Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị (toàn văn + tóm tắt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT





TRẦN GIA LỘC





KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC
TÍCH PHÂN KỲ DỊ




LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH TOÁN HỌC

Đà Lạt – 2014

B GIO DC V ĐO TO
TRƯNG ĐI HC Đ LT


TRẦN GIA LC


KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CC
TÍCH PHÂN KỲ DỊ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 62.46.01.01


TM TẮT LUẬN N TIẾN SĨ TON HC



NGƯI HƯỚNG DẪN KHOA HC
1. GS. TSKH. Lê Dũng Tráng
2. TS. Trịnh Đức Tài


Đà Lạt - 2014
LỜI CAM ĐOAN
Luận án này được viết bởi chính tôi, các kết quả liên quan đến luận án
là của tôi hoặc của tôi làm việc chung với GS.TSKH. Lê Dũng Tráng,
PGS.TSKH. Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài. Các kết quả khác được sử

dụng để viết luận án đều được trích dẫn đầy đủ.
Các kết quả của tôi hoặc của tôi làm việc chung với các nhà toán học trên
là mới và chưa công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. PGS.TSKH.
Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài đã đồng ý cho tôi sử dụng các kết quả
nghiên cứu chung của tôi với họ để viết luận án này.
Luận án này được viết và hoàn thành tại Viện Toán học và Trường Đại
học Đà Lạt, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng,
PGS.TSKH. Hà Huy Vui và TS. Trịnh Đức Tài; đã được ba nhà Toán
học trên đọc, góp ý và sửa chữa.
Đà Lạt, ngày 01 tháng 08 năm 2014
Trần Gia Lộc
i
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi bày tỏ lòng biết ơn cố PGS.TSKH. Nguyễn Hữu Đức, người đã
dạy và hướng dẫn tôi làm luận văn Thạc sĩ, đã dẫn dắt tôi đến với lý thuyết kỳ dị,
đã khuyến khích động viên tôi tiếp tục làm nghiên cứu sinh và dành cho tôi sự quan
tâm sâu sắc. Đặc biệt, ông đã giới thiệu tôi theo học và làm việc với GS.TSKH. Lê
Dũng Tráng để hoàn thành luận án này.
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê
Dũng Tráng. Thầy đã đặt ra các bài toán một cách tường minh giúp tôi nhanh
chóng định hướng nghiên cứu của mình. Dù bận rộn với công việc và gặp vấn đề về
sức khỏe, nhưng Thầy vẫn kiên trì theo dõi và động viên tôi làm việc, đã dành cho
tôi một sự quan tâm đặc biệt, đã đề xuất các hướng nghiên cứu và đưa ra các câu
hỏi xác đáng, giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án. Qua
kiến thức uyên bác và sự hướng dẫn của Thầy, tôi đã biết và hiểu rõ giá trị của một
số lĩnh vực Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trịnh Đức Tài đã dành cho tôi những buổi seminar
và những lần trao đổi bổ ích, giúp tôi vượt qua sự bỡ ngỡ ban đầu để giải quyết bài
toán của GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi, đã đọc và có những ý kiến xác đáng
giúp tôi chỉnh sửa luận án này.

Luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ và hướng dẫn khoa
học của PGS.TSKH. Hà Huy Vui. Từ cuối năm 2008, thầy đã quan tâm động viên,
khuyến khích và nhẫn nại dành thời gian dạy và hướng dẫn tôi vượt qua những khó
khăn ban đầu để đọc các công trình của B. Malgrange liên quan đến các bài toán
mà GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi. Đặc biệt từ năm 2011, Thầy đã đặt ra bài
toán tìm tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của một tập nửa đại số cho
tôi, kiên trì hướng dẫn tôi giải quyết bài toán đó để hoàn thành luận án này. Tôi
xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy.
Tôi trân trọng cảm ơn PGS.TS. Tạ Lê Lợi, PGS.TS. Phạm Tiến Sơn, TS. Đỗ
Nguyên Sơn và nhóm seminar lý thuyết kì dị của Khoa Toán - Đại học Đà Lạt đã
dành cho tôi những buổi seminar bổ ích, sẵn sàng chia sẽ kiến thức, đã quan tâm
ii
hỗ trợ vật chất và tinh thần cho tôi trong quá trình nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học
và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học của
trường Đại học Đà Lạt; Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Đà Lạt đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại
học Đà Lạt.
Tôi trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Phòng Hình học và Tôpô, nhóm seminar
kỳ dị của Viện Toán học đã hỗ trợ vật chất và điều kiện làm việc thuận lợi cho tôi
trong những lần tôi đến Viện Toán học để học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn
của PGS. TSKH. Hà Huy Vui.
Tất nhiên luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự hậu thuẫn, cảm
thông, chia sẽ và động viên của gia đình tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu
sinh. Lời cảm ơn cuối cùng này tôi xin dành cho gia đình thân yêu của tôi.
Đà Lạt, 09 tháng 08 năm 2014
Trần Gia Lộc
iii
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN i

Lời cảm ơn ii
Mục lục iv
Danh sách hình vẽ vii
Danh sách các ký hiệu viii
Tóm tắt xii
Mở đầu 1
Các Hội nghị và Seminar có báo cáo kết quả của luận án 5
Các công trình của tác giả liện quan đến luận án 6
1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 7
1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f) . . . 10
1.2.2 Trường hợp hàm pha có kỳ dị không suy biến . . . . . . . . . 11
1.3 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . 18
1.5 Trường hợp hàm pha là đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Đa diện Newton và tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Đa diện Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động . . . . . . . . 28
1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv
MỤC LỤC
1.8 Tiệm cận thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.1 Dạng Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.2 Thể tích của tập dưới mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8.3 Tích phân kiểu Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng 33
2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Đa thức Bernstein-Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Đa thức Bernstein-Sato và thác triển giải tích của hàm f
s
. . . . . . 40
2.4 Hàm gamma suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Khảo sát giả thuyết 2.4.1 bằng cách sử dụng tính chất của
hàm gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Một điều kiện đủ cho phương trình hàm (2.3) . . . . . . . . . 45
2.5 Hàm gamma ứng với f(t) = t
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1 Tính chất của Γ
t
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Khai triển tiệm cận của Γ
t
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.3 Quan hệ giữa Γ
t
k
và Γ
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Hàm zeta và hàm beta suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.1 Hàm f−beta và hàm f−zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.2 Các hàm t

k
− beta và t
k
− zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7 Phương trình hàm của Γ
f
với f là đa thức bậc hai . . . . . . . . . . 56
3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại
số 58
3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Phát biểu các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Các chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Chứng minh Định lý 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3 Chứng minh Định lý 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
KẾT LUẬN 85
A Các khái niệm cơ bản 87
A.1 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.2 Không gian L
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.3 Các ký hiệu ∼ ,  , o , và O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
v
MỤC LỤC
A.4 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.5 Đa thức monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị 90

B.1 Nhóm đồng điều đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.1.1 Đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.1.2 Phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.1.3 Hướng của phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.1.4 Nhóm các dây chuyền p chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.2 Đồng điều kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị . . . . . . 98
Các thuật ngữ 99
Tài liệu tham khảo 101
vi
Danh sách hình vẽ
1.1 Đa diện Newton của K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton của φ . . . . . 27
2.1 Phân thớ Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1 (a) - đa diện Newton của f (b) - đa diện Newton của f tại vô
cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 (a) - đa diện Newton của g (b) - đa diện Newton của g tại vô
cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
B.1 Các đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.2 Các phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.3 Không là phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.4 Tam giác phân của băng M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.5 Đơn hình 2 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
B.6 Đơn hình 3 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.7 Các đơn hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B.8 Các đơn hình kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vii
Danh sách các ký hiệu
Các chuẩn và không gian

 . 
L
p
chuẩn L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
 f 
L
p


R
d
| f(x) |
p
dx

1
p
- chuẩn L
p
của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
 . 
L
∞
chuẩn L
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
 f 
L

∞
chuẩn L
∞
của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
 f 
C
N
(Ω)
max
x∈Ω

|α|≤N
| D
α
f(x) | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
 P 

0<|α|≤d
| a
α
|, chuẩn của đa thức P(x) =

0≤|α|≤d
a
α
x
α
. . . . . . . . . . . . . .22
L
p

(X, F, µ) ký hiệu tắt L
p
(X), hoặc L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
L
1
(X, F, µ) không gian tất cả các hàm khả tích trên X . . . . . . . . . . . . 87
L
∞
(X, F, µ) còn ký hiệu tắt là L
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C
∞
(Ω, R) Không gian các hàm nhận giá trị thực, khả vi vô hạn trên Ω. . . . .10
C
∞
0
(Ω) Không gian các hàm trơn có giá compact trong Ω. . . . . . . . . . . . . . . . .9
C
∞
(Ω) Không gian các khả vi vô hạn trong Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
O
X
bó các hàm giải tích trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Các tích phân và phép biến đổi tích phân
F(f)

+∞

−∞
e
ixξ
f(x)dx, phép biến đổi Fourier của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Hf(x)
1
π

+∞
−∞
f(t)
x−t
dt, −∞ < x < +∞, phép biến đổi Hilbert của f 7
L{f(t); α}

∞
0
e
−αt
f(t)dt, Re(α) > 0 - phép biến đổi Laplace của f 47

f
s
+
, ϕ


R
n
ϕ(x)f

s
+
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx tích phân dao động loại I . . . . . . . . . . . . 8
viii
Danh sách các ký hiệu
Các số và hằng số đặc biệt
γ = lim
n→∞

1 +
1
2
+ ···+
1
n
− log n

, hằng số Euler. . . . . . . . . . . . . . . 49
µ = dim
C
O
X,0
/


∂f
∂x
1
, ,
∂f
∂x
n

, số Milnor của f tại điểm kỳ dị 0 . . 34
Các hàm đặc biệt và các hàm suy rộng
Γ(s) =

+∞
0
e
−t
t
s−1
dt, hàm gamma Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Γ
f
(s) =

∞
0
f(t)
s−1
e
−t
dt - hàm gamma ứng với f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Γ
t
k
(s) =

∞
0
t
k(s−1)
e
−t
dt , Re(s) > 1 −
1
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Γ
k
(s) =

∞
0
t
s−1
e
−
t
k
k
dt, hàm k-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B(p, q) =


1
0
t
p−1
(1 − t)
q−1
dt, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm beta . . . . . . . . . . 54
B
f
(p, q) =
Γ
f
(p)Γ
f
(q)
Γ
f
(p + q)
, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm f-beta 54
B
t
k
(p, q) =
Γ
t
k
(p)Γ
t
k

(q)
Γ
t
k
(p + q)
, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm t
k
− beta . . . . . . . . . . . .55
ζ(s) =

∞
n=1
1
n
s
, Re(s) > 1, hàm zeta Riemann 53
ζ
H
(s, a) =

∞
n=0
1
(n + a)
s
, Re(s) > 1, a = 0, −1, −2, . . ., hàm zeta Hurwitz
54
ζ
f
(s) =

1
Γ
f
(s)

∞
0
f
s−1
(1 − e
−t
)
−1
e
−t
dt, Re(s) > 1, hàm f-zeta 54
ζ
t
k
(s) =
1
Γ
t
k
(s)

∞
0
t
k(s−1)

(1 − e
−t
)
−1
e
−t
dt, Re(s) > 1, hàm t
k
− zeta . 55
Các ký hiệu khác
b
f
(s) hoặc b(s), đa thức Bernstein-Sato của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
K(x, t) hạt nhân Calderon-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
coneΓ(f) nón sinh bởi Γ(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
∆
+
(d) = {(d
1
, . . . , d
n
) ∈ R
n
+
: d
1
= . . . = d
n
}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
E

α
{x ∈ [a, b] :| φ(x) |≤ α}, tập dưới mức của φ trên [a, b] . . . . . . . . . . . 15
ix
Danh sách các ký hiệu
G
f
(r) = {x ∈ R
n
: | f
i
(x) |≤ r, i = 1, . . . , m}, tập dưới mức của ánh xạ đa
thức f = (f
1
, . . . , f
m
) : R
n
−→ R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
| G
f
(r) | hoặc V olume G
f
(r), thể tích của tập G
f
(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
D
∞
Γ(f) điểm xa nhất, tính từ gốc tọa độ, trong các giao điểm của Γ(f) với

đường chéo ∆
+
(d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
H
p
(X
t
, C) nhóm đồng điều thứ p của thớ X
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
J(t)

φ=t
fdx
1
∧ . . . ∧dx
n
/dφ, hàm Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

∂
2
φ
∂x
i
∂x
j

(x
0
) ma trận Hessian của φ tại x

0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Λ
∞
mặt có số chiều nhỏ nhất của Γ(f) cắt ∆
+
(d) tại D
∞
Γ(f) 62
H ma trận của đơn đạo của f đối với một cơ sở 35
Γ
+
(K) đa diện Newton của tập K ⊂ N
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Γ
+
(K) lược đồ Newton của tập K ⊂ N
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Γ(f) = conv

m
∪
i=1
supp(f
i
)

, đa diện Newton của ánh xạ đa thức f =

(f
1
, . . . , f
m
) : R
n
−→ R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Γ
∞
(f) = conv

m
∪
i=1
supp(f
i
)

∪ {0}

, đa diện Newton của ánh xạ đa thức
f = (f
1
, . . . , f
m
) : R
n
−→ R

m
tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Γ(f) đa diện đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
o
R
n
{(x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
: x
j
= 0, j = 1, . . . , n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
∇φ(x
0
)

∂φ
∂x
1
(x
0
), . . . ,
∂φ
∂x
n
(x

0
)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
sgn φ

(x
0
) dấu của φ

(x
0
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
supp(f) {x ∈ Ω : f (x) = 0}, giá của hàm f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
supp φ {n ∈ N
k
: a
n
= 0}, giá của chuỗi φ =

n∈K
a
n
x
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
P (x, s,
∂
∂x
) toán tử đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

P (s)
∗
=

β
(−1)
|β|

∂
∂x

β
a
β
(x, s), toán tử liên hợp của toán tử vi phân
P (s) =

β
a
β
(x, s)

∂
∂x

β
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
x
Danh sách các ký hiệu
∧ tích wedge 30

o
Z
n
{κ = (κ
1
, ··· , κ
n
) ∈ Z
n
: κ
j
= 0, j = 1, ··· , n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Z
f
(r) = G
f
(r) ∩
o
Z
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Card

G
f
(r) ∩
o
Z
n


số điểm nguyên của G
f
(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
xi
TÓM TẮT
Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiên
cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng
I(λ) =

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx
và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là một số dương đủ lớn, φ
là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, f là hàm trơn có giá
trị phức gọi là hàm biên độ.
Theo Elias M. Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(λ), khi
λ → +∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận. Có nhiều phương
pháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ),
trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ
là một trong những công cụ hữu hiệu.
Luận án này gồm có 3 chương. Trong chương một chúng tôi nghiên cứu
tổng quan về tích phân kỳ dị dao động. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu
phương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo
ba vấn đề cơ bản của Elias M. Stein và các học trò. Sau cùng chúng tôi
nghiên cứu những kết quả gần đây của E.M. Stein, D.H. Phong, J.A.
Sturm, B. Malgrange, V.I. Arnold, A.N. Varchenko, M. Greenblatt, I.
Parissis, trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích.
Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phân

dao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newton
của hàm pha φ. Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn của
những kết quả của chúng tôi.
Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức Bern-
stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệm
của đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của một
hàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gamma
suy rộng Γ
f
từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận
xii
được nhiều tính chất tương tự như các tính chất của hàm gamma Euler
([Loc11], [LT12]).
Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số
điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa
thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công
thức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tường
minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức
đó ([VL14]).
xiii
MỞ ĐẦU
Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án
Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và các
nhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của Joseph
Fourier vào năm 1822. Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình
học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơ
học lượng tử, đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động. Mặc dù
bài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đến
nay vẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kết
quả quan trọng.

Trong khoảng 40 năm gần đây, lý thuyết kỳ dị cũng đã có quan hệ chặt chẽ với việc
nghiên cứu các tích phân tiệm cận. Nhiều bài toán nghiên cứu các điểm tới hạn đã
chỉ ra các ứng dụng trực tiếp khi nghiên cứu các tính chất của tích phân tiệm cận.
Theo [AGZV88], một trong những bài toán cổ điển của lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính là bài toán xây dựng nghiệm tiệm cận theo một tham số của
bài toán Cauchy với các điều kiện ban đầu dao động nhanh. Sử dụng các phương
pháp tiệm cận để giải bài toán trên, người ta đã suy ra kết quả sau (xem [Mas72;
Mas76; MF81]):
Với mọi số tự nhiên N, trong một lân cận của điểm y
0
nào đó, nghiệm của bài
toán Cauchy có thể biểu diễn dưới dạng một tổng hữu hạn các tích phân dao động

e
iτF (y,x)
ϕ

y, x, (iτ )
−1

dx
và một số dư có cấp o(τ
−N
), khi τ → ∞; trong đó F là một hàm nhận giá trị thực,
τ là tham số lớn của bài toán, x là tham số thực, hàm ϕ có giá compact theo x và
là một đa thức theo (iτ)
−1
.
Vậy việc tính toán tiệm cận nghiệm của bài toán Cauchy được đưa về việc tính tiệm
cận các tích phân dao động. Trong các công trình của J.F. Nye và M.V. Berry ta có

thể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân
kỳ dị dao động.
Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích
1
phân kỳ dị dao động, chỉ có một vài kết quả về phương pháp pha dừng trong trường
hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không suy biến. Việc nghiên cứu bài toán
này đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I. Gelfand và
các học trò, J. Bernstein và M. Fedoryuk. Các nhà Toán học này đã đưa ra phương
pháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận của
các tích phân dao động. Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng,
đa thức này thỏa mãn mối liên hệ
P (x, s,
∂
∂x
)f
s
= b
f
(s)f
s−1
,
trong đó P là một toán tử vi phân, f là đa thức, b
f
(s) cũng là đa thức và được gọi
là đa thức Bernstein ứng với f. Sau đó, J.E. Bj¨ork đã mở rộng đa thức Bernstein
cho trường hợp f là một mầm hàm giải tích. Năm 1973, B. Malgrange đã thiết lập
mối quan hệ giữa đơn đạo và khai triển tiệm cận các tích phân dao động một cách
tường minh.
Cũng trong thập niên 1970, V.I. Arnold và A.N. Varchenko đã đưa ra các kết quả
lý thú về tốc độ tắt dần (the decay rate) của tích phân dao động thông qua giao

điểm của lược đồ Newton của hàm pha với đường phân giác của góc tọa độ dương
và chỉ số của tất cả các số hạng của khai triển tiệm cận của tích phân dao động đó
chỉ phụ thuộc vào lược đồ Newton của hàm pha. Tiếp theo đó, E.M. Stein, Duong
Hong Phong, M. Greenblatt dựa trên định lý Varchenko đã đánh giá tích phân dao
động và thể tích của tập dưới mức của hàm pha thông qua các yếu tố của lược đồ
Newton của hàm pha và họ đã thu được những kết quả quan trọng.
Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấp
dẫn nhiều nhà Toán học. Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyết
định dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên việc nghiên cứu các số mũ xuất
hiện trong số hạng đầu tiên đó là một việc rất có ý nghĩa.
Hàm gamma Euler có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, Vật Lý và
Kỹ thuật, do đó việc mở rộng hàm gamma là một việc cần thiết được nhiều nhà
Toán học quan tâm như E.L. Post [Pos19], E.W. Barnes [Bar99; Bar04], Díaz và
Pariguan [DP07], M.Mansour [Man09], Trong luận án này chúng tôi sử dụng đa
thức Bernstein-Sato để mở rộng hàm gamma Euler và hy vọng thông qua sự mở
rộng đó sẽ tìm được một số tính chất của tích phân kỳ dị.
Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trong
những bài toán cơ bản của Lý thuyết số.
2
Mục đích, phương pháp và đối tượng nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau:
• Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao động
thông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng
và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó.
• Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy
rộng đó.
• Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa
đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-
Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tường

minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó.
Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
• Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùng
trong lý thuyết tích phân kỳ dị.
• Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân dao
động, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số.
• Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứu
các tính chất của hàm gamma suy rộng. Phương pháp này hoàn toàn khác với
các phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây.
• Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpô
đại số, Lý thuyết kỳ dị, Giải tích số và Đại số tuyến tính.
Những đóng góp mới của luận án
Các kết quả chính của luận án bao gồm:
1. Dựa trên kết quả của B. Malgrange (xem [Mal74a]), chúng tôi đã làm rõ mối
liên hệ giữa các nghiệm của đa thức Bernstein-Sato và các giá trị riêng của
ma trận đơn đạo của một hàm giải tích thông qua các ví dụ một cách tường
minh.
2. Chúng tôi đã mở rộng hàm gamma Euler bởi định nghĩa sau
Γ
f
(s) :=

∞
0
f(t)
s−1
e
−t
dt,
3

trong đó f là đa thức một biến không âm. Γ
f
(s) được gọi là hàm gamma suy
rộng hay "hàm gamma ứng với f". Chúng tôi đã thu được một số kết quả bước
đầu về phương trình hàm kiểu gamma
Γ
f
(s + 1) = B(s)Γ
f
(s),
trong đó B(s) là đa thức Bernstein-Sato của f, như xây dựng được điều kiện
đủ để một đa thức f thỏa phương trình hàm trên. Trong trường hợp f(t) = t
k
,
chúng tôi chứng minh được hàm gamma ứng với t
k
thỏa mãn phương trình
hàm nói trên và có hầu hết các tính chất của hàm gamma Euler. Các tính chất
đó đều có sự tham gia của đa thức Bernstein-Sato của t
k
và cách mở rộng của
chúng tôi hoàn toàn tương thích với cách mở rộng của các nhà Toán học trước
đây.
3. Từ những kết quả của GS.TSKH. Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diện
lôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận được
tiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn
điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.2.1 được
tính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các ánh xạ đa thức
tương ứng và chúng hoàn toàn phù hợp với các kết quả của V.A. Vasilev, E.V.
Sinitskaya, A.I. Karol’, M. Greenblatt (xem [Vas77], [Sin04], [Kar09], [Gre10]).

4. Cũng từ kết quả của GS. Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diện
lôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tập
nửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-
Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó.
Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đa
diện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thức
tiệm cận của Định lý 3.2.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tích
của các tập dưới mức.
5. Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện
Mikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùng
một đa diện Newton.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Thông qua luận án này, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới có thể được áp
dụng trong một số lĩnh vực như Giải tích tiệm cận, Tích phân dao động, Giải tích
số, Lý thuyết tối ưu,
4
CÁC HỘI NGHỊ VÀ SEMINAR CÓ BÁO CÁO
KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại các Hội nghị và các
Seminar sau:
• Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt.
• Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt - 2009.
• Hội nghị Khoa học Trường Đại học Tây Nguyên - 12/2009.
• International Conference on Topology of singularities and related topics, I,
JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Hanoi, Vietnam, March
03/2010.
• Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011.
• Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tô pô (DAHITO), Đại học Thái
Nguyên 3-5/11/2011.
• International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011),

Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011.
• Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học.
• Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học cao cấp (VIASM - 2012).
• International Conference on Topology of singularities and related topics, III,
JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March
26-30, 2012.
• Hội nghị khoa học, Viện Toán học - 12/2012 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo
cáo).
• Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013.
• Trường CIMPA và Hội nghị quốc tế Hình học và Tô pô của các đa tạp kỳ dị.
Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo).
5
CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[Loc11] Tran Gia Loc, Đa thức Bernstein-Sato và hàm Gamma suy rộng, Tạp
chí Khoa học Đại học Đà Lạt, Số 01 (2011).
[LT12] Tran Gia Loc and Trinh Duc Tai, The Generalized Gamma Functions,
Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 37, no. 2 (2012), pp. 219-230.
[VL14] Ha Huy Vui and Tran Gia Loc, On the volume and the number of
lattice points of some semialgebraic sets, 2014. Đang gửi đăng ở tạp
chí IJM (International Journal of Mathematics).
6
Chương 1
Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
1.1 Mở đầu
Tích phân kỳ dị phát triển một cách mạnh mẽ trong khoảng 60 năm gần đây, thông
qua các công trình mở đầu của S.G. Mikhlin, A.P. Calderon và A. Zygmund. Nó
có vai trò quan trọng trong nghiên cứu nghiên cứu chuỗi Fourier, phương trình đạo
hàm riêng và nhiều ngành khác của giải tích.
Một ví dụ cổ điển của tích phân kỳ dị là phép biến đổi Hilbert
Hf(x) =

1
π

+∞
−∞
f(t)
x − t
dt , −∞ < x < +∞ ,
trong đó f ∈ L
2
(R). Biểu thức dưới dấu tích phân có kỳ dị tại t = x. Tuy nhiên, ta
có thể xét tích phân trên theo nghĩa giá trị chính (principal value - pv.).
Hf(x) = pv.
1
π

+∞
−∞
f(t)
x − t
dt = lim
→0
+
1
π

|x−t|>
f(t)
x − t
dt.

Ta có hai bài toán sau
(i) Sự tồn tại của H(f).
(ii) Mối quan hệ giữa f và H(f), tức là những tính chất nào của f được giữ lại
bởi H(f).
Ở đây ta có thể viết
Hf(x) = pv.

R
K(x, t)f(t)dt,
trong đó K(x, t) =
1
π
.
1
x − t
, gọi là hạt nhân của phép biến đổi Hilbert, thỏa mãn
7
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
các tính chất sau
|K(x, t)| ≤
C
|x − t|
, x, t ∈ R ,




∂
∂x
K(x, t)





+




∂
∂t
K(x, t)




≤
C
|x − t|
2
, x, t ∈ R
với C là hằng số. Tổng quát hơn, nếu K(x, t) xác định trên R
n
× R
n
thỏa mãn
|K(x, t)| ≤
C
|x − t|
, x, t ∈ R

n
,




∂
∂x
K(x, t)




+




∂
∂t
K(x, t)




≤
C
|x − t|
n+1
, x, t ∈ R

n
,
trong đó C là hằng số thì ta gọi K(x, t) là hạt nhân Calderon-Zygmund. Ta thường
gặp một vài dạng hạt nhân sau
(i) Hạt nhân dao động K(x, t) = e
iλφ(x)
hoặc K(x, t) = e
iλϕ(x,t)
, với λ là tham số
lớn và dương. Trong lớp này ta thường gặp các tích phân dạng
I(λ) =

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx ,
còn gọi là tích phân dao động loại I hay tích phân dao động, và
T
λ
(f)(x) =

R
n
e
iλϕ(x,t)
ψ(x, t)f(t)dt ,
còn gọi là tích phân dao động loại II.
(ii) Hạt nhân kỳ dị dạng logarit K(x, t) = log |t − x|.
(iii) Hạt nhân kỳ dị dạng đại số K(x, t) = |t − x|

α
, với α > −1.
Trong khoảng vài thập niên gần đây, lý thuyết kỳ dị có quan hệ chặt chẽ với việc
khảo sát tích phân dao động. Nguyên do là nhiều bài toán của lý thuyết kỳ dị phát
sinh từ việc tìm hiểu bản chất của dáng điệu của các tích phân, mặt khác nhiều
nghiên cứu các điểm kỳ dị đã tìm thấy ứng dụng trực tiếp vào khai triển tiệm cận
của tích phân dao động.
8
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
Đối với tích phân dao động loại I, bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm
là đánh giá I(λ) và khảo sát dáng điệu tiệm cận của nó khi tham số λ → ∞. Trong
chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả của một số nhà Toán học về
các đánh giá, các khai triển tiệm cận của các tích phân dao động loại I. Do lĩnh vực
này rất rộng, nên chúng tôi chỉ đề cập đến một số kết quả liên quan đến nghiên cứu
của mình.
1.2 Phương pháp pha dừng
Xét tích phân
I(λ) =

Ω
e
iλφ(x)
f(x)dx, (1.1)
trong đó Ω ⊂ R
n
là một miền bị chặn, f ∈ C
∞
0
(Ω), φ ∈ C
∞

(Ω), và φ là hàm nhận
giá trị thực. φ được gọi là hàm pha, f được gọi là hàm biên độ hay hàm phân bố.
Điểm x
0
∈ Ω được gọi là điểm kỳ dị hay điểm dừng của hàm φ nếu
∇φ(x
0
) =

∂φ
∂x
1
(x
0
), . . . ,
∂φ
∂x
n
(x
0
)

= 0 .
Nguyên lý của phương pháp pha dừng được phát biểu chính thức bởi Lord Kelvin
(1887) trong bài toán liên quan đến thủy động lực ([Wat22], p. 229-230), mặc dù
vấn đề cốt yếu của nguyên lý này đã được tìm thấy trong các công trình sớm hơn
của Stokes về tích phân Airy và tích phân Parseval, và nó cũng được tìm thấy trong
một công trình của Riemann được công bố sau khi ông mất. Phương pháp này (với
n=1) được trình bày chặt chẽ trong các công trình của Van Der Corput [Cor34] và
A. Erdélyi [Erd56]. Bài toán gốc của L. Kelvin là tìm tiệm cận của tích phân

u(x) =
1
2π

∞
0
cos{m[x − tf(m)]}dm,
trong đó (x, t) chỉ vị trí và thời gian, u(x) biểu diễn sự tác động tại (x, t) của một
nhiễu loạn xung, f(m) là vận tốc lan truyền của các sóng hai chiều trong nước với
9
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
bước sóng
2π
m
.
Tuy nhiên trong trường hợp một chiều người ta thường phát biểu nguyên lý pha
dừng đối với tích phân
I(λ) =

b
a
e
iλφ(x)
f(x)dx, (1.2)
trong đó a, b ∈ R, f, φ là các hàm thực, và λ là một tham số thực.
Nguyên lý cơ bản của phương pháp pha dừng là khẳng định sự đóng góp của các
điểm dừng của hàm pha φ trong khai triển tiệm cận của Tích phân (1.2). Nếu φ(x)
chỉ có một điểm dừng x
0
∈ (a, b) thì

I(λ) ∼ f(x
0
)

2π
λ|φ

(x
0
)|
e
i[λφ(x
0
)+σ
π
4
]
, khi λ → +∞, (1.3)
trong đó σ = sgn φ

(x
0
). Công thức tiệm cận (1.3) được R. Wong phát biểu và
chứng minh chặt chẽ trong [Won01].
1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f)
Cho f là một hàm liên tục trên tập Ω ⊂ R
n
. Ta gọi giá của hàm f, ký hiệu là
supp(f), là bao đóng của tập {x ∈ Ω : f(x) = 0}.
Định lý 1.2.1 (Nguyên lý pha dừng). Cho Ω ⊂ R

n
là tập mở, φ ∈ C
∞
(Ω, R), f ∈
C
∞
0
(Ω) và ∇φ(x) = 0, với mọi x ∈ supp(f). Khi đó với mọi N ∈ N và với mọi λ ≥ 1,
tồn tại C
N
> 0 sao cho





Ω
e
iλφ(x)
f(x)dx




≤ C
N
f
C
N
(Ω)

λ
−N
,
trong đó f
C
N
(Ω)
= max
x∈Ω

|α|≤N
|D
α
f(x)|.
Chứng minh. ([Fed89; GS94]) Xét toán tử vi phân L = ∇φ(x)
−2

n
j=1
∂φ
∂x
j
∂
∂x
j
.
Ta có L(e
iλφ
) = iλe
iλφ

. Vì vậy
I(λ) =
1
iλ

Ω
L(e
iλφ(x)
)f(x)dx =
1
iλ

Ω
e
iλφ(x)
L
∗
(f(x))dx,
10