KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
•
( , )M x y OM xi y j⇔ = +
uuuur r r

1 1 2 2
( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )
A A B B C C
Cho A x y B x y C x y u x y v x y
r r
.

2 2 2 2
1 1
( ; ), ( ) ;( ) ,
B A B A B A B A
AB x x y y AB x x y y u x y− − = − − = +
uuur r
 Tọa độ trung điểm I của AB là:
,
2 2
A B A B
x x y y
I
+ +
 
 ÷
 
 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
;

3 3
A B C A B C
x x x y y y
G
+ + + +
 
 ÷
 

1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
, ( ; ), ( ; )
x x
u v u v x x y y ku kx kx
y y
=

= ⇔ ± = ± ± =

=

r r r r r

u
r
cùng phương với
1 2
1 1
1 2

2 2
( , 0)
x kx
x y
v u v u kv
y ky
x y
=

≠ ⇔ = ⇔ ⇔ =

=

r r r r r r
 A, B, C thẳng hàng
AB
uuur
cùng phương
B A B A
C A C A
x x y y
AC
x x y y
− −
⇔ =
− −
uuur
Tích vô hướng: Góc giữa hai vectơ
, :( ; )u v KH u v
ur r r r

0
0
0
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
( ; ) 90
( ; ) 0
( ; ) 180
. ( ; ) , . 0, .
.
( , )
.
u v u v
u v u v
u v u v
u v u v cos u v x x y y u v u v u v u v u
u v x x y y
cos u v
u v
x y x y
= ⇔ ⊥
= ⇔
= ⇔
= = + ⊥ ⇔ = = ⇔ =
+
= =

+ +
r r r r
r r r r
Z Z
r r r r
Z [
r r r r r r r r r r r r r r r
r r
r r
r r
B. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng d là
0n
≠
r r
có giá vuông góc với d.
Vectơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d là
0u ≠
r r
có giá song song với d.
• Nhận xét:
n
r
và
u
r
luôn có giá vuông góc với nhau hay
n
r
.

u
r
=0. Do đó nếu
n
r
(A;B)
thì
u
r
(B;-A) hoặc
u
r
(-B;A) và ngược lại. Một đường thẳng có vô số vtpt và vtcp
và chúng sai khác nhau một số lần k.
1.Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
0
,y
0
) hệ số góc k
d : y = k(x – x
0
) + y
0
hay y = kx + b với k = tan α ( α là góc hợp bởi d với chiều
dương của Ox)
2.Phương trình tổng quát của đường d thẳng đi qua A(x
0
,y
0
) ,vtpt(A;B)

hay Ax + By + C = 0
 Vtpt
( ; )n A B
r
 Vtcp
( ; ); ( ; )u B A u B A− −
r r
 Hệ số góc k = -A/B
 A=0 thì d:
; / /Ox;B=0
C
y d
B
−
=
thì
: ; / /
C
d y d Oy
A
−
=
 Ox: y = 0; Oy: x = 0
3.Phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng d đi qua A(x
0
;y
0
), vtcp (a;b)
a) Dạng tham số d:
0

0
x x at
y y bt
= +


= +

( t: tham số )
b) Dạng chính tắc d:
0 0
( , 0)
x x y y
a b
a b
− −
= ≠
 Vtpt ( -b;a) hoặc (b;-a)
 Hệ số góc k = b/a
4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
d đi qua A(a,0), B(0, b) thì d:
1
x y
a b
+ =
5. Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(x
A
,y
A
), B(x

B
,y
B
)
d:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
d: A(x – x
0
)+B(y- y
0
)=0
 Hai đường song song có cùng vtpt và vtcp. Hai đường thẳng vuông góc thì vtpt
của đường này là vtcp của đường kia và ngược lại.
Cho d: Ax +By +C =0
d // d’ thì d’: Ax+By+C’=0
d ⊥d’ thì d’: -Bx+Ay+C’=0 hoặc Bx-Ay+C’=0
d hợp với d’ một góc α thì tanα=
'
'
1 .
d d
d d
k k
k k

−
+
d// Ox hay d⊥Oy thì d: Ax+C=0
d // Oy hay d⊥Ox thì d: By+C=0
C. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG, GÓC, KHOẢNG CÁCH.
Cho d: Ax +By +C =0 và d’: A’x + B’y + C’ =0 và M(x
M
, y
M
)
C1. Ví trí tương đối
d và d’ cắt nhau
' '
A B
A B
⇔ ≠
( hệ phương trình có một nghiệm duy nhất)
d // d’
' ' '
A B C
A B C
⇔ = ≠
( hệ phương trình vô nghiệm)
d trùng d’
' ' '
A B C
A B C
⇔ = =
( hệ phương trình vô số nghiệm)
C2. Góc giữa hai đường thẳng

Gọi α là góc giữa d và d’ ta có:
'
2 2 2 2
'
.
' '
.
. ' '
d d
d d
n n
AA BB
cos
n n
A B A B
α
+
= =
+ +
uur uur
uur uur

tanα=
'
'
1 .
d d
d d
k k
k k

−
+
C3. Khoảng cách từ M đến d
d( M, d)=
2 2
M M
Ax By C
A B
+ +
+
Chú ý: d( M, Ox)=
M
y
; d( M, Oy)=
M
x
C4. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d và d’
2 2 2 2
' ' '
' '
Ax By C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
D. ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R.
Phương trình chính tắc (C ): (x-a)
2
+(y-b)

2
=R
2
Phương trình tổng quát (C ): x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 trong đó R=
2 2
a b c+ −
 Cho một đường cong bất kì có dạng trên thì điều kiện để nó là đường tròn là
a
2
+b
2
-c > 0
2. Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn
Cho (C ): (x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
tâm I(a;b) bán kính R
d: Ax+By+C=0
d(I,d) > R ⇔ d không cắt (C) (Hệ phương trình giao điểm vô nghiệm)
d(I,d) = R ⇔ d tiếp xúc (C) ( Hệ phương trình giao điểm có 1 nghiệm)
d(I,d) < R ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ( Hệ phương trình giao điểm có 2
nghiệm phân biệt)
3. Trục đẳng phương

Cho (C): x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 và (C’): x
2
+y
2
-2a’x-2b’y+c’=0
Khi đó trục đẳng phương của hai đường tròn là: 2(a-a’)x+2(b-b’)y-(c-c’)=0
E. ELIP: Là tập hợp các điểm M sao cho MF
1
+MF
2
=2a>F
1
F
2
=2c
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1 ( )
x y
a b
a b
+ = >
(hay gặp)

2 2
2 2
2 2
1 ( )
x y
a b
a b
+ = <
Trục lớn, độ dài Nằm trên Ox, 2a Nằm trên Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài Nằm trên Oy, 2b Nằm trên Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
- b
2
c
2
= b
2
- a
2
Tiêu điểm F
1
(-c;0), F
2
(c;0) F
1
(0;-c), F
2

(0;c)
Đỉnh A
1
(-a;0), A
2
(a;0)
B
1
(0;-b), B
2
(0;b)
A
1
(-a;0), A
2
(a;0)
B
1
(0;-b), B
2
(0;b)
Tâm sai e = c/a e = c/b
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b
y
e

= ±
Bán kính qua tiêu MF
1
= a+ex; MF
2
= a-ex MF
1
= b+ey; MF
2
= b-ey
Phương trình tiếp tuyến
tại M(x
0
;y
0
)
0 0
2 2
. .
1
x x y y
a b
+ =
0 0
2 2
. .
1
x x y y
a b
+ =

Phương trình hcn cơ sở
;x a y b= ± = ±
;x a y b= ± = ±
Khoảng cách giữa 2
đường chuẩn
2
2a
c
2
2b
c
F. HYPERBOL Là tập hợp các điểm M sao cho
2 11 2
2 2aMF MF F F c− = < =
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(hay gặp)
2 2
2 2
1
x y
a b
− = −
Trục thực, độ dài Nằm trên Ox, 2a Nằm trên Oy, 2b

Trục ảo, độ dài Nằm trên Oy, 2b Nằm trên Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= b
2
+ a
2
Tiêu điểm F
1
(-c;0), F
2
(c;0) F
1
(0;-c), F
2
(0;c)
Đỉnh A
1
(-a;0), A
2
(a;0) B
1
(0;-b), B
2

(0;b)
Tâm sai e = c/a e = c/b
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b
y
e
= ±
Tiệm cận
b
y x
a
= ±
b
y x
a
= ±
Bán kính qua tiêu
M ∈ nhánh phải (x>0)
MF
1
=ex+a; MF
2
=ex-a
M ∈ nhánh trái (x<0)
MF
1

=-(ex+a);MF
2
=-(ex-a)
M ∈ nhánh phải (x>0)
MF
1
=ey+b; MF
2
=ey-b
M ∈ nhánh trái (x<0)
MF
1
=-(ey+b);MF
2
=-(ey-b)
Phương trình tiếp tuyến
tại M(x
0
;y
0
)
0 0
2 2
. .
1
x x y y
a b
− =
0 0
2 2

. .
1
x x y y
a b
− =
Phương trình hcn cơ sở
;x a y b
= ± = ±
;x a y b
= ± = ±
Khoảng cách giữa 2
đường chuẩn
2
2a
c
2
2b
c
G. PARAPOL Là tập hợp các điểm M sao cho MF=MH với F thuộc d cố định, H là
hình chiếu của M lên d

PT chính tắc
Lý thuyết
y
2
= 2px y
2
= -2px x
2
= 2py x

2
= -2py
Tiêu điểm F(p/2;0) F(-p/2;0) F(0;p/2) F(0;-p/2)
Đường chuẩn x = -p/2 x = p/2 y = -p/2 y = p/2
Bán kính qua tiêu MF= x
M
+p/2 MF=-x
M
+p/2 MF=y
M
+p/2 MF=-y
M
+p/2
Trục đối xứng, vị trí Ox, nằm bên
phải Ox
Ox, nằm bên
trái Ox
Oy, có hướng
lên trên
Oy, có hướng
xuống dưới
• Chú ý:
 a, b, c , p > 0
 Elip, Hyperbol, Parabol được gọi là 3 đường cônic. Đường cônic (C) là tập hợp
các điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến một điểm cố định và đến một đường
thẳng cố định không đi qua điểm cố định đó bằng e>0 (tâm sai của cônic )
- Nếu e<1 thì (C) là Elip
- Nếu e=1 thì (C) là Parabol
- Nếu e>1 thì (C) là Hyperbol