Tiệm cận hàm số (Đỗ văn Thọ)

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
1


TIỆM CẬN HÀM SỐ
1. Tiệm cận ngang:
Định nghĩa: Đường thẳng
0
y y

được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số


y f x
 nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:


0 0
lim
x
f x y


hoặc


0 0
lim
x
f x y




* Nhận xét:
- Xét hàm số
 


 
f x
y f x
g x
  (khi hàm số không có mẫu ta xem như


1
g x

).
Nếu bậc của


g x
lớn hơn hoặc bằng bậc của


f x
thì hàm số có tiệm cận ngang.
Nếu bậc của



g x
lớn hơn bậc của


f x
thì ta có tiệm cận ngang là đường thẳng
0
y


- Đồ thị hàm số


2
, 0
y p ax bx c mx n a
     
có tiệm cận ngang (tính giới hạn
này ta có thể sử dụng bằng cách nhân, chia cho lượng liên hợp…)
2. Tiệm cận đứng:
Định nghĩa: Đường thẳng
0
x x

được gọi là tiệm cận đứng của hàm số


y f x


nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:




0 0
lim ;lim
x x x x
f x f x
 
 
   





0 0
lim ;lim
x x x x
f x f x
 
 
   

* Nhận xét: Thông thường tại những điểm
0
x x

làm cho hàm số



y f x
 không
xác định thì tiệm cận đứng là đường thẳng
0
x x

. Tuy nhiên vẫn có một số trường
hợp thì tại
0
x x

hàm số không xác định nhưng vẫn không có tiệm cận đứng.
Ví dụ:
 
2
4 3
1
x x
y f x
x
 
 

hàm số không xác định tại
1
x

nhưng đường thẳng

1
x

không phải là tiệm cận đứng. Vì:
 




 
  
2
1 1 1
2
1 1 1
1 3
4 3
lim lim lim 2
1 1
1 3
4 3
lim lim lim 2
1 1
x x x
x x x
x x
x x
f x
x x
x x

x x
f x
x x
  
  
  
  
 
 
   
 
 
 
   
 




Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
2


3. Tiệm cận xiên:
Đường thẳng
y ax b
 
được gọi là tiệm cận xiên của hàm số



y f x
 nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:


lim
x
f x
a
x


với
0
a




lim 0
x
b f x ax

  
 
 

* Nhận xét:
- Nếu hàm số



y f x
 được cho ở dạng
 


 
h x
y f x ax b
g x
   
trong đó


 
lim 0
x
h x
g x


thì đường thẳng
y ax b
 
là đường tiệm cận xiên
- Nếu


lim 0
x

f x
a
x

 
thì hàm số không có tiệm cận xiên
- Hàm số


2
, 0
y ax bx c a
   

 Nếu
0
a
 
đồ thị hàm số không có tiệm cận
 Nếu
0
a

đồ thị hàm số có tiệm cận xiên
2
b
y a x
a
 
 

 
 
khi
x
 
và
2
b
y a x
a
 
  
 
 
khi
x
 

- Đồ thị hàm số


 
p x
y
q x

. Nếu bậc của


p x

lớn hơn bậc của


q x
một bậc thì ta
chia đa thức


p x
cho


q x
khi đó ta sẽ chuyển hàm số


 


 
p x r x
y mx n
q x q x
   

trong đó bậc của


r x
nhỏ hơn bậc của



q x
và


 
lim 0
x
r x
q x


thì đường thẳng
y mx n
 
là đường tiệm cận xiên
- Nếu đồ thị hàm số


 
p x
y
q x

có bậc của


q x
lớn hơn hoặc bằng bậc của



p x
thì
hàm số không có tiệm cận xiên

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
3


BÀI TẬP

Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau
1.
3 2
2
x
y
x



2.
2 5
3 1
x
y
x
 



3.
1
1
5
y x
x
  


4.
2
2 6 1
3 1
x x
y
x
 


5.
2
2 3
4
x
y
x




6.
2
4
8
x
y
x



Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau
1.
3
2 4
2 3
1
x
y x
x

  

2.
3
2
2
2
x
y
x x





3.
3
2
2 4
4
x x
y
x
 


4.
2
2
2
2 3
x x
y
x x
 

 

Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau
1.
2

2
3
x
y
x


2.
2
4 3 2
y x x x
    
3.
2
3 4
y x x
  

Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1.
2 1
2
x
y
x



2.
2

1
1
x x
y
x
 


3.
2
1
x
y
x

 4.
2
1 1
y x
  

5.
3 2
3 4
x
y
x




6.
2
4 5
y x x x
   
7.
2
2 3 4
5 2
x x
y
x
 



8.
2
5 1
2
x x
y
x
 


9.
2
2 2
y x x

  
10.
2
1
y x x
  

11.
2
4
x
y x
x

 


Bài 5: Tùy theo giá trị của tham số m. Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
1.
3
1
1
x
y
mx



2.



2
4
1 2
4
m x m
y
mx
  



Bài 6: Tìm m để hàm số
1
y mx
x
 
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của
hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng
2
17

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
4


Bài 7: Tìm m để hàm số
2
1
1

mx mx m
y
x
  


có cực trị và khoảng cách từ điểm cực
tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằn
1
2

Bài 8: Cho hàm số. Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến TCX hoặc TCN là nhỏ nhất
1.


2 2 2
2 3
1
mx m m x m
y
x
    


2.


2 2
2 4 3
1

x m x m m
y
mx
    




KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Các bước thực hiện:
1. Tìm tập xác định
2. Chiều biến thiên
- Tìm các giới hạn
lim
x
y

. Hoặc các đường tiệm cận (nếu có)
- Tính
'
y
. Xét dấu
'
y
. Suy ra chiều biến thiên và các điểm cực trị
- Lập BBT
3. Vẽ đồ thị
- Tính
''
y

tìm điểm uốn (nếu có)
- Điểm đặc biệt: Tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục
;
Ox Oy

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
- Vẽ đồ thị và nhận xét
BÀI TẬP
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau
1)
3 2
3
y x x
  2)




2
1 2
y x x   3)
3
1
y x
 

4)
3
6
y x x

  
5)


2
3
y x x
  6)
3 2
4 4
y x x x
  

7)
3
3
y x x
  
8)
3 2
4 4
y x x x
   
9)
3
6
y x x
 

10)

3
1
y x x
  
11)
3 2
3 3 1
y x x x
    
12)
3
1
y x
  

Bài 2: Khảo sát các hàm số sau:
1)
4 2
2
y x x
  2)
2 4
2
y x x
 
3)
4
1
y x
 

4)
4 2
2 1
y x x
   
5)
4 2
y x x
 
6)




2 2
2 2
y x x  
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
5


7)
4 2
4 1
y x x
   
8)
4
2

3 1
2
x
y x
   
9)
4 2
2
y x x
  

10)
4 2
2 2
y x x
  
11)
4
1
y x
 
12)
4 2
2
y x x
   

Bài 3: Khảo sát các hàm số sau:
1)
2

2
x
y
x



2)
2
1
x
y
x



3)
4
4
y
x



4)
2
y
x
 
5)

2
2 1
x
y
x



6)
3
1
1
y
x
 


Bài 4: Khảo sát các hàm số sau:
1)
2
1
x
y
x


2)
1
3
1

y x
x
   

3)
2
2
1
x x
y
x
 



4)
1
1
2
y x
x
  

5)


2
2
1
x

y
x



6)
2
1
x
y
x



7)
2
1
x
y
x



8)
2
5 6
1
x x
y
x

 


9)
2
2 15
3
x x
y
x
 



10)
2
3 1
2
x x
y
x
 


11)
2
3 1
2
x x
y

x
  


12)
2
2 15
3
x x
y
x
 




MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

* Vấn đề 1: Giao điểm giữa hai đồ thị
Cho hai đường cong




:
C y f x
 và





' :
C y g x
 . Phương trình hoành độ
giao điểm của (C) và (C’) có dạng




f x g x
 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) tương ứng với số giao điểm của (C) và (C’)

Bài tập
Bài 1: Cho hàm số


3
2 1 1
y x m x
   
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
2
m


b. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt
Bài 2: Cho hàm số



2
y x m x m
  
(C). Chứng minh rằng đường thẳng (d):
1
y kx k
  
luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm cố định
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
6


ĐS:


1;1
M 
Bài 3: Cho hàm số
3 4
1
x
y
x



. Xác định a để đường thẳng



: 3
d y ax
 
không cắt
đồ thị hàm số
ĐS:
28 0
a
  

Bài 4: Cho hàm số
2
4 3
2
x x
y
x
 


. Tìm k để đồ thị hàm số cắt đường thẳng


: 1
d y kx
 
tại hai điểm phân biệt
ĐS:
1

k


Bài 5: Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
  

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Đường thẳng đi qua điểm


3;1
A  và có hệ số góc bằng k. Xác định k để
đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt
ĐS:
0 9
k
 

Bài 6: Cho hàm số
3 2
3
y x x
 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Gọi (d) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt
đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt



0;0
O , A và B
Bài 7: Cho hàm số




2
4 1
y x x
  
(C)
a. Khảo sat sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Gọi


A C Oy
  , (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Tìm k để (d)
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B và C
Bài 8: Cho hàm số




3 2
2 2 5 2 2 1
y m x m x x m
      

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
3
2
m
 

b. Xác định m để đồ thị hàm số


C
cắt trụ hoành tại đúng một điểm
ĐS:
2
m
 

Bài 9: Cho hàm số


4 2
1 2 1
y m x mx m
    

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
2
m


b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt

Ox
tại 4 điểm phân biệt
c. Tìm m để hàm số có đúng một cực trị
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
7


ĐS: b)
1 2
;1 \
2 3
m
   

 
 
   
c)




,0 1;m
   


* Vấn đề 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số



y f x
 tại điểm


0 0
;
M x y

- Tính


' '
y f x
 rồi tính


0
'
f x

- Viết PTTTT:




0 0 0
'
y y f x x x
  
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước

- Tính


'
f x

- Hệ số góc của tiếp tuyến


0 0
'
k f x x
  và
0
y
trong đó


0 0
;
M x y
là
tọa độ tiếp điểm
- PTTT có dạng


0 0
y k x x y
  

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm


;
A A
A x y
cho trước
* Cách 1:
- Giả sử hoành độ tiếp điểm là
0
x x

, khi đó PTTT có dạng:








0 0 0
: '
d y f x x x f x
  
- Điểm











0 0 0
; '
A A A
A x y d y f x x x f x
    
0 0
x y
  
PTTT
* Cách 2:
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua


;
A A
A x y
có dạng:




:
A A
d y k x x y

  

- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm






 
'
A A
f x k x x f x
k
f x k
  

 




tiếp tuyến
Dạng 4: Tìm điểm để từ đó kẻ được m tiếp tuyến đến đồ thị
- Giả sử


0 0
;
A x y

là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng đi qua


0 0
;
A x y

với hệ số góc k có dạng:




:
A A
d y k x x y
  

- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
8






 
'
A A
f x k x x y

f x k
  







Khi đó PTTT có dạng






'
A A
f x f x x x y
  
(1)
- Khi đó số nghiệm phân biệt của (1) là số tiếp tuyến kẻ được từ A đến đồ thị
(C)


Ví dụ: Viết PTTT đi qua


2;0
A đến (C)

3
6
y x x
  

Hướng dẫn:
- Gọi (d) là PTTT đi qua


2;0
A và có hệ số góc k có dạng:


0 2 2
y k x y kx k
     

- Phương trình hoành độ giao điểm chung của (C) và (d) là:


3
2
6 2
3 1
x x k x
x k

   



 



- Giải hệ trên tìm được
2 11
k k
  

- Vậy có hai tiếp tuyến với (C) đi qua A(2;0)


 
1
2
: 2 4
: 11 22
d y x
d y x
 
 

BÀI TẬP
Bài 1: Viết PTTT của đồ thị hàm số
3
2
2 3 1
3
x
y x x

   
. Biết rằng tiếp tuyến
song song với đường thẳng
3
y x


Bài 2: Cho hàm số
 
4 2
1 5
2 1
4 4
y m x m x m
 
     
 
 
. Tìm m để tiếp tuyến của
đồ thị tại điểm có hoành độ
1
x
 
vuông góc với đường thẳng
2 3
y x
 

Bài 3: Cho (C)



3 2
3 2
y f x x x
   
. Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến vuông
góc với
5 3 4 0
y x
  

Bài 4: Cho (C)


3 2
2 3 12 5
y f x x x x
    

a. Viết PTTT với (C). Biết tiếp tuyến song song với
6 4
y x
 

b. Viết PTTT với (C). Biết tiếp tuyến này vuông góc với
1
2
3
y x
  

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
9


Bài 5: Viết PTTT đi qua
2
; 1
3
A
 

 
 
đến
3
3 1
y x x
  

Bài 6: Có bao nhiêu tiếp tuyến qua


1; 4
A

đến đồ thị (C):
3 2
2 3 5
y x x

  

Bài 7: Cho hàm số


4 2
2 3
y f x x x
   
(C). Tìm trên (C) những điểm mà tiếp
tuyến với (C) tại điểm đó song song tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1;2)
ĐS: M(0;3)
Bài 8: Cho hàm số




4 2
2 3 *
y f x x x    . Tìm trên đường thẳng
2
y


những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số
(*)
ĐS: Không tồn tại điểm
Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 3

y x x
  
. Tìm trên đường thẳng những điểm mà qua đó
kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số
HD: Gọi


; 1
M a

;
1
5
2
3
a
a
 



 


Bài 10: Cho hàm số


3 2
3 3
y x x C

   . Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà qua
đó kẻ đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C)
ĐS: M(1;1)
Bài 11: Viết PTTT với đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
  
, biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng (d):
9 7
y x
 

ĐS:
9 25
y x
 

Bài 12: Cho
   


2
1 6
:
m
m x m
C y f x
x m

  
 

. Định m để tiếp tuyến với (C) tại
điểm trên (C) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng (d):
3
y x
  

ĐS: Không tồn tại
Bài 13: Cho hàm số


2
3 1
m x m m
y
x m
  


(C). Định m để tại giao điểm của đồ
thị (C) với trục Ox, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d):
1
y x
 

ĐS:
2
1

;0 ;
3 1 5
m m
A m
m
 

 
 

 

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
10


Bài 14: Cho hàm số


3 2
3 2
y f x x x
   
(C). Tìm trên đường thẳng
2
y


những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau
ĐS:

1
;2
9
M
 

 
 

Bài 15: Cho hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
 


(C). Tìm trên đường thẳng
2
y

những điểm
mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau
ĐS: M(-1;2)
Bài 16: Cho hàm số
2
2 3
1

x x
y
x
 


(C). Tìm tập hợp những điểm M trong mặt
phẳng tọa độ Oxy mà qua M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau
ĐS: Tập hợp các điểm M là đường tròn


2
2
1 8
x y
  
với
1;
x x y
 

Bài 17: Cho hàm số
 
1
1
1
m
y f x x
x


   

(C). Tìm điều kiện cần và đủ của m
để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp
tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau
ĐS:
1
m


Bài 18: (ĐHAN - 1997)
Cho
3 2
2
x
y
x



(C). Viết PTTT của (C) có hệ số góc bằng 4. Tìm tọa độ tiếp điểm
ĐS:
4 3
y x
 
và
4 19
y x
 

Bài 19: (Khối D - 2010):
Cho (C)
4 2
6
y x x
   
. Viết PTTT của (C), biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng
1
1
6
y x
 

ĐS:
6 10
y x
  

Bài 20: (ĐHNTHCM)
Cho (C):
3 2
3 9 5
y x x x
   
. Viết PTTT của (C) sao cho nó có hệ số góc nhỏ
nhất
ĐS:
12 4
y x

  

Bài 21: (Khối D - 2007)
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
11


Cho (C)
2
1
x
y
x


. Tìm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại
A, B sao cho
1
4
OAB
S


ĐS:
 
1 2
1
1;1 ; ; 2
2
M M

 
 
 
 

Bài 22: (Khối A - 2009)
Cho (C)
2
2 3
x
y
x



. Viết PTTT (d) của (C), biết (d) cắt Ox ở A, cắt Oy ở B sao
cho
OAB

tại tại O
ĐS:
2
y x
  

Bài 23: (ĐHQG - Khối A - 1988)
Cho (C)
1
1
x

y
x



. Tìm A thuộc Oy mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C)
ĐS:


0; 1
A


Bài 24: Cho (C):
3
1
x
y
x



. Tìm M trên (C) để tiếp tuyến tại M song song với (d):
2
y x
 

ĐS:



3;3
M 
Bài 25: Cho (C)
3 2
3 2
y x x
   
. Viết PTTT của (C) sao cho nó có hệ số góc lớn
nhất
ĐS:
3 3
y x
 

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
12


HƯỚNG DẪN
* MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1:
b) Phương trình hoành độ giao điểm:













3 2 2
2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 0
x m x x x x m x x x x m
                

 
2
1
1 2 0 0
x
x x m g x
 



     


Hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt


0
g x
 
có hai nghiệm phân biệt
khác -1

 
3
0
8 3 0
8
1 0
3 2 0
3
2
m
m
g
m
m



 

 


  
  
 
 








Bài 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)


   
 
2 3 2
3 2
1 1 0
1 1 1 0
x m x m kx k x mx kx m k
x m x k x
            
       











 
 

 
2
2
2
1 1 1 1 1 0
1 1 0
1 1
1 1 0
x x x m x x k x
x x x mx m k
x y
x m x m k
          
        
   



      



Hàm số luôn cắt đồ thị tại điểm cố định


1;1
M 
Bài 3:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
  

 
2 2
3 4
3 3 4 3 1
1
3 4 3 3 7 0 *
x
ax x ax x
x
x ax ax x ax ax

      

         

(C) và (d) không cắt nhau

(*) vô nghiệm
* Trường hợp:
0
a

7 0
  
vô lý
0
a
 
(thỏa mãn) (1)
* Trường hợp:

0
a

thì


*
vô nghiệm
2
0 28 0 28 0
a a a
         
(2)
Từ (1) và (2),
28 0
a
  
thì (C) và (d) không cắt nhau
Bài 4:
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
13


Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
     
2
2 2
2
4 3
1 4 3 2 2

2
1 3 2 1 0 *
x x
kx x x kx x kx
x
k x k x
 
        

    

(C) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt


*
 có 2 nghiệm phân biệt
     
2 2
2
1 0 1
10
1
0
4 8 5 0
3 2 4 1 0 4 1 1 0
k k
ka
k
k k
k k k

  
 


 
     
   
 
  
      
  

 
Bài 5:
Đường thẳng đi qua


3;1
A  và có hệ số góc k có dạng:


3 1 3 1
y k x y kx k
      
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):





 
 
3 2 3 2 2 2
2
2
3 1 3 1 3 3 0 3 0
3
3 0
x x kx k x x kx k x x k x k
x
x k x
x k
              
 

    




Để (C) cắt (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
0 9
k
  

Bài 6:
Phương trình đường thẳng qua O có hệ số góc k có dạng:
y kx

(d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
 
 
3 2 2
2
0
3 3 0
3 0 0
x
x x kx x x x k
x x k g x


      

    


(C) cắt (d) tại 3 điểm O, A, B


0
g x
 
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
 
9
0
9 4 0
4

0 0
0
0
k
k
g
k
k

 

 
 


  
  








Bài 7:
Theo đề





0;4
A C Oy A  
Đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k có dạng:
4
y kx
 
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):








2
2
4 1 4 4 2 1 4
x x kx x x x kx
         

3 2 2
2 4 8 4 4
x x x x x kx
        

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
14



3 2
6 9 0
x x k x
    

 
 
2
2
0
6 9 0
6 9 0 0
x
x x x k
x x k g x


     

     


(C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt


0

g x
 
có hai nghiệm phân biệt khác 0
 
' 0
0 0
0 0
9 0 9
k k
g
k k
 

  
 
  
  

   
 


Bài 8:
(C) cắt trục hoành (Ox) tại đúng một điểm




3 2
2 2 5 2 2 1 0

m x m x x m
       
có 1 nghiệm duy nhất
   
   
2
2
1
2 1 2 2 1 0
2
2 2 1 0 0
x
x m x mx m
m x mx m g x



       
 

      



Để (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất


0
g x
 

vô nghiệm hoặc có 1
nghiệm bằng
1
2
x


* Trường hợp 1:
0 2
a m
  
 
3 1
4 3 0 2
4 2
g x x x m
         
(loại)
* Trường hợp 2:
0 2
a x
  



0
g x

vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm bằng
1

2
x


  
  
2
2
' 0
2 1 0
2 0
2' 0
2
2 0
2 1 0
2
1
0
2
2 0
2
m m m
m
m
m
m
m m m
m
g
m

m
 

    
 


  





     
 
     





 
 
 





 


 

 




 



Bài 9:
b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:


4 2
1 2 1 0
m x mx m
    
(*)
Để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì (*) phải có 4 nghiệm phân biệt
Đặt
2
, 0
t x t
 

(*) trở thành



2
1 2 1 0
m t mt m
    
(**)
Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
1 2
0
t t
  

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
15


  
2
1 0
0
4 1 2 1 0
0
1 2
;1 \
0
0
2 3
1
0

2 1
0
1
m
a
m m m
m
m
S
m
P
m
m
 




   


 
 
   
   
   
  

   


 
 








c) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị




3 2
' 4 1 2 2 2 1
y m x mx x m x m
     
 
 

Cho
   
2
0
' 0
2 1 0 0
x
y

m x m g x


 

    


Để hàm số có đúng 1 cực trị


0
g x
 
vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm
0
x


* Trường hợp 1:
1 0 1
m m
   
. Thay vào


0 1 0
g x
   
vô lý

1
m
 
(nhận) (1)
* Trường hợp 2:
1 0 1
m m
   

 
 
2
0
2 1
m
g x x
m
  


Hàm số có 1 cực trị
 
   


 
0
0
;0 1;
0

;0 1;
2 1
m
m
m
m
m
m





      



   




(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra




;0 1;m
   

* Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của hàm số
Bài 1:
Gọi


0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
3
y x



0
' 3
k f x
  

   
0 0
2 2
0 0 0
0 0
0 1
' 4 3 ' 4 3 3
7
4
3

x y
f x x x f x x x
x y
  


        

  



Với


0;1
M


: 3 1
d y x
  
là PTTT
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
16


Với
   
7 7 29 29

4; ' : 3 4 3 3
3 3 3 3
M d y x x y x
 
        
 
 
là PTTT
Bài 2:
Gọi


0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2 3
y x
 

nên
 
0
1
'
2
k f x
  

   

   
3
3
0 0 0
1 1
' 4 2 1 2
4 2
1 1
' 4 2 1 2
4 2
f x m x m x
k f x m x m x
 
     
 
 
 
       
 
 

Theo đề tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
0
1
x
  

 
1 1 5
4 2 1 2 0 6 5 0

4 2 6
m m m m
 
            
 
 

Bài 3:
Gọi


0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
3 4
5 3 4 0
5 5
y x y x
     
nên
 
0
5
'
3
f f x
  

   

0 0
2 2
0 0 0
0 0
5 46
5
3 27
' 3 6 ' 3 6
1 46
3
3 27
x y
f x x x f x x x
x y

   

       


  



* Với
5 46
;
3 27
M
 

 
 
 
PTTT:
 
5 5 46 5 29
:
3 3 27 3 27
d y x y x
 
       
 
 

* Với
1 46
;
3 27
M
 

 
 
PTTT
 
5 1 46 5 61
' :
3 3 27 3 27
d y x y x
 

       
 
 

Bài 5:
Gọi


0 0
;
M x y
là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến đi qua
2
; 1
3
A
 

 
 
có dạng
2
1
3
y k x
 
  
 
 
(d), trong đó



0
'
k f x





2 2
0 0
' ' 3 3 ' 3 3
y f x x k f x x
      

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
17


Vì


 
M d
M C








Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
   
 
 
3 2
02 0 0 0 0 0 0
3 3 2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
' 1 3 1 3 3 1
3 3
3 1 3 2 3 1 2 2 0 1 0
x
f x f x x x x x x
x x x x x x x x x
   
         
   
   
            

0 0
0 0
0 1
1 1
x y
x y

  



   


* Với


0;1 3
M k
  
: PTTT:
3 1
y x
  

* Với


1; 1 0
M k
  
: PTTT:
1
y
 

Thử lại: Ta thấy điểm

2
; 1
3
A
 

 
 
không thuộc đường thẳng
1
y
 
nên
1
y
 
(loại)
Vậy
3 1
y x
  

Bài 6:
Phương trình tiếp tuyến đi qua


1; 4
A

có dạng



1 4
y k x
  

Gọi


0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm. Ta có


2
0 0 0
' 6 6
k f x x x
  
Đường thẳng (d) và (C) tiếp xúc nhau khi hệ sau có nghiệm




 
 
 
0 0
3 2 2

0 0 0 0 0
0
0
3 2 3 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0
1 4
2 3 5 6 6 1 4
'
1
7 33
2 3 5 6 6 4 4 3 6 1 0
8
7 33
8
f x k x
x x x x x
k f x
x
x x x x x x x x
x
  

      







 



            








Bài 7:
* Tiếp tuyến tại điểm


1;2
A




3
' 4 4 ' 1 0
f x x x f
   

PTTT có dạng
2

y


* Tiếp tuyến song song với đường thẳng
2
y


Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
18


Gọi


0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm
 
 
0 0
3 2
0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 3
' 0 4 4 0 4 1 0 1 2
1 2
x y
f f x x x x x x y

x y
  


           


   


Nhận xét: Ta thấy


1;2
M và


1;2
M  thuộc vào đường thẳng
2
y

nên ta không
thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy


0;3
M
Bài 8:

Gọi


;2
M m là điểm thuộc đường thẳng
2
y

.


3
' ' 4 4
y f x x x
  

PTTT qua điểm M có dạng:


2
y k x m
  
.(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):




   
  

 
4 2 3 4 3 2
2 2 2
2
2 2
2
2 3 4 4 2 3 4 2 4 1 0
1
3 1 4 1 0
3
1 1
1 3 1 4 0
3 4 1 0 0
x x x x x m x mx x mx
x x mx x
x x
x x mx
x mx g x
           
 
     
 
 

   
     

    



Để từ điểm M ta kẻ được 4 tiếp tuyến


0
g x
 
có hai nghiệm phân biệt khác
1


 
 
2
3 3
; ;
2 2
' 4 3 0
1 0 4 4 0 1
4 4 0 1
1 0
m
m
g m m
m m
g

   
    


   
   

   

   


        
 
 
   





 
3 3
; ; \ 1
2 2
m
   
      
   
   
   

Vậy giá trị m thỏa điều kiện trên thì từ



;2
M m sẽ có 4 tiếp tuyến đến đồ thị


Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
19


Bài 9:
Gọi


0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm


2
' ' 3 6
y f x x x
  


2
0 0 0
' 3 6
k f x x x
   

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm


; 1
A a

có dạng:


1
y k x a
  

Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:




 
 
 
0 0
3 2 2
0 0 0 0 0
0
1
3 3 3 6 1
'
f x k x a
x x x x x a

k f x
  

      











   
3 2 2
0 0 0 0 0
0
2
0 0
2 3 3 6 4 0 2 2 1 3 2 0
2
2 1 3 2 0 0
x a x ax x x a x
x
x a x g x
 
          
 





     


Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyế đến đồ thị thì


0
g x

phải có 2 nghiệm phân biệt
khác
2
 
 
2
5
0
; 1 ;
9 6 15 0
3
2 0
12 6 0
2
a
a a
g

a
a

 
 
    


  

 
  
 
  

 






Vậy giá trị a thỏa mãn điều kiện trên thì từ


; 1
A a

sẽ kẻ được 3 tiế tuyến
Bài 10:

Gọi




3 2
; 3 3
A a a a d
   là điểm thuộc đồ thị mà qua đó kẻ đúng 1 tiếp tuyến


2
0 0 0
' 3 6
k f x x x
  
PTTT tại


0 0
;
M x y
có dạng:




2 3 2
0 0 0 0 0
3 6 3 3

y x x x x x x
     

Điểm




3 2
; 3 3
A a a a d
   nên:




   
 
 
3 2 2 3 2
0 0 0 0 0
3 2 3 2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0
0
2
0
0 0
0
0
3 3 3 6 3 3

3 3 2 3 3 6 3 2 3 3 6 3 0
2 3 0
3
2 3 0
2
a a x x a x x x
a a x a x ax x a x ax a a
x a
x a
x a x a
a
x a
x
       
              





      



  




Để từ A kẻ đúng 1 tiếp tuyến



0
x
là duy nhất
3
1
2
a
a a

   



1,1
A
Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
20


Vậy ta có hai điểm A thỏa mãn


1;1
A
Bài 11:
Gọi



0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm
Ta có


2
' ' 3 6
y f x x x
  

Tiếp tuyến song song với đường thẳng


: 9 7
d y x
 
nên
 
0 0
2
0 0 0
0 0
3 2
' 9 3 6 9
1 2
x y
k f x x x
x y

  

     

    


Với


3;2
M phương trình tiếp tuyến có dạng:


9 3 2 9 25
y x y x
     

Với


1; 2
M
 
PTTT có dạng


9 1 2 9 7
y x y x
     

(loại) vì PTTT này
trùng với đường thẳng


: 9 7
d y x
 

Vậy PTTT là
9 25
y x
 

Bài 12:
 
 
2
2
2 6
' '
m m
y f x
x m
  
 


Tiếp tuyến song song với đường thẳng



: 3
d y x
  
nên
 
 
2
2 2
2
2
2
2 6
' 2 1 2 6 4 2
2
1 7
2 0 0
2 4
m m
f m m m m
m
m m m
  
        

 
       
 
 



không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 13:
Ta có:
 
 
2
2
4
' '
m
y f x
x m
 


Giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox:
 
 
2
2
2
3 1
0 3 1 0; ;
1
3 1
3
x m
m x m m
m m
m x m m x m x

x m m
m
 

  


         

 
 



2
;0
3 1
m m
A
m
 


 

 

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
21

Tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng


: 1
d y x
 

2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
4 4
' 1 1 1
3 1
4
3 1 3 1
1
9 6 1 4 5 6 1 0
1
5
m m m m
f
m
m m m
m
m m
m
m m m m m
m

 

     
 

   
 


   
 
   
 


        

 


* Thử lại:
Với


1 1;0m A
    
PTTT:


1 1 0 1

y x y x
     
(loại) vì trùng với
đường thẳng


: 1
d y x
 

Với
1 3
;0
5 5
m A
 
   
 
 
PTTT:
3 3
1 0
5 5
y x y x
 
     
 
 
(nhận)
Vậy

1
5
m
 

Bài 14:
Gọi


,2
A a
thuộc đường thẳng
2
y

mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc
nhau.
Gọi


0 0
,
M x y
là tọa độ tiếp điểm. PTTT qua


,2
A a
có dạng:



2
y k x a
  
, với


2
0 0 0
' 3 6
k f x x x
  
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình




 
 
 
 
 
   
0 0
3 2 2
0 0 0 0 0
0
3 2
0 0 0
0

2
0 0 0
2
0 0 0
2
3 2 3 6 2
'
2 3 1 6 0
0
2 3 1 6 0
2 3 1 6 0 0
f x k x a
x x x x x a
k f x
x a x ax
x
x x a x a
x a x a g x
  

      




    


 
     


 
     


 Với
0
2 0
x k
  
ta được tiếp tuyến
2
y

, không có tiếp tuyến nào vuông
góc với tiếp tuyến này nên
0
2
x

loại
 Để vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì


0
0
g x

phải có 2 nghiệm
1 2

,
x x
phân biệt sao cho




1 2
' . ' 1
f x f x
 

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ
22


  
2
2 2
1 1 2 2
0
3 10 3 0
1 1
,2
3 6 3 6 1
9 9
9 1
a a
a A
x x x x

a
 


  

 
      
 
 
   
 
 




Bài 15:
Gọi


,2
A a
là điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
PTTT qua


,2
A a
có dạng:



 
0
2
'
y k x a
k f x
  






với


0 0
,
M x y
là tọa độ tiếp điểm
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:




 
 
   

2 2
0 0
2
0 0 0 0
0 0 0
2
0
0
0
2
2 3 2 1
2 2 3
1
'
1
f x k x a
x x x x
x a x x x
x
k f x
x
  
   

       






