Bài giảng toán A1,C1 dành cho hệ cao đẳng,đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
HUỲNH HỮU DINH
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1
(BẬC CAO ĐẲNG)
TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Trang 2
Mục lục
1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 7
1.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37
2.1 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 TÍCH PHÂN 65
3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Tích phân hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7 Công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 87

3.8.1 Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . 88
3.9 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 94
3.11 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11.1 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.12 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 101
3
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
3.12.2 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.12.3 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13 Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.13.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Ma trận và định thức 117
4.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1 Các khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . 127
4.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.1 Hoán vị và nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông . . . . . 130
4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai
triển định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . 136
4.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.3.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B . . . . 149
4.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . 152
4.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 Hệ phương trình tuyến tính 171
5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . 171
5.1.1 Khái niệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2 Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3 Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4 Phương pháp phân rã LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.4.1 Phương pháp Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.4.2 Phương pháp Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng
quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . 190
5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195
6 Không gian vector 205
6.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính . . . . . . . . . . 207
6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . 210
6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector . . . . . . . . . . 216
6.5 Tọa độ của vector. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . 222
6.6 Không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Trang 4
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . 229
6.6.2 Không gian con nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.7 Không gian vector Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Trực chuẩn hóa

Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Trang 5
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Trang 6
Chương 1
GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ
LIÊN TỤC
1.1 Giới hạn hàm số
Định nghĩa 1.1. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến
về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f (x) xác định trong tập D.
Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a, ký hiệu
lim
x→a
f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao
cho |f(x) −L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa điều kiện |x − a| < δ.
Ví dụ 1.1. Chứng tỏ rằng lim
x→1
(2x + 1) = 3.
Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |(2x + 1) − 3| < ϵ được thỏa
mãn thì
|(2x + 1) − 3| < ϵ ⇔ |x − 1| <
ϵ
2
Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ =
ϵ
2
thì với mọi x thỏa
|x −1| < δ ta được |(2x + 1) − 3| < ϵ. Do đó lim
x→1
(2x + 1) = 3. 

Nhận xét 1.1. Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không
nhất thiết phải xác định tại điểm x = a. Khi tính giới hạn ta chỉ xét các
giá trị của hàm trong lân cận của điểm a nhưng khác a.
Ví dụ 1.2. Chứng tỏ rằng lim
x→2
x
2
− 4
x −2
= 4.
7
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. Hàm số đã cho không xác định tại x = 2. Ta cần phải chứng minh
rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| < δ, x ̸= 2
thì |
x
2
− 4
x −2
− 4| < ϵ.
Khi x ̸= 2 ta được




x
2
− 4
x −2
− 4





< ϵ ⇔ |x + 2 − 4| < ϵ ⇔ |x − 2| < ϵ
Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ thì với mọi x thỏa
|x −2| < δ, x ̸= 2 ta được |
x
2
− 4
x −2
− 4| < ϵ. Do đó lim
x→2
x
2
− 4
x −2
= 4. 
Định nghĩa 1.2. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến ra
vô cùng) Ta nói giá trị L là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x
tiến ra cộng (trừ) vô cùng, ký hiệu lim
x→+∞
f (x) = L

lim
x→−∞
f (x) = L

nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại số N > 0 sao cho với mọi x thỏa
x > N(x < −N) thì ta có bất đẳng thức |f(x) −L| < ϵ.

Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng lim
x→+∞
2x
x −1
= 2.
Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |
2x
x −1
− 2| < ϵ được thỏa
mãn thì




2x
x −1
− 2




< ϵ ⇔




2
x −1





< ϵ ⇔ |x −1| >
2
ϵ
Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N >
2
ϵ
+ 1 thì với mọi x thỏa
x > N ta được |
2x
x −1
− 2| < ϵ. Do đó lim
x→+∞
2x
x −1
= 2. 
Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng lim
x→−∞
3x
2x −1
=
3
2
.
Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |
3x
2x −1
−
3

2
| < ϵ được thỏa
mãn thì




3x
2x −1
−
3
2




< ϵ ⇔




3
2 (2x −1)




< ϵ ⇔ |2x −1| >
3
2ϵ

Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N >
1
2

3
2ε
− 1

thì với mọi
x < −N ta được |
3x
2x −1
−
3
2
| < ϵ. Do đó lim
x→−∞
3x
2x −1
=
3
2
. 
Trang 8
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Tính chất 1.1. Các tính chất của giới hạn hữu hạn (a có thể bằng ±∞):
1. Nếu f(x) = c (hằng số) thì lim
x→a
f (x) = c.
2. Nếu f(x) ≥ c và hàm f(x) có giới hạn tại x = a thì lim

x→a
f (x) ≥ c.
3. Nếu φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) và lim
x→a
φ (x) = lim
x→a
ψ (x) = L thì
lim
x→a
f (x) = L
4. Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn lim
x→a
f (x) và lim
x→a
g (x) thì
• lim
x→a
[f (x) + g (x)] = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g (x).
• lim
x→a
[f (x) g (x)] = lim
x→a
f (x) lim
x→a
g (x).
• lim

x→a
f (x)
g (x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g (x)

lim
x→a
g (x) ̸= 0

Sử dụng các tính chất trên làm cho việc tính giới hạn trở nên rất
đơn giản. Chúng ta xét một số ví dụ điển hình sau:
Ví dụ 1.5. Tính giới hạn L = lim
x→1
x
3
+ x + 1
x
2
− x + 1
.
Giải. Vì lim
x→1
(x
2

− x + 1) = 1 ̸= 0 nên L = lim
x→1
x
3
+ x + 1
x
2
− x + 1
=
3
1
= 3. 
Ví dụ 1.6. Tính giới hạn L = lim
x→1
x
2
− 3x + 2
x −1
.
Giải. Vì lim
x→1
(x
2
− 3x + 2) = lim
x→1
(x −1) = 0 nên ta cần khử dạng vô định
(dạng
0
0
)

lim
x→1
x
2
− 3x + 2
x −1
= lim
x→1
(x −1) (x − 2)
x −1
= lim
x→1
(x −2) = −1
Vậy L = −1. 
Ví dụ 1.7. Tính giới hạn L = lim
x→1
3
√
x −1
√
x −1
.
Giải. Giới hạn trên cũng có dạng vô định, ta có
lim
x→1
3
√
x −1
√
x −1

= lim
x→1
(x −1)

3
√
x
2
+
3
√
x + 1

√
x + 1
x −1
= lim
x→1
√
x + 1
3
√
x
2
+
3
√
x + 1
=
2

3
Vậy L =
2
3
. 
Trang 9
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Ví dụ 1.8. Tính giới hạn L = lim
x→+∞
x
3
− 2x + 5
2x
3
+ 2x + 1
.
Giải. Chia tử thức và mẫu thức cho x
3
ta được
lim
x→+∞
x
3
− 2x + 5
2x
3
+ 2x + 1
= lim
x→+∞
1 −

2
x
2
+
5
x
3
2 +
2
x
2
+
1
x
3
=
1
2
Vậy L =
1
2
. 
Ví dụ 1.9. Tính giới hạn L = lim
x→−∞
x
3
3
√
x
4

− 2x
4
− 1
2x
3
3
√
x
4
+ 2x
4
+ 2
.
Giải. Ta có lim
x→−∞
x
3
3
√
x
4
− 2x
4
− 1
2x
3
3
√
x
4

+ 2x
4
+ 3
= lim
x→−∞
1 −
2
3
√
x
−
1
x
3
3
√
x
4
2 +
2
3
√
x
+
3
x
3
3
√
x

4
=
1
2
.
Vậy L =
1
2
. 
Định nghĩa 1.3. (Giới hạn vô cùng của hàm số khi x tiến về
một số hữu hạn)) Hàm số f(x) được gọi là tiến ra +∞ (−∞) khi
x → a nếu mỗi số dương M lớn tùy ý, ta có thể tìm được δ > 0 sao cho
với mọi x thỏa |x −a| < δ, x ̸= a thì f(x) > M (f(x) < −M), ký hiệu
lim
x→a
f (x) = +∞

lim
x→a
f (x) = −∞

Ví dụ 1.10. Chứng minh rằng lim
x→2
1
(x −2)
2
= +∞.
Giải. Với M > 0 lớn tùy ý và x ̸= 2 ta có
1
(x −2)

2
> M ⇔ (x −2)
2
<
1
M
⇔ |x −2| <
1
√
M
Vậy với M lớn tùy ý, chọn δ =
1
√
M
thì với mọi x thỏa |x −2| < δ, x ̸= 2
ta được
1
(x −2)
2
> M. Do đó lim
x→2
1
(x −2)
2
= +∞. 
Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng lim
x→1
−1
(x −1)
2

= −∞.
Trang 10
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. Với M > 0 lớn tùy ý và x ̸= 1 ta có
−1
(x −1)
2
< −M ⇔ (x −1)
2
<
1
M
⇔ |x −1| <
1
√
M
Vậy với M lớn tùy ý, chọn δ =
1
√
M
thì với mọi x thỏa |x −1| < δ, x ̸= 1
ta được
−1
(x −1)
2
< −M. Do đó lim
x→1
−1
(x −1)
2

= −∞. 
Định nghĩa 1.4. (Giới hạn vô cùng của hàm số khi x tiến ra
vô cùng)) Hàm số f(x) được gọi là tiến ra +∞ khi x → +∞ nếu
với mỗi số dương M lớn tùy ý, ta có thể tìm được N > 0 sao cho
f(x) > M, ∀x > N, ký hiệu lim
x→+∞
f (x) = +∞.
Các giới hạn
lim
x→+∞
f (x) = −∞, lim
x→−∞
f (x) = −∞, lim
x→−∞
f (x) = +∞
được định nghĩa tương tự.
Ví dụ 1.12. Chứng minh rằng lim
x→+∞
x
2
x + 1
= +∞.
Giải. Với M > 0 lớn tùy ý ta có
x
2
x + 1
> M ⇔ x
2
− Mx − M > 0 ⇔ x >
M +

√
M
2
+ 4M
2
Vậy với M > 0 lớn tùy ý, chọn N =
M+
√
M
2
+4M
2
thì với mọi x > N ta
được
x
2
x + 1
> M. Do đó lim
x→+∞
x
2
x + 1
= +∞. 
Ví dụ 1.13. Chứng minh rằng lim
x→−∞
x
2
x + 1
= −∞.
Giải. Với M lớn tùy ý ta có

x
2
x + 1
< −M ⇔ x
2
+ Mx + M > 0 ⇔ x <
−M −
√
M
2
− 4M
2
Vậy với M > 0 tùy ý, chọn N =
−M−
√
M
2
−4M
2
thì với mọi x < N ta được
x
2
x + 1
< −M. Do đó lim
x→−∞
x
2
x + 1
= −∞. 
Trang 11

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Tính chất 1.2. Các tính chất của giới hạn vô cùng (a có thể bằng ±∞):
1. Nếu lim
x→a
f (x) = ±∞ và lim
x→a
g (x) = ±∞ thì lim
x→a
[f (x) + g (x)] = ±∞
và lim
x→a
[f (x) g (x)] = +∞.
2. Nếu lim
x→a
f (x) = ±∞ và lim
x→a
g (x) = ∓∞ thì lim
x→a
[f (x) g (x)] = −∞.
3. Nếu lim
x→a
f (x) = ±∞ thì
• lim
x→a
cf (x) = ±∞ nếu c > 0.
• lim
x→a
cf (x) = ∓∞ nếu c < 0.
4. Nếu f(x) ≥ g(x) và lim
x→a

g (x) = +∞ thì lim
x→a
f (x) = +∞.
5. Nếu f(x) ≤ g(x) và lim
x→a
g (x) = −∞ thì lim
x→a
f (x) = −∞.
6. Nếu lim
x→a
f (x) = ±∞ và lim
x→a
g (x) = c > 0 thì lim
x→a
[f (x) g (x)] = ±∞.
7. Nếu lim
x→a
f (x) = ±∞ và lim
x→a
g (x) = c < 0 thì lim
x→a
[f (x) g (x)] = ∓∞.
Ví dụ 1.14. Tính giới hạn L = lim
x→+∞
(x
3
− x
2
+ 1).
Giải. Ta có


x
3
− x
2
+ 1

= x
3

1 −
1
x
+
1
x
3

Vì lim
x→+∞
x
3
= +∞ và lim
x→+∞

1 −
1
x
+
1

x
3

= 1 > 0 nên L = +∞. 
Ví dụ 1.15. Tính giới hạn L = lim
x→−∞
x
3
+ 3x + 1
x
2
− x + 1
.
Giải. Ta có
x
3
+ 3x + 1
x
2
− x + 1
=
x
3

1 +
3
x
2
+
1

x
3

x
2

1 −
1
x
+
1
x
2

= x
1 +
3
x
2
+
1
x
3
1 −
1
x
+
1
x
2

Vì lim
x→−∞
x = −∞ và lim
x→−∞
1 +
3
x
2
+
1
x
3
1 −
1
x
+
1
x
2
= 1 > 0 nên L = −∞. 
Ví dụ 1.16. Tính giới hạn L = lim
x→+∞
x
2
− sin
2
x
x
.
Trang 12

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. Với x > 0 ta có
x −
1
x
≤
x
2
− sin
2
x
x
≤ x
Mà lim
x→+∞

x −
1
x

= lim
x→+∞
x = +∞ nên L = +∞. 
Các giới hạn cơ bản
Sau đây, tác giả xin giới thiệu đến bạn đọc một số giới hạn cơ bản được
dùng nhiều trong bài giảng này:
1. lim
x→0
sin x
x

= 1. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a
sin u
u
= 1.
lim
x→0
tan x
x
= 1. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a
tan u
u
= 1.
Ví dụ 1.17. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
sin 3x
x
b. lim
x→0
1 −cos x
x
2
c. lim
x→1

sin [2 (x
2
− 1)]
x −1
d. lim
x→0
sin (2013x)
sin (2014x)
Giải. a. lim
x→0
sin 3x
x
= 3 lim
x→0
sin 3x
3x
= 3.
b. lim
x→0
1 −cos x
x
2
= lim
x→0
2sin
2
x
2
x
2

=
1
2
lim
x→0

sin
x
2
x
2

2
=
1
2
c. Ta có
lim
x→1
sin [2 (x
2
− 1)]
x −1
= lim
x→1
sin [2 (x
2
− 1)]
2 (x
2

− 1)
2 (x
2
− 1)
x −1
= lim
x→1
sin [2 (x
2
− 1)]
2 (x
2
− 1)
lim
x→1
2 (x
2
− 1)
x −1
= lim
x→1
2 (x + 1) = 4
d. lim
x→0
sin (2013x)
sin (2014x)
=
2013
2014
lim

x→0
sin (2013x)
2013x
2014x
sin (2014x)
=
2013
2014

Ví dụ 1.18. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
tan 2x
x
b. lim
x→0
tan 3x
sin 2x
c. lim
x→0
tan (tan x)
x
d. lim
x→0
tan x
2
sin
2
x
Trang 13

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. a. lim
x→0
tan 2x
x
= 2 lim
x→0
tan 2x
2x
= 2.
b. lim
x→0
tan 3x
sin 2x
=
3
2
lim
x→0
tan 3x
3x
2x
sin 2x
=
3
2
.
c. lim
x→0
tan (tan x)

x
= lim
x→0
tan (tan x)
tan x
tan x
x
= 1.
d. lim
x→0
tan x
2
sin
2
x
= lim
x→0
tan x
2
x
2
x
2
sin
2
x
= 1. 
2. lim
x→0
arcsin x

x
= 1. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a
arcsin u
u
= 1.
lim
x→0
arctan x
x
= 1. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a
arctan u
u
= 1.
Ví dụ 1.19. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
arctan (sin x)
arcsin (tan x)
b. lim
x→1
arctan (x
2
− 1)
arcsin (x

3
− 1)
c. lim
x→0
arctan 2x arcsin 3x
(x −x
2
)
2
d. lim
x→0
√
arctan x + 1 − 1
x
Giải. a. lim
x→0
arctan (sin x)
arcsin (tan x)
= lim
x→0
arctan (sin x)
sin x
tan x
arcsin (tan x)
sin x
tan x
= 1.
b. lim
x→1
arctan (x

2
− 1)
arcsin (x
3
− 1)
= lim
x→1
arctan (x
2
− 1)
x
2
− 1
x
3
− 1
arcsin (x
3
− 1)
x
2
− 1
x
3
− 1
=
2
3
.
c. lim

x→0
arctan 2x arcsin 3x
(x −x
2
)
2
= lim
x→0
arctan 2x
2x
arcsin 3x
3x
6
(1 −x)
2
= 6.
d. lim
x→0
√
arctan x + 1 − 1
x
= lim
x→0
arctan x
x

√
arctan x + 1 + 1

=

1
2
. 
3. lim
x→0
1 −cos x
x
2
=
1
2
. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì
lim
x→a
1 −cos u
u
2
=
1
2
Ví dụ 1.20. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
1 −cos 2x
sin
2
2x
b. lim

x→0
1 −cos (tan x)
sin
2
x
c. lim
x→1
1 −cos (
√
x −1)
(x −1)
2
d. lim
x→+∞
x
2

1 −cos
2
x

Trang 14
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. a. lim
x→0
1 −cos 2x
sin
2
2x
= lim

x→0
1 −cos 2x
4x
2
4x
2
sin
2
2x
=
1
2
.
b. lim
x→0
1 −cos (tan x)
sin
2
x
= lim
x→0
1 −cos (tan x)
tan
2
x
tan
2
x
sin
2

x
=
1
2
.
c. lim
x→1
1 −cos (
√
x −1)
(x −1)
2
= lim
x→1
1 −cos (
√
x −1)
(
√
x −1)
2
1
(
√
x + 1)
2
=
1
8
.

d. lim
x→+∞
x
2

1 −cos
2
x

= 4 lim
x→+∞
1 −cos
2
x

2
x

2
= 2. 
4. lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a

e
u
− 1
u
= 1.
lim
x→0
ln (x + 1)
x
= 1. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a
ln (u + 1)
u
= 1.
Ví dụ 1.21. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
e
sin x
− 1
x
b. lim
x→0
e
cos x
− e
x
2

c. lim
x→0
ln

1 −2sin
2
x

x
2
d. lim
x→0
ln (cos x)
x
2
Giải. a. lim
x→0
e
sin x
− 1
x
= lim
x→0
e
sin x
− 1
sin x
sin x
x
= 1.

b. lim
x→0
e
cos x
− e
x
2
= e lim
x→0
e
cos x−1
− 1
cos x −1
cos x −1
x
2
= −
e
2
.
c. lim
x→0
ln

1 −2sin
2
x

x
2

= lim
x→0
ln

1 −2sin
2
x

−2sin
2
x
−2sin
2
x
x
2
= −2.
d. lim
x→0
ln (cos x)
x
2
= lim
x→0
ln (1 + cos x −1)
cos x −1
cos x −1
x
2
= −

1
2
. 
5. lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e. Tổng quát: nếu lim
x→a
u = 0 thì lim
x→a
(1 + u)
1
u
= e.
lim
x→±∞

1 +
1
x

x
= e. Nếu lim
x→a
u = ±∞ thì lim
x→a

1 +

1
u

u
= e.
Ví dụ 1.22. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→+∞

1 +
1
x
2
+ x

x
2
b. lim
x→0
(cos x)
1
x
2
c. lim
x→0
(cos x + sin x)
cot x
d. lim
x→+∞


x −1
x + 1

x
Trang 15
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. a. lim
x→+∞

1 +
1
x
2
+ x

x
2
= lim
x→+∞


1 +
1
x
2
+ x

x
2
+x


x
2
x
2
+x
= e.
b. lim
x→0
(cos x)
1
x
2
= lim
x→0

(1 + cos x − 1)
1
cos x−1

cos x−1
x
2
= e
−
1
2
.
c. lim
x→0

(cos x + sin x)
cot x
= lim
x→0

(cos x + sin x)
1
cos x+sin x−1

(cos x+sin x−1) cot x
Ta thấy lim
x→0
(cos x + sin x −1) cot x = lim
x→0

cos x −1
sin x
+ cos x

= 1.
Do đó lim
x→0
(cos x + sin x)
cot x
= e.
d. Ta thấy

x −1
x + 1


x
=


1 −
1
x+1
2

−
x+1
2

−2x
x+1
Do đó lim
x→+∞

x −1
x + 1

x
= e
−2
. 
6. lim
x→0
n
√
1 + x − 1

x
=
1
n
(n ∈ N). Nếu lim
x→a
u = 0 thì
lim
x→a
n
√
1 + u − 1
u
=
1
n
Ví dụ 1.23. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
3
√
1 + sin 2x − 1
x
b. lim
x→0
3
√
8 −x − 2
4
√

16 + 2x − 2
c. lim
x→1
2014
√
x −1
2013
√
x −1
d. lim
x→0
√
cos x −1
x
Giải. a. lim
x→0
3
√
1 + sin 2x − 1
x
= lim
x→0
3
√
1 + sin 2x − 1
sin 2x
sin 2x
x
=
2

3
.
b. Ta có
3
√
8 −x − 2
4
√
16 + 2x −2
=
3

1 −
x
8
− 1
4

1 +
x
8
− 1
= −
3

1 −
x
8
− 1
−

x
8
x
8
4

1 +
x
8
− 1
Do đó lim
x→0
3
√
8 −x − 2
4
√
16 + 2x −2
= −
4
3
.
Trang 16
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
c. Ta có
2014
√
x −1
2013
√

x −1
=
2014
√
1 + x − 1 −1
2013
√
1 + x − 1 −1
=
2014
√
1 + x − 1 −1
x −1
x −1
2013
√
1 + x − 1 −1
Do đó lim
x→1
2014
√
x −1
2013
√
x −1
=
2013
2014
.
d. lim

x→0
√
cos x −1
x
= lim
x→0
√
1 + cos x − 1 −1
cos x −1
cos x −1
x
= 0. 
1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái
Định nghĩa 1.5. (Giới hạn phải) Cho hàm số f(x) xác định trong
tập D. Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) tại điểm a, ký
hiệu lim
x→a
+
f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho
|f(x) −L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − a < δ.
Định nghĩa 1.6. (Giới hạn trái) Cho hàm số f(x) xác định trong
tập D. Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) tại điểm a, ký
hiệu lim
x→a
−
f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho
|f(x) −L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa −δ < x − a < 0.
Nhận xét 1.2. Trường hợp L = ±∞ bạn đọc tự định nghĩa.
Ví dụ 1.24. Dựa vào định nghĩa giới hạn một phía ta tính được một số
giới hạn quan trọng sau:

1. lim
x→0
+
1
x
= +∞; lim
x→0
−
1
x
= −∞.
2. lim
x→
π
2
+
tan x = −∞; lim
x→
π
2
−
tan x = +∞.
3. lim
x→0
+
cot x = +∞; lim
x→0
−
cot x = −∞.
4. lim

x→0
+
√
x = 0; lim
x→0
−
√
x không tồn tại.
5. lim
x→0
+
arctan
1
x
=
π
2
; lim
x→0
−
arctan
1
x
= −
π
2
.
Trang 17
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
6. lim

x→0
+
ln x = −∞.
Ví dụ 1.25. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→1
+
√
x
2
− 2x + 1
x −1
b. lim
x→1
−
√
x
2
− 2x + 1
x −1
c. lim
x→
π
2
+
√
1 + cos 2x
√
2x −
√

π
d. lim
x→
π
2
−
√
1 + cos 2x
√
2x −
√
π
Giải. a. lim
x→1
+
√
x
2
− 2x + 1
x −1
= lim
x→1
+

(x −1)
2
x −1
= lim
x→1
+

x −1
x −1
= 1.
b. lim
x→1
−
√
x
2
− 2x + 1
x −1
= lim
x→1
−

(x −1)
2
x −1
= lim
x→1
−
1 −x
x −1
= −1.
c. Ta có
√
1 + cos 2x
√
2x −
√

π
=

√
2x +
√
π

√
2cos
2
x
2x −π
=

2
√
x +
√
2π

|cos x|
2x −π
=

2
√
x +
√
2π





sin

x −
π
2




2x −π
Do đó lim
x→
π
2
+
√
1 + cos 2x
√
2x −
√
π
=
√
2π.
d. Dựa vào câu c ta được lim
x→

π
2
−
√
1 + cos 2x
√
2x −
√
π
= −
√
2π. 
Định lý 1.1. Hàm số f(x) tồn tại giới hạn tại x = a khi và chỉ khi
giới hạn phải và trái của f(x) tại x = a tồn tại và bằng nhau, cụ thể
hơn ta có
lim
x→a
f (x) = L ⇔ lim
x→a
+
f (x) = lim
x→a
−
f (x) = L
Ví dụ 1.26. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0

|x|x
b. lim

x→1

|x
3
− 3x + 3x − 1|
x −1
c. lim
x→0
e
1
x
d. lim
x→−1
x
3
+ 1
x
2
+ 2x + 1
Trang 18
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. a. Ta có
• lim
x→0
+

|x|x = 0.
• lim
x→0
−


|x|x không tồn tại.
Do đó lim
x→0

|x|x không tồn tại.
b. Ta có
• lim
x→1
+

|x
3
− 3x + 3x − 1|
x −1
= lim
x→1
+

|x −1| = 0.
• lim
x→1
−

|x
3
− 3x + 3x − 1|
x −1
= lim
x→1

−

−

|x −1|

= 0.
Do đó lim
x→1

|x
3
− 3x + 3x − 1|
x −1
= 0.
c. Ta có
• lim
x→0
+
e
1
x
= +∞.
• lim
x→0
−
e
1
x
= 0.

Do đó lim
x→0
e
1
x
không tồn tại.
d. Ta có
• lim
x→−1
+
x
3
+ 1
x
2
+ 2x + 1
= lim
x→−1
+
x
2
− x + 1
x + 1
= +∞.
• lim
x→−1
−
x
3
+ 1

x
2
+ 2x + 1
= lim
x→−1
−
x
2
− x + 1
x + 1
= −∞.
Do đó lim
x→−1
x
3
+ 1
x
2
+ 2x + 1
không tồn tại. 
1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL)
Định nghĩa 1.7. Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
x → a (a có thể là ±∞) nếu
lim
x→a
α (x) = 0
Trang 19
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Chú ý 1.1. Trong định nghĩa trên ta có thể thay x → a bằng x → a
+

hoặc x → a
−
(trường hợp a là số hữu hạn).
Ví dụ 1.27. Một số VCB thường gặp:
1. α (x) = x
c
(c > 0) là VCB khi x → 0
+
. T rường hợp c ∈ N thì α(x) là
VCB khi x → 0.
2. Các hàm số sin x, tan x, 1 −cos x, arcsin x, arctan x, ln(x + 1), e
x
−1 là
VCB khi x → 0.
3. Hàm số α(x) =
1
x
là VCB khi x → ±∞.
4. Hàm số cos x và cot x là VCB khi x →
π
2
.
Tính chất 1.3. Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a. Khi đó
• Hàm số (α + β) (x) = α (x) + β (x) là VCB khi x → a.
• Hàm số (kα) (x) = kα (x) là VCB khi x → a.
• Hàm số (αβ) (x) = α (x) β (x) là VCB khi x → a.
• Nếu γ(x) là hàm bị chặn thì (αγ) (x) = α (x) γ (x) là VCB khi x → a.
Định nghĩa 1.8. Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a. Đặt k =
lim
x→a

α (x)
β (x)
(giả thiết là giới hạn tồn tại), khi đó
• Nếu k = 0, ta nói α(x) là VCB bậc cao hơn β(x), ký hiệu α (x) =
o (β (x)).
• Nếu k = ±∞ thì β (x) = o (α (x)).
• Nếu k ̸= 0, k ̸= ±∞ thì ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc.
Trường hợp k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương,
ký hiệu α(x) ∼ β(x).
Ví dụ 1.28. So sánh các cặp VCB sau (x → 0):
a. α (x) = ln (1 + 2 tan x) ; β (x) = sin x.
b. α (x) = e
sin
2
2x
− 1; β (x) = 2 tan x.
c. α (x) =
3
√
1 + 3x
2
− 1; β (x) = sin
2
x.
d. α (x) = arctan (sin 2x) ; β (x) = arcsin (tan 2x).
Trang 20
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. a. Ta có
lim
x→0

α (x)
β (x)
= lim
x→0
ln (1 + 2 tan x)
sin x
= lim
x→0
ln (1 + 2 tan x)
2 tan x
2 tan x
sin x
= 2
Vậy α(x) và β(x) là hai VCB đồng bậc.
b. Ta có
lim
x→0
α (x)
β (x)
= lim
x→0
e
sin
2
2x
− 1
2 tan x
= lim
x→0
e

sin
2
2x
− 1
sin
2
2x
sin
2
2x
4x
2
x
tan x
2x = 0
Vậy α (x) = o (β (x)).
c. Ta có
lim
x→0
α (x)
β (x)
= lim
x→0
3
√
1 + 3x
2
− 1
sin
2

x
= 3 lim
x→0
3
√
1 + 3x
2
− 1
3x
2
x
2
sin
2
x
= 1
Vậy α(x) ∼ β(x).
d. Ta có
lim
x→0
α (x)
β (x)
= lim
x→0
arctan (sin 2x)
arcsin (tan 2x)
= lim
x→0
arctan (sin 2x)
sin 2x

sin 2
x
tan 2x
tan 2
x
arcsin (tan 2x)
= 1
Vậy α(x) ∼ β(x). 
Định lý 1.2. Cho α(x), β(x) và γ(x) là ba VCB khi x → a. Khi đó,
1. α(x) ∼ α(x).
2. Nếu α(x) ∼ β(x), β(x) ∼ γ(x) thì α(x) ∼ γ(x).
3. Nếu α(x) ∼ β(x) và γ(x) = o(α(x)) thì α (x) + γ (x) ∼ β (x).
4. Nếu α(x) ∼ α
′
(x), β(x) ∼ β
′
(x) thì α(x)β(x) ∼ α
′
(x)β
′
(x).
5. Nếu α(x) ∼ β(x) thì α
n
(x) ∼ β
n
(x) với n ∈ N.
Trang 21
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
6. Nếu α(x) ∼ α
′

(x), β(x) ∼ β
′
(x) và lim
x→a
α (x)
β (x)
tồn tại thì
lim
x→a
α (x)
β (x)
= lim
x→a
α
′
(x)
β
′
(x)
7. Nếu γ(x) = o(α(x)) và lim
x→a
α (x)
β (x)
tồn tại thì
lim
x→a
α (x) + γ (x)
β (x)
= lim
x→a

α (x)
β (x)
8. Nếu β(x) = o(α(x)) và γ(x) = o(α(x)) thì β(x) + γ(x) = o(α(x)).
Nhận xét 1.3. Từ Định lý 1.2 ta rút được hai kết quả quan trọng sau:
• Trong quá trình tính giới hạn, ta có thể thay thế các VCB tương
đương với nhau (các trường hợp ngoại lệ khi thay sẽ dẫn tới kết
quả sai, ta sẽ xét trong những phần sau).
• Có thể loại bỏ các VCB bậc cao trong quá trình tính giới hạn (cách
thức loại bỏ bạn đọc xem kĩ trong các ví dụ mà tác giả trình bày).
Một số cặp VCB tương đương thường được sử dụng trong bài giảng:
Cho lim
x→a
u = 0, khi đó
• sin u ∼ u, tan u ∼ u khi x → a.
• arcsin u ∼ u, arctan u ∼ u khi x → a.
• 1 −cos u ∼
1
2
u
2
khi x → a.
• e
u
− 1 ∼ u khi x → a.
• ln(1 + u) ∼ u khi x → a.
•
n
√
1 + u − 1 ∼
u

n
khi x → a.
Ví dụ 1.29. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
sin 3x
x
b. lim
x→0
1 −cos

sin
2
x

arcsin
4
2x
c. lim
x→0
tan (sin 2x)
sin (tan 3x)
d. lim
x→0
√
1 + 2sin
2
x −1
tan
2

x
Trang 22
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải. a. Khi x → 0 ta có sin 3x ∼ 3x, ta suy ra
lim
x→0
sin 3x
x
= lim
x→0
3x
x
= 3
b. Khi x → 0 ta có
1 −cos

sin
2
x

∼
1
2
sin
4
x ∼
1
2
x
4

arcsin
4
2x ∼ 16x
4
Do đó lim
x→0
1 −cos

sin
2
x

arcsin
4
2x
= lim
x→0
1
2
x
4
16x
4
=
1
32
.
c. Khi x → 0 ta có
tan (sin 2x) ∼ sin 2x ∼ 2x
sin (tan 3x) ∼ tan 3x ∼ 3x

Do đó lim
x→0
tan (sin 2x)
sin (tan 3x)
= lim
x→0
2x
3x
=
2
3
.
d. Khi x → 0 ta có
√
1 + 2sin
2
x −1 ∼ sin
2
x ∼ x
2
tan
2
x ∼ x
2
Do đó lim
x→0
√
1 + 2sin
2
x −1

tan
2
x
= lim
x→0
x
2
x
2
= 1. 
Ví dụ 1.30. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
e
arctan
2
x
− 1
ln

1 −3sin
2
x

b. lim
x→+∞
x
2

e

2
x
2
− 1

c. lim
x→0
ln (cos 3x)
arcsin
2
2x
d. lim
x→0
+
√
e
x
− 1
tan
2
√
x
Giải. a. Khi x → 0 ta có
e
arctan
2
x
− 1 ∼ arctan
2
x ∼ x

2
ln

1 −3sin
2
x

∼ −3sin
2
x ∼ −3x
2
Do đó
lim
x→0
e
arctan
2
x
− 1
ln

1 −3sin
2
x

= lim
x→0
x
2
−3x

2
= −
1
3
.
b. Khi x → +∞ ta có
e
2
x
2
− 1 ∼
2
x
2
Trang 23
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Do đó lim
x→+∞
x
2

e
2
x
2
− 1

= lim
x→+∞
x

2
2
x
2
= 2.
c. Khi x → 0 ta có
ln (cos 3x) ∼ cos 3x − 1 ∼ −
9
2
x
2
arcsin
2
2x ∼ 4x
2
Do đó lim
x→0
ln (cos 3x)
arcsin
2
2x
= lim
x→0
−
9
2
x
2
4x
2

= −
9
8
. 
Ví dụ 1.31. Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
sin
2
2x + arcsin
4
x
tan x
2
+ (e
x
− 1)
3
b. lim
x→0
ln (cos 2x) + arcsin (1 + 2x)
ln (1 + 2x
2
) + sin x
c. lim
x→0
√
1 + 2x −1 + sin
2
x

e
tan 2x
− 1
d.
lim
x→0
cos (sin x) −1
arctan
2
x + tan x
3
Giải. a. Khi x → 0 ta có
sin
2
2x ∼ 4x
2
; arcsin
4
x ∼ x
4
tan x
2
∼ x
2
; (e
x
− 1)
3
∼ x
3

Ta suy ra arcsin
4
x = o

sin
2
2x

; (e
x
− 1)
3
= o (tan x
2
). Do đó
lim
x→0
sin
2
2x + arcsin
4
x
tan x
2
+ (e
x
− 1)
3
= lim
x→0

4x
2
x
2
= 4
b. Khi x → 0 ta có
ln (cos 2x) ∼ cos 2x − 1 ∼ −2x
2
; arcsin (1 + 2x) ∼ 2x
ln (1 + 2x
2
) ∼ 2x
2
; sin x ∼ x
Do đó lim
x→0
ln (cos 2x) + arcsin (1 + 2x)
ln (1 + 2x
2
) + sin x
= lim
x→0
2x
x
= 2.
c. Khi x → 0 ta có
√
1 + 2x −1 ∼ x; sin
2
x ∼ x

2
; e
tan 2x
− 1 ∼ tan 2x ∼ 2x
Do đó lim
x→0
√
1 + 2x − 1 + sin
2
x
e
tan 2x
− 1
= lim
x→0
x
2x
=
1
2
.
d. Khi x → 0 ta có
cos (sin x) −1 ∼ −
1
2
sin
2
x ∼ −
1
2

x
2
arctan
2
x ∼ x
2
; tan x
3
∼ x
3
Do đó lim
x→0
cos (sin x) −1
arctan
2
x + tan x
3
= lim
x→0
−
1
2
x
2
x
2
= −
1
2
. 

Trang 24
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Ví dụ 1.32. Cho hàm số f (x) = ln (1 + 2x) + (e
2x
− 1)
2
− arcsin
3
3x. Khi
x → 0, chọn khẳng định đúng
a. f (x) ∼ x
2
b. f (x) ∼ −x
3
c. f (x) ∼ 2x d. f (x) ∼ x
Giải. Khi x → 0 ta có
ln (1 + 2x) ∼ 2x;

e
2x
− 1

2
∼ 4x
2
; arcsin
3
3x ∼ 27x
3
Ta suy ra (e

2x
− 1)
2
= o (ln (1 + 2x)) ; arcsin
3
3x = o (ln (1 + 2x)). Do đó
f (x) ∼ 2x. Phương án đúng là c. 
Ví dụ 1.33. Cho hàm số f (x) = tan
2
(
√
x)+tan (2x
2
)−

√
1 + x
2
− 1

sin x.
Khi x → 0
+
, chọn khẳng định đúng
a. f(x) ∼ x b. f(x) ∼ −x c. f(x) ∼ x
2
d. f(x) ∼ −x
2
Giải. Khi x → 0
+

ta có
tan
2

√
x

∼ x; tan

2x
2

∼ 2x
2
;

√
1 + x
2
− 1

sin x ∼
x
3
2
Ta suy ra tan (2x
2
) = o (tan
2
(

√
x)) ;

√
1 + x
2
− 1

sin x = o (tan
2
(
√
x)).
Do đó f(x) ∼ x. Phương án đúng là a. 
Ví dụ 1.34. Cho hàm số có phương trình tham số

x = e
2t
− 1
y = t
3
− t
2
. Khi
x → 0, chọn khẳng định đúng
a. y ∼ x
3
b. y ∼ −x
3
c. y ∼ −

1
4
x
2
d. y ∼
1
4
x
2
Giải. Khi x → 0 ta có e
2t
− 1 → 0, suy ra t → 0. Khi t → 0 ta được
x ∼ 2t; y ∼ −t
2
Do đó y ∼ −
1
4
x
2
. Phương án đúng là c. 
Định nghĩa 1.9. Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi
x → a (a có thể là ±∞) nếu
lim
x→a
α (x) = ±∞
Ví dụ 1.35. Một số VCL thường gặp:
Trang 25