Đề tài phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình toán THCS

Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
PHẦN CHUNG

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo.
Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp
thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước.
Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành
giáo dục hết sức chú trọng.
1.2. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn
học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức
cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm
vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công
việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng
khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn
toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú
trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể
hiện rõ điều đó.
Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó
chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò
quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại
số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa
thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học
sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi
học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề
phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về
phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
1.3. Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào
tạo bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài
này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi.
Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này.
2. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài
tập thích hợp cho từng bài .
- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
trong giảng dạy.
- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
3. Giới hạn của đề tài
Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trường: Trường THCS Nguyễn Thái Học và
Trường THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9
4. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh giỏi lớp 9 của Trường THCS Dân tộc nội trú và Trường THCS Nguyễn Thái
Học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận.
b) Phương pháp khảo sát thực tiễn.
c) Phương pháp quan sát.
1
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Thời gian nghiên cứu
Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007
7. Tài liệu tham khảo
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:

- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh –
Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Nội dung thực hiện
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng
đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử
khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+

c
a
n 1−
x
n – 1
+ … +
c
a
0
) ( với c
≠
0, c
≠
1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)
∈
P
[ ]
x
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường
P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của
P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P.
1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a)Định lý 1
Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và
sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”
b) Định lý 2
Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc
hai với biệt thức

∆
< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành
tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với
∆
< 0”.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + … + a
n
x
n
, n > 1, a
n

≠
0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn
tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a
n
nhưng p là ước của các hệ số còn
lại và p
2
không phải là ước của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.
1.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các
đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn

nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp”. Dưới đây qua các
ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
1.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
(theo chiều ngược).
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by)
Giải: Ta có : A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax –by)
= 2x
2
(ax + 2by + ax – by)
2
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
=2x
2
(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a

2
– 3ax)(5y + 2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có: P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có: C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a
2
– 3ax – 6a
2
+ 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a
2
)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz

2
+ 3xy
Giải: Ta có: Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2
– (y + z)

2
)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 16x
2
(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Giải: Ta có : A = 16x
2
(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x
2
– 10y)
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
Giải: Ta có : B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
= x
2
(x + 3) + 2( x + 3)
= (x
2

+ 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
1.2.2 . Phương pháp nhóm các hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của
phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng
tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ :
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
– xz
2
+ yz
2
– yx

2
+ zx
2
– zy
2
Giải: Ta có : B = xy
2
– xz
2
+ yz
2
– yx
2
+ zx
2
– zy
2
= (xy
2
– xz
2
) + (yz
2
- zy
2
) + (zx
2
– yx
2
)

= x(y
2
– z
2
) + yz(z – y) + x
2
(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x
2
(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x
2
))
3
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= (y – z)((xy – x
2
) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
Giải: Ta có : A= 4x
5

+6x
3
+6x
2
+9
= 2x
3
(2x
2
+ 3) + 3(2x
3
+ 3)
= (2x
3
+ 3)(2x
2
+ 3)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
Giả: Ta có : B = x
6
+ x
4
+ x

2
+ 1
= x
4
(x
2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Giải: Ta có: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y
2
= (x + 1)
2
– y

2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
Giải: Ta có : A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
= (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz)
= (x + y)
2
– z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x

m + 4
+ x
m + 3
– x - 1
Giải: Ta có : A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z
Ta có : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2

+ xz
2
– yz
2
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y
2
– z
2
)
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x
2
+ yz – x(y + z))
= (y – z)(x
2
+ yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)
nên : P = x
2
(y – z) - y
2
((y – z) + (x – y)) + z
2
(x – y)

=(y – z)(x
2
– y
2
) – (x – y)(z
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
4
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))

= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c
2
a + ca
2
+ 3abc
Giải: Ta có : Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c
2
a + ca
2
+ 3abc
= (a
2
b + ab

2
+ abc) + (b
2
c +bc
2
+abc) + (c
2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
Giải: Ta có : A = 2a
2
b + 4ab
2

– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
= (2a
2
b + 4ab
2
) – (a
2
c + 2abc) + (ac
2
+ 2bc
2
) – (4b
2
c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c
2
(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c
2
– 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)

Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y

2
(2x + y) + z
2
(y
2
(z – y) – 4x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
( y
2
z – y
3
– 8x
3
– 4x
2
z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y

2
– 4x
2
) – (y
3
+ 8x
3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y
2
– 2xy + 4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2
y
2
+ z
3
– 2xz
3
– z
2
y

2
+ 2xyz
2
– 4x
2
z
2
)
= (2x + y)(4x
2
(y
2
– z
2
) – z
2
y (y – z) +2xz
2
( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x
2
y + 4x
2
z – z
2
y + 2xz
2
)
= (2x + y)( y – z)(y(4x
2

– z
2
) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
1.2.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa
bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A

2
B + 3AB
2
+ B
3

(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
- B
3
= (A - B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A

2
- AB + B
2
)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2

+ y
4
) - x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
5
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x
2
+ y
2
– xy)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a
6

– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

Giải: Ta có : B = a
6
– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
– b
6
) + (a
4

+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2

+ ab + b
2
) + (a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
) – a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
– a
2

b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a
2

+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)(a
2
– b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
= (x
4

+ 2x
2
+ 1) – x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
– x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
– x + 1) (x
2

+ x + 1 + x
2
– x + 1)
= 2(x
2
– x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có: A = x
4
+ y

4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
+ 2y

2
z
2
) – 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
)
2
– 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
– 2yz) (x
2
– y
2
– z

2
+ 2yz)
= (x
2
– (y + z)
2
)( x
2
– (y - z)
2
)
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau
:
Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))
3
– 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x
3

– 3.2x(x
2
– y
2
)
= 2x(4x
2
– 3(x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
– (x + y)(x – y) + (x – y)
2

= 2x(2(x
2
+ y

2
) - (x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x
2
+ 40x + 25
Giải: Ta có: A = 16x
2
+ 40x + 25
= (4x)
2
+ 2.4.5.x + 5
2
= (4x + 5)
2
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (x - y)
3
+(y - z)
3
+(z - x)

3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)
3
= (x – z)
3
+ (z – y)
3
+ 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
6
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) – (a
3
+ b
3
+ c
3
)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a
3
+ b
3

+ c
3
)
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ b
3
+ 3b
2
c + c
3

- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
8
– 2
8

Giải: Ta có : P = x
8
– 2
8

= (x
4

+ 2
4
) (x
4
- 2
4
)
= (x
4
+ 2
4
)((x
2
)
2
– (2
2
)
2
)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
– 2
2
)(x
2

+ 2
2
)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
+ 2
2
)(x – 2)(x + 2)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
Giải: Ta có: Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x

2
+ 6x + 9)
= (x – 1)(x + 3)
2

1.2.4. Phương pháp thực hiện phép chia:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa
thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x
5
+ 6x
4
+ 13x
3
+ 14x
2
+ 12x + 8
Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)
5
+ 6(-2)
4
+ 13(-2)
3
+ 14(-2)
2
+ 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:

f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2

+ 1)
= (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để
thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :
1 6 13 14 12 8
-2 1 4 5 4 4 0

Vậy f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4)
Chia x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 cho (x + 2) như sau :
1 4 5 4 4
-2 1 2 2 2 0
7
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS

Vậy x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Chia x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 cho (x + 2) như sau :
1 2 2 2
-2 1 0 1 0
Vậy x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2

+ 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
– 2x
3
– 11x
2
+ 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±
6
;
±
9;
±
12;
±
18;
±
36.
Ta thấy : x = -2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x
4
+ 2x
3
– 4x
3
– 8x
2
– 3x
2
– 6x + 18x + 36
= x
3
(x + 2) – 4x
2
(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x
3
– 4x
2
– 3x + 18)
Lại phân tích Q = x
3
– 4x
2
– 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)
3
– 4(-2)

2
– 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x
2
– 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)
2
Vậy: P = (x + 2)
2
(x – 3)
2
1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với
ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích
được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ x) + 4(x
2
+ x) - 12
Giải: Đặt : y = x
2
+ x , đa thức đã cho trở thành :
A = y
2
+ 4y – 12
= y
2

– 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x
2
+ x vào (1) ta được :
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x – 6)
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Giải: A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Đặt y = (x
2
+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y

2
+ y – 12
= y
2
– 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x
2
+ x + 1) vào (*) ta được :
A = (x
2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x – 2) (x
2
+ x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x + 6)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
8
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
B = x
12
– 3x
6

+ 1
Giải: B = x
12
– 3x
6
+ 1
Đặt y = x
6
(y
0≥
)
Đa thức đã cho trở thành :
B = y
2
– 3y + 1
= y
2
– 2y + 1 – y
= (y – 1)
2
– y
= (y – 1 -
y
)(y + 1 +
y
) (*)
Thay : y = x
6
vào (*) được :
B = (x

6
– 1 -
)1)(
66
xyx ++

= (x
6
– 1 – x
3
)(x
6
+ 1 + x
3
)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
3
- 3
2
x
2
+ 3x +
2
- 2
Giải: Đặt : y = x -
2
, ta có x = y +
2
A = (y +

2
)
3
- 3
2
(y +
2
)
2
+ 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3
+ 3y
2
2
+ 3y.2 + 2
2
- 3
2
(y
2
+ 2
2
y + 2) + 3(y +
2
) +

2
- 2
= y
3

- 3y – 2
= y
3

- y – 2y – 2
= y(y
2
– 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y
2
– y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)
2
(y – 2) (*)
Thay : y = x -
2
vào (*), được :
A = (x -
2
+ 1)
2
(x -

2
- 2)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x
2
+ 8x + 7)( x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x
2
+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
= y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x
2
+ 8x + 7), ta được :
M = (x
2
+ 8x + 10)(x

2
+ 8x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)( x
2
+ 2x + 6x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau
thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó
phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
9
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1

Giải: Giả sử x
0≠
, ta viết đa thức dưới dạng :
A = x
2
((x
2
+
2
x
1
) + 6( x -
x
1
) + 7 )
Đặt y = x -
x
1
thì x
2
+
2
x
1
= y
2
+ 2
Do đó : A = x
2
(y

2
+ 2 + 6y + 7)
= x
2
( y + 3)
2

= (xy + 3x)
2

Thay y = x -
x
1
, ta được
A =
2
3)
1
(






+− x
x
xx
= (x
2

+ 3x – 1)
2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét :
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau
thành nhân tử :
A = a
0
x
2n
+ a
1
x
n – 1
+…….+ a
n – 1
x
n – 1
+a
n
x
n
+ a
n – 1
x
n – 1
+ … + a
1
x + a

0

Bằng cách đưa x
n
làm nhân tử của A, hay :
A = x
n
(a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ …….+ a
n – 1
x + a
n
+
x
a
n 1−
+… +
1
1
−n
x
a
+

n
x
a
0
Sau đó đặt y = x +
x
1
ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập
trên.
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
– x – y - 12
Giải: Ta có: A = x
2
+ 2xy + y
2
– x – y – 12
= (x + y)
2
– (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X
2
– X – 12
= X
2
- 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ y
2
+ z
2
)( x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2
Giải: A = (x
2
+ y
2
+ z
2
)( x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2

Đặt : x
2
+ y

2
+ z
2
= a
xy + yz + zx = b

⇒
( x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b
2

= a
2
+ 2ab + b
2

= (a + b)
2
(*)
Thay : a = x
2

+ y
2
+ z
2

10
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
A = (x
2
+ y
2
+ z
2
+

xy + yz + zx)
2
Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)
3

Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x
Ta có : A + B + C = 0. Nên
A + B = - C
Lập phương hai vế :

(A + B)
3
= - C
3
↔
A
3
+ 3AB(A + B) + B
3
= - C
3
↔
A
3
+ B
3
+ C
3
= - 3AB(A + B)
↔
A
3
+ B
3
+ C
3
= 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được :
(x – y)
3

+ (y – z)
3
+ (z – x)
3
= 3(x – y)(y – z)(z – x)
1.2.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)
Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức
để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
– 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x
2
– 6x + 5
= x
2
– x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
- 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)
2

– 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 6x + 9) – 4
= (x – 3)
2
– 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x
2
– 6x + 5
= (3x
2
– 6x + 3) – 2x
2

+ 2
= 3(x – 1)
2
- 2(x
2
– 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x
2
– 6x + 5
= (5x
2
– 10x + 5) – 4x
2
+ 4
= (x – 1)
2
– 4x(x – 1)
= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x
2
– 6x + 5
= (6x
2
– 6x) – 5x
2
+ 5
11

Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x
2
– 6x + 5
Đặt f(x) = x
2
– 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax
2
+ bx + c (c
≠
0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như
sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = p
i
.q
i
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử p
i
, q
i
một cặp p
a

, q
a
sao cho : p
a
+ q
a
= b
Bước 4 : viết ax
2
+ bx + c = ax
2
+ p
a
x + q
a
x + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
+ 2x
2
- 3
Giải:
Cách 1: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x

4
– x
2
+ 3x
2
– 3
= x
2
(x
2
– 1) + 3(x
2
– 1)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 2: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
+ 3x
2

– x
2
– 3
= x
2
(x
2
+ 3) - (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
) + 2x
2
– 1 – 2
= (x
4

– 1) + 2x
2
– 2
= (x
2
– 1)(x
2
+ 1) + 2(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 4 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - 4
= (x
2

+ 1)
2
– 4
= (x
2
+ 1)
2
– 2
2

= (x
2
+ 1 – 2)(x
2
+ 1 + 2)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 5 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4

– 9) + 2x
2
+ 6
= (x
2
+ 3)(x
2
- 3) + 2(x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)( x
2
- 3 + 2)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (3x
4

– 3) – 2x
4
+ 2x
2
= 3(x
4
– 1) – 2x
2
(x
2
– 1)
= 3(x
2
– 1)(x
2
+ 1) - 2x
2
(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(3( x
2
+ 1) - 2x
2
)
12
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= (x

2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1
Giải:
Cách 1 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
= (x
2
+ 1)
2
- x

2
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
Cách 2 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ x
3
+ x
2
) – (x
3
+ x
2
+ x) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
Cách 3 : A = x

4
+ x
2
+ 1
= (x
4
- x
3
+ x
2
) + (x
3
- x
2
+ x) + (x
2
- x + 1)
= x
2
(x
2
- x + 1) + x(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
2

+ x + 1)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x
2
+ 6xy + y
2
Giải:
Cách 1 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (6x
2
+ 6xy) – (x
2
- y
2
)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)

= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (4x
2
+ 4xy) +(x
2
+ 2xy + y
2
)
= 4x(x + y) + (x + y)
2

= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (3x
2
+ 6xy + 3y
2
) + (2x
2
– 2y
2

)
= 3(x + y)
2
+ 2(x
2
– y
2
)
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 10xy + y
2
) – (4xy + 4y
2
)
= 5(x + y)
2
– 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y))
= (x + y)(5x + y)
Cách 6 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2

= (5x
2
- 5y
2
) + (6xy + y
2
)
= 5(x
2
– y
2
) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 7 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (9x
2
+ 6xy + y
2
) – 4x
2
=(3x + y)
2
– 4x
2
13

Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
Giải:
Ta có : P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) – x

2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
– (xy)
2
= (x
2
+ y
2
– xy)(x
2
+ y
2
+ xy)
Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : A = x

4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
= x
4
+ (x
2
– x + 1) + (x
2
– x + 1)
2
+ x
= (x
2
– x + 1)(x
2
– x + 2) + x(x + 1)(x
2
– x + 1)
= (x
2
– x + 1)((x
2
– x + 2) + x(x + 1))
= (x
2

– x + 1)(2x
2
+ 2)
Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x
4
+ 81
Giải: Ta có : P = 4x
4
+ 81
= 4x
4
+ 36x
2
+ 81 – 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
=(2x
2
+ 9 – 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3

– 7x
2
+ 17x - 5
Giải: Ta có : Q = 3x
3
– 7x
2
+ 17x - 5
= 3x
3
– x
2
– 6x
2
+ 2x + 15x – 5
= x
2
(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x
2
– 2x + 5)
Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
3
– x
2
– x - 2
Giải: Ta có : A = x
3
– x

2
– x - 2
= x
3
– 1 – (x
2
+ x + 1)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) - (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x – 1 – 1)
= (x
2
+ x + 1)(x – 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ x
2
– x + 2
Giải: Ta có : B = x
3
+ x
2
– x + 2
= (x

3
+ 1) + (x
2
- x + 1)
= (x + 1)(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x + 1+ 1)
= (x
2
- x + 1)(x + 2)
Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x
3
– 6x
2
– x + 30
Giải: Ta có : C = x
3
– 6x
2
– x + 30
= x
3
+ 2x
2

– 8x
2
– 16x + 15x + 30
= x
2
(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)
2
– 1))
= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
14
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
1.2.7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số
của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x

4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = x
4
+ (a+c )x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :









=
−=+
=++
−=+
3
14
12
16
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3 với b, d
Z∈
, b
∈
}{
3;1
với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :






−=+
=

−=+
143
8
6
ca
ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
= (x
2
– 2x + 3)(x
2
– 4x + 1)
Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx
2

+ aexy + agx + bdxy + bey
2
+ bgy + cdx + cey + cg
= adx
2
+ ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey
2
+ ( bg + ce )y + cg
= 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :












=
=+
=
=+

=+
=
10
37
7
11
22
3
cg
cebg
be
cdag
bdae
ad

⇒












=
=

=
=
=
=
2
7
1
5
1
3
g
e
d
c
b
a
Vậy A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
– 8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
B = x
4
– 8x + 63

= (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
= x
4
+ (a+ c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
15
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:







=
−=+
=++
=+
63
8
0
0

bd
bcad
dbac
ca

⇔








=
=
=
−=
9
4
7
4
d
c
b
a
Vậy : B = x
4
– 8x + 63 = (x
2

- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9)
1.2.8. Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân
tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định dạng các thừa
số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y
2
(y – z) + y
2
(z – y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa thức
P có thể hoán vị vòng quanh x
→
y
→
z
→
x . Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa

thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x –
y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x,
y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x – y)
(y – z)(z – x)
≠
0.
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2

(z – y) + z
2
x
2
(y – z)
Giải: Thay x = y thì P = y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2
(y – z) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x
→
y
→
z
→
x. Do đó nếu P chứa thừa số
x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được :
1
2

.(-1)
2
.(-2) + (-1)
2
.0.(0 + 1) + 0
2
.1
2
.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào A ta có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do đó A

(a – b)
16
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Suy ra A

(b – c) và A

(c – a). Từ đó :
A


(a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho
(a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là :
A = k(a – b)(b – c)(c – a)
Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = - 1
A = -1(a – b)(b – c)(c – a)
= (a – b)(b – c)(a – c)
Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x(y
3
– z
3
) + y(z
3
– x
3
) + z(x
3
– y
3
)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi. Thay z = y vào P ta có:
P = 0 + z(z
3
- x
3
) + z(x
3
–z

3
) = 0
Do đó : P

(y – z)
Suy ra P

(z – x) và P

(x – y). Từ đó :
P

(y – z)(z – x)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :
P = k(y – z)(z – x)(z – x)
Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta được :
2.1
3
+ 1.(-2)
3
+ 0 = k.1.(-2)
- 6 = - 2k
k = 3
Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Hay x(y
3
– z
3
) + y(z

3
– x
3
) + z(x
3
– y
3
) = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = a(b +c – a)
2
+ b(c +a – b)
2
+ c(a +b – c)
2
+ (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)
Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi.
Thay a = 0 vào M ta có :
M = 0 + b(c – b)
2
+ c(b – c)
2
+ (b – c)(b + c)(c – b) = 0
Do đó M

a
Suy ra M

b và M


c. Từ đó :
M

abc
Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc thương là hằng số
k, nghĩa là :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta được :
1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1.1 = k.1.1.1
k = 4
Vậy M = 4.abc
Hay: a(b +c – a)
2
+ b(c +a – b)
2
+ c(a +b – c)
2
+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc
2. Kết quả
Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên
máy tính tại Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú. Kết quả mà
tôi đã thu được như sau:
- Cấp Huyện: Có 11 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải
khuyến khích

- Cấp Tỉnh: Có 9 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải
khuyến khích
- Cấp Quốc gia: Có 3 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải khuyến khích
3. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
17
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiện việc bồi
dưỡng học sinh giỏi. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện như sau:
- Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có một
trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó một
cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò mò,
năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh.
- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy, giáo viên
cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên
đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh
từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán
khác cùng thể loại.
- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh,
theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích các
em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập. Bên cạnh đó, cần
theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có
niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa ra.
- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho học sinh những biểu
hiện tự đắc, cho mình là giỏi. Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi những thất bại khi
tham dự những cuộc thi lớn. Chính vì vậy, giáo viên cần luôn có những bài toán khó, những
yêu cầu cao để các em thấy được quá trình học bồi dưỡng học sinh giỏi là một quá trình
không thể diễn ra trong ngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thường xuyên, liên
tục. Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải được các bài toán
khó sẽ gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình.

4. Kết luận
Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ. Bởi vì
các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán. Để có được những học sinh giỏi, chúng ta cần
phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng với sự
nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự về bộ
môn Toán.
Do năng lực còn hạn chế, và năm học này cũng là năm học thứ hai bản thân tôi tham gia
việc bồi dưỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh được những thiếu sót, bản
thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục
để đề tài của tôi có thể hoàn thiện hơn.
Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất
trọng tâm của chương trình toán.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trường THCS
Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến đóng góp, chỉ đạo
thực hiện giúp tôi hoàn thành đề tài này.
5. Kiến nghị đề xuất
- Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán 9 vì thời gian một tuần 2
buổi không đủ thời gian để thực hiện công tác bồi dưỡng.
- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các môn tự
nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội.
ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ NHÀ TRƯỜNG
18
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
19