Bài giảng ma trận, định thức (mô hình toán)

Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1 : MA TRẬN VÀ PHÉP TOÁN MA TRẬN

I. Các khái niệm cơ bản về ma trận:
1.Định nghĩa: Ma trận là một bảng số xếp theo dịng và
theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma
trận cấp mxn. Ma trận A cấp mxn được viết dưới dạng

A=

 a11

 a 21
 ...

a
 m1

a12
a 22
...
am 2

... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 


hoặc A =

 a11
a
 21
 ...

 a m1

a12
a 22
...
am 2

... a 1n 
... a 2 n 

... ... 

... a mn 

(1.1)

aij là phần tử nằm trên dòng i và cột j của ma trận A.
Ta có thể dùng ký hiệu A = (aij)mxn
(1.2)
+ Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B
nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng đơi
một bằng nhau.


aij = bij

(aij) mxn = (bij)mxn ⇔ i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n


1


+ Ma trận không cấp mxn, ký hiệu 0 = 0mxn là ma trận cấp
mxn có tất cả các ptử bằng 0.
+ Ma trận đối của ma trận A = (aij)mxn là ma trận cùng cấp,
ký hiệu –A mà
-A = (-aij)mxn
Chú ý: Ta có thể xem mỗi dịng của ma trận A như một
vectơ n chiều và mỗi cột của nó như một vectơ m chiều.
Như vậy mỗi ma trận cấp mxn cho tương ứng với một hệ
vectơ dòng gồm m vectơ n chiều và một hệ vectơ cột gồm n
vectơ m chiều.
2. Các dạng ma trận:
a Ma trận vuông: là ma trận có số dịng và số cột bằng
nhau. Ma trận vng có n dịng, n cột gọi là ma trận vuông
cấp n

A=

 a11
a
 21
 ...


a n1

a12
a 22
...
an 2

... a1n 
... a 2 n 

... ... 

... a nn 

2


Trong ma trận vng A, đường chéo nối góc trên bên trái
với góc dưới bên phải gọi là đường chéo chính, đường chéo
cịn lại gọi là đường chéo phụ.
b Ma trận tam giác: là ma trận vng có các phần tử nằm
về một phía đường chéo chính bằng 0.

a11
0

 ...

0

a12
a 22
...
0

... a1n 
... a 2 n 

... ... 

... a nn 

(aij = 0 khi i > j)

 a11
a
 21
 ...

 a n1

0
a 22
...
an 2

... 0 
... 0 


... ...  (aij=0

... a nn 

khi

ic Ma trận đường chéo, ma trận vô hướng, ma trận đơn
vị:
+ Ma trận đường chéo là ma trận vng có các phần tử nằm
ngồi đường chéo chính bằng 0
a11
0

 ...

0

0
a 22
...
0

... 0 
... 0 

... ... 

... a nn 

3

(aij = 0 khi i ≠ j)


+ Đặc biệt khi a11 = a22 = … = ann, ma trận đường chéo được
gọi là ma trận vô hướng.
+ Ma trận vơ hướng có aii = 1, i = 1, 2, …, n gọi là ma trận
đơn vị.

E=

 1 0 ... 0 
0 1 ... 0 


 ... ... ... ...


 0 0 ... 1 

4. Ma trận dịng và ma trận cột:
Ma trận chỉ có một dịng duy nhất ( ma trận cấp 1xn)
được gọi là ma trận dịng. Tương tự ma trận chỉ có một cột
duy nhất được gọi ma trận cột.

[ a11

a12

 a11 
a 
 12 
 . 
 . 
 
 . 
a1n 
 

... a1n ]

II. Các phép tốn tuyến tính đối với ma trận:
1.Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với số
Cho 2 ma trận cùng cấp A = [a ] mxn ; B = [b ] mxn
ij

4

ij


Định nghĩa: +Tổng 2 ma trận A, B là ma trận ký hiệu A+B
được xác định:
A+B = [a

ij

+ bij ] mxn

+ Tích của ma trận A với số k là ma trận cấp mxn, ký
hiệu kA được xác định:
kA = [ka ] mxn
ij

2. Các tính chất cơ bản của phép tốn tuyến tính:
Định lý: Cho A, B, C là các ma trận cấp mxn, k,l là các số
thực. Khi đó:
(A+B)+C = A+(B+C)

A+B = B+A

A+0 = 0+A

A +(-A) = 0

1A = A

k(A+B) = kA+kB

(k+l)A = kA+lA

(kl)A = k(lA)

3. Phép trừ ma trận:
Hiệu 2 ma trận cùng cấp A, B được xác định thông qua
phép cộng như sau
5

A – B = A + (-B)
Ta chứng minh được : (A-B)+B=A
k(A-B)=kA-kB
(k-l)A=kA-lA
IV. Các phép biến đổi ma trận:
1. Các phép biến đổi sơ cấp: là các phép biến đổi sau
đây
(1) Đổi chỗ 2 dòng (cột)
(2) Nhân 1 dòng (cột) với một số khác 0
(3) Cộng vào 1 dịng (cột) tích của dịng (cột)
khác với số k bất

kì.

2. Phép chuyển vị ma trận:
Cho ma trận A cấp mxn, ma trận chuyển vị của A, ký
hiệu A’ có cấp nxm được xác định bởi:

6


A’ = [a ] nxm với i=1, 2, …,n; j = 1, 2,…,m.
ji

Như vậy ma trận chuyển vị của A là ma trận nhận được
từ A bằng cách
Chuyển dòng thành cột, cột thành dịng.
Ví dụ:
§2: ĐỊNH THỨC
1.Định thức:

Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận
A gọi là định thức cấp n, ký hiệu │A│ hay detA.

DetA =

a11
a 21
...
a n1

a12
a 22
...
an 2

... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn

Và được tính như sau:
• Định thức cấp 2: (n = 2):
det A =

a11
a 21

a12
a 22

= a11a22-a21a12

7

(1)


• Định thức cấp 3 ( n=3 )
det A =

a11
a 21
a 31

a12
a 22
a 32

a13
a 23
a 33

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21) – (a31a22a13 + a21a12a33 +
a11a23a32)

( dấu +)

(2)

(dấu -)

Vi du:
Định nghĩa: Phần bù của phần tử aij : ký hiệu Mij : là định
thức nhận được từ định thức D bằng cách bỏ đi dòng i và
cột j.
Ký hiệu Aij = (-1)i+jMij: gọi là phần bù đại số của phần
tử aij
8


Ví dụ:
Tổng qt ta có cơng thức tính định thức cấp n:
* Khai triển định thức theo dòng i:
n

det A = ∑ ai j Ai j = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain
j =1

(3)

* Khai triển định thức theo cột j :
n

det A = ∑ ai j Ai j = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + ... + a nj Anj
i =1

(4)

Ví dụ:
2) Các tính chất của định thức:

a.

A = A, ( A, là

ma trận chuyển vị của A)

Từ tính chất này suy ra tất cả các tính chất đúng với
các dịng đều đúng với các cột. Do đó các tính chất tiếp
theo ta chỉ phát biểu với dịng nhưng nó cũng đúng với cột.
b.Nếu tất cả các phần tử của một dịng nào đó bằng 0 thì
định thức bằng 0.

9


c.Nếu trong định thức ta đổi chỗ 2 dòng và giữ ngun các
dịng cịn lại thì định thức đổi dấu.
d.Định thức bằng 0 nếu nó có 2 dịng bằng nhau.
e.Nếu nhân một dịng nào đó của định thức với số k thì
định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân thêm với
k.
f.Định thức bằng 0 nếu nó có 2 dịng tỷ lệ.
g.Nếu định thức của ma trận A có dạng
a11
...
A = bi1 + ci1
...
a n1

a12

...
bi 2 + ci 2
...
an 2

...
a1n
...
...
... bin + cin
...
...
...
a nn

thì ta có thể tách detA thành tổng 2 định thức
a11
...
A = bi1
...
a n1

a12
...
bi 2
...
an 2

... a1n
... ...

... bin
... ...
... a nn

a11
...
+ ci1
...
a n1

a12
...
ci 2
...
an 2

... a1n
... ...
... cin
... ...
... a nn

h.Nếu cộng vào 1 dòng của định thức tích 1 dịng khác với
số k bất kỳ thì định thức khơng đổi.
10


Ví dụ : Tính định thức
2
1

1
1
1

1
3
1
1
1

1
1
4
1
1

d 2 →d 2 + 2 d1

=

d 2 →d 2 − 3d1

=

1
1
1
5
1

1 d1 →d1 +( −2 ) d5
d 2 →d 2 + ( −1) d 5
1 d 3 →d 3 − d 5
d 4 →d 4 − d 5
1
=
1
6

0 − 1 − 1 − 1 − 11
− 1 − 1 − 1 − 11
0 2
0
0 −5
2
0
0 −5
0 0
3
0 −5 =
0
3
0 −5
0 0
0
4 −5
0
0
4 −5
1 1

1
1
6

− 1 − 1 − 1 − 11
− 2 − 2 − 27 d 1→d1 +d 2 1 − 2 − 32
0 − 2 − 2 − 27
=− 3
0
−5 = 3 0
−5
0
3
0
−5
0
4
−5
0 4
−5
0
0
4
−5
1 − 2 − 32
0 6
91 = −[ 6( −5) − 4.91] = 394
0 4
−5

Nhận xét : Để tính một định thức cấp n ta có thể biến đổi
sao cho một dịng hoặc một cột nào đó chỉ cịn 1 phần tử
khác 0, sau đó khai triển theo dịng hoặc cột đó.Bằng cách
như vậy ta có thể tính được định thức cấp n thơng qua một
định thức cấp n-1.
3.Tính định thức bằng cách biến đổi về dạng tam giác:
Xét định thức của ma trận dạng tam giác

11


A=

a 11
0

a 12
a 22

... a 1n
... a 2n

...
0

...
0

...
...

...
a nn

(a i j = 0 khi i < j )

detA = a11a22…ann
Ví dụ1:

NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN
NGHỊCH ĐẢO
I. Phép nhân ma trận với ma trận:
1. Định nghĩa phép nhân ma trận với ma trận:
Cho ma trận A cấp mxn, ma trận B cấp nxp. Khi đó tích
của A và B là một ma trận, ký hiệu AB có cấp mxp xác
định bởi:

[ ] với cij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj (i =1, 2, …, m; j =

AB = ci j

mxp

1, 2, …, p)
Như vậy:
. Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số
dòng của B.
12

. Phần tử cij bằng tổng các tích tương ứng của các phần
tử nằm trên dòng i của A và cột j của B.
Ví dụ :
Chú ý: Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn.
2. Các tính chất cơ bản của phép nhân:
a. Cho ma trận A cấp mxn, B cấp nxp, C cấp pxq. Khi
đó:
A(BC)=(AB)C
b. Cho ma trận A cấp mxn; B, C cấp nxp; D cấp pxq. Khi
đó:
A(B+C)=AB+AC; (B+C)D=BD+CD
c. Cho ma trận A cấp mxn; B cấp nxp. Khi đó
(kA)B = A(kB)=k(AB)
d.Với mọi ma trận A cấp mxn; B cấp nxp ta có
(AB)’ = B’A’
e.Cho ma trận B, A cấp mxn; E ma trận đơn vị cấp n.
Khi đó:
AE = A; EB = B
Đặc biệt, trong tập hợp các ma trận vng cùng cấp ta
ln có
13


AE = EA = A
g. Định thức của tích các ma trận vng cùng cấp bằng
tích các định thức của chúng.
│AB│=│A│. │B│
Chú ý: + Tính chất g. có thể mở rộng cho tích của một số
hữu hạn các ma trận vuông cùng cấp.
+ A là ma trận vuông cấp n ta có thể sử dụng ký

hiệu
An = A.A…A (n lần) thì │An│=│A│n
III. Ma trận nghịch đảo:
1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo:
Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận
vuông cùng cấp B sao cho AB=BA=En thì B được gọi là
ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1. Khi đó
ta nói A là ma trận khả nghịch.
Như vậy:

AA-1 = A-1A

Ví dụ:
2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo:
Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của A
là

14


 A11
A
A* =  12
 ...

 A1n

A21
A22
...

A2 n

...
...
...
...

A n1 
An 2 

... 

Ann 

Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả
nghịch là detA ≠ 0. Khi đó A-1 được tính theo cơng thức.
A −1 =

1
A*
det A

Ví dụ:
3. Các tính chất của ma trận nghịch đảo:
a.Nếu ma trận vng A khả nghịch thì A-1 là duy nhất.
b.Nếu ma trận vng A khả nghịch thì
(A-1)-1 = A: │A-1│=│A│-1
c. A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch thì
(AB)-1 = B-1.A-1
4. Ứng dụng ma trận nghịch đảo:

Cho

[ ]

A = ai j

mxn

[ ] [c ] . Xét các phương trình ma trận

; B = bi j

nxp

i j qxn

AX = B
YA = C
Nếu detA

≠

(3)
(4)

0 thì các phương trình trên có nghiệm duy

nhất
X = A-1B; Y = CA-1
Ví dụ : Giải phương trình

15


1 2
 1 − 3
3 4 X = 10 2 




 − 2 1   1 − 3  8
1 
⇒ A−1 B =  3
= 7
 2 − 2  10 2   − 2




8 
11
− 
2


5. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi ma trận:
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vng A (cấp
n) ta viết ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào ma trận A
về bên phải.
C = [ A E]

Nếu A khả nghịch thì bằng các phép biến đổi sơ cấp
đối với hệ vectơ dòng ta biến đổi được C về dạng.
C = [ E B]

Khi đó A-1 = B
Ví dụ : Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1 − 2
1 0
- 1 1
0
1 

A=
 2 −1 1
1 


 0 1 −1 1 

Ta lập ma trận:
1 −2
− 1 0
− 1 1
0
1
C=
 2 −1 1
1


1 −1 1
0

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
1 −2 1
1 0

0 1
0
1 −1 1
→
0
0 − 1 − 1 5 − 2



1
0
0 1 − 1 1

16

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0

0

1


0 1 −2 1
0
1 1 −1 1
1
0 0
4 −1 1

0 − 2 2 −1 −1

0
0
1
0


1

0
→
0


0


1
2
3
1 1 0
4
1
0 1 0
4
1
0 0 1 −
4



0 
1


0 
0
→
1
0
− 

2


0 
0



0 1 0

1
2
5
4
3
4
1

4

1
2
1
4
1
4
1
4

1
1
 4 −4
1
1

2
⇒ A−1 =  2
1
3

 4
4
−1 1
 4
4


0 1 −2

1 1 −1

1
0
0

0
 → 0
0


0
1



1
0
→
0

0

1
4
0
1
4
1
4

0 1
0 0

1
4
1
1 0 0
2
1
0 1 0
4
1
0 0 1 −
4
0 0 0

1 
2 
1 

2 
1
− 
2

0 


17

1
1
1
−1
2
1
1 −
4

0
1
1
2
1
4

1
4
1
2
3
4
1
4

−

0
0

0
1
4

1
4
0
1
4
1
4

0 
0 
− 1

2 
0 


1 
2 
1 

2 
1
− 
2

0 




§4: HẠNG CỦA MA TRẬN
I. Khái niệm hạng của ma trận:
Ta ký hiệu Adi và Acj để chỉ dòng thứ i và cột thứ j của
ma trận A.
Adi = (ai1, ai2, …, ain); i=1,2,…,m

Acj =

 a1 j 
a 
 2j
 . 
 . , ( j = 1, n )
 
 . 
 a mj 
 

Ma trận A cho tương ứng với 1 hệ vectơ dòng gồm m
vectơ n chiều: Ad1 ,Ad2 , …, Adm và một hệ vectơ cột gồm n
vectơ m chiều: Ac1, Ac2, …, Acn.
Định nghĩa: Hạng của một ma trận là hạng của hệ vectơ
cột của nó.
Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A).
II. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con:
1. Khái niệm định thức con của ma trận:

18


Trong ma trận A, cấp mxn ta chọn s dòng đầu bất kỳ (
s ≤ m, s ≤ n ),

xoá đi tất cả các dòng và các cột còn lại (nếu có)

ta được ma trận vng cấp s. Định thức của ma trận vng
đó được gọi là định thức con cấp s của ma trận A.
Định thức con cấp s tạo thành từ các dịng có chỉ số i1 <
i2 < … < is và các cột j1 < j2 < … < js được ký hiệu là
j j ... j
D 1 2 s
i i ...is
12

Ví dụ :

2 − 5 3
1
 4 − 1 5 6
A=


9 7
− 3 0



1
2 −5
1 2
1 −5
5 6
13
34
123
D =
; D12 =
; D23 =
; D123 = 4 − 1 5
4 −1
4 5
9 7
−3 0
9
12
12

2. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con:
Định lý: Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của các định
thức con khác 0 của nó.
Chú ý: Nếu

j j ... j
D 1 2 r
i i ...ir
12

là định thức con khác 0 cấp cao nhất

của A thì Acj1, Acj2, …, Acjr là một cơ sở của hệ vectơ cột
của A.
Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma
trận.
19


Hệ quả 2: Hạng của một ma trận bằng hạng của hệ vectơ
dịng của nó.
Hệ quả 3: Định thức bằng 0 khi và chỉ khi hệ vectơ dòng
( cột ) của nó phụ thuộc tuyến.
3. Định thức con cơ sở của ma trận:
Định nghĩa: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của ma
trận A được gọi là định thức con cơ sở của ma trận đó.
III. Hạng của tổng và tích các ma trận:
Định lý 1: A, B là 2 ma trận cùng cấp mxn ta có:
r(A+B)

≤

r(A) + r(B)

Định lý 2: A, B là 2 ma trận bất kỳ sao cho AB có nghĩa ta
có:
r(AB)

≤

r(A)và r(AB)

≤

r(B)

IV. Các phương pháp tìm hạng của ma trận:
1. Phương pháp tính định thức bao quanh:
Cho D là một định thức con cấp r của ma trận A. Ta gọi
định thức con

D (cấp

bao quanh D nếu

D

r+1) của ma trận A là định thức con

được thành lập bàng cách bổ sung thêm

1 dòng và 1 cột của A ngồi r dịng và r cột của D.

20


• Mệnh đề: Nếu ma trận A có một định thức con cấp D
≠0

cấp r mà mọi định thức con cấp r+1 bao quanh nó

đều bằng 0 thì hạng a bằng r.
• Phương pháp tìm hạng ma trận:
+ Xuất phát từ một định thức con D ≠ 0 cấp s, xét các
định thức con cấp s+1 bao quanh nó (nếu có). Nếu tất
cả các định thức con cấp s+1 bao quanh đều bằng 0
hoặc ma trận khơng có ma trận con cấp s+1 thì hạng
của A bằng s.
+ Nếu trong số các định thức con cấp s+1 bao quanh D
có định thức con

D ≠0

thì ta lại chuyển sang xet các

định thức con cấp s+2 bao quanh D (nếu có).
Lặp lại quá trình này sau một số hưu hạn bước ta xác
định được hạng của A.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận
3
0
A=
0

3
3 2
D =
=3≠0
0 1
12

12

2
1
1
2

1 0 − 1
2 −2 1 

3 4 − 1

0 −6 1 
123
123

D

3 2 1
= 0 1 2 =3≠0
0 1 3

21


1234
D1234

3
0

=
0

3

2
1
1
2

1 0 
2 − 2
 = 0;
3 4 

0 − 6

1235
D1234

3
0
=
0
3

2
1
1
2

1 −1
2 1
=0
3 −1
0 1

Vậy r(A) = 3.
2. Phương pháp biến đổi:
Xét ma trận dạng:
b11
0

 ...

B=0
0

 ...
0


b12
b22
...
0
0
...
0

... b1s
... b2 s
... ...
... bss
... ...
... ...
... ...

... b1n 
... b2 n 

... , , , 

... b sn 
... 0 

... ... 
... 0 


(4.1)

( s ≤ n, bii ≠ 0, i = 1, s )

Do

12...
D12... ss = b11 b22 ...bss ≠ 0

mà các định thức con cấp s+1 bao

quanh nó đều bằng 0 . Vì vậy ta có thể sử dụng các phép
biến đổi sơ cấp để biến đổi một ma trận bất kỳ về dạng
(4.1). Khi đó ta có thể xác định được ngay hạng của nó.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận
3 2 5 7
1 4 2 − 9

A = 1 4 2 − 9

3
2 11 4
0 13 1 − 13


22

9
1
8
3
2

1
0

1

2
2




4
2 −9
1
0 − 10 − 1 34

→ 0
0
0
0

3
0
21
0
0 13
1 − 13

4
2 −9
1
0 − 10 − 1 34

→ 0
3
0 21

0

0
0
0
0
0
0
0


1
6
7
1
2
1
6
8
7
7

0
4
2 −9
1

0 − 10 − 1 34
1


1  → 0

3
0 21


2
3
0 21
0
0
2
0
0
0


0
1
1 2

0 − 1 − 10
1


3 → 0 0
3


1
0
0 0

0 0
1
0



1
6
8
1
7

1 −9
6 34
8 21
7 0
0 0

0
1

3

2
1

0
1

3


1
0


Suy ra r(A) = 4.
V.Khảo sát một hệ vectơ:
Để tìm hạng một hệ vectơ n chiều ta thực hiên như
sau:
+ Lập ma trận nhận hệ vectơ đó làm hệ vectơ dịng (hệ
vectơ cột)
+ Xác định hạng ma trận, suy ra hạng vectơ
+ Xác định hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính (thơng
qua viếc so sánh hạng với số vectơ)
+ Tìm cơ sở thơng qua định thức con cơ sở của ma trận.
Ví dụ: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ vectơ
{X1 = (2,1,0,4); X2 = (-4,-2,1,-7); X3 = (3,1,-1,4); X4 =
(1,-4,3,-4); X5 = (0,2,1,5)}.

23


Lập ma trận nhận hệ vectơ làm hệ vectơ đã cho làm
hệ vectơ cột
1
2 − 4 3
1 − 2 1 − 4
A=
0 1 − 1 3


4 − 7 4 − 4

0
1 − 2 1 − 4 2 

0 0
2
1
9 − 4
→

1
0 1 − 1 3
1 



5
0 12 − 3
0 1

1 − 2 1 − 4 2 
1 − 2 1 − 4 2 
0 1 − 1 3

0 1 − 1 3
1
1 
→


→
0 0
1
9 − 4
0 0
1
9 − 4




0
0
0 
0 0 − 1 − 9 4 
0 0

Suy ra r(A) = 3.
Để tìm một cơ sở của A ta chỉ cần chỉ cần lấy một định
thức con cơ cở của A. Chẳng hạn:
145
123

D

2 1 0
= 1 − 4 2 = −21 ≠ 0 ⇒ { X 1 , X 4 , X 5 }
0 3 1

là một cơ sở của hệ.

2 −4 0
= 1 − 2 2 = −4 ≠ 0 ⇒ { X 1 , X 2, X 5 }
0 1 1

là một cơ sở của hệ.

125
123

D

24


Chương 2
KHƠNG GIAN VECTƠ
§1: VECTƠ n CHIỀU VÀ KHƠNG GIAN VECTƠ
1.Khái niệm vectơ n chiều:
Định nghĩa: Một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn)
được gọi là một vectơ n chiều. Ký hiệu:

X= (x1, x2, …, xn) hoặc X =

 x1 
 
 x2 
 . 
 
 . 

 . 
x 
 n

Số thực xi ( i = 1, 2, …, n) gọi là toạ độ hay thành phần thứ
i của vectơ X.
Hai vectơ n chiều X, Y gọi là bằng nhau nếu tất cả các
toạ độ tương ứng của chúng bằng nhau, ký hiệu X = Y
2. Các phép toán vectơ:
a. Phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số:
Với mọi vectơ X = (x1, x2,…, xn); Y = (y1, y2, …, yn) và
số thực k ta định nghĩa phép cộng vectơ và phép nhân
vectơ với số như sau:
25