Hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian tài liệu luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (536.26 KB, 34 trang )
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 1
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:
2
a i j
;
7 8
b i k
;
9
c k
;
3 4 5
d i j k
Bài 2. Viết dưới dạng
xi yj zk
mỗi vectơ sau đây:
1
0 2
2
a
; ;
;
4 5 0
b
( ; ; )
;
4 1
0
3
3
c ; ;
;
1 1
3
5
d ; ;
Bài 3. Cho:
2 5 3 0 2 1 1 7 2
a b c
; ; ; ; ; ;
, ,
. Tìm toạ độ của các vectơ
u
với:
a)
1
4 3
2
u a b c
b)
4 2
u a b c
c)
2
4
3
u b c
d)
3 5
u a b c
e)
1 4
2
2 3
u a b c
f)
3 2
4 3
u a b c
Bài 4. Tìm tọa độ của vectơ
x
, biết rằng:
a)
0
a x
với
1 2 1
a
; ;
b)
4
a x a
với
0 2 1
a
; ;
c)
2
a x b
với
5 4 1
a
; ;
,
2 5 3
b
; ;
Bài 5. Cho
1 3 4
a
( ; ; )
.
a) Tìm y và z để
2
b y z
( ; ; )
cùng phương với
a
.
b) Tìm toạ độ của vectơ
c
, biết rằng
a và c
ngược hướng và
2
c a
.
Bài 6. Cho ba vectơ
1 1 1 4 0 1 3 2 1
a b c
; ; , ; ; , ; ;
. Tìm:
a)
a b c
.
b)
2
a b c
.
c)
2 2 2
a b b c c a
d)
2
3 2
a a b b c b
.
e)
2 2
4 5
a c b c
.
Bài 7. Tính góc giữa hai vectơ
a
và
b
:
a)
4 3 1 1 2 3
a b
; ; , ; ;
b)
2 5 4 6 0 3
a b
; ; , ; ;
c)
2 1 2 0 2 2
a b
( ; ; ), ( ; ; )
d)
3 2 2 3 3 2 3 1
a b
( ; ; ), ( ; ; )
e)
4 2 4 2 2 2 2 0
a b
( ; ; ), ( ; ; )
f)
3 2 1 2 1 1
a b
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 8. Tìm vectơ
u
, biết rằng:
a)
2 1 3 1 3 2 3 2 4
5 11 20
a b c
a u u b u c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . , .
b)
2 3 1 1 2 3 2 1 1
6
a b c
u a u b u c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
, , .
c)
2 3 1 1 2 1 2 4 3
3 4 2
a b c
a u b u c u
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . , .
d)
5 3 2 1 4 3 3 2 4
16 9 4
a b c
a u b u c u
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . , .
e)
7 2 3 4 3 5 11 1
5 7
a b c
a u b u c u
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . ,
Bài 9. Cho hai vectơ
a b
,
. Tìm m để:
a)
2 1 2 0 2 2
2 3
a b
u a mb và v ma b vuông góc
( ; ; ), ( ; ; )
b)
3 2 1 2 1 1
3 3 2
a b
u ma b và v a mb vuông góc
( ; ; ), ( ; ; )
I. VECTƠ – HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 2
c)
3 2 1 2 1 1
3 3 2
a b
u ma b và v a mb cùng phương
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 10. Cho hai vectơ
a b
,
. Tính X, Y khi biết:
a)
4 6
a b
X a b
,
b)
2 1 2 6 4
a b a b
Y a b
( ; ; ), ,
c)
0
4 6 120
a b a b
X a b Y a b
, , ,
,
d)
0
2 1 2 6 60
a b a b
X a b Y a b
( ; ; ), , ,
,
Bài 11. Cho ba vectơ
a b c
, ,
. Tìm m, n để
c a b
,
:
a)
3 1 2 1 2 5 1 7
a b m c
; ; , ; ; , ; ;
b)
6 2 5 3 6 33 10
a m b n c
; ; , ; ; , ; ;
c)
2 3 1 5 6 4 1
a b c m n
; ; , ; ; , ; ;
Bài 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
a b c
, ,
trong mỗi trường hợp sau đây:
a)
1 1 1 0 1 2 4 2 3
a b c
; ; , ; ; , ; ;
b)
4 3 4 2 1 2 1 2 1
a b c
; ; , ; ; , ; ;
c)
3 1 2 1 1 1 2 2 1
a b c
; ; , ; ; , ; ;
d)
4 2 5 3 1 3 2 0 1
a b c
; ; , ; ; , ; ;
e)
2 3 1 1 2 0 3 2 4
a b c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
5 4 8 2 3 0 1 7 7
a b c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
g)
2 4 3 1 2 2 3 2 1
a b c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
h)
2 4 3 1 3 2 3 2 1
a b c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 13. Tìm m để 3 vectơ
a b c
, ,
đồng phẳng:
a)
1 2 1 2 1 0 2 2
a m b m c m
; ; , ; ; , ; ;
b)
2 11 2 1 1 2 2 2 1 2
a m m b m m c m m
( ; ; ); ( ; ; ), ( ; ; )
c)
1 2 1 2 1 2 2
a m m m b m m m c
; ; , ; ; , ; ;
d)
1 3 2 1 2 1 0 2 2
a b m m m c m
; ; , ; ; , ; ;
Bài 14. Cho các vectơ
a b c u
, , ,
. Chứng minh ba vectơ
a b c
, ,
không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ
u
theo các
vectơ
a b c
, ,
:
a)
2 1 0 1 1 2 2 2 1
3 7 7
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
b)
1 7 9 3 6 1 1 7
4 13 6
a b c 2
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
c)
1 0 1 0 1 1 1 1 0
8 9 1
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
d)
1 0 2 2 3 0 0 3 4
1 6 22
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
e)
2 3 1 1 2 5 2 2 6
3 1 2
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
f)
2 1 1 1 3 2 3 2 2
4 3 5
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ
a b c d
, , ,
đồng phẳng:
a)
2 6 1 4 3 2 4 2 2 2 11 1
a b c d
; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )
b)
2 6 1 2 1 1 4 3 2 2 11 1
a b c d
; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )
Bài 16. Cho ba vectơ
a b c
, ,
không đồng phẳng và vectơ
d
. Chứng minh bộ ba vectơ sau không đồng phẳng:
a)
b c d ma nb
, ,
(với m, n ≠ 0) b)
a c d ma nb
, ,
(với m, n ≠ 0)
c)
a b d ma nb pc
, ,
, (với m, n, p ≠ 0) d)
b c d ma nb pc
, ,
, (với m, n, p ≠ 0)
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 3
e)
a c d ma nb pc
, ,
, (với m, n, p ≠ 0)
Bài 17. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
a)
1 2 3
M
( ; ; )
b)
3 1 2
M
( ; ; )
c)
1 1 3
M
( ; ; )
d)
1 2 1
M
( ; ; )
e)
2 5 7
M
( ; ; )
f)
22 15 7
M
( ; ; )
g)
11 9 10
M
( ; ; )
h)
3 6 7
M
( ; ; )
Bài 18. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm M:
Qua gốc toạ độ Qua mp(Oxy) Qua trục Oy
a)
1 2 3
M
( ; ; )
b)
3 1 2
M
( ; ; )
c)
11 3
M
( ; ; )
d)
1 2 1
M
( ; ; )
e)
2 5 7
M
( ; ; )
f)
22 15 7
M
( ; ; )
g)
11 9 10
M
( ; ; )
h)
3 6 7
M
( ; ; )
Bài 19. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a)
1 3 1 0 1 2 0 0 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
1 1 1 4 3 1 9 5 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
c)
10 9 12 20 3 4 50 3 4
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
1 5 10 5 7 8 2 2 7
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 20. Cho ba điểm A, B, C.
Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC.
Xác đònh điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Xác đònh toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên
BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.
Tính số đo các góc trong ABC.
Tính diện tích ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ABC.
a)
1 2 3 0 3 7 12 5 0
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
0 13 21 11 23 17 1 0 19
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
c)
3 4 7 5 3 2 1 2 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
4 2 3 2 1 1 3 8 7
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
e)
3 1 2 1 2 1 11 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
4 1 4 0 7 4 3 1 2
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
g)
1 0 0 0 0 1 2 1 1
A B C
; ; , ; ; , ; ;
h)
1 2 6 2 5 1 1 8 4
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 21. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:
a)
3 1 0
A
( ; ; )
,
2 4 1
B
( ; ; )
b)
1 2 1 11 0 7
A B
( ; ; ), ( ; ; )
c)
4 1 4 0 7 4
A B
( ; ; ), ( ; ; )
d)
3 1 2 1 2 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
e)
3 4 7 5 3 2
A B
( ; ; ), ( ; ; )
f)
4 2 3 2 1 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 22. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
a)
1 1 1 1 1 0 3 1 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
3 2 4 0 0 7 5 3 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
c)
3 1 2 1 2 1 11 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
0 13 21 11 23 17 1 0 19
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
e)
1 0 2 2 1 1 1 3 2
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
1 2 6 2 5 1 1 8 4
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 23. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? Tìm tọa độ điểm M.
a)
2 1 7 4 5 2
A B; ; , ; ;
b)
4 3 2 2 1 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
c)
10 9 12 20 3 4
A B
( ; ; ), ( ; ; )
d)
3 1 2 1 2 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
e)
3 4 7 5 3 2
A B
( ; ; ), ( ; ; )
f)
4 2 3 2 1 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 24. Cho bốn điểm A, B, C, D.
Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 4
Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a)
2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
c)
1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
d)
2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
e)
2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
g)
2 4 1 1 0 1 1 4 2 1 2 1
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
h)
3 2 4 2 5 2 1 2 2 4 2 3
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
i)
3 4 8 1 2 1 5 2 6 7 4 3
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
k)
3 2 6 2 4 4 9 9 1 0 0 1
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 25. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
Tính thể tích khối hộp.
a)
1 0 1 2 1 2 1 1 1 4 5 5
A B D C
; ; , ; ; , ; ; , ' ; ;
b)
2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2
A B C A
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )
c)
0 2 1 1 1 1 0 0 0 11 0
A B D A
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )
d)
0 2 2 0 1 2 1 1 1 1 2 1
A B C C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )
Bài 26. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Bài 27. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c) Vẽ SH (ABC). Gọi S là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh SABC là tứ diện đều.
Bài 28. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích các vectơ
OI AG
,
theo các vectơ
OA OC OD
, ,
.
b) Phân tích vectơ
BI
theo các vectơ
FE FG FI
, ,
.
Bài 29. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ
AE
theo các vectơ
AC AF AH
, ,
.
b) Phân tích vectơ
AG
theo các vectơ
AC AF AH
, ,
.
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB. Chứng minh rằng
MN AC.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB, CD, AD lần lượt lấy các điểm M,
N, P sao cho BM = CN = DP = x (0 < x < 1). Chứng minh AC vuông góc với mp (MNP) ?
Bài 31. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
2 2 2
8 2 1 0
x y z x y
b)
2 2 2
4 8 2 4 0
x y z x y z
c)
2 2 2
2 4 4 0
x y z x y z
d)
2 2 2
6 4 2 86 0
x y z x y z
e)
2 2 2
12 4 6 24 0
x y z x y z
f)
2 2 2
6 12 12 72 0
x y z x y z
g)
2 2 2
8 4 2 4 0
x y z x y z
h)
2 2 2
3 4 0
x y z x y
i)
2 2 2
3 3 3 6 3 15 2 0
x y z x y z
k)
2 2 2
6 2 2 10 0
x y z x y z
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 5
Bài 32. Xác đònh m, t,
, … để phương trình sau xác đònh một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của các mặt cầu
đó:
a)
2 2 2 2
2 2 4 2 5 9 0
x y z m x my mz m( )
b)
2 2 2 2
2 3 2 1 2 2 7 0
x y z m x m y mz m( ) ( )
c)
2 2 2
2 1 4 2 2 7 0
x y z x y z(cos ) cos . cos
d)
2 2 2 2 2
2 3 2 4 1 2 4 8 0
x y z x y z( cos ) (sin ) cos
e)
2 2 2
2 2 6 3 8 0
x y z t x y z tln . ln
f)
2 2 2 2
2 2 4 2 1 5 8 0
x y z t x t y t z t( ln ) ln . (ln ) ln
Bài 33. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a)
1 3 5 3
I R( ; ; ), b)
5 3 7 2
I R
( ; ; ),
c)
1 3 2 5
I R
( ; ; ),
d)
2 4 3 3
I R
( ; ; ),
Bài 34. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a)
2 4 1 5 2 3
I A
( ; ; ), ( ; ; )
b)
0 3 2 0 0 0
I A
( ; ; ), ( ; ; )
c)
3 2 1 2 1 3
I A
( ; ; ), ( ; ; )
d)
4 4 2 0 0 0
I A
( ; ; ), ( ; ; )
e)
4 1 2 1 2 4
I A
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 35. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
a)
2 4 1 5 2 3
A B
( ; ; ), ( ; ; )
b)
0 3 2 2 4 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
c)
3 2 1 2 1 3
A B
( ; ; ), ( ; ; )
d)
4 3 3 2 1 5
A B
( ; ; ), ( ; ; )
e)
2 3 5 4 1 3
A B
( ; ; ), ( ; ; )
f)
6 2 5 4 0 7
A B
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 36. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
a)
1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
b)
2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
c)
2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
e)
6 2 3 0 1 6 2 0 1 4 1 0
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
0 1 0 2 3 1 2 2 2 1 1 2
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 37. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với:
a)
1 2 0 1 1 3 2 0 1
A B C
P Oxz
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
( ) ( )
b)
2 0 1 1 3 2 3 2 0
A B C
P Oxy
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
( ) ( )
Bài 38. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:
a)
2 2 2
5 11
2 4 6 5 0
I
T x y z x y z
( ; ; )
( ) :
b)
2 2 2
3 2 2
2 4 8 5 0
I
T x y z x y z
( ; ; )
( ) :
Bài 39. Xét vò trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
2 2 2
2 2 2
8 4 2 4 0
4 2 4 5 0
x y z x y z
x y z x y z
b)
2 2 2
2 2 2
1 2 3 9
6 10 6 21 0
x y z
x y z x y z
( ) ( ) ( )
c)
2 2 2
2 2 2
2 4 10 5 0
4 6 2 2 0
x y z x y z
x y z x y z
d)
2 2 2
2 2 2
8 4 2 15 0
4 12 2 25 0
x y z x y z
x y z x y z
e)
2 2 2
2 2 2
2 6 4 5 0
6 2 4 2 0
x y z x y z
x y z x y z
f)
2 2 2
2 2 2
4 2 2 3 0
6 4 2 2 0
x y z x y z
x y z x y z
Bài 40. Biện luận theo m vò trí tương đối của hai mặt cầu:
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 6
a)
2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 64
4 2 3 2
x y z
x y z m
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b)
2 2 2
2 2 2 2
3 2 1 81
1 2 3 3
x y z
x y z m
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
c)
2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 25
1 2 3 1
x y z
x y z m
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d)
2 2 2
2 2 2 2
3 2 1 16
1 2 3 3
x y z
x y z m
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Bài 41. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
2 2
30
MA MB
b)
2
MA
MB
c)
2 2 2
0
MA MB k k
( )
Bài 42. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
2 2
124
MA MB
b)
3
2
MA
MB
c)
0
90
AMB
d) MA = MB e)
2 2 2
2 1 0
MA MB k k
( ) ( )
Bài 43. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:
a)
2 2 2
4 6 2 3 19 2 0
x y z x y m z m( )
b)
2 2 2
2 2 4 2 2 4 0
x y z m x y z m( )
c)
2 2 2 2
2 4 2 1 2 6 0
x y z x y m z m( )
d)
2 2 2
4 2 2 5 2 6 2 1 0
x y z m x m y z m( cos ) ( sin ) cos
e)
2 2 2 2
2 3 4 2 4 1 4 5 2 0
x y z m x m y z m( cos ) ( sin ) sin
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Bài 44. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT
n
cho trước:
a)
M 3;1;1 , n 1;1;2
b)
M 2;7;0 , n 3;0;1
c)
M 4; 1; 2 , n 0;1;3
d)
M 2;1; 2 , n 1;0;0
e)
M 3;4;5 , n 1; 3; 7
f)
M 10;1;9 , n 7;10;1
Bài 45. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
a)
2 1 1 2 1 1
A B
( ; ; ), ( ; ; )
b)
1 1 4 2 0 5
A B
( ; ; ), ( ; ; )
c)
2 3 4 4 1 0
A B
( ; ; ), ( ; ; )
d)
1 1
A ; 1; 0 , B 1; ;5
2 2
e)
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
f)
2 5 6 1 3 2
A B
( ; ; ), ( ; ; )
Bài 46. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
a b
,
cho trước, với:
a)
1 2 3 2 1 2 3 2 1
M a b
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
1 2 3 3 1 2 0 3 4
M a b
( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )
c)
1 3 4 2 7 2 3 2 4
M a b
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
4 0 5 6 1 3 3 2 1
M a b
( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )
Bài 47. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
cho trước, với:
a)
2 1 5
M Oxy
; ; ,
b)
1 2 1 2 3 0
M x y; ; , :
c)
1 1 0 2 10 0
M x y z; ; , :
d)
3 6 5 1 0
M x z; ; , :
I
I. MẶT PHẲNG
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 7
e)
2 3 5 2 5 0
M x y z
( ; ; ), ( ) :
f)
1 1 1 10 10 20 40 0
M x y z
( ; ; ), ( ) :
Bài 48. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ, với:
a)
2 1 5
M
; ;
b)
1 2 1
M
; ;
c)
1 1 0
M
; ;
d)
3 6 5
M ; ;
e)
2 3 5
M
( ; ; )
f)
11 1
M
( ; ; )
g)
11 0
M
( ; ; )
h)
3 6 5
M
( ; ; )
Bài 49. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:
a)
1 2 4 3 2 1 2 1 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
0 0 0 2 1 3 4 2 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
c)
1 2 3 2 4 3 4 5 6
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
3 5 2 1 2 0 0 3 7
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
e)
2 4 0 5 1 7 1 1 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
3 0 0 0 5 0 0 0 7
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 50. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C
cho trước, với:
a)
1 2 4 3 2 1 2 1 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
0 0 0 2 1 3 4 2 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
c)
1 2 3 2 4 3 4 5 6
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
d)
3 5 2 1 2 0 0 3 7
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
e)
2 4 0 5 1 7 1 1 1
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
3 0 0 0 5 0 0 0 7
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 51. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng () cho trước,
với:
a)
3 1 1 2 1 4
2 3 1 0
A B
x y z
( ; ; ), ( ; ; )
:
b)
2 1 3 4 2 1
2 3 2 5 0
A B
x y z
( ; ; ), ( ; ; )
:
c)
2 1 3 4 7 9
3 4 8 5 0
A B
x y z
( ; ; ), ( ; ; )
:
d)
3 1 2 3 1 2
2 2 2 5 0
A B
x y z
( ; ; ), ( ; ; )
:
Bài 52. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (), () cho trước,
với:
a)
1 2 5 2 3 1 0 2 3 1 0
M x y z x y z( ; ; ), : , :
b)
1 0 2 2 2 0 3 0
M x y z x y z( ; ; ), : , :
c)
2 4 0 2 3 2 5 0 3 4 8 5 0
M x y z x y z( ; ; ), : , :
d)
5 1 7 3 4 3 6 0 3 2 5 3 0
M x y z x y z( ; ; ), : , :
Bài 53. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước,
với:
a)
1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0
M P x y z Q : x y z; ; , : ,
b)
2 1 1 4 0 3 1 0
M P x y z Q : x y z; ; , : ,
c)
3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0
M P x y z Q : x y z; ; , : ,
d)
0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0
M P x y z Q x y z; ; , : , :
Bài 54. Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với
mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2 4 0 3 0 2 0
P y z Q x y z R x y z
( ) : , ( ) : , ( ) :
b)
4 2 5 0 4 5 0 2 19 0
P x y z Q y z R x y
( ) : , ( ) : , ( ) :
c)
3 2 0 4 5 0 2 7 0
P x y z Q x y R x z
( ) : , ( ) : , ( ) :
Bài 55. Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 8
mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0
P x y Q y z R x y z
( ) : , ( ) : , ( ) :
b)
2 4 0 3 0 2 0
P y z Q x y z R x y z
( ) : , ( ) : , ( ):
c)
2 4 0 2 5 0 2 3 6 0
P x y z Q x y z R x y z
( ) : , ( ) : , ( ):
d)
3 2 0 4 5 0 2 7 0
P x y z Q x y R x z
( ): , ( ) : , ( ):
Bài 56. Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M
cho trước một khoảng bằng k, với:
a)
2 0 5 13 2 0 1 2 3 2
P x y Q x y z M k
( ): , ( ) : , ( ; ; ),
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài 57. Xét vò trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a)
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z
b)
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
c)
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z
d)
6 4 6 5 0
12 8 12 5 0
x y z
x y z
e)
2 2 4 5 0
25
5 5 10 0
2
x y z
x y z
f)
3 2 6 23 0
3 2 6 33 0
x y z
x y z
Bài 58. Xác đònh m, n để các cặp mặt phẳng sau: song song cắt nhau trùng nhau
a)
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
b)
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
c)
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
d)
3 9 0
2 2 3 0
x y mz
x ny z
e)
2 3 5 0
6 6 2 0
x y z
mx y z
f)
3 5 3 0
2 3 1 0
x y mz
x y z
g)
2 0
2 4 3 0
x my z
x y nz
h)
2 2 1 0
3 2 0
x ny z
x y mz
i)
3 3 2 5 0
2 2 10 0
x m y z
m x y mz
( )
( )
Bài 59. Xác đònh m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
a)
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z
b)
2 1 3 2 3 0
1 4 5 0
m x my z
mx m y z
( )
( )
c)
2 12 0
7 0
mx y mz
x my z
d)
3 3 2 5 0
2 2 10 0
x m y z
m x y mz
( )
( )
e)
4 3 3 0
2 7 1 0
x y z
mx y z
f)
3 5 3 0
3 2 5 0
x y mz
x y z
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
Bài 60. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.
Tính khoảng cách từ M đến (P). Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).
Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (P).
a)
2 2 6 0 2 3 5
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
b)
5 14 0 1 4 2
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
c)
6 2 3 12 0 3 1 2
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
d)
2 4 4 3 0 2 3 4
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
e)
4 0 2 1 1
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
f)
3 2 0 1 2 4
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
Bài 61. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 9
a)
2 3 1 0
2 3 5 0
x y z
x y z
b)
6 2 1 0
6 2 3 0
x y z
x y z
c)
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
d)
4 8 1 0
4 8 5 0
x y z
x y z
e)
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
f)
3 6 3 7 0
2 1 0
x y z
x y z
Bài 62. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
a)
6 3 2 7 0 3
x y z k
,
b)
3 2 6 5 0 4
x y z k
,
c)
6 2 3 12 0 2
x y z k
,
d)
2 4 4 14 0 3
x y z k
,
Bài 63. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a)
2 3 1 0
2 3 5 0
x y z
x y z
b)
6 2 1 0
6 2 3 0
x y z
x y z
c)
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
d)
4 8 1 0
4 8 5 0
x y z
x y z
e)
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
f)
3 6 3 7 0
2 1 0
x y z
x y z
Bài 64. Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng k cho trước:
a)
2 2 10 0
2 4 4 3 0
2
3
x y z
x y z
k
b)
6 2 1 0
6 2 3 0
1
2
x y z
x y z
k
c)
6 3 2 1 0
2 2 6 0
4
7
x y z
x y z
k
Bài 65. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P):
a)
2 2 5 0 1 2 2
P x y z N
( ) : , ( ; ; )
b)
5 14 0 1 4 2
P x y z N
( ) : , ( ; ; )
c)
6 2 3 12 0 3 1 2
P x y z N
( ) : , ( ; ; )
d)
2 4 4 3 0 2 3 4
P x y z N
( ) : , ( ; ; )
e)
4 0 2 1 1
P x y z N
( ) : , ( ; ; )
f)
3 2 0 1 2 4
P x y z N
( ) : , ( ; ; )
Bài 66. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng:
a)
1 0
5 0
x y z
x y z
b)
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
c)
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
d)
4 8 1 0
4 8 5 0
x y z
x y z
e)
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
f)
3 6 3 7 0
2 1 0
x y z
x y z
Bài 67. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho
trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a)
1 2 3 2 4 4 0
A Q x y z; ; – , ( ) :
. b)
3 1 2 6 2 3 12 0
A Q x y z; ; – , ( ) :
.
Bài 68. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A một
khoảng k cho trước:
a)
2 2 5 0 2 1 4 4
Q x y z A k
( ) : , ( ; ; ),
b)
2 4 4 3 0 2 3 4 3
Q x y z A k
( ) : , ( ; ; ),
Bài 69. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
a)
3 2 3 0 14
Q x y z k( ) : , b)
4 3 2 5 0 29
Q x y z k( ) : ,
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài 70. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
a)
1 0
5 0
x y z
x y z
b)
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
c)
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 10
d)
4 4 2 7 0
2 4 5 0
x y z
x z
e)
2 2 3 0
2 2 12 0
x y z
y z
f)
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
x y z
x y z
Bài 71. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng cho trước:
a)
0
2 1 3 2 3 0
1 4 5 0
90
m x my z
mx m y z
( )
( )
b)
0
2 12 0
7 0
45
mx y mz
x my z
c)
0
2 2 5 0
3 2 3 0
90
m x my mz
mx m y z
( )
( )
d)
0
3 0
2 1 1 1 6 0
30
mx y mz
m x m y m z( ) ( ) ( )
Bài 72. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
,, lần lượt là
các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng phương pháp toạ độ,
chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) 1coscoscos
222
VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Bài 73. Xét vò trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
2 2 2
2 2 1 0
6 2 4 5 0
P x y z
S x y z x y z
( ) :
( ) :
b)
2 2 2
2 3 6 9 0
1 3 2 16
P x y z
S x y z
( ) :
( ) : ( ) ( ) ( )
c)
2 2 2
2 11 0
2 4 2 2 0
P x y z
S x y z x y z
( ) :
( ) :
d)
2 2 2
2 2 5 0
6 4 8 13 0
P x y z
S x y z x y z
( ) :
( ) :
e)
P x y z
S x y z x y z
2 2 2
( ) : 2 2 0
( ) : 6 2 2 10 0
f)
P z
S x y z x y z
2 2 2
( ) : 3 0
( ) : 6 2 16 22 0
Bài 74. Biện luận theo m, vò trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
2 2 2
2 2 4 0 2 1 4 4 8 0
P x y z S x y z m x my z m( ) : ; ( ): ( )
b)
2 2 2 2
4 2 4 5 0 1 2 3 1
P x y z S x y z m
( ) : ; ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )
c)
2 2 2 2
3 2 6 7 0 2 1 1 2
P x y z S x y z m
( ) : ; ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )
d)
2 2 2 2
2 3 6 10 0 4 2 1 2 3 5 4 0
P x y z S x y z mx m y z m m( ) : ; ( ) : ( )
Bài 75. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a)
3 5 2 2 3 1 0
I P x y z
( ; ; ), ( ) :
b)
1 4 7 6 6 7 42 0
I P x y z
( ; ; ), ( ) :
c)
1 1 2 2 2 3 0
I P x y z
( ; ; ), ( ) :
d)
2 11 2 2 5 0
I P x y z
( ; ; ), ( ):
Bài 76. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:
a) S x y z
2 2 2
( ) : ( 3) ( 1) ( 2) 24
tại
1 3 0
M
( ; ; )
b)
S x y z x y z
2 2 2
( ) : 6 2 4 5 0
tại
4 3 0
M
( ; ; )
c)
2 2 2
1 3 2 49
S x y z( ) :( ) ( ) ( )
tại
7 1 5
M
( ; ; )
d)
2 2 2
2 2 2 22 0
S x y z x y z( ) :
và song song với mặt phẳng
3 2 6 14 0
x y z
.
e)
2 2 2
6 4 2 11 0
S x y z x y z( ) :
và song song với mặt phẳng
4 3 17 0
x z
.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 11
f)
2 2 2
2 4 4 0
S x y z x y z( ) :
và song song với mặt phẳng
2 2 5 0
x y z
.
g)
2 2 2
2 6 2 8 0
S x y z x y z( ):
và chứa đường thẳng
4 4 3 1 1
d x t y t z t
: , ,
h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210
222
zyxzyx và song song với 2 đường thẳng:
1
5 1 13
2 3 2
x y z
d :
,
1
7 1 8
3 2 0
x y z
d :
Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng
Bài 77. Cho tứ diện ABCD.
Viết phương trình các mặt của tứ diện.
Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
Tìm toạ độ các điểm A, B, C, D lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua
các mặt đối diện.
Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác đònh tâm I và bán kính R của
(S).
Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a)
5 1 3 1 6 2 5 0 4 4 0 6
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
b)
1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
c)
2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6
A B C D
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
d)
2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
e)
5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
f)
0 1 0 2 3 1 2 2 2 1 1 2
A B C D
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Bài 78. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3)
và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài 79. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Bài 80. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
a
cho trước:
a)
M a
(1;2; 3), ( 1;3;5)
b)
M a
(0; 2;5), (0;1;4)
c)
M a
(1;3; 1), (1;2; 1)
I
II
.
ĐƯỜNG THẲNG
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 12
d)
M a
(3; 1; 3), (1; 2;0)
e)
M a
(3; 2;5), ( 2;0;4)
f)
M a
(4;3; 2), ( 3;0;0)
Bài 81. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a)
2 3 1 1 2 4
A , B
; ; ; ;
b)
1 1 0 0 1 2
A , B
; ; ; ;
c)
3 1 5 2 1 1
A , B
; ; ; ;
d)
2 1 0 0 1 2
A , B
; ; ; ;
e)
1 2 7 1 2 4
A , B
; ; ; ;
f)
2 1 3 4 2 2
A , B
; ; ; ;
Bài 82. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng cho
trước:
a)
3 2 4
A , Ox
; ;
b)
2 5 3 5 3 2 2 1 2
A đi qua M N
; ; , ( ; ; ), ( ; ; )
c)
2 3
2 5 3 3 4
5 2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :
d)
2 5 2
4 2 2
4 2 3
x y z
A( ; ; ), :
e)
3 4
1 3 2 2 2
3 1
x t
A y t
z t
( ; ; ), :
f)
3 1 2
5 2 3
2 3 4
x y z
A( ; ; ), :
Bài 83. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho
trước:
a)
2 4 3 2 3 6 19 0
A , (P) x y z; ; :
b)
1 1 0
A , P các mp toạ độ
; ; ( ) :
c)
3 2 1 2 5 4 0
A P x y; ; , ( ) :
d)
2 3 6 2 3 6 19 0
A P x y z
( ; ; ), ( ) :
Bài 84. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:
a)
6 2 2 3 0
3 5 2 1 0
P x y z
Q x y z
( ) :
( ) :
b)
2 3 3 4 0
2 3 0
P x y z
Q x y z
( ) :
( ) :
c)
3 3 4 7 0
6 2 6 0
P x y z
Q x y z
( ) :
( ) :
d)
2 3 0
1 0
P x y z
Q x y z
( ) :
( ) :
e)
1 0
2 0
P x z
Q y
( ) :
( ) :
f)
2 1 0
1 0
P x y z
Q x z
( ) :
( ) :
Bài 85. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
1 2
1 2 1
1 0 5 3 2 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
b)
1 2
1 1 3
2 1 1 2 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
( ; ; ), : , :
c)
1 2
1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
x t x
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
d)
1 2
7 3 1
4 1 4 4 2 9 2
4 3 12
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
e)
1 2
1 3 2
2 1 3 1 3 4
2 2 2
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
f)
1 2
3 1 4 1 1 2
2 0
x t x t
A d y t d y t
z t z
( ; ; ), : , :
Bài 86. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng cho
trước:
a)
1 2 2 1
2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :
b)
3 2
4 2 4 1
1 4
x t
A d y t
z t
( ; ; ), :
c)
1 3
2 1 3 1
2 2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :
d)
3 1 4 1
2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 13
e)
1
1 2 3 2 2
3 3
x t
A y t
z t
( ; ; ), :
f)
1
2 1 1 2
3
x t
A y t
z
( ; ; ), :
Bài 87. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
cho
trước:
a)
1 2
1 2 1
1 0 5 3 2 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
b)
1 2
1 1 3
2 1 1 2 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
( ; ; ), : , :
c)
1 2
1 3 2 2
4 5 3 3 2 1 3
2 1 5
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
d)
1 2
1 3
2 1 1 2 4
3 5 2
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
e)
1 2
2 4 3
2 3 1 1 2 1
1 3 2 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
f)
1 2
3 3 3 2
3 2 5 1 4 1
2 2 2 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , :
Bài 88. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d
1
,
d
2
cho trước:
a)
1 2
2 0
2
1
4 2
1 1 4
1
P y z
x t
x y z
d d y t
z
( ) :
: , :
b)
1 2
6 2 2 3 0
1 2 1
3 2 2
1 1 3
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
( ) :
: , :
c)
1 2
2 3 3 4 0
7 3 1
4 2 9 2
4 3 12
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
( ) :
: , :
d)
1 2
3 3 4 7 0
1 1
2 2 2
3 3 3
P x y z
x t x
d y t d y t
z t z t
( ) :
: , :
Bài 89. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng
d
1
, d
2
cho trước:
a)
1
2
1 1
2 1 2
1 1
1 2 1
2 1 3
3 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
:
:
:
b)
1
2
1 5
3 1 1
1 2 2
1 4 3
4 7
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
:
:
:
c)
1
2
1 2 2
:
1 4 3
1 2 2
:
1 4 3
4 7
:
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
d)
1
2
1 3 2
3 2 1
2 2 1
3 4 1
7 3 9
1 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
:
:
:
Bài 90. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
cho trước:
a)
1 2
3 2 2 3
1 4 4
2 4 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
: , :
b)
1 2
1 2 2 3
3 1 2
2 3 4 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
: , :
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 14
c)
1 2
2 2 1
1 3
3 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
: , :
d)
1 2
2 3 1 2
3 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
: , :
Bài 91. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng (P)
cho trước:
a)
2 3 1
2 1 3
2 2 3 0
x y z
P x y z
:
( ) :
b)
3 2 2
1 2 3
3 4 2 3 0
x y z
P x y z
:
( ) :
c)
1 1 3
1 2 2
2 2 3 0
x y z
P x y z
:
( ) :
d)
1
2 1 1
1 0
x y z
P x y z
:
( ) :
e)
2 2 1
3 4 1
2 3 4 0
x y z
P x y z
:
( ) :
f)
1 2
1 2 1
2 3 5 0
x y z
P x y z
:
( ) :
g)
5 4 2 5 0
2 2 0
2 1 0
x y z
x z
P x y z
:
( ) :
h)
1 0
2 2 0
2 1 0
x y z
x z
P x y z
:
( ) :
Bài 92. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt
đường thẳng d
2
cho trước:
a)
1 2
1
1 2
0 1 1
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
( ; ; ), : , :
b)
1 2
2
1 1
1 1 1 1 2
2 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
( ; ; ), : , :
c)
1 2
1 4 1 1 3
1 2 3
6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d( ; ; ), : , :
Bài 93. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số của các
đường thẳng sau:
a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
Bài 94. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến:
1
3
2
6
2
3
:)(
1
zyx
d
,
1
2
4
2
1
4
:)(
2
zyx
d . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:
a) Chứa các cạnh của tam giác ABC.
b) Đường phân giác trong của góc A.
Bài 95. Cho tam giác ABC có
3 1 1 1 2 7 5 14 3
A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. Viết phương trình tham số của các đường
thẳng sau:
a) Trung tuyến AM. b) Đường cao BH.
c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong ABC.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 15
Bài 96. Cho bốn điểm
1 2 1 3 4 1 1 4 1 3 2 1
S A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
.
a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp.
b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.
Bài 97. Cho bốn điểm
1 2 3 2 2 3 1 1 3 1 2 5
S A B C
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
.
a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện.
b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Bài 98. Xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
1 2
1 2 4
1 2 3
2 1 3
x y z
d d x t y t z t
: ; : ; ;
b)
1 2
5 2 1 5 3 2 3 1
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
c)
1 2
2 2 1 1 1 1 3
d x t y t z d x y t z t
: ; ; ; : ; ;
d)
1 2
1 2 3 7 6 5
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d: ; :
e)
1 2
1 5 3 6 1 3
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d: ; :
f)
1 2
2 1 7 2
4 6 8 6 9 12
x y z x y z
d d: ; :
g)
1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
h)
1 2
2 3 3 9 0
9 5 3
2 3 0
x y z
d x t y t z t d
x y z
: ; ; ; :
Bài 99. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung
của chúng:
a)
1 2
1 2 3 2 3 2 1 3 2
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
b)
1 2
1 2 2 2 2 5 3 4
d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';
c)
1 2
3 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
d)
1 2
2 1 1 1
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
d d: ; :
e)
1 2
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d: ; :
f)
1 2
2 1 3 3 1 1
2 1 2 2 2 1
x y z x y z
d d: ; :
g)
1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
Bài 100. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
a)
1 2
3 1 2 3 1 2 4
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 16
b)
1 2
3 0
1 2 3
2 1 0
x y z
d d x t y t z t
x y
: ; : ; ;
c)
1 2
2 4 0 2 0
2 6 0 2 7 0
x y z x z
d d
x y z y z
: ; :
d)
1 2
2 1 0 3 3 0
1 0 2 1 0
x y x y z
d d
x y z x y
: ; :
Bài 101. Tìm m để hai đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng:
a)
1 2
1 1 2 1 2 2 3
d x mt y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
b)
1 2
1 3 2 2 1 2 3
d x t y t z m t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
c)
1 2
2 4 0 2 3 0
3 0 2 6 0
x y z x y mz
d d
x y x y z
: ; :
VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 102. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
a)
2 1 3 10 0
d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) :
b)
3 2 1 4 4 5 4 3 6 5 0
d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) :
c)
12 9 1
3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z: ; ( ):
d)
11 3
3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z: ; ( ) :
e)
13 1 4
2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z: ; ( ) :
f)
3 5 7 16 0
5 4 0
2 6 0
x y z
d P x z
x y z
: ; ( ) :
g)
2 3 6 10 0
4 17 0
5 0
x y z
d P y z
x y z
: ; ( ) :
Bài 103. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d (P). iv) d (P).
a)
1 2 3
3 2 5 0
2 1 2
x y z
d P x y z
m m
: ; ( ) :
b)
1 3 1
3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
: ; ( ) :
c)
3 2 3 0
2 3 2 0
4 3 4 2 0
x y z
d P x y m z
x y z
: ; ( ) : ( )
d)
3 4 1 4 3 1 2 4 9 0
d x t y t z t P m x y z n: ; ; ; ( ) : ( )
e)
3 2 5 3 2 2 2 3 3 5 0
d x t y t z t P m x n y z: ; ; ; ( ) : ( ) ( )
Bài 104. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
a)
2 3
d x m t y t z t
: ; ;
cắt
2 5 0
P x y z
( ) :
tại điểm có tung độ bằng 3.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 17
b)
2 3 0
2 5 0
x y
d
y z
:
cắt
2 2 2 0
P x y z m
( ) :
tại điểm có cao độ bằng –1.
c)
2 3 0
3 2 7 0
x y
d
x z
:
cắt
0
P x y z m
( ) :
VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Bài 105. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
a)
2 2 2
1 2
2 4 1 0
2 1 1
x y z
d S x y z x z: ; ( ) :
b)
2 2 2
2 1 0
1 2 16
2 3 0
x y z
d S x y z
x z
: ; ( ) : ( ) ( )
c)
2 2 2
2 1 0
2 2 14 0
2 0
x y z
d S x y z x y
x y
: ; ( ) :
d)
2 2 2
2 1 0
4 2 10 8 0
2 0
x y z
d S x y z x y z
x y
: ; ( ) :
e)
2 2 2
2 3 2 4 2 2 0
d x t y t z t S x y z x y z: ; ; ; ( ):
f)
2 2 2
1 2 2 3 2 4 6 2 0
d x t y t z t S x y z x y z: ; ; ; ( ) :
g)
2 2 2
1 2 4 2 4 6 2 0
d x t y t z S x y z x y z: ; ; ; ( ) :
Bài 106. Biện luận theo m, vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S):
a)
2 2 2
2 0
1 2 1 8
2 0
x y z m
d S x y z
x y
: ; ( ) : ( ) ( ) ( )
b)
2 2 2
1 2 2 4 1 0
d x t y m t z t S x y z x z: ; ; ; ( ) :
c)
2 2 2
2 3 0
2 2 4 0
2 1 0
x y
d S x y z x y z m
x z
: ; ( ) :
Bài 107. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d:
a)
1 2 1 1 4 3 2 4 2
I d x t y t z t
( ; ; ); : ; ;
b)
1 2 1 1 2 2
I d x t y z t
( ; ; ); : ; ;
c)
2 1 1
4 2 1
2 1 2
x y z
I d( ; ; ); :
d)
1 2
1 2 1
2 1 3
x y z
I d( ; ; ); :
e)
2 1 0
1 2 1
1 0
x y
I d
z
( ; ; ); :
Bài 108. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (S),
biết:
a) d đi qua A(0; 0; 5) (S) và có VTCP
1 2 2
a
( ; ; )
.
b) d đi qua A(0; 0; 5) (S) và vuông góc với mặt phẳng:
3 2 2 3 0
x y z
( ) : .
Bài 109. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với:
a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3).
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 18
b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0).
c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1).
d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2).
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
Bài 110. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:
a)
1 4
2 3 1 2 2
4 1
x t
A d y t
z t
( ; ; ), :
b)
2 2
1 2 6 1
3
x t
A d y t
z t
( ; ; ), :
c)
2 1
1 0 0
1 2 1
x y z
A d( ; ; ), :
d)
2 1 1
2 3 1
1 2 2
x y z
A d( ; ; ), :
e)
2 1 1
1 1 1
1 2 2
x y z
A d( ; ; ), :
f)
2 1 0
2 3 1
3 2 2 0
x y z
A d
x y z
( ; ; ), :
Bài 111. Chứng minh hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng:
a)
1 2
1 2 3 2 3 2 1 3 2
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
b)
1 2
1 2 2 2 2 5 3 4
d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';
c)
1 2
3 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
d)
1 2
2 1 1 1
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
d d: ; :
e)
1 2
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d: ; :
f)
1 2
2 1 3 3 1 1
2 1 2 2 2 1
x y z x y z
d d: ; :
g)
1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
Bài 112. Chứng minh hai đường thẳng d
1
, d
2
song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng:
a)
1 2
3 2 4 3 2 4 4 5 6 3 2
d x t y t z t d x t y t z t
: , , ; : , ,
b)
1 2
1 2 3 2 3 1
2 6 8 3 9 12
x y z x y z
d d: ; :
c)
1 1
3 1 2 1 5 1
2 1 3 4 2 6
x y z x y z
d d: ; :
d)
1 2
7 5 9
2 2 10 0
22 0
3 1 4
x y z
x y z
d d
x y z
: ; :
Bài 113. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng:
a)
3 2 1 4 4 5 4 3 6 5 0
d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) :
b)
1 2 2 2 8 0
d x t y t z t P x z: ; ; ; ( ) :
c)
2 1 0
2 2 4 5 0
2 3 0
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ) :
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 19
d)
3 2 3 0
2 2 2 0
4 3 4 2 0
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ) :
VẤN ĐỀ 6: Góc
Bài 114. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a)
1 2
1 2 1 3 4 2 1 3 4 2
d x t y t z t d x t y t z t
: , – , ; : – , – ,
b)
1 2
1 2 4 2 3 4
2 1 2 3 6 2
x y z x y z
d d: ; :
c)
1 2
2 3 3 9 0
9 5 3
2 3 0
x y z
d d x t y t z t
x y z
: ; : ; ; –
d)
1 2
2 2 0
2 3 1 4
7 3 17 0
x z
d d x t y z t
x y z
: ; : ; – ; –
e)
1 2
1 2 2
2 1 0
2 3 2 0
3 1 4
x y z
x y z
d d
x z
: ; :
f)
1
3 1 2
2 1 1
x y z
d :
và d
2
là các trục toạ độ.
g)
1 2
4 0 2 3 1 0
2 1 0 0
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
h)
1 2
2 3 4 0 2 3 0
3 2 7 0 4 3 7 0
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
Bài 115. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
1 2
7 2 15 0 7 0
7 5 34 0 3 4 11 0
x z x y z
d d
y z x y
: ; :
Bài 116. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng :
0
1 2
1 2 2 2 1 2 2 60
d x t y t z t d x t y t z mt: ; ; ; : ; ; ;
.
Bài 117. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)::
a)
1 1 3
2 2 10 0
1 2 3
x y z
d P x y z: ; ( ) : – – –
.
b)
4 4
1 2 5 3 5 4 0
d x y t z t P x z: ; ; ; ( ) :
c)
4 2 7 0
3 1 0
3 7 2 0
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ) : –
d)
2 3 0
3 4 2 5 0
2 3 5 0
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ) : – –
Bài 118. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).
a) Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau.
b) Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.
d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 119. Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).
a) Viết phương trình của các mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC).
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 20
b) Tính góc tạo bởi SC và (ABC) và góc tạo bởi SC và AB.
c) Tính các khoảng cách từ C đến (SAB) và từ B đến (SAC).
d) Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC.
Bài 120. Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5).
a) Tìm phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính góc tạo bởi SM và NP và góc tạo bởi SM và
(ABC).
c) Tính các khoảng cách giữa SM và NP, SP và MN.
VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác
Bài 121. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
a)
4 2
2 3 1 2 3
3
x t
A d y t
z t
( ; ; ), :
b)
2
1 4 3 1 2
1 3
x t
A d y t
z t
( ; ; ), :
c)
1 2 5
4 2 3
3 4 2
x y z
A d( ; ; ), :
d)
3 2 1
2 1 5
2 1 3
x y z
A d( ; ; ), :
e)
2 1 0
2 1 4
2 2 5 0
x y z
A d
x y z
( ; ; ), :
f)
3 2 1 0
3 2 4
2 3 0
x y z
A d
x y z
( ; ; ), :
Bài 122. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d
1
, d
2
:
a)
1 2
2 1 3
2 3 4 2 1
3 2 1
x y z
d x t y t z t d: ; ; ; :
b)
1 2
1 3 2 2 1 4
2 3 4 2 3 4
x y z x y z
d d: , :
c)
1 2
1 2 3 2 3 1
2 6 8 3 9 12
x y z x y z
d d: ; :
d)
1 2
3 1 2 1 5 1
2 1 3 4 2 6
x y z x y z
d d: ; :
Bài 123. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
a)
1 2
3 1 2 3 1 2 4
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
b)
1 2
3 0
1 2 3
2 1 0
x y z
d d x t y t z t
x y
: ; : ; ;
c)
1 2
2 4 0 2 0
2 6 0 2 7 0
x y z x z
d d
x y z y z
: ; :
d)
1 2
2 1 0 3 3 0
1 0 2 1 0
x y x y z
d d
x y z x y
: ; :
Bài 124. Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song
với d
2
:
a)
1 2
1 2 3 2 3 2 1 3 2
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
b)
1 2
1 2 2 2 2 5 3 4
d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';
c)
1 2
3 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2
d x t y t z t d x t y t z t
: ; ; ; : '; '; '
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 21
d)
1 2
2 1 1 1
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
d d: ; :
e)
1 2
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d: ; :
f)
1 2
2 1 3 3 1 1
2 1 2 2 2 1
x y z x y z
d d: ; :
g)
1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
Bài 125. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua
đường thẳng d:
a)
2 2
1 2 6 1
3
x t
M d y t
z t
( ; ; ), :
b)
1 4
2 3 1 2 2
4 1
x t
M d y t
z t
( ; ; ), :
c)
2
2 1 3 1
1 2
x t
M d y t
z t
( ; ; ), :
d)
2
1 2 1 1 2
3
x t
M d y t
z t
( ; ; ), :
e)
1 2 2
1 2 1
2 1 2
x y z
M d( ; ; ), :
f)
1 2 3
2 5 2
2 2 1
x y z
M d( ; ; ), :
g)
2 0
2 1 3
2 5 0
x y z
M d
x y z
( ; ; ), :
h)
4 0
2 1 3
2 2 0
y z
M d
x y z
( ; ; ), :
Bài 126. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M đối xứng với M qua mặt
phẳng (P):
a)
2 2 6 0 2 3 5
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
b)
5 14 0 1 4 2
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
c)
6 2 3 12 0 3 1 2
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
d)
2 4 4 3 0 2 3 4
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
e)
4 0 2 1 1
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
f)
3 2 0 1 2 4
P x y z M
( ) : , ( ; ; )
BÀI TẬP ÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 127. Tìm trên trục Ox điểm M cách đều đường thẳng
:
2
2
2
1
1
zyx
và mặt phẳng
2 2 0
x y z
( ) :
.
Bài 128. Cho 2 điểm A(1; 0; 0) và B(0; 2; 0). Viết phương trình của mp )(
qua AB và tạo với mp(Oxy)
một góc 60
0
.
Bài 129. Viết phương trình của đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm trong mp )(
: x – y + z – 5 = 0 và
hợp với đường thẳng
:
2
2
2
1
zyx
một góc
0
45
.
Bài 130. Gọi )(
là mặt phẳng qua A(2; 0; 1) và B(–2; 0; 5) và hợp với mp(Oxz) một góc 45
0
. Tính
khoảng cách từ O đến mp )(
.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 22
Bài 131. Chứng minh rằng 2 đường thẳng
1
:
4
5
3
2
2
1
zyx
và
2
:
tz
ty
tx
31
22
37
cùng nằm trong
một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng ấy.
Bài 132. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng
1 2 2
3 2 2
x y z
d :
a) Chứng minh rằng đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 133. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3).
1) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
2) Tìm điểm M sao cho :
2 2 3 0
MA MB MC MD
.
3) Xác đònh toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD.
4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, BC.
5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oz.
6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và B và vuông góc với mặt phẳng
2 3 0
x y z
–
.
7) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0,
x + 2y – 3z = 0.
8) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm I ,
J, K sao cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ nhất.
9) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm I ,
J, K sao cho OI + OJ + OK nhỏ nhất.
10) Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng x + 2y –
3z = 0.
11) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và qua giao tuyến của hai mặt phẳng :
(P): x + y + z – 4 =0, (Q):3x – y + z – 1 = 0.
12) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng :
1 3 1
3 4 2
x y z
.
13) Tìøm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d:
2 1 1
3 2 1
x y z
và tính khoảng cách từ A
đến đường thẳng d:
3 3 0
2 3 1 0
x y z
x y z
14) Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P): x + 3y + 2 = 0.
15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): x – y – z – 4 = 0 và vuông góc
với đường thẳng :
1 3 1
2 1 3
x y z
.
16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng:
3
2 4
x y
z
.
17) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P): 2x – 3y – z +2 = 0 sao cho PA+PB nhỏ nhất.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 23
18) Chứng minh rằng đường thẳng AB và đường thẳng d :
3 1
3 1 3
x y z
cùng thuộc một mặt phẳng.
Tìm điểm N thuộc d sao cho NA + NB nhỏ nhất.
19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng:
3 1
1 2 1
x y z
và cắt đường
thẳng:
2 0
2 1 0
x y z
x y z
.
20) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0.
21) Tính góc tạo bỡi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD).
22) G là trọng tâm ABC, G’ là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P): 2x – 3y + z +3 = 0. Chứng minh
rằng:
2 2 2
G A G B G C
' ' '
nhỏ nhất khi và chỉ khi G' là hình chiếu của G lên (P). Tìm toạ độ điểm G’.
23) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc mp(Oxy)
24) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
2 2 2
6 2 4 5 0
x y z x y z
tại B.
25) Lập phương trình mặt phẳng qua A và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
4 2 6 5 0
x y z x y z
.
26) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 1. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC=
3
a
, (a>0) và đường cao
OA=
3
a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
HD: Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0
O A a B a C a
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
.
15
5
a
d AB OM( ; )
Bài 2. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố đònh
thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a,
b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
HD: Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
O A a B b C c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
.
1 2 3 1
27
3
V
a b c
min
Bài 3. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và
ABC
vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4,
AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc hợp
bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S
trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác đònh giá trò của x để góc giữa hai mặt
I
V
.
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 24
phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60
o
.
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0),
0
3 3 2 2
a a a a
G S x
; ; , ; ;
.
3
a
x
.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo
a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h),
3
3
a
A ; 0; 0
(SO = h).
2 2
2
5 1 10
0
12 2 16
AMN SBC
AMN
a a
AMN SBC n n h S AM AN
( ) ( )
( ) ( ) . ,
Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho:
3 3 3 3
0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a a a
A B C A a B a C a
( ; ; ), ; ; , ; ; , '( ; ; ), ' ; ; , ' ; ;
21
7
a
d A B B C
' ; ' ' .
Bài 7. Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tính khoảng cách
từ A tới mặt phẳng (BCD).
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0).
Bài 8. Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đều bằng 1, O là trọng tâm của tam giác ABC. I là trung
điểm của SO.
a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ số thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.
b) H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của SAC.
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: O(0; 0; 0),
3
0 0
3
A
; ;
;
3 1
0
6 2
B
; ;
;
3 1
0
6 2
C
; ;
;
6
0 0
3
S ;
;
6
0 0
6
I ; ;
.
1
4
SBCM
SABC
V
V
( )
( )
Bài 9. Cho hình lăng trụ ABCD. A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a. AA
1
= 2a và vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB
1
; M di động trên cạnh AA
1
. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ
nhất của diện tích tam giác MC
1
D.
HD: Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A
1
(0;0;2a),
1
3
2
2 2
a a
C a
; ;
, D(0;a;a)
Giá trò lớn nhất
1
2
15
4
DC M
a
S khi M
A
Bài 10. Cho tứ diện SABC có đáy là ABC vuông cân tại B, AB = a,
SA ABC
( )
và SA = a.
AH SB
tại
H,
AK SC
tại K.
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GV: Lê Tấn Nguyên Minh 25
a.Chứng minh
HK SC
.
b.Gọi
I HK BC
.
Chứng minh B là trung điểm CI.
c.Tính sin góc giữa SB và (AHK).
d.Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC.
ĐS:a/
0
HK SC
. ;
c/
2
6
;
d/
3
2
a
SJ JC R,
Bài 11. Cho tứ diện SABC có đáy là ABC vuông cân tại B, AB = a,
SA ABC
( )
và
2
SA a
. Gọi D là
trung điểm của AC.
a. Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC).
b.Mặt phẳng () qua A và vuông góc SC, () cắt SC và SB tại M và N. Tính thể tích hình chóp SAMN.
c.Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
ĐS: a/
6 6
3 6
A B
a a
d d; b/
3
2
18
a
d/
3
3
Bài 12. Cho ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng
d ABC
( )
tại A lấy điểm S, SA = h.
a.Tính d(A, (SBC)) theo a và h.
b.Đường thẳng
SBC
( )
tại trực tâm H của SBC, chứng tỏ luôn qua điểm cố đònh khi S di động trên
d.
c. cắt d tại S
/
. Tính h theo a để SS
/
nhỏ nhất.
ĐS: a/
2 2
3
3 4
ah
a h
;
b/ Trọng tâm
ABC c/
2
2
2
a
a h
; .
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,
SA ABCD
( )
và
2
SA a
. Mặt phẳng (P) qua
A và
SC
( )
; (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
a.Chứng minh
AH SB AK SD
, .
b.Chứng minh BD // () và BD // HK.
c.Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC.
d.Tính V
S.AHMK
.
ĐS: a/
0
AH SB AK SD. .
b/
3
0
2
BD n BD HK
. ;
;c/
HG GK
/ / ;
d/
3
2
18
a
.
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,
SA ABCD
( )
và ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA =
2a. N là trung điểm SD.
a.Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN).
b.Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
c.Gọi M là trung điểm SA. Tìm điều kiện a và b để
1
3
CMNcos
.
Trong trường hợp đó tính V
S.BCNM
.
ĐS: a/
2 2
2 2
2
4 5
a ab
a b
; ;
b/
2 2
20 5
b
a b
;
c/
3
4
a
a b V
; .
Bài 15. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD. Trên tia
Az
( )
lấy điểm S. Đường thẳng
1
SBC
( ) ( )
tại S
cắt (P) tại M,
2
SCD
( ) ( )
tại S cắt (P) tại N. Gọi I là trung điểm MN.
