Ứng dụng của đạo hàm khi giải phương trình và bất phương trình toán SKKN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
Mã số : ………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA

Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý Giáo dục: 
Phương pháp dạy bộ môn 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác ……… 
Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học : 2011 – 2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
Mã số : ………………………
SẢN PHẨM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: 
Phương pháp dạy bộ môn 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác ……… 
Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học : 2011 – 2012
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :
1. Họ và tên: VŨ NGỌC HÒA
2. Ngày tháng năm sinh: Ngày 30 tháng 7 năm 1967
3. Nam, Nữ: Nam
4. Địa chỉ : P2 KP6A, tổ 14, phường Tam Hiệp , TP Biên Hòa
5. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0907185797
6. Fax : Email:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên
9. II -TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
− Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: ĐHSP
− Năm nhận bằng : 1995
− Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
− Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán
− Số năm có kinh nghiệm: 26
− Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1.Sai lầm của học sinh khi giải toán
2.Dùng lượng giác để giải bất đẳng thức
3.Môt số kinh nghiệm dạy hình học không gian
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Biên Hòa, ngày 20 tháng 5 năm 2012
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học : 2011 – 2012
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Họ và tên tác giả: VŨ NGỌC HÒA Đơn vị (tổ) : Toán
Lĩnh vực :
Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn 
Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác …………………………. 
1. Tính mới
− Có giải pháp hoàn toàn mới 
− Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả
− Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả 
− Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
− Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
− Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3.
4. Khả năng áp dụng :
− Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
− Đưa ra các giải pháp kiến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
− Đã được áp dụng thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
Trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi ta thường gặp các bà toán giải phương
trinh, bất phương trinh đôi khi có chứa cả tham số. Đối với nhiều học sinh công việc này không hề đơn
giản !
Đề tài : “ Ứng dụng của đạo hàm khi giải phương trình và bất phương trình” giúp học sinh giải
quyết vấn đề trên
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Giúp học sinh giải quyết các bài toán phương trình bằng cách ứng dụng giải tích giải quyết các bài
toán đại số
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình, bất phương trình, giới hạn, đạo hàm, tính đơn điệu của hàm
số
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích
thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần:đạo hàm, giới hạn, sự liên tục ,phương trình,
bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất
phương trình mũ và logarit.
IV. Kế hoạch nghiên cứu
Từ đầu năm học 2011 đến hết năm học 2012, nhất là đầu năm học lớp 12 khi học sinh học về đạo
hàm, tính đơn điệu
V. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp.
VI. Bố cục của đề tài
Gôm hai phần chính:
• Phương trình, bất phương trình không chứa tham số.
• Phương trình, bất phương trình chứa tham số.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số
y f x( )=
có đạo hàm trên D.
• Nếu
( )
f x x D' 0, "³ Î
thì hàm số
f x( )
đồng biến (tăng) trên D.
• Nếu
( )
f x x D' 0, "£ Î
thì hàm số
f x( )
nghịch biến (giảm) trên D.
(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)
• Nếu hàm
( )
f x
tăng (hoặc giảm) trên khoảng
( )
;a b
thì phương trình
( ) ( )
f x k k ¡= Î
có
không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
• Nếu hàm
( )
f x

tăng ( giảm) trên khoảng
( )
;a b
thì
( )
, ;u v a b
∀ ∈
ta có.

( )
f u f v u v( ) = =Û
• Nếu hàm
( )
f x
tăng trên khoảng (a;b) thì
( )
, ;u v a b
∀ ∈
ta có
( )
f u f v u v( ) < <Û
• Nếu hàm
( )f x
giảm trên khoảng (a;b) thì
( )
, ;u v a b
∀ ∈
ta có
( )
f u f v u v( ) < >Û

• Nếu hàm
( )
f x
tăng và
( )
g x
là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng
( )
;a b
thì phương trình
( ) ( )
f x g x=
có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng
( )
;a b
• Nếu hàm số
( )
f x
liên tục trên
a b;
é ù
ê ú
ë û
và
( ) ( )
f a f b. 0<
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
x a b
0

;Î

để
( )
f x
0
0=
.
Nu hm s
( )
f x
n iu v liờn tc trờn
a b;
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
v
( ) ( )
f a f b. 0<
thỡ tn ti duy nht mt
im
( )
x a b
0
;ẻ

( )
f x
0
0=

.
Nu
( )
f x
l hm s ng bin thỡ
n
y f x n N n( ), , 2= ẻ
ng bin ,
f x
1
( )

(vi
( )
f x 0)>

l nghch bin ,
( )
y f x= -
nghch bin
Tng cỏc hm ng bin trờn D l ng bin trờn D.
2. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh (khụng cha tham s)
T cỏc tớnh cht trờn ta cú 3 phng ỏn bin i nh sau:
Phng ỏn 1 :
Bin i phng trỡnh v dng:
( )
f x k=
, nhm mt nghim
Chng minh
( )f x

ng bin (hoc nghch bin) suy ra phng trỡnh cú nghim duy nht.
Phng ỏn 2 :
Bin i phng trỡnh v dng:
( )
( )f x g x
=
nhm mt nghim
Chng mimh
( )f x
ng bin cũn
( )g x
nghch bin hoc hm hng thỡ phng trỡnh cú nghim duy
nht.
Phng ỏn 3 :
Bin i phng trỡnh v dng
( )
( )f u g v
=
chng minh f n iu khi ú
u v
=
i vi bt phng trỡnh thỡ bin i v dng
( )
f u f v( ) <
, chng minh f n iu, kt lun.
MT S V D MINH HA
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
x x
2
4 1 4 1 1- + - =

(1)
Nhn xột:
Quan sỏt v trỏi ca phng trỡnh (1), ta thy khi
x
tng thỡ giỏ tr ca biu thc trong cn cng
tng . T ú suy ra v trỏi l hm ng bin ,v phi bng 1 l hm hng, õy l iu kin thớch hp
s dng tớnh n iu.
Gii
iu kin:
x
1
2

.
t
( )
f x x x
2
4 1 4 1= - + -
. Ta cú
( )
x
f x x
x
x
'
2
2 4 1
0, ;
2

4 1
4 1
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + > " + Ơẻ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
-
-
.
Do ú hm s
( )
f x x x
2
4 1 4 1= - + -
ng bin trờn
1
;
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
+ Ơ

ữ
ờ
ữ
ứ
ở
, nờn phng trỡnh
( )
f x 1=
nu
cú nghim thỡ ú l nghim duy nht. Hn na,
f
1
1
2
ổử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nờn
x
1
2
=

l nghim ca phng trỡnh ó
cho.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
x x x x5 7 16 14+ - + + + + =
Gii
iu kin:
x 5
. t
f x x x x x( ) 5 7 16= + - + + + +
Ta cú
( )
f x x
x x x x
1 1 1 1
( ) 0, 5;
2 2 5 2 7 2 16
Â
= + + + > " + Ơẻ
- + +
.
Do ú hm s
f x x x x x( ) 5 7 16= + - + + + +
ng bin trờn
)
5;
ộ
+ Ơ
ờ
ở
.

M
f (9) 14=
nờn
x 9=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 3: Gii phng trỡnh sau:
x x x
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0+ + + + + =
(1)
Gii
t
f x x x x
3 3 3
( ) 2 1 2 2 2 3= + + + + +
Ta cú:
Do ú hm s
( )
f x
ng
bin.
M
( )
x
f f f f x
3 3
3 1
1 2; 1 0; 1 2; lim ( )
2 2
Ơđ

ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = - + - - = - = + = Ơ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Vy
x 1= -
l nghim duy nht ca phng trỡnh ó cho.
Vớ d 4: Gii phng trỡnh :
x x x
3
3
5 1 2 1 4- + - + =
Gii
iu kin:
x
3
1
5

t
f x x x x
3

3
( ) 5 1 2 1= - + - +

Ta cú
( )
x
f x x
x x
2
3 2
3
15 2
1 0,
2 5 1 3 (2 1)
Â
= + + > "
- -
3
1
( ; )
5
+ Ơẻ

Suy ra hm s
f
ng bin trờn
3
1
;
5

ộ ử
ữ
ờ
ữ
+ Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
.
M
( )
f 1 4=

nờn
x 1=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 5 : Gii phng trỡnh :
x x x x
3 2
2 3 6 16 2 3 4+ + + = + -
(1)
Gii
iu kin:
x x x x x x
x
x x
3 2 2
2 3 6 16 0 ( 2)(2 8) 0

2 4
4 0 4 0
ỡ ỡ
ù ù
+ + + + - +
ù ù
ù ù
- Ê Ê
ớ ớ
ù ù
- -
ù ù
ù ù
ợ ợ
Khi ú, (1)
x x x x
3 2
2 3 6 16 4 2 3+ + + - - =
Xột hm s
( )
f x x x x x
3 2
2 3 6 16 4= + + + - -
trờn
2;4
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú

( )
x x
f x x
x
x x x
2
3 2
3( 1) 1
0, ( 2;4)
2 4
2 3 6 16
+ +
Â
= + > " -ẻ
-
+ + +
Do ú hm s
( )
f x x x x x
3 2
2 3 6 16 4= + + + - -
ng bin trờn
2;4
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
.
M
( )

f 1 2 3=
nờn
x 1=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 6: Gii phng trỡnh
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2+ - - + = - + - + +
Gii
iu kin:
x
1
2

Phng trỡnh c vit li
( ) ( )
x x x2 1 3 2 6 4- - + + + =
Phng trỡnh cú nghim thỡ
x x2 1 3 0 5- - > >
.
2
3
,1,
2
1
;0
)32(
2
)22(
2
)12(

2
)('
3
2
3
2
3
2
>
+
+
+
+
+
=
x
xxx
xf
Xột hm s
( ) ( ) ( )
f x g x h x=
vi
( ) ( )
g x x h x x x2 1 3; 2 6= - - = + + +
Ta cú
( ) ( )
g x x h x x
x x x
1 1 1
0, 5; 0, 5

2 1 2 2 2 6
 Â
= > " > = + > " >
- + +
.
Do ú hm s
( ) ( )
g x x h x x x2 1 3 ; 2 6= - - = + + +
dng v cựng ng bin trờn
( )
5;+ Ơ
.Suy ra
( ) ( ) ( )
f x g x h x=
ng bin trờn
( )
5;+ Ơ
.
M
( )
f 7 4=
nờn
x 7=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 7 : Gii phng trỡnh
x x x
5 3
1 3 4 0+ - - + =

Gii

iu kin:
x
1
3
Ê
Xột hm s
( )
f x x x x
5 3
1 3 4= + - - +
trờn
1
;
3
ổ ự
ỗ
ỳ
- Ơ
ỗ
ỗ
ỳ
ỗ
ố
ỷ
Ta cú
f x x x x
x
' 4 2
3 1
( ) 5 3 0,

3
2 1 3
= + + > " <
-
.
Do ú hm s
( )
f x x x x
5 3
1 3 4= + - - +
ng bin trờn
1
;
3
ổ ự
ỗ
ỳ
- Ơ
ỗ
ỗ
ỳ
ỗ
ố
ỷ
. M
( )
f 1 0- =

Vy
x 1= -

l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 8. Gii phng trỡnh
x x x x x
2 2
3 ( 2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0+ + + + + + + =

Gii
Phng trỡnh c vit li

( )
x x x x
2 2
(2 1)(2 (2 1) 3 3 (2 ( 3 ) 3)+ + + + = - + - +
(1)
Xột hm s
f t t t
2
( ) (2 3)= + +
trờn
Ă
. Ta cú
t
f t t t
t
Ă
2
' 2
2
( ) 2 3 0,
3

= + + + > " ẻ
+
.
Do ú hm s ng bin trờn
Ă
.
T (1)
( ) ( )
f x f x x x x
1
2 1 3 2 1 3
5
+ = - + = - = -
.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l
x
1
5
= -
.
Vớ d 9: Gii phng trỡnh
x x x
2 2
15 3 2 8+ = - + +
Gii
Nhn xột:
x x x Ă
2 2
15 8,+ > + " ẻ
nờn khi

x x
2
3 2 0
3
- ÊÊ
thỡ phng trỡnh vụ nghim.
Vit phng trỡnh v dng
x x x
2 2
15 8 3 2 0+ - + - + =
Xột hm s
( )
f x x x x
2 2
15 8 3 2= + - + - +
trờn
2
;
3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

.
Ta cú
f x x x
x x
'
2 2
1 1 2
( ) 3 0,
3
15 8
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= - - < " >
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ +
.
Do ú hm s
( )
f x x x x
2 2
15 8 3 2= + - + - +

nghch bin trờn
2
;
3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
M
( )
f 1 0=
nờn
x 1=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 10: Gii phng trỡnh :
( )
x x x
x
2
2
1
2 2 1

- -
- + = -
(1)
Gii
( ) ( )
x x x x x x
x x x x x
2 2
1 2 1 2
1 2 2 2 1 2 1 2 2
- - - -
- + = - + + - = + -
Xột hm s
( )
t
f t t2 .= +
Khi ú phng trỡnh (2) chớnh l phng trỡnh
( )
( )
f x f x x
2
1- = -
.
Ta cú
( )
t
f t t Ă1 2 ln 2 0,
Â
= + > " ẻ
nờn hm s

( )
t
f t t2= +
ng bin trờn
Ă
.
Do ú t
( )
( )
f x f x x x x x x
2 2
1 1 1- = - - = - =
.
Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l :
x 1=
.

Vớ d 11: Gii phng trỡnh :
x x
x x
x x
2
2
3
2
1
log 3 2
2 2 3
+ +
= - +

- +
.
Gii
t
( )
u x x v x x u v v u x x
2 2 2
1; 2 2 3 0; 0 3 2= + + = - + > > - = - +ị
.
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh
u
v u u u v v
v
3 3 3
log log log= - + = +
(1)
Xột hm s
( )
f t t t
3
log= +
ta cú
( )
f t t
t
1
1 0, 0
ln 3
Â
= + > " >

nờn hm s
( )
f t t t
3
log= +
ng
bin khi
t 0>
. Do ú t (1) ta cú
( ) ( )
x
f u f v u v v u x x
x
2
1
0 3 2 0
2
ộ
=
ờ
= = - = - + =
ờ
=
ờ
ở
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l
x x1; 2= =
.
Vớ d 12: Gii phng trỡnh:
( )

x x
7 3
log log 2= +
(1)
Gii
iu kin:
x 0>
t
t
t x x
7
log 7= =
Khi ú (1)
( )
t
t
t t t
t
3
1 7
log 2 7 3 2 7 1 2
3 3
ổ ử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
= + = + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ỗ
ố ứ
(2)
Xột hm s
( )
t
t
f t
1 7
2 .
3 3
ổ ử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
= +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ỗ
ố ứ
Hm s ny l tng ca hai hm n iu gim nờn l hm n
iu gim. Hn na
( )
f 2 1=
nờn (2)
( ) ( )
f t f t x2 2 49= = =
.
Vớ d 13: Gii phng trỡnh :
x x x x x x
3 2 3 2
3 3
2 2 3 1 3 1 2- + - + = + + +

(1)
Gii
Bin i (1)
x x x x x x
3 3 2 2
3 3
2 3 1 2 3 1 2 2- + + - + = + + +
(*)
Xột hm s
( )
f t t t
3
= +
. Ta cú
( ) { }
f t t
t
Ă
3
2
1
1 0, \ 0
3
Â
= + > " ẻ
.
Do đó hàm số đồng biến .
Từ (*)
( ) ( )
f x x f x

3 2
2 3 1 2- + = +Û
x x x x x x
3 2 3 2
2 3 1 2 2 3 1 0- + = + - - - =Û Û
( )
( )
x
x x x
x
2
1
2
2 1 1 0
1 5
2
é
ê
= -
ê
+ - - =Û Û
ê
ê
±
=
ê
ê
ë
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x x
1 1 5
;
2 2
±
= - =
Ví dụ 14: Giải phương trình
x x x x
3
2 2
3
3 3
2 2 1 2 1+ - + = - +

Giải
Ta có
x x x x x x x x
3 3
2 2 2 2
3 3
3 3 3 3
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2+ - + = - + + + + = + +Û
(*)
Xét hàm số
( )
f t t t
3
3
1= + +
trên

¡
.
Ta có
( )
( )
{ }
f t t
t
t
¡
3
2 2
3
1 1
0, \ 0; 1
3
3 1
¢
= + > " -Î
+
Suy ra hàm số đồng biến.
Từ (*)
( )
( )
x
f x f x x x x x
x
2 2 2
1
1 2 2 1 2 1 0

1
2
é
=
ê
ê
+ = = + - - =Û Û Û Û
ê
= -
ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm là
x x
1
; 1
2
= - =
Ví dụ 15: Giải phương trình
x x x
3
3
6 5 5 5+ = - -
Giải
Ta có
x x x x x x x
3 3
3 3
6 5 5 5 6 5 6 5+ = - - + + + = +Û
(*)
Xét hàm số

( )
f t t t
3
= +
trên
¡
. Ta có
( )
f t t t ¡
2
3 1 0,
¢
= + > " Î
. Suy ra
( )
f t t t
3
= +
đồng
biến trên
¡
.
Từ (*)
( )
( ) ( )
( )
f x f x x x x x x x x
3 2
3 3
6 5 6 5 6 5 0 1 5 0+ = + = - - = + - - =Û Û Û Û

x
x
1
1 21
2
é
= -
ê
ê
Û
±
ê
=
ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm là
x x
1 21
1;
2
±
= - =
.
Ví dụ 16 : Giải phương trình :
( )
( )
x x x
2
8x 2 6 5 0+ + - - =

Giải
Điều kiện:
x 5£
Ta có
( )
( )
( )
( )
x x x x x x
2 2
8x 2 6 5 0 8x 2 6 5+ + - - = + = - -Û

( )
( )
x x x x
2
2
2 1 2 5 1 5
é ù
é ù
ê ú
+ = - + -Û
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ë û
.(*)
Xột hm s
( )

( )
f t t t
2
1= +
trờn
Ă
. Ta cú
( )
f t t t Ă
2
3 1 0,
Â
= + > " ẻ
Do ú hm s
( )
( )
f t t t
2
1= +
ng bin trờn
Ă
.
T (*)
( )
( )
x
f x f x x x x
x x
2
0 5

2 5 2 5 1
4 5 0
ỡ
ù
Ê Ê
ù
ù
= - = - =
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
Vy nghim ca phng trỡnh l
x 1=
.
Vớ d 17: : Gii phng trỡnh :
x x x x
3
2
(sin 2)(sin sin 1) 3 3 sin 1 1- - + = - +
Gii
Phng trỡnh c vit li
x x x x
3
3
(sin 1) (3 sin 1) (3 sin 1) 3 3 sin 1- + - = - + -
(1)
Xột hm

3
( ) 3f t t t
= +
,
2
( ) 3 3 0,f t t t

= + >
Ă
suy ra
( )f t
ng bin trờn
Ă
Do ú (1)
3
3
sin 1 3 3sin 1 sin 3sin 0 sin 0 ( )x x x x x x k k
= = = =
Â
Vớ d 18: Gii bt phng trỡnh
x xln 1+ Ê
Gii
iu kin:
x 0>
Xột hm s
( )
f x x xln= +
trờn
( )
0;+ Ơ

. Ta cú
( )
f x x
x
1
1 0, 0
Â
= + > " >
nờn hm s
( )
f x x xln= +
ng bin trờn
( )
0;+ Ơ
.
Mt khỏc
( )
f 1 1=
. Do ú bt phng trỡnh
( ) ( )
x x f x f xln 1 1 1+ ÊÊÊ
Kt hp vi iu kin
x 0>
ta c nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x0 1< Ê
.
Vớ d 19: Gii bt phng trỡnh
x x
4
4

15 2 1+ - - >
(*)
Gii
iu kin:
x15 2- ÊÊ
Xột hm s
( )
f x x x
4
4
15 2= + - -
trờn
15;2
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
.
Ta cú
( )
( ) ( )
( )
f x x
x x
3 3
4 4
1 1
0, 15;2
4 15 4 2
Â

= + > " -ẻ
+ -
. Suy ra hm s
( )
f x x x
4
4
15 2= + - -
ng bin trờn
15;2
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
.
M
( )
f 1 1=
nờn bt phng trỡnh
( ) ( )
x x f x f x
4
4
15 2 1 1 1+ - - > > >
Kt hp vi iu kin
x15 2- ÊÊ
thỡ nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x1 2< Ê
.
Vớ d 20: Gii bt phng trỡnh:

( )
x x
4 5
log log 3< +

Gii
iu kin:
x 0>
t
t x
4
log=
ta cú
t
x 4=
Khi ú, bt phng trỡnh:
( )
x x
4 5
log log 3< +
( )
t t
t t t
t
5
1 2
log 3 4 5 3 2 1 3
5 5
ổử ổử
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
< + < + < +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
(*)
Xột hm s
( )
t t
f t
1 2
3 .
5 5
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Hm s ny l tng ca hai hm n iu gim nờn l hm n iu gim.

Hn na
( )
f 1 1=
nờn t (*)
( ) ( )
f t f t1 1> <
.
Vi
t 1<
ta cú
x x
4
log 1 0 4< < <
.
Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x0 4< <
.
Vớ d 21: Gii bt phng trỡnh
x x x x x
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14+ + - + + - < -
(*)
Gii
iu kin:
x
6
7

Bt phng trỡnh (*) c vit li di dng
( ) ( )

x x x x x x
2
7 7 7 6 7 7 7 6 182 0 7 7 7 6 13 0+ + - + + + - - < + + - - <
Xột hm s
( )
f x x x7 7 7 6 13= + + - -
trờn
6
;
7
ộ ử
ữ
ờ
ữ
+ Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
.
Do
( )
f x
x x
7 7
0
2 7 7 2 7 6
Â
= + >

+ -
trờn
6
;
7
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nờn hm s
( )
f x x x7 7 7 6 13= + + - -
ng bin trờn
6
;
7
ộ ử
ữ
ờ
ữ
+ Ơ
ữ
ờ

ữ
ứ
ở
.
M
( )
f 6 0=
nờn
( ) ( )
x x f x f x7 7 7 6 13 0 6 6+ + - - < < <
.
Kt hp vi iu kin
x
6
7

ta c nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x
6
6
7
<Ê
.
Qua cỏc vớ d v gii phng trỡnh v bt phng trỡnh trờn thỡ ta thy cỏch gii dựng tớnh n iu
ca hm s hay v t nhiờn
Bi tp rốn luyn
Gii cỏc phng trỡnh, bt phng trỡnh sau:
1.
x x5 2 3 9+ + + Ê
2.

x x x x
2 2
1 1 3 1+ + - - + = -
3.
x x x x x x
2 2
1 1 1 1+ - + - + + + + =
4.
x x x x x x
2 2
2 3 6 11 3 1- + - - + > - - -
5.
( )
x x x x x12 12 5 4+ + = - + -
6.
x x
4 4
2 4 2- + - =
7.
x x x x
3 2
2 3 6 16 4 2 3+ + + - - >
8.
x x x x x
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4- - + = + -
9.
x x x
3

3
6 1 8 4 1+ = - -
x x
x x
x x
2
2
2
2
3 5
10. log 2
2 2 3
+ +
< - -
+ +
3. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh khụng cha tham s
KIN THC CN NH
Cho hm s
( )
y f x=
liờn tc trờn tp
D
1. Phng trỡnh cú nghim
2. Bt phng trỡnh cú nghim
3. Bt phng trỡnh cú nghim ỳng vi
4. Bt phng trỡnh cú nghim
5. Bt phng trỡnh cú nghim ỳng vi
PHNG PHP GII
gii bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s m sao cho phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh cú
nghim ta lm nh sau:

1. Bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng
( ) ( )
f x g m=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
f x g m f x g m; Ê
)
2. Tỡm tp xỏc nh
D
ca hm s
( )
y f x=
3. Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f x=
trờn
D
4. Tỡm
( ) ( )
D D
f x f xmin ; max
5. Vn dng cỏc kin thc cn nh bờn trờn suy ra giỏ tr m cn tỡm
Lu ý: Trong trng hp phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh cha cỏc biu thc phc
tp ta cú th t n ph:
+ t
( )
t x
j
=
(

( )
x
j
l hm s thớch hp cú mt trong
( )
f x
)
+ T iu kin rng buc ca
x Dẻ
ta tỡm iu kin
t Kẻ
+ Ta a PT, BPT v dng
( ) ( )
f t h m=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
f t h m f t h m; Ê
)
+ Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f t=
trờn
K
+ T bng bin thiờn ta suy ra kt lun ca bi toỏn
MT S V D MINH HA
Vớ d 1. Tỡm m phng trỡnh
x mx x
2
2 2 1+ + = +
cú 2 nghim thc phõn bit

Gii:
x mx x
2
2 2 1+ + = +
( )
x
x
x mx x
mx x x
2
2
2
1
2 1 0
2
2 2 1
3 4 1
ỡ
ù
ỡ
ù
+
ù
-
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù

+ + = +
ù ù
= + -
ù
ợ
ù
ù
ợ
Xột phng trỡnh
mx x x
2
3 4 1 (*)= + -
Do
x x0 0. 1= = -ị
, phng trỡnh ny vụ nghim. Ngha l khụng cú giỏ tr no ca m
phng trỡnh cú nghim
x 0=
+
x x m
x
1
0 3 4+ - =ạ ị
. Ta xột hm s
( )
f x x
x
1
3 4= + -
trờn tp
{ }

1
; \ 0
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
- + Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
Ta cú
( )
f x
x
2
1
' 3 0= + >
vi
{ }
x
1
; \ 0
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ

" - + Ơẻ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
,
suy ra hm s
( )
f x x
x
1
3 4= + -
ng bin trờn
{ }
1
; \ 0
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
- + Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
( )
x

x
f x x
x
0
0
1
lim lim 3 4
+
+đ
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + - = - Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
( )
x x
f x x
x
0 0
1
lim lim 3 4
- -

đ đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + - = + Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
f x m=
x Dẻ
( ) ( )
D D
f x m f xmin max Ê Ê
( )
f x mÊ
x Dẻ
( )
D
f x mmin Ê
( )
f x mÊ
x Dẻ
( )
D
f x mmax Ê

( )
f x m
x Dẻ
( )
D
f x mmax
( )
f x m
x Dẻ
( )
D
f x mmin
( )
x x
f x x
x
1
lim lim 3 4
+ Ơ + Ơđ đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + - = + Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao im ca th hm s
( )
f x x
x
1
3 4= + -
v ng
thng
y m=
trờn min
{ }
1
; \ 0
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
- + Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l
m
9

2

Vớ d 2. Tỡm m bt phng trỡnh
( )
( )
m x x x x
2
2 2 1 2 0- + + + - Ê
cú nghim thuc
0 ;1 3
ộ ự
+
ờ ỳ
ở ỷ
Gii:
t
t x x
2
2 2= - +
( )
x x t
2
2 2- - = -ị
.
Khi ú bt phng trỡnh tr thnh:
( )
m t t
2
1 2+ -Ê
(*)

Ta cú
x
t t x
x x
2
1
' , ' 0 1
2 2
-
= = =
- +
Ta cú bng bin thiờn :
T ú ta cú
t1 2Ê Ê
, t (*) suy ra
t
m
t
2
2
1
-
Ê
+
(1)
Xột hm s
( )
t
f t
t

2
2
1
-
=
+
trờn tp
1;2
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú
( )
( )
( )
t
f t
t
2
2
1 1
' 0
1
+ +
= >
+
vi
t 1;2
ộ ự
" ẻ

ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f t
Bất phương trình đã cho có nghiệm
x 0;1 3
é ù
+Î
ê ú
ë û
Û
bất phương trình
( )
1
có nghiệm
t 1;2
é ù
Î
ê ú
ë û
( ) ( )
m f t f
1;2
2
max 2
3
é ù
ê ú
ë û

= =Û £
Ví dụ 3.Tìm m để phương trình
( )
x x x x m m ¡
4 4
2 2 2 6 2 6+ + - + - = Î
có 2 nghiệm thực
phân biệt

Giải
Điều kiện:
x0 6£ £
Xét hàm số
( )
f x x x x x
4 4
2 2 2 6 2 6= + + - + -
trên tập
0;6
é ù
ê ú
ë û
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x x x x x
1 1 1 1
4 2 4 2
2 2 2 6 2 6= + + - + -
( ) ( ) ( )
f x x x

3 1
4 2
1 1
' 2 .2 2 .2
4 2
- -
= + +

( ) ( ) ( ) ( )
x x
3 1
4 2
1 1
2. 6 . 1 2. 6 . 1
4 2
- -
- - + - -

( ) ( )
x x
x x
3 3
4 4
1 1 1 1 1 1
. .
2 2
2 6
2 6
= + - -
-

-

( ) ( )
x x
x x
3 3
4 4
1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
æ ö
÷
ç
÷
æ ö
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
= - + -ç
ç
÷
÷
ç
ç

÷
÷
ç
ç
÷
è ø
-
ç
÷
-
÷
ç
è ø

( )
( )
( )
x x
x x
x x
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
2 6

æ ö
÷
ç
÷
æ ö
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
= - + +ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
è ø
-
-
ç
÷
-
÷

ç
è ø
x x x x
4 4 4 4
1 1 1 1
2 6 2 6
æ öæ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ - +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è øè ø
- -
( )
( )
( )
x x x x
x x
x x
4 4 4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
2

2 6 2 6
2 6
2 6
é ù
æ ö
÷
ç
ê ú
÷
æ ö æ ö
ç
÷
÷ ÷
ê ú
ç
ç ç
÷
÷ ÷
= - + + + +ç
ç ç
÷
ê ú÷ ÷
ç
ç ç
÷
÷ ÷
ç ç
ç
÷
è ø è ø

ê ú
- -
-
ç
÷
-
÷
ç
ê ú
è ø
ë û
Ta có
( )
( )
( )
x x
x x
x x
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
0
2
2 6
2 6
2 6
æ ö
÷

ç
÷
æ ö
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
+ + + + >ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
è ø
-
-
ç
÷
-
÷
ç
è ø

với
( )
x 0; 6" Î
( )
f x x x x x x
4 4
' 0 2 6 2 6 2= = - = - =Û Û Û
Ta có bảng biến thiên
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f x=
v ng thng
y m=
trờn min
0;6
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn
m
4
2 6 2 6 3 2 6+ < +Ê
Vớ d 4. Chng minh rng vi mi giỏ tr dng ca tham s m, phng trỡnh
( )
x x m x
2
2 8 2+ - = -
cú 2 nghim thc phõn bit:
Gii
iu kin: do

m x0 2> ị
. Ta cú:
( )
x x m x
2
2 8 2+ - = -
( ) ( ) ( )
x x m x2 4 2- + = -
( ) ( ) ( )
x
x x m
2
2
2 4 *
ộ
=
ờ

ờ
- + =
ờ
ở
Nhn thy phng trỡnh ó cho luụn cú 1 nghim
x 2=
, chng minh khi
m 0>
phng trỡnh ó
cho cú 2 nghim thc phõn bit ta cn ch ra phng trỡnh
( )
*

luụn cú mt nghim thc
x 2>
khi
m 0>
Xột hm s
( ) ( ) ( )
f x x x x x
2
3 2
2 4 6 32= - + = + -
trờn
( )
2;+ Ơ
Ta cú
( )
f x x x
2
' 3 12 0= + >
vi
x 2" >
( )
x x
f x x
x
x
3
3
6 32
lim lim 1
+ Ơ + Ơđ đ

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + - = + Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca th hm s
( )
y f x=
v ng thng
y m=
trờn min
( )
2;+ Ơ
Da vo bng bin thiờn ta suy ra khi
m 0>
thỡ phng trỡnh (*) luụn cú nghim
x 2>
Vy vi
m 0>
thỡ phng trỡnh ó cho luụn cú 2 nghim thc phõn bit
Vớ d 5. Tỡm m phng trỡnh

x x x x m
2 2
2 4 2 4+ + - - + =
cú nghim thc
Gii
Vỡ
( )
x x x x Ă
2
2
2 4 1 3 3 0, + = + > " ẻ
nờn
TX:
D Ă=
Xột hm s
( )
f x x x x x
2 2
2 4 2 4= + + - - +
trờn
Ă
Ta cú:
( )
x x
f x
x x x x
2 2
1 1
'
2 4 2 4

+ -
= -
+ + - +

( )
f x' 0=
x x
x x x x
2 2
1 1
0
2 4 2 4
+ -
- =
+ + - +
( ) ( )
x x x x x x
2 2
1 2 4 1 2 4+ - + = - + +
( )
( )
( )
( )
x x x x x x
2 2
2 2
1 2 4 1 2 4+ - + = - + +ị
x x x x x x x x
4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4- + + - + + - + =

x x x x x x x x
4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4+ + - - - + + +
x 0=
Thay
x 0=
vo phng trỡnh (*) c: 1 = - 1. Vy phng trỡnh (*) vụ nghim.
Suy ra
( )
f x'
ch mang 1 du (khụng i du), cú
( )
f ' 0 1 0= >
( )
f x x Ă' 0,> "ĩ ẻ
Ta cú
( )
( )
x x
f x x x x x
2 2
lim lim 2 4 2 4
+ Ơ + Ơđ đ
= + + - - +
x
x
x x x x
2 2
4
lim

2 4 2 4
+ Ơđ
=
+ + + - +

x
x x
x x
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
+ Ơđ
=
+ + + - +
2=
( )
( )
x x
f x x x x x
2 2
lim lim 2 4 2 4
- Ơ - Ơđ đ
= + + - - +
x
x
x x x x
2 2
4

lim
2 4 2 4
- Ơđ
=
+ + + - +

x
x x
x x
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
- Ơđ
=
- + + - - +
2= -
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f x=
v ng thng
y m=
trờn
Ă
Da vo bng bin thiờn ta suy ra phng trỡnh cú nghim
m2 2- < <

Vớ d 6. Tỡm m h
x x
x x x m m
2
3 2
3 4 0
3 15 0
ỡ
ù
- - Ê
ù
ù
ớ
ù
- - -
ù
ù
ợ
cú nghim thc
Gii
Ta cú:
x x x
2
3 4 0 1 4- - -Ê ÊÊ
.
H phng trỡnh ó cho cú nghim


x x x m m
3 2

3 15 0- - -
cú nghim
x 1;4
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
x x x m m
3 2
3 15- +
cú nghim
x 1;4
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
t
( )
x x khi x
f x x x x
x x khi x
3 2
3
3 2
3 1 0
3
3 0 4
ỡ
ù
+ - <Ê

ù
ù
= - =
ớ
ù
- ÊÊ
ù
ù
ợ
Ta cú

( )
x x khi x
f x
x x khi x
2
2
3 6 1 0
'
3 6 0 4
ỡ
ù
+ - < <
ù
ù
=
ớ
ù
- < <
ù

ù
ợ

( )
f x x x' 0 0; 2= = =
Ta cú bng bin thiờn :
( )
f x m m
2
15+
cú nghim
x 1;4
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
( )
f x m m
2
1;4
max 15
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
+
m m
2
16 15+
m m m

2
15 16 0 16 1+ - - Ê Ê Ê
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim
m16 1- Ê Ê
Vớ d 7. Tỡm m phng trỡnh
x x m
3 3
sin cos+ =
cú nghim:
Gii
Ta cú
( ) ( )
x x m x x x x m
3 3
sin cos sin cos 1 sin . cos+ = + - =
t
t x x xsin cos 2. sin
4
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

,
t2 2- ÊÊ
Khi ú:
( )
t x x t x x
2
2
sin cos sin cos= + = +ị
t
x x
2
1
sin . cos
2
-
=ị
Phng trỡnh tr thnh:
t
t m t t m
2
3
1 1 3
1
2 2 2
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
- = - + =

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Xột hm s
( )
f t t t
3
1 3
2 2
= - +
trờn tp
2; 2
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú:
( )
f t t
2
3 3
'
2 2
= - +

( )
f t' 0=

t t
2
3 3
0 1
2 2
- + = =
Ta cú bng bin thiờn:
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f t=
v ng thng
y m=
trờn
2; 2
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
Da vo bng bin thiờn ta suy ra phng trỡnh cú nghim
m1 1- Ê Ê
Vớ d 8: Tỡm m bt phng trỡnh
mx x m3 1- - +Ê
cú nghim thc
Gii
t
t x 3 0= -
x t
2
3= +ị
.

Khi ú bt phng trỡnh tr thnh:
( )
m t t m
2
3 1+ - +Ê
( )
m t t
2
2 1+ + Ê
t
m
t
2
1
2
+

+
(*)
Xột hm s
( )
t
f t
t
2
1
2
+
=
+

trờn
( )
0;+ Ơ
Ta có:
( )
( )
t t
f t
t
2
2
2
2 2
'
2
- - +
=
+
,
( )
f t t t t
2
' 0 2 2 0 1 3= - - + = = - ±Û Û
( )
x x
t
f t
t
t
1

1
lim lim 0
2
+ ¥ + ¥® ®
+
= =
+
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm thực
bất phương trình (*) có nghiệm
Ví dụ 9. Tìm m để phương
trình có nghiệm thực
Giải
Điều kiện:
(1)
Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành: (*)
Ta có và , vậy
Xét hàm số trên
Có
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
trên miền
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm thực
Ví dụ 10. Tìm m để phương trình
( ) ( )
x x x x m1 8 1 8+ + - + + - =
có
nghiệm thực
Giải
Điều kiện:

x1 8- ££
Đặt
t x x1 8= + + -
Ta có:
t
x x
1 1
'
2 1 2 8
= -
+ -
với
x1 8- < <

t ' 0= Û
x x
1 1
0
2 1 2 8
- =
+ -
x x1 8+ = -Û
x x x
7
1 8
2
+ = - =Û Û
Ta có bảng biến thiên:
( )
f t

Û
t 0>
Û
( )
( )
f t m m
0;
3 1
max
4
+ ¥
+
³ Û £
x m x x
4
2
3 1 1 2 1- + + = -
x 1³
x m x x
4
2
3 1 1 2 1- + + = -
x x
m
x x
4
1 1
3 2
1 1
- -

- + =Û
+ +
x
t
x
4
1
1
-
=
+
t t m
2
3 2- + =
x 1³
t 0Þ ³
t
x
4
2
1 1
1
= - <
+
t0 1<£
( )
f t t t
2
3 2= - +
)

0;1
é
ê
ë
( ) ( )
f t t f t t t
1
' 6 2; ' 0 6 2 0
3
= - + = - + = =Û Û
( )
f t
( )
y f t=
y m=
)
0;1
é
ê
ë
m
1
1
3
- <Û £
T ú dn n
t3 3 2Ê Ê
Cú
( )
t x x t x x

2
2
1 8 1 8= + + - = + + -ị
( ) ( )
t
x x
2
9
1 8
2
-
+ - =ị
,
Phng trỡnh ó cho tr tnh:
t
t m
2
9
2
-
+ =
t t m
2
2 9 2+ - =
Xột hm s
( )
f t t t
2
2 9= + -
trờn tp

3;3 2
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú:
( )
f t t' 2 2 0= + >
vi
x 3;3 2
ộ ự
" ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
, Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f t
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f t=
v ng thng
y m2=
trờn
3;3 2
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
Vy phng trỡnh cú nghim
m m
9 6 2
6 2 9 6 2 3

2
+
+ Ê Ê Ê Ê
CC BI TP TNG T
1. Tỡm m h phng trỡnh
x y
x y
x y m
x y
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
ỡ
ù
ù
+ + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ + + = -
ù
ù
ù
ợ

cú nghim thc
2. Tỡm m h phng trỡnh
x x m x
4
4
13 1 0- + + - =
cú ỳng mt nghim thc
3. Tỡm m bt phng trỡnh
( ) ( )
x x x x m
2
4 6 2+ - - +Ê
nghim ỳng vi mi
x 4;6
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
4. Tỡm m phng trỡnh
x x x x m
2
9 9+ - = - + +
cú nghim thc
5. Tỡm m phng trỡnh
x x x x m3 2 4 6 4 5- - - + - - + =
cú ỳng hai nghim
thc phõn bit
6. Tỡm m phng trỡnh
x x m x
6 6

sin cos . sin 2+ =
cú nghim thc
7. Tỡm m phng trỡnh
x x m xcos 3 - cos 2 cos - 1 0+ =
cú ỳng 7 nghim thuc
;2
2
p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
8. Tìm m để phương trình
x x m x
4 4
1
sin cos sin 2
2
+ = -
có đúng 2 nghiệm
x ;
12 2

p p
é ù
ê ú
Î
ê ú
ë û
C. KẾT LUẬN
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là
hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để giải phương trình, bất
phương trình , làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất
phương trình.
Mặc dù sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học có
nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó
cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số. Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương
trình, bất phương trình
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên
lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các
bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà
trường. Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông. Giúp các em học
sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp.
Người thực hiện

Vũ Ngọc Hòa
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12.
2. Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12.
3. Chuyên đề nâng cao Đại số THPT – NXB GD của Phạm Quốc Phong.
4. Khảo sát nghiệm phương trình – NXB GD của Lê Hoành Phò.
5. Hàm số - NXB GD của Phan Huy Khải.
6. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.