Cơ sở lí thuyết mẫu XSTK

Chương 4
Cơ sở lí thuyết mẫu

Nội dung chính:
1. Tổng thể
2. Mẫu ngẫu nhiên
3. Các đặc trưng mẫu


§1 Tổng thể


1. Định nghĩa





Dấu hiệu nghiên cứ thay đổi qua các phần tử của tổng
thể, được coi như một biến ngẫu nhiên  nào đó.

Tập
hợp toàn bộ các phần tử đồng nhất theo
một
dấu
hiệu nghiên cứu định tính hay định
lượng
nào
đó được gọi là một tổng thể (kí hiệu χ - chi).

Ví dụ 1:

Tổng thể
Dấu hiệu
chung cần
nghiên cứu
Phần
tử của
tập được
nghiên cứu
Dấu

hiệu nghiên
cứu trên từng
phần tử
Kho chứa

gạo
Trọng lượng
được đóng bao
Mỗi
bao gạo
trong kho
Trọng

lượng của
bao gạo
Toàn
bộ sản
phẩm trong

một lô hàng

Chất

lượng sản
phẩm
Sản phẩm
được lấy từ lô
hàng
Sản

phẩm có đạt
tiêu chuẩn
không
Tất

cả các gia
đình sống
trên địa bàn
Hà Nội

Số
nhân khẩu
trong một hộ
gia đình
Mỗi
gia đình
cư trú tại Hà
Nội
Số nhân khẩu

trong một gia
đình
Nhận xét: Việc nghiên cứu tổng thể thực chất là nghiên
cứu biến ngẫu nhiên (tìm luật phân phối xác suất hay
các tham số đặc trưng của ).
2. Các phương pháp mô tả tổng thể
a) Giả sử trong tổng thể dấu hiệu nghiên cứu định lượng χ
nhận các giá trị 





với các tần số tương ứng






(

là số phần tử trong tổng thể có chung
giá trị 

, ).
Khi đó tổng thể có thể được mô tả bằng bảng phân
phối tần số như sau:

Giá trị của χ














Tần số














b) Tổng thể còn có thể mô tả bằng bảng phân phối tần
suất như sau:



























Giá trị của χ










Tần suất













c) Có thể mô tả tổng thể qua:














và



















3. Các tham số đặc trưng của tổng thể
a)Trung bình tổng thể
Trung bình tổng thể, kí hiệu là , được xác định như
sau:










hoặc










  

là tần số của




b) Phương sai tổng thể
Phương sai tổng thể, kí hiệu là 

, được xác định như
sau:








 




hoặc công thức tương đương sau:














 



c) Tần suất của tổng thể
Giả sử trong tổng thể kích thước  có  phần tử
mang dấu hiệu nghiên cứu. Khi đó, tần suất của
tổng thể, kí hiệu là , được xác định như sau:






Ví dụ 2: Tổng thể nghiên cứu là một xí nghiệp có 
công nhân với dấu hiệu nghiên cứu là năng suất lao động
(sản phẩm/đơn vị thời gian). Số liệu của tổng thể theo dấu
hiệu nghiên cứu được cho trong bảng sau:



Tính m, 

, và tỉ lệ công nhân có năng suất lao động trên
60 sản phẩm/đơn vị thời gian.

Đáp số:
• Trung bình tổng thể là:














• Phương sai tổng thể là:






















• Tỉ lệ công nhân có năng suất lao động trên 60 sản
phẩm/đơn vị thời gian:




§2 Mẫu ngẫu nhiên


Thực tế do nhiều nguyên nhân, chẳng hạn số
phần tử của tổng thể rất lớn nhưng khi chi phí và
thời gian điều tra các phần tử của tổng thể có hạn,
không thể biết hết các phần tử của tổng thể do
đó việc điều tra toàn bộ các phần tử của tổng thể
để tìm luật phân phối xác suất của nó là không thể.

Trong các tình huống như vậy thay vì nghiên cứu
toàn bộ tổng thể người ta sử dụng phương pháp
mẫu.
1. Phương pháp mẫu
Là phương pháp chọn ra n phần tử đại diện cho tổng
thể (hay còn gọi là chọn ra một mẫu kích thước n). Sử

dụng các công cụ của thống kê nghiên cứu mẫu này và
dựa vào đó cho kết luận về tổng thể.


2. Các phương pháp chọn mẫu
Tùy thuộc và đặc điểm của từng tổng thể nghiên
cứu mà mẫu có thể được chọn theo nhiều phương
pháp khác nhau để đảm bảo yêu cầu về tính đại
diện của mẫu.


a) Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản
Là phương pháp chọn mẫu thỏa mãn điều kiện:
mỗi lần chỉ được chọn một phần tử vào mẫu, mỗi
phần tử của tổng thể đều có thể được chọn vào
mẫu với cùng khả năng như nhau.
Việc chọn mẫu kiểu này có thể tiến hành theo
cách bốc thăm hay dùng bảng số.


b) Chọn mẫu hệ thống
Là phương pháp chọn mẫu trong đó chỉ có phần tử
đầu tiên được chọn ngẫu nhiên, sau đó dựa trên danh
sách đã được đánh số của tổng thể để chọn ra các
phần tử tiếp theo vào mẫu theo một thủ tục nào đó.

c) Chọn mẫu phân tổ
Là phương pháp chọn mẫu trong đó người ta phân
chia tổng thể ra thành các tổ có độ thuần nhất cao rồi
từ đó chọn ra các phần tử đại diện cho từng tổ.

d) Chọn mẫu chùm
Là phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên từ các tập
con của đám đông, được gọi là các chùm. Mỗi phần
tử của đám đông chỉ được chọn vào một chùm, mỗi
chùm cố gắng sao cho có độ phân tán cao như đám
đông và đồng đều về quy mô.

e) Chọn mẫu nhiều cấp
Là phương pháp chọn mẫu trong đó người ta phân
chia tổng thể ra thành các tổ có độ thuần nhất cao rồi
từ đó chọn ra các phần tử đại diện cho từng tổ.









3. Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên
Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên kích thước  là tập hợp
của  biến ngẫu nhiên độc lập 





được
thành lập từ biến ngẫu nhiên  trong tổng thể nghiên

cứu và có cùng quy luật phân phối xác suất với X.
Kí hiệu là:








Giả sử 

nhận giá trị 

, 

nhận giá trị 

, ,


nhận giá trị 

.
Tập hợp các giá trị 






tạo thành một giá
trị của mẫu ngẫu nhiên, hay còn gọi là một mẫu cụ
thể, kí hiệu:







Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung một con
xúc xắc, X là biến ngẫu nhiên với bảng phân phối xác
suất như sau:



Tung con xúc xắc 3 lần và gọi 

 là số chấm
xuất hiện ở lần tung thứ  thì ta có 3 biến ngẫu nhiên độc
lập tạo nên một mẫu ngẫu nhiên kích thước 







Ta có các mẫu cụ thể, chẳng hạn:  


X 1 2 3 4 5 6
P


















4. Các phương pháp mô tả số liệu mẫu
Giả sử tử có mẫu cụ thể 





. Các
bảng mô tả số liệu sau đây được gọi là bảng phân
phối thực nghiệm

Bảng phân phối tần số thực nghiệm



với

 

  


Bảng phân phối tần suất thực nghiệm










 

  










































Chú ý: Từ mẫu cụ thể đặt


 



















Ta có 



  (theo luật số lớn của Becnulli).
Như vậy với  đủ lớn: 

.


Ví dụ 2: Để điều tra thời gian đợi phục vụ của
khách hàng tại một ngân hàng (đơn vị: phút) người
ta chọn ngẫu nhiên 10 người, kết quả thu được như
sau: 9, 8, 10, 12, 6, 8, 11, 10, 12, 8.
Lập các bảng phân phối thực nghiệm thời gian đợi
của khách hàng.



Khi kích thước mẫu lớn, các giá trị của mẫu khá gần
nhau người ta chia các giá trị mẫu thành các lớp và
lập bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp.
Ví dụ 3: Phân phối thực nghiệm tỉ lệ (%) lãi của 49
cửa hàng

Lớp Tần số

Tần suất
0 – 10 13 0,265
10 – 20

16 0,327
20 – 30

13 0,265
30 – 40

2 0,041
40 – 50

3 0,061
50 – 60

2 0,041
Tổng 49 1,00