SKKN Kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán.

THANH HÓA NĂM 2013
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) các khối A,
B, D môn Toán đóng một vai trò quan trọng. Trang bị những kiến thức, phương
pháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu
trong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình lớp 11, 12
phần phương trình tiếp tuyến nói riêng. Phương trình tiếp tuyến (Pttt) của đồ thị
hàm số y = f(x) là một phần quan trọng trong chương trình toán THPT có thể
phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được áp dụng nhiều trong các
kì thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ, nhưng thời lượng nội dung này rất ít, học sinh còn
lúng túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán về
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Từ những kinh nghiệm giảng dạy,
tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi
lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài
toán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho mọi đối
tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, là liều thuốc bình
tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học tập và khảo thí. Từ đó,
tôi đã lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" mong muốn giúp học sinh yêu thích môn
Toán, học sinh đang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ làm tài liệu tham
khảo đển ôn luyện kiểm tra kiến thức của mình, vững vàng, tự tin, thành công
trong học tập và khảo thí
Tôi xin giới thiệu một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y = f(x)" là những bài toán tôi tham khảo, tổng hợp, tích lũy trong các kì
thi và quá trình giảng dạy lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp, Đại học - Cao đẳng.
II. PHẠM VI ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi đề tài
- Tập trung vào đối tượng học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT và Đại học -
Cao đẳng.
- Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình (pt)
tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan.
2. Phương pháp nghiên cứu
- Kinh nghiệm giảng dạy.
- Tổng hợp, tích lũy.
2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Ở trường THPT, dạy toán là dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc
giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Khi thực hành giải bài tập
cần chuẩn bị phương pháp thích hợp, là công cụ giải toán làm cho lời giải rõ
ràng, mạch lạc, súc tích, ngắn gọn, có lôgic, dễ hiểu và hiệu quả của việc giải
toán được tốt hơn, tiết kiệm được thời gian, tạo hứng thú tích cực học tập cho
học sinh. Rồi từ đó lựa chọn phương pháp phù hợp với mọi đối tượng học sinh,
với những dạng toán cụ thể giúp các em định hướng được phương pháp giải
nhanh nhất và có hiệu quả nhất.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trường
THPT Triệu Sơn 2, Tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành,

phương pháp tư duy, của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của đồ thị
hàm số còn yếu, do một số nguyên nhân sau:
- Học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tập
một cách tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền
tảng kiến thức cũ,
- Thời lượng dành cho nội dung này rất ít.
- Tài liệu tham khảo còn chung chung
Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra
phương pháp chia thành bốn bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối
tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập
Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy
và đã sử dụng để dẫn dắt học sinh thực hiện trong thời gian qua.
1. Cơ sở lí thuyết
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ
số góc.
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k =
( )
0
' xf
x
0
: là hoành độ tiếp điểm
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M

0
(x
0
; f (x
0

))
là: y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + f(x
0
)
2. Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm
2.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
điểm M(x
0
; y
0
)
a. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
)
Cách giải:
+ Tính
( )
xf '
,
( )
0
' xf

;
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
ta được pt tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
3
a) Tại điểm O(0; 0); b) Tại điểm M(2; 4).
Giải. Ta có

( )
2
2
1
2
'
−
−
=
x
xx
y
;
a) Tại O(0; 0)
⇒
y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0;
b) Tại M(2; 4)
⇒
y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 4.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C) tại điểm M(-1; -2). ĐS: y = 9x + 7
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x
4
- 8x
2
+ 10 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số (C) tại điểm M(-1; 3). ĐS: y = 12x + 15.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M thỏa
mãn tính chất P cho trước
Cách giải:
+ Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x
0
; y
0
+ Tính
( )
xf '
,
( )
0
' xf
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y

0
ta được pt tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
1
+
−
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại giao điểm của đồ thị với trục tung .
Giải. Gọi M là giao điểm của đồ thị(C) với trục tung;
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:



=
−=
⇔





=
+
−
=

0
1
0
1
1
x
y
x
x
x
y

⇒
M(0; -1). Ta có
( )
( )
2
1
2
'
+
=
x
xf

⇒

2)0(' =f
. Pt tiếp tuyến là y = 2x - 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = (1 - x)

2
(4 - x) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Giải. Hàm số (C) viết lại là: y = -x
3
+ 6x
2
- 9x + 4
Tọa độ giao điểm của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:





=



=
=
⇔



=
+−+−=
0
4
1
0

496
23
y
x
x
y
xxxy

( )
( )



⇒
0;4
0;1
2
1
M
M
, y'(1) = 0; y'(4) = - 9.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 0 và y = -9x +36.
Ví dụ 3. Cho hàm số
x
x
y
−
−
=
2

3
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
các giao điểm của đồ thị hàm số (C) đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0.
Giải. Tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng d là nghiệm của hệ phương
trình:





=++
−
−
=
032
2
3
yx
x
x
y
. Có hai tiếp tuyến cần tìm là
2
3
4
1
−−= xy
, y = - x - 1.
4
Ví dụ 4. Cho hàm số

xxxy 32
3
1
23
+−=
(C). Viết phương trình tiếp tuyến d
của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số
góc nhỏ nhất. (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004).
Giải.
* Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) tại điểm uốn
Điểm uốn của (C) là






3
2
;2I
, y'(2) = - 1. Pt tiếp tuyến là
3
8
+−= xy
.
* Chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Gọi k
1
là hệ số góc của tiếp tuyến d
⇒

k
1
= -1.
Gọi k
2
là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại mọi x
⇒
k
2
= y'(x) = x
2
- 4x + 3
Xét hiệu k
1
- k
2
= - 1 - (x
2
- 4x + 3) = - (x - 2)
2

≤
0,
x∀

⇒
k
1

≤

k
2
,
x∀
.
Dấu
""
=
xảy ra
⇔
x = 2 (là hoành độ tiếp điểm)
⇒
k
1
là bé nhất.
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
+ 4 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) tại điểm uốn.
b) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) thì tiếp tuyến tại
điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Đáp số (ĐS).
* Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn là
33 += xy
.
* Tương tự ví dụ 4
⇒

k
1
= 3 và k
2
= y'(x) = -3x
2
+ 6x ;
k
1
- k
2
= 3(x - 1)
2

≥
0,
x∀

⇒
k
1

≥
k
2
x∀
⇒
k
1
là lớn nhất.

Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Chú ý: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
( )
0≠a

* Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất.
* Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
2.2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm có
hoành độ x
0
Cách giải: + Tính
( )
xf '
⇒

( )
0
' xf
+ Thay x
0
vào (C) tìm y
0
+ Thay x
0
; y
0

;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
rồi kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 5

(C). Hãy viết phương trình của đồ thị hàm
số (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 1.
Giải.
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + f(x
0

)
+) Ta có
( )
xf '
= 3x
2
- 3
⇒

( )
1'f
= 0
+) Thay x
0
= 1 vào (C), ta được y
0
= f(1) = 3
+) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + 3
⇔
y = 3
Ví dụ 2. Cho hàm số y =
22
53
+
+
x
x
, ta có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
5
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. ĐS: y = -

4
1
x +
4
9
.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = -
3
3
x
+ 2x
2
- 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
, biết rằng
( )
0
'' xf
= 6.
Giải. Ta có
( )
xf '
= - x
2
+ 4x - 3;
( )
xf ''
= - 2x + 4
⇒

( )
0
'' xf
= -2x
0
+ 4
Từ giả thiết, ta có
( )
0
'' xf
= 6
⇒
- 2x
0
+ 4 = 6
⇔
- 2x
0
= 2
⇔
x
0
= - 1
⇒
y
0
=
3
16

, và
( )
1' −f
= - 8. Vậy phương trình tiếp tuyến là y = - 8x -
3
8
.
2.3. Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
có tung độ y
0
Cách giải: + Thay y
0
vào (C) tìm x
0
.
+ Tính y' =
( )
xf '
,
( )
0
' xf
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf

vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
ta được kết quả.
Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) =
1
32
+
−
x
x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải. Từ giả thiết, ta có y
0
= 1
⇒

1
32
0
0
+
−
x

x
= 1
⇔
x
0
= 4.
( )
xf '
=
2
)1(
5
+x
⇒
( )
4'f
=
5
1
. Phương trình tiếp tuyến là y =
5
1
(x - 4) + 1
⇔
y =
5
1
x +
5
1

Một số bài tập liên quan đến bài toán 1
Bài 1. Cho hàm số
2
32
−
−
=
x
x
y
(C). Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến
của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của
các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải. Ta có
( )
2
2
1
'
−
−
=
x
y
. Giả sử M









−
−
2
32
;
0
0
0
x
x
x
∈
(C),
2
0
≠x
.
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là
2
32
)(
)2(
1
0
0
0

2
0
−
−
+−
−
−
=
x
x
xx
x
y
.
Gọi A, B là giao điểm của d với hai tiệm cận, nên








−
−
2
22
;2
0
0

x
x
A
;
)2;22(
0
−xB
.
Ta có:
MBA
xxxxx .2.2222
00
==−+=+

MBA
y
x
x
x
x
yy .2
2
32
.22
2
22
0
0
0
0

=
−
−
=+
−
−
=+

Giao điểm của hai tiệm cận là I(2; 2). Tam giác IAB vuông tại I, nên IM là bán
kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB. Diện tích của đường tròn ngoại
6
⇒
M là trung điểm của AB.
tiếp tam giác IAB là:
( )

















−
−
−
+−==
2
0
0
2
0
2
2
2
32
2.
x
x
xIMS
ππ
;
( )
( )
ππ
2
2
1
2
2
0
2

0
≥






−
+−=
x
xS
. Dấu " = " xảy ra khi
( )
( )
2
0
2
0
2
1
2
−
=−
x
x
⇔





=
=
3
1
0
0
x
x
. Vậy có hai điểm M cần tìm là M
1
(1; 1) và M
2
(3; 3).
Bài 2. Cho hàm số
1
3
−
−
=
x
x
y
(C).
a) M là điểm có hoành độ x
0
thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận
tại A, B. Chứng minh rằng:
* M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
* Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C).

* Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm vừa tìm được.
b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của
hai tiệm cận.
c) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm
đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy.
Giải. Ta có:
( )
2
1
2
'
−
=
x
y
. Vì M
∈
(C)
⇒









−

−
1
3
;
0
0
0
x
x
xM
;
1
0
≠x

a) Tiệm cận đứng của (C) là
1
∆
: x = 1, tiệm cận ngang của (C) là
2
∆
: y = 1.
Phương trình tiếp tuyến d tại M là
( )
( )
1
3
1
2
0

0
0
2
0
−
−
+−
−
=
x
x
xx
x
y
.
Gọi
{ }
1
∆∩= dA

⇒
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )





−

−
+−
−
=
=
1
3
1
2
1
0
0
0
2
0
x
x
xx
x
y
x
AA
A

⇒










−
−
0
0
1
5
;1
x
x
A
.
Gọi
{ }
2
∆∩= dB

⇒
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( )





−

−
+−
−
=
=
1
3
1
2
1
1
0
0
0
2
0
x
x
xx
x
y
B
B
,
1
0
≠x

⇔




−=
=
12
1
0
xx
y
B
B
⇒
B(2x
0
- 1; 1).
* Ta có: x
A
+ x
B
= 1 + 2x
0
- 1 = 2x
0
= 2 x
M
y
A
+ y
B
=

0
0
1
5
x
x
−
−
+ 1 = 2.
1
3
0
0
−
−
x
x
= 2 y
M

* Vì
21
∆⊥∆
tại I
⇒
tam giác IAB vuông tại I, nên ta có:
IBIAS
IAB
.
2

1
=
∆
,
7
⇒
M là trung điểm của AB.
1
4
0
−
=
x
IA
,
12
0
−= xIB
⇒

412.
1
4
.
2
1
0
0
=−
−

=
∆
x
x
S
IAB

⇒
IAB
S
∆
không đổi.
* Gọi C là chu vi tam giác IAB, ta có:
C
22
IBIAIBIAABIBIA +++=++=
≥
IBIAIBIA 2.2 +
⇒
C
( )
IBIA.22 +≥
. Dấu
''
=
''
xảy ra
⇔
IA = IB
12

1
4
0
0
−=
−
⇔ x
x
.
Giải ra ta được
21
0
±=x
( ) ( )
21;21;21;21
21
−++−⇒ MM
cần tìm.
Khi đó: C
( ) ( )
.21422
2
min
+=+= IA
Ta có:
( )
121' =±y
Phương trình tiếp tuyến tại M
1
; M

2
là
22±= xy
.
b) Phương trình qua giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận là d
1
: y = k(x - 1) + 1.
d
1
là tiếp tuyến của (C)
⇔
Hệ







=
−
+−=
−
−
k
x
xk
x
x
2

)1(
2
1)1(
1
3
có nghiệm. Thay (2) vào (1)
ta được:
( )
( )
1311
1
2
1
3
2
+=−⇔+−
−
=
−
−
xxx
x
x
x

⇒
phương trình vô nghiệm.
Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
c) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận của (C).
* Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị (C) có hoành độ

là x
M
= x
0.
Gọi M' đối xứng với M qua I
⇒
M'
∈
(C),
Ta có x
M'
+ x
M
= 2 x
I
= 2
⇒
x
M'
= 2 - x
0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
( )
( )
2
0
/
1
1
2

0
−
==
x
yk
x
;
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M' là
( )
( )
2
0
/
22
12
2
0
−−
==
−
x
yk
x
⇒

( )
( ) ( )
1
2
0

2
0
/
22
1
2
1
2
0
k
xx
yk
x
=
−
=
−
==
−

⇒
Hai tiếp tuyến tại M và M' song
song với nhau. Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau
qua giao điểm I của hai tiệm cận, tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau
và đường nối các cặp điểm trên đồng quy tại I.
Lưu ý: Với hai số dương a, b thỏa mãn ab = S (không đổi) thì biểu thức
C = a + b +
22
ba +
nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.

Vì C = a + b +
22
ba +
Sababab )22()22(22 +=+=+≥
.
Dấu
((
=
))
khi và chỉ khi a = b.
Bài 3. Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
(C).
a) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm
8
I
O
(C)
(1)
(2)
đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy.
b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B.
Chứng minh rằng:
* M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

* Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C).
* Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của
hai tiệm cận.
Giải. a) Ta có:
( )
( )
2
2
1
2
'
−
−
=
x
xx
xf
. Gọi M(x
0
; y
0
)
∈
(C)
⇒










−1
;
0
2
0
0
x
x
xM
,
1
0
≠x
.
Đồ thị (C) có tâm đối xứng là giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận của (C),
Điểm M' đối xứng với M qua I
⇒
M'
∈
(C).
Ta có
( )






−
−
=−=
−=−=
0
2
0
'
0'
1
2
2
22
x
x
yyy
xxxx
MIM
MIM
⇒

( )









−
−
−
0
2
0
0
1
2
;2'
x
x
xM
;
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
1
2
12
222
2'
x
xx

x
xx
xf
−
−
=
−−
−−−
=−
=
)(' xf
. Tiếp tuyến tại M và M' song
song với nhau.Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau qua
giao điểm I của hai tiệm cận và tiếp tuyến tại cặp điểm đó song song với nhau.
b) Ta có:
( )
2
2
1
2
'
−
−
=
x
xx
y
. M
∈
(C)

⇒








−1
;
0
2
0
0
x
x
xM
;
1
0
≠x
Tiệm cận đứng của (C) là
1
∆
: x = 1; tiệm cận xiên của (C) là
2
∆
: y = x + 1.
Phương trình tiếp tuyến d tại M là

( )
( )
1
1
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
−
+−
−
−
=
x
x
xx
x
xx
y
Gọi
{ }
1
∆∩= dA
⇒









−1
2
;1
0
0
x
x
A
. Gọi
{ }
2
∆∩= dB

⇒
B(2x
0
- 1; 2x
0
).
* Ta có: x
A

+ x
B
= 1 + 2x
0
- 1 = 2x
0
= 2 x
M
y
A
+ y
B
=
1
2
0
0
−x
x
+ 2x
0
= 2.
1
0
2
0
−x
x
= 2 y
M

* Vì
21
∆∩∆
tại I
⇒
I(1; 2). Ta có:
∧
∆
= AIBIBIAS
AIB
sin
2
1
. Mà
1
2
0
−
=
x
IA
và
122
0
−= xIB
. Ta có:
( )
21
,sinsin nnAIB =
∧

là không đổi, với
( )
0;1
1
=n
;
( )
1;1
2
−=n
lần lượt là véc tơ pháp tuyến của
1
∆
;
2
∆
và
24
1
2
.122.
0
0
=
−
−=
x
xIBIA
là số không đổi
⇒

IAB
S
∆
không đổi.
*) Gọi C là chu vi
IAB∆
. Ta có: C
ABIBIA ++=
Mà:
9
⇒
M là trung điểm của AB.
AB
2
= IA
2
+ IB
2
- 2.IA.IB.cos
∧
AIB
= IA
2
+ IB
2
-
2
.IA.IB (định lí hsố cosin)
⇒
C

IBIAIBIAIBIA 2
22
−+++=
IBIAIBIAIBIA .2 2.2 −+≥
,
⇒
C
( )
IBIA.222 −+≥
. Dấu
"
=
"
xảy ra
IBIA =⇔
122
1
2
0
0
−=
−
⇔ x
x
4
0
2
1
1±=⇔ x
⇒









−−
−
4
4
4
1
2
1222
;
2
1
1M
và








++

+
4
4
4
2
2
1222
;
2
1
1M
.
Khi đó: C
)12(2224
4
min
−+=
.
c) Giao điểm I của hai đường tiệm cận của (C) là I(1; 2),
Đường thẳng d' đi qua I(1; 2) có hệ số góc k có phương trình:
( )
21 +−= xky
d' là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )








=
−
−
+−=
−
k
x
xx
xk
x
x
2
2
2
1
2
21
1
Giải hệ ta được x = x - 1 (vô lí)
⇒
phương trình vô nghiệm. Vậy không có tiếp
tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm hai tiệm.
Câu hỏi tương tự như bài 1, 2, 3 cho các hàm số sau:
12
2
−
+
=

x
x
y
,
2
1
2
−
−−
=
x
xx
y
.
Một số điểm cần lưu ý: Tếp tuyến của đồ thị hàm số
dcx
bax
y
+
+
=
,(ac
≠
0) và
edx
cbxax
y
+
++
=

2
, (ad
≠
0), đều có chung một số tính chất sau:
1. Trên đồ thị có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với
nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy tại giao điểm của hai tiệm
cận của nó.
2. Tiếp tuyến của đồ thị tại mọi điểm M thuộc đồ thị hàm số đều:
+ Cắt hai tiệm cận tại hai điểm A, B thì M là trung điểm của đoạn AB.
+ Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
+ Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi
IA = IB, I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A và B lần lượt là giao điểm
của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận).
+ Không đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
3. Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết
hệ số góc của tiếp tuyến
3.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ
số góc của tiếp tuyến bằng k
Cách giải:
* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
+ Tính y' =
( )
xf '
. Giải phương trình
( )
xf '
= k tìm x = x
0
10

+ Thay x
0
vào phương trình y = f(x) tìm y
0
+ Thay x
0
; y
0
; k vào phương trình y = k(x - x
0
) + y
0
ta được tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( )



=
+=
kxf
bkxxf
'
(Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)
+ Giải phương trình

kxf =)(
'
tìm x thế vào phương trình
bkxxf +=)(
tìm b
+ Thế b vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = - x
4
- x
2
+ 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6.
Giải. * Cách 1. Ta có y' = - 4x
3
- 2x
Giải phương trình - 4x
3
- 2x = - 6
⇔
x = 1, Thay x = 1 vào (C),được y(1) = 0
Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) + 0
⇔
y = - 6x + 6.
* Cách 2. Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:





−=−−
+−=+−−
624
62
3
24
xx
bxxx
. Giải hệ phương trình tìm được x = 1, b = 6
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 6x + 6.
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C):
1
43
2
−
+−
=
x
xx
y
,
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1.
Giải. * Cách 1. Ta có
2
2
)1(
12
'
−

−−
=
x
xx
y

⇒

( )
2
0
0
2
0
0
1
12
)('
−
−−
=
x
xx
xy
= -1
⇔
1
)1(
12
2

0
0
2
0
−=
−
−−
x
xx
⇒



=⇒=
−=⇒=
22
40
00
00
yx
yx
. Tiếp tuyến là y = -x - 4, y = -x + 4.
* Cách 2. Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = - x + b
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:








−=
−
−−
+−=
−
+−
1
)1(
12
1
43
2
2
2
x
xx
bx
x
xx
.Giải hệ phương trình tìm được:
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 4 và y = - x + 4.
3.2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ
số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước
Cách giải: + Tính y' =
( )
xf '
+ Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k

+ Áp dụng dạng 1 tìm phương trình tiếp tuyến của (C).
11
x = 0; b = - 4
x = 2; b = 4
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):
1
2
+
−
=
x
x
y
, biết tiếp
tuyến: a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + 4 =0;
b) Vuông góc với đường thẳng d': x + 27y - 2 = 0.
Giải. Ta có:
( )
2
1
3
'
+
=
x
y

a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3;
* Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
( )

k
x
=
+
2
1
3
,
1−≠x
⇔




−=⇒=
=⇒−=
20
42
yx
yx
. Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:









=
+
+=
+
−
3
)1(
3
3
1
2
2
x
bx
x
x
, (
1−≠x
). Giải hệ phương trình tìm được:
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc là k = 27.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
( )
27
1
3
2

=
+x
,
1−≠x
⇔






=⇒−=
−=⇒−=
10
3
4
8
3
2
yx
yx
. Phương trình tiếp tuyến là y = 27x + 10, y = 27x + 46.
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:









=
+
+=
+
−
27
)1(
3
27
1
2
2
x
bx
x
x
,(
1−≠x
). Giải hệ phương trình ta được
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46.
Ví dụ 2. Cho hàm số:
xxxy 2
3
1
23
++=

(C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bé nhất.
Giải. Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là k.
Khi đó: k = y' = x
2
+ 2x + 2 = (x + 1)
2
+ 1
≥
1,
∀
x .
12
3
2
−=x
; b = 10,
3
4
−=x
; b = 46,
x = 0; b = - 2,
x = - 2; b = 10,
Dấu bằng xảy ra
⇔






−=
−=
3
4
1
y
x
⇒
k
min
= 1
⇔





−=
−=
3
4
1
y
x
. Tiếp tuyến là
3
1
−= xy
Chú ý: Tiếp tuyến (T)
⊥

đường thẳng d
⇔
k
T
.k
d
= - 1;
Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d
⇔
k
T
= k
d
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
22
232
2
2
+
−+
=
x
xx
y
(C). Chứng minh rằng tại các giao điểm
của (C) với trục hoành các tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.
Giải. Ta có:
22
2

)1(4
6166
'
+
++−
=
x
xx
y
. Giao điểm của (C) với trục hoành là A(-2; 0)
và B






0;
2
1
,
2
1
)2(')(' −=−= fxf
A
,
2)
2
1
(')(' == fxf

B

⇒
1
2
1
').2(' −=






− ff
.
Vậy tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số sau không có hai điểm nào mà tiếp
tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau:
a) y = x
3
+ 2x
2
+ 3x + 7; b) y = - x
3
+ 3x
2
- 5x - 4.
Giải. a) TXĐ: D = R. Ta có: y' = 3x
2
+ 4x + 3 > 0,

x∀
R∈
.
⇒
Mọi tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc k = y' > 0,
x∀
R∈
.
⇒
Trên đồ thị hàm số không thể có hai điểm mà hai tiếp tuyến tại đó có tích hai
hệ số góc bằng - 1
⇒
Không thể có hai tiếp tuyến của (1) vuông góc với nhau.
b) Tương tự.
Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = - x
4
- x
2
+ 6, biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
1
6
1
−= xy
. ĐS: y = - 6x + 10.
(Trích đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2010).
Ví dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):
43
34
−

−
=
x
x
y
, biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
20137 +−= xy
.
ĐS: y = - 7x + 6;
3
46
7 +−= xy
. (Câu I,2 đề 8 ôn thi TN năm 2013)
Ví dụ 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):
2
1
2
+
−+
=
x
xx
y
, biết
tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). ĐS:
522 −±−= xy
.
(Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2006).
4. Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết

tiếp tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A (x
1
; y
1
)
Cách giải:
* Cách 1: Tìm tiếp điểm
+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là: y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
(1);
13
+ Tiếp tuyến d qua A
⇔
Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (1)

⇔
y
1
=
( )
0
' xf

(x
1
- x
0
) + y
0
(2);
+ Giải phương trình (2) tìm x
0
, tính y
0
và
( )
0
' xf
;
+ Thay các kết quả tìm được vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Tìm hệ số góc
+ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
; y
1
) có hệ số góc k là phương
trình dạng: y = k(x - x
1
) + y
1
(1)
+ Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)

⇔
Hệ phương
trình sau có nghiệm:
( )
( )



=
+−=
kxf
yxxkxf
'
11
)(

+ Giải hệ phương trình tìm x, rồi thay vào tìm k;
+ Thay giá trị k vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+2 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) kẻ từ điểm A(0; 2);
b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau.
Giải. a) * Cách 1: Ta có y' = 3x
2
- 6x
+ Gọi x

0
là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0

⇒

23))(63(
2
0
3
000
2
0
+−+−−= xxxxxxy
(1)
+ Tiếp tuyến d qua A
⇔
Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (1)
⇔

23)0)(63(2
2
0
3

000
2
0
+−+−−= xxxxx

⇔

032
2
0
3
0
=+− xx


⇔




−==−=⇒=
===⇒=
4
9
)
2
3
(')(';
8
11

2
3
0)0(')(';20
000
000
fxfyx
fxfyx
;
+ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là: y = 2 và
2
4
9
+−= xy
.
* Cách 2: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 2) có hệ số góc k là : y = kx + 2
+ Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ sau có
nghiệm:
( )
( )



=
+=
kxf
kxxf
'

2

⇔






=−
+=+−
kxx
kxxx
63
223
2
23
. Giải hệ ta được:





−=⇒=
=⇒=
4
9
2
3
00

kx
kx
. Vậy có hai tiếp tuyến là: y = 2 và
2
4
9
+−= xy
.
b) Gọi A(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2;
Đường thẳng d qua A(a; 2), có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - a) + 2;
Để có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thì hệ phương trình sau phải có hai nghiệm:
14



=−
+−=+−
kxx
axkxx
63
2)(23
2
23
⇒
x[-2x
2
+ 3x(a + 1) - 6a] = 0
⇒





=−++−
=
06)1(32
0
2
aaxx
x
. Để kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì phương trình (*) có hai ngiệm phân
biệt x
1
, x
2
khác 0 và y'(x
1
).y'(x
2
) = -1
⇒





−=
≠
>∆
1)(').('

06
0
21
xyxy
a
, và áp dụng Viét:
2
)1(3
21
+
=+
a
xx
, x
1
.x
2
= 3a.
Giải ra ta được: 27a = - 1
⇔

27
1
−=a
. Vậy điểm cần tìm là:







− 2;
27
1
A
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
2
3
3
2
1
24
+−= xxy
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm






2
3
;0B
.
ĐS: Có ba tiếp tuyến là:
2
3
=y

;
2
3
22 += xy
;
2
3
22 +−= xy
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 8).
Giải. * Cách 1: Ta có:
( )
2
1
3
'
−
−
=
x

y
, M(x
0
; y
0
)
∈
(C),
1
0
≠x
+ Pt tiếp tuyến d: y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
⇒

( )
( )
1
12
1
3
0
0
0

2
0
−
+
+−
−
−
=
x
x
xx
x
y
, (1)
+ Tiếp tuyến d qua M
⇔
Tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình (1)

⇔

( )
( )
1
12
1
1
3
8
0
0

0
2
0
−
+
+−
−
−
=
x
x
x
x
,
1
0
≠x

⇔

( )
32';52
00
−==⇒= yyx
.
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 11.
* Cách 2: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình d qua M(1; 8) có hệ số góc k là:
( )
81 +−= xky

+ d là tiếp tuyến của (C)
⇔
Hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
( )



=
+−=
kxf
xkxf
'
81
Giải hệ, ta được: x = 2; k = - 3. Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = - 3x + 11.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 2 (C). Chứng minh rằng:
a) Qua điểm uốn của đồ thị kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
b) Qua mỗi điểm thuộc đồ thị (C), không phải là điểm uốn kẻ được đúng hai tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
15
(*)
Giải. a) Ta có y' = 3x
2
+ 6x; y'' = 6x + 6. Đồ thị (C) có điểm uốn là I(- 1; 0).
Phương trình tiếp tuyến qua điểm uốn có dạng:
( )( )

000
' yxxxfy +−=
⇒

( )( )
011' ++−= xfy
⇒
33 −−= xy
. Do đó qua điểm uốn của đồ thị (C) kẻ
được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị. Thật vậy, từ phương trình
33 −−= xy
, ta
có x
3
+ 3x
2
- 2 = - 3x - 3
⇔
(x + 1)
2
= 0 có một nghiệm duy nhất x = - 1.
Vậy qua điểm uốn của đồ thị (C) kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị.
b) Gọi M
∈
(C)
⇒
( )
23;
2
0

3
00
−+ xxxM
,
1
0
−≠x
(vì hoành độ điểm uốn là x = - 1).
Phương trình d qua M có hệ số góc k có dạng:
( )
23
2
0
3
00
−++−= xxxxky
d là tiếp tuyến của (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:
( )



+=
−++−=−+
xxk
xxxxkxx
63
2323
2

2
0
3
00
23
. Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
⇔
( )
( )
2
0
3
00
223
3633 xxxxxxxx ++−+=+
có hai nghiệm là x = x
0
,
2
3
0
−
+
=
x
x
,
x
0

≠
-1. Đối với hàm bậc ba, ứng với một tiếp điểm thì có một tiếp tuyến.
Vậy số nghiệm x của hệ là số tiếp tuyến kẻ được từ M đến đồ thị (C).
Vậy hệ phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt. Qua M bất kì thuộc (C),
không phải là điểm uốn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x
4
- x
2
+ 1 (C). Tìm những điểm trên Oy sao cho
từ những điểm đó kẻ được ba tiếp tuyến với (C).
Giải. Gọi M là điểm bất kì thuộc Oy
⇒
M(0; b).
Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y = kx + b.
Từ M kẻ được ba tiếp tuyến
⇔
Hệ phương trình



−=
+=+−
xxk
bkxxx
24
1
3
24
có ba

nghiệm phân biệt. Giải ra ta đ ược b = 1
⇒
M(0; 1).
Ví dụ 6. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
- 1 (C). Chứng minh rằng qua mỗi điểm thuộc
đường thẳng x = 1 kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải. Gọi M là điểm bất kì thuộc đường thẳng x = 1
⇒
M(1; b).
Phương trình d qua M với hệ số góc k có dạng: y = k(x - 1) + b
d là tiếp tuyến của (C)
⇔
Hệ sau có nghiệm:



−=
+−=−−
xxk
bxkxx
63
)1(13
2
23

⇔
- 2x

3
+ 6x
2
- 6x + 1 = b có nghiệm.
⇔
đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) = - 2x
3
+ 6x
2
- 6x + 1 .
Ta có:
xxxxxg ∀≤−−=−+−= ,0)1(66126)('
22
. Hàm g(x) là hàm nghịch biến
⇒
đường thẳng y = b luôn cắt đồ thị g(x) tại một điểm duy nhất
⇒
Hệ có
nghiệm duy nhất. Vậy qua M(1; b) chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với (C).
Chú ý: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a
≠
0 (C).
*) Có một và chỉ một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm uốn của nó
*) Qua mỗi điểm thuộc đồ thị (C), không phải là điểm uốn kẻ được đúng hai
tiếp tuyến đến đồ thị (C).
16

Bài tập.
Bài 1. Cho hàm số
164
23
+−= xxy
(C). Viết phươngtrình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9).
(Trích đề thi ĐH-CĐ khối B-2008).
Bài 2. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2. Tìm trên đường thẳng d: y = - 2, các điểm
mà từ đó ta vẽ được đến (C): a) Ba tiếp tuyến.
b) Ba tiếp tuyến mà có hai tiếp tuyến vuông góc.
5. Bài toán 4 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết
tiếp tuyến thỏa mãn tính chất P cho trước.
Cách giải:
+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M(x
0
; y
0
) có dạng: y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0

,
+ Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
;
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
ta được tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ1. Cho hàm số
32
2

+
+
=
x
x
y
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ. (Trích đề thi ĐH-CĐkhối A-2009).
Giải. Ta có:
( )
2
0
32
1
'
+
−
=
x
y
. Gọi M(x
0
; y
0
)
∈
(1),
2
3

0
−≠x

Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:
( )( )
000
' yxxxfy +−=
(*).
Từ giả thiết, ta có:
{ }
{ }





=∩
=∩
BOyd
AOxd
⇒
Tiếp tuyến d song song với đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất và thứ hai lần lượt có phương trình y = x; y = - x,
⇒

( )
0
'1 xfk =±=
. Ta có:
( )

1
32
1
2
0
±=
+
−
x

⇔




=⇒−=
=⇒−=
11
02
00
00
yx
yx
.
* Với x
0
= - 1; y
0
= 1, phương trình y = - x (loại)
* Với x

0
= - 2; y
0
= 0, phương trình tiếp tuyến là y = - x - 2.
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 2.
Ví dụ 2. Cho hàm số
x
xy
1
+=
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),
biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox tại x =
α
, cắt trục Oy tại
β
=y
sao cho
8. =
βα
.
Giải. Ta có
2
1
1'
x
y −=
. Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C).
Phương trình tiếp tuyến tại x

0
là
0
2
0
21
1
x
x
x
y +








−=
(1). Theo đề ra, ta có:
( )
0;
α
A
và
( )
β
;0B
thay vào (1) ta giải được:




−
−=
1
2
2
0
0
x
x
α
;
0
2
x
=
β
17

OAB∆
cân tại O
Từ giả thiết
8. =
βα

⇒

2

2
8
1
4
8
2
.
1
2
0
2
0
0
2
0
0
±=⇔=
−
−
⇔=
−
−
x
x
x
x
x
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là
22±−= xy

.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
2
−
=
x
x
y
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam
giác OAB thỏa mãn
2OAAB =
.
Giải. Ta có:
( )
2
2
4
'
−
−
=
x
y
. Gọi M(x
0
; y
0
)

∈
(1) ,
2
0
≠x
.
Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:
( )
( )
2
2
2
4
0
0
0
2
0
−
+−
−
−
=
x
x
xx
x
y
.
* Cách 1: Theo giả thiết:

{ }
{ }





=∆
=∩
=∩
2: OAABOAB
BOyd
AOxd

OAB∆⇒
vuông cân tại O.
Do đó:



−=⊥
=⊥
xyd
xyd
.
+ Nếu
⊥d
1
d
:

xy =
thì
1.
1
−=
dd
kk

( )
11.
2
4
2
0
−=
−
−
⇔
x

⇔

( )
42
2
0
=−x
.
Giải ra ta được: x
0

= 0
⇒
phương trình d: y = - x (loại)
x
0
= 4
⇒
phương trình d: y = - x + 8.
+ Nếu
⊥d
2
d
:
xy −=
thì
1.
2
−=
dd
kk

( )
( )
11.
2
4
2
0
−=−
−

−
⇔
x
(vô lí).
Vậy có một tiếp tuyến d cần tìm là y = - x + 8.
* Cách 2: Vì tam giác OAB vuông tại O nên
4
sin
2
1
sin
π
===
∧
AB
OA
ABO
⇒
Tam giác OAB vuông cân tại O; d
{ }
AOx =∩








⇒ 0;

2
2
0
x
A
; d
{ }
BOy =∩
( )








−
⇒
2
0
2
0
2
2
;0
x
x
B
. Giả thiết OA = OB

( )
2
0
2
0
2
0
2
2
2
−
=⇒
x
xx

⇒
x
0
= 0, x
0
= 4.
Tương tự như trên ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x + 8.
Ví dụ 4. Cho hàm số
1
2
+
−
=
x
x

y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất.
Giải. Ta có:
( )
2
1
3
'
+
=
x
y
. Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C).
18
Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:
( )
( )
1
2
1
3
0
0
0

2
0
+
−
+−
+
=
x
x
xx
x
y
,
1
0
−≠x
*
{ }
AOxd =∩
⇒








−−
− 0;

3
24
0
2
0
xx
A
; Ta có:
3
24
0
2
0
−−
=
xx
OA
.
{ }
BOyd =∩
⇒

( )









+
−−
2
0
0
2
0
1
24
;0
x
xx
B
. Ta có:
( )
2
0
0
2
0
1
24
+
−−
=
x
xx
OB
.

rpOBOAS
OAB

2
1
==
∆
, ( với
2
ABOBOA
p
++
=
, r là bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác OAB).
ABOBOA
OBOA
r
++
=⇒
.

⇒

22
.
OBOAOBOA
OBOA
r

+++
=
OBOAOBOA
OBOA
2.2
.
+
≤
=
22
.
+
OBOA
224 +
+
≤
OBOA
Do đó:
224 +
+
=
OBOA
r
Max
. Dấu
"
=
"
xảy ra
⇔

OA = OB
⇔

( )
2
0
0
2
00
2
0
1
24
3
24
+
−−
=
−−
x
xxxx
⇔




−−=
−=
13
13

0
0
x
x
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
222 −+= xy
;
222 ++= xy
.
Ví dụ 5. Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất.
Giải. Tiếp tuyến d tại









−1
;
2
0
0
x
x
xM
là:
( )
( )
1
1
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
−
+−
−
−
=
x
x

xx
x
xx
y
,
1
0
≠x
.
Tiếp tuyến d cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B nên:








−
0;
2
0
0
x
x
A
,

















−
2
0
0
1
;0
x
x
B
.
rpOBOAS
OAB

2
1
==
∆

224
.
+
+
≤
++
=⇒
OBOA
ABOBOA
OBOA
r
.
( )
minmax
pr ⇔
Tương tự như trên ta có tiếp tuyến cần tìm là:
223 ±+−= xy
.
Lưu ý:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
dcx
bax
y
+
+
=
,(ac
≠
0) và
edx

cbxax
y
+
++
=
2
,(ad
≠
0)
tại mọi điểm M thuộc đồ thị hàm số đều có chung một số tính chất sau:
+ Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn
nhất khi và chỉ khi OA = OB, (O là gốc tọa độ, A và B là giao điểm của đồ thị
với hai trục tọa độ).
19
+ Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi
OA = OB, (O là gốc tọa độ, A và B là giao điểm của đồ thị với hai trục tọa
độ).
Ví dụ 6: Cho hàm số
1−
=
x
x
y
(H). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H),
biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bằng
)22(2 +
.
ĐS: Có hai tiếp tuyến cần tìm là y = - x; y = - x + 4.
Ví dụ 7: Cho hàm số
1

23
+
−
=
x
x
y
(C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm
cận của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C), biết tiếp
tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos
26
5
=
∧
BAI
. ĐS: Tiếp tuyến là y = 5x - 2; y = 5x + 2.
Ví dụ 8: Cho hàm số
2
2
+
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
ĐS: y = x và y = x + 8.
Ví dụ 9: Cho hàm số
1
12

−
−
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng
2
.
ĐS: y = - x + 1 và y = - x + 5.
Ví dụ 10: Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(- 4; - 2).
ĐS: Có ba phương trình tiếp tuyến là y = x + 1; y = x + 5;
4
5
4
1
+= xy
.
Một số bài tập liên quan:

Bài 1. Cho hàm số
1
2
+
+
=
x
x
y
(C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận,
∆
là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C), d là khoảng cách từ I đến
∆
. Tìm giá
trị lớn nhất của d.
Bài 2. Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành
độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A
và B song song với nhau.
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 1 (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4
2
.

Bài 4. Cho hàm số
1)34()1(
3
1
23
+−+−+= xmxmmxy
(C
m
). Tìm các giá trị
của m sao cho trên đồ thị (C
m
) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x + 2y - 3 = 0.
20
Bài 5. Cho hàm số
2)2()21(
23
++−+−+= mxmxmxy
(C
m
). Tìm tham số m
để đồ thị hàm số (C
m
) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc
α
,
biết
26
1
cos =

α
.
Kết quả thu được ở một số lớp qua những năm tôi trực tiếp giảng dạy
Kiểm nghiệm qua làm đề thi thử ĐH - CĐ khối A, B.
Năm học 2010 - 2011.
Lớp
Sĩ
số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A4 44 15 34,1 19 43,2 9 20,5 1 2,2 0 0
12A9 47 9 19,1 15 31,2 20 42,6 3 7,1 0 0
Năm học 2011 - 2012.
Lớp
Sĩ
số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12B10 49 9 18,4 19 38,8 16 32,6 5 10,2 0 0
Năm học 2012 - 2013.
Lớp
Sĩ
số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12C6 49 25 51,0 15 30,6 9 18,4 0 0 0 0
12C9 47 9 19,1 11 23,4 25 53,2 2 4,3 0 0
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trên đây là những kinh nghiệm tích lũy của bản thân trong quá trình giảng dạy
và ôn luyện lớp 12. Đề tài này đã được bản thân tôi sử dụng một cách có hiệu

quả ở khối lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp và Đại học-Cao đẳng. Kết quả thu được rất
khả quan, các em học tập một cách say mê, hứng thú, tích cực. Một số em đã đạt
được những thành tích tốt qua những kỳ thi Tốt nghiệp và Đại học - Cao đẳng.
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu. Bản thân tôi đã đúc rút và tích lũy được
một số kinh nghiệm "một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số". Thông qua đề tài này rất mong hội đồng khoa học và các đồng chí, đồng
nghiệp kiểm định, xây dựng và góp ý để đề tài này được hoàn thiện hơn, có ứng
dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, làm tài liệu tham
khảo tin cậy cho Thầy và trò, phục vụ tốt cho ôn luyện trong các kỳ thi Tốt
nghiệp THPT và Đại học - Cao đẳng một cách vững vàng, tự tin và thành công.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 03 tháng 5 năm 2013.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
tôi, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết đề tài

21
Nguyễn Thị Thức
22