biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất XSTK

Nội dung chính:
1. Khái niệm biến ngẫu nhiên.
2. Quy luật phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên: Bảng phân phối xác suất,
hàm phân phối và hàm mật độ xác suất.
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu
nhiên: Kỳ vọng, phương sai, độ lệch
chuẩn, trung vị, mốt,
Chương 2
Biến ngẫu nhiên và
quy luật phân phối xác suất
§1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

1. Khái niệm
• Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với
xác suất tương ứng nào đấy gọi là biến ngẫu
nhiên.

• Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các chữ
X, Y, Z, Các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận
thường viết bằng chữ nhỏ: x, y, z,


Ví dụ 1: Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ trong kho để
kiểm tra.
Gọi X = “số phế phẩm lấy được”
 là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể
nhận là 

Ví dụ 2: Một xạ thủ bắn từng viên đạn vào bia cho
đến khi trúng thì dừng.

Gọi Y = “số viên đạn phải dùng”
 là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể
nhận là 
Ví dụ 3: Một người bắn một viên đạn vào bia.
Gọi T = “khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn
đến tâm bia”
T là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận
là một số thực không âm.

Ví dụ 4: Gọi U = “thời gian chờ xe buýt”
U là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận
là một số thực nằm trong khoảng [0; 15] (phút).
2. Phân loại biến ngẫu nhiên
• Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá
trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn
hoặc đếm được.
Ví dụ 5: Các biến ngẫu nhiên X, Y ở trên là các biến
ngẫu nhiên rời rạc.

• Biến ngẫu nhiên  được gọi là biến ngẫu nhiên
liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy
một hay một số khoảng của trục số, thậm chí lấp
đầy toàn bộ trục số và  .
Ví dụ 6: Các biến ngẫu nhiên T, U ở trên là các biến
ngẫu nhiên liên tục.


§2 Quy luật phân phối xác suất
của biến ngẫu nhiên
1. Định nghĩa

Có ba phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên gồm: Bảng phân phối xác suất,
hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất.
Quy luật phân phối xác suất là một cách biễu
diễn
quan
hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên
với
các
xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó.
2. Bảng phân phối xác suất
Giả sử biễn ngẫu nhiên rời rạc  nhận các giá trị






 và 




Bảng phân phối xác suất của biễn ngẫu nhiên  có
dạng sau:

Nhận xét:








 







 











 












Ví dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để kiểm tra.
Gọi X là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối
xác suất của X. Tính .


Ví dụ 2: Một người bắn súng vào bia với xác suất bắn
trúng là 0,7. Xạ thủ này bắn cho đến khi trúng thì dừng.
Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn phải dùng.
3. Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa

Hàm  được gọi là hàm mật độ xác suất
của
biến
ngẫu nhiên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:
i)   
ii)





iii)
 





Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên liên tục  có hàm mật độ
xác suất như sau:
 








Hãy xác định hằng số  và tính 

4. Hàm phân phối xác suất
a) Định nghĩa
Ta gọi hàm


là hàm phân phối xác suất của biễn ngẫu nhiên .


Nhận xét:
Nếu  là biến ngẫu nhiên rời rạc có







 thì
 







 
Ví dụ 4: Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên  có bảng phân phối xác suất như sau:

Đáp số:

 









1 3 4


0,3

0,5

0,2
b) Tính chất của hàm phân phối xác suất
i) Hàm phân phối xác định với 
 
iii) Hàm phân phối là hàm không giảm.
Tức là, nếu 




thì 




iv)    
v) 



 
vi) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục  có hàm mật
độ xác suất  thì  










vii) 

 
viii) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì  là
hàm số liên tục.

Ví dụ 5: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục  có dạng
 








a) Tìm hệ số .
b) Tìm hàm mật độ xác suất .
c) Tìm .


Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên liên tục  có hàm mật độ
 










Tìm hàm phân phối xác suất 

§3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên






Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên , kí hiệu , được xác
định như sau:






1. Kỳ vọng (expectation)
a) Định nghĩa
Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên  có bảng phân phối xác
suất như sau



Tìm ?



-1 0 1 2


0,2

0,2

0,5

0,1

Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên  có hàm mật độ xác suất
 





 với
với

Tìm ?
b) Tính chất của kỳ vọng
+)   là hằng số);
+)   là hằng số);
+)   
+) Nếu  độc lập thì  
+)  







, nếu 




 





( là hàm mật độ xác suất của ).

c) Ý nghĩa của kì vọng
Có thể nói rằng kỳ vọng là giá trị trung bình theo
xác suất của biến ngẫu nhiên.



Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, nếu xem các giá trị
mà biến ngẫu nhiên nhận như là các chất điểm của
một hệ cơ học, mỗi chất điểm có một khối lượng bằng
xác suất mà biến ngẫu nhiên nhận giá trị đó, thì kỳ
vọng của biến ngẫu nhiên là trọng tâm của hệ. Với
biến ngẫu nhiên liên tục ta cũng có ý nghĩa tương tự.
2. Phương sai (variance)
a)Định nghĩa
Phương sai của biến ngẫu nhiên , kí hiệu , được
xác định như sau:
  



Ta có:

Nhận xét: Có thể tính phương sai của biến ngẫu nhiên X
theo công thức sau

trong đó:



Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu 

, được gọi là
độ lệch chuẩn của 

 

 




 
Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên  có bảng phân phối xác
suất như sau



Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của .

 -1 0 1 2
 0,2

0,1

0,4

0,3