Giáo trình phân tích giải thuật

Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 1
1. Mc tiêu
2. Kin thc c bn cn có  hc chng này
3. Tài liu tham kho có liên quan n chng
4. Ni dung:
I.1 - S cn thit phi phân tích gii thut.
I.2 - Thi gian thc hin ca gii thut.
I.3 - T sut tng và  phc tp ca gii thut.
I.4 - Cách tính  phc tp.
I.5 - Phân tích các chng trình  quy.
5. Vn  nghiên cu ca trang k tip
Trong chng này chúng ta s nghiên cu các vn  sau:
· S cn thit phi phân tích các gii thut.
· Thi gian thc hin ca chng trình.
· T sut tng và  phc tp ca gii thut.
· Tính thi gian thc hin ca chng trình.
· Phân tích các chng trình  quy.
I.1- S CN THIT PHI PHÂN TÍCH GII THUT
Trong khi gii mt bài toán chúng ta có th có mt s gii thut khác nhau, vn  là cn phi
ánh giá các gii thut ó  la chn mt gii thut tt (nht). Thông thng thì ta s cn c vào các
tiêu chun sau:
1.- Gii thut úng n.
2.- Gii thut n gin.
3.- Gii thut thc hin nhanh.
Vi yêu cu (1),  kim tra tính úng n ca gii thut chúng ta có th cài t gii thut ó
và cho thc hin trên máy vi mt s b d liu mu ri ly kt qu thu c so sánh vi kt quã
bit. Thc ra thì cách làm này không chc chn bi vì có th gii thut úng vi tt c các b d liu
chúng ta ã th nhng li sai vi mt b d liu nào ó. V li cách làm này ch phát hin ra gii thut
sai ch cha chng minh c là nó úng. Tính úng n ca gii thut cn phi c chng minh
ng toán hc. Tt nhiên u này không n gin và do vy chúng ta s không  cp n ây.

Khi chúng ta vit mt chng trình  s dng mt vài ln thì yêu cu (2) là quan trng nht.
Chúng ta cn mt gii thut d vit chng trình  nhanh chóng có c kt qa , thi gian thc hin
chng trình không c  cao vì dù sao thì chng trình ó cng ch s dng mt vài ln mà thôi.
Tuy nhiên khi mt chng trình c s dng nhiu ln thì thì yêu cu tiït kim thi gian
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 2
thc hin chng trình li rt quan trng c bit i vi nhng chng trình mà khi thc hin cn d
liu nhp ln do ó yêu cu (3) sc xem xét mt cách k càng. Ta gi nó là hiu qu thi gian thc
hin ca gii thut.
I.2- THI GIAN THC HIN CA GII THUT
I.2.1- Thi gian thc hin chng trình.
I.2.2- n vo thi gian thc hin.
I.2.3- Thi gian thc hin trong trng hp xu nht.
Mt phng pháp  xác nh hiu qu thi gian thc hin ca mt gii thut là lp trình nó và o
ng thi gian thc hin ca hot ng trên mt máy tính xác nh i vi tp hp c chn lc các
 liu vào.
Thi gian thc hin không ch ph thuc vào gii thut mà còn ph thuc váo tp các ch th
a máy tính, cht lng ca máy tính và k xo ca ngi lp trình. S thi hành cng có thu
chnh  thc hin tt trên tp c bit các d liu vào c chn.  vt qua các tr ngi này, các
nhà khoa hc máy tính ã chp nhn tính phc tp ca thi gian c tip cn nh mt so lng c
n s thc thi ca gii thut. Thut ng tính hiu qu s cp n so lng này và c bit i
i s phc tp thi gian trong trng hp xu nht.
I.2.1- Thi gian thc hin chng trình.
Thi gian thc hin mt chng trình là mt hàm ca kích thc d liu vào, ký hiu T(n) trong ó n
là kích thc ( ln) ca d liu vào.
Ví d 1-1: Chng trình tính tng ca n s có thi gian thc hin là T(n) = cn trong ó c là
t hng s.
Thi gian thc hin chng trình là mt hàm không âm, tc là T(n) ≥0 ∀n≥0.
I.2.2- n vo thi gian thc hin.
n v ca T(n) không phi là n vo thi gian bình thng nh gi, phút giây... mà thng

c xác nh bi s các lnh c thc hin trong mt máy tính lý tng.
Ví d 1-2: Khi ta nói thi gian thc hin ca mt chng trình là T(n) = cn thì có ngha là
chng trình y cn cn ch th thc thi.
I.2.3- Thi gian thc hin trong trng hp xu nht.
Nói chung thì thi gian thc hin chng trình không ch ph thuc vào kích thc mà còn
ph thuc vào tính cht ca d liu vào. Ngha là d liu vào có cùng kích thc nhng thi gian thc
hin chng trình có th khác nhau. Chng hn chng trình sp xp dãy s nguyên tng dn, khi ta
cho vào dãy có th t thì thi gian thc hin khác vi khi ta cho vào dãy cha có th t, hoc khi ta
cho vào mt dãy ã có th t tng thì thi gian thc hin cng khác so vi khi ta cho vào mt dãy ã
có th t gim.
Vì vy thng ta coi T(n) là thi gian thc hin chng trình trong trng hp xu nht trên
 liu vào có kích thóc n, tc là: T(n) là thi gian ln nht  thc hin chng trình i vi mi d
liu vào có cùng kích thc n.
I.3- T SUT TNG VÀ  PHC TP CA GII THUT
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 3
I.3.1- T sut tng
I.3.2- Khái nim  phc tp ca gii thut
I.3.1- T sut tng
Ta nói rng hàm không âm T(n) có  sut tng (growth rate) f(n) nu tn ti các hng s c
và n
0
sao cho T(n)  f(n) vi mi n  n
0
.
Ta có th chng minh c rng “Cho mt hàm không âm T(n) bt k, ta luôn tìm c t
sut tng f(n) ca nó”.
Ví d 1-3: Gi s T(0) = 1, T(1) = 4 và tng quát T(n) = (n+1)
2
. t n

0
= 1 và c = 4 thì vi mi
n  1 chúng ta d dàng chng minh rng T(n) = (n+1)
2
 4n
2
vi mi n  1, tc là t sut tng ca T(n)
là n
2
.
Ví d 1-4: T sut tng ca hàm T(n) = 3n
3
+ 2n
2
là n
3
. Thc vy, cho n
0
= 0 và c = 5 ta d
dàng chng minh rng vi mi n  0 thì 3n
3
+ 2n
2
 5n
3
I.3.2- Khái nim  phc tp ca gii thut
Gi s ta có hai gii thut P1 và P2 vi thi gian thc hin tng ng là T1(n) = 100n
2
(vi t
sut tng là n

2
) và T2(n) = 5n
3
(vi t sut tng là n
3
). Gii thut nào s thc hin nhanh hn? Câu tr
i ph thuc vào kích thc d liu vào. Vi n < 20 thì P2 s nhanh hn P1 (T2<T1), do h s ca 5n
3
nh hn h s ca 100n
2
(5<100). Nhng khi n > 20 thì ngc li do s m ca 100n
2
nh hn s m
a 5n
3
(2<3). ây chúng ta ch nên quan tâm n trng hp n>20 vì khi n<20 thì thi gian thc
hin ca c P1 và P2 u không ln và s khác bit gia T1 và T2 là không áng k..
Nh vy mt cách hp lý là ta xét t sut tng ca hàm thi gian thc hin chng trình thay
vì xét chính bn thân thi gian thc hin.
Cho mt hàm T(n), T(n) gi là có  phc tp f(n) nu tn ti các hng c, N
0
sao cho T(n) 
cf(n) vi mi n  N
0
(tc là T(n) có t sut tng là f(n)) và kí hiu T(n) là O(f(n)) (c là “ô ca f(n)”)
Ví d 1-5: T(n)= (n+1)
2
có t sut tng là n
2
nên T(n)= (n+1)

2
là O(n
2
)
Chú ý: O(c.f(n))=O(f(n)) vi c là hng s. c bit O(c)=O(1)
Nói cách khác  phc tp tính toán ca gii thut là mt hàm chn trên ca hàm thi gian. Vì
ng nhân t c trong hàm chn trên không có ý ngha nên ta có th b qua vì vy hàm th hin  phc
p có các dng thng gp sau: log
2
n, n, nlog
2
n, n
2
, n
3
, 2
2
, n!, n
n
. Ba hàm cui cùng ta gi là dng
hàm m, các hàm khác gi là hàm a thc. Mt gii thut mà thi gian thc hin có  phc tp là mt
hàm a thc thì chp nhn c tc là có th cài t  thc hin, còn các gii thut có  phc tp
hàm m thì phi tìm cách ci tin gii thut.
Khi nói n  phc tp ca gii thut là ta mun nói n hiu qu ca thi gian thc hin ca
chng trình nên ta có th xem vic xác nh thi gian thc hiên ca chng trình chính là xác nh 
phc tp ca gii thut.
I.4- CÁCH TÍNH  PHC TP
I.4.1- Qui tc cng
I.4.2- Qui tc nhân
Collected by The_Wall (11/10/2005)

Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 4
I.4.3- Qui tc tng quát  phân tích mt chng trình
I.4.4-  phc tp ca chng trình có gi chng trình con không  qui
Cách tính  phc tp ca mt gii thut bt k là mt vn  không n gin. Tuy nhiên ta có
th tuân theo mt s nguyên tc sau:
I.4.1- Qui tc cng:
Nu T1(n) và T2(n) là thi gian thc hin ca hai n chng trình P1 và P2; và
T1(n)=O(f(n)), T2(n)=O(g(n) thì thi gian thc hin ca n hai chng trình ó i tip nhau là
T(n)=O(max(f(n),g(n)))
Ví d 1-6: Lnh gán x:=15 tn mt hng thi gian hay O(1)
Lnh c d liu READ(x) tn mt hng thi gian hay O(1)
Vy thi gian thc hin c hai lnh trên ni tip nhau là O(max(1,1))=O(1)
I.4.2- Qui tc nhân:
Nu T1(n) và T2(n) là thi gian thc hin ca hai n chng trình P1và P2 và T1(n) =
O(f(n)), T2(n) = O(g(n) thì thi gian thc hin ca n hai n chng trình ó ng nhau là T(n) =
O(f(n).g(n))
I.4.3- Qui tc tng quát  phân tích mt chng trình:
- Thi gian thc hin ca mi lnh gán, READ, WRITE là O(1)
- Thi gian thc hin ca mt chui tun t các lnh c xác nh bng qui tc cng. Nh
y thi gian này là thi gian thi hành mt lnh nào ó lâu nht trong chui lnh.
- Thi gian thc hin cu trúc IF là thi gian ln nht thc hin lnh sau THEN hoc sau ELSE
và thi gian kim tra u kin. Thng thi gian kim tra u kin là O(1).
- Thi gian thc hin vòng lp là tng (trên tt c các ln lp) thi gian thc hin thân vòng
p. Nu thi gian thc hin than vòng lp không i thì thi gian thc hin vòng lp là tích ca s ln
p vi thi gian thc hin thân vòng lp.
Ví d 1-7: Tính thi gian thc hin ca n chng trình
procedure Bubble (var a: array[1..n] of integer);
var i,j,temp: integer;
begin
{1} for i:=1 to n-1 do

{2} for j:=n downto i+1 do
{3} if a[j-1]>a[j] then begin
{ i ch a[i], a[j] }
{4} temp:=a[j-1];
{5} a[j-1]:=a[j];
{6} a[j]:=temp; end;
end;
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 5
C ba lnh i ch {4} {5} {6} tn O(1) thi gian, do ó lnh {3} tn O(1).
Vòng lp {2} thc hin (n-i) ln, mi ln O(1) do ó vòng lp {2} tn O((n-i).1)=O(n-i).
Vòng lp {1} lp (n-1) ln vy  phc tp ca gii thut là:
I.4.4-  phc tp ca chng trình có gi chng trình con không  qui
Nu chúng ta có mt chng trình vi các chng trình con không  quy,  tính thi gian
thc hin ca chng trình, trc ht chúng ta tính thi gian thc hin ca các chng trình con không
i các chng trình con khác. Sau ó chúng ta tính thi gian thc hin ca các chng trình con ch
i các chng trình con mà thi gian thc hin ca chúng ã c tính. Chúng ta tip tc quá trình
ánh giá thi gian thc hin ca mi chng trình con sau khi thi gian thc hin ca tt c các
chng trình con mà nó gi ã c ánh giá. Cui cùng ta tính thi gian cho chng trình chính.
Gi s ta cô mt h thng các chng trình gi theo s sau:
Chng trình A gi hai chng trình con là B và C, chng trình B gi hai chng trình con là
B1 và B2, chng trình B1 gi hai chng trình con là B11 và B12.
 tính thi gian thc hin ca A, ta tính theo các bc sau:
- Tính thi gian thc hin ca C, B2, B11 và B12.
- Tính thi gian thc hin ca B1.
- Tính thi gian thc hin ca B.
- Tính thi gian thc hin ca A.
Ví d 1-8: Ta có th vit li chng trình sp xp bubble nh sau:
procedure Swap (var x, y: integer);
var temp: integer;

begin
temp := x;
x := y;
y := temp;
end;
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 6
procedure Bubble (var a: array[1..n] of integer);
var i,j :integer;
begin
{1} for i:=1 to n-1 do
{2} for j:=n downto i+1 do
{3} if a[j-1]>a[j] then Swap(a[j-1], a[j]);
end;
Trong cách vit trên, chng trình Bubble gi chng trình con Swap, do ó  tính thi gian
thc hin ca Bubble, trc ht ta cn tính thi gian thc hin ca Swap. D thy thi gian thc hin
a Swap là O(1) vì nó ch bao gm 3 lnh gán.
Trong Bubble, lnh {3} gi Swap nên ch tn O(1), lnh {2} thc hin n-i ln, mi ln tn
O(1) nên tn O(n-i). Lnh {1} thc hin n-1 ln nên
I.5- PHÂN TÍCH CÁC CHNG TRÌNH  QUY
I.5.1- Thành lp phng trình  quy
I.5.2- Gii phng trình  quy
Vi các chng trình có gi các chng trình con  quy, ta không th áp dng cách tính nh
a trình bày trong mc I.4.4 bi vì mt chng trình  quy s gi chính bn thân nó.
Vi các chng trình  quy, trc ht ta cn thành lp các phng trình  quy, sau ó gii
phng trình  quy, nghim ca phng trình  quy s là thi gian thc hin ca chng trình 
quy.
I.5.1- Thành lp phng trình  quy
Phng trình  quy là mt phng trình biu din mi liên h gia T(n) và T(k), trong ó
T(n) là thi gian thc hin chng trình vi kích thc d liu nhp là n, T(k) thi gian thc hin

chng trình vi kích thc d liu nhp là k, vi k < n.  thành lp c phng trình  quy, ta
phi cn c vào chng trình  quy.
Ví d 1-9: Xét hàm tính giai tha vit bng gii thut  quy nh sau:
function Giai_thua(n:integer): integer;
begin
if n=0 then Giai_thua :=1
else Giai_thua := n* Giai_thua(n-1);
end;
i T(n) là thi gian thc hin vic tính n giai tha, thì T(n-1) là thi gian thc hin vic tính
n-1 giai tha. Trong trng hp n=0 thì chng trình ch thc hin mt lnh gán Giai_thua:=1, nên tn
O(1), do ó ta có T(0) = C1. Trong trng hp n>0 chng trình phi gi  quy Giai_thua(n-1), vic
i  quy này tn T(n-1), sau khi có kt qu ca vic gi  quy, chng trình phi nhân kt quó
i n và gán cho Giai_thua. Thi gian  thc hin phép nhân và phép gán là mt hng C2. Vy ta có
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 7
ây là phng trình  quy  tính thi gian thc hin ca chng trình  quy Giai_thua.
Ví d 1-10: Chúng ta xét th tc MergeSort mt cách phác tho nh sau:
function MergeSort (L:List ; n:integer) : List;
var
L1,L2 : List;
begin
if n = 1 then return(L)
else
begin
Chia L thành 2 na L1 và L2 , mi mt na có  dài n/2;
return(Merge(MergeSort (L1 , n/2), MergeSort(L2, n/2)));
end;
end;
Chng hn  sp xp danh sách L gm 8 phn t 7, 4, 8, 9, 3, 1, 6, 2 ta có mô hình minh ha
a MergeSort nh sau:

Hàm MergeSort nhn mt danh sách có  dài n và tr v mt danh sách ã c sp xp. Th
c Merge nhn hai danh sách ã c sp L1 và L2 mi danh sách có  dài n/2, trn chúng li vi
nhau c mt danh sách gm n phn t có th t. Gii thut chi tit ca Merge ta s bàn sau,
chúng ta ch ý rng thi gian  Merge các danh sách có  dài n/2 là O(n).
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 8
Gi T(n) là thi gian thc hin MergeSort mt danh sách n phn t thì T(n/2) là thi gian thc
hin MergeSort mt danh sách n/2 phn t , ta có th vit phng trình  quy nh sau:
Trong ó c1 là thi gian phi tn khi L có  dài 1. Trong trng hp n > 1, thi gian ca
MergeSort c chia làm hai phn. Phn gi  quy MergeSort mt danh sách có  dài n/2 là T(n/2)
do ó ta có 2T(n/2). Phn th hai bao gm phép th n >1, chia danh sách L thành hai na bng nhau và
Merge. Ba thao tác này ly thi gian không i i vi phép th hoc t l vi n i vi ngt và
Merge. Nh vy hng c
2
c chn và c
2
n là thi gian tng  làm các vic ó ngoi tr gi  quy.
I.5.2- Gii phng trình  quy
Có ba phng pháp gii phng trình  quy:
1.- Phng pháp truy hi
2.- Phng pháp oán nghim.
3.- Li gii tng quát ca mt lp các phng trình  quy.
Phng pháp truy hi
Dùng  quy  thay th bt k T(m) vi m < n vào phía phi ca phng trình cho n khi tt
 T(m) vi m > 1 c thay th bi biu thc ca các T(1). Vì T(1) luôn là hng nên chúng ta có công
thc ca T(n) cha các s hng ch liên quan n n và các hng s.
Gii phng trình.
Ví d 1-10: Gii phng trình:
Ta có:
Gi s n = 2

k
, quá trình suy rng s kt thúc khi i =k, khi ó ta có:
T(n) = 2
k
T(1) + kC
2
n
Vì 2
k
= n nên k = logn và vi T(1) =C
1
nên ta có
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................ Trang 9
T(n) = C
1
n + C
2
nlogn
Hay T(n) là O(nlogn).
oán nghim
Ta oán mt nghim f(n) và dùng chng minh quy np  chng t rng T(n)  f(n) vi mi n.
Thông thng f(n) là mt trong các hàm quen thuc nh logn, n, nlogn, n
2
, n
3
, 2
n
, n!, n
n

.
ôi khi chúng ta choán dng ca f(n) trong ó có mt vài tham s cha xác nh (chng hn
f(n) = an
2
vi a cha xác nh) và trong quá trình chng minh quy np ta s suy din ra giá tr thích
p ca các tham s.
Ví d 1-11: Gii phng trình  quy
Gi s chúng ta oán f(n) = anlogn. Vi n = 1 ta thy rng cách oán nh vy không c bi
vì anlog n có giá tr 0 không ph thuc vào giá tr ca a. Vì th ta th tip theo f(n) = anlogn + b.
Vi n = 1 ta có, T(1) = C
1
và f(1) = b, mun T(1)  f(1) thì b  C
1
(*)
Gi s rng T(k)  aklogk + b vi mi k < n (I.2).Ta s chng minh T(n)  anlogn + b
Gi s n  2, t (I.1) ta có T(n) = 2T(n/2) + C
2
n
Áp dng (I.2) vi k = n/2 < n ta có:
T(n) = 2T(n/2) + C
2
n  2[an/2log(n/2) + b] + C
2
n
T(n)  anlogn - an + 2b + C
2
n
T(n)  (anlogn + b) + [b + (C
2
- a)n] . Nu ly a  C

2
+ b (**) ta c
T(n)  (anlogn + b) + [b +(C
2
- C
2
- b )n ]
T(n)  (anlogn + b) + (1-n) b
T(n)  an logn + b.
Nu ta ly a và b sao cho c (*) và (**) u tho mãn thì T(n)  an logn + b vi mi n.
D dàng ta có b = C
1
và a= C
1
+C
2
ta c T(n)  (C
1
+ C
2
)nlogn + C
1
vi mi n.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 10
Hay nói cách khác T(n) là O(nlogn).
i gii tng quát cho mt lp các phng trình  quy
 gii bài toán kích thc n, ta chia bài toán ã cho thành a bài toán con, mi bài tóan con có
kích thc n/b. Gii các bài toán con này và tng hp kt qu li c kt qu ca bài toán ã cho.
i các bài toán con chúng ta cng làm nh vy. K thut này s dn chúng ta n mt chng trình

 quy.
Gi thit rng mi bài toán con kích thc 1 ly mt n v thi gian và thi gian  chia bài
toán kích thc n thành các bài toán con kích thc n/b và tng hp kt qu t các bài toán con 
c li gii ca bài toán ban u là d(n). (Chng hn i vi thí d MergeSort, chúng ta có a = b = 2,
và d(n) = C
2
n/C
1
. Xem C
1
là mt n v).
Gi T(n) là thi gian  gii bài toán kích thc n thì ta có phng trình  quy:
Ta s dng phng pháp truy hi  gii phng trình này
Gi s n = b
k
ta c: T(n/b
k
) = T(1) = 1. Thay vào trên vi i = k ta có:
Hàm tin trin, nghim thun nht và nghim riêng
Trong phng trình  quy (I.1) hàm thi gian d(n) c gi là hàm tin trin (driving
function)
Trong công thc (I.2), a
k
= n
log
b
a
c gi là nghim thun nht (homogeneous solutions).
Nghim thun nht là nghim chính xác khi d(n) = 0 vi mi n. Nói mt cách khác, nghim
thun nht biu din thi gian  gii tt c các bài toán con.

Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 11
Trong công thc (I.2), c gi là nghim riêng (particular solutions).
Nghim riêng biu din thi gian phi tr to ra các bài toán con và tng hp các kt qu
a chúng. Nhìn vào công thc ta thy nghim riêng ph thuc vào hàm tin trin, s lng và kích
thc các bài toán con.
Khi tìm nghim ca phng trình (I,1), chúng ta phi tìm nghim riêng và so sánh vi nghim
thun nht. Nu nghim nào ln hn, ta ly nghim ó làm nghim ca phng trình (I,1).
Vic xác nh nghim riêng không n gin chút nào, tuy vy, chúng ta cng tìm c mt lp
các hàm tin trin có th d dàng xác nh nghim riêng.
Hàm nhân
Mt hàm f(n) c gi là hàm nhân (multiplicative function) nu f(m.n) = f(m).f(n) vi mi
 nguyên dng m và n.
Ví d 1-12: Hàm f(n) = n
k
là mt hàm nhân, vì f(m.n) = (m.n)
k
= m
k
.n
k
= f(m) f(n)
u d(n) trong (I.1) là mt hàm nhân thì theo tính cht ca hàm nhân ta có
d(b
k-j
) = (d(b))
k-j
và nghim riêng ca (I.2) là:
Xét ba trng hp sau:
1.- Nu a > d(b) thì nghim riêng là O(a

k
) = O(n
log
b
a
). Nh vy nghim riêng và nghim thun
nht bng nhau do ó T(n) là O(n
log
b
a
).
Ta cng thy thi gian thc hin ch ph thuc vào a, b mà không ph thuc vào hàm tin trin
d(n). Vì vy  ci tin gii thut ta cn gim a hoc tng b.
2.- Nu a < d(b) thì nghim riêng là O(d(b)
k
) = O(n
log
b
d(b)
). Trong trng hp này nghim riêng
n hn nghim thun nht nên T(n) = O(n
log
b
d(b)
).
 ci tin gii thut chúng ta cn  ý n c d(n), a và b cùng mc  nh nhau.
Trng hp c bit quan trng khi d(n) = n

. Khi ó d(b) = b


và log
b
(b

) = . Vì th nghim
riêng là O(n

) và do vy T(n) là O(n

).
3.- Nu a = d(b) thì công thc (I.5) không xác inh nên ta tính trc tip nghim riêng:
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 12
Vì a= d(b) nên nghim riêng là n
log
b
a
log
b
n và nghim này ln gp log
b
n ln nghim thun nht.
Do ó T(n) = O(n
log
b
a
log
b
n).
Trong trng hp c bit d(n) = n


ta c T(n) = O(n

logn).
Chú ý khi gii mt phng trình  quy c th, ta phi xem phng trình ó có thuc dng
phng trình tng quát hay không. Nu có thì phi xét xem hàm tin trin có phi là hàm nhân không.
u có thì ta xác nh a, d(b) và da vào s so sánh gia a và d(b) mà vn dng mt trong ba trng
p nói trên.
Ví d 1-13: Gii các phng trình  quy sau vi T(1) = 1 và
1/- T(n) = 4T(n/2) + n
2/- T(n) = 4T(n/2) + n
2
3/- T(n) = 4T(n/2) + n
3
Trong mi trng hp, a=4, b=2 và nghim thun nht là n
2
. Vi d(n) = n ta có d(b) = 2 vì a =
4 > d(b) nên nghim riêng cng là n
2
và T(n) = O(n
2
) trong phng trình (1).
Trong phng trình (3), d(n) = n
3
, d(b) = 8 và a < d(b). Vì vy nghim riêng là O(n
log
b
d(b)
) =
O(n

3
) và T(n) ca (3) là O(n
3
).
Trong phng trình (2) chúng ta có d(b) = 4 = a nên T(n) = O(n
2
logn).
Các hàm tin trin khác
Ta xét hai trng hp di dng hai ví d, trng hp 1 là tng quát hóa ca hàm bt k là tích
a mt hàm nhân vi mt hng ln hn hoc bng 1. Trng hp th hai là hàm tin trin không phi
là mt hàm nhân.
Ví d 1-14: Gii pgng trình  quy sau :
T(1) = 1
T(n) = 3T(n/2) + 2n
1.5
ây, 2n
1.5
không phi là hàm nhân nhng n
1.5
là hàm nhân. t U(n) = T(n)/2 vi mi n thì
U(1) = 1/2
U(n) = 3U(n/2) + n
1.5
Nghim thun nht khi U(1) = 1 là n
log3
= n
1.59
; vì U(1) = 1/2 nên nghim thun nht là n
1.59/2
là

O(n
1.59
). Vì a = 3 và b = 2 và b
1.5
= 2.82 < a, nghim riêng cng là O(n
1.59
) và do ó U(n) = O(n
1.59
) . Vì
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 13
T(n) = 2U(n) nên T(n) = O(n
1.59
) hay T(n) = O(n
log3
).
Ví d 1-15: Gii phng trình  quy sau :
T(1) = 1
T(n) = 2T(n/2) + nlogn
Vì a = b = 2 nên nghim thun nht là n. Tuy nhiên, d(n) = nlogn không phi là hàm nhân ta
phi tính nghim riêng bng cách xét trc tip:
Vì k = logn chúng ta có nghim riêng là O(nlog
2
n), nghim này ln hn nghim thun nht và
T(n) = O(nlog
2
n).
Bài 1: Tính thi gian thc hin ca các n chng trình sau:
a) Tính tng ca các s
Sum := 0;

for i:=1 to n do begin
readln(x);
Sum := Sum + x;
end;
b) Tính tích hai ma trn vuông cp n C = A*B:
for i := 1 to n do
for j := 1 to n do begin
c[i,j] := 0;
for k := 1 to n do c[i,j] := c[i,j] + a[i,k] * b[k,j];
end;
Bài 2: Gii các phng trình  quy sau vi T(1) = 1 và
a) T(n) = 3T(n/2) + n
b) T(n) = 3T(n/2) + n
2
c) T(n) = 8T(n/2) + n
3
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 14
Bài 3: Gii các phng trình  quy sau vi T(1) = 1 và
a) T(n) = 4T(n/3) + n
b) T(n) = 4T(n/3) + n
2
c) T(n) = 9T(n/3) + n
2
Bài 4: Gii các phng trình  quy sau vi T(1) = 1 và
a) T(n) = T(n/2) + 1
b) T(n) = 2T(n/2) + logn
c) T(n) = 2T(n/2) + n
d) T(n) = 2T(n/2) + n
2

Bài 5: Gii các phng trình  quy sau bng phng pháp oán nghim:
a) T(1) = 2 và T(n) = 2T(n-1) + 1 vi ∀ n  2
b) T(1) = 1 và T(n) = 2T(n-1) + n vi ∀ n  2
Bài 6: Cho mt mng n s nguyên c sp th t tng. Vit hàm tìm mt s nguyên trong
ng ó, nu tìm thy thì tr v TRUE, ngc li tr v FALSE.
 dng hai phng pháp tìm kim tun t và tìm kim nh phân. Vi mi phng pháp hãy vit mt
hàm tìm và tính thi gian thc hin ca hàm ó.
Bài 7: Tính thi gian thc hin ca gii thut  quy gii bài toán Tháp Hà ni vi n tng?
Bài 8: Xét nh ngha s t hp chp k ca n nh sau:
a) Vit mt hàm  quy  tính s t hp chp k ca n.
Tính thi gian thc hin ca gii thut nói trên.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 15
1. Mc tiêu
2. Kin thc c bn cn có  hc chng này
3. Tài liu tham kho có liên quan n chng
4. Ni dung:
II.1 - Bài toán sp xp.
II.2 - Các phng pháp sp xp n gin
II.3 - Quicksort.
II.4 - Heapsort.
II.5 - Binsort.
5. Vn  nghiên cu ca trang k tip
Trong chng này chúng ta s nghiên cu các vn  sau:
· Bài toán sp xp.
· Mt s gii thut sp xp n gin.
· QuickSort
· HeapSort
· BinSort
II.1- BÀI TOÁN SP XP

II.1.1 Tm quan trng ca bài toán sp xp
II.1.2 Sp xp trong và sp xp ngoài
II.1.3 T chc d liu và ngôn ng cài t
II.1.1 Tm quan trng ca bài toán sp xp
Sp xp mt danh sách các i tng theo mt th t nào là mt bài toán thng c vn
ng trong các ng dng tin hc. Ví d ta cn sp xp danh sách thí sinh theo tên vi th t Alphabet,
hoc sp xp danh sách sinh viên theo m trung bình vi th t t cao n thp. Mt ví d khác là
khi cn tìm kim mt i tng trong mt danh sách các i tng bng gii thut tìm kim nh phân
thì danh sách các i tng này phi c sp xp trc ó.
Tóm li sp xp là mt yêu cu không th thiu trong khi thit k các phn mm.
II.1.2 Sp xp trong và sp xp ngoài
Sp xp trong là s sp xp d liu c t chc trong b nh trong cu máy tính, ó ta có
th s dng kh nng truy nhp ngu nhiên ca b nh và do vy s thc hin rt nhanh.
Sp xp ngoài là s sp xp c s dng khi s lng i tng c sp xp ln không th
u tr trong b nh trong mà phi lu trî trên b nh ngoài. C th là ta s sp xp d liu c lu
tr trong các tp tin.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 16
Chng này tp trung gii quyt vn  sp xp trong còn sp xp ngoài sc nghiên cu
trong chng IV.
II.1.3 T chc d liu và ngôn ng cài t
Các i tng cn c sp xp là các mu tin gm mt hoc nhiu trng. Mt trong các
trng c gi là khóa (key), kiu ca nó là mt kiu có quan h th t (nh các kiu s nguyên, s
thc, chui ký t...).
Danh sách các i tng cn sp xp s là mt mng ca các mu tin va nói  trên. Mc ích
a vic sp xp là t chc li các mu tin sao cho các khóa ca chúng c sp th t tng ng vi
quy lut sp xp.
 trình bày các ví d minh ha chúng ta s dùng PASCAL làm ngôn ng th hin và s dng
khai báo sau:
const N = 100;

type
KeyType = integer;
OtherType = real;
RecordType = Record
Key : KeyType;
OtherFields : OtherType;
end;
var
a : array[1..N] of RecordType;
procedure Swap(var x,y:RecordType);
var
temp : RecordType;
begin
temp := x;
x := y;
y := temp;
end;
n thy rng th tc Swap ly O(1) thi gian vì ch thc hin 3 lnh gán ni tip nhau.
II.2- CÁC PHNG PHÁP SP XP N GIN
II.2.1- Sp xp chn
II.2.2- Sp xp xen
II.2.3- Sp xp ni bt
Các gii thut n gin thng ly O(n
2
) thi gian  sp xp n i tng và các gii thut này
thng ch dùng  sp các danh sách có ít i tng.
Vi mi gii thut chúng ta s nghiên cu các phn: gii thut, ví d, chng trình và phân tích
ánh giá.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 17

II.2.1- Sp xp chn (Selection Sort)
Gii thut
ây là phng pháp sp xp n gin nht c tin hành nh sau:
· u tiên chn phn t có khóa nh nht trong n phn t t a[1] n a[n] và hoán v nó
i phn t a[1].
· Chn phn t có khóa nh nht trong n-1phn t t a[2] n a[n] và hoán v nó vi a[2].
· Tng quát  bc th i, chn phn t có khoá nh nht trong n-i+1 phn t t a[i] n
a[n] và hoán v nó vi a[i].
· Sau n-1 bc này thì mng ã c sp xp.
Phng pháp này c gi là phng pháp chn bi vì nó lp li quá trình chn phn t nh
nht trong s các phn t cha c sp.
Ví d 2-1: Sp xp mng gm 10 mu tin có khóa là các s nguyên: 5, 6, 2, 2, 10, 12, 9, 10, 9
và 3
Khoá
c
a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10]
Ban u
5 6 2 2 10 12 9 10 9 3
c 1
2
6 5 2 10 12 9 10 9 3
c 2
2
5 6 10 12 9 10 9 3
c 3
3
6 10 12 9 10 9 5
c 4
5
10 12 9 10 9 6

c 5
6
12 9 10 9 10
c 6
9
12 10 9 10
c 7
9
10 12 10
c 8
10
12 10
c 9
10
12
t qu 2 2 3 5 6 9 9 10 10 12
Hình 2-1: Sp xp chn
Chng trình:
procedure SelectionSort;
var
i,j,LowIndex: integer;
LowKey: KeyType;
begin
(1) for i := 1 to n-1 do begin
(2) LowIndex := i;
(3) LowKey := a[i].key;
(4) for j := i+1 to n do
(5) if a[j].key < LowKey then
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 18

begin
(6) LowKey := a[j].key;
(7) LowIndex := j;
end;
(8) Swap(a[i] , a[LowIndex]);
end;
end;
ánh giá: Phng pháp sp xp chn ly O(n
2
) sp xp n phn t.
Trc ht ta có th tc Swap ly mt hng thi gian nhã nói  mc II.1.3.
Các lnh (2), (3) u ly O(1) thi gian. Vòng lp for (4) - (7) thc hin n-i ln, vì j chy t
i+1 n n, mi ln ly O(1), nên ly O(n-i) thi gian. Do ó thi gian tng cng là:
II.2.2- Sp xp xen (Insertion Sort)
Gii thut
Trc ht ta xem phn t a[1] là mt dãy ã có th t.
· Bc 1, xen phn t a[2] vào danh sách ã có th t a[1] sao cho a[1], a[2] là mt danh
sách có th t.
· Bc 2, xen phn t a[3] vào danh sách ã có th t a[1], a[2] sao cho a[1], a[2], a[3] là
t danh sách có th t.
· Tng quát, bc i, xen phn t a[i+1] vào danh sách ã có th t a[1],a[2],..a[i] sao cho
a[1], a[2],.. a[i+1] là mt danh sách có th t.
· Phn tang xét a[j] sc xen vào v trí thích hp trong danh sách các phn tã
c sp trc ó a[1],a[2],..a[j-1] bng cách so sánh khoá ca a[j] vi khoá ca a[j-1] ng ngay
trc nó. Nu khoá ca a[j] nh hn khoá ca a[j-1] thì hoán i a[j-1] và a[j] cho nhau và tip tc so
sánh khoá ca a[j-1] (lúc này a[j-1] cha ni dung ca a[j]) vi khoá ca a[j-2] ng ngay trc nó...
Ví d 2-2: Sp xp mng gm 10 mu tin ã cho trong ví d 2-1.
Khoá
c
a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10]

Ban u
5 6 2 2 10 12 9 10 9 3
c 1
5 6
c 2
2 5 6
c 3
2 2 5 6
c 4
2 2 5 6 10
c 5
2 2 5 6 10 12
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 19
c 6
2 2 5 6 9 10 12
c 7
2 2 5 6 9 10 10 12
c 8
2 2 5 6 9 9 10 10 12
c 9
2 2 3 5 6 9 9 10 10 12
Hình 2-2: Sp xp xen
Chng trình
procedure InsertionSort;
var
i,j: integer;
begin
{1} for i := 2 to n do begin
{2} J := i;

{3} while (j>1) and (a[j].key < a[j-1].key) do begin
{4} swap(a[j], a[j-1]);
{5} j := j-1;
end;
end;
end;
ánh giá: Phng pháp sp xp chn ly O(n
2
) sp xp n phn t.
Ta thy các lnh (4) và (5) u ly O(1). Vòng lp (3) chy nhiu nht i-1 ln, mi ln tn
O(1) nên (3) ly i-1 thi gian. Lnh (2) và (3) là hai lnh ni tip nhau, lnh (2) ly O(1) nên c hai
nh này ly i-1.
Vòng lp (1) có i chy t 2 n n nên nu gi T(n) là thi gian  sp n phn t thì ta có
II.2.3- Sp xp ni bt (Bubble Sort)
Gii thut
Chúng ta tng tng rng các mu tin c lu trong mt mng dc, qua quá trình sp, mu
tin nào có khóa “nh” sc ni lên trên. Chúng ta duyt tòan mng, t di lên trên. Nu hai phn
 cnh nhau mà không úng th t tc là nu phn t “nh hn” li nm di thì phi cho nó “ni
lên” bng cách i ch hai phn t này cho nhau. C th là:
· Bc 1: Xét các phn t t a[n] n a[2], vi mi phn t a[j], so sánh khoá ca nó vi
khoá ca phn t a[j-1] ng ngay trc nó. Nu khoá ca a[j] nh hn khoá ca a[j-1] thì hoán i
a[j] và a[j-1] cho nhau.
· Bc 2: Xét các phn t t a[n] n a[3], và làm tng t nh trên.
· Tng quát  bc th i, ta s xét các phn t t a[n] n a[i+1].
Sau n bc ta thu c mng có th t
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 20
Ví d 2-3: Sp xp mng gm 10 mu tin ã cho trong ví d 2-1.
Khoá
c

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10]
Ban u
5 6 2 2 10 12 9 10 9 3
c 1
2
5 6 2 3 10 12 9 10 9
c 2
2
5 6 3 9 10 12 9 10
c 3
3
5 6 9 9 10 12 10
c 4
5
6 9 9 10 10 12
c 5
6
9 9 10 10 12
c 6
9
9 10 10 12
c 7
9
10 10 12
c 8
10
10 12
c 9
10
12

t qu 2 2 3 5 6 9 9 10 10 12
Hình 2-3: Sp xp ni bt
Chng trình
procedure BubbleSort;
var
i,j: integer;
begin
(1) for i := 1 to n-1 do
(2) for j := n downto i+1 do
(3) if a[j].key < a[j-1].key then
(4) Swap(a[j],a[j-1]);
end;
ánh giá: Phng pháp sp xp ni bt ly O(n
2
) sp n phn t.
Dòng lnh (3) ly mt hng thi gian. Vòng lp (2) thc hin (n-i) bc, mi bc ly O(1)
nên ly O(n-i) thi gian. Nh vy i vi toàn b chng trình ta có:
II.3- QUICKSORT
II.3.1- Ý tng
II.3.2- Thit k gii thut
II.3.3- Cài t gii thut
II.3.4- Thi gian thc hin ca QuickSort
Trong phn này chúng ta s nghiên cu mt gii thut sp xp c dùng mt cách ph bin là
Quick Sort do A.R. Hoare phát minh vào nm 1960. Quick Sort c ánh giá tt nh vào s phân tích
toán hc và các khng nh v kh nng ca nó. Quick Sort ã c ci tin  tr thành phng pháp
c chn trong các ng dng sp xp thc t khác nhau.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 21
II.3.1- Ý tng
Chúng ta vn xét mng a các mu tin a[1]..a[n]. Gi s v là 1 giá tr khóa mà ta gi là cht

(pivot). Ta phân hoch dãy a[1]..a[n] thành hai mng con "bên trái" và "bên phi". Mng con "bên trái"
bao gm các phn t có khóa nh hn cht, mng con "bên phi" bao gm các phn t có khóa ln hn
hoc bng cht.
Sp xp mng con “bên trái” và mng con “bên phi” thì mng ã cho sc sp bi vì tt c
các khóa trong mng con “bên trái “ u nh hn các khóa trong mng con “bên phi”.
Vic sp xp các mng con “bên trái” và “bên phi” cng c tin hành bng phng pháp
nói trên.
Mt mng ch gm mt phn t hoc gm nhiu phn t có khóa bng nhau thì xem nhã có
th t.
II.3.2- Thit k gii thut
n  chn cht
Chn khóa ln nht trong hai phn t có khóa khác nhau u tiên k t trái qua. Nu mng ch
m mt phn t hay gm nhiu phn t có khóa bng nhau thì không có cht.
n  phn hoch
 phân hoch mng ta dùng 2 "con nháy" L và R trong ó L t bên trái và R t bên phi, ta
cho L chy sang phi cho ti khi gp phn t có khóa  cht và cho R chy sang trái cho ti khi gp
phn t có khóa < cht. Ti ch dng ca L và R nu L<R thì hoán v a[L],a[R]. Lp li quá trình dch
sang phi, sang trái ca 2 "con nháy" L và R cho n khi L>R. Khi ó L s là m phân hoch, c th
là a[L] là phn tu tiên ca mng con “bên phi”.
Gii thut QuickSort
 sp xp mng a[i]..a[j] ta tin hành các bc sau:
· Xác nh cht,
· Phân hoch mng ã cho thành hai mng con a[i]..a[k-1] và a[k]..a[j].
· Sp xp mng a[i]..a[k-1] ( quy).
· Sp xp mng a[k]..a[j] ( quy).
Quá trình  quy s dng khi không còn tìm thy cht.
Ví d 2-4: Ta cn sp mt mng mà khóa là các s nguyên ã c trình bày trong ví d 2-1.
Hai phn tu tiên có khóa khác nhau là 5 và 6, ta chn 6 làm cht và tin hành phân hoch mng
ban u làm hai mng con và  quy cho hai mng con này.
Collected by The_Wall (11/10/2005)

Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 22
II.3.3- Cài t gii thut
Hàm FindPivot
Ta thit k hàm FindPivot  xác nh trong dãy a[i]..a[j] xem có hay không hai phn t có
khóa khác nhau. Nu không tìm thy hai phn t có khóa khác nhau thì tr v giá tr 0 (không tìm thy
cht), ngc li hàm tr v giá tr là ch s ca phn t có khóa ln hn trong hai phn t có khóa khác
nhau u tiên. Khóa ln hn này s tr thành phn t cht mà ta s xác nh trong th tc QuickSort.
 tin so sánh ta s dng bin FirstKey  lu gi khóa ca phn tu tiên trong mng
a[i]..a[j] (FirstKey chính là a[i].key).
Ta s dùng mt ch s k  dò tìm trong mng a[i]..a[j], k t v trí i+1 n ht mng, mt phn
 a[k] mà a[k].key <> FirstKey. Nu không tìm thy mt a[k] nh th thì hoc là mng ch gm mt
phn t hoc gm nhiu phn t có khóa bng nhau. Trong trng hp ó thì không tìm thy cht và
hàm FindPivot s tr v 0. Ngc li ta s phi xét xem a[k].key có ln hn FirstKey hay không, nu
úng nh th thì cht s là khóa ca a[k] và hàm FindPivot s tr v k, nu không thì hàm FindPivot s
tr v i.
Function FindPivot(i,j:integer): integer;
var
FirstKey : KeyType;
k : integer;
begin
k := i+1;
FirstKey := a[i].key;
while (k<=j) and (a[k].key = FirstKey) do k:= k+1;
if k > j then FindPivot := 0
else
if a[k].key > FirstKey then FindPivot := k
else FindPivot := i;
end;
Hàm Partition
Hàm Partition nhn vào ba tham s i, j và Pivot  thc hin vic phân hoch theo mng

a[i]..a[j] theo cht Pivot và tr v giá tr l là ch su tiên ca mng “bên phi”.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 23
Hai con nháy L, R sc s dng  thc hin vic phân hoch nhã trình bày trong phn
II.3.2.
Function Partition(i,j:integer; pivot :KeyType):integer ;
var l,r : integer;
begin
l := i; {t con nháy L ì bên trái}
r := j; {t con nháy R ì bên phi}
while l <= r do begin
{L tin sang phi}
while a[l].key < pivot do l := l+1;
{R tin sang trái}
while a[r].key >= pivot do r := r-1;
if l <r then Swap(a[l],a[r]);
end;
Partition :=l;
end;
QuickSort
Bây gi chúng ta trình bày th tc cui cùng có tên là QuickSort và chú ý rng  sp xp
ng A các record gm n phn t ca kiu Recordtype ta ch cn gi QuickSort(1,n).
Ta s s dng bin PivotIndex  lu gi kt qu tr v ca hàm FindPivot, nu bin
PivotIndex nhn c mt giá tr khác 0 thì mi tin hành phân hoch mng. Bin Pivot sc s
ng  lu gi giá tr cht và bin k  lu gi giá tr ca m phân hoch do hàm Partition tr v.
Sau khia ã phân hoch xong ta s gi  quy QuickSort cho mng con “bên trái” a[i]..a[k-1] và mng
con “bên phi” a[k]..a[j].
procedure Quicksort(i,j:integer);
var
Pivot : KeyType;

PivotIndex, k : integer;
begin
(1) PivotIndex := FindPivot(i,j);
(2) if PivotIndex <> 0 then
begin
(3) Pivot := a[PivotIndex].key;
(4) k := Partition(i,j,Pivot);
(5) QuickSort(i,k-1);
(6) QuickSort(k,j);
end;
end;
II.3.4- Thi gian thc hin ca QuickSort
QuickSort ly O(nlogn) thi gian  sp xp n phn t trong trng hp tt nht và O(n
2
).
trong trng hp xu nht.
Hàm Partition ly thi gian t l vi s phn t ca mng. Nh vy nu mng có n phn t thì
Partition ly P(n)= n n v thi gian.
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 24
Gi T(n) là thi gian thc hin ca QuickSort thì T(n) phi là tng ca P(n) và thi gian
QuickSort  quy cho hai mng con.
Gi s các giá tr khóa ca mng khác nhau. Trong trng hp xu nht là ta luôn chn phi
phn t có khóa ln nht làm cht, lúc by gi vic phân hoch b lch tc là mng bên phi ch gm
t phn t cht, còn mng bên trái gm n-1 phn t còn li. Khi ó ta có th thành lp phng trình
 quy nh sau:
Gii phng trình này bng phng pháp truy hi
Ta có T(n) = T(n-1) + T(1) +n = T(n-1) + (n+1)
= [T(n-2) + T(1) +(n-1)] + (n+1) = T(n-2) + n + (n+1)
= [T(n-3) + T(1) +(n-2)] + n + (n+1) = T(n-3) +(n-1) + n + (n+1)

. . . . . . . . . . . . . . . . .
= T(n-i) + (n-i+2) + (n-i+3) + ... + n + (n+1) = T(n-i) +
Quá trình trên kt thúc khi i=n-1, khi ó ta có
Trong trng hp tt nht khi ta chn c cht sao cho hai mng con có kích thc bng
nhau và bng n/2. Lúc ó ta có phng trình  quy nh sau:
Gii phng trình  quy này (xem I.4.2) ta c T(n) = O(nlogn).
Ngi ta cng chng minh c rng trong trng hp trung bình QuickSort ly T(n) =
O(nlogn).
II.4- HEAPSORT
II.4.1- Heap
II.4.2- Ý tng
II.4.3- Thit k và cài t gii thut
II.4.4- Phân tích HeapSort
Collected by The_Wall (11/10/2005)
Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH........................................................................Trang 25
II.4.1- Heap
Cây sp th t b phn hay còn gi là heap là cây nh phân mà giá tr ti mi nút (khác nút lá)
u không ln hn giá tr ca các con ca nó.
Ta có nhn xét rng nút gc a[1] ca cây sp th t b phn có giá tr nh nht.
Ví d 2-5: Cây sau là mt heap.
II.4.2- Ý tng
(1) Xem mng ban u là mt cây nh phân. Mi nút trên cây lu tr mt phn t mng,
trong ó a[1] là nút gc và mi nút không là nút lá a[i] có con trái là a[2i] và con phi là a[2i+1]. Vi
cách t chc này thì cây nh phân thu c s có các nút trong là các nút a[1],..,a[n DIV 2]. Tt c các
nút trong u có 2 con, ngoi tr nút a[n DIV 2] có th ch có mt con trái (trong trng hp n là mt
 chn).
(2) Sp xp cây ban u thành mt heap cn c vào giá tr khoá ca các nút.
(3) Hoán i a[1] cho cho phn t cui cùng.
(4) p li cây sau khi ã bi phn t cui cùng  nó tr thành mt heap mi.
Lp li quá trình (3) và (4) cho ti khi cây rng ta sc mng sp theo th t gim.

II.4.3- Thit k và cài t gii thut
Th tc PushDown
Gi s a[first],..,a[last] ã úng v trí (giá tr khoá ti mi nút nh hn hoc bng giá tr khoá
i các nút con ca nó) ngoi tr a[first]. PushDown dùng y phn t a[first] xung úng v trí ca
nó trong cây (và có th gây ra vic y xung các phn t khác).
Xét a[first], có hai kh nng có th xy ra:
· Nu a[first] có khoá ln hn con trái ca nó (a[first].key > a[2*first].key) và khoá ca
con trái không ln hn khoá ca con phi (a[2*first].key  a[2*first+1].key) thì hoán i a[first] cho
con trái a[2*first] ca nó, vic này có th gây ra tình trng con trái s không úng v trí nên phi xem
xét li con trái.