ ≥
= ⇔
∃ ∈ =
II.Ph
ươ
ng pháp tìm GTLN,GTNN c
ủ
a hàm s
ố
: Cho hàm s
ố
( )
y f x
=
xác
đị
nh trên
D
⊂
Bài toán 1.N
ế
u
( , )
D a b
=
thì ta tìm GTLN,GTNN c
ủ
a hàm s
ố
nh
ư
sau:
1.Tìm t
ập xác định của hàm số
2.Tính
'( )
f x
và giả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
4.K
ế
t lu
ậ
n
Bài toán 2
. Nếu
[
]
,
D a b
=
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.Tính
'( )
f x
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m
1 2
,
x x
thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.Tính
1 2
( ), ( ), ( ) ( )
f a f x f x f b
4.K
ế
t lu
ậ
n: S
ố
l
ớ
n nh
ấ
t là
[ ]
,
ax ( )
x a b
M M f x
∈
=
và s
ố
nh
ỏ
nh
ấ
t là
[ ]
,
( )
x a b
m Min f x
∈
=
Bài toán 3
.
S
ử
d
ụ
ng các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c thông d
ụ
ng nh
ư
: Cauchy, Bunhiac
ố
pxki, …
Bài toán 4.S
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình, t
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:
1.
4 2
( ) 2
y f x x x
= = − 2.
3 1
( )
3
x
y f x
x
−
= =
−
trên
[
]
0;2
3.
2
( ) 4
y f x x x
= = + −
(B-2003) 4.
2
ln
( )
x
y f x
x
= = trên
3
1,
e
(B-2004)
5.
2
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
trên
[
]
1,2
−
(D-2003) 6.
2
2
3 10 20
( )
2 3
x x
y f x
x x
+ +
= =
+ +
(SPTPHCM2000)
Dạng 1.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 7
7.
( ) 5cos os5x
y f x x c
= = −
trên
,
4 4
π π
−
8.
3sin
( ) 1
2 cos
x
y f x
x
= = +
+
9.
( ) 1 sinx 1 osx
y f x c= = + + + 10.
( ) 2cos2 osx-3
y f x x c
= = − +
11.
2
2 1 2
y x x x x
= − + + − − + +
12.
2sin .cos sin cos
y x x x x
= + −
13.
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên
( 1, )
− +∞
14.
2
4 3 3 1
y x x x
= − + + −
trên
đ
o
ạ
n
13
0,
4
15.
3 2
1
3
4
y x x
= −
trên
[
]
2,4
−
16.
3 3
sin os 3sin 2
y x c x x
= + +
VD1 .Cho hàm s
ố
2
2 4
y x x a
= + + −
.Tìm a
để
giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
trên
[
]
2,1
−
đạ
t GTLN.
VD2. Cho hàm s
ố
4 4
( ) sin os sin .cos
y f x x c x m x x
= = + +
.Tìm m sao cho giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
b
ằ
ng 2.
VD3. Cho hàm s
ố
cos 1
cos 2
k x
y
x
+
=
+
.Tìm k
để
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
nh
ỏ
h
ơ
n -1.
VD4. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
a,b sao cho hàm s
ố
2
a +b
( )
1
x
y f x
x
= =
+
có giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng 4 và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t b
ằ
ng -1.
VD5.Cho hàm s
ố
2
( ) 2 4 2 1
y f x x x a
= = + − +
v
ớ
i
3 4
x
− ≤ ≤
.Xác
đị
nh a
để
giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
đạ
t giá
tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t .
VD1. M
ộ
t t
ấ
m tôn hình vuông c
ạ
nh b
ằ
ng a. Ng
ườ
i ta ph
ả
i c
ắ
t b
ỏ
b
ố
n hình vuông b
ằ
ng nhau
ở
b
ố
n góc
để
gò
thành m
ộ
t b
ể
ch
ứ
a hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t không n
ắ
p, c
ạ
nh hình vuông c
ắ
t
đ
i b
ằ
ng bao nhiêu thì b
ể
có th
ể
tích l
ớ
n
nh
ấ
t .
Đ
S. C
ạ
nh hình vuông c
ắ
t
đ
i b
ằ
ng
6
a
VD2. Tìm các kích th
ướ
c c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích l
ớ
n nh
ấ
t n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn bán kính R cho tr
ướ
c.
Đ
S.Các kích th
ướ
c c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t là
2
R
(hình vuông)
VD3. Trong các kh
ố
i tr
ụ
n
ộ
i ti
ế
p hình c
ầ
u bán kính R, hãy xác
đị
nh kh
ố
i tr
ụ
có th
ể
tích l
ớ
n nh
ấ
t .
Đ
S.Hình tr
ụ
có chi
ề
u cao
2
3
R
h = bán kính
đ
áy
2
2
4
h
r R= −
VD4. Cho
đườ
ng (C) có ph
ươ
ng trình
2 2 2
x y R
+ =
.Hãy tìm các
đ
i
ể
m H trên (C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
ó c
ắ
t
hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
i A và B có
độ
dài
đ
o
ạ
n AB nh
ỏ
nh
ấ
t .
VD5. Tìm hình thang cân có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn bán kính R cho tr
ướ
c .
VD6. Cho
2 2
1
x y
+ =
. Tìm Max, Min c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2
2( )
2 2 1
xy y
P
xy x
+
=
+ +
.
Đ
S.
2 6 2 6
,
2 2
MaxP MinP
+ −
= =
VD7.Cho
, 0
x y
>
và
1
x y
+ =
.Tìm Min c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
1 1
x y
P
x y
= +
− −
VD8.Cho hai s
ố
th
ự
c thay
đổ
i x, y thõa mãn
2 2
2
x y
+ =
.Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3
2( ) 3
P x y xy
= + −
( C
Đ
Kh
ố
i A – 2008)
VD9. Cho hai s
ố
th
ự
c thay
đổ
i x,y thõa mãn
2 2
1
x y
+ =
.Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +
(
Đ
H Kh
ố
i B – 2008)
Dạng 2
.Tìm GTLN,GTNN c
ủ
a hàm s
ố
có ch
ứ
a tham s
ố
Dạng 3
.
Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a bài toán tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 8
VD10.Cho hai s
ố
th
ự
c không âm x, y thay
đổ
i và thõa
đ
i
ề
u ki
ệ
n x + y = 1 .Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25
P x y y x xy
= + + +
(
Đ
H Kh
ố
i D – 2009)
Chủ đề 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d):
0
x x
=
được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x
=
nế
u
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
Ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
2.
Đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n ngang .
Đườ
ng th
ẳ
ng (d):
0
y y
=
đượ
c g
ọ
i là
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
ho
ặ
c
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
3.
Đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n xiên .
Đườ
ng th
ẳ
ng (d)
( 0)
y ax b a
= + ≠
đượ
c g
ọ
i là ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
ho
ặ
c
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
Chú ý
: Cách tìm ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
Đườ
ng th
ẳ
ng (d)
( 0)
y ax b a
= + ≠
là ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
khi và ch
ỉ
khi
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = − ho
ặ
c
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1. Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n ngang và ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau:
1.
2 3
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
2.
2
2
2 3
( )
4
x x
y f x
x
+ +
= =
−
3.
3
3
( )
27
x
y f x
x
= =
+
4.
2
( )
5
y f x
x
= =
−
Ví d
ụ
2. Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau:
1.
2
( ) 2 1
1
y f x x
x
= = + +
+
2.
2
3 5 2
( )
3 1
x x
y f x
x
− + −
= =
+
3.
3 2
2
2 5 1
( )
1
x x
y f x
x x
+ −
= =
− +
4.
2
2 5 1
( )
2 3
x x
y f x
x
− + −
= =
−
Ví d
ụ
3.Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau:
1.
2
2 1
( )
2 1
x
y f x
x
+
= =
−
2.
2
2 1
( )
2
x
y f x
x x
− −
= =
+ +
3.
2
( ) 2 4 2
y f x x x x
= = − − +
4.
2
( ) 3 2 4
y f x x x
= = − +
Ví d
ụ
1.Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m sao cho:
1.
Đồ
th
ị
hàm s
ố
2 2 1
( )
x m
y f x
x m
+ −
= =
+
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng qua
đ
i
ể
m M(-3,1)
2.
Đồ
th
ị
hàm s
ố
2
2 3 2
( )
1
x mx m
y f x
x
+ − +
= =
−
có ti
ệ
m c
ậ
n xiên t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t tam giác có
di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
Dạng 1.
Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
Dạng 2.
Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
có ch
ứ
a tham s
ố
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 9
Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm):
1 2
( ) 3
2 1
y f x x
mx
= = − + +
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng (dm)
2
y mx m
= − +
. Xác
đị
nh m
bi
ế
t r
ằ
ng (Cm) có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a nó t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (dm)m
ộ
t góc
α
có
1
os
5
c
α
=
.
Ví d
ụ
3. Cho hàm s
ố
2
( )
1
x m
y f x
mx
+
= =
−
.Tìm m sao cho
đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng, ti
ệ
m c
ậ
n ngang và các
ti
ệ
m c
ậ
n cùng v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
o thành m
ộ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích b
ắ
ng 8.
Ví d
ụ
4. Cho hàm s
ố
3 5
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Tìm
( )
M C
∈
để
t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n
c
ủ
a (C) là nh
ỏ
nh
ấ
t ?
Ví d
ụ
5. Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm
( )
M C
∈
để
kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n giao
đ
i
ể
m hai ti
ệ
m
c
ậ
n là nh
ỏ
nh
ấ
t ?
Chủ đề 5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Bài toán 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
có đồ
th
ị
(C) t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m .
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
0 0
( , ) ( )
M x y C
∈
có dang :
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
− = −
.
Trong
đ
ó
0
'( )
f x
đượ
c g
ọ
i là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i ti
ế
p
đ
i
ể
m
0 0
( , )
M x y
.
2.Bài toán 2
. Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đồ
th
ị
(C) có h
ệ
s
ố
góc k cho tr
ướ
c.
1.G
ọ
i
0 0
( , )
M x y
là ti
ế
p
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n, ta có
( )
M C
∈
0 0
( )
y f x
⇒ =
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n có d
ạ
ng
0 0 0
( ) '( )( )
y f x f x x x
− = −
2.Vì h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n b
ằ
ng k nên
0
'( )
f x k
=
, gi
ả
i PT
0
'( )
f x k
=
tìm
đượ
c
0 0
x y
⇒
3.K
ế
t lu
ậ
n .
Chú ý
:
Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau. Nếu hai đường thẳng vuông góc thì
tích hai hệ số góc bằng -1
3.Bài toán 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
có đồ
th
ị
(C)
đ
i qua m
ộ
t
đ
i
ể
m
( , )
A A
A x y
1.L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m A v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc k.
d: ( )
A A
y k x x y
= − +
(1)
2.d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi và ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng tình sao có nghi
ệ
m
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +
=
(I)
3.Gi
ả
i h
ệ
(I) tìm k. Thay k vào (1)
để
vi
ế
t ph
ươ
ng tình ti
ế
p tuy
ế
n .
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1. Cho hàm s
ố
3 2
( ) 4 6 4 1
y f x x x x
= = − + −
có
đồ
th
ị
(C).
a.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A có hoành
độ
là 2.
b.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
4 1 0
x y
− − =
.
c.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trên (C) không t
ồ
n t
ạ
i hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
2.Cho hàm s
ố
2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C).
a.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M có tung
độ
b
ằ
ng 3.
b.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ
hai.
c.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua
đ
i
ể
m A(0, -2)
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
4 2
( ) 6
y f x x x
= = − − +
.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1
6
y x
= −
( Khối D – 2010)
Dạng 1.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 10
Ví d
ụ
4. Cho hàm s
ố
3 2
( ) 4 6 1
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
i
qua
đ
i
ể
m M(-1, -9).
( Khối B – 2008)
Ví d
ụ
5.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
bi
ế
t :
b.
Tung
độ
ti
ế
p
đ
i
ể
m b
ằ
ng
5
2
c.
Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 0
x y
∆ + − =
d.
Ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 10 0
x y
∆ − + =
e.
Ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua
đ
i
ể
m M(2,0)
Ví d
ụ
1 G
ọ
i
( )
m
C
là
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
1 1
( )
3 2 3
m
y f x x x
= = − +
( m là tham s
ố
). G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
( )
m
C
có
hoành
độ
b
ằ
ng -1.Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
( )
m
C
t
ạ
i M song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
5 0
x y
− =
.
( Khối D – 2005)
Ví d
ụ
2.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 1 ( )
m
y f x x x mx C
= = + + + .
a.Tìm m
để
(Cm) c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng y = 1 t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phan bi
ệ
t A(0,1), B, C
b.Tìm m
để
các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau .
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 9 5
y f x x x x
= = + − +
(C). Hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t
ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t .
Ví d
ụ
4.Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
(C). Xác
đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = 2x + m c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t A, B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
5.Cho hàm s
ố
2
( )
1
x
y f x
x
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M
c
ắ
t hai tr
ụ
c Ox, Oy t
ạ
i A,B và tam, giác OAB có di
ệ
n tích b
ằ
ng
1
4
.
( Khối D – 2007)
Ví d
ụ
6.Cho hàm s
ố
2
( )
2 3
x
y f x
x
+
= =
+
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c
hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A và B và tam giác OAB cân t
ạ
i O.
( Khối A – 2009)
Ví d
ụ
7. Cho hàm s
ố
2
1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
vuông góc v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
( Khối B – 2006)
Ví d
ụ
8.Cho hàm s
ố
2
2
( )
1
x x
y f x
x
+ +
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên (C) các
đ
i
ể
m A
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm
s
ố
t
ạ
i A vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
( Đại học An Ninh – 2001)
Ví d
ụ
9.Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Xác
đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng : 2
d y x m
= +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A,B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví d
ụ
10.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 4
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình Parabol
đ
i qua các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) và ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2
y x
= − +
( Đại học An Ninh – 1999)
Dạng 2
.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n thõa
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 11
Ví d
ụ
11. Cho hàm s
ố
3 2
1
( ) 3 1
3
y f x x x x
= = − + + −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví d
ụ
12. Cho hàm s
ố
4 3
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c Ox m
ộ
t góc
0
45
.
Ví d
ụ
13.Cho hàm s
ố
3 7
( )
2 5
x
y f x
x
−
= =
− +
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t :
a.
Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2 0
x y
− + =
b.
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
: 2
y x
∆ = −
m
ộ
t góc
0
45
c.
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i :
y x
∆ = −
m
ộ
t góc
0
60
Ví d
ụ
14. Cho hàm s
ố
2 1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C) và
đ
i
ể
m M b
ấ
t k
ỳ
thu
ộ
c (C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m hai ti
ệ
m
c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C). Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A và B.
a.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n AB
b.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác IAB không
đổ
i
c.
Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m M
để
chu vi tam giác IAB nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví d
ụ
15. Cho hàm s
ố
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i m
đườ
ng th
ẳ
ng
y x m
= +
luôn c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A và B .
G
ọ
i
1 2
,
k k
l
ầ
n l
ượ
t là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i ( C) t
ạ
i A và B .Tìm m
để
t
ổ
ng
1 2
k k
+
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t .
( Khối A – 2011)
Phương pháp
: Gi
ả
s
ử
ta c
ầ
n bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
y = f(x)
đ
i qua
( , )
A A
A x y
1.L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m A v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc k.
d:
( )
A A
y k x x y
= − +
(1)
2.d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi và ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng tình sao có nghi
ệ
m
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +
=
(I)
3.S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình này chính là s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua
đ
i
ể
m A .
Ví d
ụ
1.Cho hàm s
ố
3
( ) 3 (C)
y f x x x= = −
.Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng x = 2 nh
ữ
ng
đ
i
ể
m mà t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đ
úng ba
ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
Ví d
ụ
2. Cho hàm s
ố
3
( ) 3 (C)
y f x x x= = −
.Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng y= 2 nh
ữ
ng
đ
i
ể
m mà t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đ
úng ba
ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
Ví d
ụ
3.Cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d):x = 2 và hàm s
ố
3 2
( ) 6 9 1
y f x x x x
= = − + −
có
đồ
th
ị
(C). T
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
trên (d) có th
ể
đượ
c bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
4.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 2
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng y = -2 các
đ
i
ể
m mà t
ừ
đ
ó k
ẻ
đượ
c
đế
n
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
5.Cho hàm s
ố
4 2
( ) 2
y f x x x
= = −
có
đồ
th
ị
(C)
f.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p c
ủ
a (C)
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
g.
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i M còn c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A và B sao cho A
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a MB.
h.
Tìm
đ
i
ể
m M trên tr
ụ
c tung sao cho qua M có th
ể
k
ẻ
đượ
c 4 ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C)
Dạng 3
.Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
i qua m
ộ
t
đ
i
ể
m
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 12
Ví d
ụ
6.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 4
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm nh
ữ
ng
đ
i
ể
m trên tr
ụ
c Ox sao cho t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đượ
c ba ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
7.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 2 1
y f x x x x
= = − + + −
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
y x
= −
các
đ
i
ể
m k
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
8.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 2
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
3 2
y x
= − +
các
đ
i
ể
m k
ẻ
đượ
c
hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc
đế
n
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
9. Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có
đồ
th
ị
(C).Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m I(1,1)
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n này là l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví d
ụ
10.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3
y f x x x
= = +
có
đồ
th
ị
(C).Tìm các
đ
i
ể
m thu
ộ
c tr
ụ
c hoành mà t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đượ
c
ba ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C), trong
đ
ó có hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
11. Cho hàm s
ố
( )
2
x m
y f x
x
+
= =
−
. Tìm m
để
t
ừ
đ
i
ể
m A(1,2) k
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n AB,AC
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
sao cho
ABC
∆
đề
u ( V
ớ
i B, C là hai ti
ế
p
đ
i
ể
m ).
Ví d
ụ
12.Cho hàm s
ố
3
( ) 1 ( 1)
y f x x m x
= = + − +
có
đồ
th
ị
(C).
a.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và tr
ụ
c Oy.
b.Tìm m
để
∆
ch
ắ
n trên hai tr
ụ
c Ox, Oy m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Chủ đề 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giao điểm của hai đồ thị. Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ
th
ị
1
( )
C
và hàm s
ố
( )
y g x
=
có
đồ
th
ị
2
( )
C
+ Hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
c
ắ
t nhau t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0 0 0
( ; ) ( ; )
M x y x y
⇔
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
y f x
y g x
=
=
+Hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
( ) ( )
f x g x
=
(1)
+Ph
ươ
ng trình (1)
đượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
1
( )
C
và
2
( )
C
+S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) b
ằ
ng s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
1
( )
C
và
2
( )
C
2.S
ự
ti
ế
p xúc c
ủ
a hai
đườ
ng cong. Cho hai hàm s
ố
( )
y f x
=
và
( )
y g x
=
có
đồ
th
ị
l
ầ
n l
ượ
t là
1
( )
C
và
2
( )
C
và có
đạ
o hàm t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
.
+Hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m chung
0 0
( , )
M x y
n
ế
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó chúng
có chung cùng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n . Khi
đ
ó
đ
i
ể
m M
đượ
c g
ọ
i là ti
ế
p
đ
i
ể
m.
+Hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau khi và ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=
=
Nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình trên là hoành
độ
c
ủ
a ti
ế
p
đ
i
ể
m.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1.Cho hàm s
ố
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
có
đồ
th
ị
(C) và
đườ
ng th
ẳ
ng (d) :
y x m
= − +
i.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i m, (d) và (C) c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t .
j.
Gi
ả
s
ử
(d) và (C) c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A và B. Tìm m
để
độ
dài
đ
o
ạ
n AB nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví d
ụ
2.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 6 9 6 (C)
y f x x x x= = − + −
.
Đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng (d):
2 4
y mx m
= − −
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
4 2
( ) 2( 2) 2 3
y f x x m x m
= = − + + − −
( )
m
C
.
Đị
nh m
để
đồ
th
ị
( )
m
C
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t có hoành
độ
l
ậ
p thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng.
Ví d
ụ
4.
Đị
nh m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
( ) 1
y f x x mx m
= = − + − −
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t .
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 13
Ví dụ 5.Cho hàm số
4 2
( ) (3 2) 3
y f x x m x m
= = − + + có đồ thị
( )
m
C
.Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị
( )
m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. ( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2
( ) 3 4
y f x x x
= = − +
(C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2) với hệ
số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
( Khối D – 2008)
Ví dụ 7. Cho hàm số
3
( ) 3 2
y f x x x
= = − +
(C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số góc m.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. ( Khối D – 2006)
Ví dụ 8. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
2
y x m
= − +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho tam giác OAB có di
ệ
n tích b
ằ
ng
3
( O là g
ố
c t
ọ
a
độ
)
( Khối B – 2010)
Ví d
ụ
9. Cho hàm s
ố
3 2
( ) 2 (1 )
y f x x x m x m
= = − + − +
. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2 3
; ;
x x x
thõa mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + <
.
( Khối A – 2010)
Ví d
ụ
10.Cho hàm s
ố
3 2
1 2
( )
3 3
y f x x mx x m
= = − − + +
. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2 3
; ;
x x x
thõa mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2 2
1 2 3
15
x x x
+ + >
Ví d
ụ
11.Cho hàm s
ố
1
( )
1
y f x x
x
= = −
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = m c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho OA vuông góc v
ớ
i OB. (V
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ
)
Ví d
ụ
12.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
( ) ax
y f x x bx c
= = + + +
(C) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m cách
đề
u nhau thì
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên tr
ụ
c hoành.
Ví d
ụ
13. Cho hàm s
ố
2 1
1
x
y
x
+
=
+
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(C ) hàm s
ố
đ
ã cho
b.
Tìm k
để
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
y kx k
= + +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A,B sao cho kho
ả
ng cách
t
ừ
A và B
đế
n tr
ụ
c hoành b
ằ
ng nhau.
( Khối D – 2011)
Chủ đề 7. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP
Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( )
y f x
=
1.
Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n và tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(N
ế
u có)
3.
Tính
đạ
o hàm y’ và gi
ả
i ph
ươ
ng trình y’ = 0
4.
L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
5.
Nêu k
ế
t lu
ậ
n v
ề
tính bi
ế
n thiên và c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
6.
Tìm
đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(
Đố
i v
ớ
i hàm b
ậ
c ba và hàm trùng ph
ươ
ng )
7.
Tìm các
đ
i
ể
m
đặ
c bi
ệ
t thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
8.
V
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
và nh
ậ
n xét
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
3 2
( ) 3 1
y f x x x
= = − +
b.
3 2
( ) 2 3 12 13
y f x x x x
= = + − −
c.
3
( ) 3
y f x x x
= = − +
d.
3 2
( ) 3 3 2
y f x x x x
= = + + +
e.
3 2
( ) 3 5 2
y f x x x x
= = − + − +
f.
2
( ) ( 3)
y f x x x
= = −
g.
3 2
( ) 2 4 3
y f x x x x
= = + − −
h.
3 2
( ) 6 9 8
y f x x x x
= = + + +
Ví d
ụ
2. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
4 2
( ) 3 6 2
y f x x x
= = − +
b.
2 4
( ) 2
y f x x x
= = −
Dạng 1
. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 14
c.
4 2
( ) 2 3
y f x x x
= = + −
d.
4 2
( ) 2 3
y f x x x
= = − + +
e.
4 2
1 1
( )
2 2
y f x x x
= = − f.
4 2
( ) 5 4
y f x x x
= = − +
Ví d
ụ
3. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
2 1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
+
b.
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
c. ( )
1
x
y f x
x
= =
+
d.
1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
Ví d
ụ
4. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
2
1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
b.
2
2 5
( )
1
x x
y f x
x
− + −
= =
−
c.
2
2
( )
1
x x
y f x
x
− −
= =
−
d.
2
3 3
( )
2
x x
y f x
x
− +
= =
−
e.
2
1
( )
1
x x
y f x
x
− + +
= =
+
f.
2
2 6
( )
2 2
x x
y f x
x
− +
= =
+
Ví d
ụ
1.Cho hàm s
ố
3
( ) 3 1
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C)
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Dùng
đồ
th
ị
(C) bi
ệ
n lu
ậ
n theo k s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
3
3 1 0
x x k
− − + =
Ví d
ụ
2. Cho hàm s
ố
1
( )y f x mx
x
= = +
có
đồ
th
ị
(Cm)
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi
1
4
m
=
b.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a (Cm)
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a (Cm)
b
ằ
ng
1
2
(Khối A – Năm 2005)
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 2 9 12 4
y f x x x x
= = − + −
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình sau có 6 nghi
ệ
m ph
ậ
n bi
ệ
t :
3
2
2 9 12
x x x m
− + =
(Khối A – Năm 2006)
Ví d
ụ
4. Cho hàm s
ố
2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C).
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Tìm
đ
i
ể
m trên
đồ
th
ị
(C) thõa :
1.
Có t
ọ
a
độ
nguyên
2.
Cách
đề
u hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
3.
Cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(0;0) và B(2;2)
4.
T
ổ
ng kho
ả
ng cách
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n là nh
ỏ
nh
ấ
t
Ví d
ụ
5.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 6
y f x x x
= = − −
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Khi a thay
đổ
i bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình:
3 2
3 6
x x a
− − =
Ví d
ụ
6.Cho hàm s
ố
3 2 2 3 2
( ) 3 3(1 )
y f x x mx m x m m
= = − + + − + −
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi m = 1 (C1)
b.
Tìm k
để
ph
ươ
ng trình
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
− + + − =
có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
c.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(C1)
Dạng 2
. M
ộ
t s
ố
bài toán liên quan
đế
n kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng :
( ) ( )
f x g x
a a
=
(1)
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)
( ) ( )
f x g x
⇔ =
N
ế
u c
ơ
s
ố
a thay
đổ
i (có ch
ứ
a bi
ế
n ho
ặ
c ch
ứ
a tham s
ố
) thì
[ ]
0
(1)
( 1) ( ) ( ) 0
a
a f x g x
>
⇔
− − =
(ít gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
8 1 3
2 4
x x x
− + −
=
ĐS :
{
}
2; 3
− −
2.
2
5 6
5 1
x x− −
=
3.
2
5 125
x
= ĐS:
3
2
4.
3 1
4 7 16
0
7 4 49
x x−
− =
5.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
Đ
S :
{
}
1;7
−
6.
3
(3 2 2) 3 2 2
x
− = +
Đ
S :
1
3
−
7.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x
+ −
+ − =
Đ
S :
{
}
1
8.
2 3 2 3 5 5
3 .5 3 .5
x x x x
+ +
=
9.
1
1 1
5 25
x x
x x
+
− −
=
10.
1 2 2 9
3 .2 12
x x x
− − −
=
11.
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x
+ + + + +
+ + = + +
Đ
S :
{
}
0
12.
1
3 .2 72
x x
+
=
Đ
S :
{
}
2
13.
1 2
2 .3 .5 12
x x x
− −
=
Đ
S :
{
}
2
14.
2 5
3 9
x x
− −
=
15.
4 4
1
3 81
x
x
−
−
=
Đ
S :
1
x
≥
16.
1
2 2
2 ( 4 2) 4 4 4 8
x
x x x x
+ − − = + − −
Đ
S :
1
2
17.
6 4.3 2 4 0
x x x
− − + =
Đ
S :
{
}
0;2
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
2 2 2 3
( 1) ( 1)
x x
x x
+
− = −
Đ
S :
{
}
2; 3
± −
2.
3
( 1) 1
x
x
−
+ =
Đ
S :
{
}
3
3.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
− − − −
+ + = − +
Đ
S : 2
4.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ = −
Đ
S :
5
±
5.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
(
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-2000)
Đ
S :
{
}
1;3
6.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
(
Đ
H D-2006)
Đ
S :
{
}
0;1
Dạng 2
: Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
Đặ
t
( )
, 0
f x
t a t
= >
v
ớ
i a và
( )
f x
thích h
ợ
p
để
đư
a ph
ươ
ng trình bi
ế
n s
ố
x
đ
ã cho v
ề
ph
ươ
ng trình m
ớ
i v
ớ
i bi
ế
n
t, gi
ả
i ph
ươ
ng trình này tìm t (nh
ớ
so
đ
i
ề
u ki
ệ
n t > 0) r
ồ
i t
ừ
đ
ó tìm x.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 16
1.
9 4.3 45 0
x x
− − =
Đ
S : 2
2.
2
2 2 6 0
x x
+ − =
3.
9 8.3 7 0
x x
− + =
4.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
5.
1
8 6.2 2 0
x x
−
− + =
Đ
S : 0
6.
1 1
5 5 26
x x
+ −
+ =
Đ
S : 1; -1
7.
1
7 7 6 0
x x−
− + =
Đ
S : 1
8.
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
Đ
S :
2
k
π
9.
2 2
4 16 10.2
x x
− −
+ =
Đ
S : 3; 11
10.
2 2
5 5 2
4 2 4
x x x x+ − + − +
− = −
(
đặ
t t=
2
5
2
x x
+ −
)
Đ
S : 2
11.
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =
Đ
S : 3;
6
log 8
12.
(7 4 3) (2 3) 2 0
x x
+ + + − =
Đ
S : 0
13.
(2 3) (2 3) 14
x x
+ + − =
Đ
S : 2
14.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
15.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
Đ
S : 1; -1
16.
2 4
3.4 2.3 5.36
x x x
+ =
Đ
S : 0; 1/2
17.
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x
+
+ + − =
Đ
S :
3 5
( )
2
log 4
+
18.
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x
+ − + − + −
+ =
Đ
S : 1; -4
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
(
Đ
H A-2006)
Đ
S : 1
2.
2 2
2
2 2 3
x x x x
− + −
− =
(
Đ
H D-2003)
Đ
S : -1; 2
3.
( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
x x
− + + − =
(
Đ
H B-2007)
Đ
S : 1; -1
4.
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− = (
Đ
H Hàng H
ả
i-1999)
Đ
S : 4
5.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x
+ + +
− + =
(
Đ
H Th
ủ
y L
ợ
i-2000)
Đ
S : -1; 2
6.
25 15 2.9
x x x
+ = (
Đ
HSP H
ả
i Phòng-2000)
Đ
S : 0
7.
3 1
125 50 2
x x x
+
+ = (
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-1998)
Đ
S : 0
8.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
(HV Quan H
ệ
Qu
ố
c T
ế
-1999)
Đ
S :
1;2; 5
± −
9.
cos cos
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
x x
+ + − =
(
Đ
H Lu
ậ
t HN-1998)
Đ
S :
k
π
10.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
(
Đ
H Y HN-2000)
Đ
S : 1
Dạng 3 :
Ph
ươ
ng pháp lôgarit hóa
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
m
ộ
t trong các d
ạ
ng sau :
•
( )
( ) log
f x
a
a b f x b
= ⇔ =
•
( ) ( )
( ) ( )log
f x g x
a
a b f x g x b
= ⇔ =
•
( ) ( )
. ( ) ( )log log
f x g x
a a
a b c f x g x b c
= ⇔ + =
Chú ý :
Ph
ươ
ng pháp này th
ườ
ng áp d
ụ
ng cho các ph
ươ
ng trình ch
ứ
a phép nhân, chia gi
ữ
a các hàm s
ố
m
ũ
.
VD. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
3 .2 1
x x
=
Đ
S :
3
0; log 2
−
2
4 2
2. 2 3
x x
− −
=
Đ
S :
3
2;log 2 2
−
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 17
3.
2
5 6 3
5 2
x x x
− + −
=
Đ
S :
5
3;2 log 2
+
1
4. 3 .4 18
x
x
x
−
=
Đ
S :
3
2; log 2
−
5.
2
2
8 36.3
x
x
x
−
+
=
Đ
S :
3
4; 2 log 2
− −
7 5
6. 5 7
x x
=
Đ
S :
7 5
5
log (log 7)
7.
5
3 log
5 25
x
x
−
=
Đ
S :
5
log 5
4 3
8. .5 5
x
x
=
Đ
S :
4
1
; 5
5
9.
9
log
2
9.
x
x x
=
Đ
S : 9
1
10. 5 .8 500
x
x
x
−
=
Đ
S :
5
3; log 2
−
Dạng 4
: Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Cách 1
: (D
ự
đ
oán nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m
đ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t)
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f x g x
=
(*)
•
B
ướ
c 1 : Ch
ỉ
ra
0
x
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
B
ướ
c 2 : Ch
ứ
ng minh
( )
f x
là hàm
đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n ho
ặ
c
( )
f x
là hàm
đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng ho
ặ
c
( )
f x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng. T
ừ
đ
ó suy ra tính duy nh
ấ
t nghi
ệ
m
Cách 2 :
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f u f v
=
, r
ồ
i ch
ứ
ng minh
f
là hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c luôn ngh
ị
ch
bi
ế
n trên D). T
ừ
đ
ó suy ra ( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
.
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 4 0
x
x
+ − =
Cách 1
:
3 4 0 3 4 (*)
x x
x x
+ − = ⇔ + =
•
Ta th
ấ
y
1
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
Đặ
t :
( ) 3
( ) 4
x
f x x
g x
= +
=
Ta có :
'( ) 3 .ln3 1 >0 x
x
f x
= + ∀
Suy ra ( ) 3
x
f x x
= +
là hàm đồng biến trên R.
Mà
( ) 4
g x
=
là hàm h
ằ
ng
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
1
x
=
Cách 2
:
3 4 0 3 4 (*)
x x
x x+ − = ⇔ + =
Ta th
ấ
y
1
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
N
ế
u
1
x
>
, ta có
1
3 3 3
1
x
x
> =
>
3 3 1 4
x
x
⇒
+ > + =
(vô lý)
•
N
ế
u
1
x
<
, ta có
1
3 3 3
1
x
x
< =
<
3 3 1 4
x
x
⇒
+ < + =
(vô lý).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
1
x
=
.
Ví d
ụ
2: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
2 3 1
x
x
= +
Ta có :
2
2 3 1
x
x
= +
2 ( 3) 1
x x
⇔ = +
3 1
1 ( ) ( )
2 2
x x
⇔ = + (*)
•
Ta th
ấ
y
2
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
Đặ
t :
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
f x
g x
= +
=
Ta có :
3 3 1 1
'( ) ( ) .ln( ) ( ) ln( ) 0 x
2 2 2 2
x x
f x R
= + < ∀ ∈
Suyra
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
x x
f x = + là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
Mà
( ) 1
g x
=
là hàm h
ằ
ng
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
2
x
=
Ví d
ụ
3: Gi
ả
i pt
1 1
3.9 (3 7).3 2 0
x x
x x
− −
+ − + − =
(1)
Đặ
t
1
3 , 0
x
t t
−
= >
.
Ph
ươ
ng trình (1)
2
3. (3 7). 2 0
t x t x
⇔ + − + − =
2 2 2
(3 7) 12(2 ) 9 30 25 (3 5)
x x x x x∆ = − − − = − + = −
3 7 3 5 1
6 3
3 7 3 5
2
6
x x
t
x x
t x
− + + −
= =
⇒
− + − +
= = − +
1
1 1
3 0
3 3
x
t x
−
• = ⇔ = ⇔ =
1
2 3 2
x
t x x
−
• = − + ⇔ = − +
(*)
Ta th
ấ
y
1
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
Đặ
t :
1
( ) 3
( ) 2
x
f x
g x x
−
=
= − +
Ta có :
1
'( ) 3 .ln3 0
x
f x x R
−
= > ∀ ∈
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 18
Suy ra
1
( ) 3
x
f x
−
= là hàm
đồ
ng bi
ế
n trên R
'( ) 1 0
g x x R
= − < ∀ ∈
Suy ra
( )
g x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
1
x
=
.
V
ậ
y pt (1) có 2 nghi
ệ
m là
0; 1
x x
= =
.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
1
2 3 17
x x
−
+ =
Đ
S : 3
2.
3 4 5
x x x
+ =
Đ
S : 2
3.
2
( 3 2) ( 3 2) 10
x
x x
+ + − =
Đ
S : 2
4.
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
Đ
S :
{
}
5
2;2 log 3
−
5.
2
(2 3) 2(1 2 ) 0
x x
x x
+ − + − =
Đ
S :
{
}
0;2
6.
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
Đ
S : 2
7.
(2.3 1) 3 2
x x
x
− = +
Đ
S : 1
8.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x
− −
− = −
− −
Đ
S : 2; 4
9.
3 2 2 3
2 3 .2 (1 3 ).2 2 0
x x x
x x x x
+ + + + + − =
Đ
S : 0
10.
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +
Đ
S : 1
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
(2 3) (2 3) 4
x x x
− + + =
(H
ọ
c Vi
ệ
n Công Ngh
ệ
BCVT-1998)
Đ
S : 1
2.
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
(
Đ
H Th
ủ
y l
ợ
i-2001)
Đ
S : 1
3.
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
(
Đ
H Bách khoa TPHCM-1995)
Đ
S : 1
4.
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
+ + − = (H
ọ
c Vi
ệ
n Quan H
ệ
Qu
ố
c T
ế
-1997)
Đ
S :
∅
5.
3 5 6 2
x x
x
+ = +
(
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m HN-2001)
Đ
S :
{
}
0;1
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng
•
[
]
[
]
log ( ) log ( )
a a
f x g x
=
0 1
( ) ( ) 0
a
f x g x
< ≠
⇔
= >
•
[ ]
0 1
log ( )
( )
a
b
a
f x b
f x a
< ≠
= ⇔
=
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (5 1) 4
x
+ =
ĐS : 3
2.
3 9 27
log log log 11
x x x
+ + =
ĐS : 729
3.
3 3
log log ( 2) 1
x x
+ + =
ĐS : 1
4.
2
2 2
log ( 3) log (6 10) 1 0
x x
− − − + =
Đ
S : 2
5.
3 2
1
log( 1) log( 2 1) log
2
x x x x
+ − + + =
Đ
S : 1
6.
3
2 2
log (1 1) 3log 40 0
x x
+ + − − =
Đ
S : 48
7.
4 2
log ( 3) log ( 7) 2 0
x x
+ − + + =
Đ
S : 1
8.
2 1
8
log ( 2) 6log 3 5 2
x x
− − − =
Đ
S : 3
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 19
9.
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1)
x x x
+ − − = −
ĐS :
1 17
2
+
10.
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2
x x
− + − =
Đ
S : 2
11.
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
Đ
S :
5
2
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2 2
1
log (4 15.2 27) 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
(
Đ
H D-2007)
Đ
S :
2
log 3
2.
4
log ( 2).log 2 1
x
x
+ =
(
Đ
H Hu
ế
-1999)
Đ
S : 2
3.
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3
x x x x+ + + + + = + (
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-1998)
Đ
S : 0;-5
4.
2
9 3 3
2log log .log ( 2 1 1)
x x x
= + −
(
Đ
H Th
ủ
y L
ợ
i-1998)
Đ
S : 1; 4
5.
2 3 2 3
log log log .log
x x x x
+ = (
Đ
H
Đ
ông
Đ
ô-1999)
Đ
S : 1; 6
6.
5 3 5 9
log log log 3.log 225
x x+ = (
Đ
H Y Hà N
ộ
i-1999)
Đ
S : 3
7.
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)
x x x+ + = − + + (
Đ
H Bách Khoa HN-2000)
Đ
S :
2;2 2 6
−
8.
2 2 2
2 3 2 3
log ( 1 ) log ( 1 ) 6
x x x x
+ −
+ + + + − =
(
Đ
H Y Thái Bình-1998)
Đ
S :
4 3
9.
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log 3
2 2
x
x x x
−
− + = + −
(HV BCVT-2000)
Đ
S :
3
2
Dạng 2
: Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng ch
ỉ
ch
ứ
a m
ộ
t lo
ạ
i hàm s
ố
lôgarit,
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
t
để
đư
a ph
ươ
ng trình bi
ế
n s
ố
x
đ
ã
cho v
ề
ph
ươ
ng trình m
ớ
i v
ớ
i bi
ế
n t, gi
ả
i ph
ươ
ng trình này tìm t r
ồ
i t
ừ
đ
ó tìm x.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
2 2
log 2log 2 0
x x
+ − =
Đ
S :
1
2;
4
2.
2 2
3 log log (8 ) 1 0
x x
− + =
Đ
S : 2; 16
3.
2 1
1 log ( 1) log 4
x
x
−
+ − =
Đ
S :
5
3;
4
4.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
Đ
S :
1
3
4;2
−
5.
2 2
3
log (3 ).log 3 1
x
x
=
Đ
S :
1 2
3
±
6.
2
2
log (2 ) log 2
x
x
x x
+
+ + =
Đ
S : 2
7.
2
5 5
5
log log ( ) 1
x
x
x
+ =
Đ
S :
1
1;5;
25
8.
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
Đ
S : 2
9.
1
3 3
log (3 1).log (3 3) 6
x x
+
− − =
Đ
S :
3 3
28
log 10;log
27
10.
2 2
1 2 1 3
log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0
x x
x x x x
− −
− + − − + − =
Đ
S :
1
4
11.
2
lg(10 ) lg lg(100 )
4 6 2.3
x x x
− =
Đ
S :
1
100
12.
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x
= −
Đ
S : 2
13.
log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
x) = 2 (
đặ
t t=
4
log
x
)
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 20
1.
3
3
2 2
4
log log
3
x x
+ =
(
Đ
H Công
Đ
oàn-2000)
Đ
S : 2
2.
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0
x x
+ − + + =
(Cao
Đẳ
ng -2008)
Đ
S : 1; 3
3.
9
4log log 3 3
x
x
+ =
(
Đ
H K
ỹ
Thu
ậ
t Công Ngh
ệ
TPHCM-1998)
Đ
S :
3; 3
4.
4 2 2 3
log ( 1) log ( 1) 25
x x
− + − =
(
Đ
H Y HN-2000)
5.
2 2
log 2 log 4 3
x
x
+ =
(HV CNBCVT-1999)
Đ
S : 1; 4
6.
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1
x x
+
− − =
(
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m HN-1998)
Đ
S :
5 5
26
log 6;log
25
7.
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− = (
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m TPHCM-2001)
Đ
S :
1
4
8.
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
(
Đ
H Kh
ố
i A-2008)
Đ
S :
5
2;
4
9.
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
(
Đ
H Kinh T
ế
Qu
ố
c Dân-2001)
Đ
S :
1
4
−
10.
2 2
log log
2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x
+ + − = +
(
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-2000)
Đ
S : 0;1
11.
2 2 2
4 5 20
log ( 1).log ( 1) log ( 1)
x x x x x x
− − + − = − −
(
Đ
HSP Vinh-2001)
Đ
S : 1;
20
20
log 4
log 4
1 1
(5 )
2 5
+
Dạng 3
: Ph
ươ
ng pháp m
ũ
hóa
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
m
ộ
t trong các d
ạ
ng sau
•
( )
0 1
log ( ) ( )
( )
a
g x
a
f x g x
f x a
< ≠
= ⇔
=
•
log ( ) log ( )
a b
f x g x
= đặt
t
=
suy ra
( )
( )
t
t
f x a
g x b
=
=
. Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t,
giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
3
log (9 8) 2
x
x
+ = +
Đ
S :
3
0;log 8
2.
1
5
log (5 20) 2
x
x
+
+ − =
Đ
S : 1
3.
3
3 2
3log (1 ) 2log
x x x
+ + =
Đ
S : 4096
4.
3 2
2log tan log sin
x x
=
Đ
S :
2
6
k
π
π
+
5.
2
5 3
log ( 6 2) log
x x x
− − =
Đ
S : 9
6.
4
6 4
2log ( ) log
x x x
+ =
(
Đ
H Ki
ế
n Trúc TPHCM-1991)
Đ
S : 16
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
log (9 2 ) 3
x
x
+ − =
(
Đ
H Hu
ế
-2000)
Đ
S : 0; 3
2.
5 7
log log ( 2)
x x
= +
(
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-2000)
Đ
S : 5
3.
7 3
log log ( 2)
x x
= +
(
Đ
H Thái Nguyên-2000)
Đ
S : 49
4.
8
4
6 4
2log ( ) log
x x x
+ =
(
Đ
H Y HN-1998)
Đ
S : 256
5.
3 2
2log cot log cos
x x
= (
Đ
H Y D
ượ
c TPHCM-1986)
Đ
S :
2
3
k
π
π
+
Dạng 4
: Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Cách 1
: (D
ự
đ
oán nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m
đ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t)
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f x g x
=
(*)
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 21
• Bước 1 : Chỉ ra
0
x
là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh
( )
f x
là hàm đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n ho
ặ
c
( )
f x
là hàm
đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng ho
ặ
c
( )
f x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng. T
ừ
đ
ó suy ra tính duy nh
ấ
t nghi
ệ
m
Cách 2 :
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f u f v
=
, r
ồ
i ch
ứ
ng minh
f
là hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c luôn ngh
ị
ch
bi
ế
n trên D). T
ừ
đ
ó suy ra ( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
5
log ( 3) 4
x x
− = −
Đ
S : 4
2.
2
lg( 12) lg( 3) 5
x x x x
− − + = + +
Đ
S : 5
3.
2
2 2
log ( 3).log 2 0
x x x x
+ − − + =
Đ
S : 2; 4
4.
2
3 3
(log 3) 4 log 0
x x x x
+ − − + =
Đ
S : 3
5.
2 2 2
ln( 1) ln(2 1)
x x x x x
+ + − + = −
Đ
S : 0; 1
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
2 2
log ( 1)log 6 2
x x x x
+ − = −
(
Đ
H
Đ
ông
Đ
ô-1997)
Đ
S :
1
;2
4
2.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
(
Đ
H Ngo
ạ
i Th
ươ
ng-2001)
Đ
S :
1; 2
− −
CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bài 1 : Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
1.
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
− +
+ = +
=
(ĐH A-2009) ĐS : (2;2), (-2;-2)
2.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
(ĐH D-2002) ĐS : (0;1), (2;4)
3.
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
(ĐH A-2004) ĐS : (3;4)
4.
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
− + − =
− =
(ĐH B-2005) ĐS : (1;1), (2;2)
5.
1
3 2
3 9 18
y
y
x
x
−
+ =
+ =
ĐS :
3
2
( ;log 4)
3
3
3
3 .2 972
6.
log ( ) 3
x y
x y
=
− =
Đ
S : (5;2)
2
log log 2
7.
12
y x
x y
x y
+ =
+ =
Đ
S : (3;3)
3 3
4 32
8.
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
+ = − −
Đ
S : (2;1)
4
1 log
9.
4096
y
y x
x
= +
=
Đ
S : (16;3), (1/64;-2)
4 2
4 3 0
10.
log log 0
x y
x y
− + =
− =
Đ
S : (1;1), (9;3)
Bài 2: Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
1.
5
3 .2 1152
log ( ) 2
x y
x y
−
=
+ =
Đ
S : (-2;7)
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 22
2.
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
+ −
+ −
− + + + + =
+ + + =
Đ
S :
2 2
( ; )
5 5
−
3.
3 3
log ( ) log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 22
xy
xy
x y x y
= +
+ + + =
Đ
S : (1;3), (3;1)
4.
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
+ −
+ = +
− = −
Đ
S : (-1;-1), (1;0)
5.
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −
− + =
Đ
S : (0;0)
6.
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−
+ − + = +
+ − + = +
Đ
S : (1;1)
CHUYÊN ĐỀ:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất :
• Nếu
1
a
>
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
•
N
ế
u
0 1
a
< <
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
Tổng quát :
[ ]
( ) ( )
0
( 1) ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
>
> ⇔
− − >
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
2
2
3 27
x x
+
<
ĐS :
3 1
x
− < <
2.
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x
−
−
+
+ ≥ −
ĐS :
[
)
[
)
2; 1 1;
− − ∪ +∞
3.
2
2 16
1 1
( ) ( )
3 9
x x x
+ −
<
Đ
S :
8 4
x x
< − ∨ >
4.
1
2
1
1
2
16
x
x
+
+
>
Đ
S :
2
x
> −
5.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
− − − −
+ + < − +
Đ
S :
2
x
>
6.
2 2 2
3 2 3 3 3 4
2 .3 .5 12
x x x x x x− − − − − −
≥
Đ
S :
1 4
x x
≤ − ∨ ≥
7.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ < −
Đ
S :
3 5 1 5
x x− < < − ∨ < <
8.
2
1 3 9
x x−
< <
Đ
S :
(
)
{
}
1;2 \ 0;1
−
9.
2
2
5 6
1 1
3
3
x
x x
+
+ −
<
Đ
S :
6 10
x x
≤ − ∨ ≥
10.
( )
2
2 7
2 1
x x
x
−
− >
Đ
S :
7
2 3
2
x x
< < ∨ >
Bài 2 : Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
1.
1 1
2 2 3 3
x x x x
+ −
+ ≤ + (
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-1996)
Đ
S :
2
x
≥
2.
1
1
( 2 1) ( 2 1)
x
x
x
+
−
+ ≥ −
(H
ọ
c Vi
ệ
n Quân Y-1995)
Đ
S :
1 5 1 5
1
2 2
x x
− − − +
< < ∨ >
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 23
3.
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
(
Đ
H Bách Khoa HN-1997)
Đ
S :
2
x
≥
4.
(
)
2
1 1
x
x x
+ + <
(
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m TPHCM-1976)
Đ
S :
1
x
< −
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
9 2.3 3 0
x x
− − >
Đ
S :
1
x
>
2.
2 6 7
2 2 17 0
x x+ +
+ − >
Đ
S :
3
x
> −
3.
3
2 2 9
x x−
+ ≤
Đ
S :
0 9
x
≤ ≤
4.
2.49 7.4 9.14
x x x
+ <
Đ
S :
0 1
x
< <
5.
5.2 7. 10 2.5
x x x
< −
Đ
S :
0 2
x
< <
6.
1
4 3.2 4
x x x x
+ +
≤ +
Đ
S :
0 4
x
≤ ≤
7.
2 2 2
2 2 2
6.9 13.6 6.4 0
x x x x x x
− − −
− + <
Đ
S :
1
1
2
x
− < <
8.
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6
x x x
x x x x
+
+ + < + +
Đ
S :
2
3
3
0 log 2
2
x x
≤ < ∨ >
9.
2
8.3 2
1
3 2 3
x
x
x x
−
> +
−
Đ
S :
2
3
1
0 log
3
x< <
Bài 2 : Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
1.
2
2
2
2
1
9 2. 3
3
x x
x x
−
−
− ≤
(D
ự
B
ị
D-2005)
Đ
S :
1 2 1 2
x− ≤ ≤ +
2.
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
+ >
(
Đ
H V
ă
n Hóa HN-1996)
Đ
S :
1
x
> −
3.
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x+ +
− − <
(HV CNBCVT-1998)
Đ
S :
0
x
>
4.
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
(HV Hành Chính QG-2001)
Đ
S :
3
2
0 log 3
x< ≤
5.
(
)
(
)
2 2
2
1
5 1 2 3. 5 1
x x x x
x x
− + − +
− + +
+ + < − (
Đ
H Ph
ươ
ng
Đ
ông-2000)
Đ
S :
0 1
x x
< ∨ >
Dạng 3
: Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
.
1.
1
3 2 3
x
x
−
+ >
Đ
S :
1
x
>
2.
2
2 3 1
x
x
< +
Đ
S :
2
x
<
3.
2.2 3.3 6 1
x x x
+ > −
Đ
S :
2
x
<
CHUYÊN ĐỀ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP
•
N
ế
u
1
a
>
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x
> ⇔ > >
•
N
ế
u
0 1
a
< <
thì
log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
> ⇔ < <
Tổng quát :
[ ]
0
log ( ) log ( ) ( ) 0; ( ) 0
( 1) ( ) ( ) 0
a a
a
f x g x f x g x
a f x g x
>
> ⇔ > >
− − >
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 24
Giải các bất phương trình sau :
1.
3
log (2 1) 2
x
+ <
ĐS :
1
4
2
x
− < <
2.
2 0,5
31
log log (2 ) 2
16
x
− ≤
Đ
S :
2
x
>
3.
3 2
log ( ) 1
2
x
x
x
+
>
+
Đ
S :
1 2
x
< <
4.
3 1
3
2log (4 3 ) log (2 3) 2
x x
− + + ≤
(
Đ
H A-2007)
Đ
S :
3
3
4
x
< ≤
5.
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
(
Đ
H B-2008)
Đ
S :
4 3 8
x x
− < < − ∨ >
6.
4
2 1 1
log ( )
1 2
x
x
−
< −
+
(
Đ
H V
ă
n Hóa HN-1998)
Đ
S :
1
1
2
x
< <
7.
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log ( 3)
2
x x x x
− + + − > +
(
Đ
H GTVT-2000)
Đ
S :
10
x
>
8.
3
log log (9 72) 1
x
x
− ≤
(
Đ
H B-2002)
Đ
S :
9
log 73 2
x
< ≤
9.
2
log (5 8 3) 2
x
x x
− + >
(
Đ
H V
ă
n Lang-1997)
Đ
S :
1 3 3
2 5 2
x x
< < ∨ >
10.
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
(
Đ
H Y Hà N
ộ
i-1997)
Đ
S :
3
1 1
1 4
2
2
x x
< ≤ ∨ < ≤
11.
2
lg( 3 2)
2
lg lg2
x x
x
− +
>
+
(
Đ
H Ki
ế
n Trúc HN-1997)
Đ
S :
3 33 1
6 2
x
− +
< <
12.
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +
(
Đ
H D
ượ
c HN-1997)
Đ
S :
2 1 2 3
x x
− < < − ∨ < <
CHUYÊN ĐỀ :NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
I.1. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1.
0
dx C
=
∫
2.
dx x C
= +
∫
3.
( )
1
1
1
1
x dx x C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
4.
1
ln
dx x C
x
= +
∫
5.
x x
e dx e C
= +
∫
6.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
7. cos sin
xdx x C
= +
∫
8. sin cos
xdx x C
= − +
∫
15.
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
16.
1
ln
kx b
kx b
a
a dx C
k a
+
+
= +
∫
17.
( ) ( )
1
cos sin
ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
18.
( ) ( )
1
sin cos
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
19.
( )
( )
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
20.
( )
( )
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 25
9.
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
10.
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
11.
(
)
2
1 tan tan
x dx x C
+ = +
∫
12.
(
)
2
1 cot t
x dx co x C
+ = − +
∫
13.
( ) ( ) ( )
1
1
1
( 1)
ax b dx ax b C
a
α α
α
α
+
+ = + + ≠ −
+
∫
14.
1 1
ln
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
21.
( )
( )
( )
2
1
1 tan tan
ax b dx ax b C
a
+ + = + +
∫
22.
( )
( )
( )
2
1
1 cot t
ax b dx co ax b C
a
+ + = − + +
∫
23.
2
1 1
dx C
x x
= − +
∫
24.
( )
2
1 1 1
.
dx C
a ax b
ax b
= − +
+
+
∫
25.
(
)
( )
( )
'
ln
u x
dx u x C
u x
= +
∫
Các công th
ức trên với:
(
)
0
a
≠
I.2. Các tính chất:
1.
(
)
(
)
'
f x dx f x C
= +
∫
; 2.
(
)
(
)
(
)
. 0
k f x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
; 3.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
I.3. Bài tập áp dụng:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
2
3
3
x x x
dx
x
− +
∫
;2.
( )( )
2 1
1 1
x
dx
x x
+
− +
∫
;3. sin3 os2
xc xdx
∫
;4.
2 2
1
sin . os
dx
x c x
∫
; 5.
1
sinx
dx
∫
6.
1
cosx
dx
∫
; 7.
1
tanx
dx
∫
; 8.
1
cotx
dx
∫
; 9.
3 2
2
x x
x
e e
dx
e
−
−
∫
; 10.
2
2 1
2 1
x x
dx
x
− +
−
∫
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số thõa điều kiện cho trước
1.
2
1
3 4
dx
x x
+ −
∫
, Bi
ế
t: F(2)=5 ; 2.
3
1
dx
x x
+
∫
, Bi
ế
t: F(1)=2; 3.
2 2
sin 3 os 2
xc xdx
∫
, Bi
ế
t: F(
2
π
)=2
4.
3
sin 3
xdx
∫
, Bi
ế
t: F(
2
π
)=2 ; 5.
4
sin 3
xdx
∫
, Bi
ế
t: F(
2
π
)=2 ; 6.
∫
+
−
4
5
3
2
x
x
xdx
, Bi
ế
t: F(0)=3
7.
∫
−
−
−−
dx
x
x
xx
3
2
2035
2
2
, Bi
ế
t: F(-2)=3
* Chú ý: Việc tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến và phương pháp từng phần các dạng và cách đặt
giống như tính tích phân
II. TÍCH PHÂN
:
II.1
.
ĐN:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
II.2.Tính chất:
1.
( )
0
a
a
f x dx
=
∫
; 2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
=−
∫ ∫
;
3.
( ) ( ) ( )
0
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
td
