Các chủ đề toán 12 tự chọn nâng cao bám sát chương trình chuẩn

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN BÁM SÁT THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO – TOÁN 12
I. Mục tiêu
a/ Kiến thức: Giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn một số kiến thức cơ bản của chương trình nâng
cao.
b/ Kĩ năng: Tăng cường rèn luyện kĩ năng giải tốn , thơng qua việc rèn luyện đó giúp học
sinh hiểu một số kiến thức khó trong chương trình .
c/ Thái độ : Làm cho học sinh tự tin hơn , có hứng thú trong học tập mơn Tốn.
II. Một số điểm cần lưu ý :
- Cần bám sát chương trình và sách giáo khoa nâng cao, giúp học sinh có thể giải được
các bài tập trong sách giáo khoa.
- Không nên quá cứng nhắc trong phân phối thời gian cho các chủ đề tự chọn. Tuỳ tình
hình cụ thể của học sinh mà bố trí bổ sung thêm phần tổng kết hay nhấn mạnh một số
chủ đề khác.
Chủ đề TỰ CHỌN 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ( 6 TIẾT)

1) Cho đồ thị ( C ) : y =

A.PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
1
f ( x ) = x 3 − x 2 − x + 1 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại
3

điểm uốn của ( C).
2) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 tại các giao đểm của
nó với trục hồnh.
1
4

3) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) : y = − x 4 + 2 x 2 +
( C) có hồnh độ bằng 1.

4) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
trục tung.
5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
đường thẳng y = − x .
6) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

9
tại điểm M thuộc
4

x+2
tại giao điểm của đồ thị với
x −1

2x + 3
, biết tiếp tuyến song song với
x +1
x2 − x −1
, biết tiếp tuyến song song
x +1

với đường thẳng y = − x .
7) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 , biết tiếp tuyến vng góc
x
3

với đường thẳng y = .
8) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 , biết tiếp tuyến vng
1
9

góc với đường thẳng y = − x .

1


1
3

9) Tìm trên đồ thị của hàm số y = x3 − x +
1
3

2
các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị
3

2
3

vng góc với đường thẳng y = − x + .
10)

x2 + 2x + 2
Tìm trên đồ thị y =
các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với tiệm
x +1

cận xiên.

B.SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Cho đồ thị ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g ( x ) .
 y = f ( x)

 y = g ( x)


Ta có : - Toạ độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm của hệ phương trình 

- Hồnh độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm của phương trình : f ( x ) = g ( x )
- Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) .
1)
2)
biệt.
3)

(1)

x2 + x −1
Tìm tham số m để ( d ) : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) : y =
tại hai điểm phân biệt.

x −1
x2 − 2 x + 4
Tìm tham số m để ( d ) : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị ( C ) : y =
tại hai điểm phân
x−2

Biện luận số giao điểm của đồ thị ( C ) : y =

x2 − 6 x + 3
và đường thẳng ( d ) : y = x − m
x+2

C
TỐN ƠN TẬP KHẢO SÁT HÀM
3
I. Hàm số bậc ba y = ax + bx2 + cx + d
( a ≠ 0)
3
2
1.a. Khảo sát hàm số y = f(x) = – x + 3x + 9x + 2 (1)
b. CMR đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng .
2.a. Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1 (1)
b. Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1) . Viết phương trình
các tiếp tuyến đó .
c. Dựa vào đồ thị (1) , biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
x3 + 3x2 + m = 0
3.a. Khảo sát hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
2


b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điềm uốn của (C) .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm (0 ; 3).
4. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 đồ thị là (Cm)
a. Khảo sát hàm số y = x3 – 3x2 + 3x + 1
b. Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của hàm số .
c. Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu .
II. Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c
( a ≠ 0)

5.a. Khảo sát hàm số y =

1 4
3
x – 3x2 +
2
2

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại các điểm uốn .
3
2

c. Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0 ; ) .
6. Cho hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1 (Cm)
a. Biện luận theo m số cực trị của hàm số .
b. Khảo sát hàm số y = –x4 + 10x2 – 9 .
c. Xác định m sao cho (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
ax + b
cx = d
3x + 2
7.a. Khảo sát hàm số y =
x+2

III. Hàm số phân thức y =

c ≠ 0 ; ad – bc ≠ 0

b. Dựa vào đồ thị (C) , vẽ các đường sau :
8.a. Khảo sát hàm số y =

y=

x+3
x +1

| 3x + 2 |
x+2

,

|y|=

3x + 2
.
x+2

b. Gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho .CMR đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) taiï
hai điểm phân biệt M và N .
c. Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất .
ax 2 + bx + c
a ' x + b'
1
9. a. Khảo sát hàm số y = x –
x +1

aa’ ≠ 0

IV. Hàm số phân thức y =

b. Gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho. Tìm các toạ độ của tâm đối xứng của đồ thị (C) .

c. Xác định m để đt: y = m cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho OA vng góc OB .

10.a. Khảo sát hàm số

y=

x 2 − 3x
x −1

b. CMR : đt y = – x + m (d) luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N .
11. Cho hàm số

x 2 + mx + 2m − 1
y=
mx + 1

(Cm)

a. Khảo sát hàm số khi m = 1
b. Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị và tiệm cận xiên của (Cm) qua gốc tọa độ .
3


12. Cho hàm số

y=

x 2 + mx − 2m − 4
x+2

(Cm)

a. Xác định m để hàm số có hai cực trị .
b. Khảo sát hàm số đã cho khi m = – 1

CHỦ ĐỀ TC 2
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT ( 6 TIẾT )
4
2
 −1

a3  a 3 + a3 ÷
−0,75
5
−
1
, a >0 .
1/ a / Ti′nh :  ÷
+ 0, 25 2. b / Ru ′t gon : A = 1  3
(
)
−1
&
 4

 16 
4
4
a a + a ÷



2 5

1
2 / CMR :  ÷
3

log 1 2

3 / Ti′nh : a / 3

27

3 2

1
< ÷
 3

.

 a2.3 a.5 a4 

5
; b / log 3 6.log 8 9.log 6 2; c / log a 
÷; d / log 5  log 5 (
4


÷

a





... 5 5 ) ÷
÷
ˆ
nla`n 5


5 5

4/ Biểu diễn log308 qua log305 và log303.
5/ So sánh các số : a./ log35 và log74 ;
b/ log0,32 và log53 .
6/ Tính đạo hàm các hàm số sau:
a / y = 2 xe x + 3sin 2 x; b / y = 5 x 2 − ln x + 8sosx.
 ex 
 x 1
c / y =  − ÷e 2 x ; d / y = ln 
x ÷
2 4
 1+ e 

7/ Giải các pt sau:
−1

−1

−1

a / 4 x + 6 x = 9 x ; b / 4ln x +1 − 6ln x − 2.3ln

2

x+2

= 0; c / 3 log 2 x − log 2 8 x + 1 = 0.

2
2
 x2 
d / log ( 4 x ) + log  ÷ = 8; e / 2sin x + 4.2cos x = 6;
 8 

2
1
4

f / log 9 x 27 − log 3 x 3 + log 9 243 = 0.

8/Giải các pt sau:
2 x −3

3 x−7

7
 11 

a /  ÷ =  ÷ ; b / 2.16 x − 17.4 x + 8 = 0; c / log 4 ( x + 2 ) = log 2 x;
 11 
7
x
x
d / 9 − 5.3 + 6 = 0; e / log 3 ( x + 2 ) = log 9 ( x + 2 ) ; f / log 4 x + log 2 ( 4 x ) = 5;
g / 22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0;

4


CHỦ ĐỀ TC 3+4
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ( 9 TIẾT )
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐỂ SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
n

B1: Biến đổi f ( x ) = ∑ Ai fi ( x )
i =1

b

∫

B2:

a

b

n

b

i =1

a

n

f ( x ) dx = ∫ ∑ Ai fi ( x ) dx =∑ Ai ∫ fi ( x ) dx
a i =1

Chú ý: Tuỳ theo từng f ( x ) ta phân tích phù hợp để có các ngun hàm cơ bản.
2

2x3 − x2 + 2x + 1
;
∫
x2
1
2

∫
1

0

∫

( x + 2)

2

x −2
; ∫ x 2 − 4 x − 5dx ;
x −1
0

−1

π
4

dx
;
x +1 + x −1

π

1

∫

π

6

dx
;
2

sin x cos2 x

π
4

π
2

1 − cos3 x ;
∫ cos2 x dx
0

3

2
∫ sin xdx ;

1

∫ x ( 1− x)

2
∫ tg xdx ;

0

0

0

π
2

∫ sin 2 x.cos 5xdx
0

2009

dx .

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG I
B1: Đặt x = u ( t )
B2: Lấy vi phân hai vế ở B1
B3: Biến đổi f ( x ) dx = f ( u ( x ) ) u ' ( t ) dt = g ( t ) dt
B4: Đổi cận : a = u ( α ) , b = u ( β )
b

β

a

α

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt = G ( t )

B5: Tính
Bài tập:

dx
;

1 − x dx ; ∫0
1 + x2

1
2
0

∫

1

2

∫

2

0

x 2 4 − x 2 dx ;

∫

3
1

∫

2

−1

4 − x dx ;

dx

2

x 1 − x2

2

β
α

2

;

∫

1

0

∫

2
2

0

x 2 dx
4 − x2

x2
1 − x2

;

∫

3

0

dx
x +3
2

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG II
B1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) dx
B2: Đổi cận u ( a ) = α ; u ( b ) = β
B3: Biến đổi f ( x ) dx = g ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = g ( t ) dt
B4: Tính

b

β

a

dx ;

α

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt
5

∫ ( 1− x )
1

0

2 3

dx ;

∫

0

2

2

x 2 dx

( 1− x )

2 3


∫

π

sin 3 x cos xdx ;

0

∫

1

0

∫

π
2
0

∫

∫

e x dx

ln 3

(e

0

x

+ 1)

3

1

∫

x3 1 − x 2 dx ;

1

0

;

π
2
0

∫

sin xdx ;

0

3

7

∫

x5 1 − x 3 dx ;

1 + x2

0

x5 ( 1 − x 3 ) dx ;
6

π
2
0

∫

1

0

∫

;

5

π
4
0

1 − 2sin 2 x
∫ 1 + sin 2 x dx
3
1 x dx
; ∫0 2
x x2 + 4
x +1

sin x
∫ 1 + cos x dx ;
2 3
dx
x3 dx

cos xdx ;
3

xdx
2x +1

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Ta có

∫

b

a

b

udv = uv b − ∫ vdu
a
a

b

b

B1: Biến đổi I = ∫a f ( x ) dx =∫a f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
 du = df1 ( x )
u = f1 ( x )


⇒
B2: Đặt 
 dv = f 2 ( x ) dx v = ∫ f 2 ( x ) dx


b

b

B3: Tính I = uv a − ∫a vdu

*) Chú ý: Phải thực hiện theo nguyên tắc sau:
- Chọn phép đặt dv sao cho dễ xác định được v .
-

∫

b

b

vdu phải được tính dễ hơn I = ∫ udv
a
a

*) Các dạng cơ bản: Kí hiệu P ( x ) là đa thức
Dạng 1: ∫ P ( x ) sin xdx ,

∫ P ( x ) e dx,
x

nên đặt u = P ( x )
∫ P ( x ) a dx,
∫ P ( x ) ln xdx, ∫ P ( x ) log xdx,
x

Dạng 2:

a

Nên đặt u = ln x , u = log a x
Dạng 3:

∫

a x sin xdx ,

∫

a x cos xdx thì phảisử dụng tích phân từng phần 2 lần.

Chú ý :Nếu P ( x ) hoặc log a x có bậc cao thì ta có thể phải dùng tích phân từng phần nhiều lần
liên tiếp để tính.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
π

π

I = ∫ 4 x ( 2 cos 2 x − 1) ;

I = ∫ 2 ( x + 1) sin x ;
0

0

π

I = ∫ ln ( x 2 − x ) dx ; I = 4 e3 x sin 4 xdx
∫

2
3

0

π

I = ∫ x 2 sin xdx
0

;

;

1

I = ∫ ( x − 1) e 2 x dx ;
0
I = ∫ ( x 2 + 2 x ) e − x dx ;
0
1

I =∫

2

1

ln x
dx

x2

I = ∫ ( 4 x 2 − 2 x − 1) e 2 x dx
1

0

e

I = ∫ x 2 ln 2 xdx .
1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
BÀI TỐN 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] . Khi đó diện tích hình phẳng (D)
giới hạn bởi:
6


- Đồ thị hàm số y = f ( x )
- Trục Ox : ( y = 0 )
- Hai đường thẳng x = a; x = b
b

Được xác định bởi công thức : S D = ∫a f ( x ) dx

1) Tính S D = ? , biết D giới hạn bởi đồ thị: y = x 2 − 2 x , x = −1, x = 2 và trục Ox .
x
2) Tính S D = ? , biết D = { y = xe , y = 0, x = −1, x = 2}
2
3) Tính S D = ? với D = { y = − x − 4 x, x = −1, x = −3}

π
3



4) Tính S D = ? , với D =  y = tgx, x = 0, x = , y = 0 

ln x


5) Tính S D = ? , D =  y = 2 , y = 0, x = 1, x = 2 
x


ln x 

6) Tính S D = ? , D =  x = 1, x = e, y = 0, y =

2 x






x 2 + 3x + 1
, x = 0, x = 1, y = 0 
7) Tính S D = ? D =  y =
x +1



π

2
3
8) Tính S D = ? , D =  y = sin x cos x, y = 0, x = 0, x = 
2


BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
+ ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x )
+ đường thẳng x = a, x = b
b

Được xác định bởi công thức: S = ∫a f ( x ) − g ( x ) dx

PP giải: B1: Giải phương trình : f ( x ) = g ( x ) tìm nghiệm x1 , x2 ,..., xn ∈ ( a; b )

( x1 < x2 < ... < xn )

S=∫

x1

a

B2: Tính

=

{

f ( x ) − g ( x ) dx + ∫

x2

x1

b

f ( x ) − g ( x ) dx +... + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
xn

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx +,..., + ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
x1

b

a

}

xn

x
1) Tính S D = ? , D = y = ( x + 1) , y = e , x = 0, x = 1


2)Tính S D = ? , D =  y =

5

1
1
π
π
,y=
,x = ,x = 
2
2
sin x
cos x
6
3


2
3) Tính S D = ? , D = { y = 2 + sin x, y = 1 + cos x, x ∈ [ 0; π ] }

4) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) : y =
thẳng y = 1, x = 0, x = b bằng

π
4

x2
và các đường
x2 + 1

BÀI TỐN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị: y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a .
7


Khi đó diện tích S =

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
x0

a

với x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

f ( x) = g ( x) .

x
−x
1) Tính S H = ? , với H = { y = e , y = e , x = 1}

{

}

2
2) Tính S H = ? , H = y = x 1 + x , Ox, x = 1


3) Tính S D = ? D =  y =


−3 x − 1

, Ox, Oy 
x −1


4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = 2 x ; y = 3 − x; x = 0
5) Tính S H = ? , H = { x = y , x + y − 2 = 0, y = 0}

BÀI TỐN 4: Tính diện tích hình phẳng ( D ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số:
y = f ( x) ; y = g ( x)

PP giải: B1: Giải phương trình f ( x ) − g ( x ) = 0 có nghiệm x1 < x2 < ... < xn
xn

B2: Ta có diện tích hình ( D ) : S D = ∫x f ( x ) − g ( x ) dx
1

1)
2)
3)
4)
5)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x 2 − 2 x ; y = − x 2 + 4 x
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = − x 2 + 2 x và y = −3x
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y 2 − 2 y + x = 0 và x + y = 0
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y 2 + x − 5 = 0 và x + y − 3 = 0
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x − 4 x + 3 và y = x + 3

6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 4 −

x2
x2
và y =
4 2
4

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
BÀI TỐN I: “Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các
đường: y = f ( x ) ; y = 0 ; x = a; x = b; ( a < b ) xung quanh trục Ox ”.
b

b

2

b

b

2

a

a

PP giải: Ta áp dụng công thức VOx = π ∫a y 2 dx =π ∫a f ( x ) dx
Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường:

x = f ( y ) ; x = 0 ; y = a; y = b; ( a < b ) xung quanh trục Oy ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức

VOy = π ∫ x 2 dy =π ∫ f ( y ) dy

π

1) Cho hình phẳng D giới hạn bởi : D =  y = tgx, y = 0, x = 0, x = 


3

a) Tính diện tích hình phẳng D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox
8


2) Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình
x2
; y = 2; y = 4 và trục Oy
2
2
3) Cho hình phẳng ( D ) giới hạn bởi ( P ) : y = 8x và đường thẳng x = 2 . Tính thể tích khối
trịn xoay khi lần lượt quay hình phẳng ( D ) quanh trục Ox và trục Oy .

giới hạn bởi Parabol ( P ) : y =

BÀI TỐN II: “Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các
đường: y = f ( x ) ; y = g ( x ) ; x = a; x = b; ( a < b ) xung quanh trục Ox ”.
b

PP giải: Ta áp dụng công thức VOx = π ∫a f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
1) Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các
2
x

đường: x = 1; x = 2; y = ; y =

1
x

2) Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = 4 − x 2 ; y = x 2 + 2 . Quay D xung quanh Ox ta được
một vật thể, tính thể tích của vật thể này.
BÀI TẬP
1) Tính VOx biết: D = { y = x ln x, y = 0, x = 1, x = e}
2) Cho D là miền giới hạn bởi đồ thị y = tg 2 x; y = 0; x = 0; x =

π
4

a) Tính diện tích miền phẳng D
b) Cho D quay quanh Ox , tính thể tích vật thể trịn xoay được tạo thành.


x3
VOx biết: D =  y = , y = x 2 
3) Tính
3



π

4
4
4) Tính VOx biết: D =  y = 0; y = 1 + sin x + cos x ; x = 0, x = 
2

2
5) Tính VOx biết: D = { x + y − 5 = 0; x + y − 3 = 0}
2
6) Tính VOx biết: D = { y = 2 x ; y = 2 x + 4}

2
2
7) Tính VOx biết: D = { y = x − 4 x + 6; y = − x − 2 x + 6}
2
8) Tính VOx biết: D = { y = x ; y = x }

CHỦ ĐỀ TC 5
SỐ PHỨC ( 4 TIẾT )
1/ Tính :


a/ 5 + 2i – 3(-7+ 6i) ; b/ ( 2 − 3i )  + 3i ÷; c / ( 1 + 2i ) ; d /
1
2

2



2

2 − 15i
1 + i tan α
; e/
.
3 + 2i
1 − i tan α

2/ Giải phương trình: a/ x – 6x + 29 = 0;
b/ x2 + x + 1 = 0.
c/ x2 – 2x + 5 = 0;
d/ x2 +(1+i) x –(1-i) = 0.
3/Trên mặt phẳng phức , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:
9


a / z − i ≤ 1; b / z + i = z + 2 .

4/ Tìm những số thực x và y thoả mãn :

a / x + 2i = 5 + yi; b / ( x + 1) + 3 ( y − 1) i = 5 − 6i .

5/Tìm nghiệm pt: z = z 2 .
6/ Tìm mơđun và argumen của số phức z =
7/ CMR: 3 ( 1 + i )

100

= 4i ( 1 + i ) − 4 ( 1 + i ) .
98

1 + cos α + i sin α
;( 0 < α < π ) .
1 + cos α − i sin α

96

CHỦ ĐỀ 6
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ( 4 TIẾT )

1
VKC = Bh; VKLT = Bh; VKHCN = a.b.c
3
ˆ
B = Sday′ ; h = Chie`u cao.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với
đáy , cạnh bên SB bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a và b.
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 . Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B, cạnh bên SA
vng góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
6. Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC
theo V.
7. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM. Tính tỉ số thể tích của

hai tứ diện ABMD và ABMC.
CHỦ ĐỀ 7
THỂ TÍCH KHỐI CẦU ,KHỐI TRỤ, KHỐI NĨN ( 4 TIẾT )
1/ Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của một hình lập phương. Tính cạnh a của hình lập
phương đó theo R.
2/ Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600 . Xác định tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
3/Cho một hình nón có đường cao bằng 12 cm , bán kính đáy bằng 16 cm. Tính diện tích
xung quanh của hình nón đó .
10


4/Cho hai điểm A, B cố định , một đường thẳng l thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một
đoạn không đổi d . Chứng tỏ rằng l ln nằm trên một mặt nón trịn xoay.
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SA vng góc với đáy. Gọi B’,
C’ , D’ lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên SB, SC, SD. Chứng minh:
a/ Các điểm A, B’, C’ , D’ đồng phẳng.
b/ Bảy điểm A, B, C, D, B’, C’ , D’ nằm trên một mặt cầu .
6/ Đường cao của một khối nón bằng 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm . Một mp(P) đi qua
đỉnh và cắt khối nón theo một thiết diện là một tam giác , biết rằng khoảng cách từ tâm của
đáy đến thiết diện đó bằng 12 cm. Tính diện tích thiết diện .

CHỦ ĐỀ 8 +9
VECTƠ, PT MẶT CẦU, PT ĐƯỜNG THẲNG , PT MẶT PHẲNG ( 9 TIẾT)
1/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 1) ,B(–1 ;1 ; 2) ,
C(–1 ;1 ; 0) , D(2 ;–1 ; –2)
a. CMR: A , B , C , D là bốn đỉnh của tứ diện .
b. Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.
c. Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD
d. Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh

A.
rr r

2. Trong kgOxyz với các vectơ đơn vị i, j, k của Ox, Oy, Oz.
uuu r r r uuu
r
r
r r r uuu
r
r r r uuu
r
r r r
Cho OA = 6i − 2 j + 3k ; AB = −6i + 3 j + 3k ; AC = −4i + 2 j − 4k ; AD = −2i + 3 j − 3k .
1/ Xác định toạ độ A, B, C, D. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
2/Tính cos(AB, CD) = ?

rr r

3. Trong kgOxyz với các vectơ đơn vị i, j, k của Ox, Oy, Oz.
uuu r r uuu
r
r
r r r uuu
r
r uuu
r r r r
Cho OA = i + k ; AB = −2i + j + k ; BC = −2k ; BD = 3i − 2 j − 4k .
1/ Xác định toạ độ A, B, C, D. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.

2/Tính cos(AD, CB) = ?
rr r
4. Trong kgOxyz với các vectơ đơn vị i, j, k của Ox, Oy, Oz.
11


uuu
r

r

r

r

uuu
r

r

r

r

uuu
r

r

r

r

uuu
r

r

r

r

Cho OD = 6i − 2 j + 3k ; DA = −6i + 3 j + 3k ; DB = −4i + 2 j − 4k ; DC = −2i + 3 j − 3k .
1/ Xác định toạ độ A, B, C, D. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
2/Tính cos(AB, CD) = ?
rr r
5. Trong kgOxyz với các vectơ đơn vị i, j, k của Ox, Oy, Oz.
uuu r r uuu
r
r
r r r uuu
r
r uuu
r r r r
Cho OD = i + k ; DA = −2i + j + k ; AB = −2k ; AC = 3i − 2 j − 4k .
1/ Xác định toạ độ A, B, C, D. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
2/Tính cos(AD, CB) = ?
rr r

6. Trong kgOxyz với các vectơ đơn vị i, j, k của Ox, Oy, Oz.Cho A, B, C, D thoả
uuu r r r uuu
r
r
r r r uuu
r
r r r uuu
r
r r r
OA = 6i − 2 j + 3k ; AB = −6i + 3 j + 3k ; AC = −4i + 2 j − 4k ; AD = −2i + 3 j − 3k .
1/ Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
2/Tính góc giữa hai đường thẳng AD vàr r
BC.
r
7. Trong kgOxyz với các vectơ đơn vị i, j, k của Ox, Oy, Oz.Cho A, B, C, D thoả :
uuu
r r r r uuu
r
r r r uuu
r
r r r uuu
r
r r r
OD = 6i − 2 j + 3k ; DA = −6i + 3 j + 3k ; DB = −4i + 2 j − 4k ; DC = −2i + 3 j − 3k .
1/ Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính độ dài đường cao DH của tứ diện ABCD.
2/Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
x y −1 z + 2
=
8. Trong kgOxyz, cho hai đường thẳng d1 : =
2

−1
1

 x = −1 + 2t

& d2 :  y = 1 + t
z = 3


1/ CMR: d1 & d2 chéo nhau.
2/ Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp(P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d1, d2 .
9. Trong kgOxyz, cho hai điểm A(1; 4;2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng d :

x −1 y + 2 z
=
= .
−1
1
2

1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vng góc với
mp(OAB).
2/ Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất .
10. Trong kgOxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và
mp(P): 2x – y + 2z – 14 = 0.
1/ Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox và qua tâm I của mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I của mặt cầu (S) vng góc với mp(P).
Tìm toạ độ giao điểm của d và (S).
11 Trong kgOxyz, cho 4 điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2) , C(4; 3; 2), D(4; -1; 2).

1/ CMR: 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.
12


2/ Gọi A’ là hình chiếu vng góc của A trên mp(Oxy). Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4
điểm A’, B, C, D.
3/ Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại A’.
12 Trong kgOxyz, cho 3 điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1) , C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC.
1/ Viết phương trình đường thẳng OG.
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, C.
3/ Viết phương trình các mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Véc tơ chỉ phương.
2) Phương trình đường thẳng: phương trình tham số, phương trình chính tắc.
IBài tập áp dụng:
r
1) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua M(1;0;1) và nhận VTCP u ( 3;2; −4 )
2) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
 x = 2 + 2t

3) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua A(1;-2;3) và // với ( d ) :  y = −3t
 z = −3 + t

x − 3 y +1 z − 4
=
=
4) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua B( -1;2; 4) và // với ( d ) :
−2

3
5
x + y −1 = 0
5) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua C( -2; 0; 3) và // với ( d ) : 
4 y + z + 1 = 0
3 x − y + 2 z − 7 = 0
x + 3y − 2z + 3 = 0

6) Viết ptctắc của đường thẳng đi qua M(1;1;2) và // ( d ) : 

7) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua A(2;0;-3) và vuông góc ( P ) : 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 .
2 x + y − z − 3 = 0
, hãy viết phương trình tham số của (d).
x + y + z −1 = 0

8) Cho đường thẳng ( d ) : 

 x − 2 y + 3z − 4 = 0
3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0

9) Viết phương trình chính tắc của (d), biết ( d ) : 

10)Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Hãy viết ptts, ptct của
đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc với (P).

13


PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng :

1)
Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB, biết
A ( 2;1; 4 ) ; B ( −1; −3;5 )

2)
3)

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A ( 1;6; 2 ) ; B ( 4;0;6 ) ; C ( 5;1;3)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M ( −1;3; −2 ) và // với mp(Q):

x + 2y + z + 4 = 0

4)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua I ( 2;6; −3) và // mặt phẳng (xOz);
5)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M ( 1;1;1) và song song với trục Ox; Oy
6)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M ( 1; −1;1) ; N ( 2;1;1) và // với
trục Oy
7)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M ( 2; −1;1) ; N ( −2;3; −1) và
vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x − 3 y + 2 z − 4 = 0 .
8)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A ( −1; 2;3) và vng góc với hai mặt
phẳng : ( α ) : x − 2 = 0 ; ( β ) : y − z − 1 = 0
9)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ và vng góc với hai mặt
phẳng : ( P1 ) : x − y + z − 7 = 0 và ( P2 ) : 3x + 2 y − 12 z + 5 = 0
10)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của điểm

M ( 2; −4;3) trên các trục toạ độ.
11)
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của điểm
M ( 4; −1; 2 ) trên các mặt phẳng toạ độ.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có A ( 5;1;3) ; B ( 1;6; 2 ) ; C ( 5;0; 4 ) ; D ( 4;0;6 )
1)
Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
2)
Viết phương trình mặt phẳng ( P1 ) đi qua A và vng góc với BC
3)
Viết phương trình mặt phẳng ( P2 ) đi qua A,B và //CD
4)
Viết phương trình mặt phẳng ( P3 ) đi qua A và chứa Ox
5)
Viết phương trình mặt phẳng ( P4 ) đi qua B và // mặt phẳng (ACD)
6)
Tìm toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)

CÁC CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN BÁM SÁT ĐỐI VỚI CT CHUẨN.
PHẦN ĐẠI SỐ.
14


Œ Hàm số và đồ thị. (3 tiết)
I. Mục đích bài dạy:
- Kiến thức cơ bản: Khái niệm hàm số, tập xác định, đồ thị, đồng biến nghịch biến, hàm
số chẵn, hàm số lẻ.
- Kỹ năng: Biết cách tìm xác định, biết cách lập bảng biến thiên của một số hàm số đơn
giản, rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Thái độ: cẩn thận.

- Tư duy: logic.
II. Phương pháp:
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
Hoạt đđộng của Gv
Hoạt đđộng của Hs
Hoạt động : (tiết 1)
Hoaït ñoäng :
1. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ 1. Hs khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số đã
đồ thị của các hàm số sau:
cho.
a) y = 5
b) y = 3x
2
3

c) y = − x + 2
d) y =

4
x-1
3

e) y = 2x - 3
1
2

f) y = − x + 1
2. Trong mỗi trường hợp sau, tìm

các giá trị của k sao cho đồ thị hàm
số
y = - 2x +k(x + 1)
a) Đi qua gốc tọa độ O
b) Đi qua điểm M(- 2; 3)
c) Song song với đường thẳng y =
2 .x

2.
a) Do hàm số đi qua gốc tọa độ O nên ta có:
0 = -2.0 + k(0 + 1)
⇒k=0
Vậy: k = 0.
b) Do hàm số đi điểm M(- 2; 3) nên ta có:
3 = -2.(- 2) + k(-2 + 1)
⇒3=4-k
⇒ k = 1.
Vaäy: k = 1.
c) Ta coù: y = - 2x +k(x + 1) = - 2x + kx +k
= (k - 2)x + k
15


Do hàm số song song với đường thẳng y = 2 .x
Nên k - 2 = 2
3.Viết phương trình đường thẳng (d) ⇒ k = 2 + 2
song song với đường thẳng (a): y =
3x - 2 và đi qua điểm:
3.
a) M (2; 3).

Do (a) // (d) nên (d) có daïng:
b) N (-1; 2).
y = 3x + m.
Gv hướng dẫn:
+ Phương trình đường thẳng có
a) Mà (d) đi qua M (2; 3) neân:
dạng: y = ax + b
3 = 3.2 + m
+ Hai đường thẳng song song thì
⇔ m = -3.
chúng có cùng hệ số góc.
Vậy: (d): y = 3x - 3.
b) Mà (d) đi qua N (-1; 2) nên:
Hoạt động : (tiết 2)
2 = 3.(-1) + m
4. Hãy tìm các cặp đường thẳng song
⇔ m = 5.
song trong các đường thẳng sau:
a) 3y - 6x + 1 = 0
Vaäy: (d): y = 3x + 5.
b) y = - 0.5x - 4
Hoạt động :
x
4. Ta có:
c) y = 3 +
2

d) 2y + x = 6
e) 2x - y = 1
f) y = 0.5x + 1

5. Xác định các hệ số a và b để đồ thị
hàm số y = ax + b đi qua các điểm
sau:
a) M(-1; -2) và N(99; -2).
b) P(4; 2) và Q(1; 1).
Gv hướng dẫn:
+ Phương trình đường thẳng có
dạng: y = ax + b.
+ Đường thẳng đi qua hai điểm nên
tọa độ của hai điểm đó phải thỏa mãn
công thức của hàm số y = ax + b.

1

(a) y = 2x − 3 ,

(b) y = - 0.5x - 4

x

x

(c) y = 2 + 3
(d) y = − 2 + 3
(e) y = 2x - 1
(f) y = 0.5x + 1
Do đó:
(a) // (e), (c) // (f), (b) // (d)
5.
a) Do hàm số đi qua M(-1; -2) và N(99; -2) nên

ta có hệ phương trình:
 − a + b = −2

99a + b = −2
a = 0
⇔
b = −2

Vậy: y = -2
b) Do hàm số đi qua P(4; 2) và Q(1; 1) nên ta có
hệ phương trình:

16


6. Hãy xác định a, b sao cho đồ thi
của hàm số
(d): y = ax + b trong các trường hợp
sau:
a) (d) cắt đường thẳng y = 2x + 5 tại
điểm
A (- 2; 1) và d cắt đường thẳng y =
-3x + 4 tại điểm B(2; -2)

4 a + b = 2

a + b = 1
1

a = 3


⇔
b = 2

3

1

2

Vaäy: y = 3 x + 3 .
6.
a) Do (d) caét đường thẳng y = 2x + 5 tại điểm
A (- 2; 1) và d cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại
điểm B(2; -2) nên ta có:
 − 2a + b = 1

 2 a + b = −2

b) (d) song song với đường thẳng
3
4

(d'): y = − x và đi qua giao điểm
của hai đường thẳng:
(a): 3x + 2y = 2, (b): 3x - y = -5

3

a = − 4


⇔
b = − 1


2
3

1

Vaäy: y = − 4 x − 2
3

b) Do (d) // (d') nên (d) có dạng: y = − 4 x + m
Ta có hệ pt:
3x + 2 y = 1

3x − y = −5
 x = −1
⇔
y = 2

Ta có giao điểm H(-1; 2)
Mặt khác: do (d) đi qua H nên ta có:
3

Hoạt động : (tiết 3)
7. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của các hàm số sau:
a) y = - x2 + 2x - 2

b) y = y = 1 - 2x + x2
c) y = y = -1 - 2x - x2
d) y = 2 - 2x + x2
e) y = y = 2 - 2x - x2

2 = − 4 (-1) + m
3

⇒m=2 −4
5

⇒m= 4
Hoạt động :
7. Hs khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các
hàm số đã cho.

17


8. Xác định hàm số bậc hai
(P): y = 2x2 + bx + c, biết rằng đồ
thị của nó:
a) Có trục đối xứng là đường thẳng
x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0;
4).
b) Có đỉnh là I(-1; -2)
c) Đi qua điểm A(0; -1) và B(4; 0)
d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua
điểm M(1; -2).

8.
a) Do (P) có trục đối xứng x = 1 nên ta coù:
b

b

x = − a = − 2 =1
hay b = -2 (1)
và do (P) cắt trục tung tại điểm (0; 4) nên ta có:
c = 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (P): y = 2x2 - 2x + 4.
b) Do (P) có đỉnh là I (-1; -2) nên ta có hệ
phương trình:
b
b

 x = − = − = −1
a
2

 − b + c + 2 = −2

b = 2
⇔
 c = −2

Vaäy: (P): y = 2x2 + 2x - 2.
c) Do (P) đi qua điểm A(0; -1) và B(4; 0) nên ta
có:
2.0 + b.0 + c = −1

 2
2.4 + b.4 + c = 0
31

b = −
⇔
4
 c = −1

31
Vaäy: (P): y = 2x2 − 4 x - 1.

d) Do (P) có hoành độ đỉnh x = 2 nên ta có:
x=−

b
b
= − = 2 (3)
a
2

Mặt khác, do (P) đi qua M (1; -2) nên ta có:
2.12 + b.1 + c = - 2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
b = −4

c = 0

Vaäy: (P): y = 2x2 - 4x.
IV. Củng cố:

+ Gv nhắc lại các khái niệm trong bài đđể Hs khắc sâu kiến thức.
18


Các chủ đề tự chọn bám sát đối với CT chuẩn 10.
Đại số.
 Phương trình và hệ phương trình. (5 tiết)
I. Mục đđích bài dạy:
- Kiến thức cơ bản: Khái niệm phương trình, phương pháp giải các dạng phương trình và
hệ phương trình.
- Kỹ năng: Biết cách giải các phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, phương
trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, hệ phương trình.
- Thái độ: cẩn thận.
- Tư duy: logic.
II. Phương pháp:
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
Hoạt đđộng của Gv
Hoạt đđộng của Hs
Hoạt động : (tiết 1)
Hoạt động :
1. Tìm điều kiện của các phương
1.
trình sau:
x 2 − 4 ≠ 0 x ≤ 3
⇔
2x
a) ñk: 
= 3− x

x ≠ 2 va x ≠ −2
a)
x2 − 4
x+4
= 1− x
b)
x−2
1
c) 2 x + 1 =
x
x+2
3x 2 + x + 1
d)
2
2x + 1


3 − x ≥ 0
x − 2 > 0 x > 2
b) ñk: 1 − x ≥ 0 ⇔  x ≤ 1 ⇔ x = φ


1

2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −
⇔
2
c) ñk:  x ≠ 0

x ≠ 0



d) ñk: x ∈ R.
19


x − 1 > 0

x
2
=
x −1
x+3
2x + 3
= x +1
f) 2
x −4

2. Giải các phương trình sau:
a) x + 1 + x = 3 + x + 1

x > 1

e) ñk:  x + 3 > 0 ⇔  x > −3 ⇔ x > 1



e)

 x 2 − 4 ≠ 0  x ≥ −1

f) ñk:  x + 1 ≥ 0 ⇔  x ≠ 2



(a)

2.
a) ñk: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1
(a) ⇔ x = 3 + x + 1 − x + 1
⇔ x = 3 ( nhan )

b) x − 5 − x = 2 + x − 5

(b)

Vaäy: S = {3}
b) ñk: x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5
(b) ⇔ x = x − 5 − 2 − x − 5
⇔ x = −2 (loai )

c) x + 1 + x = x + 1 + 2

(c)

Vaäy: S = ∅.
c) ñk: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1
(c) ⇔ x = x + 1 + 2 − x + 1
⇔ x = 2 ( nhan )

d) x − 3 − x = x − 3 + 3

(d)

e) x 2 − 2 − x = 3 + x − 4

(e)

f) x 2 + − 1 − x = 4 + − 1 − x

(f)

Vaäy: S = {2}
x − 3 ≥ 0

x ≥ 3

x − 4 ≥ 0

x ≥ 4

d) ñk: 3 − x ≥ 0 ⇔  x ≤ 3 ⇔ x = 3


Ta thaáy: x = 3 là nghiệm của pt đã cho.
Vậy: S = {3}
e) ñk: 2 − x ≥ 0 ⇔  x ≤ 2 ⇔ x = φ


Vậy: S = ∅.
f) đk: - 1 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ - 1

( f ) ⇔ x2 = 4 + − 1 − x − − 1 − x
⇔ x2 = 4
 x = 2 (loai )
⇔
 x = −2 ( nhan )

g)
h)

2x + 1
x+2
=
x−3
x−3
2x2
=
x +1

8
x +1

Vậy: S = {- 2}
g) đk: x -3 > 0 ⇔ x > 3
(g) ⇔ 2x + 1 = x + 2
⇔ x = 1 (loại)
(h)
Vậy: S = ∅
h) ñk: x + 1 > 0 ⇔ x > - 1

(g)

20


(h) ⇔ 2 x 2 = 8
3x 2 + 1
=
i)
x −1

4
x −1

(i)

⇔ x2 = 4
 x = 2 ( nhan )
⇔
 x = −2 (loai )

Vậy: S = {2}
i) đk: x - 1 > 0 ⇔ x > 1
(i ) ⇔ 3 x 2 + 1 = 4
x 2 + 3x + 4
=
j)
x+4

k)

x+4

(j)

3x 2 − x − 2
= 3x − 2
3x − 2

(k)

⇔ x2 = 1
 x = 1 (loai )
⇔
 x = −1 (loai )

Vậy: S = ∅
j) đk: x + 4 > 0 ⇔ x > - 4
(j) ⇔ x2 + 3x + 4 = x + 4
⇔ x2 + 2x = 0
⇔ x = 0 (nhaän) v x = - 2 (nhaän)
Vaäy: S = {0; - 2}
2

l) 2 x + 3 +

4
x2 + 3
=
x −1
x −1

(l)

k) ñk: 3x - 2 > 0 ⇔ x > 3
(k) ⇔ 3x2 - x - 2 = 3x - 2
⇔ 3x2 - 4x = 0
4

⇔ x = 0 (loaïi) v x = 3 (nhaän)
4

Vaäy: S = { 3 }
Hoạt động : (tiết 2)
Giải các bất phương trình sau:
1.2x - 1= x + 2

(1)

l) ñk: x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
(l) ⇔ (2x + 3)(x - 1) + 4 = x2 +3
⇔ 2x2 - 2x + 3x - 3 + 4 = x2 +3
⇔ x2 + x - 2 = 0
⇔ x = 1 (loaïi) v x = - 2 (nhận)
Vậy: S = {- 2}
Hoạt động : (tiết 2)

21


2. x - 1= - x - 4

(2)

3. 2x - 3= x - 5

(3)

2 x − 1 = x + 2 ( 2 x − 1 ≥ 0)
(1) ⇔ 
2 x − 1 = −( x + 2) ( 2 x − 1 < 0)
1

 x = 3 ( x ≥ 2 ) ( nhan )
⇔
2 x − 1 = − x − 2 ( x < 1 )

2

 x = 3 ( nhan )
⇔
1
 x = − ( nhan )
3

1
Vaäy: S = {3; − 3 }

2.
x − 1 = −x − 4
( 2) ⇔ 

 x − 1 = − ( − x − 4)
 2 x = −3
⇔
 x − 1 = x + 4 ( vo nghiem )
⇔x=−

3
2
3

Vaäy: S = { − 2 }
3.
4. 2x + 5= 3x - 2

(4)

3

2 x − 3 = x − 5 ( x ≥ 2 )
(3) ⇔ 
 − ( 2 x − 3) = x − 5 ( x < 3 )

2

 x = −2 (loai )
⇔
3
− 2 x + 3 = x − 5 ( x < )
2


3
⇔ 3x = 8 ( x < )
2
8
⇔ x = (loai )
3

Vaäy: S = ∅.
5. 4x + 1= x2 + 2x - 4

(5)

4.

22


2 x + 5 = 3 x − 2
( 4) ⇔ 
2 x + 5 = − (3 x − 2)
x = 7
⇔
5 x = −3
x = 7
⇔
3
x = −
5

3

6. 5 x + 9 = 3x − 7

(6)

Vaäy: S = {7; − 5 }
5.
1

2
4 x + 1 = x + 2 x − 4 ( x ≥ − 4 )
(5) ⇔ 
 − ( 4 x + 1) = x 2 + 2 x − 4 ( x < − 1 )

4

1
 2
x − 2x − 5 = 0 (x ≥ − 4 )
⇔
x 2 + 6x − 3 = 0 ( x < − 1 )

4

x = 1 + 6

x = 1 − 6
⇔
 x = −3 + 2
 x = −3 − 2



( nhan )
(loai )
3 ( nhan )
3 ( nhan )

Vaäy: S = { 1 + 6 ; − 3 + 2 3; − 3 − 2 3 }
9

6. Điều kiện: 5x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 5
7. 2 x + 3x − 4 = 7 x + 2
2

(7)

9

x ≥ −
(6) ⇔ 
5
5 x + 9 = (3x − 7) 2

3

x ≥ −
⇔
5
5 x + 9 = 9 x 2 − 42 x + 49


3

x ≥ −
⇔
5
2
9 x − 47 x + 38 = 0

9

x ≥ − 5

⇔
 x = 1 (loai ) hoac x = 38 (loai )

9


Vaäy: S = ∅
23


Hoạt động : (tiết 3)
8. Giải các pt:
a) x - 3= 2x - 1

(a)

7.
2 x 2 + 3 x − 4 ≥ 0


(7) ⇔ 7 x + 2 ≥ 0
2 x 2 + 3 x − 4 = 7 x + 2

2 x 2 + 3 x − 4 ≥ 0

2

⇔ x ≥ −
7

2
2 x − 4 x − 6 = 0


b) 3x + 2= x + 1

2 x 2 + 3 x − 4 ≥ 0

2

⇔ x ≥ −
7

 x = −1 (loai ) hoac x = 3 ( nhan )


(b)

Vậy: S = {3}

Hoạt động :
8.
a)
c) 3x - 5= 2x + x - 3
2

(c)

x − 3 = 2x − 1
(a ) ⇔ 
 x − 3 = − ( 2 x − 1)
 x = −2
 x = −2
⇔
⇔
4
x =
3x = 4

3

4
Vaäy: S = {-2; 3 }

b)
2

3x + 2 = x + 1 ( x ≥ − )


3
(b) ⇔ 
 − ( 3 x + 2) = x + 1 ( x < − 2 )

3

1

 x = − 3 ( nhan )
⇔
 x = − 3 ( nhan )

4

1
3
Vaäy: S = { − 3 ; − 4 }

c)
24


9. Giải các pt:
a) 3x − 4 = x − 3

(a)

5

2

3 x − 5 = 2 x + x − 3 ( x ≥ 3 )
(c) ⇔ 
 − (3x − 5) = 2 x 2 + x − 3 ( x < 5 )

3

2 x 2 − 2 x + 2 = 0 ( vo nghiem)
⇔ 2
2 x + 4 x − 8 = 0 ( x < 5 )

3

5
⇔ x2 + 2x − 4 = 0 ( x < )
3
 x = −1 + 5 ( nhan )
⇔
 x = −1 − 5 ( nhan )

Vaäy: S = { − 1 + 5 ; − 1 − 5 }

9.
a)

b) x 2 − 2 x + 3 = 2 x − 1

(b)

3 x − 4 ≥ 0
(a) ⇔ 

2
3x − 4 = ( x − 3)
4

x ≥
⇔
3
3x − 4 = x 2 − 6 x + 9

4

x ≥
⇔
3
 x 2 − 9 x + 13 = 0

4

x ≥ 3


9 + 29
⇔  x =
( nhan )
2


9 − 29
(loai )
 x =

2


c) 2 x 2 + 3x + 7 = x + 2

(c)

d) 3x 2 − 4 x − 4 = 2 x + 5

Vaäy: S = {

(d)

b.

25

9 + 29
}
2