ch de phan tich da thuc thanh nhan tu

Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
Phần I : Đặt vấn đề
I - Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng
dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong
mọi bậc học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không
phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng.
Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn
nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp
thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả.
Trong chơng trình đại số THCS, việc phân tích đa thức thành nhân tử là một
trong những nội dung kiến thức cơ bản. Phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở xây
dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng toán khác nhau trong chơng trình nh:
- Quy đồng, rút gọn phân thức.
- Giải phơng trình, bất phơng trình
- Chứng minh bất đẳng thức
- Tìm cực trị
Nhiều khi việc phân tích đa thức thành nhân tử gặp nhiều khó khăn đối với
học sinh, nhất là trong các trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức
tạp, do đó nếu phân tích đa thức thành nhân tử dùng các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử thông thờng thì không thể giải quyết đợc. Vì vậy việc giáo việc cung cấp
cho học sinh các phơng pháp phân tích cơ bản, hệ thống bài tập áp dụng từng phơng
pháp sẽ giúp cho học sinh định hớng tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử .
Từ đó học sinh tự tin và phân tích đa thức thành nhân tử thành kỹ năng thành thạo
trong việc việc phân tích đa thức thành nhân tử trong lớp 8,9 và nhiều vấn đề liên
quan sau này
II - Đối tợng nghiên cứu :
- Học sinh khá, giỏi lớp 8
- Học sinh tham gia bồi dơng thi học sinh giỏi huyện
III - Phạm vi nghiên cứu:
Vành đa thức một ẩn với phân tích đa thức thành nhân tử số nguyên.

3
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
Phần II : Nội dung
I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn:
Khi giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử , phần bài tập trong SGK
và SBTĐS lớp 8 là tơng đối đơn giản đối với đối tợng học sinh khá, giỏi. Nhng thực tế
khi khai thác các dạng bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng. Để giải đợc các
thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phơng pháp giải cho từng
thể loại bài tập. Qua quá trình giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử với
nhiệm vụ bồi dỡng học sinh lớp 8, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp phân tích đa
thức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thờng gặp.
Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu học sinh
nắm đợc những nội dung kiến thức cơ bản sau:
- Các khái niệm : đa thức, giá trị của một đa thức, nghiệm của môt đa
thức, đa thức bất khả quy.
- Định lý và định nghĩa về phhép chia đa thức
- Hệ quả định lý Bơdu
- Sơ đồ Hooc ne
- Tiêu chuẩn Aidenx tai nơ
II - Những phơng pháp, biện pháp, giải cụ thể:
A - Nội dung lý thuyết cơ sở:
Các khái niệm :
- Đa thức là một tổng của những đơn thức, mỗi đơn thức trong tổng gọi
là một hạng tử của đa thức đó
Cho đa thức: f(x) = a
n
x
n
+ a

n - 1
x
n - 1
+ .............. +a
1
x + a
0
Với a
i
Z
- Khi thay x = thì đợc một số kí hiệu f()
f() = a
n

n
+ a
n - 1

n - 1
+ .............. +a
1
+ a
0
+ f() đợc gọi là giá trị của f(x) tại x =
+ Nếu f() = 0 thì ta nói x = là một nghiệm của đa thức f().
4
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
- Đa thức bất khả quy : Đa thức f(x) khác o và khác ớc của 1 đợc gọi là bất
khả quy nếu từ đẳng thức f(x) = g(x) . h(x)

g(x) hoặc h(x) là ớc của đơn vị;
Ví dụ :
a ) Số nguyên m Z(x) bất khả quy m là số nguyên tố.
b) đa thức ax + b
Z(x); a 0 là bất khả quy (a;b) = 1
c) Đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c Z(x) là bất khả quy khi biệt thức
= b
2
- 4ac < 0
hoặc = b
2
- 4ac > 0 nhng không phải là số chính phơng
Định lí và định nghĩa về phép chia đa thức:
Với hai đa thức bất kỳ f(x) ; g(x) với g(x) 0 tồn tại duy nhất 2 đa thức
q(x) và r(x) sao cho : f(x) = g(x) . q(x) + r(x)
(r(x) 0 hoặc bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x)
q(x) đợc gọi là thơng ; r(x) gọi là d ).
- Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và kí hiệu f(x) : g(x)
- Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) còn d
Hệ quả định lí Bơdu:
x = là nghiệm của đa thức f(x) f(x) chia hết cho nhị thức x -
Sơ đồ hoocne:
Giả sử g(x) = b
n - 1
x
n -1
+ b
n - 2

x
n - 2
+ .............. +b
1
x + b
0
là thơng và d của phép
chia đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ ..............+ a
1
x + a
0
cho nhị thức x - .
Khi đó r và các hệ số của g(x) đợc tính theo sơ đồ sau:
a
n
a
n-1
a
n-2
......... a
1
a

0

b
n-1
(=a
n
)
b
n-2
(= b
n-1
+a
n-1
)
b
n-3
(= b
n-2
+a
n-2
)
.. b
0
(= b
1
+a
1
)
r
(= b

0
+a
0
)
5
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
x
x
Nghiệm (nếu có) của một đa thức:
đa thức f (x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. + a
1
x + a
0

-Nghiệm nguyên của f(x) phải là ớc của a
0
-Nghiệm hữu tỷ của f(x) có dạng
q
p
( trong đó p là ớc của a
0

; q là ớc dơng của
a
n
).
Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn
và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ
+ Nếu m + n = 0 đa thức có nghiệm x = 1
+ Nếu m - n =0 đa thức có nghiệm x = -1
Tiêu chuẩn Aidenxtainơ:
Giả sử : f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. +a
1
x + a
0
với a
i
Z
Nếu có 1 số nguyên tố p thoả mãn các điều kiện sau:
+ p không phải là ớc của a
n
+ p là ớc của a
i
với i = 0;1;2........n-1

+ p
2
không phải là ớc của a
0
thì f(x) bất khả quy trong Q
[
x
]
B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:
Cung cấp cho học sinh những nội dung kiến thức trên
Các phong pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Các phơng pháp thông thờng
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử để :
+ Xuất hiện nhân tử chung của các nhóm
+ Xuất hiện hằng đẳng thức
6
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định

Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
Khi ta thực hiện ta lần lợt xét các phơng pháp có thể đợc
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = 2x
4
- 8x
3
y + 8x
2
y

2
= 2x
2
(x
2
- 4xy + 4y
2
)
= 2x
2
(x

- 2y)
2
Ví dụ 2 : B = x
2
- x
2
z - 2xy + y
2
+ xyz
= ( x
2
- 2xy + y
2
) - (x
2
z - xyz)
= ( x - y)
2

- xz (x - y)
= (x - y) (x - y -xz)
Các phơng pháp đặc biệt
Khi đa thức có nghệm hữu tỷ :
1 ) Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Phơng pháp chung :
Thờng sử dụng so đồ hoocne tìm nghiệm (nếu có) của đa thức giả sử tìm đợc
nghiệm của đa thức x =
f(x) : x - ( hệ quả định lý Bơdu)
f(x) = ( x - ) . q(x) ( q(x) là thơng của phép chia f(x) cho (x - ))
Do đó khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử thì có chứa nhân tử x-
Ví dụ 3 : f(x) = x
3
+ 9x
2
+ 11x - 21
Ta thấy tổng các hệ số của các hạng tử 1 + 9 + 11 - 21 = 0
f(x) có nghiệm x = 1 có nhân tử là x - 1 Ta là xuất hiện nhân tử x - 1.
f(x) = x
3
- x
2
+ 10x
2
- 10x + 21x - 21
= x
2
(x -1) + 10x(x -1) + 21 (x -1)
= (x-1) ( x
2

+10x +21)
ta tiếp tục xét xem có thể phân tích tam thức bậc hai x
2
+10x +21 thành nhân tử
đợc haykhông .Ta thấy = 10
2
- 4.1.21 = 16 = 4
2
là số chính phơng nên ta đi phân tích đa thức x
2
+10x +21 thành nhân tử và x=
1 không là nghiệm của đa thức nên ta thử các ớc còn lại của 21.
Xét x = -3. Sử dụng sơ đồ Hoocne
1 10 21
-3 1 7 0
7
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
D 0 x = -3 là nghiệm có nhân tử x +3
x
2
+10x +21 = x
2
+ 3x + 7x+ 21
=x(x+3) + 7(x + 3)
= (x + 3) ( x + 7)
Cách khác : x
2
+10x +21 = x
2

+ 10x + 25 - 4
= (x + 5)
2
- 2
2
= (x+3)(x+7)
Vậy f(x) = (x - 1)(x + 3) (x+ 7)
( Với tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c khi phân tích thành nhân tử ta có thể
là đơn giản hơn nh sau:
Tìm tích ac
Phân tích ac ra tích của 2 thừa sô nguyên bằng mọi cách.
Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
+ x- 6
Giải
Lập tích ac = 1.(-6) = -6
Mà -6 = (-1) .6 = 2 .(-3) = (-2).3
Ta thấy - 2 + 3 = 1 = b
vậy x
2
+ x- 6 = x
2
- 2x + 3x - 6
= (x - 2) ( x + 3)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = 2x
3
- x

2
+ 5x + 3
Giải:
Ta thấy x = -
2
1
là nghiệm của f(x) do đó f(x) chứa nhân tử 2x + 1.
vậy f(x) = 2x
3
+ x
2
- 2x
2
- x + 6x + 3
= ( 2x- 1)(x
2
- x +3)
( đa thức bậc hai x
2
- x +3 có biệt thức = (-1)
2
- 4 .1.3 = -11 <0
bất khả quy)
Bài tập :
1) Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
+ 4x -12
b) 2x
3

- 5x
2
- 3x
c) x
3
+ 5x
2
+ 3x - 9
d) x
4
+ 4x
2
- 5
e) x
3
- 7x + 6
8
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
f) 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5
g) 4x
4
- 4x
3
+ 15x
2

+ 3x - 3
h) 3x
3
- 14x
2
+ 4x + 3
Khi đa thức không có nghiệm hữu tỷ :
2 ) Thêm bớt cùng một hạng tử:
Dạng A
4
+ 4B
4
Phơng pháp: Thêm, bớt 4A
2
B
2
đa về dạng hiệu 2 bình phơng
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x
4
+ 4
Giải:
81x
4
+ 4 = 81x
4
+ 36x
2
+ 4 - 36x
2
= ( 9x

2
+ 2)
2
- (6x)
2
= (9x
2
- 6x +2)( 9x
2
+ 6x +2)
Dạng x
3m+1
+ x
3n + 2
Phơng pháp : Đa thức dạng trên luôn có chứa nhân tử x
2
+ x + 1. đặc biệt
hơn nếu 3m + 1 và 3n + 2 đều chẵn thì có chứa thêm nhân tử x
2
- x + 1
Ví dụ 6 : x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
- x + x
2
+ x +1
= x(x

6
- 1) + ( x
2
+ x + 1)
= x( x
3
- 1) (x
3
+ 1) + ( x
2
+ x + 1)
= x( x- 1)( x
2
+ x + 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1) ( x
5
- x
4
+ x
2
- x + 1)
Cách khác:
x
7

+ x
2
+ 1= x
7
+ x
6
+ x
5
- x
6
- x
5
- x
4
+ x
4
+ x
3
+ x
2
- x
3
- x
2
-x + x
2
+ x+1
= x
5
( x

2
+ x+ 1) - x
4
( x
2
+ x+ 1) + x
2
( x
2
+ x+ 1) - x( x
2
+ x+ 1)
+( x
2
+ x+ 1)
= ( x
2
+ x+ 1)( x
5
- x
4
+ x
2
-x +1)
Ví dụ 7:
x
8
+ x
4
+ 1 = ( x

2
+ x+ 1)(x
6
- x
5

+ x
3
- x + 1)
=( x
2
+ x+ 1)(x
6
- x
5
+ x
4
- x
4
+ x
3
- x
2
+ x
2
- x+1)
=( x
2
+ x+ 1)[x
4

( x
2
- x+ 1)- x
2
( x
2
- x+ 1) + ( x
2
- x+ 1)]
= ( x
2
- x+ 1) ( x
2
- x+ 1) ( x
4
- x
2
+ 1)
Bài tập :
2 ) Phân tích đa thức thành nhân tử:
9
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
4
+ 4
b) x
4
+ 64
c) 64x

4
+ 1
d) 81x
4
+ 4
e) 4x
4
+ 1
f) 64x
4
+ y
4
g) x
4
+ 324
h) x
5
+ x
4
+ 1
i) x
8
+ x
7
+ 1
j) -x
5
- x
7
- 1

k) x
10
+ x
2
+ 1
l) x
4
+ x
2
+ 1
3) Phơng pháp đổi biến
Mục đích : Đa đa thức bậc cao về bậc thấp hơn đối với biến mới
Ví dụ 8: A = (x
2
+ x)
2
- 2( x
2
+ x) - 15
Giải
Đặt x
2
+ x = t A = t
2
- 2t - 15
= t
2
- 5t + 3t - 15
= t( t - 5) + 3 ( t - 5)
= ( t - 5) ( t + 3)

= (x
2
+ x - 5) (x
2
+ x + 3)
Ví dụ 9 : B = ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) - 4
Giải
B = [ ( 4x + 1) ( 3x + 2)] [ ( 12x - 1) ( x + 1)] - 4
= ( 12x
2
+ 11x + 2)( 12x
2
+ 11x - 1) - 4
Đặt 12x
2
+ 11x = y B = ( y + 2) ( y - 1) - 4
= y
2
+ y - 6
= y
2
- 2y + 3y - 6
= y( y - 2) + 3 ( y - 2)
= ( y - 2) ( y + 3)
Vậy B = (12x
2
+ 11x - 2) (12x
2
+ 11x + 3)
Ví dụ 10 : C = x

4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x + 1
10
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định