Tài liệu Ứng dụng của đạo hàm Lê Văn Tiến pptx

1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, ĐắcLắc Giáo viên: Lê Văn Tiến

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Phần: Hàm số đơn điệu

I. PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Tính đạo hàm y’ = f’(x)
2) Tìm nghiệm của f’(x) hoặc các điểm tại đó f’(x) không xác đònh.
3) Lập bảng xét dấu f’(x) (bảng biến thiên) để kết luận.
BÀI TẬP:
1) Tìm khoảng đồng biến, nghòch biến của các hàm số sau:
a) y = x
3
– x +1 b) y = - x
3
– 3x + 5 c) y = x
4
– 2x
2
+ 3
d) y =
x1
13x
−
+
e) y =
1

2
−
−
x
x
2
x
g) y =
2
2 3
1
x x
x
− +
+

h)
( )
2
1
5
y
x
=
−
k)
100
x
y
x

=
+
l)
3
2
6
x
y
x
=
−

m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x
5
;
6 6
π π
 
∈
 
 
o) y =
3 2
6x x−
2) Xác đònh m để hàm số y = (m – 3)x - sinx nghòch biến trên
ℝ

HD:
Hàm số nghòch biến trên
ℝ

⇔
y’ = m – 3 – cosx
0 x≤ ∀ ∈ℝ
. Đặt t = cosx, điều kiện | t|
≤
1
Ta cần tìm m để f(t) = - t + m – 3
0 [ 1; 1]t≤ ∀ ∈ −

Ta có f(t) = - t + m – 3
0 [ 1; 1] f( 1) 0 m 2 0 m 2t≤ ∀ ∈ − ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

3)
Tçm m âãø hm säú : y = -
3
1
x
3
+ (m - 1)x
2
+ (m + 3)x - 4 âäưng biãún trãn (0, 3) .
HD: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)
⇔
y’= - x
2
+ 2(m – 1)x + m +3
0 x (0; 3)≥ ∀ ∈

⇔
y’ có hai nghiệm x

1
; x
2
thỏa mãn x
1

≤
0
≤
3
≤
x
2
⇔
1f(0) 0 m -3 0
12
m
1f(3) 0 12 - 7m 0
7
− ≤ − ≤
 
⇔ ⇔ ≥
 
− ≤ ≤
 

4) Tçm m âãø hm säú y = -
3
1
mx

3
- (m +1)x
2
+ 3(m + 2)x +
3
1
luôn luôn âäưng biãún trên
ℝ
.
HD: H
àm số đồng biến trên
ℝ

⇔
y’ = -mx
2
-2(m +1)x + 3(m + 2)
0 x≥ ∀ ∈ℝ

+ Trường hợp m = 0 ta có y’ = -2x + 6 không thể lớn hơn bằng 0 với mọi x.
+ Trường hợp m
≠
0 ta có y’
0 x
≥ ∀ ∈
ℝ
2
m < 0
m 0
2 3 2- 3

m -
' 0
2 2
4m 8m + 1 0
− >


+
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤
+ ≤



5)
Tçm m âãø y =
1x
mx3x2
2
−
+−
âäưng biãún trãn (3, +∞). HD: Ta có y = 2x -1 +
m 1
x 1
−
−

Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞)
⇔

2
2
2(x - 1) (m 1)
y' = 0 x (3; + )
(x - 1)
− −
≥ ∀ ∈ ∞
⇔
2
2
0 1 2
x 1 0
' 0
2 4 3 0 3 9
3
2(x-1) (m -1) 0 x > 3
x x m x m
VTcó hai n thỏa x x
− ≠
∆ ≤


⇔ − + − ≥ ∀ > ⇔ ⇔ ≤


≤ ≤
− ≥ ∀



II. p dụng tính đơn điệu giải toán:
1) Chứng minh BĐT f(x) > g(x) trên khoảng (a; b)
Phương pháp
:
Ta xét hàm h(x) = f(x) – g(x) trên (a; b)
- Nếu hàm h(x) đồng biến trên (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
- Nếu hàm h(x) nghòch biến trên (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
Bài tập:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:


2
1)

tgx > sinx, 0 < x <
2
π
. HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0;
2
π
).
Có f’(x) =
2
1
cos
cos
x
x
− > 0
⇒

f(x) là hàm đồng biến trên (0;
2
π
)
⇒
f(x) > f(0) = 0
⇒
tgx > sinx
2)

ln(1+ x) < x với ∀
x > 0,
HD: Xét hàm số f(x) = ln(1 + x) – x trên (0; +
)
∞

3)
cosx > 1-
2
x
2
với ∀
x > 0,
HD: Xét hàm số f(x) = cosx +
2
x
2
- 1
trên (0; +
)

∞

4)

x
α
- 1 >
α
(x – 1) với
α
≥
2, x > 1. HD: Xét hàm số f(x) =
x
α
-
α
(x – 1) – 1 trên (1; +
)
∞

5)

x -
6
x
3
< sinx
với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = x -
6
x

3
- sinx
trên (0; +
)∞

6)

e
x
> 1 +
2
x
2

với
x > 0
, HD: Xét hàm số f(x) = e
x
-
2
x
2
- 1
trên (0; +
)
∞

2) Giải pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0
Phương pháp:
- Xét tính đơn điệu của hàm số f(x).

- Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì ta có:
1)

f(x
1
) = f(x
2
)
⇔
x
1
= x
2


2)

f(x
1
) < f(x
2
) ( hoặc f(x
1
) > f(x
2
) )
⇔
x
1
< x

2
( hoặc x
1
> x
2
)

Bài tập: G
iải các phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
1)

2
x
< 3
2
x
+ 1. HD: BPT
⇔
3 1
1
2 2
x
x
 
 
+ >
 
 
 
 

 
. Xét hàm số f(x) =
3 1
2 2
x
x
 
 
+
 
 
 
 
 
là hàm NB trên
ℝ

Có f(2) = 1
( ) (2) 2. Tập nghiệm bpt T = (- ; 2)f x f x⇒
>
⇒
< ∞

2)

2
x
= 6 – x. HD: Xét hai hàm số
( ) 2
( ) 6

x
f x
g x x

=

= −

. Ta có
( ) đồng biến trên
( ) nghòch biến trên
f x
g x



ℝ
ℝ
và
(2) 4
(2) 4
f
g
=


=


x = 2 là nghiệm duy nhất⇒

2 2
2
2
2
1 1 1
2x y : Xét pt 2x 2 1.Tương tự: ta có y 1. Xét hàm số f(t) = t + .
y t
3)
1 1
2y x '( ) 0 1, [1; )
x
HD y x
y
t
có f t t nên hàm số đồng biến trên
t

= + = + ≥ ⇒ ≥ ≥



−

= + = ≥ ∀ ≥ +∞



Nếu x > y thì f(x) > f(y)

⇒
2y
2
> 2x
2
⇒
y > x vô lí.
Tương tự

nếu y > x thì f(y) > f(x)
⇒
x > y vô lí
Vậy x = y . Thay x = y vào một trong hai phương trình ta có x = y = 1.
cot cot (1)
4) , ; (0; ).
5 8 2 (2)
gx gy x y
x y
x y
π
π
− = −

∈

− =


HD: pt(1) cotgx -x = cotgy - y.
Xét hsố f(t) = cotgt - t trên (0; )

π
⇔


5)
, ; (0; )
2
tgx tgy x y
x y
tgx tgy
π
− = −

∈

+ =

. HD: Xét f(t) = tgt – t.
6) Chứng minh rằng phương trình x
3
-3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1]
3) p dụng đònh lí Lagrange:
Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)

thì tồn tại một số c
∈
(a; b) sao cho
( ) ( )
'( )
f b f a

f c
b a
−
=
−

1)

Cho 0 < a < b. Chứng minh rằng: ln
b a b b a
b a a
− −
< < . HD: xét hàm số f(x) = lnx trên [a; b]
2)

Cho 0 < a < b <
2
π
. Chứng minh rằng:
2 2
cos cos
b a b a
tgb tga
a b
− −
< − <
.
HD: xét hàm f(x) = tgx trên (
0; )
2

π

3)
Hãy tìm trên đồ thò hàm số
f(x) = x
3
– x
những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các
điểm có hoành độ là 10 và 12. HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có


3
f f
f c với c ĐS c
−
= ∈ =
−
(12) (10) 364
'( ), (10; 12). :
12 10 3

Phần: Cực trò hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ SỐ y= f(x)
Cách 1:
- Tìm TXĐ của hàm số và tính y’. Tìm các điểm x
0
mà y’bằng 0 hoặc không xác đònh.
- Lập bảng biến thiên - Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x
0

thì x
0
là điểm cực đại.
- Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x
0
thì x
0
là điểm cực tiểu.
Cách 2:
- Tìm TXĐ của hàm sốvà tính y’, y’’
- Tìm nghiệm x
0
của phương trình y’= 0 - Nếu f’’(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại
- Nếu f’’(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu
II. BÀI TẬP
1) Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+3x
2
-36x -10 ; b) y = x
4

+ 2x
2
– 3 ; c) y = x +
x
1
; d) y = x
3
(1 – x)
2
;
e) y =
2
2 3
1
x x
y
x
− +
=
−
; f)
3
2
2 3y x
= +
; g)
3
(7 ) 5y x x
= − +
; h)

2
10
x
y
x
=
−
;
2) Tìm cưc trò của các hàm số sau: sử dụng dấu hiệu II
a)y = x
3
+ 4x ; b) y = xe
-x
; c) y = x
2
lnx; d) y =
2x
54xx
2
+
++
;
e) y= cos2x -1 ; f) y = sinx + cos2x ; g) y =
2
xx
ee
−
+
.
1) Tçm m âãø hm säú y =

3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1)
cọ cực đại, cực tiểu.

2) Tçm m âãø hm säú y = x
3
- 3mx
2
- (m - 1)x + 2 âảt cỉûc tiãøu tải x = 2.
HD:
HS đạt CT tại
2
,
(2)
,,
(2)
0
1
0
y
m
y

=


⇔ ⇔ =

>



3)

Xác đònh a để hàm số y = asinx +
3
1
x đạt cực trò tại x =
3
π
.
4)

Xác đònh p và q để hàm số y = x
2
+px +q đạt cực tiểu tại x = 1.

Bài tập trắc nghiệm
1.
Biết rằng có hai giá trò của m để hàm số y = x
3
-(m + 2)x
2
+ (1 -m)x + 3m - 1 đạt cực trò tại x
1
, x

2

mà |x
1
- x
2
| = 2. Tổng hai số đó là:
A.
-5
B.
-14
C.
-7
D.
7
2.
Điểm cực tiểu của hàm số
2
ln x
y
x
=
là:
A.
2
1
e
B.
1
e

C.
e
D.
H.số không có điểm cực tiểu

3.
Biết đồ thò hàm số
3 2
1
f(x) x 2x mx 3
3
= − + +
có hai điểm cực trò thẳng hàng với điểm O, thì m thuộc khoảng:
A.
(-1; 1)
B.
(3; 1)
C.
(-3; -5)
D.
(-1; -3)
4.
Đồ thò hàm số
2
x 3x 5
f(x)
x 2
− + +
=
+

có hai điểm cực trò nằm trên đường thẳng y = ax + b ta có a.b bằng:
A.
-2
B.
-8
C.
-6
D.
5
5.
Biết rằng đồ thò hàm số
2
x 2x m 3
y
x m
− + +
=
+
có một điểm cực trò thuộc đt y = x + 1, điểm cực trò còn lại là:
A.
3
B.
2
C.
4
D.
1


4

6.
Biết hàm số f(x) = asinx + bcosx +x
( )
0 x 2 đạt cực trò tại x = và
3
π
< < π π
thì a + b bằng:
A.
3 1
+
B.
3 1
−
C.
3
1
3
+
D.
3 3

7.
Điểm cực đại của hàm số
2
x
y xe
−
=

gần nhất với số nào dưới đây:
A.
0,7
B.
0,6
C.
0,8
D.
0,5
8.
Có bao nhiêu giá trò nguyên của m để hàm số y = mln(x + 2) + x
2
- x có hai điểm cực trò trái dấu
A.
3
B.
2
C.
Không tồn tại m
D.
1
9.
Giá trò của m để hàm số y = x
4
+ mx
3
- 2x
2
- 3mx

+ 1 có ba điểm cực trò là:
A.
3
m
4
≠ ±
B.
Với mọi m
C.
m 1≠ ±
D.
4
m
3
≠ ±

10.
Biết hàm số y = e
ax
.sinx
( )
0 x đạt cực trò tại x =
4
π
< < π
thì điểm cực tiểu của hàm số là:
A.
4
π
B.

3
4
π
C.
4
π
−

D.
3
π

11.
Hàm số
2
x 4x 1
f(x)
x 1
− +
=
+
có hai điểm cực trò x
1
và x
2
, ta có x
1
+ x
2
bằng:

A.
5
B.
-2
C.
-5
D.
-1
12.
Cho hàm số
x
2
e
y
x 1
=
+
. Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
Hàm số đồng biến với x > 1
B.
Hàm số đồmg biến trên ℝ

C.
Hàm số nghòch biến với x < 1 D. Các kết luận A, B, C đều sai
13.
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; 2)
A. y= x
2
- 4x + 5 B.

x 2
y
x 1
−
=
−
C.
2
x x 1
y
x 1
+ −
=
−
D.
3 2
1
y x 2x 3x 2
3
= − + +

14.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác đònh:

2
2 3
1 x 2x 4 1
(I) y ln x ; (II) y ; (III) y
x 1 x 1 x x
− +

= − = = −
− − +

A.
Cả (I), (II) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ có (I) và (III) D. Chỉ có (II)
15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghòch biến trên
ℝ
.
A. y= cotgx B. y = - x
4
- x
2
- 1 C.
x 5
y
x 2
+
=
+
D.
x
1
y
2
=

16.
Hàm số nào sau đây nghòch biến trên từng khoảng xác đònh:

2

x 5 1
(I) y ; (II) y ; (III) y x x 4
x 1 cosx
+
= = = −
+

A. Chỉ có (I) B. Chỉ có (II) C. Cả (I), (II) và (III) D. Chỉ (I) và (II)
17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên
ℝ
.
A. y = x
3
+ 1 B. y= tgx C.
4x 1
y
x 2
+
=
+
D. y = x
4
+ x
2
+ 1
18. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghòch biến trên khoảng (1; 3)
A.
2
1
y x 2x 3

2
= − +
B.
3 2
2
y x 4x 6x 9
3
= − + +

C.
2
x x 1
y
x 1
+ −
=
−
D.
2x 5
y
x 1
−
=
−

19. Cho hàm số f(x) = -2x
3
+ 3x
2
+ 12x - 5. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai

A. Hàm số giảm trên khoảng (-3; -1) B. Hàm số tăng trên khoảng (-3; -1)
C.
Hàm số giảm trên khoảng (2; 3) D. Hàm số tăng trên khoảng (-1; 2)



5

20. Bất đẳng thức
a b
lna ln b
>
đúng với mọi a, b thoả mãn a < b và a, b thuộc khoảng:
A. (0; 1) B. (e; 4) C. (2; 3) D. (0; 3)
21.

Hàm số f(x) = x
4
- 6x
2
+ 8x + 1 có
ù
bao nhiêu điểm cực trò
A.

0 B. 3 C. 2 D. 1
22.
Hàm số
3 2
a 1

y x ax (3a 2)x
3
−
= + + −
luôn luôn đồng biến khi
A.

1
a 2 a
2
≥ ∨ ≤
B.
1
a 2
2
≤ ≤
C.
a 2≥
D.
1 a 2< ≤

23.
Hàm số f(x) = x
3
có bao nhiêu điểm tới hạn
A.

3 B. 2 C. 1 D. 0
2 4.
Giá trò m để hàm số f(x) = x

3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x đạt cực đại tại x = 1 là
A.

m = 2 B. Không tồn tại m C. m = 0 D. m = 0 hoặc m = 2
25.
Cho hàm số f(x) = xlnx. Hàm số f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây
A.

( )
0;
+ ∞
B.
( )
; 0
−∞
C.
( )
0; 1 D.
( )
1;
+ ∞

26.
Cho hàm số
3x+1

f(x) =
1 - x
. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng
A.

Tăng trên
ℝ
B. Tăng trên hai khoảng
( ) ( )
; 1 ; 1;
−∞ + ∞

C. Giảm trên khoảng (0; 2) D.
Giảm trên khoảng ℝ

27.
Hàm số f(x) = |x| có bao nhiêu điểm cực trò
A.

3 B. 0 C. 2 D. 1
28.
Cho hàm số
2
x + x + 1
f(x) =
x + 1
. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A.

Giá trò cực đại bằng -3 B. Điểm M(0; 1) là điểm cực tiểu

C. Điểm N(-3; -2) là điểm cực đại D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2
29.
Giá trò m để hàm số
2
x 2x m
f(x)
x 1
+ +
=
−
đạt một cực đạivà một cực tiểu là:
A.

m= -3 B. m < - 3 C. m > -3 D. m khác -3
30.
Hàm số
4
2
x
f(x) 2x 6
4
= − +
có bao nhiêu điểm cực tiểu
A.

1 B. 2 C. 0 D. 3
31.
Xét hàm số f(x) = 2x
2

- 5x + 3 trên [0; 4]. Số c thoả mãn đònh lí Lagrange áp dụng vào hàm số là:
A.

1 B. 1,5 C. 0,5 D. 2
32.
Hàm số
2
x + x - 1
f(x) =
x + 1
có bao nhiêu điểm cực trò
A.

0 B. 2 C. 3 D. 1

Phần: Giá trò lớn nhất, gía trò nhỏ nhất
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN
1. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b):
trong đó a có thể là
∞−
, b có thể là
∞+
.
Ta thực hiện: -
Tính đạo hàm y’
-

Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá
trò cực đại (cực tiểu) là giá trò lớn nhất (nhỏ nhất) .
•

Chú ý
: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghòch biến thì không có
GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Bài tập áp dụng:
1)
Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau: