TIỂU LUẬN môn Cơ Sở Đại Số Hiện Đại MÔĐUN HỮU HẠN SINH

0

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




ĐẶNG THỊ NHƯ Ý
Chuyên ngành: Toán Giải Tích




MÔĐUN HỮU HẠN SINH

TIỂU LUẬN

Môn: Cơ Sở Đại Số Hiện Đại



Giáo viên hướng dẫn
TS.PHAN VĂN THIỆN


Huế, tháng 2 năm 2012


1








Tiểu luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy
Phan Văn Thiện. Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết
ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy đối với bản thân tôi trong suốt quá trình
giảng dạy môn Cơ Sở Đại Số Hiện Đại, cũng như quá trình làm tiểu luận.

Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán, những
người đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt học kỳ vừa qua.Đồng thời,
tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp cao học Toán khoá XX đã
trao đổi giúp tôi hoàn thành đề tài tiểu luận này.

Cuối cùng, tôi xin gửi sự biết ơn sâu sắc đến tất cả quý thầy cô, người
thân, bạn bè về sự quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và làm tiểu luận.













Ngày 9 tháng 2 năm 2012
Học viên thực hiện
Đặng Thị Như Ý

2



MỤC LỤC



Trang

Lời cảm ơn 1
Mục Lục 2
Lời mở đầu 3
Chương 1 Các Khái Niệm Cơ Bản 4
1.1 Các định nghĩa và ví dụ 4
1.1.1 Môđun 4
1.1.2 Môđun hữu hạn sinh 5
1.2 Đặc trưng của môđun hữu hạn sinh 6
Chương 2 Một Số Tính Chất Của Môđun Hữu Hạn Sinh 6
2.1 Tính chất về cấu trúc 6
2.1.1 Môđun con của một môđun hữu hạn sinh 6
2.1.2 Môđun thương của một môđun hữu hạn sinh 6
2.2 Tính chất về đồng cấu và đẳng cấu 7
2.3 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh 8
2.4 Dãy khớp của các môđun hữu hạn sinh 9
2.5 Tích Tenxơ của các môđun hữu hạn sinh 10
2.6 Định lý Hamilton – Caley mở rộng 10
2.7 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương 13
2.8 Môđun tự do hữu hạn sinh 13
Chương 3 Bài Tập Áp Dụng 14

Câu 1 14
Câu 2 14
Kết Luận 16
Tài liệu tham khảo 17










3




MỞ ĐẦU


Có thể nói rằng ngành toán học của chúng ta hiện nay trong quá trình phát
triển không thể không nói đến cấu trúc đại số và tất nhiên không thể tách rời
sự hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc đại số. Cấu trúc Mođun xuất hiện trong
hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó là cơ sở để phát triển một số cấu
trúc đại số khác.

Các kiến thức về cấu trúc đại số này được xem như là sự chuẩn bị kiến
thức để đi sâu vào nghiên cứu các ngành quan trọng của đại số như đại số

đồng đều hay đại số giao hoán. Đặc biệt nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh
là tiền đề cơ bản để đi sâu nghiên cứu các cấu trúc đại số đó.

Tiểu luận gồm 3 chương:
Chương 1: Các Khái Niệm Cơ Bản
Chương này tập trung nghiên cứu về một số khái niệm sơ khai ban đầu
về môđun và đặc trưng của môđun hữu hạn sinh để từ đó nắm bắt được khái
niệm môđun hữu hạn sinh.

Chương 2: Một Số Tính Chất Của Môđun Hữu Hạn Sinh
Chương này trình bày logic có tính đặc trưng về môđun hữu hạn sinh kết
hợp với sự chứng minh chi tiết các tính chất đó. Từ đó người học có thể nắm
bắt và so sánh về đặc trưng và tính chất của chúng.

Chương 3: Bài Tập Áp Dụng
Trong chương này trình bày khá chi tiết hai bài tập của đề tài tiểu luận
giúp người học hiểu biết rõ hơn về nội dung kiến thức của đề tài tiểu luận.

Thông qua tiểu luận tác giả mong muốn người học sẽ phát hiện được một số
vấn đề lí thú và bổ ích cho mỗi người và xin độc giả chân thành góp ý kiến.







4

Chương 1 Các Khái Niệm Cơ Bản


1.1 Các định nghĩa và ví dụ:
1.1.1 Môđun
1) Đinh nghĩa
Cho R là một vành, (M,+) là một nhóm aben, M được gọi là 1 R-môđun trái
nếu có 1 ánh xạ:


( , )
R M M
r x rx
 


thỏa mãn các tính chất sau:

) ( )
( )
) ( ) ( )
) 1 , , ,
i r x y rx ry
r s x rx sx
ii rs x r sx
iii x x r s x y M
  
  


    


Một R môđun trái được ký hiệu là
R
M
.
Cho S là một vành. Một S-môđun phải là một nhóm cộng aben M cùng với một
ánh xạ:


( , )
M S M
x s xs
 


thỏa mãn các tính chất:

) ( )
( )
) ( ) ( )
) 1 , ; x,y M
i x y s xs ys
x r s xr xs
ii x rs xr s
iii x x r s S
  
  


    

Một S-môđun phải M được ký hiệu là
M
s

2) Tính chất

) 0 0 ,
.0 0 ,
) ( ) ( ) , ,
i x x M
r r
ii r x r x rx r x M
  
  
        



3) Ví dụ
Ví dụ 1: Cho
R


là vành các số nguyên, còn A là nhóm aben. Khi đó ánh
xạ:

:
( , )

A A
n a na

 




5

thỏa mãn các điều kiện của phép nhân vô hướng. Do đó nhóm aben A được xem
như một môđun trên vành

. Vậy ta có

-môđun.
Ví dụ 2: Cho R là một vành giao hoán với đơn vị
1 0

. Khi đó ánh xạ:

:
( , )
R R R
r s rs

 


Trong đó rs là phép nhân trong R, thỏa mãn các tính chất của phép nhân vô

hướng. Do đó vành R là một môđun.
Ví dụ 3: Cho F là một trường, lúc đó mỗi không gian vectơ trên F là một F-
môđun.
1.1.2 Môđun hữu hạn sinh
1. Định nghĩa
Cho M là một R-mođun, S là một tập con của M. Khi đó, giao của tất cả các
mođun con của M chứa S là mođun con bé nhất của M chứa S.
Môđun con của M bé nhất chứa S được gọi là môđun con của M sinh bởi tập
S.Kí hiệu <S>.
Nếu <S> = M thì S được gọi là một hệ sinh của M.
Nếu S là một hệ sinh của môđun M sao cho với mọi tập con
'
S S

ta đều có
<S
’
>

M thì S được gọi là hệ sinh cực tiểu của môđun M.
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là mođun hữu hạn sinh.
2. Ví dụ
1) Cho R là một vành, n là một số nguyên dương. Khi đó, R-môđun là một R-
môđun hữu hạn sinh.
2) Cho R là một vành, R-môđun


R
x
không phải là một R-môđun hữu hạn

sinh.
3) Nhóm cộng các số hữu tỉ

được xem như là một

-môđun

không phải
là môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh
Giả sử

là

-môđun hữu hạn sinh, tức là:

1 2
,
k i
x x x x
    
    

Với
, , , 0,( , ) 1
i
i i i i i i
i
m
x m n n m n

n
   

Gọi
1 2
( , , , )
k
n BCNN n n n

. Để ý
1
2
n


, tacó:

1 2
1 2
1 2
1

2
k
k
k
m
m m
a a a
n n n n

   
Với các
i
a


. Suy ra:

1 2
1 2
1 2
1

2
k
k
k
mm m
n a a a
n n n
 
    
 
 

(vô lý)
Vậy

không phải là một


môđun hữu hạn sinh.


6

1.2 Đặc trưng của môđun hữu hạn sinh
Cho S là một hệ sinh hữu hạn của R-môdun M. Khi đó môđun M là tập hợp tất
cả các tổ hợp tuyến tính với hệ tử trong R của các phần tử của S.
Nếu


1 2
, , ,
n
S x x x
 thì
0
, ,
n
i i i i
i
M a x a x S

 
  
 
 



Đặc biệt: Nếu


S x
 thì


,
M ax a R Rx
  



Chương 2 Một Số Tính Chất Của Môđun Hữu Hạn Sinh


2.1 Tính chất về cấu trúc
2.1.1 Môđun con của một môđun hữu hạn sinh
Mệnh đề 1 Môđun con của một môđun hữu hạn sinh không hẳn là môđun
hữu hạn sinh.
Chứng minh
Chẳng hạn xét vành đa thức vô hạn biến :
1 2 n
[ ,X , ,X , ]
R k X trên trường k.
Khi đó R là một vành giao hoán có đơn vị, và nó là môđun hữu hạn sinh trên chính
nó vì chẳng hạn nó sinh bởi đa thức 1. Chúng ta lấy ideal




1 2
, , , ,
n
I X X X
Lúc đó I là một môđun con của R và I là môđun không hữu hạn sinh. Thật vậy,
giả sử I là hữu hạn sinh và sinh bởi các đa thức
1 2
, , ,
r
f f f
.Ta thấy rằng các đa
thức thuộc I đều có hệ số tự do bằng 0. Vì mỗi đa thức
( 1, )
i
f i r
 là tổng hữu hạn
của các đơn thức nên chỉ có hữu hạn biến trong các đa thức
1 2
, , ,
r
f f f
.
Giả sử
m
X
là biến không xuất hiện trong đa thức
1 2
, , ,
r
f f f

. Vì


1 2
, , ,
m r
X I f f f
  nên tồn tại các đa thức
1 2
, , ,
r
g g g
thuộc


1 2
, , , ,
n
k X X X
sao cho
1 1 2 2

m r r
X g f g f g f
    . Điều đó không thể xảy ra nên vế phải không
thể chứa đơn thức
m
X
. Vậy I không hữu hạn sinh.
Nhận xét Vì tổng của một họ các môđun con của môđun M là một môđun

con của M nên từ ví dụ trên ta suy ra tổng của một họ các môdun con của một
môđun hữu hạn sinh không hẳn là một môđun hữu hạn sinh.
2.1.2 Môđun thương của một môđun hữu hạn sinh
Mệnh đề 2 Mọi môđun thương của một môđun hữu hạn sinh là môđun hữu
hạn sinh.
Chứng minh
Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại
1 2
, , ,
n
x x x M

sao cho
1 2

n
M Rx Rx Rx
   


7

Nếu H là một môđun con của M thì khi đó môđun thương M/H cũng là môđun
hữu hạn sinh, với các phần tủe là:





1 2

, , ,
n
x H x H x H
  

Thật vậy,
1
,
n
i i i
i
a x ax M x


   


. Để ý các phép toán trên môđun thương ta
được:

1 1 1
( ) ( )
n n n
i i i i i i
i i i
x H a x a x H a x H
H
  
 
  

 
 
   
  

Do đó M/H là môđun hữu hạn sinh.
2.2 Tính chất về đồng cấu và đẳng cấu
Mệnh đề 3 Cho M,N là hai R-môđun có cơ sở hữu hạn cùng lực lượng. Khi
đó tồn tại một đẳng cấu từ M đến N.
Chứng minh
Giả sử M, N có cơ sở tương ứng là


, 1,
i
x i n

và


, 1,
i
y i n

. Khi đó tồn tại
duy nhất đồng cấu : , :
M N N M
 
 
với

( ) , ( ) , 1,
i i i i
x y y x i n
 
   .
Hơn nữa ,
M N
Id Id
   
 
 
cho nên
,
 
là các đẳng cấu.
Vậy
M N

.
Định lý 2 Một R-môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một
môđun thương của
n
R
, với n nguyên dương nào đó.
Chứng minh
Điều kiện cần
Giả sử R-môđun M hữu hạn sinh có hệ sinh là


1 2

, , ,
n
x x x
. Xét ánh xạ sau:

 
1 2
1
:
, , ,
n
n i i
i
f R R R M
a a a a x

   



Với
1 2
, , , ,
n
x M a a a R
  
sao cho
1
n
i i

i
x a x



. Khi đó:
1 2
1
( , , , )
n
i i n
i
x a x f a a a

 

.
Suy ra
f
toàn cấu. Theo định lý đồng cấu ta có:
n
R
M
Kerf
 .
Điều kiện đủ
Giả sử R-môđun M đẳng cấu với một môđun thương của
n
R
. Khi đó tồn tại

đồng cấu :
n
g R M
 .

8

Vì R là một môđun tự do với cơ sở


1
nên
n
R
cũng là một môđun tự do với cơ
sở


, 1, n
i
e i 
trong đó
i
e
có thành phần thứ
i
bằng 1, các thành phần còn lại bằng
không.
Ta sẽ chứng minh M là hữu hạn sinh và được sinh bởi



( ), 1,
i
g e i n

. Thật vậy
với
x M

, do
g
là toàn cấu nên tồn tại


1 2
, , ,
n
n
a a a R
 sao cho

1 2
1 1
( , , , ) ( )
n n
n i i i i
i i
x g a a a g a x a g e
 
 

  
 
 
 
.
Suy ra điều phải chứng minh.
2.3 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh
Mệnh đề 4 Cho M là R-môđun và
1
, ,
n
M M
là những R-môđun con sao
cho
1
n
i
i
M M

  . Lúc đó M hữu hạn sinh khi và chỉ khi
,( 1, )
i
M i n
 là hữu hạn sinh.
Chứng minh:
Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh và
1
, ,
n

M M
là các môđun con sao cho
1
n
i
i
M M

  . Với mỗi
x M

thì tồn tại duy nhất
, ( 1, )
i i
x M i n
  sao cho
1
n
i
i
x x



.
Khi đó chúng ta xét các quy tắt sau:

1 1 1
: :

i i i
i i n
M
N M
M M M M

 
 
    

xác đinh bởi
1
, 1,
n
i i i
i
x x x x i n

  

 . Do sự tồn tại các
, 1,
i
x M i n
  là duy
nhất. Nên suy ra
i

là một ánh xạ.
Hơn nữa,

( 1, )
i
i n

 còn là một đồng cấu. Thật vậy, với
'
,
i
x x N

thì tồn tại duy
nhất
'
, , ( 1, )
k k i
x x M k n
  sao cho
' '
1 1
,
n n
k k i
k k
x x x x x x
 
   
 
và
' '
i

x x

. Suy ra:

' ' ' ' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i i i i
x x x x x x x x x x
    
         .
Với
R


thì
( ) ( ) ( ) ( ).
i i i i i i
x x x x x
       
   
Với
i
x Ker

 thì
( ) ( ) 0
i i i i
x x x
 
  

do đó


1 1 1
0 0
i i n i i i
x x x x x x N Ker
 
 
            là một đơn cấu.
Rõ ràng với mỗi
i i
x M
 ta có ( )
i i i
x x


nên
i

là một toàn cấu.
Do đó
i

là một đẳng cấu.
Mặt khác
i
N
là một môđun thương của môđun hữu hạn sinh M nên

i
N
cũng là một
môđun hữu hạn sinh. Từ đó suy ra
i
M
cũng là một môđun hữu hạn sinh.
Ngược lại, giả sử
1
, ,
n
M M
là những môđun con hữu hạn sinh của R-môđun M
sao cho
1
n
i
i
M M

  và
i
M
được sinh bởi
( 1, )
i
F i n
 , trong đó
i
F

là hữu hạn. Khi đó

9

với mỗi
x M

đều tồn tại duy nhất
( 1, )
i i
x M i n
  sao cho
1
n
i
i
x x



. Vì vậy:
1
,
j i j i
n
i ij j ij ij j
s F i s F
x a s a R x a s
  
   

  
. Từ đó suy ra
M
được sinh bởi


, , 1,
j j i
s s F i n
 
mà
( 1, )
i
F i n
 là hữu hạn nên
M
là hưuc hạn sinh.
Suy ra điều cần phải chứng minh.
2.4 Dãy khớp của các môđun hữu hạn sinh
Mệnh đề 5 Cho dãy khớp ngắn các R-môđun


0 0
f g
N M P
   

Khi đó:
i) Nếu M hữu hạn sinh thì P cũng hữu hạn sinh.
ii) Nếu N và P hữu hạn sinh thì M cũng hữu hạn sinh.

Chứng minh:
i) Giả sử M có hệ sinh


1
, ,
n
x x
. Ta sẽ chứng minh P có hệ sinh


1
( ), , ( )
n
g x g x
.
Vì dãy trên là dãy khớp ngắn nên
g
là toàn cấu. Nên với mọi
y P

đều tồn tại
x M

sao cho ( )
g x y

.
Mặt khác, vì
x M


nên tồn tại
1 2
, , ,
n
a a a R

sao cho
1
n
i i
i
x a x



. Suy ra:

1 1
( ) ( ) ( )
n n
i i i i
i i
y g x g a x a g x
 
  
 

ii) Để chứng minh ii) trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề

Cho N là môđun con của R môđun M. Nếu N và
M
N
là các môđun hữu hạn
sinh thì M hữu hạn sinh.
Chứng minh:
Vì N và
M
N
là hữu hạn sinh nên ta giả sử N sinh bởi


1 2
, , ,
n
x x x
và
M
N
sinh
bởi


1 2 1 2
, , , , , , ,
m m
y y y y y y M

.Ta sẽ chứng minh rằng M hữu hạn sinh và sinh
bởi



1 2 1 2
, , , , , , ,
n m
x x x y y y
. Thật vậy với
x M

thì
M
x
N

nên tồn tại
( 1, )
i
R i m

  sao cho
1 1 1 1
0
m m m m
i i i i i i i i
i i i i
x y y x y x y N
   
   
       
   

.
Khi đó tồn tại
( 1, )
j
M R j n
  thoả mãn

1 1 1 1
m n n m
i i j j j j i i
i j j i
x y x x x y
   
   
    
   

Từ đó bổ đề được chứng minh.

10

Chứng minh ii) do
f
là đơn cấu nên
Im
N f

mà Im
f Kerg


nên
N Kerg

. Do N
hữu hạn sinh nên
Kerg
cũng hữu hạn sinh.
Mặt khác, vì g là toàn cấu nên theo định lý đồng cấu ta có
M
P
Kerg
 . Vì P là
hữu hạn sinh nên
M
Kerg
cũng hữu hạn sinh.
Nên theo bổ đề trên suy ra M hữu hạn sinh.
2.5 Tích Tenxơ của các môđun hữu hạn sinh
Mệnh đề 6 Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh, thì
M N

cũng là một
môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh
Giả sử M và N có hệ sinh tương ứng là


1 2
, , ,
n

x x x
và


1 2
, , ,
m
y y y
. Khi đó với
mỗi
1
, ( 1, )
n
i i i
i
x a x M a R i n

   

và
1
, , 1,
m
i i j
j
y b y N b R j m

   

, ta có:

1 1 1 1
( )
n m n m
i i j j i j i j
i j i j
x y a x b y ab x y
   
    
  
.
Vì các phần tử
x y

sinh ra
M N

, suy ra
M N

có một hệ sinh hữu hạn
là


, 1, , 1,
i i
x y i n j m
  

2.6 Định lý Hamilton – Caley mở rộng

Định lý 3 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán R. Giả
sử M có một hệ sinh gồm n phần tử, I là một Ideal của R và

là một tự đồng cấu
R-môđun của M sao cho ( )
M IM
 
. Thế thì tồn tại các
, 1,
n
i
a I i n
  sao cho

1
1
0
n n
n
a a

     

Chứng minh
Ta thấy rằng, mỗi phần tử
a R

có thể xem như là một tự đồng cấu của M, gọi là
đồng cấu nhân:

:

a M M
x ax



Khi đó vành cơ sở R được xem như vành các đồng cấu nhân của M. Giả sử

là
một tự đồng cấu bất kì của M, ta xét tập





1
1 0 0
| , , 0
m m
m m m
R c c c c c A m


        

Khi đó


R


lập thành một vành giao hoán có đơn vị tự đông cấu của M. Ta có
thể trang bị cho M một cấu trúc


R

-môđun bằng cách đặt
. ( )
f x f x

với mỗi


f R
 
và
x M

.
Nếu M là một môđun 0 thì

là đồng cấu 0 và định lý là tầm thường.
Ta xét M là một môđun khác không. Giả sử


1 2
, , ,
n
x x x

là một hệ sinh của M.
Khi đó do ( )
i
x IM
  , nên tồn tại các , 1 ,
ij
a I i j n
  
sao cho

11


1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( )
( )

( )
n n
n n
n n n nn n
x a x a x a x
x a x a x a x
x a x a x a x
    
    
    

Hệ này quy về dạng ma trận :

11 12 11 1
21 22 2 2
1 2


0


n
nn n nn
a a a x
a a a x
xa a a
 
  
 
 
 
 
 

  
  
 
 
 

Đặt
11 12 1
21 22 2
1 2




n
n
n n nn
a a a
a a a
B
a a a
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Gọi
ij
B
 

 
là ma trận phụ đại số của B, tức là phần tử
ij
B
của ma trận này là phần
bù đại số của phần tử ở dòng I cột j của ma trận B. Khi đó ta có:

det( ).
t
ij
B B B E
 

 

Vơí
t
ij
B
 
 
là ma trận chuyển vị của ma trận
ij
B
 
 
và E là ma trận đơn vị cấp n.
Từ đó ta có
1
2

det( ) 0
n
x
x
B E
x
 
 
 

 
 
 

Hay
1
2
det( ) 0
det( ) 0

det( ) 0
n
B x
B x
B x












Và do


1
, ,
n
x x
là hệ sinh của M nên ta suy ra
det( )
B
là đồng cấu 0 của M. Khai
triển
det( )
B
ta được:

1
1
0
n n
n
a a

     

trong đó các
, 1, ,
i
i
a I i n
 
Hệ quả 1
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán R và I là một ideal của
R thoả mãn
IM M

. Khi đó tồn tại
1(mod )
a I

khi đó
0
aM

.
Chứng minh
Áp dụng định lý trên bằng cách lấy

là tự đồng cấu đồng nhất của M. Khi đó:
( )
M M IM IM
   
. Do đó

thoã mãn phương trình dạng

12


1
1
0
n n
n
a a

     
với các
, 1, , .
i
i
a I i n
  Giả sử


1
, ,
n
x x
là một hệ
sinh của M, với mỗi
i
x
ta có

1
1
1
1
1
1
0 ( )
( ) ( ) ( )

(1 )
n n
n
n n
i i n i
i i n i
n i
a a
x a x a x
x a x a x
a a x


     
     
   
   


Khi đó tồn tại
1

1
n
a a a
   
hay
1(mod )
a I

sao cho với mỗi
i
x
ta có
0
i
ax

,tức là
0
aM


Định nghĩa 5
Căn Jacobson J(R) của một vành giao hoán R là giao của tất cả các ideal cực
đại của R.
Bổ đề
Cho R là một vành giao hoán. Khi đó căn Jacobson của vành R là


( ) |1
J R x R xy

  
là khả nghịch với mọi

y R

Chứng minh
Giả sử
( )
x J R

và 1
xy

không khả nghịch suy ra
x m

với mọi ideal cực đại m.
Suy ra: (1 ) (1 ) 1 (1 )
xy R xy m xy xy m
         
. Vô lí.
Vậy 1
xy

là khả nghịch.
Ngược lại, giả sử 1
xy

là khả nghịch với mọi ,
y R x m

 
, với mọi ideal cực đại
m. Do ( )
x m x m R
   
. Suy ra tồn tại ,
y R z M
 
sao cho 1 1
z z xy
    

khả nghịch và
1 .
z m m
  
Vô lí.
Suy ra
x m

, với mọi ideal cực đại m. Vậy
( )
x J R


Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 2 (Bổ đề Nakayama)
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán R và I là một ideal
của R chứa trong căn Jacobson J(R) của R. Ta có
IM M


kéo theo
0
M

.
Chứng minh:
Áp dụng hệ quả 1 và
IM M

ta có
0
xM

với
1(mod ),
x I

hay
1
x I
 
. Do
( )
I J R

nên
1 ( )
x J R
 

Từ bổ đề trên suy ra
1 ( 1)( 1)
x x
   
là một phần tử khả nghịch trong R.
Mặt khác, do
0
xM

nên
1
0
M x xM

 
.
Hệ quả 3
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán R. N là một
môđun con của M và ideal
( )
I J R

. Khi đó:
M IM N
 
kéo theo
M N


Chứng minh
Ta có môđun thương
M
N
là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có
0
M
N


nên
M N

.

13

2.7 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương
Định lý 4
Giả sử
( , )
R m
là một vành địa phương và
M
là một
R
môđun hữu hạn sinh.
Khi đó S là một hệ sinh cực tiểu của
M
nếu và chỉ nếu ảnh

*
S
của S trong
*
M
M
mM

là một cơ sở của
R
k
m

- không gian vectơ
*
M
.
Chứng minh
Nếu
*
S
là một cơ sở của
*
M
thì
*
S
là một hệ sinh cực tiểu của
*
M

, do đó
S
phải là
một hệ sinh cực tiểu của
M
, khi đó
*
S
là một hệ sinh của
*
M
. Nếu
*
S
không cực
tiểu thì tồn tại tập con thật sự
N
của
S
để
*
N
là một hệ sinh cực tiểu của
*
M
. Khi
đó ta có
RN mM M
 
. Vì Vành đã cho là vành địa phương, nên m chính là căn

Jacobson
( )
J R
của
R
. Vậy theo hệ quả 3 trong 2.6 suy ra
RN M

nên
N
cũng là
một hệ sinh của
M
. Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của S.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả
Các hệ sinh cực tiểu của môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương có
cùng số phần tử.
2.8 Môđun tự do hữu hạn sinh
Định lý 5
Giả sử vành R giao hoán. Khi đó các cơ sở của cùng một
R
-môđun tự do
hữu hạn sinh
M
có cùng số phần tử.
Bổ đề
Các hệ sinh cực tiểu của một môđun hữu hạn sinh chỉ có hữu hạn phần tử.
Chứng minh:
Giả sử

R
môđun M có hệ sinh cực tiểu


| .
i
S x i F
  Do
M
là hữu hạn sinh nên
M
có hệ sinh hữu hạn


1
, ,
n
y y
. Khi đó
1
, , ,
i i n i i
i F i F
y x y x
 
 
 
 
trong đó
, ,

i i
R
 

và 0, , 0,
i i i i
x x i F
 
  
hầu hết trừ một số hữu hạn.
Gọi
'
S
là tập con của
S
gồm hữu hạn phần tử xuất hiện trong biểu diễn
1
, ,
n
y y

theo
S
. Suy ra
'
S
sinh ra
M
, mà
S

là cực tiểu nên
'
S S

. Vậy S có hữu hạn phần
tử. Suy ra bổ đề được chứng minh.
Chứngminh định lý 5
Ta có mỗi cơ sở của một môđun tự do là một hệ sinh cực tiểu của nó. Áp dụng bổ
đề trên ta có các cơ sở của
R
-môđun tự do hữu hạn sinh
M
đều có hữu hạn phần
tử. Giả sử


1 1
, ,
n
S e e
 và


2 1
, ,
m
S f f
 là hai cơ sở hữu hạn khác nhau bất kỳ
của
M

. Cần chứng minh
n m

. Thật vậy, ta gọi
11 12 1
21 22 2
1 2




m
m
n n nm
b b b
b b b
B
b b b
 
 
 

 
 
 
là ma

14

trận chuyển từ cơ sở

1
S
sang cơ sở
2
S
, và
11 12 1
21 22 2
1 2




n
n
m m mn
c c c
c c c
C
c c c
 
 
 

 
 
 
là ma trận
chuyển từ cơ sở
2

S
sang
1
S
, thì do
BC
là ma trận chuyển từ cơ sở
1
S
sang chính nó
nên ta có
n
BC I

, với
n
I
là ma trận đơn vị cấp
n
. Tương tự ta có
m
CB I

. Ta loại
cả hai trường hợp
n m

và
m n


. Giả sử
n m

, bây giờ ta sẽ bổ sung
( )
n m

cột
cuối gồm toàn phần tử không vào ma trận
B
để nhận được ma trận vuông
*
B
cấp
n


11 12 1
21 22 2
1 2
0 0
0 0


0 0
m
m
n n nm
b b b
b b b

B
b b b










 


Ta cũng có thể bổ sung
( )
n m

hàng cuối gồm toàn phần tử không vào ma trận C
để được ma trân vuông
*
C
cấp
n
:
11 12 1
21 22 2
1 2

0 0 0

0 0
n
n
m m mn
c c c
c c c
C c c c
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ta thấy
*
B
và
*

C
là những ma trận vuông cấp n và do
n
BC I

,do đó
* *
n
B C I

. Từ
đó ta có
* *
det( ) det( ) 1
n
B C I
 
. Mặt khác do R là vành giao hoán nên
* * * *
det( ) det( )det( ) 0.0 0
B C B C
  
do đó mâu thuẫn. Từ đó
m n

dẫn đến mâu
thuẫn. Do vậy
m n

.

Chương 3 Bài Tập Áp Dụng

Câu 1 Cho


i
i I
x

là tập sinh cực tiểu của R-môđun M, với lực lượng
I
vô hạn.
Chứng minh rằng M không thể được sinh bởi ít hơn
I
phần tử.
Giải
Ta có


i
i I
x

là tập sinh cực tiểu của R-môđun M, do đó với S là hệ sinh cực tiểu
của R-môđun M thoả
S S
 
thì

S M
 
. Nên M có nhiều hơn
I
phần tử.
Vậy M không thể được sinh bởi ít hơn
I
phần tử.

Câu 2 Vành R được gọi là thoả mãn điều kiện hạng nếu mọi số nguyên dương n
thì mọi tập sinh của R-môđun
n
R
có lực lượng
n

.

15

Cho :
f R S

là đồng cấu vành. Chứng minh rằng nếu S thoả mãn điều kiện
hạng thì R cũng vậy.
Giải

Xét ánh xạ:
m n
R R

R R
 . Với miền bên trái của R-môđun S. Chúng lấy một ánh xạ
S:
m m
S S
S S
 .
Nếu S thoả mãn điều kiện hạng thì điều này dẫn đến
m n

. Vì vậy chúng ta có
thể biểu diễn R thoả mãn điều kiện hạng.
Theo giả thiết ta có S thoả mãn điều kiện hạng và
R S T
 
, với T là một vành.
Ở đây chúng ta sử dụng phép chiếu: :
f R S

với môđun
R
S
( được định nghĩa
qua
f
) là một hạng tử trực tiếp của
R
R
.
Vì vậy,

R
S
là mộ xạ ảnh và là một môđun phẳng.
Bằng nhận xét trước, ta kết luận rằng
R S T
 
cũng thoả điều kiện hạng.
Vậy nếu S thoả mãn điều kiện hạng thì R cũng thoả mãn điều kiện hạng.


















16

KẾT LUẬN


Tiểu luận bao gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung
chính được trình bày trong 3 chương: Chương 1, Chương 2, Chương 3.
Trong đó, nội dung chính được trình bày trong Chương 2 và Chương 3.

Trong Chương 1, chúng tôi hệ thống hoá một cách đơn giản nhất về khái
niệm môđun và một số tính chất của nó. Các kiến thức này là cần thiết cho
việc theo dõi các chương tiếp theo.
Trong Chương 2, chúng tôi tổng quan một số khái niệm cũng như kết quả
liên quan đến môđun hữu hạn sinh, đi sâu vào tìm hiểu những vấn đề liên
quan đến môđun hữu hạn sinh.

Trong Chương 3, chúng tôi dựa trên kiến thức cơ bản của Chương 1 và
Chương 2 để giải chi tiết hai bài toán liên quan đến môđun hữu hạn sinh.

Dù đã rất cố gắng tìm hiểu và trình bày theo cách hiểu của mình nhưng do
thời gian và năng lực còn hạn chế nên tiểu luận không thể tránh khỏi nhiều
thiếu sót. Tác giả rất mong quý thầy cô và bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung
để tiểu luận hoàn thiện hơn.



Xin chân thành cảm ơn.

17

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại Học
Quốc gia Hà Nội, 2007.
[2] Ngô thúc Lanh, Giáo trình đại số (sau đại học), nhà xuất bản giáo dục,
1985.
[3] S.Lang, Đại số( Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ dịch), nhà xuất bản Đại học
Trung học Chuyên Nghiệp, 1978.

[4] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ Sở lý Môđun và vành, Nhà
xuất bản giáo dục, 2001.
[5] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Môđun và nhóm Aben, Nhà xuất bản
Đại học sư phạm,2008
[6] Dương Quốc VIệt, Cơ Sở Lý thuyết Môđun, Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm,2008.

Tiếng Anh

[1] C.Faith, AlgebraI: Ring, Modules and Categories, Springer –
Verlag,1981.
[2] T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings Spinger- Verlag,1999.
[3] T.Y.Lam, Exercices in Modules and Ring, Springer, 2007.

[4] J.A.Beachy. Introductory Lectures on Rings and Modules, Cambridge
Uni Pr,1999.
[5] P.Griffith. Infinite abelian group theory, The University of Chicago
Press, 1970.
[6]
[7] />Mathematics/dp/0387988505
[8]
[9]
[10] />rings-e-book/.