ứng dụng của đường tròn trong giải toán

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Với một bài toán cụ thể, tìm ra nhiều cách giải khác nhau thì quả là phong phú và
thú vị có cách giải làm cho bài toán đơn giản hơn, đưa từ bài toán lạ thành bài toán
quen thì thật là ấn tượng . Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là việc làm
thường xuyên và quan trọng của người dạy toán.Trong Toán học có nhiều đề tài rất
lý thú, rất thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào Đại học. Trong
bài viết này tôi chọn đường tròn và khai thác một phần nhỏ về ứng dụng của nó.
Trong chương trình hình học 10, các em đã được tiếp cận với đường tròn, sự tương
giao của một đường tròn với đường thẳng. Đường tròn là một trong những phần
quan trọng trong chương trình Toán THPT và ta thường bắt gặp những bài toán về
đường tròn trong các đề thi đại học. Đề tài về đường tròn có rất nhiều bài toán hay.
Có những bài nhìn qua không có màu sắc gì về đường tròn nhưng ta có thể áp dụng
đường tròn để giải quyết. Trong khuôn khổ bài viết này , tôi chỉ nêu ra những ví dụ
về việc sử dụng phương trình và các tính chất của đường tròn để giải và biện luận
hệ, phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Dĩ nhiên những bài toán này có
thể dùng phương pháp đại số để làm nhưng tương đối phức tạp đối với học sinh.
Yêu cầu của các bài toán này thường là: Tìm giá trị của tham số để phương trình, hệ
phương trình có nghiệm duy nhất, có nghiệm. Thực tế cho thấy khi các em làm
những dạng toán này thường là các em còn lúng túng và không xét hết các trường
hợp của tham số, và còn mắc những sai lầm không đáng có. Tuy nhiên trong một số
bài tập nếu ta sử dụng phương trình và tính chất của đường tròn (hình tròn) trong mặt
phẳng tọa độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình thì bài toán nói trên trở nên đơn
giản hơn rất nhiều.
Năm học 2010-2011, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Tuy là các
lớp chọn khối A, nhưng đa số học sinh nhận thức còn chậm, kĩ năng làm bài còn
kém, tư duy chưa rõ ràng. Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở,
làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm
toán cơ bản nhất và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học
sinh nắm được bài tốt hơn.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT, cùng
với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống

Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
1
hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: “Khảo sát sự tương giao của đường
tròn và đường thẳng để giải hệ, phương trình, bất phương trình có tham số”.
Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một
phương pháp và một số kỹ năng cơ bản và biết đưa bài toán từ ngôn ngữ đại số về
ngôn ngữ hình học để giải. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự,
đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các
bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương
pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình, bất phương trình vô tỷ,hệ
phương trình, hệ chứa bất phương trình có chứa tham số bằng việc xét sự tương giao
giữa đường tròn và đường thẳng.
II.N ỘI DUNG .
Bài 1: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 2
2 2(1)
0(2)
x y x
x y a

+ − ≤

− + =


Lời giải: Ta có (1)
2 2
( 1) 3x y⇔ − + ≤
.Bất phương trình này biểu diễn hình tròn
tâm I(1;0) bán kính R=

3
trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Phương trình (2) biểu diễn
một đường thẳng . Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng
: 0x y a− + =V
tiếp
xúc với đường tròn có phương trình:
( ) ( )
2
2
1 3 ,
1 0
3
2
1 6; 1 6
x y d I R
a
a a
− + = ⇔ ∆ =
− −
⇔ =
⇔ = − − = − +

Bài 2:Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2
1
x y xy m m
x y

+ + + ≥



+ ≤


Lời giải : Hệ trên tương đương với

Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
2
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2 1
2 1
1
1
1 1 1 3
1 4
xy m x y
xy m x y
x y
x y
x y m
x y



+ ≥ − +
+ ≥ − +
 
⇔
 
+ ≤

+ ≤




− + − ≤ +

⇔

+ ≤


Với m+1
≤
0 hay
1m
≤
hệ vô nghiệm.
Với m+1 > 0 hay m>-1, BĐT(3) biểu diễn hình tròn tâm I(1;1),bán kính R=
1m +
trên mặt phẳng tọc độ Oxy
BPT(4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x+y=1.Hệ có nghiệm duy nhất
khi và chỉ khi đường thẳng x+y=1 tiếp xúc với đường tròn

( ) ( )
2 2
1 1 1x y m− + − = +
khi đó
1 1
1
2
2
m m= + ⇔ = −
Bài 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm:

2 2
4 3 2 0x y
x y a
− + ≥


+ =

Lời giải: Nếu a
0≤
hệ vô nghiệm.
Nếu a> 0 thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn
bởi 4x-3y+2
≤
0 và đường tròn tâm 0 (0;0) bán kính R=
a
.Vậy hệ có nghiệm khi và
chỉ khi
4

25
a OH a≥ ⇔ ≥
(với H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống
đường thẳng 4x-3y+2= 0)
Bài 4: Cho hệ:

( ) ( )
2 2
1 1 2(5)
0(6)
x y
x y m

− + − ≤


− + =


Xác định m để hệ nghiệm đúng với mọi x
[ ]
0;2∈
.
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
3
Lời giải: Tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường
tròn
( ) ( )
2 2
1 1 2x y− + − =

với tâm I(1;1) bán kính
2R =
.Tập hợp các điểm 9x;y)
thỏa mãn (6) là các điểm nằm trên đường thẳng
∆
có phương trình : x-y+m=0.
Gỉa sử A
∈∆
sao cho
0
A
x =
thì A(0;m);
B ∈∆
sao cho
2
B
x =
thì B(2;2+m).
Đế hệ có nghiệm với mọi
[ ]
0;2x∈
thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn(I;R).Lúc
đó
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
0 1 1 2
0

2 1 2 1 2
m
IA R
m
IB R
m

− + − ≤
≤


⇔ ⇔ =
 
≤

− + + − ≤


Bài 5: Cho hệ phương trình

2 2
0(7)
0(8)
x y x
x ay a

+ − =

+ − =


Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải: Pt(7)
2
2
1 1
2 4
x y
 
⇔ − + =
 ÷
 
.
Vậy tập nghiệm của Pt(7) là tọa độ những điểm nằm trên đường tròn tâm I
1
;0
2
 
 ÷
 

bán kính R=
1
2
.Tập nghiệm của pt(8) là tọa độ những điểm nằm trên đường thẳng
x+ay-a=0. Họ đường thẳng này luôn di qua điểm A(0;1) cố định.Ta có A nằm ngoài
đường tròn (I;R), từ A dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (I;R).
Phương trình tiếp tuyến đó là: x=0 và
4 4
0
3 3

x y+ − =
cũng luôn đi qua A(0;1).
Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng x+ay-a=0 phải cắt đường tròn (I;R)
tại hai điểm phân biệt . Vậy đường thẳng x+ay-a=0 phải nằm giữa hai tiếp tuyến trên
Lúc đó 0 <a <
4
3
.
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
4
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2
1 x m x− = −
Lời giải: Đặt
2
1y x= −
,
0y ≥
khi đó phương trình chuyển thành hệ
2 2
1(2)
0(3)
x y
x y m

+ =

+ − =


Để (1) có nghiệm thì (d) chạy từ (d1) đến (d2).
+ (d) trùng (d2) thì m=-1
+(d) trùng (d1) thì d(O,(d))=
1
2
m
=
mà m>0
2m⇒ =
.
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì
1 2m− ≤ ≤
.
Từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán sau
Bài 7: Tìm GTLN của hàm số:


2
( 0)y x a x a= + − >
Lời giải: Đặt
2 2 2 2 2
t a x x t a= − ⇔ + =
và x+t-y=0
Vậy hệ sau có nghiệm
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
5
2 2 2
(1)
0(2)
x t a

x t y

+ =

+ − =

suy ra khoảng cách từ tâm đường tròn(1) đến đường thẳng (2) nhỏ hơn hoặc bằng
bán kính
2 2 max 2
2
x=
2
y
a a y a y a
a
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ =
⇔
Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm của hệ sau theo m.
2 2 2
4(1)
(2)
x y
x y m
+ =


+ =

+ m=0 thì hệ vô nghiệm.

+ m
0
≠
ta có:
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường tròn
2 2 2
x y m+ =
và đường thẳng
( )
: 4x y∆ + =
có d(O,
( )
V
)
4
2 2
2
−
= =
.
Vậy ta có:
+ Nếu
2 2m <
hệ vô nghiệm.
+ Nếu
2 2m = ±
thì hệ có nghiệm duy nhất:
2
2
x

y
=


=

+Nếu
2 2m >
thì hệ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm

Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
6
( 0)( )a x x a a a I− + + > >
Lời giải:
Đặt
u a x
v a x

= +


= −


điều kiện u,v
0
≥
Khi đó bất phương trình chuyển thành hệ:
2 2

(1)
2 (2)
u v a
u v a
+ >


+ =

+ (1) là tập những điểm nằm phía trên (d): u+v=a
+ (2) là tập những điểm trên cung tròn như hình trên (C) : u
2
+v
2
=2a
Do đó để (I) có nghiệm thì d(O,(d)) <R=
2a
0 4a
⇒ < <
Từ những ví dụ trên ta nhận thấy, nếu cho phương trình :F(x,m)=0(I)
ta biến (I) về dạng :
( )
( )
, 0
, , 0
f x y
g x y m

=



=


hoặc h(x) =k(m)
Khi đó số nghiệm của (I) là số giao điểm của đồ thị hàm số f và g hoặc h va k.
Trong những ví dụ trên ta đã xét f(x,y) =0 là phương trình của một đường tròn.Còn
g(x,y,m)=0 là một đường thẳng.
Tuy nhiên phương pháp hình học không phải là tối ưu cho mọi bài toán đại số, cho
nên khi đứng trước bài toán cụ thể, chúng ta cần linh hoạt trong cách chọn hướng giải
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
7
bài toán.Phương pháp hình học sử dụng được chỉ khi ta khéo léo chuyển ngôn ngữ
của bài toán đại số sang ngôn ngữ hình học được.
Thông qua ví dụ trên nhận thấy rằng : Khi sử dụng phương trình và tính chất của
đường tròn (hình tròn) xét sự tương giao giữa các hình, ta đã đưa bài toán biện luận
hệ, bài toán bất phương trình chứa tham số về một dạng toán đơn giản và quen thuộc
hơn với học sinh.
Sau đây là các bài tập tương tự để chúng ta luyện tập thêm cho học sinh , giúp cho
các em thành thạo cách giải này.
Bài 9: Tìm các số dương a để hệ sau có nghiệm

2 2 2
1x y a
x y a

+ = −

+ >


Bài 10 Tìm a để mỗi hệ sau có nghiệm
a,
2 2 2
1x y a
x y a

+ = −

+ >

b,
2 2
log ( ) 1
2
x y
x y
x y a
+
+ ≥



+ =


Bài 11: Gỉa sử
( )
1 1
;x y
và

( )
2 2
;x y
là hai nghiệm của hệ

2 2
0
0
x y x
x ay a

+ − =

+ − =

Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
1x x y y− + − ≤
Bài 12: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 2
2 2
2 1
2 1 1
x y y a
x y x

+ + + ≤



+ + + ≤


PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/ Kết luận:
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
8
Trên đây là những kinh nghiệmp mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy
Toán 10 tại trường THPT Lê Viết Tạo.
Phương trình,bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số là một nội
dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói
chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần
nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, được
học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình,bất
phương trình, hệ phương trinh chứa tham số . Các em hứng thú học tập hơn, ở những
lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 10 sau
khi áp dụng phương pháp này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được
cơ bản các dạng toán nói trên , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Lớp
Tổng
số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến
8

Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2010-
2011
10A8 43 11 21 % 20 57 % 12 22 %
10B8 46 7 18 % 17 51 % 22 31 %

Mặc dù cố gắng tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập
nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu
lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở
nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
9
Hoằng Hóa ngày 8 tháng 5 năm 2011
Giáo viên

Lê Thị Thu Huyền
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
10