TIỂU LUẬN Môn: Phạm trù và hàm tử ẢNH, DÃY KHỚP, TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH

0

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




ĐẶNG THỊ NHƯ Ý
Chuyên ngành: Toán Giải Tích




ẢNH, DÃY KHỚP, TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH

TIỂU LUẬN

Môn: Phạm trù và hàm tử



Giáo viên hướng dẫn
TS.PHAN VĂN THIỆN


Huế, tháng 4 năm 2012


1


MỞ ĐẦU

Với nội dung ngắn gọn tiểu luận được chia làm 2 phần:

Chương 1: Lý thuyết cơ sở
Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa cơ bản và một số kết quả
về phạm trù. Đó là tiền đề để giải quyết các bài tập trong chương 2.

Chương 2: Bài tập áp dụng
Chương này trình bày khá cụ thể ba bài tập giúp chúng ta hiểu rõ hơn về
ảnh, dãy khớp, tích và đối tích trong lý thuyết phạm trù.

Để hoàn thành tiểu luận này tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn nhiệt
tình của thầy Phan Văn Thiện cùng tập thể lớp cao học toán K20 đã trao đổi
góp ý kiến.
Dù đã rất cố gắng tìm hiểu và trình bày theo cách hiểu của mình nhưng do
thời gian và năng lực còn hạn chế nên tiểu luận không thể tránh khỏi nhiều
thiếu sót. Tác giả rất mong quý thầy cô và bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để
tiểu luận hoàn thiện hơn.













Ngày 28 tháng 4 năm 2012
Học viên thực hiện
Đặng Thị Như Ý






2

MỤC LỤC



Trang

Mở đầu 1
Chương 1: Lý Thuyết Cơ Sở 3
Chương 2: Bài Tập Áp Dụng 5
Kết luận 8
Tài liệu tham khảo 9

3


ẢNH – DÃY KHỚP – TÍCH VÀ ĐỐI TÍCH

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CƠ SỞ

1.1 Định nghĩa 1.1: Cho một phạm trù

có nghĩa là cho các dữ liệu sau:
1. Cho một lớp Ob

và một lớp Mor

. Lớp Ob


gọi là lớp các vật, lớp
Ob

gọi là lớp các xạ.
2. Với hai vật
,
A B Ob


ta có một tập hợp (có thể rỗng)
( , )
C
Hom A B
nằm
trong
. ( , )
C
M Homo
A B
r

gọi là tập hợp các xạ từ A tới B. Để chỉ
( , )
C
f Hom A B
 , ta viết :
f A B

hay
f

A B

.
3.Với
, ,
A B C Ob


có ánh xạ

( , ) ( , ) ( , )
( , )
Hom B C Hom A B Hom A C
g f gf
 


gọi là các phép hợp thành của các ánh xạ
f
và
g
.
Các điều kiện sau phải thỏa mãn:
a) Phép hợp thành có tính kết hợp nếu
f g h
A B C D
   là các xạ đã
cho thì ta có:
( ) ( )
h gf hg f



b) Với mọi
A Ob


có một xạ
1 ( , )
A
Hom A A
 gọi là xạ đồng nhất của A,
sao cho với mọi
( , )
f Hom A B

với mọi
( , )
g Hom C A

ta có
1 , 1
A A
f f g g
 
.
c) Nếu các cặp
' '
( , ),( , )
A B A B
khác nhau thì

' '
( , ) ( , )Hom A B Hom A B
  
xạ
đồng nhất
1
A
được xác định duy nhất bởi vật
A
. Với mỗi
, ( , )
A Ob Hom A A


là một vị nhóm với phép hợp thành.
1.2 Khái niệm về biểu đồ giao hoán:







Cho các cấu xạ : , : , : , :
A B B C A C C D
   
   
nếu
 


thì
ta nói biểu đồ trên giao hoán.
1.3 Mệnh đề: Cho

là phạm trù có vật không. Giả sử ta có biểu đồ giao
hoán


A

B

C

D









A

B

'
A

'
B

f

'
f






4





và
'
,
f f
có hạt nhân thì tồn tại duy nhất một cấu xạ
'
:
Kerf Kerf

 sao cho

biểu đồ sau giao hoán:









1.4 Định nghĩa 1.2: Xạ :
f A B

gọi là đơn xạ nếu với mọi xạ
: ; :
k X A l X A
 
sao cho
fk fl

thì ta có
k l

.
1.5 Định nghĩa 1.3: Cho

là phạm trù,
1 1 2 2
: , :
f A B f A B

  là hai cấu
xạ. Biểu đồ:







gọi là một níu nếu
i)
1 1 2 2
f P f P

ii) Với mọi cặp cấu xạ
' ' '
1 1 2 2 2
: , : :
P P A P P P A
  nghiệm đúng
' '
1 1 2 2
f P f P
 ,
tồn tại duy nhất một cấu xạ
'
:
P P



sao cho
' '
1 1 2 2
,
P P P P
 
 
1.6 Định nghĩa 1.4: Phạm trù

được gọi là khớp nếu nó có hạt nhân, đối
hạt nhân và mọi cấu xạ :
f A B

đều có thể phân tích thành
, ( ker ), ker( )
v u
A I B u Ker Co f v Co Kerf
   
Sự phân tích đó được gọi là sự phân tích của
f
.
1.7 Định nghĩa 1.5: Cho


i
i I
A

là một họ vật trong phạm trù


. Tích của
họ vật này là họ cấu xạ


:
i i
i I
P P A

 đều có duy nhất một cấu xạ
:
A P


thỏa mãn ,
i i
P i I
 
  
. Ký hiệu vật P là
i
i I
A


.
1.8 Định nghĩa 1.6: Đối tích là đối ngẫu của tích.
P

2

A

1
A

B

2
P

1
f

2
f

1
P

K erf

A

'
Kerf

'
A

u



B

'
B

f



'
f



'
u


5

Cho


i
i I
A


là một họ vật trong phạm trù

.
Đối tích của họ vật này là một họ cấu xạ


:
i i
i I
q A X

 sao cho với mọi họ
cấu xạ


:
i i
i I
A A


 đều có duy nhất một cấu xạ :
X A


thỏa mãn
,
i i
q i I
 

  
. Ký hiệu vật X là
i
i I
A


.


CHƯƠNG 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho

là phạm trù khớp. Chứng minh rằng nếu biểu đồ sau giao hoán:







thì tồn tại duy nhất một cấu xạ
'
: Im Im
f f

 sao cho biểu đồ sau giao
hoán

Giải:
Vì biểu đồ sau giao hoán:







Và
'
,
f f
có hạt nhân thì tồn tại duy nhất một cấu xạ
'
:
Kerf Kerf

 sao cho
biểu đồ sau giao hoán:

A

B

'
A

'
B

f

'
f





A

Im
f

'
A

v

'
v



B

'
B

u



'
u



'
Im
f

A

B

'
A

'
B

f

'
f






6












Do đó tồn tại ảnh của
'
,
f f
và tồn tại một cấu xạ
'

: Im Im
f f

 sao cho biểu
đồ sau giao hoán:









Bài 2: Cho

là phạm trù khớp. Chứng minh rằng nếu hình vuông








là níu và
f
là đơn xạ thì
'
f

cũng là đơn xạ.
Giải:
Vì hình vuông trên là níu nên
,
 

ta có:
'
f f
 
 .
Mặt khác
f
là đơn xạ nên ta có:
f f
   
  

Do đó:
'
, =
f f
   

Nên
'
f f

khi
 



Từ đó suy ra:
' '
f f
 
 thì
 

.
Vậy
'
f
là đơn xạ
A

B

'
A

'
B

f

'
f





A

Im
f

'
A

v



B

'
B

u



'
u



'

v

Im '
f

K erf

A

'
Kerf

'
A

u



B

'
B

f



'
f



'
u


7






Bài 3: a) Trong phạm trù
Set
các tập, hãy xác định đối tích của một họ tập
hợp


i
i I
A

.
b) Trong phạ trù
Group
các nhóm, hãy xác định đối tích của một họ
nhóm



i
i I
G

.
c) Trong phạm trù
Ab
các nhóm aben, hãy xác định đối tích của một
họ nhóm abel


i
i I
A


Giải:
a) Trong phạm trù
Set
các tập, đối tích của một họ tập hợp


i
i I
A

là tập hợp
rời của các tập
i

A
,


( , )/
i i
i I i I
A x i x A
 
 
 
.
b) Trong phạm trù
Group
các nhóm, đối tích của một họ nhóm


i
i I
G

là tích
tự do của các nhóm với họ
( ) , ( ),
i i I i i
i I
G G Ob Gr S G


 


(hợp rời).
c) Trong phạm trù
Ab
các nhóm aben, đối tích của một họ nhóm abel


i
i I
A

là nhóm tổng trực tiếp
i I i
A

 .

8





KẾT LUẬN

Tiểu luận gồm ba phần: phần mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội
dung chia làm hai chương. Trong đó, chương 1 nêu lên một số khái niệm cơ
bản về phạm trù và các vấn đề cơ sở của phạm trù giúp người đọc hiểu rõ
hơn về lý thuyết phạm trù và hàm tử.
Chương 2 trình bày ngắn gọn một số bài tập cơ bản giúp bạn đọc hiểu sâu
hơn nội dung phần lý thuyết đã nêu trong chương 1.
Tác giả đã có nhiều cố gắng để hoàn thành tiểu luận tuy nhiên do thời gian
có hạn nên còn nhiều thiếu sót mong sự góp ý chân thành của độc giả để
tiểu luận được hoàn thiện hơn. Một lần nữa tác giả xin chân thành cám ơn
thầy, các học viên cao học và toàn thể độc giả đã giúp tác giả hoàn thành
bài tiểu luận ngắn gọn này.

9



TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Phan Văn Thiện, bài giảng Phạm Trù Và hàm Tử
[2] Ngô thúc Lanh, Giáo trình đại số (sau đại học), nhà xuất bản giáo dục,
1985.
[3] B.Mitchell, Lý thuyết phạm trù( bản dịch tiếng việt ) nhà xuất bản Đại
học Trung học Chuyên Nghiệp, 1981.

Tiếng Anh
[1] Saunder MacLane, Categories for mathematican woring, Graduate Texts

in Mathematics 5, Springer-Verlag.
[2] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories.
[3] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Cat-egories, Types and
Structure, MIT Press.
[4]
[5] />Mathematics/dp/0387988505
[6]
[7]
[8] />rings-e-book/.